12 CHUYEN DE ON THI THPT QG 2016 CD2 TICHPHAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM–TÍCH PHÂN–ỨNG DỤNG TG: LÂM THỊ THANH TUYỀN PHẦN 1: NGUYÊN HÀM. A. Các nguyên hàm thường gặp: dx x C 1. . ax C adx 1. 1. xdx ln x C. ax bdx a .ln ax b C. x 1  x dx  C   1 ,   . 1 (ax  b) 1  ( ax  b ) dx  . C  a  1 ,    1 axb axb e dx a e C 1 a x  x  a dx  . C   lna 1 sin(ax b).dx  a cos(ax b) C 1 cos(ax b).dx a sin(ax b) C 1 1 cos2(ax  b) dx a tan(ax  b) C 1 1 sin2(ax b)dx  a cot(ax  b) C. x. x. e dx e x a dx . C. ax C lna. .  cosx C sinxdx . sinx C cosxdx 1. cos x dx tanx C 2. 1. sin x dx  cot x C 2. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1. cos2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2 sin2x = cos2x – sin2x 2. sin2x = 2sinxcosx 1 −cos 2 x 1+cos 2 x 3. sin2x = 4. cos2x = 2 2 1 1 [ cos(a− b)+cos (a+b) ] [ cos( a− b)− cos (a+b) ] 5. cosa.cosb = 6. sina.sinb = 2 2 1 a+b a−b .cos [ sin(a − b)+ sin(a+ b)] 7. sina.cosb = 8. cosa + cosb = 2.cos 2 2 2 a+b a −b a+b a−b .sin .cos 9. cosa – cosb = – 2.sin 10. sina + sinb = 2.sin 2 2 2 2 a+b a −b .sin 11. sina – sinb = 2.cos 2 2 B. Các phương pháp tính nguyên hàm : 1) Dùng tính chất và bảng nguyên hàm: Ví dụ : 6 6 5x  3  1  5x  3 5  5x  3 dx 5. 6 C  30 C a. 1  x4 x2  b. x3  3x   7 dx   3.  ln x  7x C x 4 2   2x 3x  2  3 dx  ln2  ln3 C c.. . d.. . x. x. 1 1  x 1  x 1 6 76 3 32 6 3 dx   dx  ( x  x ) dx  x  x C    3 x 3 x   3 7 2 x   2. e.. . . 1. . tan xdx  cos x  1 dx tanx  x C 2. 2) Phương pháp đổi biến số:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> /. Để tính. f [u(x)]u (x)dx. ta thực hiện các bước sau: t u  x  dt u x  dx Bước 1 : Đặt . Ta có /. Bước 2 :. f [u(x)]u (x)dx f (t)dt. f  t Bước 3 : Tìm nguyên hàm hàm số theo biến t t u  x  f t Bước 4 : Thế vào nguyên hàm của hàm số .. Ví dụ: Dùng phương pháp đổi biến số hãy tính : x .dx 2  a) I = x  1 ( đặt u = x2 + 1) du  du 2x.dx  xdx .  2 + Đặt u = x2 + 1 x 1 du 1 1 1 1 .dx  .   .du  ln u C  ln x2  1 C 2  u 2 2 u 2 2 + Khi đó : I = x  1 ecosx .sinxdx . b) I =  (đặt u = cosx) + Đặt u = cosx  du  sinx.dx  sinx.dx  du ecosx .sinxdx . eu .  du  eu .du  eu C  ecosx C  + Khi đó: I = x2  x3  2.dx 3 c) I = ( đặt u = x  2 ) 2udu . x3  2  u2 x3  2  2udu . 3x2.dx  x2.dx  3 + Đặt u = 3. x. + Khi đó: I= 3. d) I =. x .. . 3. . 1 2. 2 x 2 1 2udu 2 2 2 x 2 .dx  .  1du  .u C  C  C 3 u 3 3 3 3 3 2 2. x. 1 x2. 2 .dx ( đặt u = 1 x ). 2 2 2 .  2x.dx  xdx .  udu . + Đặt u = 1 x  u 1 x  2udu 2 2 2 2 Mà u =1 –x  x = 1 – u. 3. x. + Khi đó: I = . 1 x2dx x2. 1 x2 .xdx . 5. =. . 3. 1 x2. 5.  . 1 x2. . 3. u u 1 u2 .u   udu .  u4  u2 .du   C   C 5 3 5 3 cos3x.dx e) I =  cos3xdx . cos2 x.cosxdx . 1 sin2 x .cosxdx . Ta có I =  + Đặt t = sinx  dt = cosx. dx t3 sin3 x 2 1 t .dt t  3 C sinx  3 C + Khi đó: I = Chú ý 1: Các dạng bài tập sau thường dùng phương pháp đổi biến số DẠNG CÁCH ĐẶT a.u ' x   u  x  dx n u(x) a.u ' x  Đặt u = u(x) ( hay ) dx n u  x. . . . . . . . .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> u x . e .a.u ' x dx  u  x  .a.u ' x dx. Đặt u = u(x). n.   u  x  n. . Đặt u = u(x) ( hay. .a.u ' x  dx. n. u(x). ). Chú ý 2: Nếu sinx (hoặc cosx) bậc lẻ ta tách thành một sinx (hoặc cosx) nhân phần mũ chẵn, và áp dụng sin2x + cos2x = 1 3) Phương pháp nguyên hàm từng phần: + Các dạng bài tập sau sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm, Dạng. x. P( x).e dx. P( x).cos xdx. Cách u P(x) đặt dv exdx + Công thức nguyên hàm từng phần:. P( x).sin xdx P( x).ln xdx. P(x) cosxdx. P(x) sinxdx. lnx P(x)dx. . u.v  vdu udv Ví dụ : lnxdx . a) Tính A=  1  u lnx du  .dx   x  dv dx v x  + Đặt: 1. lnx.dx x.lnx  x. x.dx x.lnx  1.dx x.lnx  x C + Khi đó: A= x.cosxdx b) Tính B=  u x   + Đặt: dv cosxdx. du dx  v sinx. x.cosxdx x.sinx  sinxdx x.sinx  cosx C + B=  xe . xdx  c) Tính C = u x du dx    x x + Đặt: dv e dx v e xe . xdx xe . x  exdx xe . x  ex C + C=  x.sin2xdx d) Tính D=  du dx u x     1 dv si n2xdx v  cos2x  2 + Đặt: x 1 x 1 x.sin2xdx  .cos2x  cos2xdx  .cos2x  sin2x+C  2 2 2 4 + D= Tìm một nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện cho trước: * Phương pháp giải: + Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho. + Dựa vào điều kiện đã cho tìm C + Thay C vào họ nguyên hàm Þ một nguyên hàm cần tìm..  * Vận dụng: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 1 + sin3x khi biết F( 6 )= 0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  1 sin3x dx x   + Gọi F(x) =. cos3x C 3.   1     cos C 0  C  6 3 2 6 + Do F( 6 )= 0 cos3x   x  3 6 thỏa F( 6 )= 0 + Vậy F(x) = C. BÀI TẬP: BÀI TẬP TRÊN LỚP Bài tập 1: Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau: 1 x 1 cos2x 2 2 2 a. f(x) = x2 – 3x + x ; b. f(x) = x ; c. f(x) = sin x.cos x d. f(x) = 2ax + 3x Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số: 1 x2  5x  4 f  x  2 f  x  x  4x , biết F(1) = 0 x  1 , biết F(0) = 1 a. b. Bài tập 3: Tìm nguyên hàm sau: dx dx 2 7 3 4 2 2  5  5 2xdx (2x  1) xdx (x  5) x dx  x  1.xdx x(1 x )2 a. (3 2x) b.  c. d.  e. f. sinx dx 5 cotxdx  g. cos x h.  dx tanxdx  m. sinx n.  Bài tập 4: tìm các nguyên hàm sau: x sin2xdx (x  1)cos2xdx xe . xdx lnxdx x lnxdx e xdx a.  b.  c.  d. e.  f. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài tập 1: Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau: 1 2x4  3 e x ) 2 2 2 2 a. f(x) = x b. f(x) = sin x.cos x c. f(x) = ex(2 + cos x d. f(x) = 4x + 3x Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số: x  10 1 f  x  2 f  x  2 x  5x  4 , biết F(2) = 3 x  5x  4 , biết F(0) = -1 a. b. Bài tập 3: tìm các nguyên hàm sau 2. 3x x dx x2 1 dx   3 xe . dx 2  5  2 x  x 5 a. e. f. exdx tanxdx dx etgx 4 2 dx  sin x cosxdx  cos2 x tanxdx  ex  3 p. cos2 x q.  1 x .dx g.  h. m. cosx n.  o. Bài tập 4: tìm các nguyên hàm sau lnxdx 2  (2x  3).sinxdx x cosxdx ln xdx x2 cos2xdx    x a. b. c. d. e. dx 2 7 3 4 2 2x  1 b. (2x  1) xdx c. (x  5) x dx d.. PHẦN 2: TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CẦN NẮM: I. Định nghĩa và tính chất của tích phân: b. * ĐN:.  f ( x ) dx=F ( x ) ¿ba=F ( b ) − F ( a ) a. * Tính chất: a. +.  f ( x ) dx=0 a. b. +. a.  f ( x ) dx=− f ( x ) dx a. b. b. +. b.  k . f ( x ) dx=k  f ( x ) dx a. a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> b. +. c. b. ❑ ❑.  f ( x ) dx= f ( x ) dx+ f ( x ) dx , ( a< c< b ) a b. a. c. b. b. +  [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx= f ( x ) dx ± g ( x ) dx a. a. a. II. Các phương pháp tính tích phân: 1 Phương pháp đổi biến số: b. * Đổi biến số dạng 1:. I = f ( u ( x ) ) .u❑ ( x ) dx=? a. + Đặt: t=u ( x ) ⇒ dt=u ( x ) dx + Đổi cận: x=b ⇒ t=u ( b ) x=a ⇒ t=u ( a ) ❑. u (b ). I =  f ( t ) dt =F ( t ) ¿uu ((ba ))=?. + Khi đó:. u (a ). * Đổi biến số dạng 2: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa: + + + +. π π ; 2 2 a ❑ π π ❑ x= ,t∈ − ; 2 2 ❑ Đặt: x −a ⇒ 2 2 cos t ❑❑ ❑ π π 2 2 x=a . tan t , t∈ − ; Đặt: x +a ⇒ 2 2 ❑ ❑ ❑ π π x 2+ a2 ⇒ Đặt: x=a . tan t , t ∈ − 2 ; 2. √ √ √. ❑. a − x ⇒ Đặt: 2. 2. ❑❑. [. x=a . sin t , t ∈ −. (. ]. ). (. (. ). ). b. 2 Phương pháp tính tích phân từng phần: * Công thức:. b b a. I = u .dv =u. v ¿ − v . du a. a. * Các dạng tích phân từng phần thường gặp: b   P  x  .sin xdx  a  b   P  x  .cos xdx   a  b  x  P  x  .e dx  a  b   P  x  .a x dx  / u P  x   du  P  x   dx P  x  a   Dạng 1: Ta đặt: ( : là đa thức ) b   P  x  .ln xdx   a ❑  u=ln x ⇒du=( ln x ) dx b ln x    n dx  x P  x a  Ta đặt:  Dạng 2: ( : là đa thức ) B. BÀI TẬP: BÀI TẬP TRÊN LỚP Bài tập 1: Tính các tich phân sau:  2.  2. a. Tính. I cos2 xdx 0. 0. I  sin3x.cos5xdx . b. Tính. .  2. 4. c. Tính 2. I (x2  3 x )dx 1. . x2  3x  2 x 1 I cosx dx I  dx I  2 dx x  1 x  3 x  2 0 1 1 d. Tính e. Tính f. Tính.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài tập 2: Tính 5. a..  4. 1. 2. (2x  1) dx. b.. 1. x. 1 xdx c.. 0. a.. 1. 1. x xe dx. (x  1)e2dx. 0. b.. 1. 1 x 1. xe. x. 2 x. dx. x e dx. f. g. g. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài tập 1Tính các tích phân sau: 0. 0.  2. a.Tính. x2  3x  3 I  dx x 1 0. 20. .dx b.. 1.  2. sinx. e. .cosxdx. x.ln(2x  1)dx. (x  2)e. x.. a.. /2. e..  x(x  sinx)dx .  /2 e. i.. 1. e. 3. . g.. 1. /2. 2. 1. x2  2 x  1 I  .dx x 1 c. Tính 2. f. Tính. I x x2  1dx 0. .dx d.. 1 3lnx.lnx .dx x. h.. d.. 0.  4. (2x  7)ln(x  1)dx. g.. 0. 0. 2. . 1 x dx xe 0. /4. ln(3x  1)dx. c..  1 4sinx.cosdx 1. 1. 2. f.. 4. x(2 cos. 2. 0.  2. x  1)dx. 0. (3x  2)cosxdx. h.. (x  cosx)sinxdx 0. 1. 1. (x  x)lnxdx 1. x x2 sin dx  2 0. b.. dx.  6. 2x. x. c.. 0. e. 0 f. 0 Bài 3: Tính các tích phân sau : 0. h.. 0. 1 x2 .dx. 0. 0. I cos2x.cos3xdx .. 2. x. x cos 2dx. 2x. 0. cos xdx. 1. e.. 0. 3x I  2 dx x  x  2  1 e. Tính.  2. 2x (x  1)e dx. d.. /2. 1. 1. 3. .dx. 1. 0. d. Tính Bài tập 2: tính. x2 1. . xe. x sinxdx. 1. b. Tính. 0. 0. /2. lnx dx 2  c. 1 x. 2. I sin xdx. (1 2x). h.. 0.  2. 1. a.. g.. cosx. 1 3sinx dx e. x 4 x (2e  1) .e dx. e. 0. d.. 0. 1. ln2 x dx  x 0 1 e. f. Bài 3: Tính các tích phân sau: 3 sin xdx. 3. cos x sinxdx. e. .  4. 2. j.. x. ln(x  1)dx. 0. PHẦN 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CẦN NẮM: 1. Diện tích hình phẳng: a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng b. x=a , x=b. được tính theo công thức: S=|f ( x )| dx a. b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: ❑ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f 1 ( x ) , y =f 2 ( x ) b. x=a , x=b. được tính bởi công thức: S=|f 1 ( x ) − f 2 ( x )|dx a. * Chú ý: Để tính diện tích trên ta làm như sau: + Giải PT : f 1 ( x ) − f 2 ( x )=0 trên đoạn (a; b). và hai đường thẳng.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> + Giả sử PT có nghiệm đúng hai nghiệm là c1 , c2  (a; b), c1  c2 c1. b. + Khi đó:. c2. b. S  f1  x   f 2  x  dx  f1  x   f 2  x  dx   f1  x   f 2  x  dx   f1  x   f 2  x  dx a. a. c1.   f1  x   f 2  x   dx  a. c1. c2. c2. b.  f1  x   f 2  x   dx .  f  x   f  x   dx. c1. 1. 2. c2. 2. Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường:. y=f ( x ) , trục hoành,. b 2 quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: V =π . f ( x ) dx. x=a , x=b. a. 3) Ví dụ cụ thể: Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2 x, (P2) : y= x2 + 1 và các đường thẳng x = 0 ; x=2 . Giải + Tính f(x) - g(x) = x2 –2 x – (x2 + 1) = -2x -1 + Giải phương trình: x2 –2 x = x2 + 1 –2 x -1 = 0  x = -1/2 (loại) 2. 2. 2  2x  1dx    1 2x .dx   x  x. . . 2 0.   2 22   0 02   6 6. .  . . 0 + Vậy S = 0 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các đường thẳng x = -1 ; x=2 . Giải + Tính f(x) - g(x) = x2 –2 x – (x2 + 1) = -2x -1 + Giải phương trình: x2 –2 x = x2 + 1 –2 x -1 = 0  x = -1/2 (nhận) 1 2. 2. S   2x  1dx   2x  1dx   x  x2. . 1 2. 1. . 1 2 0.   x  x2. . . 2 1 2.    1   1 2     1   1 2  2 2            0  0   2 2            2  2    2  2     . . .  . . 1 1 1  25 26 13   6     4 4 4 4 4 2. Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x3 – x và (P2) y= x - x2 Giải + Tính f(x) - g(x) = x3 – x – (x - x2) = x3 + x2 -2x  x  2 n     x 0 n   3 2  x 1 n  + Giải phương trình: x + x -2x = 0 + 0. 0. 1. 1.  x4 x3   x4 x3  8 5 37 S   x  x  2x dx   x  x  2x dx     x2      x2      4 3  2  4 3  0 3 12 12 2 0. . 3. 2. . . 3. 2. . Ví dụ 4: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x Giải: Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là :.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2 x 4 2 18 V   x2  2x dx   x4  4x3  4x2 dx  (  x 4  x 3 ) 1 5 3 1 1 = = 5 (đvtt) Ví dụ 5: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau  x 4 ; y = 0 ; y = sinx khi nó quay xung quanh trục Ox: x =0 ;   1 V (  ) 2 4 2 (đvtt) Đs: 2. 2. . . . . 5. B. BÀI TẬP: BÀI TẬP TRÊN LỚP Bài 1: Tính diện tích hình phẳng : 1 y  x3  x2, y = 0, x = 0, x = 3 3 a. 3 2 b. y x  3x ,và trục Ox 4 2 c. y x  2x  1 và trục Ox 2x  1 y , x  1 trục Ox, x=1 d. 2 2 e. y x  2x, y = 4x - x f. y lnx, y = 0, x = e 3. 2. y. 1  x  1 9. g. y x  x và 3 3 A   1;  2 h. y x  1 và tiếp tuyến với y x  1 tại điểm Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) khi nó quay quanh trục Ox x 1 y , y = 0, x = 0, x = - 2 x 2 a. 2 b. y 2x  x , y = 0 x. . 2, y = 0, x = 0, x = 1 c. y xe d. y = x(4 – x), y = 0.  e. y = cosx, y = 0, x = 0, x = 4 f. y = lnx , y = 0, x = 1, x = 2 2 g. y 2 1 x , y 0, x  1, x 1 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tính diện tích hình phẳng 3 2 a. y x  3x và trục Ox 2 b. y x  1, x + y = 3 1 5 y  x4  2x2  2 2 và trục Ox c. 2 c. y x  2, y = 3x 3 2 d. y x  x  x  1, y x  1. e.. y. 1 lnx ,y 0, x 1,x e x.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 3 2 f. (C ): y x  3x  6x  2 và tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 1. Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) khi nó quay quanh trục Ox 2x  1 y , x  1 trục Ox, x=1 a. 2 b. y 2x  x ,y 0 1 c. y = 3 x3 – x2, y = 0, x = 0, x = 3   y sinx, y 0, x  , x  2 2 d. x 2 e. y  x.e , y 0, x 1, x 2. f. y  x  1, y 0, x 4 g. y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x =  PHẦN 4: MỘT SỐ ĐỀ THI TN ( TỪ NĂM 2010 ĐẾN 2015 ) 1. 1) TNTHPT năm 2010: Tính tích phân sau:. 0. e. 2) TNTHPT năm 2011: Tính tích phân sau:. 2. I x 2  x  1 dx I  1. 4  5ln x dx x. ln 2. 3) TNTHPT năm 2012: Tính tích phân sau:. 2. I   e x  1 .e x dx 0.  2. 4) TNTHPT năm 2013: Tính tích phân sau:. I  x  1 cos xdx 0. 1. 5) TNTHPT năm 2014: Tính tích phân sau:. I  1  xe x  dx 0. 1. 6) TNTHPT-QG năm 2015: Tính tích phân sau:. I  x  3 e x dx 0.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>