Tài liệu Giúp trí nhớ tốt toán THPT ppt

GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

NHỚ 1:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT
Ax = B
B
• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất x =
A
• A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm
• A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm
Ax > B
B
x>
• A>0:
A
B
• A<0:
x<
A
• A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm
• A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm
NHỚ 2 :

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ
ax + by = c
1/. Dạng :  /
/
/
a x + b y = c

2/. Cách giải :

D=

a b
ab

Dx =
Dy =

∗

∗

∗

/

= ab / − a / b

/

c b
/

cb

/

a c

/

ac

/

= cb / − c / b
= ac / − a / c

Dx

x = D

D ≠ 0 : hệ có nghiệm duy nhất 
 y = Dy

D

D = 0 và Dx ≠ 0
Hệ vô nghiệm
D = 0 và Dy ≠ 0
D = Dx = Dy = 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a/, b/, c/
Sơ đồ:
a
c
b
a’
c’
b'
D

Dy
Dx

NHỚ 3 :

PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT AÅN
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 1


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

∗
∆ = b2 – 4ac
∆>0
−b+ ∆
−b− ∆
, x2 =
x1 =
2a
2a
b
∆=0
Nghiệm kép x1 = x 2 = −
2a
∆<0

Vô nghiệm
/
/2
∗
∆ = b – ac
/
∆ >0
− b / + ∆/
− b / − ∆/
, x2 =
x1 =
a
a
/
∆ =0
b/
Nghiệm kép x1 = x 2 = −
a
/
∆ <0
Vô nghiệm

Chú ý:

c
a

a+b+c=0:

nghiệm x1 = 1, x2 =

a–b+c=0:

nghiệm x1 = –1, x2 = −

NHỚ 4 :
x
f(x)

DẤU NHỊ THỨC
f(x) = ax + b ( a ≠ 0)
b
−
–∞
a
Trái dấu a
0
cùng dấu a

c
a

NHỚ 5 :
Nếu
∆ < 0

a > 0
∆ < 0

a < 0

∆ = 0

a > 0
∆ = 0

a < 0
∆>0

NHỚ 6 :

+∞

DẤU TAM THỨC
f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)
Thì
f(x) > 0, ∀x

f(x) < 0, ∀x
f(x) > 0,

∀x ≠ −

b
2a

f(x) < 0,

∀x ≠ −

b

2a

x –∞
x1
f(x)
cùng 0

true
dấu a

x2
+∞
0 cùng

SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
VỚI CÁC SỐ
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 2


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực
1/. Muốn có
x1 < α < x2
ta phải có
af(x) < 0


∆ > 0

ta phải có
2/. Muốn có
x2 > x1 > α
af (α ) > 0
S
 −α > 0
2

∆ > 0

3/. Muoán có
x1 < x2 < α
ta phải có
af (α ) > 0
S
 −α < 0
2
af (α ) < 0
ta phải có
4/. Muốn có
x1< α < β < x2

af ( β ) < 0
af (α ) < 0
5/. Muốn có
x1< α < x2 <β ta phải có


af ( β ) > 0
6/. Muốn có

 x1 < α < x 2 < β
α < x < β < x
1
2


ta phải có

7/. Muốn có

α < x1 < x2 <β ta phải có

Chú ý:
1/. Muốn coù

f (α ) f ( β ) < 0

∆ > 0
af (α ) > 0


af ( β ) > 0

α < S < β

2


x1 < 0 < x2

ta phải có
P<0
∆ > 0

ta phải có
2/. Muốn có
x2 > x1 > 0
P > 0
S > 0

∆ > 0

3/. Muốn có
x1 < x2 < α
ta phải có
P > 0
S < 0

NHỚ 7 :
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
B ≥ 0
1/. 2 K A = B ⇔ 
2K
A = B
A = B
2/. 2 K A = 2 K B ⇔ 
 A ≥ 0(hayB ≥ 0)

NHỚ 8 :

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 3


GV: VÕ QU C TRUNG
1/.

2/.

2K

2K

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

A ≥ 0

A < B ⇔ B > 0

2K
A < B
 B < 0

A ≥ 0
A>B⇔

 B ≥ 0

 A > B 2 K


3/. 2 K +1 A < B ⇔ A < B 2 K +1
NHỚ 9 :
PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
 A = B

B ≥ 0
1/. A = B ⇔ 
 A = − B

 B ≥ 0

A = B
2/. A = B ⇔ 
 A = −B
 f ( x) = g ( x)

x ≥ 0
Chú ý: f ( x ) = g ( x) ⇔ 
  f ( − x) = g ( x )

 x ≤ 0

NHỚ 10 :
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
− B < A < B

1/. A < B ⇔ 
B > 0


B < 0
 A > B
2/. A > B ⇔ 
 B ≥ 0

 A < − B
 B ≥ 0


3/. A > B ⇔ A 2 > B 2

NHỚ 11 :
BẤT ĐẲNG THỨC
1/. Định nghóa :
Dạng :
A > B, A ≥ B
A < B, A ≤ B
2/. Tính chất :
a) a > b ⇔ b < a
a > b
⇒a>c
b) 
b > c
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 4

GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

c) a > b ⇔ a + c > b + c
ac > bc, c > 0
d) a > b ⇔ 
ac < bc, c < 0
a > b
⇒ a+c >b+d
e) 
c > d
a > b > 0
⇒ ac > bd
f) 
c > d > 0
1 1
 a < b ; khi ab> 0
g) a > b ⇒ 
 1 > 1 ; khi ab< 0
a b

3/. BĐT Cô Si :
Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3,......, an
a 1 + a 2 + a 3 + ....... + a n
≥ n a 1 a 2 a 3 ....... a n
n
n

 a1 + a 2 + a 3 + ....... + a n 
hay a1 a 2 a3 .......a n ≤ 

n


Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = ......... = an
4/. BÑT Bunhia Coâp ski :
Cho a1, a2, a3,......, an, b1, b2, b3,......, bn là những số tực khi đó:
2
2
2
2
2
2
(a1b1 + a 2 b2 + ..... + a n bn ) 2 ≤ (a1 + a 2 + .... + a n )(b1 + b2 + .... + bn )
Dấu đẳng thức xaûy ra ⇔ ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3,......, n
5/. BÑT BecnuLi :
Cho : a > –1, n ∈ N
Ta coù : (1 + a)n ≥ 1 + na
a = 0
Đẳng thức xảy ra ⇔ 
n = 1
6/. BĐT tam giác :
A+ B ≤ A + B
Đẳng thức xảy ra ⇔ AB ≥ 0
NHỚ 12 :
CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )
1/. Sin 2 x + Cos 2 x = 1

Sinx
2/. Tanx =
Cosx
Cosx
3/. Cotx =
Sinx
4/. Tanx.Cotx = 1
1
5/. 1 + Tan 2 x =
Cos 2 x
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 5


GV: VÕ QU C TRUNG
6/. 1 + Cot 2 x =

T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

1
Sin 2 x

Điều kiện tồn tại :
• Tanx là
x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z
• Cotx là
x ≠ kπ
,k∈Z
• Sinx là

– 1 ≤ Sinx ≤ 1
• Cosx là
– 1 ≤ Cosx ≤ 1
Chú ý :
• a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab
• a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)
B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức )
7/. Cos (a + b) = CosaCosb − SinaSinb
8/. Cos (a − b) = CosaCosb + SinaSinb
9/. Sin(a + b) = SinaCosb + CosaSinb
10/. Sin(a − b) = SinaCosb − CosaSinb
Tana + Tanb
11/. Tan (a + b) =
1 − TanaTanb
Tana − Tanb
12/. Tan (a − b) =
1 + TanaTanb
CotaCotb − 1
13/. Cot (a + b) =
Cota + Cotb
CotaCotb + 1
14/. Cot (a − b) =
Cota − Cotb
C. CÔNG THỨC NHÂN
I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)
15/. Sin 2a = 2 SinaCosa
16/. Cos 2a = 2Cos 2 a − 1 = 1 − 2 Sin 2 a = Cos 2 a − Sin 2 a
2Tana
17/. Tan 2a =
1 − Tan 2 a

II. NHAÂN BA : ( 3 công thức)
18/. Cos 3a = 4Cos 3 a − 3Cosa
19/. Sin3a = 3Sina − 4 Sin 3 a
3Tana − Tan 3 a
20/. Tan3a =
1 − 3Tan 2 a
III. HẠ BẬC : ( 4 công thức)
1 − Cos 2a
21/. Sin 2 a =
⇒ 1 − Cos 2a = 2 Sin 2 a
2
1 + Cos 2a
⇒ 1 + Cos 2a = 2Cos 2 a
22/. Cos 2 a =
2
3Sina − Sin3a
23/. Sin 3 a =
4
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 6


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

3Cosa + Cos 3a
4
IV. GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức)

2t
25/. Sinx =
1+ t2
1− t2
x
, với t = Tan
26/. Cosx =
2
2
1+ t
2t
27/. Tanx =
1− t2
D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)
a+b
a−b
Cos
28/. Cosa + Cosb = 2Cos
2
2
a+b
a−b
29/. Cosa − Cosb = −2 Sin
Sin
2
2
a+b
a−b
Cos
30/. Sina + Sinb = 2 Sin

2
2
a+b
a −b
31/. Sina − Sinb = 2Cos
Sin
2
2
Sin(a + b)
32/. Tana + Tanb =
CosaCosb
Sin (a − b)
33/. Tana −Tanb =
CosaCosb
Sin (a + b)
34/. Cota + Cotb =
SinaSinb
− Sin (a − b)
35/. Cota − Cotb =
SinaSinb

24/. Cos 3 a =

E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)
1
36/. CosaCosb = [Cos (a − b ) + Cos (a + b)]
2
1
37/. SinaSinb = [Cos (a − b) − Cos (a + b)]
2

1
38/. SinaCosb = [Sin (a − b) + Sin(a + b)]
2
F. CUNG LIÊN KẾT :
Cos(–α) = Cosα ; Sin(–α) = – Sinα
Cos đối
Sin(π – α) = Sinα ; Cos(π – α) = – Cosα
Sin buø
Sin(π/2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α) = Sinα
Phụ chéo
Khác π Tan Tan(π + α) = Tanα ; Cot(π + α) = Cotα
Sai keùm π/ 2 Sin(π/2 + α) = Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα
NHỚ 13 :
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 7


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

A. CƠ BẢN :
u = v + k 2π
k∈Z
⇔
u = π − v + k 2π
Cosu = Cosv
⇔ u = ± v + k 2π

Tanu = Tanv
⇔ u = v + kπ
Cotu = Cotv
⇔ u = v + kπ
Sinu = 0
⇔ u = kπ
Sinu = 1
⇔ u = π / 2 + k 2π
Sinu = –1
⇔ u = −π / 2 + k 2π
Cosu = 0
⇔ u = π / 2 + kπ
Cosu = 1
⇔ u = k 2π
Cosu = – 1
⇔ u = π + k 2π
B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos
Dạng
aSinx + bCosx = c ( a2 + b2 ≠ 0 )
Phương pháp :

Sinu = Sinv

Cách 1:

Chia hai vế cho a 2 + b 2
a
= Cosα
Đặt :
a2 + b2

Ta có

(*) Có nghiệm khi

(*) Vô nghiệm khi

Sin( x + α ) =
c
a2 + b2

b

;

a2 + b2
c

a2 + b2

= Sinα

(*)

≤1

⇔ a2 + b2 ≥ c2
⇔ a2 + b2 < c2

Cách 2:
• Kiểm chứng x = (2k + 1)π có phải là nghiệm của phương trình hay không?

x
• Xét x ≠ (2k + 1)π
Đặt : t = Tan
2
2t
1− t 2
Thế
Sinx =
; Cosx =
1+ t2
1+ t2
⇒t?
Vào phương trình
⇒x?
C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1/. Đối với một hàm số lượng giác:
Giả sử a≠ 0
aSin 2 x + bSinx + c = 0
( đặt t = Sinx , t ≤ 1 )
aCos 2 x + bCosx + c = 0

(đặt t = Cosx , t ≤ 1 )

aTan 2 x + bTanx + c = 0

( đặt t = Tanx , x ≠

π
2

+ kπ )

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 8


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2
( đặt t = Cotx , x ≠ kπ )

aCot 2 x + bCotx + c = 0

2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx
Dạng:
aSin 2 x + bSinxCosx + cCos 2 x = 0 (1)
aSin 3 x + bSin 2 xCosx + cSinxCos 2 x + dCos 3 x = 0 (2)
Phương pháp :
Cách 1:
∗ Kiểm x = π/ 2 + kπ có phải là nghiệm của phương trình ?
∗ Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về
dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx.
Cách 2:
Sin 2 x
thế vào
Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và SinxCosx =
2
3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:
Dạng :

a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phương pháp:

t = Sinx + Cosx = 2 Sin ( x +

π

4

t ≤ 2

),

t 2 −1
+c =0
(*) ⇔ at + b
2
⇒ t ( nếu có)
⇒x
a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự :

Chú ý: Dạng
Đặt :

Đặt :

t = Sinx − Cosx = 2 Sin( x −

π

1− t2
+c =0
2
D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
1/. Tổng bình phương :
• A2 + B2 + ........+ Z2 = 0
⇔
• A ≥ 0, B ≥ 0,......, Z ≥ 0
Ta coù : A + B + .... + Z = 0 ⇔
2/. Đối lập :
Giả sử giải phương trình A = B (*)
A ≤ K
Nếu ta chứng minh 
B ≥ K
(*) ⇔ at + b

4

),

t ≤ 2

⇒ t ? ( nếu có)

⇒x?

A = B = ......= Z = 0
A = B = .....= Z = 0

A = K

(*) ⇔ 
B = K

A ≤ l

3/.  B ≤ k
A + B = l + k


A = l
⇔
B = k

4/. A ≤ 1, B ≤ 1

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 9


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

A = 1
 A = −1
hay 
AB = 1 ⇔ 
B = 1
 B = −1

NHỚ 14:
HỆ THỨC LƯNG
Tam giác thường ( các định lý)
• a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA
Hàm số Cosin
b2 + c2 − a2
• CosA =
2bc
a
b
c
•
=
=
= 2R
SinA SinB SinC
Hàm số Sin
a
• a = 2 RSinA,
SinA =
2R
A−B
Tan
2 = a−b
•
Hàm số Tan
A+ B a+b
Tan
2
• a = bCosC + cCosB

Các chiếu

2(b 2 + c 2 ) − a 2
4
A
2bc.Cos
2
b+c
1
1
1
aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1
bcSinA = acSinB = abSinC
2
2
2
pr
abc
4R
p ( p − a )( p − b)( p − c)

Trung tuyến

•

ma =

Phân giác

•

la =

•

S=

•

S=

•

S=

•

S=

•

S=

Diện tích

Diện tích

2

Chú ý:
•
•
•
•
•
•
•
•

S
A
B
C
= ( p − a )Tan = ( p − b)Tan = ( p − c)Tan
2
2
2
p
abc
a
b
c
=
=
=

R=
4S
2 SinA 2 SinB 2 SinC
a, b, c :
cạnh tam giác
A, B, C:
góc tam giác
ha :
Đường cao tương ứng với cạnh a
ma :
Đường trung tuyến vẽ từ A
R, r :
Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác.
a+b+c
p=
Nữa chu vi tam giác.
2
r=

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 10


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

Hệ thức lượng tam giác vuông:
AH 2 = BH .CH

A
•
AH .BC = AB. AC
1
1
1
B
=
+
C
2
2
H
AH
AB
AC 2
• AB 2 = BH .BC
• AC 2 = CH .CB
• BC 2 = AB 2 + AC 2
NHỚ 15:
MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ
Cho tam giaùc ABC :
A
B
C
1/. SinA + SinB + SinC = 4Cos Cos Cos
2
2
2
A

B
C
2/. CosA + CosB + CosC = 1 + 4 Sin Sin Sin
2
2
2
3/. TanA + TanB + TanC = TanA.TanB.TanC
( tam giác ABC không vuông)
A
B
C
A
B
C
4/. Cot + Cot + Cot = Cot .Cot .Cot
2
2
2
2
2
2
A
B
B
C
C
A
5/. Tan .Tan + Tan .Tan + Tan .Tan = 1
2
2

2
2
2
2
2
2
2
6/. Sin A + Sin B + Sin C = 2 + 2 CosA .CosB .CosC
7/. Cos 2 A + Cos 2 B + Cos 2 C = 1 − 2CosA.CosB.CosC
8/. Sin( A + B ) = SinC
A+ B
C
Cos ( A + B ) = −CosC
;
Sin
= Cos
2
2
A+ B
C
A+ B
C
;
Cos
= Sin
Tan
= Cot
2
2
2

2
3 3
9/. SinA.SinB.SinC ≤
8
1
10/. CosA.CosB.CosC ≤
8
A
B
C 3 3
11/. Cos .Cos .Cos ≤
2
2
2
8
A
B
C 1
12/. Sin .Sin .Sin ≤
2
2
2 8
3
13/. Cos 2 A + Cos 2 B + Cos 2 C ≥
4
4
14/. Sin 2 A + Sin 2 B + Sin 2 C ≤
9
2
2

2
15/. Tan A + Tan B + Tan C ≥ 9
A
B
C
3
16/. ≤ Sin 2 + Sin 2 + Sin 2 < 1
4
2
2
2

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 11


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

A
B
C 9
+ Cos 2 + Cos 2 ≤
2
2
2 4
A
B

C
18/. Tan 2 + Tan 2 + Tan 2 ≥ 1
2
2
2
A
B
C
19/. Cot 2 + Cot 2 + Cot 2 ≥ 9
2
2
2
3 3
20/. Sin 2 A + Sin 2 B + Sin 2C ≤
2
3
21/. Cos 2 A + Cos 2 B + Cos 2C ≥ −
2
NHỚ 16 :
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định nghóa 1: Hàm số y = f ( x) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :
1/. f ( x) xác định tại điểm x = a

17/. 2 < Cos 2

2/. lim f ( x) = f (a )
x→a

Định nghóa 2: f (x) liên tục tại điểm x = a ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (a )
x→a

Định lý :

x→a

Nếu f (x) liên tục trên [a, b] và f (a ). f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈ (a, b)
sao cho f (c) = 0

NHỚ 17 :
HÀM SỐ MŨ
1/. Định nghóa : Cho a > 0, a ≠ 1 ( cố định). Hàm số mũ là hàm số xác định bởi công thức :
y = ax ( x ∈ R)
2/. Tính chất :
a) Hàm số mũ liên tục trên R
b) y = ax > 0 mọi x ∈ R
c) a > 1 :
Hàm số đồng biến
x1
x2
a < a ⇔ x1 < x 2
d) 0 < a < 1 :
Hàm số nghịch biến
x1
x2
a < a ⇔ x1 > x 2
(0 < a ≠ 1)
Chú ý : a x1 < a x2 ⇔ x1 = x 2
3/. Đồ thị :
(a> 1)

y
1
0

y

( 0 < a < 1)
1
0

x

NHỚ 18 :
HÀM SỐ LOGARIT
1/. Định nghóa :
a) Cho
a > 0, a ≠ 1,

x

N >0

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho :

aM = N

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 12

GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

Ký hiệu :
logaN = M
b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a ≠ 1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức:
y = logax ( với x > 0, a > 0, a ≠ 1)
2/. Tính chất và định lý cơ bản về logarit :
Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn
TC1 :
logaN = M ⇔ aM = N
TC2 :
loga aM = M , a log a M = M
TC3 :
loga 1 = 0, loga a = 1
TC4 :
loga (MN) = loga M + loga N
M
log a
= log a M − log a N
TC5 :
N
TC6 : Đổi cơ soá
log c N
1
log a N =
; log a b =
log c a

log b a
3/. Đồ thị :
(a> 1)

y

y

( 0 < a < 1)

1
0

1
x

0

x

4/. Phương trình Logarit :
log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x)
( f(x) hoaëc g(x) > 0 , 0 < a ≠ 1 )
5/. Bất phương trình Logarit :
log a f ( x) < log a g ( x)
(*)
 f ( x) > 0
a >1
(*) ←→


 f ( x) < g ( x)
 g ( x) > 0
0< a
(*) ← <1→

 f ( x) > g ( x)

NHỚ 19 :
ĐẠO HÀM
I/. Định nghóa đạo hàm :
Cho hàm số y = f(x) , xác định trên ( a, b) , x0 ∈ ( a, b). Ta noùi f(x) có đạo hàm tại x0 nếu giới
∆y
khi ∆x → 0 tồn tại.
hạn
∆x
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
∆y
f ' ( x 0 ) = lim
= lim
∆ x → 0 ∆x
∆x → 0
∆x
∆y
−
∗ Đạo hàm bên trái :
( tồn tại )
f ' ( x 0 ) = lim−
∆ x → 0 ∆x
∆y
+

∗ Đạo hàm bên phải :
( tồn tại )
f ' ( x 0 ) = lim+
∆ x → 0 ∆x
Cho y = f(x) xaùc định trên (a, b)
y = f(x) có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) ⇔ f ‘(x0+) = f ’(x0–)
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 13


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

II/. Qui tắc tính đạo hàm :
1/. (a + b + ..... + c) ' = a ' + b ' + ....... + c '
2/. (ab) ' = a ' .b + a.b '
(abc) ' = a ' .b.c + a.b ' .c + a.b.c '
'

'
'
 a  a b − ab
( b ≠ 0)
3/.   =
b2
b
(cu ) ' = c.u ' (c ∈ R )
'

u'
1
  =− 2
u
u
III/. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :
Hàm số
Đạo hàm
TT
y=c
y’ = 0
1
y’ = 1
2 y=x
y = xα
y ' = α .x α −1
3
y = uα
y ' = α .u α −1 .u '
1
1
y=
y' = − 2
x
x
1
y= x
y' =
4

2 x
u'
y= u
y' =
2 u
'
y = Sinx
y = Cosx
5
y = Sinu
y ' = u ' .Cosu

6

7

y = Cosx
y = Cosu
y = Tanx
y = Tanu

8

y = Cotx
y = Cotu

9

y = arcSinx

10

y = arcCosx

11

y = arcTanx

y ' = − Sinx
y ' = −u ' .Sinu
1
y' =
Cos 2 x
u'
y' =
Cos 2 u
1
y' = −
Sin 2 x
u'
y' = −
Sin 2 u
1
y' =
1− x2
1
y' = −
1− x2
1
y' =

1+ x2

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 14


GV: VÕ QU C TRUNG
12
13
14

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

y = ax

1
1+ x2
y ' = a x Lna

y = au

y ' = u ' .a u .Lna

y = eu

y' = ex

y = arcCotx

y' = −

y = eu
y = Lnx

y ' = u 'eu
1
y' =
x
15
u'
y' =
y = Lnu
u
1
y = Ln x
y' =
x
16
u'
y = Ln u
y' =
u
1
y' =
17 y = log a x
xLna
NHỚ 20 :
ĐỊNH LÝ LAGRĂNG
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x =

c , c ∈ (a, b)
f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a)
NHỚ 21 :
BẢNG TÍCH PHÂN
1/. Công thức NewTon _ Leibnitz :
b

∫ f ( x)dx = [F ( x)]

b
a

= F (b) − F (a )

a

với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b}
2/. Tích phân từng phần :
b

b

∫ udv = [u.v] − ∫ vdu
b
a

a

a

với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
3/. Đổi cơ soá :
b

∫
a

β

f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )].ϕ ' (t )dt
α

với x = ϕ(t) là hàm số liên tục và có đạo hàm ϕ’(t) liên tục trên [a, b] , α ≤ t ≤ β
a = ϕ(α), b = ϕ(β), f[ϕ(t)] là hàm số liên tục trên [α,β ]
4/. Tính chất :
a)

b

∫
a

b)

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b

a

∫ f ( x)dx = 0
a

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 15


GV: VÕ QU C TRUNG
c)

b

∫
a

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

c

b

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a

c

b

b

b

a

a

d) ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
a
b

b

a

a

f) Nếu

m ≤ f(x) ≤ M thì

e)

∫ Kf ( x)dx = K ∫ f ( x)dx

,K ∈R

b

m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a )
a

5/. Bảng tích phân :
Công thức
TT
α +1
x
+ c (α ≠ −1)
1 ∫ x α dx =
α +1
1 (ax + b) α +1
+c
2 ∫ (ax + b)α dx = .
a
α +1
1
1
+ c (α ≠ 1)
3 ∫ α dx = −
x
(α − 1) x α −1
dx
1
=−
+c
4 ∫
α
(ax + b)
a (α − 1)(ax + b) α −1

dx
= Ln x + c
5 ∫
x
dx
1
= Ln ax + b + c
6 ∫
ax + b a
,K ∈R
7 ∫ Kdx = Kx + c
8

∫e

x

9

∫e

ax + b

10

(α ≠ 1)

ax
∫ a dx = Lna + c
∫ Sinxdx = −Cosx + c

11
12
13
14

dx = e x + c
dx =

1 ax + b
e
+c
a

x

1

∫ Sin(ax + b)dx = − a Cos(ax + b) + c
∫ Cosxdx = Sinx + c
1

∫ Cos(ax + b)dx = a Sin(ax + b) + c
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 16


GV: VÕ QU C TRUNG
dx

15

∫ Cos

16

∫ Sin

2

x

dx
2

x

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

= Tanx + c
= −Cotx + c

dx
= arcTanx + c
+1
dx
1
x
= arcTan + c

18 ∫ 2
2
a
a
x +a
dx
x−a
1
Ln
=
+c
19 ∫ 2
2
x+a
2a
x −a
1
a+x
dx
+c
=
Ln
20 ∫ 2
a−x
a − x 2 2a
x
dx
= arcSin + c
( a > 0)
21 ∫

a
a2 − x2
dx
= Ln x + x 2 + h + c
22 ∫ 2
x +h
x
a2
x
( a > 0)
a2 − x2 +
arcSin + c
23 ∫ a 2 − x 2 dx =
2
2
a
x
h
2
x 2 + h + Ln x + x 2 + h + c
24 ∫ x + h dx =
2
2
NHỚ 22 :
HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP
Pn = n!
1/. Hoán vị :
n!
C nK =
2/. Tổ hợp :

K !(n − K )!
K
n−K
Cn = Cn

17

∫x

2

n
0
Cn = Cn = 1

C nK−1 + C nK−−1 = C nK
1
0
1
n
C n + C n + ...... + C n = 2 n
n!
3/. Chỉnh hợp :
AnK =
(0 ≤ K ≤ n )
(n − K )!

NHỚ 23 :
SỐ PHỨC
1/. Phép tính :

∗ Cho
z = a + bi
z’ = a’ + b’i
z ± z’ = ( a ± a’) + ( b ± b’)i
z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i
∗
z = r.(Cosα + i.Sinα)
z’ = r’(Cosβ + i.Sinβ)
z, z’ ≠ 0
z.z’ = r.r’[Cos(α + β) + i.Sin(α + β)]
z r
= [Cos (α − β ) + iSin (α − β )]
z' r '
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 17


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

2/. MoaVrơ :
[r (Cosα + iSinα )]n = r n (Cosnα + iSinnα )
3/. Căn bậc n của số phức z = r.( Cosα + i.Sinα) :
α + K 2π
α + K 2π
Z K = n r (Cos
+ i.Sin
)

n
n
với K = 0, 1, 2,......, n – 1

NHỚ 24 :
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

→


→


→

M ( x, y ) ⇔ OM = xe1 + ye2
Cho
A( xA, yA )
B( xB, yB )

•
•


→

1). AB = ( x B − x A , y B − y A )
2). AB = ( x B − x A , y B − y A ) 2
x A + xB


x =

2
3). Tọa độ trung điểm I của AB : 
 y = y A + yB

2


4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :

•

x A − k .x B

x = 1 − k


 y = y A − k. y B

1− k


→

Phép toán : Cho

a = (a1 , a 2 )

→

b = (b1 , b2 )

→
→
a = b1
1). a = b ⇔  1
 a 2 = b2
→

→

2). a ± b = (a1 ± b1 , a 2 ± b2 )
→

3). m. a = (ma1 , ma 2 )
→→

4). a b = a1b1 + a 2 b2
→

5). a = a1 + a 2
→

2

2

→

6). a ⊥ b ⇔ a1b1 + a 2 b2 = 0

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 18


GV: VÕ QU C TRUNG
→ →
7). Cos a , b  =



T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2
a1b1 + a 2 b2

a1 + a 2 . b1 + b2
2

2

2

2

B. ĐƯỜNG THẲNG

 x = x0 + a1t
1/. Phương trình tham số : 

 y = y0 + a2t
Vectơ chỉ phương

→

a = (a1 , a 2 )

2/. Phương trình tổng quát :
•

Pháp vectơ

→

n = ( A, B )
→

y
→

a = (− B, A) ( hay a = ( B,− A) )
A
• Hệ số góc
( B ≠ 0)
K =−
B
3/. Phương trình pháp dạng :
C
B
A

=0
y+
x+
2
2
2
2
2
A + B2
A +B
A +B
4/. Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc K :
y − y0 = K ( x − x0 )
•

Vectơ chỉ phương

Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 ≠ 0)

0

x

5/. Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) và B(xB, yB) :
(x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA)
x − xA
y − yA
hay
=
xB − x A y B − y A

6/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn)
x y
+ =1
a b
→
x − x0 y − y 0


=
7/. Phương trình chính tắc :
 M ( x0 , y 0 ), a = (a, b) 
a
b


x − x0 y − y 0
=
⇔ x − x0 = 0
* Quy ước :
0
b
x − x0 y − y0
=
⇔ y − y0 = 0
a
0
8/. Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) :
x y
+ =1
a b

9/. Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0) đến Ax + By + C = 0 :
Ax0 + By 0 + C

A2 + B 2
10/. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : d1: A1x + B1y + C1 = 0
d2: A2x + B2y + C2 = 0
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 19


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

D=
Dx =
Dy =

A1

B1

A2 B2
− C1

B1

− C 2 B2
A1 − C1

A2 − C 2

* d1 caét d2 ⇔ D ≠ 0
D = 0
D = 0
hay 
* d 1 // d 2 ⇔ 
Dx ≠ 0
D y ≠ 0
* d1 ≡ d 2 ⇔ D = Dx = D y = 0
A2, B2, C2 ≠ 0
A
B
d1 caét d2 ⇔ 1 ≠ 1
A2 B2
A
B
C
d 1 // d 2 ⇔ 1 = 1 ≠ 1
A2 B2 C 2
A
B
C
d1 ≡ d 2 ⇔ 1 = 1 = 1
A2 B2 C 2

Chú ý :

11/. Góc của hai đường thẳng d1 và d2 :
Xác định bởi công thức :

Cosϕ =

A1 A2 + B1 B2
2
2
A12 + B12 A2 + B2

12/. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 :
A1 x + B1 y + C1
A x + B2 y + C 2
=± 2
2
2
A12 + B12
A2 + B2
*

Chú ý :

Phương trình đường phân
Phương trình đường phân
giác góc nhọn tạo bởi d1, d2 giác góc tù tạo bởi d1, d2
–
t1 = t2
t1 = – t2
+
t1 = – t2
t1 = t2
C. ĐƯỜNG TRÒN :

1/. Định nghóa : M ∈ (c) ⇔ OM = R
2/. Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R :
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2
Dạng 1 :
→ →

Dấu của n1 n 2

Daïng 2 :

x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0

Với R 2 = a 2 + b 2 − c ≥ 0
3/. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x0, y0)
(x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2
( Daïng 1)
( Daïng 2)
x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0
D. ELIP
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 20


GV: VÕ QU C TRUNG
PT chính tắc
Lý thuyết
Trục lớn, độ dài
Trục nhỏ, độ dài
Liên hệ a, b, c

Tiêu điểm
Đỉnh
Tâm sai
Đường chuẩn
Bán kính qua tiêu
Pt tiếp tuyến tại
M(x0 , y0)
Pt hình chữ nhật cơ
sở
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
E. HYPEBOL
PT chính tắc
Lý thuyết
Trục thực, độ dài
Trục ảo, độ dài
Liên hệ a, b, c
Tiêu điểm
Đỉnh
Tâm sai
Đường chuẩn
Tiệm cận

Bán kính qua tiêu

T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2
x2 y 2
+
=1
a 2 b2

(a 2 > b 2 )

x2 y 2
+
=1
a 2 b2
(a 2 < b 2 )

Ox, 2a
Oy, 2b
2
c = a 2 – b2
F1(– c, 0), F2( c, 0)
A1,2( ± a, 0)
B1,2(0, ± b)
c
e=
a
a
x=±
e
MF1 = a + ex
MF2 = a – ex
x0 x y0 y
+ 2 =1
a2
b
 x = ±a

 y = ±b

Oy, 2b
Ox, 2a
2
c = b2 – a 2
F1(0,– c), F2( 0, c)
A1,2( ± a, 0)
B1,2(0, ± b)
c
e=
b
b
y=±
e
MF1 = b + ey
MF2 = b – ey
x0 x y0 y
+ 2 =1
a2
b
 x = ±a

 y = ±b

A2a2 + B2b2 = C2

A2a2 + B2b2 = C2

x2 y2
−

=1
a 2 b2

y2 x2
−
=1
b2 a2

Ox, 2a
Oy, 2b
2
c = a 2 + b2
F1(– c, 0), F2( c, 0)
A1,2( ± a, 0)
c
e=
a
a
x=±
e
b
y=± x
a
M ∈ nhánh phải
MF1 = ex + a
MF2 = ex – a
M ∈ nhaùnh traùi
MF1 = – (ex + a)

Oy, 2b

Ox, 2a
2
c = a 2 + b2
F1(0,– c), F2( 0, c)
B1,2(0, ± b)
c
e=
b
b
y=±
e
b
y=± x
a
M ∈ nhánh phải
MF1 = ey + b
MF2 = ey – b
M ∈ nhaùnh traùi
MF1 = – (ey + b)

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 21


GV: VÕ QU C TRUNG
Pt tiếp tuyến tại
M(x0 , y0)
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0

F. PARAPOL
Pt chính tắc
Lý thuyết
Tiêu điểm
Đường chuẩn

T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2
MF2 = – (ex – a)
x0 x y0 y
− 2 =1
a2
b

MF2 = – (ey – b)
y0 y x0 x
− 2 =1
b2
a

A2a2 – B2b2 = C2

B2b2 – A2a2 = C2

y2 = 2px

y2 = – 2px

y2 = 2py

y2 = – 2py

p 
F  ,0
2 
p
x=−
2

 p 
F  − ,0
 2 
p
x=
2

 p
F  0, 
 2
p
y=−
2

p

F  0, − 
2

p
y=
2

Điều kiện tiếp xúc
B2p = 2AC
B2p = – 2AC
A2p = 2BC
A2p = – 2BC
với Ax + By + C = 0
NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

→

→

→

→

M ( x, y, z ) ⇔ OM = x e 1 + y e 2 + z e 3

•

→

•

→

→

→

→

a = (a1 , a2 , a3 ) ⇔ a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3

Cho A( x A , y A , z A ), B ( xB , yB , z B )

•

→

1). AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A )
2). AB = ( xB − xA ) 2 + ( yB − y A )2 + ( z B − z A )2

x A + xB

x = 2

y + yB

3). Tọa độ trung điểm I của AB :  y = A
2

z A + zB

z = 2


4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :

•

Phép toaùn : Cho

x A + kxB

x = 1− k

y A + kyB

y =
1− k

z A + kz B

z = 1− k


→

a = (a1 , a2 , a3 )

→

b = (b1 , b2 , b3 )

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 22

GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

a1 = b1

1). a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3
→

→

→

→

2). a ± b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 )
→

3). m a = (ma1 , ma2 , ma3 )
→→

4). a b = a1b1 + a2b2 + a3b3
→

2
2

5). a = a12 + a2 + a3
→

→

6). a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
a1b1 + a2b2 + a3b3
→ →
7). Cos  a , b  =
2
2
2


a12 + a2 + a3 . b12 + b2 + b32

8). Tích vô hướng của hai Vectơ
 → →   a2 a3 a3 a1 a1 a2 
 a, b  =  b b , b b , b b 


  2 3 3 1 1 2 

Điều kiện đồng phẳng :
→ → →
→ → →
a , b , c Đồng phaúng ⇔  a , b  c = 0


* Diện tích tam giác ABC : S =

→
→
1    
 AB , AC 
2 


B. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG :
 x = x0 + a1t1 + b1t2

1/. Phương trình tham số :  y = y0 + a2t1 + b2t2 , (t1 , t2∈ R )
z = z + a t + b t
0
3 1
3 2

Cặp Vectơ chỉ phương ( VCP)

→

→

a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 )

2/. Phương trình tổng quát :
Ax + By + Cz + D = 0
→

n = ( A, B, C ) Vectơ pháp tuyến ( VPT)

Đặc biệt :
• By + Cz + D = 0
song song trục ox
• Cz + d = 0
song song mặt phẳng oxy
• Ax + By + Cz = 0
qua gốc tọa độ
• By + Cz = 0
chứa trục ox
• z=0
mặt phẳng oxy
→

3/. Phương trình mặt phẳng qua M( x0, y0, z0) ,coù VPT n = ( A, B, C ) laø:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 23


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2

4/. Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn tên các trục tọa độ:

x y z
+ + =1
a b c

5/. Cho

α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
β: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
a/. Góc giữa 2 mặt phẳng : Tính bởi công thức :
A1 A2 + B1 B2 + C1C2
Cosϕ =
2
2
2
A12 + B12 + C12 . A2 + B2 + C2

b/. Vuoâng goùc : α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0
c/. Vị trí tương đối :
• α caét β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
A
B
C
D
• α ≡β ⇔ 1 = 1 = 1 = 1
A2 B2 C2 D2
A
B
C
D
• α // β ⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1
A2 B2 C2 D2
Với A2, B2, C2, D2 ≠ 0
d/. Phương trình của chùm mặt phẳng có dạng
m( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0

Với m2 + n2 ≠ 0 và α cắt β
C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:
 x = x0 + a1t

1/. Phương trình tham số :  y = y0 + a2t , t ∈ R
z = z + a t
0
3

Với

→

a = (a1 , a2 , a3 ) Vectơ chỉ phương

2/. Phương trình tổng quát :
 A x + B1 y + C1 z + D1 = 0
d : 1
 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Với
A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
A12 + B12 + C12 > 0
2
2
2
A2 + B2 + C2 > 0

→
→ → 

d có Vectơ chỉ phương là a =  n1 , n2 


3/. Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) là
x − xA
y − yA
z − zA
=
=
xB − x A y B − y A z B − z A

D. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1/. Hai đường thẳng :
d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ chỉ phương

→

a = (a1 , a2 , a3 )

- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 24


GV: VÕ QU C TRUNG

T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2
→

'

'
'
d ' qua N ( x0 , y0 , z0 ) có Vectơ chỉ phương

* d, d’ cùng nằm trong mặt phẳng

b = (b1 , b2 , b3 )

→
 → →  
⇔  a , b  . MN = 0



→
 → →  
* d cheùo d’ ⇔  a , b  . MN ≠ 0



* Góc giữa d và d’ là :

Cosϕ =

a1b1 + a2b2 + a3b3
2
2
2
a + a2 + a3 . b12 + b2 + b32
2

1

2/. Đường thẳng và mặt phẳng :
→

•

d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ chỉ phương a = (a1 , a2 , a3 )

•

mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến n = ( A, B, C )

→

→ →

⇔ a . n = 0
 Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0


* d // ( α )
* d caét ( α )

→ →

* d⊂α

⇔ a.n ≠ 0
→ →


⇔ a . n = 0
 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0


* d⊥α

⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C

* Góc của đường và mặt phẳng : được tính bởi công thức
a1 A + a2 B + a3C
Sinϕ =
2
2
a12 + a2 + a3 . A2 + B 2 + C 2
E. KHOẢNG CÁCH :
1/. Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0, z0) đến Ax + By + Cz + D = 0
Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2
2/. Khoảng cách từ một điểm N(x’0, y’0, z’0) đến một đường thẳng d qua

M(x0, y0, z0) và

→

có VCP là a = (a1 , a2 , a3 ) laø :
→
  → 
 MN , a 



→

a

3/. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau d và d’ :

→
 → →  
a , b  MN



→ →


 a, b 



- Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ

- 25