hsg

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Câu 1 (2,5 điểm). a) Cho hàm số :. y = - x3 + 3x2 + 3(m + 1)x - 2m2 + 1 ( m là tham số) . Tìm m để cực trị. của hàm số cách đều đường thẳng d : 2x - y + 2 = 0. b) Cho hàm số. y=. x +1 x - 1 có đồ thị (C) . Tìm hai điểm A, B nằm trên hai nhánh của đồ thị sao. cho A, B nhỏ nhất.. Câu 2 (2,0 điểm). a) Tìm tổng các nghiệm của phương trình:. cos2 x - cos3 x - 1 cos2x - tan x = é1;2015ù ê ú. cos2 x û trên đoạn ë 2. n. b) Xét khai triển Tìm n để Câu 3 (1,5 điểm).. (x + 4)n = å C nkxk 4n- k = a0 + a1x + ... + anxn . k=0. max{a0,a1,...,an } = a10 ( hiểu theo nghĩa a10 > ai , " i = 1, n , i ¹ 10).. ìï 2 2 2 2 ïï 10x + 4xy + 2y + 2x + 4xy + 10y = 4(x + y) (1) í ïï 2x + y + 1 + 23 7x + 12y + 8 = 2xy + y + 5 (2). Giải hệ phương trình: ïî. Câu 4 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các đỉnh. A(2;- 3);B(4;1),C(12;2) . a) Viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác trong góc A của tam giác ABC . b) Tìm điểm D trên d sao cho tứ giác ABCD là hình thang. Câu 5 (1,5 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, có. AB = a, AD = b. ,. AM = x (0 < x < 2a) SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Lấy M Î SA với . a) Tính diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MBC ) và hình chóp. b) Xác đinh x để mặt phẳng (MBC ) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.. ìï y2 + xy + y2 = 3 ï í 2 ïï y + yz + z2 = 16 x , y , z Î ¡ Câu 6 (1,0 điểm).Cho thỏa mãn điều kiện ïî Tìm giá trị lớn nhất của P = xy + yz + zx . ----------Hết---------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Câu 1. (2,5 điểm) Nội dung. Điểm 1,5 điểm. a) Tập xác định D = ¡ . Ta có. y¢= - 3x2 + 6x + 3(m + 1). 0,25. y¢= 0 Û - x2 + 2x + m + 1 = 0 (*) Để hàm số có cực trị thì (*) có hai nghiệm phân biệt Û D ¢> 0 Û m > - 2 . Gọi. A(xA ;yA ), B(xB ;yB ). là hai điểm cực trị của hàm số, khi đó. xA , xB. là nghiệm của. (*) Þ xA + xB = 2 . 1 y = (x - 1)y¢+ 2( m + 2) x - 2m2 + m + 2 3 Ta có A(xA ;yA ), B(xB ;yB ) Î (C) Vì. 0,25. ìï ïï y = 1(x - 1)y¢(x ) + 2( m + 2) x - 2m2 + m + 2 A A A 3 A Þ ïí ïï 1 2 ïï yB = (xB - 1)y¢(xB ) + 2( m + 2) xB - 2m + m + 2 3 î AB : y = 2( m + 2) x - 2m2 + m + 2. Suy ra. Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn nếu một trong hai điều kiện sau xẩy ra: TH1: AB song song hoặc trùng d. Û 2( m + 2) = 2 Û m = - 1. 0,25. TH2: d đi qua trung điểm của AB. I (xI ;yI ) là trung điểm của AB Þ I (1;- 2m2+ 2m + 4). Gọi. Þ I(. xA + xB yA + yB ; ) 2 2. ém = 0 (tm) Û 2m2 - 2m = 0 Û ê êm = 1 (tm) ê I Î d Û 2 + 2m2 - 2m - 4 + 2 = 0 ë ém = 0 ê êm = 1 ë Vậy khi ê thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn. b). 0,25. 0,25. 0,25 1,0 điểm.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2 Þ A (1 + a ;1 + ) a , với a > 0 Gọi A là điểm thuộc nhánh bên phải của (C ) 2 Þ B (1- b;1- ) ( C ) b , với b > 0 Gọi B là điểm thuộc nhánh bên trái của 1 1 AB 2 = (a + b)2 + 2( + )2 a b. Ta có. AB 2 ³ 4ab + 8. 1 2 = 4(ab + ) ³ 4.2 2 ab ab. ìï a = b ï Û ïí Û a =b= 4 2 2 ïï ab = ïî ab Dấu “=” xẩy ra 2 2 A(1+ 4 2;1+ );B(1- 4 2;1) 4 4 2 2 Khi đó . AB nhỏ nhất khi và chỉ khi AB 2 nhỏ nhất 2 A(1+ 4 2;1+ );B(1- 4 2;14 2 Vậy khi. 2 4. ) 2 thì khoảng cách AB nhỏ nhất.. 0,25. 0,25. 0,25. 0,25. Câu 2. (2,0 điểm) Nội dung a). cos2 x - cos3 x - 1 cos2x - tan x = (1) cos2 x Xét phương trình p x¹ + kp , k Î ¢ (2) 2 Điều kiện để (1) có nghĩa là: 2 2 Với điều kiện (2), ta có (1) Û cos2x - tan x = 1- cosx - (1+ tan x). Điểm 1,0 điểm. 2. 0,25. Û cos2x = - cosx Û 2cos2 x + cosx - 1 = 0. écosx = - 1 ê p kp Û ê Û x = + 2. , k Î ¢. êcosx = 1 3 3 ê 2 ë p kp Û 1 £ + 2. £ 2015, k Î ¢ x Î [1 ;2015] 3 3 Xét. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 3 1 6045 ( - 1) £ k £ ( - 1), k Î ¢ 2 p 2 p k = 0,1,2,...,962 . Vậy trên đoạn [1;2015] phương trình (1) có 963 nghiệm lập thành một cấp số cộng với Û. số hạng đầu. u1 =. 0,25. p 2p d= 3 và công sai 3 .. Vậy tổng các nghiệm trên đoạn [1;2015] là:. [2u + (n - 1)d]n S= 1 = 2. [2.. p 2p + 962. ].963 3 3 = 309123p 2 .. b). 0,25. 1,0 điểm n. Xét khai triển. (x + 2)n = å C nkxk 2n- k = a0 + a1x + ... + anxn k=0. a < a1 < ... < a9 < a10 > a11 > a12... > an , n Î ¥. Theo giả thiết ta có 0 Từ hệ thức trên ta được. ìï a > a 9 ï 10 Û í ïï a10 > a11 î ìï ïï ïï (ní ïï ïï ïî (n-. 0,25. ïì C n104n- 10 > C n94n- 9 íï 10 n- 10 ïï C n 4 > C n114n- 11 ïî. n! 4n ! > 10)!.10! (n- 9)!.9! Û 4n ! n! > 10)!.10! (n- 11)!.11!. ìï 1 4 ïï > ï 10 n- 9 í ïï 4 1 > ïï î n- 10 11. ìï n > 49 Û ïí Û 49 < n < 54 ïï n < 54 î n Î { 50,51,52,53}. Vậy Câu 3 (1,5 điểm). 0,25. 0,25. thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.. 0,25 Điểm. Nội dung Ta có:. 1,5. (1) Þ x + y ³ 0 và. 10x2 + 4xy + 2y2 + 2x2 + 4xy + 10y2. 0,25. = (3x + y)2 + (x - y)2 + (x + 3y)2 + (x - y)2 (3x + y)2 + (x + 3y)2 =| 3x + y | + | x + 3y |³ 4(x+ y) Dấu “=” xẩy ra Û x = y ³ 0. ³. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 3x + 1 + 23 19x + 8 = 2x2 + x + 5 (3) (2) y = x Thế vào , ta được: (3) Û. 3x + 1 - (x + 1) + 2[3 19x + 8 - (x+ 2)] = 2x2 - 2x 2. Û Û. - x +x 3x + 1 + (x + 1) x2 - x 3x + 1 + (x + 1). 3. + +. 2. - 2(x + 6x - 7x) 3. (19x + 8)2 + 3 19x + 8 + (x+ 2)2 2(x2 - x)(x + 7). 3. (19x + 8)2 + 3 19x + 8 + (x+ 2)2. 0,25. = 2x2 - 2x + 2(x2 - x) = 0. éx - x = 0 ê 1 2(x + 7) Û ê (*) ê + + 2 = 0 ê 3 (19x + 8)2 + 3 19x + 8 + (x+ 2)2 ê ë 3x + 1 + (x + 1) éx = 0 2 (3) Û x - x = 0 Û ê êx = 1 (*) ê x ³ 0 ë Vì nên vô nghiệm. Do đó (x;y) Î {(0;0),(1;1)}. 0,25. 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 4. (1,5 điểm). .. Nội dung a). 0,25 0,25 Điểm 0,75 điểm. Đường phân giác trong AI, I là chân đường phân giác. uur IB AB AB uur = IB = .IC AC , Vì I nằm giữa B và C nên AC Khi đó IC Ta có: uuur uuur AB = (2;4) ; AC = (10;- 5). 0,25. AB = 22 + 42 = 2 5 AC = 102 + 52 = 3 5 uur uur uur r 2 uur IB = - .IC Û 3IB + 2IC = 0 3 Suy ra uur uuur uuur r Û 5AI - (3AB + 2AC ) = 0 uur 1 uuur uuur Û AI = (3AB + 2AC ) 5 uur 26 2 Û AI = ( ; ) 5 5 Suy ra AI : (x - 2) - 13(y + 3) = 0 Û x - 13y - 41 = 0. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> b) A(2;- 3);B(4;1),C(12;2) Có hai trường hợp xẩy ra là:. 0,75. ìï x = 12 + t Þ CD : ïí ïï y = 2 + 2t AB / / CD î TH1: 49 12 P = CD Ç d Þ D( ;) 5 5 ìï x = 4 + 2t Þ BD : ïí ïï y = 1- t î TH2: AC / / BD 32 7 P = BD Ç d Þ D( ;- ) 3 3 Vậy trên d có hai điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán là:. D(. 0,25. 0,25. 0,25. D(. 49 12 ;) 5 5 hoặc. 32 7 ;- ) 3 3.. Câu 5 (1,5 điểm) Điểm. Nội dung. 0,75. a) Theo giả thiết SA là đường cao của hình chóp. Hai mặt phẳng (SAD ) và (BCM ) lần lượt chứa AD. S. và BC mà AD / / BC nên chúng cắt nhau theo giao tuyến MN / / AD / / BC nên thiết diện là hình thang. N. 0,25. M. BCNM .. D. Lại có. A. C B. AD ^ mp(SAB ) Þ MN ^ mp(SAB ) Þ MN ^ MB nên thiết diện là hình thang vuông tại B và M .. 1 SBCNM = (BC+ MN )BM 2 Nên Do. Û. MN / / AD Þ. (1). SM MN = SA AD. 2a - x MN b(2a - x) = Û MN = 2a b 2a. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2. 2. Tam giác vuông ABM có BM = a + x Thay vào (1) ta được: b). SBCNM. 0,25. b(4a - x) 2 = a + x2 4a. 0,75. 1 V = VS.ABCD Þ VS.ABC =VS.BCD = V 3 Gọi Còn. VS.MNCB = VS.M BC +VS.MNC. Lại có. (2). VSMBC SM .SB .SC SM 2a - x = = = = t > 0 (0 < x < 2a) VSABC SA.SB .SC SA 2a. Þ VSMBC =. 0,25. SM 1 . V. SA 2 2. 2. æ ö æ VSMNC SM .SN .SC SM ÷ SM ö 1 ÷ ç ÷ ÷ = =ç Þ V = . V. ç ç ÷ SMNC ÷ ç ç SA ø ÷2 VSADC SA.SB .SC èSA ÷ ø è. Thay vào (2) ta được. VS.MNCB. 1 = V 2. 2 æ æ ö æ öö ÷ ç SM SM ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ + ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ SA SA ç ÷ èè ø è øø. 0,25. Theo giả thiết. VS.MNCB. 1 = V 2. 2 2 æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ÷ ÷ ç ç SM SM 1 SM SM ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ +ç = V Û çç +ç =1 ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ SA SA 2 SA SA è ø è ø è ø è ø ç ç ÷ ÷ è ø è ø. ìï t2 + t - 1 = 0 5- 1 Û ïí Û t= ïï t > 0 2 î Þ. 2a - x 5- 1 = Û x = (3 2a 2. Vậy khi x = (3 -. 5).a. 0,25 .. 5).a thì mặt phẳng (MBC ) chia hình chóp thành hai phần có. thể tích bằng nhau. Câu 6. (1,0 điểm) Nội dung. Điểm 1,0 điểm.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ìï y2 + xy + y2 = 3 ï Û í 2 ïï y + yz + z2 = 16 ïî Ta có. 2 ìï x2 x ïï 1 ïï 3(y- 2) + 4 = 1 í ï 3 2 1 z2 ïïï z + (y + ) = 1 16 2 ïî 64. 0,25. Cộng từng vế hai đăngr thức trên ta được 2. 1 x x 3 1 z (y- )2 + + z2 + (y + )2 = 2 3 2 4 64 16 2 2. 1 x x 3 1 z (y + )2 + + z2 + (y + )2 ³ 2 4 64 16 2 Lại có 3 1 2 ³ (x y + yz + zx) Û P £ 8 4 7 x= ,y = 31 Đẳng thức xẩy ra chẳng hạn khi MaxP = 8 khi x = Vậy. 7 31. ,y =. 4 31. ,z =. 1 x 1 z (y + )z + (y + )x 4 2 4 2. 4 31. ,z =. 20 31. .. ………. Hết……….. 20 31. 0,25. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>