ON HSG VE PT VA BPT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG. CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM GV : NGUYỄN TRƯỜNG SƠN. CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. -. Các phương pháp giải PT vô tỉ. 1) Phương pháp lũy thừa. 2) Phương pháp đặt ẩn phụ. 3) Phương pháp biến đổi thành tích. 4) Phương pháp nhân liên hợp. -. Các phương pháp giải BPT vô tỉ. 1) Phương pháp lũy thừa. 2) Phương pháp đặt ẩn phụ 3) Phương pháp nhân liên hợp 4) Phương pháp đánh giá.. Tài liệu được biên soạn bởi : Nguyễn Trường Sơn Số điện thoại : 0988.503.138 Gmail :

<span class='text_page_counter'>(2)</span> BÀI 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phương pháp lũy thừa.. I. - Nêu các dạng phương trình cơ bản.. Bài 1 Giải các phương trình a). x 2  3x  2  x  1. c). x 2  2 x  3x  4. e). x 3 . 2 2 d) ( x  3) x  4  x  9 x  2  3  x  5  2x f). 7  x  2x  8. 2 2 g) ( x  3) x  3 x  2  x  8 x  15 x. 3x 2  9 x  1  x  2. b). 2 2 h) ( x  4) 10  x  x  2 x  8. 2. 3x  2. . x. 3 x  2 1  x. i) Bài 2 Giải phương trình. 4x  3. j). a). x 2  3x  2  x2  6 x  5  2 x 2  9 x  7. b). x 2  3x  2  x2  6 x  5  2 x 2  9 x  7. 2 2 2 c) x  3x  2  x  4 x  3  x  5 x  4 Bài 3 Giải phương trình 3 3 3 a) x  5  x  6  2 x  11. 2. b). 3. . 4 x  3 1  x. x 1  3 x  1  3 5x. x 7 3 3 3 6 (Phải thử , loại nghiệm) c) 2 x  1  x  1  3 x  1 Bài 4 Giải phương trình a). x. b). x  1  x  16  x  4  x  9 Bình phương 2 lần. nghiệm x 0 x  3  3x  1 2 x  2 x  2. c). II.. x 1 . x  4  x  9 0 . Bình phương 2 lần. nghiệm x 0. Phương pháp đặt ẩn phụ.. 1) Dạng 1 : Phương trình có chứa f ( x ) và Bài 1 Giải phương trình. 2 a) ( x  1)( x  4) 5 x  5 x  28. b). 5 x 2  10 x  1 7  2 x  x 2. c). (4  x)(6  x)  x 2  2 x  12. 3 2 d) x( x  5) 2 x  5 x  2  2 Bài 2 Tìm để phương trình có nghiệm 2 a)  x  2 x  4 (3  x)(1  x) m  2. 2 b)  2 x  5 x  4 (3  x)(1  2 x) m  2. Bài 3 Giải phương trình : 5 1 5 x 2 x  4 2x 2 x a). f ( x) Nghiệm 4;  9. m  [  1;11] m  [  1;. 41  56 2 8. ].

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3 x b). 3 2 x. 2 x . 1 7 2x. 2) Dạng 2 : Phương trình có chứa Bài 4 Giải phương trình. A  B và. AB Nghiệm 25  6 17. a). 2 x  3  x  1 3 x  2 2 x 2  5 x  3  2. b). 7 x  7  7 x  6  2 49 x 2  7 x  42 181  14 x. c). x  4  x  4 2 x  12  2 x 2  16. d). 3x  2  x  1 4 x  9  2 3 x 2  5 x  2. 2 Bài 5 (B – 2011) Giải phương trình : 3 2  x  6 2  x  4 4  x 10  3 x 6 x 5 - Đặt t  2  x  2 2  x . Nghiệm Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm 6 2 9 2 m [ ;3] a) 1  x  8  x   x  7 x  8  m 2 b) 3  x  6  x  (3  x)(6  x) m. 2 c) 3( 1  2 x  1  x ) m  x  2 1  x  2 x 3) Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Bài 7 Giải phương trình 2 Đặt t  x  2 nghiệm t 3;1  x. 2 2 2 a) x  3x  x x  2 1  2 x  2 2 2 b) ( x  1) x  2 x  3  x  1 2 2 c) x  1 2 x. x  2 x 2 2 d) 3 x  x  48 (3 x  10) x  15 2 2 e) 2( x  1). x  2 x  1 x  2 x  1 2 2 f) x  4 x ( x  2). x  2 x  15  39 2 2 g) (1  4 x ) 4 x  1 8 x  2 x  1 3 3 h) (4 x  1) x  1 2 x  2 x  1 3 3 i) x  3 x  2 ( x  2) x  2 x  1 4) Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ. Bài 8 Giải phương trình.. 2 2 a) ( x  2) x  x  4 2 x bình phương, chia x. b). x 2  3x  2  2 x 2  x  2 2 x chia cho 2. c) x  1  x  4 x  1 3 x Chia 2 vế cho Bài 9 Giải phương trình. x x và đặt. Nghiệm x 1  2. 4 x  t 0;5 thử lại  x 4 Đặt Nghiệm x 2 t x . t x. 1 1  x 4; 4 x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 3 a) 2( x  2) 5 x  1. b) (Thi thử ninh giang 2013) -. 5 x 2  14 x  9 . x 2  x  20 5 x  1. 2 2 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 x  5 x  2 5 ( x  x  20)( x  1).  2( x 2  4 x  5)  3( x  4) 5 ( x  4)( x 2  4 x  5). -. c). x2  4x  5 x2  4x  5 5  61 2  3 5  x 8; x4 x4 2 7 x 2  25 x  19 . x 2  2 x  35 7 x  2. 2 2 Chuyển vế, bình phương ta được : 3( x  5 x  14)  4( x  5) 7 ( x  5 x  14)( x  5) 61  11137 3  2 7; 18 - Chia 2 vế cho ( x  5)  Nghiệm 5) Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp.  Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba. Bài 10 5  37  x 2 2 2 2 3 2 a) 2( x  2) 5 x  1 Đặt a  x  1; b  x  x  1 PT  2a  2b 5ab. -. 2 2 2 2 3 b) 2 x  5 x  1 7 x  1 Đặt u  x  1; v  x  x  1 PT  3u  2v 7uv  x 4  6 2 2 - Phương trình đã cho có dạng a.u  b.v c.uv trong đó căn thường uv. 2 2 4 2 c) x  3 x  1  x  x  1. -. d). 2 2 2 2 Cách 1 : Đặt a  x ; b  x  1 . PT  a  3b  a  b nghiệm : x 1 2 3 2 Cách 2 : Đặt a  x , thay vào PT ta được 36a  136a  200a  100 0  a 1. 5 x 2  14 x  9 . x 2  x  20 5 x  1 (Thi thử NG 2013). 2 2 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 x  5 x  2 5 ( x  x  20)( x  1) 5  61  2( x 2  4 x  5)  3( x  4) 5 ( x  4)( x 2  4 x  5)  x 8; 2 61  11137 3  2 7; 2 2 18 e) 7 x  25 x  19  x  2 x  35 7 x  2 Nghiệm :. -. -. 2 2 Chuyển vế, bình phương ta được : 3( x  5 x  14)  4( x  5) 7 ( x  5 x  14)( x  5). 2 2 Bài 11. Giải phương trình : x  2 x  2 x  1  3x  4 x  1 1 x 2 . Bình phương 2 vế ta có : - Điều kiện :. x. -. 2.  2 x   2 x  1  x 2  1 . x. 2.  2 x   2 x  1  x 2  2 x    2 x  1.  1 5 v u  2 2 2 uv u  v   u  x 2  2 x  1 5  u v  v 2 x  1 khi đó ta có hệ : 2  Ta có thể đặt : .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> -. 1 5 1 5 u v  x2  2x   2 x  1 2 2 Do u, v 0 . nên. .  2 x2  2 1  -. . '  1 . 5. . 2.  . 5 x 2. . . 5  1 0.  . 5  1 4 1 . .. . 5 0. .Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .. 2 2 Bài 12. Giải phương trình : 4 x  5 x  1  2 x  x  1 9 x  3 .  4 x 2  5 x  1 a  a, b  0   2 2 x  x  1 b - Đặt  . ta có :  a b a  b a 2  b 2   a  b   a  b  1 0    a  b 1 ..  4 x 2  5 x  1 4 x 2  4 x  4     4 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1 1 -. 1   x 3    4 x 2  5 x  1 1  2 x 2  x  1. 1   x 3   x 4  9. 3 2 3 Bài 13 Giải phương trình : x  3 x  2 ( x  2)  6 x 0 3 2 3 3 3 - Đặt y  x  2 ta được phương trình : x  3 x  2 y  6 x 0  x  2 y  3x ( x  2) 0.  x y  x 3  3 xy 2  2 y 3 0    nghiêm x 2; 2-2 3 x  2 y  3 - Chú ý có thể sửa lại đề bài thành : x  ( x  2)(3 x  2 x  2) 0 3 2 3 Bài tập tương tự : x  3x  2 ( x  1)  3x 0 3 2 - Bài tập tương tự : x  (3x  4 x  4) x  1 0 6) Dạng 6 : Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Bài 14 Giải phương trình 3 2 x  1  6 x  4  (2 x  1)( x  4)  7 0. -. -. u  2 x  1  2v 2  u 2 7 (1)  v  x  4 Đặt  Thay vào phương trình có : 3u  6v  uv  7 0 (2). Thay (1) vào (2) và rút gọn được (2v  u )(u  v  3) 0  x 0 Bài 15 (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình) -. 3 a) 2 3 x  2  3 6  5 x  8 0. (A – 2009). Nghiệm x  2. 3 b) 2 3 x  2  3 6  5 x  16 0. Nghiệm x  2. 2 2 c) x  17  x  x 17  x 9. Nghiệm x 1; 4. 3 3 3 3 d) x. 35  x .( x  35  x ) 30. Nghiệm x 2 ; 3. 1 1  2 2 x 2 x e) 3 3 f) x  1 2. 2 x  1. Nghiệm Nghiệm. x 1;.  1 3 2. x 1;.  1 5 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3. 3. g) x  2 3. 3x  2 7) Dạng 7 : Đặt ẩn phụ đặc biệt. Bài 16 (Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt) a). x  1 x 2  4 x  5. b). 4x  9 7 x 2  7 x 28 2. PT vô nghiệm.. Đặt. 4x  9 1 y  28 2. c). x  2 x  6 x  10. Đặt. x  2 y  3. d). 2 x  1 4 x 2  12 x  5. Đặt. 2 x  1 2 y  3.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> III.. Phương pháp biến đổi thành tích.. Bài 1 Giải phương trình x  3  2 x x  1 2 x  x 2  4 x  3. a). Phương trình  ( x  3  2 x)( x  1  1) 0  x 0; 1. -. x 3 . b). 4x x 3. 4 x. 2 HD  ( x  2  2 x ) 0  x 1. 2 x  3 9 x 2  x  4. HD :  (1  x  3) 2 9 x 2  x 1;. c) Bài 2 Giải phương trình a). x 2  10 x  21 3 x  3  2 x  7  6. b). x 2  8 x  15 3 x  3  2 x  5  6.  5  97 18. 2 c) x  2 x  1  ( x  1) x  x  x 0. x2  7 x  4 4 x x2 d). IV.. Phương pháp nhân liên hợp.. 1) Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x0 hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành ( x  x0 ) P( x) 0 và P( x) 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được. 2) Cách nhẩm nghiệm : Ta thường thử các giá trị x0 để trong căn là bình phương hoặc lập phương. Bài 1 2 a) (Khối B 2010) Giải phương trình : 3x  1  6  x  3x  14 x  8 0  ( x  5)( PT. -. 3 1   3 x  1) 0 3x  1  4 6  x 1 . Nghiệm duy nhất x 5. 3 b) Giải phương trình : 2 3 x  2  3 6  5 x  16 0 Nghiệm duy nhất x  2 6 15  ( x  2)[ 3 + ]=0  x  2 2 3 ( 3 x  2)  2 3 x  2  4 6  5 x  4 - PT. c) (ĐT năm 2013 lần 1) Giải phương trình : -. . 4  27  9 x  16  4 3 9 x  37 . . . 0,25. . 3. 9 x  37. . 2. . 8(6  2 x)  ( x  3)(4 x  27) 0 4  10  2 x. 0,25. TH 1. x  3 0  x  3 (TMPT) TH 2. x  3 . -. .  4 4  3 9 x  37  8 4  10  2 x  4 x 2  15 x  81 0 ĐK: x 5 . Pt . -.  . 4 2 10  2 x  3 9 x  37 4x 2  15 x  33. pt. 36 16  4 3 9 x  37 . . 3. 9 x  37. . 2. 0,25 0,25 . 16  4 x  27 0 4  10  2 x.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 36.  12 . -. . 3. 9 x  37  2. . 2. . 16  4 x  27 0 4  10  2 x. 36 16 VT    4.5  27 0 12 4 Do x 5 nên . Đẳng thức xảy ra  x 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm là  3 và 5. -. Bài 2 Giải phương trình. x  1  4 x 2 1  3x. a). 2. x  1  9 x 1  4 x. b) c) -. x 2  12  5 3x  x 2  5 . Nghiệm duy nhất x 2 5  x 2  12  x 2  5 3 x  5  x  3 để chứng minh biểu thức còn lại vô nghiệm. Nhận xét x 2  15 3x  2  x 2  8. d) e) -. Nghiệm. 1 2. x 0;. 3 x 2  5 x  1  x 2  2  3x 2  3x  3  Nghiệm x 2, P ( x) 0 vô nghiệm.. x 2  3x  4. Bài 3 Giải phương trình : 2 x2  x  9  2x2  x  1  x  4 .. a) -. 2 2 Ta có VT  0  ( x  4)  0  2 x  x  9  2 x  x  1 Nhân với biểu thức liên hợp ta được :.  2 x 2  x  9  2 x 2  x  1 2 8  2 2 x 2  x  9  x  6  x 0;  7  2 x 2  x  9  2 x 2  x  1  x  4. -. b) -. 2 x 2  x  1  x 2  x  1 3 x . Từ phương trình  x  0 2x  1 ( 2 x 2  x  1  2 x)  ( x 2  x  1  x) 0  ( x  1)[  2 2x  x 1  2x 3. 2. 1 2. x  x 1  x. ]=0  x 1. 3. Bài 4. Giải phương trình : x  1  x  x  2 3 - Điều kiện : x  2 . - Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình -.   2 x 3    x  3  x  3 x  9  x  1  2  x  3  x  2  5   x  3 1   2 3 2 3 x2  1 x3  2  5    2 x  1  4   x 3 x 3 1 1   2 x 2  3x  9 2 2 2 2 2 3 3  3 x  1 2 x  14 x  1 1  3   x3  2  5 - Ta chứng minh : - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Bài 7 Giải phương trình 3. 2. 3. . 2 2 a) x  3x  1 ( x  3) x  1 .. b). 4  3 10  3x  x  2. . ..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> c) 2 (2  x)(5  x)  x  (2  x)(10  x) d). 2 x 2  16 x  18  x 2  1 2 x  4. e). 2 x 2  1  x 2  3x  2  2 x 2  2 x  3  x 2  x  2. 2 2 2 f) 3x  7 x  3  x  2  3x  5 x  1  Bài 8 Giải phương trình :. a) b). 3. x2  4  x  1  2x  3. 3. x 2  1  3 x 3  2 3 x  2. 2 3 c) 2 x  11x  21  3 4 x  4 0. d). 3. x 2  1  x  x3  1. x 2  3x  4.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> V.. Phương pháp đánh giá.. Bài 1 Giải các PT sau : a). 2 x  2  4  x  x  6 x  11. b). 2 x  2  10  x  x  12 x  52. c). 2 x  2 x  5  x  1 2. Nghiệm x 1. d). 2 2 2 3 x  6 x  7  5 x  10 x  14 4  2 x  x. Nghiệm x  1. 2 x  1  19  2 x . e). Nghiệm x 3. 6 2  x  10 x  24. Bài 2 Giải PT sau : 3 2 2 a) 2 7 x  11x  25 x  12  x  6 x  1 2 x 1;7 VT : 2 (7 x  4)( x  x  3) (côsi )  VP. Nghiệm 3 2 2 b) 2 5 x 3 x  3 x  2  x  6 x  1 Nghiệm x 1; 3. -. 2 x. 2.  2. c). 1 1 4  ( x  ) 2 x x. 1 1 2 PT  ( 2  x  x )  ( 2   ) 4 2 x x. x 2  6 x  15  x 2  6 x  18 2 Bài 4. Giải phương trình: x  6 x  11 4 2 (1)  1    x  3  9 2  x  3  2 1. Mà :. 4.  x  3. Do đó ta có:. 2. 2. 1 .  x  3. 2. 4 3 2.  x  3 và. 0  x 3 2. 2.  9 3. (1). .. .. 4. 2 4 Bài 5 Giải phương trình 13 x  x  9 x  x 16. -. 2 2 2 2 Bình phương 2 vế ta được : x (13 1  x  9 1  x ) 256 . Áp dụng bđt bunhia :. -. (13 1  x 2  9 1  x 2 ) 2 ( 13. 13  13x 2  3 3. 3  3x 2 ) 2 40(16  10 x 2 ) 2 x  2 2 5.  VT  x 40(16  10 x ) . Áp dụng cosi VT VP . Nghiệm. BÀI 2 : PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I). Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản :.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> -. -. Dạng 1 :.  f ( x) 0  f ( x)  g ( x)   g ( x) 0  f ( x)  [g ( x)]2 . Dạng 2 :.   f ( x) 0   g ( x)  0 f ( x)  g ( x)    g ( x ) 0    f ( x)  [g ( x)]2. Dạng 3 : A  B  C Bài 1 Giải bất phương trình : -. a). x 2  2 x  15  x  3. b).  x 2  6 x  5 8  2 x. c). x2  2x  8  x  3. Kết quả : x  [5;6] Kết quả : x  [3;5]. 2 d) x  3x  10  x  2 Bài 2 Giải bất phương trình : 2 2 a) ( x  3) x  4  x  9 b) 5 x  1  x  1  2 x  4 ( A  2005). c). 7 x  13 . d). x  1  2 x  2  5 x  1 (CD  2009) 2( x 2  16). 3 x  9  5 x  27.  x 3 . x 3 e) Bài 3 Giải bất phương trình : a) b) c). 7 x ( A  2004) x 3. 51  2 x  x 2 1 1 x 8  2 x  x2 1 6  3x 1 1  2 2 x  3x  5 2 x  1. T (  ;. 2 Bài 4 Giải bất phương trình : x  4 x  3  II) Phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 1 Giải bất phương trình :. a).  x  [2;10). 5 x 2  10 x  1  7  2 x  x 2. 2 2 b) 2 x  x  5 x  6  10 x  15 2 c) ( x  3)(8  x)  x  11x  0. Bài 2 Giải bất phương trình : 5 1 5 x  2x  4 2 x 2 x a). 5 3 )  (1; )  (2; ) 2 2. 2 x 2  3x  1 x  1. T ( ;  3)  (1; ).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> x x 1 2 3 x b) x  1 2 Bài 3 (B – 2012) Giải bất phương trình x  1  x  4 x  1 3 x 1 5 1 t x  t   x  [0; ]  [4; ) 2 4 x - Chia 2 vế cho x và đặt. Bài 4 (Thử GL – 2013) Giải BPT : - Điều kiện : x 2 . -. Bình phương 2 vế và rút gọn ta được : 3 x( x  2)( x  1) 2 x( x  2)  2( x  1) x( x  2) t x  1 . Nghiệm x  [3  13; ) Chia 2 vế cho ( x  1) và đặt. Bài 5 Giải bất phương trình -. x2  x  2  3 x  5x2  4 x  6. 5 x 2  14 x  9 . x 2  x  20 5 x  1. 2 2 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 x  5 x  2 5 ( x  x  20)( x  1).  2( x 2  4 x  5)  3( x  4) 5 ( x  4)( x 2  4 x  5) 2. 7 x 2  25 x  19 . a) -. x2  4x  5 x2  4x  5  3 5 x4 x4.  x [. 5  61 ;8] 2. x 2  2 x  35  7 x  2. 2 2 Chuyển vế, bình phương ta được : 3( x  5 x  14)  4( x  5)  7 ( x  5 x  14)( x  5) Nghiệm x . 3 2 Bài 6 (Thi thử ĐT – 2012) Giải BPT x  (3 x  4 x  4) x 1 0.  y 0 y  x 1   2  y x  1 - Điều kiện : x  1 . Đặt 3 2 2 - Bpt trở thành x  (3x  4 y ) y 0 -. TH 1. y 0  x  1 . Thỏa mãn BPT. -. 3 TH 2. y  0  x   1 . Chia hai vế cho y ta được 3. 2. -.  x  x x t    3    4 0 y và giải BPT ta được t 1  y  y . Đặt   1 x  0 x  t 1  1  x  x  1    x 0 y   x 2  x  1 0 . -.   1 x  0  1 5   x 0   1 x   1  5 2 1 5  x  2  2 . Kết hợp x   1 ta được. -.  1 5  1 5   1;   1 x  2  2 . Vậy tập nghiệm của BPT là S = .  Cách 2 : Có thể biến đổi BPT về dạng tích. 0,25. 0,25. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> x3  (3x 2  4 x  4) x  1 0  x3  3x 2 x  1  4( x  1) x  1 0  [x 3  ( x  1) x  1]  [3 x 2 x  1  3( x  1) x  1] 0 -.  (x . x  1)( x  x  1) 2 0. 3 2 3  Bài tập tương tự : x  3x  2 ( x  2)  6 x 0.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Phương pháp nhân liên hợp. Bài 1 Giải bất phương trình : a) 1  x  1  x  x 1  1  8x2 1 2x b) Bài 2 Giải bất phương trình : a) Giải phương trình : 3 x  1  -. T [ Nghiệm. 1. 1 ;0)  (0; ) 3 2 2. 6  x  3 x 2  14 x  8  0 . Nhẩm nghiệm x 5 3 1  ( x  5)(   3 x  1)  0 3x  1  4 6  x 1 BPT . Trong ngoặc  0  Nghiệm 1 x  [ ;5) 3. 3 b) Giải phương trình : 2 3 x  2  3 6  5 x  16 0 Nhẩm nghiệm x  2 6 15 6  ( x  2)[ 3 + ] 0  x  [  2; ] 2 3 5 ( 3x  2)  2 3x  2  4 6  5x  4 - BPT.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>