Tiểu luận xác suất thống kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP. HỒ CHÍ MINH
BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Tên học phần: Lý thuyết xác suất và thống kê toán
Thời hạn nộp bài: Ngày 1/9/2021 lúc 11h (Không được nộp trễ)
NỘI DUNG YÊU CẦU:

Câu 1. (2 điểm) Hãy trình bày sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau:
-Các công thức xác suất cơ bản (công thức cộng, công thức nhân, công
thức Bernulli, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes).
- Biến ngẫu nhiên liên tục và các đặc trưng của nó.
- Phân phối nhị thức.
Câu 2. (3 điểm) Hãy nêu 10 bài tập cho các nội dung ở câu 1, có tính tốn và giải chi
tiết.
Câu 3. (2 điểm) Hãy trình bày sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau:
-

Kiểm định trung bình trên một tổng thể.

-

Kiểm định tỉ lệ trên một tổng thể.

Câu 4. (3 điểm) Hãy nêu 10 bài tập cho các nội dung ở câu 3, có tính tốn và giải chi
tiết.


TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP. HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Môn thi: Lý thuyết Xác suất Thống kê

Họ và tên sinh viên: Nguyễn Lê Tuấn Hùng
MSSV: 030836200057

Lớp học phần: D01

Số thứ tự: 17

THÔNG TIN BÀI THI
Bài thi có: (bằng số): …24… trang
(bằng chữ): …hai mươi bốn… trang

YÊU CẦU

BÀI LÀM


MỞ ĐẦU
Xác suất thống kê hiện nay xuất hiện nhiều trong đời sống xã hội, nó gắn
liền với nhiều mơn khoa học như tốn học, hóa học, lý học và đặc biệt
trong kinh tế học... Cả thống kê và xác suất đều là một nhánh của toán
học.
Trong thực tế ta thường gặp vấn đề: phải kiểm tra xem 1 điều gì đó đúng
hay sai, nội dung thơng tin mà ta nhận được từ các nguồn cung cấp (1
người, 1 cơ quan, 1 tờ báo, 1 tổ chức...) có đáng tin cậy không. Công việc
kiểm tra lại nội dung thông tin mà ta nhận được xem có đáng tin cậy
khơng ta sẽ dùng đến thống kê. Để giải các bài toán thống kê, ta có các
ước lượng và kiểm định như ước lượng điểm, ước lượng khoảng cho tỷ lê,
ước lượng khoảng cho giá trị trung bình, kiểm định trung bình, kiểm định
tỷ lệ và kiểm định phương sai.

Ta thấy xác suất xuất hiện rất nhiều ở xung quanh ta như chơi xúc xắc
hay cá ngựa ...(chủ yếu là trong cờ bạc). Ví dụ như trong xúc xắc khi ta
tung, thì ta không biết được mặt nào sẽ xuất hiện, lúc thì mặt một chấm
hay lúc xuất hiện mặt hai chấm ... Và khả năng xảy ra một trong sáu mặt
là như nhau. Lý thuyết xác suất cũng được sử dụng để mô tả cơ học và
quy luật cơ bản của hệ thống phức tạp. Để giải các bài toán xác xuất, ta
có các cơng thức giúp ta giải bài tốn như công thức bù, công thức cộng,
công thức xác suất có điều kiện, cơng thức xác suất đầy đủ, cơng thức
Bayes, công thức Bernoulli, phân phối nhị thức và phân phối chuẩn.
Cảm ơn GV. Nguyễn Huy Thao đã hướng dẫn em hồn thành bài tiểu luận
này, nếu có sai sót mong thầy sẽ góp ý để các bài tiểu luận sau sẽ tốt
hơn.


 Câu 1
1.1. Công thức cộng xác suất
1.1.1. Công thức cộng cho trường hợp các biến cố tùy ý
a. Định lý
Cho A và B là hai biến cố không xung khắc, ta có xác suất tổng của hai biến cố được xác
định theo định lý:
Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng các suất của chúng trừ đi xác suất của tích các biến
cố ấy
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Trong đó:
P(A + B) là xác suất của tổng hai biến cố
P(A) là xác suất biến cố A xảy ra
P(B) là xác suất biến cố B xảy ra
P(AB) là xác suất cả A và B xảy ra
b. Mở rộng
Cho hệ biến cố {A1, A2,…An}, ta có cơng thức cộng xác suất được xác định

P(A1 + A2 +…+ An) = – + –…+ (–1)n–1 P(A1A2…An)
c. Hệ quả
Nếu A và là hai biến cố độc lập, với nhau thì P(A) = 1 – P(
1.1.2. Công thức cộng cho trường hợp các biến cố xung khắc
a. Định lý
Cho A và B là hai biến cố xung khắc, ta có xác suất tổng của hai biến cố được xác định theo
định lý:

2


Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng các suất của chúng
P(A + B) = P(A) + P(B)
b. Mở rộng
Cho hệ biến cố {A1, A2,…An}, ta có cơng thức cộng xác suất được xác định
P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)
1.2. Công thức xác suất có điều kiện
a. Định nghĩa
Cho A và B là hai biến cố tùy ý, xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B
đã xảy ra, kí hiệu P(A/B) được xác định
P(A/B) =
Trong đó:
P(A/B) là xác suất có điều kiện của biến cố A với biến cố B đã xảy ra
P(AB) là xác suất cả A và B xảy ra
P(B) là xác suất biến cố B xảy ra
b. Mở rộng
Cho hệ biến cố{A1, A2,…An} và biến cố B tùy ý, ta có
P(A1, A2,…An) = P(A1) × P(A2/A1) × P(A3/A2A1) × P(An/A1A2…An-1)
c. Lưu ý


P(AB) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)



Khi biến cố A và B độc lập thì

→

P(AB) = P(A) × P(B/A) = P(A) × P(B)

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu A hoặc B xảy ra không ảnh hưởng đến cái
còn lại
3


1.3. Cơng thức Bernoulli
Cơng thức Bernoulli cho phép ta tính xác suất xuất hiện k lần của một biến cố A bất kì trong
n lần thử với mỗi lần thử xác suất để xuất hiện biến cố A là như nhau và bằng p cho trước và
(q = 1 – p) là xác suất biến cố A không xuất hiện trong mỗi lần thử.
Ta có cơng thức Bernoulli được biểu diễn
= × ×
1.4. Cơng thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
1.4.1. Công thức xác suất đầy đủ
a. Định nghĩa về nhóm biến cố đầy đủ
Cho một nhóm gồm n biến cố bất kì {H1, H2,…Hn} được gọi là nhóm biến cố đầy đủ

b. Cơng thức xác suất đầy đủ
Cho {H1, H2,…Hn} là một nhóm biến cố đầy đủ. Giả sử A là một biến cố bất kì có thể xảy ra
đồng thời với một trong các biến cố Hi (i=1,…,n), ta có cơng thức xác suất đầy đủ

P(A) = P(H1) × P(A/H1) + P(H2) × P(A/H2) +…+ P(Hn) × P(A/Hn)
1.4.3. Cơng thức Bayes
Giả sử ta có một nhóm đầy đủ {H1, H2,…Hn} sau đó có thêm sự kiện A nào
đó. Đơi khi ta muốn xác định xác suất P(Hi/A), i là một số nào đó trong {1,
2, ..., n}. Ta có thể xác định P(Hi/A) thơng qua cơng thức Bayes
P(Hi/A) = =
Như vậy công thức Bayes cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra H i sau khi
có thêm thơng tin về A
1.5. Biến ngẫu nhiên liên tục và đặc trưng của nó

4


1.5.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên là một quy tắc cho tương ứng một biến cố với một số thực bất kì. Kí hiệu X,
Y, Z,…
1.5.2. Biến ngẫu nhiên liên tục
 Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, vì giá trị được ghi nhận là vơ hạn trải dài trên trục
giá trị vậy xác suất của biến ngẫu nhiên sẽ được biểu diễn thông qua hàm mật độ xác
suất. Hàm mật độ xác suất cho biết xác suất ứng với các giá trị của biến ngẫu nhiên.
 Các tính chất (điều kiện) của hàm mật độ xác suất


=1



f(x) 0 x



P{aXb} =



Lưu ý: Với X là biến ngẫu nhiên liên tục thì

(điều kiện này cho phép ta tính được xác suất)

P{aX1.5.3. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên liên tục
a. Kỳ vọng (EX)
 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục được xác định thông qua công thức liên quan
đến hàm mật độ xác suất
EX =
 Các tính chất của kỳ vọng


E(C) = C



E(CX) = CE(X)



E(X+Y) = EX + EY

b. Phương sai
5

 Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục được xác định thông qua công thức liên quan
đến hàm mật độ xác suất

5


Var(X) = VX = EX2 – E(X)2
Var(X) = – ()2
 Các tính chất của kỳ vọng


Var(C) = 0



Var(CX) = C2Var(X)



Var(XY) = Var(X) + Var(Y) (với X, Y là hai biến cố độc lập)



Var(C+X) = Var(X)

c. Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX (X) =

d. Trung vị (Median)

MedX = xe  Fx(xe) =



e. Mode
ModX = x0  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại
1.6. Phân phối nhị thức
Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số p được kí hiệu là
X B(n;p) nếu X nhận một trong các giá trị 0,1,…,n với xác suất được xác định theo công
thức Bernoulli
= × × (với x=0,1,…n)
Các đặc trưng của phân phối nhị thức


EX = np



Var(X) = np(1 – p)



Mod(X): (n + 1)p – 1 m0 (n+1)p

6


 Câu 2

Bài tập 1. Một công ty vận tải xuất nhập khẩu cần tuyển nhân viên mới trong số 10 ứng viên
gồm 1 sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, 4 sinh viên tốt nghiệp loại khá và 5 sinh viên tốt nghiệp
loại trung bình của khoa Kinh Tế Quốc Tế trường Đại Học Ngân Hàng. Xác suất để mỗi sinh
viên tốt nghiệp loại giỏi, khá, trung bình được tuyển lần lượt là 0,9 ; 0,7 ; 0,5. Biết rằng cơng
ty chỉ tuyển được đúng 1 nhân viên mới. Tính xác suất để nhân viên mới đó là sinh viên tốt
nghiệp loại khá.
Giải
Gọi
A: “công ty chỉ tuyển 1 người”
B: “gặp nhân viên được tuyển là loại khá”
Yêu cầu bài toán → Cần tìm P(B/A)
Ta có P(AB) = (1 – 0,9) 0,7 = 0,00023625
P(A) = 0,9 + (1 – 0,9) 0,7 + (1 – 0,9) = 0,00059
P(B/A) = = = 0,4
Bài tập 2. Cho biến ngẫu nhiên liên tục Y có hàm mật độ
f(x) =

a. Tính P(X3)
b. Tìm a sao cho P(Xa) = 0,1
Giải
a. Ta có P(X3) = 1 – P(X<3) = 1 – = 1 – 0,95 = 0,05

b. Ta có P(Xa) = 0,1 → = 0,1 → 1 – = 0,1 → a = 0,105

7


Bài tập 3. Một tiệm chuyên về các sản phẩm máy ảnh kinh doanh 4 loại nhãn hiệu chính là
Canon, Nikon, Sony và Fujifilm. Trong cơ cấu hàng bán, Canon chiếm 55%, Nikon chiếm
25%, Sony chiếm 15% và còn lại là Fujifilm. Khi mua bán, cửa hàng cam kết với khách hàng

rằng cả 4 nhãn hiệu camera khi bán ra đều được bảo hành trong thời hạn 12 tháng. Sau một
thời gian hoạt động, chủ cửa hàng đã khảo sát trên toàn bộ sản phẩm kinh doanh và cho ra
kết quả rằng có 3% máy Canon phải sửa chữa; con số này của 3 hãng còn lại lần lượt là 4%,
6% và 7%.
a. Giả sử có khách hàng mua một máy ảnh, tính xác suất chiếc máy ảnh của người đó
phải đem đi sửa trong thời hạn 12 tháng?
b. Có một khách hàng mua chiếc máy ảnh chỉ mới 5 tháng nhưng phải đem đi sửa do
gặp vấn đề kỹ thuật, hỏi xác suất mà chiếc máy ảnh này là của hãng Sony?
Giải
a. Gọi
H1: “gặp máy mua phải là hãng Canon”
H2: “gặp máy mua phải là hãng Nikon”
H3: “gặp máy mua phải là hãng Sony”
H4: “gặp máy mua phải là hãng Fujifilm”
Ta có {H1, H2, H3, H4} tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ
Gọi A: “mua gặp máy phải bảo hành trong thời hạn”
P(A) = P(A/H1) P(H1) + P(A/H2) P(H2) + P(A/H3) P(H3) + P(A/H4) P(H4)
P(A) = 0,03 0,55 + 0,04 0,25 + 0,06 0,15 + 0,07 0,05 = 0,039
b. u cầu bài tốn → Cần tìm P(H3/A)
P(H3/A) = = = 0,23
Vậy 23% là tỷ lệ máy ảnh Sony cần phải bảo hành trên tổng số máy cần phải bảo hành

8


Bài tập 4. Giả sử tuổi thọ của một loài bọ cánh cam là một biến ngẫu nhiên liên tục X
(tháng) có hàm mật độ
f(x) =
a. Tìm k
b. Tìm xác suất sao cho con bọ cánh cam chết trước một tháng tuổi

Giải
a. Ta có = = 1
→k=
b. Gọi A: “gặp con bọ cánh cam chết trước một tháng tuổi”
Yêu cầu bài tốn → cần tìm P(A) = P(X<1) = F(1) = – = 0,0508
Bài tập 5. Cho một mơ hình đơn giản về chứng khoán. Trong mỗi phiên giao dịch, xác suất
giá tăng lên một đơn vị là 0,4. Sự thay đổi giá của các phiên giao dịch là độc lập. Tính xác
suất để sau 3 phiên giao dịch liên tiếp giá tăng lên một đơn vị?
Giải
Xác suất để sau 3 phiên giao dịch liên tiếp giá tăng lên một đơn vị:
= 0,288
Bài tập 6. Giả sử có 3 máy bay phóng tên lửa vào 1 mục tiêu cho sẵn. Với mỗi máy bay
được phóng 1 tên lửa thì xác suất trúng mục tiêu của mỗi máy bay lần lượt là 0,7; 0,8; 0,9.
Việc phòng tên lửa trúng mục tiêu của mỗi máy bay là độc lập với nhau. Hãy tính xác suất để
mục tiêu bị tiêu diệt, biết rằng mục tiêu bị tiêu diệt khi bị tên lửa bắn trúng?
Giải
Để mục tiêu bị tiêu diệt thì phải có ít nhất 1 tên lửa bắn trúng mục tiêu
Xác suất để máy bay thứ nhất bắn trượt: 1 – 0,7 = 0,3

9


Xác suất để máy bay thứ hai bắn trượt: 1 – 0,8 = 0,2
Xác suất để máy bay thứ ba bắn trượt: 1 – 0,9 = 0,1
Xác suất để cả ba lần bắn tên lửa của ba máy bay đều trượt: 0,3 0,2 0,1 = 0,006
Xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt: 1 – 0,006 = 0,994.
Bài tập 7. Cho một phân phối nhị thức X N(3; ). Xác định các đặc trưng của phân phối nhị
thức trên?
Giải





EX = np = 3 = 0,5
Var(X) = np(p–1) = 3 = 0,4167
Mode: Ta có (n + 1)p – 1 m0 (n+1)p
→ (3 + 1) × – 1 modX (3 + 1) ×
→ modX
→ modX = 0

Bài tập 8. Vào dịp sinh nhật của mình, một bé gái được người dì tặng cho một hộp đất nặn,
trong đó có 7 cục đất nặn màu và 3 cục đất nặn màu đen. Bé gái sau đó đã cho mẹ 2 cục đất
nặn và cho bố 1 cục. Hỏi xác suất bé gái còn lại
a.
b.
c.
d.
e.

Toàn cục đất nặn màu
2 cục đất nặn màu đen
1 cục đất nặn màu đen
Ít nhất 1 cục đất nặn màu đen
Không quá 1 cục đất nặn màu đen

Giải
a. Xác suất để cịn lại tồn cục đất nặn màu: = 0,0083

10

b. Xác suất để còn lại 2 cục đất nặn màu đen: + = 0,525
c. Xác suất để còn lại 1 cục đất nặn màu đen: + = 0,175
d. Xác suất để cịn lại ít nhất 1 cục đất nặn màu đen: 1 – = 0,9917
e. Xác suất để còn không quá 1 cục đất nặn màu đen: + + = 0,1833
Bài tập 9. Giả sử Hoàng Xuân Vinh trong một buổi tập luyện trước thềm Olympic được ghi
nhận xác suất bắn trúng bia là 0,8. Giả sử
a. Bắn 3 phát đạn liên tục. Tính xác suất có ít nhất 1 lần bắn trúng bia?
b. Hỏi cần phải bắn ít nhất bao nhiêu lần để xác suất bắn ít nhất một lần trúng bia nhận được
lớn hơn hoặc bằng 0,9?
Giải
a. Gọi Y là số viên đạn trúng bia của Hoàng Xuân Vinh trong 3 nhát bán. Ta có Y B(n;p) với
n = 3 và p = 0,8.
Yêu cầu bài toán → cần tìm P(Y1) = 1 – P(Y=0) = 1 – = 0,992
b. Gọi n là số lần bắn ít nhất một lần trúng bia nhận để xác suất nhận được lớn hơn hoặc
bằng 0,9
Do Y B(n;p) với p = 0,8, xác suất để có ít nhất một lần bắn trúng trong n nhát bắn là
P(Y1) = 1 – P(Y=0) = 1 – = 1 –
Yêu cầu bài toán → 1 – 0,9
Yêu cầu bài toán → 0,1
Yêu cầu bài toán → ln(0,1) n ln(0,2)
Yêu cầu bài toán → ln(0,1) n ln(0,2)

11


Yêu cầu bài toán → n = 1,43
Như vậy để có xác suất có ít nhất một lần trúng bia lớn hơn hoặc bằng 0,9, Hoàng Xuân Vinh
cần phải bắn ít nhất 2 phát đạn.
Bài tập 10. Giả sử có một cặp vợ chồng sinh đơi. Sinh đơi có thể do cùng trứng gọi là sinh

đơi thật, cịn sinh đơi do hai trứng khác nhau được gọi là sinh đôi giả. Đối với sinh đơi thật
thì giới tính ln giống nhau. Cịn với sinh đơi giả thì giới tính của mỗi em bé là độc lập và
có xác suất bằng 0,5. Người ta thống kê được rằng, tồn tại 34% cặp sinh đôi là nam; 30% cặp
sinh đôi là nữ và có tới 36% cặp sinh đơi có giới tính khác nhau
a. Hãy tìm tỷ lệ cặp sinh đơi thật?
b. Hãy tính tỷ lệ cặp sinh đơi thật trong số các cặp sinh đơi có cùng giới tính?
Giải
a. Gọi
A: “gặp cặp sinh đôi thật”
B: “gặp cặp sinh đôi cùng giới tính”
Theo giả thiết bài tốn → P(B/A) = 1; P(/) = 0,5
P(B) = 0,3 + 0,34 = 0,64 → P() = 0,36
Ta có P(B) = P(B/A) P(A) + P(B/) P()
P(B) = P(B/A) P(A) + P(B/) [1 – P(A)]
P(B) = P(B/) + [P(B/A) – P(B/)] P(A) = 0,64 (1)
Yêu cầu bài tốn → cần tìm P(A)
Từ (1) → P(A) = = = 0,28
b. u cầu bài tốn → cần tìm P(A/B)
P(A/B) = = = 0,4375

12


 Câu 3
3.1. Kiểm định trung bình trên một tổng thể
Giả sử cho một tổng thể (n: phần tử) được phân chia ngẫu nhiên thành hai loại:



Có tính chất A

Khơng có tính chất A

Gọi là trung bình đối tượng có tính chất A trong tổng thể. Có ý kiến cho rằng trung bình
phần tử có tính chất A trên tổng thể là 0. Với mức ý nghĩa việc cần làm là kiểm định lại ý
kiến đó?
 Ta có trung bình mẫu tuân theo phân phối chuẩn
N () Ta có N (0;1)
 Các trường hợp giả thiết cần kiểm định
hoặc
hoặc
( đã biết)
Trường hợp 1: Với phương sai của tổng thể đã biết
 Ta có tiêu chuẩn kiểm định được xác định bằng
=
 Để xác định miền bác bỏ w ta cần xác định các trường hợp giả thiết kiểm định:
 Với , ta có miền bác bỏ w = ( (
 Với , ta có miền bác bỏ w = (
 Với , ta có miền bác bỏ w = (
Trường hợp 2: Với phương sai của tổng thể chưa biết (n Thay thế bằng s
 Ta có tiêu chuẩn kiểm định được xác định bằng

13


=
 Để xác định miền bác bỏ w ta cần xác định các trường hợp giả thiết kiểm định:
 Với , ta có miền bác bỏ w = ( (
 Với , ta có miền bác bỏ w = (
 Với , ta có miền bác bỏ w = (
Trường hợp 3: Với phương sai của tổng thể chưa biết (n Thay thế bởi

và bởi
 Ta có tiêu chuẩn kiểm định được xác định bằng T

=
 Để xác định miền bác bỏ w ta cần xác định các trường hợp giả thiết kiểm định:
 Với , ta có miền bác bỏ w = ( (
 Với , ta có miền bác bỏ w = (
 Với , ta có miền bác bỏ w = (

Kết luận: Nếu thỏa điều kiện bác bỏ giả thuyết H 0 thì bác bỏ giả thuyết H0, chấp nhận
đối thuyết H1. Ngược lại chấp nhận giả thuyết H0.
3.2. Kiểm định tỷ lệ trên một tổng thể
Giả sử cho một tổng thể (n: phần tử) được phân chia ngẫu nhiên thành hai loại:



Có tính chất A
Khơng có tính chất A

14


Gọi p là trung bình đối tượng có tính chất A trong tổng thể. Có ý kiến cho rằng trung bình
phần tử có tính chất A trên tổng thể là p0. Với mức ý nghĩa việc cần làm là kiểm định lại ý
kiến đó?
 Ta có trung bình mẫu f tuân theo phân phối chuẩn
N () Ta có N (0;1) (Với q = 1 – p)
 Các trường hợp giả thiết cần kiểm định
hoặc

hoặc

( đã biết)

 Ta có tiêu chuẩn kiểm định được xác định bằng
=
 Để xác định miền bác bỏ w ta cần xác định các trường hợp giả thiết kiểm định:
 Với , ta có miền bác bỏ w = ( (
 Với ta có miền bác bỏ w = (
 Với , ta có miền bác bỏ w = (
Kết luận: Nếu thỏa điều kiện bác bỏ giả thuyết H 0 thì bác bỏ giả thuyết H0, chấp nhận đối
thuyết H1. Ngược lại chấp nhận giả thuyết H0.
 Câu 4
Bài tập 1. Một bao gạo có trọng lượng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng
lượng trung bình là 50kg. Nghi ngờ máy đóng gói làm việc khơng bình thường làm trọng
lượng bao gạo giảm sút nên đã tiến hành kiểm tra 25 sản phẩm và thu được số liệu được mô
ta qua bảng số liệu sau

15


Trọng
lượng (kg)
Số sản
phẩm

48

48,5

49

49,5

50

51

2

3

8

5

3

4

Với mức ý nghĩa 2,5%, hãy kiểm định tính xác thực của nghi ngờ trên?
Giải
 Các đặc trưng của mẫu xác định từ bảng
 n = 25
 = 49,4
 = 0,89
 Xác định giả thiết và đối thiết
 H0: = 50
 H1: < 50
 Mức ý nghĩa = 2,5% → = = 2,06

→ Miền bác bỏ w = (–; –2,06)
 Tiêu chuẩn kiểm định
= = = –3,37
 Kết luận: w, bác bỏ H0, chấp nhận H1, tức là với mức ý nghĩa 2,5% thì nghi ngờ rằng
máy đóng gói làm việc khơng bình thường làm giảm trọng lượng trung bình của bao
gạo là đúng
Bài tập 2. Tại nhà máy Samsung đặt tại Khu Công Nghệ Cao Quận 9, TPHCM, người ta ghi
nhận rằng tỷ lệ điện thoại đạt loại A là 45%. Sau khi áp dụng các công nghệ mới vào việc sản
xuất cũng như các con chip cao cấp hơn, người ta lấy 400 sản phẩm ra để kiểm tra và ghi
nhận được 215 sản phẩm loại A. Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận rằng việc áp dụng
cơng nghệ mới vào có làm tăng tỷ lệ điện thoại loại A hay không?

16


Giải
 Các đặc trưng của mẫu:
 n = 400
 f = = 0,5375
 Xác định giả thiết và đối thiết
 H0: = 0,45
 H1: > 0,45
 Mức ý nghĩa = 5% → = 1,65
→ Miền bác bỏ w = (1,65; +)
 Tiêu chuẩn kiểm định
= = = 3,518
 Kết luận: w, bác bỏ H 0, chấp nhận H1, tức là với mức ý nghĩa 5% thì có thể khẳng
định việc áp dụng công nghệ mới đã đem lại hiệu quả khi làm tăng tỷ lệ điện thoại
loại A.
Bài tập 3. Tại một công ty, trong một dây chuyền sản xuất, người ta sử dụng một máy khoan

để khoan lỗ trên bản thép. Các lỗ được khoan khi máy hoạt động bình thường sẽ tuân theo
một phân phối chuẩn với đường kính lỗ trung bình là 10mm. Tuy nhiên, có nhiều ý kiến cho
rằng máy hoạt động không giống như số liệu đã cho và người ta nói ra rằng trên 9 lỗ khoan
chỉ cho ra đường kính trung bình là 9,5mm với s = 0,485 nên họ kết luận chất lượng máy
khoan đã xuống cấp. Với mức ý nghĩa = 5%, hãy kiểm định ý kiến trên?
Giải
 Các đặc trưng của mẫu:
 n=9
 = 9,5
 = 0,485
 Xác định giả thiết và đối thiết

17


 H0: = 10
 H1: < 10
 Mức ý nghĩa = 5% → = = 1,86
→ Miền bác bỏ w = (–; –1,86)
 Tiêu chuẩn kiểm định
= = = –3,09
 Kết luận: w, bác bỏ H 0, chấp nhận H1, tức là với mức ý nghĩa 5% thì chất lượng máy
khoan đã có sự thay đổi, cụ thể là xuống cấp.
Bài tập 4. Để kiểm tra một kho bảo quản hạt giống đảm báo kỹ thuật hay chưa để cấp chứng
chỉ, các nhà kiểm sát chọn ra 700 hạt ngẫu nhiên đem gieo thì thấy có 437 hạt nảy mầm. Để
có thể có được chứng chỉ địi hỏi tỷ lệ hạt nảy mầm kho bảo quản hạt giống phải dưới 65%.
Với mức ý nghĩa = 5%, hãy kiểm định kho này đã đủ điều kiện để cấp chứng chỉ hay chưa?
Giải
 Các đặc trưng của mẫu:
 n = 700

 f = = 0,624
 Xác định giả thiết và đối thiết
 H0: = 0,65
 H1: < 0,65
 Mức ý nghĩa = 5% → = 1,65
→ Miền bác bỏ w = (–; –1,65)
 Tiêu chuẩn kiểm định
= = = –1,44
 Kết luận: w, chấp nhận H 0, tức là với mức ý nghĩa 5% thì ta chưa thể kết luận kho
bảo quản hạt giống có vấn đề.

18


Bài tập 5. Công ty Trách Nhiệm Hữu Hạn Một Thành Viên Phương Nam chuyên về sản xuất
bóng đèn cho các hộ dân trong tỉnh dự định sẽ sản xuất một loại bóng đèn mới có tuổi thọ
trung bình là một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với = 3000 giờ. Nếu thời gian
dùng dài hơn, công ty sẽ chịu một chi phí lớn hơn dự tính ban đầu; cịn nếu thời gian dùng
ngắn hơn thì cơng ty phải chấp nhận việc mất khách hàng. Để kiểm tra quy trình diễn ra
đúng như kế hoạch hay khơng, cơng ty sẽ chọn ra 64 bóng đèn ngẫu nhiên đốt thử và thấy
tuổi thọ trung bình các bóng đèn là 2873 giờ với độ lệch chuẩn là 121 giờ. Với mức ý nghĩa
= 5%, hãy cho kết luận về quy trình sản xuất này?
Giải
 Các đặc trưng của mẫu:
 n = 64
 = 2873
 = 121
 Xác định giả thiết và đối thiết
 H0: = 3000
 H1: 3000

 Mức ý nghĩa = 5% → = 1,96
→ Miền bác bỏ w = (–; –1,96) (1,96; +)
 Tiêu chuẩn kiểm định
= = = –8,4
 Kết luận: w, bác bỏ H0, chấp nhận H1, tức là với mức ý nghĩa 5% thì chưa thể khẳng
định quy trình diễn ra theo đúng như kế hoạch, mong đợi ban đầu.
Bài tập 6. Một công ty A mới đây đã thực hiện khảo sát về việc khách hàng có quay trở lại
sử dụng dịch vụ của công ty hay không. Kết quả thu được là 60% tỷ lệ khách hàng đã sử
dụng lại dịch vụ của cơng ty. Tuy nhiên, trong một cuộc họp, phó ban phụ trách khảo sát lại
cho rằng tỷ lệ này đã giảm do chính sách chăm sóc khách hàng của cơng ty không được tốt.
Khi theo

19


dõi khoảng 300 khách hàng thì ghi nhận có khoảng 167 khách hàng trở lại sử dụng dịch vụ
công ty. Hãy kiểm định ý kiến trên với mức ý nghĩa = 2,5%
Giải
 Các đặc trưng của mẫu:
 n = 300
 f = = 0,556
 Xác định giả thiết và đối thiết
 H0: = 0,6
 H1: < 0,6
 Mức ý nghĩa = 2,5% → = 1,96
→ Miền bác bỏ w = (–; –1,96)
 Tiêu chuẩn kiểm định
= = = –1,55
 Kết luận: w, chấp nhận H0, tức là với mức ý nghĩa 5% thì ta chưa thể kết luận số
lượng khách hàng quay lại sử dụng dịch vụ của công ty thực sự giảm

Bài tập 7. Một cuộc khảo sát mới đây được thực hiện nhằm thu thập số liệu về doanh thu
(triệu đồng) hàng tháng của khoảng 100 hộ kinh doanh.
Doanh
thu
Số hộ

80

85

90

95

100

105

110

115

2

3

8

15

25

34

8

5

Số liệu năm ngoái ghi nhận tỷ lệ doanh thu dưới 100 triệu là 30%. Có ý kiến cho rằng năm
nay tỷ lệ này đã giảm. Hãy kiểm định ý kiến trên với mức ý nghĩa = 3%
Giải
 Các đặc trưng của mẫu:

20








 n = 100
 f = = 0,28
Xác định giả thiết và đối thiết
 H0: = 0,3
 H1: < 0,3
Mức ý nghĩa = 3% → = 1,88
→ Miền bác bỏ w = (–; –1,88)
Tiêu chuẩn kiểm định

= = = –0,44
Kết luận: w, chấp nhận H0, tức là với mức ý nghĩa 5% thì ta chưa thể kết luận tỷ lệ
doanh thu dưới 10 triệu năm nay thấp hơn năm ngoái.

Bài tập 8. Một trại nuôi vịt hiện sở hữu một giống vịt mới với trọng lượng tuân theo phân
phối chuẩn có trọng lượng trung bình là 2,8kg/con. Gần đây, người ta lai giống vịt này với
giống vịt khác nhiều nạc hơn. Sau khi lai, chọn ngẫu nhiên trong 25 con cân thử người ta thu
được số liệu trung bình là 3,2kg và độ lệch chuẩn của mẫu là 0,5kg.
a. Với mức ý nghĩa = 5%, hãy kiểm định xem việc lai giống vịt đó có làm tăng trọng
lượng trung bình của đàn vịt hay không?
b. Nếu trang trại báo cáo trọng lượng trung bình khi xuất chuồng là 3,3kg/con thì có
chấp nhận được hay khơng? ( = 5%)
Giải
a.
 Các đặc trưng của mẫu:
 n = 25
 = 3,2
 = 0,5
 Xác định giả thiết và đối thiết

21


 H0: = 2,8
 H1: > 2,8
 Mức ý nghĩa = 5% → = = 1,711
→ Miền bác bỏ w = (1,711; +)
 Tiêu chuẩn kiểm định
= = =4
 Kết luận: w, bác bỏ H0, chấp nhận H1, tức là với mức ý nghĩa 5% thì việc lai giống









vịt thực sự làm tăng trọng lượng trung bình của đàn vịt
b. Các đặc trưng của mẫu:
 n = 25
 = 3,2
 = 0,5
Xác định giả thiết và đối thiết
 H0: = 3,3
 H1: 3,3
Mức ý nghĩa = 5% → = = 2,064
→ Miền bác bỏ w = (; -2,064) (2,064; +)
Tiêu chuẩn kiểm định
= = = –1
Kết luận: w, chấp nhận H 0, tức là với mức ý nghĩa 5% thì việc báo cáo trọng lượng
trung bình là 3,3kg/con khi xuất chuồng là chấp nhận được

Bài tập 9. Hiện tại, với tình hình dịch bệnh Covid-19 đang hồnh hành, tại một địa phương,
giả sử tỷ lệ người dân trong huyện mắc Covid-19 là 31%. May mắn được phát hiện và thực
hiện các biện pháp cách ly các ca bệnh, lấy mẫu xét nghiệm để ngăn cách F0 và F1 ra khỏi
cộng đồng. Sau một thời gian thực hiện, người ta ghi nhận trong số 130 người dân trong
huyện

22