Chinh phuc diem 8He phuong trinhPTBPTThSTruong Nhat Ly

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề 8. PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH (với sự trợ giúp toàn diện của MTĐT CASIO hoặc VINACAL) PHẦN 1 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Hiện nay trong kì thi Quốc Gia ta thường gặp phương trình vô tỉ dạng không mẫu mực. Do đó ta cần trang bị các công cụ mạnh để chinh phục câu hỏi thuộc loại tương đối khó này. Ta sẽ đi nghiên cứu một số phương pháp mạnh mẽ và hay dùng như: Phương pháp Lũy thừa đưa phương trình thành phương trình bậc cao, thường là bậc nhỏ hơn 7, sau đó phân tích thành nhân tử; Phương pháp Liên hợp; Phương pháp đổi biến và Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số. Dù ta có dùng phương pháp nào đi chăng nữa thì cũng phải cần sự hổ trợ đắc lực của MTĐT Casio/Vinacal thì ta mới có đường lối và lời giải chính xác trong khoảng thời gian ngắn nhất. Một bài toán về phương trình thông thường ta có thể giải quyết bằng nhiều phương pháp khác nhau. Song việc lựa chọn phương pháp nào để giải đúng, giải nhanh gọn và đẹp là điều không phải ai cũng làm được. Để nâng cao sức tính giúp ta cảm nhận bài toán và lựa chọn phương pháp giải hợp lý trong thời gian ngắn nhất không có cách nào tốt bằng việc chúng ta học hỏi nhanh chóng từ người có nhiều kinh nghiệm và sau đó tự mình rèn luyện thật nhiều để kiểm chứng những kĩ thuật học được. Cách xử lí phương trình và bất phương trình là tương đối giống nhau, vì vậy ta chủ yếu xét các bài toán giải phương trình. Khi giải hệ phương trình theo xu hướng ra đề hiện nay thì chẳng qua là tìm mối quan hệ của biến này theo biến kia từ một phương trình của hệ sau đó thế vào phương trình còn lại, từ đây ta lại gặp bài toán giải phương trình. Do đó việc nắm thật vững các kỹ năng giải phương trình là điều cực kì quan trọng, có khi việc giải phương trình trong quá trình giải một hệ nó lại còn khó hơn việc tìm mối quan hệ giữa hai biến của hệ. Các kỹ năng này các em sẽ được hướng dẫn chi tiết trên lớp một cách cẩn thận nhất! Tài liệu chỉ đưa ra các bài toán để phục vụ việc luyện tập, còn những kiến thức thuộc phạm trù lí thuyết và phương pháp sẽ được cung cấp trên lớp. Các bài toán về phương trình sẽ không cho trước đáp số bởi vì các em có thể dùng CASIO để tìm hết các nghiệm của nó, ngoại trừ bài toán về bất phương trình sẽ được cho đáp án để các em tự luyện ở nhà. Một lý do nữa.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> tài liệu không đưa ra đáp số của phương trình bởi vì nếu làm như vậy sẽ gián tiếp giúp các em lười bấm máy dẫn đến kĩ năng dùng máy kém là điều khó tránh khỏi. I. LŨY THỪA ĐƯA ĐẾN BẬC CAO VÀ PHÂN TÍCH NHÂN TỬ NHỜ CASIO ? Em có biết cách giải phương trình bậc 4 ? 4. 3. 2. Chẳng hạn, giải phương trình sau 16 x  32 x  232 x  81x  1 0 ? Em có biết cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm? 4 3 2 4 3 2 Chẳng hạn, CMR các phương trình sau x  2 x  x  x  3 0 , 2 x  x  10 x  9 x  36 0 vô nghiệm? ? Em có biết cách chứng minh phương trình bậc 6 vô nghiệm?. 2 Bài 1 (ĐH KD 2006). Giải phương trình 2 x  1  x  3 x  1 0. Bài 2 (Đề thi thử ĐH Hồng Đức 2012). Giải phương trình. (x . 1 1 ) x 2  3x  2 3x 2 4. 2 Bài 3 (Đề thi thử Chuyên PBC-Nghệ An 2011). Giải phương trình 4 x  8 x  2 x  3 1. Bài 4. Giải phương trình. 2 x 2. 3. 2 x 2  6 x  3 0. x2  2 x  8 ( x  1)( x  2  2) 2 Bài 5. (Đề thi QG 2015) Giải phương trình x  2 x  3 2 2 (2 x  5) 2 x  3 ( x 1) x 1 3 3 Bài 6. Giải phương trình. Bài 7. Giải phương trình ( x  3) x  1  x 4  x 2 x  3 Bài 8. Giải phương trình. x 2  4 x  3  x 2  x  3x 2  4 x 1. Bài 9. Giải phương trình. x 2  9 x  1  x 11  3x 2 x  3. 3 3 Bài 10. Giải phương trình 2 2 x  1  x  1. 2 2 Bài 11. Giải phương trình 3x  2 x  7 3( x  1) x  3. 2 7 x   1 7 x 2  x  2 x Bài 12. Giải phương trình 3 2 Bài 13. Giải phương trình 2  x  2  2 x  6 x  3. 2 Bài 14. Giải phương trình x  6 x  3 4 x 2 x  1 2 Bài 15. Giải phương trình 3( x  1)  4 x 4 x 4 x  3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2 4 Bài 16. Giải phương trình 3x  4 x  23 3 x  8 x  63. 2 4 Bài 17. Giải phương trình 8 x  20 x  1  64 x  1 2 4 2 Bài 18. Giải phương trình 5 x  x  5 5 x  x  1 3 2 2 Bài 18. Giải phương trình 2 x  x  6 x  9 3 9  3 x (Đề thi thử Chuyên PBC-Nghệ An 2015). 2 Bài 19. Giải bất phương trình 2 x  3x  2 x 3x  2. (1 x 2) 1  17 (  x 3) 8. 2. Bài 20. Giải bất phương trình 4 x  3 x  3 8 x x  1 2 3 Bài 21. Giải bất phương trình ( x  1)  3 2 x  1. (4 . 2 3 Bài 22. Giải bất phương trình x  13  3 x  2 x  3 9 x. ( x 1). 2 3 Bài 23. Giải bất phương trình 3x  27 7 x  x  10. ( x 2). 2 4 Bài 24. Giải bất phương trình x  4 x  2  x  4. ( x 0). 4 2 Bài 25. Giải bất phương trình 3 81x  4 27 x  42 x  6. ( x 0). 6  x 4  6). II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ (Phần này dễ nhất nên các em tự nghiên cứu sau đó trao đổi nếu không hiểu nhé!) 1. Phương trình có chứa f ( x) và Bài 1. Giải các phương trình sau. n. f ( x). 2 1) ( x  1)( x  4) 5 x  5 x  28. Nghiệm 4;  9. 2 2 2) 5 x  10 x  1 7  2 x  x 2 3) (4  x)(6  x)  x  2 x  12 3. 2. 4) x( x  5) 2 x  5 x  2  2 Bài 2. Tìm để phương trình có nghiệm 2 1)  x  2 x  4 (3  x)(1  x) m  2 2 2)  2 x  5 x  4 (3  x)(1  2 x) m  2. Bài 3. Giải các phương trình sau 1). 5 x. 5 2 x. 2 x . 1 4 2x. m  [  1;11] m  [  1;. 41  56 2 8. ].

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2). 3 x. 3 2 x. 2 x . 1 7 2x. 2. Phương trình có chứa. A  B và. AB. Bài 1. Giải các phương trình sau 1). 2 x  3  x  1 3x  2 2 x 2  5 x  3  2. Nghiệm 25  6 17. 2 2) 7 x  7  7 x  6  2 49 x  7 x  42 181  14 x. 3). x  4  x  4 2 x  12  2 x 2  16. 2 4) 3x  2  x  1 4 x  9  2 3x  5 x  2 2 Bài 2. (ĐH KB – 2011) Giải phương trình: 3 2  x  6 2  x  4 4  x 10  3x. Đặt t  2  x  2 2  x . Nghiệm Bài 3. Tìm m để phương trình có nghiệm 2 1) 1  x  8  x   x  7 x  8  m. x. m [. 6 5. 6 2 9 ;3] 2. 2) 3  x  6  x  (3  x)(6  x) m 3) 3( 1  2 x  1  x ) m  x  2 1  x  2 x 2. 3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Giải các phương trình sau: 2 2 2 1) x  3 x  x x  2 1  2 x  2. 2 Đặt t  x  2 nghiệm t 3;1  x. 2 2 2) ( x  1) x  2 x  3  x  1. 2 2 3) x  1 2 x. x  2 x 2 2 4) 3 x  x  48 (3 x  10) x  15 2 2 5) 2( x  1). x  2 x  1 x  2 x  1 2 2 6) x  4 x ( x  2). x  2 x  15  39 2 2 7) (1  4 x) 4 x  1 8 x  2 x  1 3 3 8) (4 x  1) x  1 2 x  2 x  1 3 3 9) x  3x  2 ( x  2) x  2 x  1. 4. Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ Bài 1. Giải các phương trình sau:. Nghiệm x 1  2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2 2 a) ( x  2) x  x  4 2 x bình phương, chia x. b). Đặt. t x . 4 x  t 0;5 thử lại  x 4. x 2  3x  2  2 x 2  x  2 2 x chia cho x  Nghiệm x 2. 2 (ĐH KB 2012) x  1  x  4 x  1 3 x Chia 2 vế cho. t x. x và đặt. 1 1  0  x   x 4 4 x. Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 3 1) 2( x  2) 5 x  1. 2 2) 5 x  14 x  9 . x 2  x  20 5 x  1. 2 2 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 x  5 x  2 5 ( x  x  20)( x  1).  2( x 2  4 x  5)  3( x  4) 5 ( x  4)( x 2  4 x  5) 2. x2  4 x  5 x2  4x  5 5  61  3 5  x 8; x4 x4 2. 2 3) 7 x  25 x  19 . x 2  2 x  35 7 x  2. 2 2 Chuyển vế, bình phương ta được : 3( x  5 x  14)  4( x  5) 7 ( x  5 x  14)( x  5) .. Chia 2 vế cho ( x  5)  Nghiệm. 3  2 7;. 61  11137 18. 5. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau: 2. 2. 2. 1) 2( x  2) 5 x  1 Đặt a  x  1; b  x  x  1 PT  2a  2b 5ab 2. 3. 2. 2.  x. 2. 5  37 2. 2 3 2) 2 x  5 x  1 7 x  1 Đặt u  x  1; v  x  x  1 PT  3u  2v 7uv  x 4  6 2 2 Phương trình đã cho có dạng a.u  b.v c.uv trong đó căn thường uv 2 2 4 2 3) x  3 x  1  x  x  1 2. 2. Cách 1: Đặt a  x ; b  x  1 . PT  a  3b  a  b nghiệm: x 1 2 3 2 Cách 2 : Đặt a  x , thay vào PT ta được 36a  136a  200a  100 0  a 1 2 4) 5 x  14 x  9 . 2. 2. x 2  x  20 5 x  1. 2 2 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 x  5 x  2 5 ( x  x  20)( x  1).  2( x 2  4 x  5)  3( x  4) 5 ( x  4)( x 2  4 x  5). Bài 2. Giải phương trình:.  x 8;. x 2  2 x  2 x  1  3x 2  4 x  1. 5  61 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Điều kiện:. x. 2. x. 1 2 . Bình phương 2 vế ta có:.  2 x   2 x  1 x 2  1 . x. 2.  2 x   2 x  1  x 2  2 x    2 x  1.  1 5 v u  2 2 2 uv u  v   u  x 2  2 x  1 5  u v   2 Ta có thể đặt: v 2 x  1 khi đó ta có hệ : 1 5 1 5 u v  x2  2x   2 x  1  2 x 2  2 1  5 x  u , v  0 2 2 Do . nên. . '. .   1. 5. . 2. 2. .  . 5  1 4 1 . Bài 3. Giải phương trình:.  . . 5  1 0. .. . 5 0  PT vô nghiệm.. 4 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1 9 x  3 ..  4 x 2  5 x  1 a  a b  a, b  0   a  b a 2  b 2   a  b   a  b  1 0   2 2 x  x  1 b  a  b 1 . Đặt  . ta có :  4 x 2  5 x  1 4 x 2  4 x  4     4 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1 1. 1  x   3   2 2  4 x  5 x  1 1  2 x  x  1. 1   x 3   x 4  9. 3 2 3 Bài 4. Giải phương trình: x  3 x  2 ( x  2)  6 x 0 3 2 3 3 3 Đặt y  x  2 ta được phương trình: x  3 x  2 y  6 x 0  x  2 y  3x( x  2) 0.  x y  x 3  3xy 2  2 y 3 0    x 2; 2-2 3 x  2 y  2. Bài 5. Giải phương trình: 7 x  25 x  19 . 2. x  2 x  35 7 x  2. 2. ĐS: 2. 3  2 7;. 61  11137 18. Chuyển vế, bình phương ta được: 3( x  5 x  14)  4( x  5) 7 ( x  5 x  14)( x  5) Bài tập tự luyện:   A(x)   .B(x)  A(x).B(x) 2 2 Lưu ý 2 dạng quang trọng:   .u   .v  m.u  n.v. Giải các phương trình, bất phương trình sau: 2 2 1) 5 x  2 x  2 5 x x  x  1. 6x2  4x  8 5 2 x 2  3 x 1 2). ( x  0).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2 3 3) 3x  27 7 x  x  10. ( x 2). 2 3 4) x  13  3 x  2 x  3 9 x. ( x 1) 4 . 2 3 5) ( x  1)  3 2 x  1. 6;4  6 . 2 4 2 6) 5 x  x  5 5 x  x  1 2 4 7) 2 x  x  1  4 x  1 2 4 8) 8 x  20 x  1  64 x  1 2 4 9) 3x  4 x  23 3 x  8 x  63. 2 x  1  2 2  x 3 4 (2 x  1)(2  x). 10). 2 4 11) 3 3x  2  4 4 x  3 7 12 x  17 x  6. 12). 3. 2. 2. 3. 3. 2. x  6x  9  4 6x  x  9  5 9  x  0. 2 3 13) 4 x  25 x  14 3 x  31x  30. (x . 65 ) 21.  7  53   7  53  ;1   5;   2 2    . 2 14) x  1  2 x  1  3 x  8 x  4 2 15) 2 x  2 x  1 1  4 x  2 x  4. x  (2(4 x 2  3 x  1). 16) 2 x  1 . ( x 0). 2 17) x  1  2 x  1  3 x  8 x  4 2 2 18) x  1  2 x  3x  3  9 x  23x  19. 6 x2 x 2. 19) 3  3x  14 x  27. 1.  1;3. 2 2 20) 2 2 x  3  x  3x  4  x  19 x  28. 2 x  2  x2  x  7. 21). 10 x 2  9 x  2  7 3 2 x  1  x2 1  5. 1. (VN). 22). 2 5x  2x  6  5. 1. 1 (x  ) 2. 23). x 2  x  1  2 x 2  2 x  3  9 x 2  13 x  17. ( x  2). 2. 3 2 3 2 24) x  x  x  2  3x  4 x  6. 25). x  2  x3  x  2  3x3  4 x  4. 3 3 3 26) 2 x  x  2  x  2 x  2  x  5 x  14 2 2 27) 5 x  24 x  28 5 x  2  x  x  20. ( x  3 4).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 28). x2  x  6  3 x  1 . 3x 2  6 x  19 0. 6. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Bài 1. Giải phương trình 3 2 x  1  6 x  4  (2 x  1)( x  4)  7 0 u  2 x  1   v  x  4  Đặt . 3u  6v  uv  7 0  2 2 2v  u 7. Bài 2. Giải các phương trình sau 3 1) 2 3 x  2  3 6  5 x  8 0 (ĐH KA – 2009). Nghiệm x  2. 3 2) 2 3 x  2  3 6  5 x  16 0. 2 2 3) x  17  x  x 17  x 9. Nghiệm x  2 Nghiệm x 1; 4. 3 3 3 3 4) x. 35  x .( x  35  x ) 30. Nghiệm x 2 ; 3. 1 1  2 2 x 2  x 5). Nghiệm. 3 3 6) x  1 2. 2 x  1 3. Nghiệm. x 1;.  1 3 2. x 1;.  1 5 2. 3. 7) x  2 3. 3 x  2 2 Bài 3. Giải phương trình 33  2 x  x (2 . x  1) 2. ( x 2  2 2). (Đề nghị Olympic 30/04/2012). III. PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP VỚI SỰ HỔ TRỢ ĐẮC LỰC CỦA CASIO Phương pháp liên hợp là một công cụ rất mạnh dùng để tách nhân tử khi gặp những phương trình vô tỉ phức tạp không mẫu mực một biến hoặc hai biến. Có nhiều cách liên hợp để phân tích phương trình thành nhân tử, nhưng chung qui thì chúng đều tuân theo các bước sau đây: Thuật toán chung: (Các em sẽ được hướng dẫn chi tiết trên lớp) Bước 1: Dùng MTĐT tìm hết các nghiệm của phương trình (nhớ là phải tìm hết nghiệm). Bước 2: Tùy theo tính chất tập nghiệm của phương trình, ta đi tìm biểu thức liên hợp cho từng căn thức. Bước 3: Nhân liên hợp để phân tích phương trình thành nhân tử. Bước 4: Giải, đánh giá mỗi phương thành phần và đưa ra kết luận về nghiệm của phương trình… 1. Liên hợp ghép đối xứng (liên hợp trực tiếp).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài 1. Giải phương trình: 3x  1  2 x  x  4  5 Bài 2. Giải phương trình: 9( 4 x  1  3x  2) x  3 Bài 3. Giải phương trình:. 2x  4 . 6x  4 x2  4. 2 2 x. Bài 4. Giải phương trình: 10 x  1  3x  5  9 x  4  2 x  2 2 Bài 5. Giải phương trình: 3x  2  x 1 2 x  x  3. Bài 6. Giải phương trình: 3x  1  x  3 2 x  2 x  2 Bài 7. Giải phương trình:. 3x 2  5 x  1 . x 2  2  3  x 2  x  1 . x2  3x  4. 2 2 2 2 Bài 8 (Thi thử ĐH SP Hà Nội 2013). Gpt: 3 x  7 x  3  x  2  3x  5 x  1  x  3 x  4. Bài 9. Giải phương trình:. 3  x  2  x x3  x 2  4 x  4  x  x  1. 2 2 Bài 10. Giải phương trình: 2 x  3 x  5  2 x  3 x  5 3 x. 2. Liên hợp có một nghiệm hữu tỉ đơn 2 Bài 1 (ĐH Khối D 2006). Giải phương trình: 2 x  1  x  3x 1 0. Bài 2. Giải phương trình: 3(2  x  1) 2 x  x  6 Bài 3. Giải phương trình: 2 x  3  x 2 x  6 2 Bài 4. Giải phương trình: x  9 x  20 2 3 x  10 2 Bài 5. Giải phương trình: 4 x 1  2 2 x  3 ( x  1)( x  2). 2 Bài 6 (ĐH Khối B 2010). Giải phương trình: 3x  1  6  x  3x  14 x  8 0 2 Bài 7. Giải phương trình: 2 x  5 x  1  x  2  4  x 2 3 Bài 8. Giải phương trình: 2 x  11x  21  4 x  4. 3 Bài 9. Giải phương trình: 2 3x  2  3 6  5 x  16 0 2 2 Bài 10. Giải phương trình: 2 x  7 x  10  x  x  12 x  20. Bài 11. Giải phương trình sau:. x 2  12  5 3 x  x 2  5. 2 3 Bài 12. Giải phương trình sau: 5 x  1  9  x 2 x  3 x  1. Bài 13 (HSG Hà Nội 2013). Giải phương trình sau:. 3. x  9  2 x 2  3x  5 x  1  1. 2 Bài 14 (ĐH KD 2014). Giải bất phương trình: (x 1) x  2  ( x  6) x  7 x  7 x  12 ( 2  x 2).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài 15. Giải bất phương trình: Bài 16. Giải bất phương trình:. 2. x  2  x  x  2  3x  2 3. 2. 2 x 1  x  5x  5x  1. 2 Bài 17. Giải bất phương trình: 4 x  1  2 2 x  3 ( x  1)( x  2). 2 (  x 2) 3 (. 1 x  4) 2. ( x  1  x 3). 2 Bài 18. Giải phương trình: 2 x  5 x  1  x  2  4  x (TH&TT) 2 Bài 19. Giải phương trình: 3x  14 x  13 ( x  1) 4 x  5  2( x  5) x  3 2 Bài 20 (TH& TT – T11/396). Giải phương trình: 4 x  2  22  3x  x  8. 3. Liên hợp truy ngược dấu (không cần đánh giá): Đây là kĩ thuật rất quan trọng đòi hỏi các em rèn luyện nhiều, áp dụng cho phương trình có duy nhất nghiệm x0 hữu tỉ. Khi đó đưa phương trình về dạng ( x  x0 ).D( x) 0 , ta không cần biến đổi gì nữa cũng chỉ ra được D(x) vô nghiệm trên tập điều kiện của phương trình. 3 2 Bài 1. Giải phương trình: 2 x  3 x  17 x  26 2 x  1 2 Bài 2. Giải phương trình: x  2 x  7  2 x  3 3 2 Bài 3. Giải phương trình: x  x  2 x  3  2 x  3 3 Bài 4. Giải phương trình: x  x  3  2  x 0 2 Bài 5. Giải phương trình: 2 x  5 x  1  x  2  4  x (TH&TT). 2  x  2 3 x  1 4 x  1. Bài 6. Giải phương trình:. 2 Bài 7. Giải phương trình: x  4 x 2 3x  1  2 x  1 2 3 Bài 8. Giải phương trình: ( x  1)( x  1)  2 5  x  2 x  1 5. Bài 9. Giải phương trình:. 3. x  6  x  1 x 2  1. 3 Bài 10. Giải phương trình: 3 x  1  4 x  1 10 x  2. Bài 11. Giải phương trình:. 3. x  1  2 x  3 x 2  3x  8. 2 3 Bài 12. Giải phương trình: 2 3 x  5  3x  1  x  4 x  1 2 2 2 3 Bài 13. Giải phương trình: 5 x  3 ( x  1)(2 x  3  x )  3x  5 2 Bài 14. Giải phương trình: x 2 x  x 1 . 3. 2 x  2 2 x3  x 2  x  1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2 2 Bài 15. Giải phương trình: 3x  4  2 x  3 (1  x)( x  2 x  3) 2 3 2 Bài 16. Giải phương trình: ( x  2) x  3x  3  2 3 x  1 x  5 x  13 x  6 2 Bài 17 (ĐH KD 2014). Giải Bpt: ( x  1) x  2  ( x  6) x  7  x  7 x  12 ( 2 x 2) 2 Bài 18. Giải phương trình: 3x  14 x  13 ( x  1) 4 x  5  2( x  5) x  3 2 Bài 19. Giải phương trình: 5x  (3x  1) 2  x 17 x  28  3( x  13) 2 x  1 2 Bài 20. Giải phương trình: 2(8 x  7 x  1) ( x  1) 2 x  3  2(3 x  1) 4 x  2  Bài 21 . Giải phương trình: ( x  2) x  1  (4 x  5) 2 x  3  6 x  23. Bài 22. Giải phương trình: x  3  ( x  1) x  1  (x  1) x  2 0 Bài 23. Giải phương trình: (8 x  13) 4 x  7 12 x  35  2( x  2) 2 x  3 Bài 24. Giải phương trình: (3x  8) x  6  (4 x  13) x  2 4 x  12 2 Bài 25 (TH& TT – T11/396). Giải phương trình: 4 x  2  22  3x  x  8 2 Bài 26. Giải phương trình: 2 x  5 x  x  2  4  x  2 x  5 2 3 Bài 27. Giải phương trình: x  14 x  1  2 x  1  2 9 x  4  2 4  x 2 3 Bài 28. Giải phương trình: 15 x  6  2 x  1  x  1  2 11x  4 2 2 Bài 29 (TH& TT – T4/419). Giải phương trình: 6( x  1) x  1  ( x  2)( x  1  3) x( x  2) 3 Bài 30. Giải phương trình: ( x  6) x  2  1  3 x  7. Bài 31. Giải phương trình:. x  1  x  3  2 ( x  1)( x 2  3 x  5) 2 x. Bài 32 (Cuộc thi 45 năm TH& TT ). Giải phương trình:. x 2  9 x  1  x 11  3 x 2 x  3. 4. Liên hợp có hai nghiệm hữu tỉ đơn hoặc hai nghiệm vô tỉ đơn có tổng, tích hữu tỉ 2 Bài 1. Giải phương trình: 3x  1  5 x  4  3 x  x  3 0 2 2 Bài 2. Giải bất phương trình: 2 x  x  3  x  x  21x  17. 2 Bài 3. Giải bất phương trình: 2 x  4 x  9  5 x  6  7 x 11 0 2 2 Bài 4. Giải bất phương trình: x  x  1 ( x  2) x  2 x  2 4 2 4 Bài 5. Giải bất phương trình: x  x  4  x  20 x  4 7 x 2 Bài 6. Giải bất phương trình: 2 x  3  2( x  1) x  7 4 x 13 x  13. ( 3 x 1).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 3 2 Bài 7. Giải phương trình: x  3 x  1  8  3 x. Bài 8. Giải phương trình:. x 2  x  1  x  2  x 2  2 x  2. 3 2 Bài 9. Giải phương trình: ( x  4) x  2  x  x  x  5. 3 2 Bài 10. Giải phương trình: 5 x  22 x  22 x  6  4 x  3 0. 2 Bài 11 (DB KD 2006). Giải phương trình: x  2 7  x 2 x  1   x  8 x  7  1 2 2 2 Bài 12. Giải phương trình: 2 x(4 x 1) (x  3 x 1) x  3 x 2 2 3 2 Bài 13. Giải phương trình: 7 x  13 x  8 2 x . x(1  3 x  3x ). 5. Liên hợp có nghiệm vô tỉ đơn 2 Bài 1. Giải phương trình: x  4 x  3 ( x  1) 8x  5  6 x  2. Bài 2. Giải phương trình: 2 x  5  3 2 x  7 2 x 1 3 2 Bài 3. Giải phương trình: x  x  x  5 ( x  4) x  2 2 Bài 4. Giải phương trình: (1  x) 2 x  3  2 x  3 0. Bài 5. Giải phương trình: x  3  3x  1 2 x  2 x  2 2 Bài 6 (ĐH KD 2006). Giải phương trình: 2 x  1  x  3x 1 0. x2  2x  8 ( x  1)( x  2  2) 2 Bài 7. (Đề thi QG 2015) Giải phương trình: x  2 x  3 (có thể giải 5 cách) 3 2 2 Bài 8. Giải phương trình: x  x ( x  1) x  1  1. 3 2 Bài 9. Giải phương trình: x  3 x  1  8  3 x 2 Bài 10 Đề thi thử Chuyên PBC-NA 2011. Giải phương trình: 4 x  8 x  2 x  3 1. 3 2 Bài 11. Giải phương trình: 12 x  46 x  15 . Bài 12. Giải phương trình:. 3. x3  5 x  1 2( x 1). x2  x 1 x2 1   2 2 x4 2 x 1. 3 2 Bài 13. Giải phương trình: x  3x  1  8  3 x 2 2 Bài 14. Giải phương trình: x  x  1 ( x  2) x  2 x  2. 6. Liên hợp có nghiệm kép hữu tỉ Lưu ý: Cách kiểm tra nghiệm bội:.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ( n) x0 là nghiệm bội n của f(x)  f(x0) = 0 và f(k)( x0) = 0 k 1, n  1 , f ( x0 ) 0 2 Bài 1. Giải phương trình: 2 2 x  3  9  4 x x  4 x  7 2 Bài 2. Giải phương trình: x  x  2  2 x 0. Bài 3. Giải phương trình: 2 x  1 2 x  2 x  1 2 3 Bài 4. Giải phương trình: 2 x  3x  7  3 4 x  4 0 2 3 Bài 5. Giải phương trình: x 1  2 x  1  3x  2 3 2 3 Bài 6. Giải phương trình: x  2 x  4 x  1  4 x  3  3 x  2. 7. Liên hợp có nghiệm kép vô tỉ 2 Bài 1. Giải phương trình: x  5 x x 3 x  1  ( x  1) 5 x 4 3 Bài 2. Giải phương trình: x  2 x  3x  2 2 x x  1 0. x 2  4 x  2  (1  2) x  2  2 x  1 Bài 3. Giải phương trình:. Bài 4. Giải bất phương trình:. 3( x 2  2) . 4 2 2. x  x 1.  x ( x  1  3 x 2  1). 1 5 ( x 1  x  ) 2 ĐS:. (Đề thi thử THPTQG 2015 – THPT Chu Văn An – Hà Nội) 3 2 2 Bài 5. Giải phương trình: x  x  x  2  2( x  1) x  x  2 x 1  x 0. 2 3 2 Bài 6. Giải phương trình: x  x  4 ( x  1) x  2  x  x  4 x  6. 8. Liên hợp ngược – Tạo tích nhân tử căn 2 Bài 1. Giải phương trình: x  6 x  3 4 x 2 x  1 2 Bài 2. Giải phương trình: 3x  4 x  3 4 x 4 x  3 2 Bài 3. Giải bất phương trình: 2 x  3x  2 x 3x  2. 2. Bài 4. Giải bất phương trình: 4 x  3x  3 8 x x  1 3 2 Bài 5. Giải phương trình: (7 x  9) 7 x  10 2 x  7 x  11x 3 2 Bài 6. Giải phương trình: ( x  4) x  2  x  x  x  5. 2 2 Bài 7. Giải phương trình: 10 x  3x  6  2(3 x 1) 2 x  1 0 2 3 Bài 8. Giải phương trình: 2 x  5 x  1 7 x  1. ( 1 x 2 ) 1  17  x 3 ( 8 ).

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 3 2 2 2 Bài 9. Giải phương trình: 6 x  15x  x  1 (3x  9 x  1) x  x  1. x2  2x  8 ( x 1)( x  2  2) 2 Bài 10. (Đề thi QG 2015) Giải phương trình: x  2 x  3 3. 2. Bài 11. Giải bất phương trình: 2 x (1  2 x  3 x ) 2 x  1. ( x 1 . 2 . 1 1 5 x  ) 2 2. 3 2 3 Bài 12. Giải phương trình: 8 x  12 x  5 x  3x  2. (Lưu ý: Phương pháp này không mạnh vì bản chất giống đặt ẩn phụ mà giải khá cồng kềnh và thường thì chỉ giải thuận lợi với phương trình có duy nhất một căn). 9. Liên hợp xét tổng hiệu Phương pháp này thường dùng khi phương trình có tổng hai căn bậc hai phức tạp. 2 Bài 1. Giải phương trình: x  2 x  2 x 1  x  1 2 2 Bài 2. Giải phương trình: x  3x  3  x  5 x  1  x  1 3 2 2 2 Bài 3. Giải phương trình: x  x 1  x  2 x  x  1 4 Bài 4. Giải phương trình: x  8 x  x  7 x  1  x  1 2 2 Bài 5. Giải phương trình: x  16  2 x  3 x  4  x  1  1. 2 2 Bài 6. Giải phương trình: x  1  ( x  1) x  2 x  3 0. IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1. Dùng tính đơn điệu của hàm số ? Cho biết dấu hiệu để chọn phương pháp này? ? Em có biết sử dụng MTĐT CASIO vào dạng này như thế nào không? 4 x  1  4 x 2  1  1 0. Bài 1. Giải phương trình:. 3 2 4 Bài 2. Giải phương trình: x  x  x  3 x  1 3. Bài 3. Giải phương trình:. 3. x  6  x 2 7 . x 1. (Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng 2011) 3 3 Bài 4. Giải phương trình: 5 x  1  2 x  1  x 4 2 2 Bài 5. Giải phương trình: 3( 2 x  1  1)  x(1  3 x  8 2 x  1) 3 Bài 6. Giải phương trình: (4 x  1)( 3x  5  x  3) 4 x  8.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 3 Bài 7. Giải phương trình: ( x  1)(3 x  6  2 x  1)  x  6. (Đề thi HSG tỉnh Thái Bình 2010). Bài 8. Giải phương trình: ( x  2)(2 x  1)  3 x  6 4  ( x  6)(2 x  1)  3 x  2 (Đề thi HSG tỉnh Cao Bằng 2014 - 2015) 2 3 3 Bài 9. Giải phương trình: ( x  1)  2 x  1  ( x  5) x  8  3 x  31 0. 2. Dùng hàm đặc trưng ? Cho biết dấu hiệu để chọn phương pháp này? ? Em có biết sử dụng MTĐT CASIO vào dạng này như thế nào không? 3 2 Bài 1. Giải phương trình: (9 x  1) 9 x  1 8 x  12 x  10 x  3 3 Bài 2 (Cao đẳng 2012). Giải phương trình: 4 x  x  ( x  1) 2 x  1 0. 3 2 3 3 3 2 Bài 3. Giải phương trình: 2 x  x  2 x  3x  1 3x  1  x  2. (Đề thi HSG các trường chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ 2010) 3 2 3 Bài 4. Giải phương trình: 8 x  36 x  53 x  25  3x  5 2 Bài 5. Giải phương trình: 9 x  28 x  21  x  1 3 Bài 6. Giải phương trình: ( x  5) x  1  1  3 x  4. Bài 7. Giải phương trình:. 24 x 2  60 x  36 . 1 1  0 5x  7 x 1. (Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh 2011). x. Bài 8. Giải bất phương trình: Bài 9. Giải phương trình:. 1. x 4  2 x3  2 x  1 x3  2 x 2  2 x. ĐS:. x 3 2x  2 x  1 1 x 1 2  2x 3. 3. 2 x  x 2  3x 2 x  x3  3 x  2 0 Bài 10. Giải phương trình: 3. (Chọn đội tuyển Ninh Bình 2010). Bài 11. Giải phương trình:. x 3  3x 2  9 x  13 . 3  2x . 543  9. 27. (Đề nghị Olympic 30/4/2011). ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 1. Đề minh họa THPT 2015. (0;. 3 5 ) 2.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Giải bất phương trình.  1  3;3  13   ĐS: . x 2  x  x  2  3( x 2  2 x  2). 2. THTT số 453 tháng 04 năm 2015 2 Giải phương trình ( x  ln x) 2 x  2  x  1. ĐS: x = 1. 3. THPT Chu Văn An (Hà Nội) 4 2. 3( x 2  2) . x2  x 1. Giải bất phương trình. 1  5    2 .  1;  \ .  x ( x  1  3 x 2  1). ĐS:. 4. THPT Như Thanh (Thanh Hóa) 3 2 3 2 Giải hệ phương trình 4 5 x  6 x  2  4  10 x  8 x  7 x  1  x  13 0. ĐS: x = 1. 5. Sở GDĐT Quảng Nam Giải hệ phương trình. . . 2 x 3  9 x 2  6 x 1  2 6 x  1  2 6 x  1  8 0. ĐS: x 2  2. 6. Sở GDĐT Bình Dương Giải bất phương trình. 4 x  1  6 x  4 2 x 2  2 x  3. 7. THPT Chuyên ĐH Vinh. . 2. Giải bất phương trình. 3. 2. x  5x  4 1  x  2x  4x. . ĐS:.   1 .   1  17 7  65  5;0    ;  2 2  . 8. THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1 Giải phương trình. ( x  2). .  . x2  4x  7 1  x. . x 2  3  1 0. ĐS: x = -1. 9. THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ). Giải bất phương trình. 2 x  5 x  11 . 1   ;2   (4; ) ĐS:  4 . 4 x 2. 10. THPT Chuyên ĐH Vinh lần 3 2 3 2 Giải bất phương trình 3( x  1) 2 x  1  2( x  x ). 11. Sở GDĐT Vĩnh Long. ĐS:. 3 2.  . 3;1  3  2 3; . .

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Giải bất phương trình. 2x  5  2  x. . x  1  3x  4. . ĐS:.  1;2. PHẦN 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1. Hệ đối xứng loại 1 Bài 1. Giải hệ phương trình  x  xy  y 5  2 2 x y  xy 6  a) 2 2  x  xy  y 7  4 x  y 4  x 2 y 2 21 b)  (ĐHSP Hà Nội 2000)  x  y 9 3 x  3 y 5 c)  ĐS: a) (1; 2), (2;1) b) (1;2), (2;1), ( 1;  2), ( 2;  1)  x 2 y  xy 2 30  3 3 Bài 2. Giải hệ phương trình  x  y 35  xy ( x  y )  2  3 3 Bài 3. Giải hệ phương trình  x  y  2 . 1 1  x  y   4  x y   x2  y 2  1  1 4 x2 y 2 Bài 4. Giải hệ phương trình   x 2  y 2  2 xy 8 2  Bài 5. Giải hệ phương trình  x  y  4  x2  y 2  x  y 2  Bài 6. Giải hệ phương trình  xy  x  y  1. c) (1;64), (64;1) ĐS: (2;3), (3; 2) ĐS: (1;  1). ĐS: (1;1). ĐS: (0;1), ( 1;0).  x3  3 x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y   2 1 2 x  y  x  y  2 Bài 7. (ĐH KHỐI A NĂM 2012) Giải hệ  ĐS:.  3 1  1  3  ;   ; ;   2 2  2 2 .

<span class='text_page_counter'>(18)</span>  1  1 9  x y   ( 1  1 )( 1  1)( 1  1) 18 3 3 3 y 3 y x Bài 8. Giải hệ  x (Đề thi chính thức Olympic 30/4/2010 – lớp 10) 1 1 (1; ), ( ;1) ĐS: 8 8  x  y  xy 3  Bài 9. Giải hệ phương trình  x  1  y  1  4 ĐS: (3;3) (Đề thi chính thức Olympic 30/4/2010 – lớp 11  ĐH KA 2006). 2. Hệ đối xứng loại 2  x 2  4 x 3 y  2 Bài 1. Giải hệ phương trình  y  4 y 3x ¿. 4y x 4x y −3 x= y ¿{ ¿. x−3 y=. Bài 2. Giải hệ phương trình.  x3 3x  8 y  3 Bài 3. Giải hệ phương trình  y 3 y  8 x. ĐS: (- 2 ; - 2) (ĐHQGHN 97). (ĐHQGHN 98).  (4 x  2)2  2 y  15  2 Bài 4. Giải hệ phương trình  (4 y  2)  2 x  15 (HSG TP HCM 2004-2005) 2  x  3x  ln(2 x  1)  y  2 Bài 5. Giải hệ phương trình  y  3 y  ln(2 y  1)  x (HSG quốc gia 1994 – bảng B) 2  x  x 2 y  2 Bài 6. Giải hệ phương trình  y  y  2 x (HSG Bến Tre 2010-2011) 2 3 x  y y  2 3 Bài 7. Giải hệ phương trình  y  x  x (Czech And Slovak Mathematical Olympiad 2008) Bài 8. Giải hệ phương trình. ¿ x+ √ y −3=5 y + √ x −3=5 ¿{ ¿.  x 2  91  y  2  y 2  2  y  91  x  2  x 2 Bài 9. Giải hệ phương trình . ĐS: (4; 4).

<span class='text_page_counter'>(19)</span>  x  5  y  2 7  y  5  x  2 7 Bài 10. Giải hệ phương trình . ĐS: (1; 1). 3. Hệ có yếu tố đẳng cấp 2 2  x  2 xy  3 y 9 3 8  2 (1; 2), ( ; ) 2 2 x  2 xy  y  2  17 17  Bài 1. Giải hệ phương trình ĐS: 2 2  x  2 xy  3 y 9  2 2 Bài 2. Giải hệ phương trình 2 x  13 xy  15 y 0 (HV Ngân hàng 2001) 2 2 3 x  2 xy  y 11  2 2 x  2 xy  3 y 17  m   Bài 3. Giải hệ phương trình (ĐHQG TP.HCM 1998) 1) giải hệ khi m= 0 2) Tìm m để hệ có nghiệm  x 3  5 xy 2  3 y 3 2 x  y  2 Bài 4. Giải hệ phương trình  x  2 xy 1 2 2 3  x y  2 xy  y 2  3 3 Bài 5. Giải hệ phương trình  x  y 1  x x  8 y  x  y y  Bài 6. Giải hệ phương trình  x  y 5 ĐS: (9 ; 4) 2 2 3 5 x y  4 xy  3 y  2( x  y ) 0  2 2 2 Bài 7. Giải hệ phương trình  xy ( x  y )  2 ( x  y ) (ĐH KA NĂM 2011). ( 1; 1), ( . 2 2 2 ; ) 5 5. ĐS: 3. 3. 2.  x  8 y  4 xy 1  4 4 Bài 8. Giải hệ phương trình 2 x  8 y  2 x  y 0 2 2 2 x  x( y  1)  y 3 y  2 2 Bài 9. Giải hệ phương trình  x  xy  3 y  x  2 y 1  3 3 3 x  y  x  y  2  2 Bài 10. Giải hệ phương trình  x  y 1  x3  4 y  y 3  16 x 0  2 2 Bài 11. Giải hệ phương trình  y 5 x  4. (Đề nghị Olympic 30/4/2009 ).

<span class='text_page_counter'>(20)</span>  x3  8 x  y 3  2 y  2 2 Bài 12. Giải hệ phương trình  x  3 y 6 12  (1  y  3 x ) x 2   (1  12 ) y 6  y  3x Bài 13. Giải hệ phương trình  4 1 2 x  y ) 2  x(  4 x y   4 1 2 x  y ) 1  y(4  x  y  Bài 14. Giải hệ phương trình. (HSG Quốc gia 2006-2007). (Đề nghị Olympic 30/4/2009). 4. Hệ bậc hai tổng quát 14 x 2  21 y 2  6 x  45 y 14 (1)  2 2 35 x  28 y  41x  122 y  56 (2) ta lấy 49 (1)  15 (2) ta có một   ĐVĐ: Để giải hệ này. phương trình mới có thể phân tích được thành nhân tử dạng (ax  by  c)( px  qy  r ) 0 . Từ đó hệ được giải quyết ! Tất nhiên là không ai dại gì vào phòng thi mà dùng hệ số bất định bởi quá mất thời giờ hoặc phép đặt ẩn phụ để dời hệ trục tọa độ đầy rủi ro? Vậy làm thế nào để biết 49 (1)  15 (2) trong thời gian vài phút sử dụng chìa khóa vạn năng hiện đại CASIO?. Chú ý:. Dạng:.  A a1 x 2  b1 y 2  c1  d1 xy  e1 x  f1 y 0  2 2  B a2 x  b2 y  c2  d 2 xy  e2 x  f 2 y 0. 2 2 Giả sử A  mB ax  by  c  dxy  ex  fy 0 (1). . - Nếu A hoặc B phân tích được nhân tử thì OK! (  x hoặc y chính phương) - Nếu A hoặc B không phân tích được nhân tử thì tìm m thỏa mãn:  y (  x ) 0  af 2  be 2  cd 2 4abc  def. khi đó (1) sẽ phân tích được nhân tử (OK!). - Ngoài ra ta còn cách hệ số tỉ lệ - UCT! (đoán trước nghiệm) hoặc rút thế sau đó giải phương trình bậc 4 cũng Ok!. 2 - Cách giải theo kiểu đặt y  x  z x quá mất thì giờ qúi giá trong phòng thi, hoặc đặt. x u  a, y v  b sau đó tìm a, b để có một phương trình đẳng cấp bậc hai cũng vậy mà chưa. chắc đã khả thi! 2 2 2 x  xy  y  5 x  y  2 0  2 2 Bài 1. Giải hệ phương trình  x  y  x  y  4 0.  4 13    ;  ,(1;1) 5 5   ĐS:.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> ¿ y − xy −3 y +2 x=−1 2. Bài 2. Giải hệ phương trình y 2 − 4 xy − 3 y+3 x 2 +2 x =. 1 2. ĐS:. ( 2+2√2 ; 2+ √2). ,. ¿{ ¿. ( 2−2√2 ; 2− √2) 2 2  x  y  4 x  2 y  3 0  2 2 Bài 3. Giải hệ phương trình  x  y  xy  x  2 y 12. 3;0  ,(1;  2) ĐS:  1  2 2  x  y  5  4 x 2  3x  57  y (3x  1) 25 Bài 4 (HSG Nghệ An 2011). Giải hệ phương trình  ĐS: 2 2 14 x  21 y  6 x  45 y 14  2 2 Bài 5. Giải hệ phương trình 35 x  28 y  41x  122 y  56 ĐS: 2 2 (2x  3x  4)(2y  3y  4) 18  2 2 Bài 6. Chứng minh hệ sau vô nghiệm  x  y  xy  7x  6y  14 0.  2 1   11 2   ;  , ;   5 5   5 25 .   2;3 ,(1; 2). II. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ 1. Hệ có một phương trình phân tích được nhân tử  x  y  3 6 13 − √ 37 13 − √ 37 ; ,(3 ; 0)  2 2 2 2 2 x  3 xy  y  0  Bài 1. Giải hệ phương trình  ĐS: 2  xy  x  y  x  2 y 2  x 2 y  y x  1 2 x  2 y Bài 2 (ĐH KD 2008). Giải hệ phương trình  ĐS: (5; 2) 2 x 2  y 2  3xy  3x  2 y  1 0  2 4x  y2  x  4  2x  y  x  4 y 0;1 ,(1; 2) Bài 3 (ĐH KB 2013). Giải hệ phương trình  ĐS:    x 2  x y  2 xy  2 y y 0 7 7  2 ( ; ) 8  x  2  y  3 Bài 4. Giải hệ phương trình  ĐS: (2; 1) và 2 4 1 1   x 1  y 1 x  x y  y    x  1 5  y  1 5 2 y x3  1 2 2 Bài 5 (ĐH A NĂM 2003). Giải hệ sau:  ĐS: . (. Bài 6. Giải hệ phương trình. 2 xy  2 2  x  y  x  y 1   x  y  x2  y . ). ĐS: (1; 0) và (-2; 3).

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 5 x 2 y  4 xy 2  3 y 3  2( x  y ) 0  2 2 2 Bài 7 (ĐH KA NĂM 2011). Giải hệ phương trình  xy ( x  y )  2 ( x  y ). ĐS:  xy  x  2 0  3 2 2 2 Bài 8 (ĐH K D 2012). Giải hệ 2 x  x y  x  y  2 xy  y 0. ĐS:. (1; 1), ( . (1;1), (. 2 2 2 ; ) 5 5.  1 5 ;  5) 2.  x 2  y 2  6 x  y  10  5  y  4 x  y  3 3 2 x  y  3 x  6x  3y  4   Bài 9. Giải hệ phương trình  x 2  2 y  3 2 y  3  2(2 y3  x3 )  3 y ( x  1)2  6 x( x  1)  2 0 Bài 10. Giải hệ phương trình   x  y  3 x  y 5 3 ( 2; − 2 ) , ; −  2 2 x  y  3 x  y  12 Bài 11. Giải hệ phương trình  ĐS:  x  y  x  y 2 y  4  ( x; y )  1;  x  5 y 3  5 Bài 12. Giải hệ phương trình  ĐS:  3 x  y 2  x  y  3 1   ;  x  y  x  y  2 Bài 13. Giải hệ phương trình  ĐS:  2 2   x  1  4 x  1  y 4  2  y  2 2 0;1 ,(2;1) Bài 14 (ĐH KA 2013). Giải hệ phương trình  x  2 x( y  1)  y  6 x  1 0 ĐS:   (Các em hãy phân tích nhân tử phương trình (2) thử xem sao nhé!). (. ). 2. Hệ đa thức bậc cao  x3  y 3 35  2 2 x  3 y 2 4 x  9 y ĐVĐ: Để giải hệ phương trình này  ta lấy (1) - 3(2) thì sẽ có một phương. trình mới có thể phân tích được thành nhân tử, từ đó hệ được giải quyết ! Tất nhiên là không ai dại gì vào phòng thi mà dùng hệ số bất định bởi quá mất thời giờ hoặc phép đặt ẩn phụ để dời hệ trục tọa độ đầy rủi ro? Vậy làm thế nào để biết để lấy (1) – 3(2) trong thời gian vài phút sử dụng chìa khóa vạn năng hiện đại CASIO? 3 3  x  y 35  2 2 x  3 y 2 4 x  9 y Bài 1. Giải hệ phương trình . ĐS:.  3;  2  ,(2;  3).

<span class='text_page_counter'>(23)</span> 4 4  x  y 240  3 x  2 y 3 3( x 2  4 y 2 )  4( x  8 y ) Bài 2. Giải hệ phương trình  (HSG Quốc gia - 2010) 3 3  x  y 9  2 2 x  y 2  4 x  y 0 Bài 3. Giải hệ phương trình  (Đề thi chính thức Olympic 30/4/2012)  xy  x  y 3  3 2 3 Bài 4. Giải hệ phương trình 4 x  12 x  9 x  y  6 y  5. ĐS:.  4; 2  ,( 4;  2).  3  17 1  17 ; ) 2 2 ĐS: (. 3 3  x  y 5 x   2 x 3  10 x 2  17 x  8 2 x 2 y   Bài 5. Giải hệ phương trình  x 3  y 3 9  2 x  2 y 2 x  4 y Bài 6. Giải hệ phương trình . 17  97 7  97 ( ; ) 12 12 ĐS:. ĐS:.  1; 2  ,(2;1). III. PHƯƠNG PHÁP THẾ - PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ. 1. Phương pháp thế Nguyên tắc dùng phương pháp này là thấy hệ có những cái chung như một hạng tử chứa biến, một biểu thức chứa biến hay một hằng số tự do... Nhiều khi cái chung sẽ xuất hiện sau khi qua một vài phép biến đổi tương đương hợp lý, sau đó thử rút cái chung này thế vào phương trình kia! 2 x 2  x  y 2 7  Bài 1. Giải hệ sau  xy  x  y 3 ĐS: ( 1; 2 ) , ( −2 ; −1 ) ,. ( −3+4√17 ; 9+1+ √√1717 ) ,( −3 −4√ 17 ; 91 −−√√1717 ). ( xy  1)3 2 y 3 (9  5 xy )  1;1 Bài 2. Giải hệ phương trình  xy (5 y  1) 1  3 y ĐS:    x( x  y  1)  3 0   5 3 2  1;1 , (2;  ) ( x  y )  x 2  1 0 2 Bài 3. Giải hệ phương trình (ĐH K D NĂM 2009) ĐS:  x  3 y  1 3  3 x  4 x 2 y  1  9 x  8 y  52  4 xy 7;3 Bài 4. Giải hệ phương trình  ĐS:    x( x 2  y ) 18  2 2 3;  3 x ( x  1)  3 xy  y 18   Bài 5. Giải hệ phương trình ĐS:   x 2  y 2 3  3 3 2 0;  3 ,  1;  2 Bài 6. Giải hệ phương trình  x  y 3 y  x ( y  1) ĐS:. .  . .

<span class='text_page_counter'>(24)</span> ( x  y ) 2  2 xy 4  2 2 Bài 7. Giải hệ phương trình ( x  1)  (y  1) 2  x 2 ( y  1)( x  y  1) 3x 2  4 x  1  2 Bài 8. Giải hệ phương trình  x( y  1)  1 x  5 x  y  2 y  x 1  2 2 y  x  3 xy 2 x 2  y 2  3 x  1 Bài 9. Giải hệ phương trình   x 2  y 2  xy ( x  3)  2 2 2 2 Bài 10. Giải hệ phương trình  x (1  4 xy )  y (1  8 x ) 1  3 3 3 x  y  x  y  2  2 Bài 11. Giải hệ phương trình  x  y 1 ĐS:. ĐS: VN ĐS:. ĐS:. ĐS:.  1;  1 ,( 2;   1;1 ,.  0;0  ,. 5 ) 2. 22 35 ; ) 3 3. (. (  1; . 1 ) 5. 1  1 1  2   ;   , ( ;  ) 5 5 2 2 .  x3  y 3  xy 2 1 3 1  4 0;1 , (1;0), (1;1), ( 3 ;3 )  4 25 25 Bài 12. Giải hệ phương trình 4 x  y 4 x  y ĐS: 2 x3  y ( x  1) 4 x 2 1 1  4 0;0  , (1;1), ( ; ) 6 2  2 2 Bài 13. Giải hệ phương trình 5 x  4 x  y ĐS: 2  x  2 xy  x  y 0  4 2 2 2 Bài 14. Giải hệ phương trình  x  4 x y  3 x  y 0 2 x 2  3xy 3 y  13  2 Bài 15. Giải hệ phương trình 3 y  2 xy 2 x  11 2 2  x y  2 x  6 y 23  4 2 2 Bài 16. Giải hệ phương trình  x  y  4 x  4 y 2  x3  8 x  y 3  2 y  2 x  3 3  y 2  1   Bài 17. Giải hệ phương trình ĐS:. ( 3 ; 1 ) , ( −3 ; 1 ) ,. ĐS: ĐS:.  0;0  ,. (1; 2), (2; 2).   4;3 , ĐS:. 17 7 ( ;  7), (  2; ) 2 3.  1; 3. ( √9613 ; − 13√78 ) ,( − √ 9613 ; 13√78 ). Bài 18. Giải hệ phương trình. ¿ y 3 − x3 = y − x 2 y 2+ x2 =x − y ¿{ ¿. ĐS: (0; 0), (1; 0), (0; - 1), (1; -1).  x 4  2 x3 y  x 2 y 2 2 x  9  2 x  2 xy 6 x  6 Bài 19. Giải hệ sau  (ĐH K B NĂM 2008). 17     4;  4 . ĐS: .

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Bài 20. Giải hệ phương trình.  x 2 ( y  1)( x  y  1) 3 x 2  4 x  1  2  xy  x  1  x.  x 1  y  1   x  2  y  5 2 ĐS: .  x 2  1  y( y  x) 4 y  2 ( x  1)( y  x  2)  y Bài 21. Giải hệ phương trình  (DB ĐH K A 2006) ĐS: (1; 2), ( 2;5) 3 2  x  3xy  49  2 x  8 xy  y 2 8 y  17 x Bài 22. Giải hệ phương trình  ĐS: ( 1;  4), ( 1; 4)  x 3  5 xy 2  3 y 3 2 x  y  2 Bài 23. Giải hệ phương trình  x  2 xy 1 y  x( x  1  1).3 3 x  1  log x  y 1 Bài 24. Giải hệ phương trình  3. 2. Phương pháp cộng đại số Đây là phương pháp cơ bản nhất và chúng ta đã gặp nó từ bài học “vỡ lòng” về hệ phương trình. Tuy nhiên các bài toán ở những kì thi lớn vẫn thường được giải quyết nhờ phương pháp này. Phương pháp cộng nó đi xuyên suốt bên cạnh và là công cụ cho các phương pháp khác đặc biệt là hệ bậc hai tổng quát (chứa cả hệ đối xứng, đẳng cấp), hệ đa thức bậc cao nên ở phạm vi tài liệu này không đưa ra quá nhiều bài tập bởi thế nào thì chúng ta cũng sử dụng nó ở các phần bài tập khác.  x1  y  1 4  x6  y 4 6 Bài 1. Giải hệ phương trình   x 2  y 2  2 xy 8 2  x  y 4 Bài 2. Giải hệ phương trình   2 x  2 y 4  2 x  5  2 y  5 6 Bài 3. Giải hệ phương trình   x 2  x  y  1  x  y 2  x  y  1  y 18  2 x  x  y  1  x  y 2  x  y  1  y 2   Bài 4. Giải hệ phương trình. ĐS: (3; 5). ĐS: (2; 2) 1 13 17 (1; ), ( ; ) ĐS: 2 20 20. ĐS: (4; 4). IV. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đây là một trong những phương pháp mà ta cần nghĩ đến đầu tiên khi thấy hệ có những cái chung, những cái xuất hiện nhiều lần trong cả hai phương trình. Có khi chúng chưa xuất hiện nhiều lần thì ta phải cố làm cho nó xuất hiện nhiều lần rồi đặt ẩn phụ. 1. Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản. 3 phép đặt cần biết:.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> a) Đặt u = x + y, u = x + y. Ta cần nhớ các khai triển quan trọng sau: u v u v ;  y 2 2 3 1 3 1 x 2  xy  y 2  ( x  y ) 2  ( x  y ) 2  u 2  v 2 4 4 4 4 3 1 3 1 x 2  xy  y 2  ( x  y ) 2  ( x  y ) 2  v 2  u 2 4 4 4 4 2 2 u v x 2  y 2 uv;  x 2  y 2  2 2 2 u v xy  4 u 3  v3 u 3  v3 x 3  3 xy 2  ;  y 3  3 yx 2  2 2 4 4 4 2 2 4 4 u  v 2( x  6 x y  y );  u  v 4 8 xy ( x 2  y 2 );. x      . 1 1 u x  , v  y  x y . Ta cần nhớ các khai triển quan trọng sau: b) Đặt 1 1  2;  v 2  y 2  2  2; 2 x y 1 1  u  v ( x  y )(1  );  u  v ( x  y )(1  ) xy xy  u 2 x2 . 1 x2  y 2 u y x2 1  ;   . xy xy v x y2 1 1  u 2  v 2 (x 2  y 2 )(1  2 2 )  4 x y  uv  xy . 1 1 u x  , v  y  y x . Ta cần nhớ các khai triển quan trọng sau: c) Đặt x 1 y 1  2 ;  v2  y 2  2  2 y y x x 1 1  u  v ( x  y )(1  );  u  v ( x  y )(1  ) xy xy 1 u x  uv  xy   2;   xy v y 1  u 2  v 2 (x 2  y 2 )(1  )2 xy  u 2 x2  2.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 2 2 2 x  2 x  2 y 7  2 2( x  y 2 ) 5 Bài 1. Giải hệ phương trình .  x 2  y 2 6,5  3 x  3 y 2 x 17,5 Bài 2. Giải hệ phương trình   x 2  3 y 2 1  3 x  3y2 x y Bài 3. Giải hệ phương trình  ( x  y )(1  xy ) 18 xy  2 2 2 2 2 2 Bài 4. Giải hệ phương trình ( x  y )(1  x y ) 208 x y  y ( x 2  1) 2 x(y 2  1)  1  2 2 ( x  y )(1  ) 16 2 2  x y  Bài 5. Giải hệ phương trình. Bài 6. Giải hệ phương trình. 1  ( x  y )(1  ) 4  xy    xy  1 2  xy.  xy (2 x  y  6)  y  2 x 0  1 2  2 2 ( x  y )(1  ) 8  xy Bài 7. Giải hệ phương trình   x 2  2 x  6  y 1  2 2 Bài 8. Giải hệ phương trình  x  xy  y 7. ĐS: (-3;2), (1;2). 2 2 4  x  xy  y ( x  y )  2 x  xy  y 2  x  y Bài 9. Giải hệ phương trình . ĐS: (0;0), (0;1), (1;0). 3 1  2 2 x  y   2y x  3  Bài 10. Giải hệ phương trình ( x  y ) 5. ĐS:. 4 4  x  2 x  y  y  2 ( x  y 2 )3 3 Bài 11. Giải hệ phương trình . 3 1 3 3  1 2 1 ( ; ),( 3 ;  3 ) 2 2 3 3 ĐS:. 3. (. 5  1 3 5 1 ; ) 2 2. 3. (Đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 2 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(28)</span>  2 xy  y x 2   14   3   x y   2    Bài 12. Giải hệ phương trình  . y2. . x y x y  2 2 3.  x y   9  2 . ĐS: (5;3).  x  1  y  1 2   72 xy 2 2 3  x  y  29 x  y 4 Bài 13. Giải hệ phương trình . ĐS:. (3;  1),(. 8 16 5 7 ; ),( ; ) 9 9 9 9. 2. Kỹ thuật tách - nhóm, thêm - bớt hạng tử để xuất hiện ẩn phụ ¿ x + y + x 2+ y 2=8 Bài 1. Giải hệ xy ( x +1)( y +1)=12 ĐS: ¿{ ¿ ( 2; 1 ) , ( 1; 2 ) , ( 1 ;− 3 ) , ( −3 ; 1 ) , ( − 2; 2 ) , ( 2; − 2 ) , ( − 2; − 3 ) , ( − 3; − 2 ). Bài 2. Giải hệ phương trình. ¿ x 2 + y 2 − 3 x+ 4 y=1 3 x2 −2 y 2 − 9 x − 8 y =3 ¿{ (ĐH.SPHN2 1999) ĐS: ¿. ( x  1)( y  1)( x  y  2) 6  2 x  y 2  2 x  2 y  3 0 Bài 3. Giải hệ phương trình   xy  3x  2 y 16  2 x  y 2  2 x  4 y 33 (ĐH.GTVT TPHCM 1999) Bài 4. Giải hệ .  3  13 ; y 0 x 2   3  13 ; y  4 x  2. ĐS: (3;2), (2;3) ĐS: ( 3  3;  2  3). 1 2 1 2 11  ( x  )  (y  )  2 2 2   xy ( x  1)( y  1) 6 Bài 5. Giải hệ phương trình (1;.  1  13  1  13  1  13  1  13 ),( 2; ),( ;1),( ;  2) 2 2 2 2. ĐS: 2 x  xy 1   9x2 3 xy  2(1  x) 4 1  2(1  x) 2 Bài 6. Giải hệ phương trình   x 4  4 x 2  y 2  6 y  9 0  2 2 Bài 7. Giải hệ phương trình  x y  x  2 y  22 0 2. 1 3 ( ;2) 2 ĐS:. ĐS:.  x 2  x  2  x  2  x  2      y 3 ;  y 3 ;  y 5 ;  y 5.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> 5  2 3 2  x  y  x y  xy  xy  4   x 4  y 2  xy (1  2 x )  5 4 Bài 8. Giải hệ sau  (ĐH KA 2008) x 4  x3y  x 2 y2 1  3 2 Bài 9. Giải hệ sau x y  x  xy 1 (ĐỀ DB KA NĂM 2007). Bài 10. Giải hệ phương trình. ( x  y )( x 2  y 2 ) 3  2 2 ( x  y )( x  y ) 15.  x 3    y   ĐS: . 3.  x 1    3 25  y   2 16.  x 1   y 1  ĐS :.  x  1   y  1. ĐS: (1;2), (2;1). 5y  x  x 2  y  x  y 2 4   2 2 5 x  y  x  5 y 5  xy Bài 11. Giải hệ phương trình . 1 3 3 3 (1; ), ( ; ),(- ;3) 2 ĐS: 2 2 2. x2  y2  2x 3  3 3 2 2 2 Bài 12. Giải hệ sau 2(x  y )  6x 3(x  y )  5 x2  xy  x  3 0   y(x  3)  x  1 2 x 2 y  2y Bài 13. Giải hệ sau  3  2 2 3( x  y )  ( x  y )  ( x  y )2 7   2 x  1 3  x y Bài 14. Giải hệ phương trình  3 2  2 x  ( y  2) x  xy m  2  x  x  y 1  2m. Bài 15. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm (ĐỀ TSĐH KD - 2011)  1  x   x  y  3 3 y   2 x  y  1 8  y Bài 16. Giải hệ sau . 5 4. ĐS: (1;0), (-1;2). ĐS: (-1;3). ĐS: (1;0) ĐS:. m. 2. 3 2. ĐS: (3;1),(5;  1),(4  10;3  10),(4  10;3  10) (HSG Hải Phòng, bảng A, năm 2010 – 2011). 3 2y   2 2  x  y  1 x 1    x 2  y 2  2 x 4  y Bài 17. Giải hệ sau . ĐS: (1;-1), (-1;1), (3;1), (-3;-1).

<span class='text_page_counter'>(30)</span> (HSG Hà Tĩnh, bảng A, năm 2010 – 2011) 3. Kỹ thuật nhân - chia để xuất hiện ẩn phụ ( x  y )(1  xy ) 18 xy  2 2 2 2 2 2 Bài 1. Giải hệ phương trình ( x  y )(1  x y ) 208 x y 16 x 2 y 2  17 y 2  1 0  Bài 2. Giải hệ phương trình 4 xy  2 x  7 y  1 0. Bài 3. Giải hệ phương trình. 8 x 3 y 3  27 18 y 3  2 2 4 x y  6 x  y. 1 1 ( x; y ) {(1;1), ( ; )}. 4 4 ĐS:.  3  5 3(3  5)  ;   4 2  ĐS: . y  2 x  y  2 x 1   x 2  y 2  xy 4 y  1 Bài 4. Giải hệ phương trình . ĐS: (1;2), (-2;5). (4 x 2  4 xy  4 y 2  51)( x  y ) 2  3 0  Bài 5. Giải hệ (2 x  7)( x  y )  1 0.  5  3 1 3   5  3 1 3  ; ;  ,   2 2   2 2   ĐS:. 2  x  xy  3 x  y 0  4 x  3x 2 y  5 x 2  y 2 0 Bài 6. Giải hệ phương trình . ĐS: (0;0), (1;1). 2 x 2 y  y 2 x  2 y  x 6 xy  1 y x   xy  xy  x  y 4 Bài 7. Giải hệ phương trình  ¿ y =x (9 − x 3 ) x2 y + y 2=6 x ¿{ ¿ 3. Bài 8. Giải hệ phương trình. 3. ĐS: (0;0), (1;2), (2;2).  x 1  xy  x  1 7y x 3  y 1  2 2 2 x y  xy  1  13y  Bài 9. Giải hệ phương trình  (ĐH K B NĂM 2009) ĐS:  3 hay y 1 3   x(x  y  1)  3 0  y 1  y  2   (x  y) 2  5  1 0  x 1 2  x 2   x Bài 10. Giải hệ phương trình (ĐH K D NĂM 2009) ĐS: 1  2 2 x  x  y 2  3 7 2   3 7 2   ; ;      y  y 2 x  2 y 2  2 2 7  1  2 7  1    Bài 11. Giải hệ phương trình ĐS: (-1;-1),(1 ;1), , 2 2  x  y  xy  1 4 y  2 2 Bài 12. Giải hệ phương trình  y ( x  y ) 2 x  7 y  2 ĐS: ( x; y ) {(1; 2), ( 2; 5)}.. .

<span class='text_page_counter'>(31)</span> 1  xy  xy  x   1 1 y y  3  x x x  Bài 13. Giải hệ phương trình 1  4 x 2 y 2  5 xy 10 x 2  (1;1), Bài 14. Giải hệ 1  2 xy  3 y 2 x ĐS:. Bài 15. Giải hệ phương trình. y ĐS: ( 1; 0)  1 1   3  6 ;  3  6   3  6 ;  3  6    2    ;   2 3 3 ,    2 2  ,. 2 y ( x 2  y 2 ) 3 x  2 2  x( x  y ) 10 y. 10 x  xy  y 2  2 2 Bài 16. Giải hệ phương trình 30 x  xy  2 xy  x  y 1 2  x  1  y ( x  y ) 4 y  2 Bài 17. Giải hệ phương trình ( x  1)( x  y  2)  y  x 2 y 2  2 y 2  4 7 xy  2 2 2 Bài 18. Giải hệ phương trình  x  2 y  6 y 3xy. 1 1 1 ĐS: (1;4), ( 5 ;0), ( 3 ;1), ( 2 ;2) ĐS: (1; 2), (–2; 5).  1 5   1  5;  2   ĐS: (2;2), (-1;-1),. 1  2 2 ( x  y )(1  x 2 y 2 ) 5  1 5   ; 1  ( xy  1) 2  x 2  y 2  2 2  Bài 19. Giải hệ phương trình  ĐS:  3 2  x  y 2 xy  3 9 4 Bài 20. Giải hệ phương trình  x  y 2 xy 6 x 4  ( x3  x) y 2  ( y  12) x 2  6 0  1  5   1  17  ; 2  ,  ;1  4  2 2 2 2 2 4 5 x  ( x  1) y  11 x  5  0       Bài 21. Giải hệ phương trình ĐS:. 4. Phép đặt ẩn phụ với hệ chứa căn ¿ x+ √ y −3=5 Bài 1. Giải hệ phương trình y + √ x −3=5 ¿{ ¿  3 y 3  1  x 3  2 3 Bài 2. Giải hệ phương trình  x  y 82  x  4 y  1 1  y  4 x  1 1 Bài 3. Giải hệ phương trình   x  5  y  2 7  x  2  y  5 7 Bài 4. Giải hệ phương trình . ĐS: (4;4). ĐS: (9;1) ĐS: (1;1)  17 17   ;  ĐS:  4 4 .

<span class='text_page_counter'>(32)</span> 2 2  x  y  2 xy 8 2  Bài 5. Giải hệ phương trình  x  y  4 ..  7 x  y  2 x  y 5  2 x  y  x  y 2 Bài 6. Giải hệ phương trình .   10  ĐS: .  1  x   x  y  3 3 y   2 x  y  1 8  y Bài 7. Giải hệ phương trình . ĐS: (4  10), (3  10), (3;1), (5;  1).  3 x  2 y  3 8  x  y 10  8  x  y  2 4  2 x  y 1 Bài 8. Giải hệ phương trình . ĐS: (2;1). 12 x  3 y  4 xy 16  4 x  5  y  5 6 Bài 9. Giải hệ phương trình . ĐS: (1; 4). 77;. 11 . 77   2 .  x  y  xy 3  ? Em hãy tìm mối liến quan với hệ (ĐH KA 2006):  x  1  y  1  4. V. PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG ? Khi nào thì dùng phương pháp này?  x3  3 x  ( y  1)3  9( y  1)  1 x  1  y  1 Bài 1. Giải hệ phương trình  ĐS: (1; 2), (2; 5) (Thi HSG tỉnh Hải Dương 2012) 4  x  4 x  y 4  4 y 1 1 1 1 − 6 ;− 6 , 6 ; 6  6 6 √ 2 √ 2 √2 √ 2 Bài 2. Giải hệ phương trình  x  y 1 ĐS: 3 3 2  x  x  2  y  3 y  4 y  5 3 Bài 3. Giải hệ phương trình  x  y  1 0 ĐS: (0; 1) 3 2 2  x (4 y  1)  2( x  1) x 6 1  2 2 2 (1; ) x y (2  2 4 y  1)  x  x  1 Bài 4. Giải hệ phương trình  ĐS: 2  x 3  3x 2  2  y 3  3 y 2  3 x  2  y 2  8 y Bài 5. Giải hệ phương trình ĐS: (3; 1) 3  x (2  3 y ) 1 1  3 ( ;2) x ( y  2)  3 Bài 6. Giải hệ phương trình  ĐS: (-1; -1), 2. (. )(. ).

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Bài 7. Giải hệ phương trình.  y2  x2 x 2  1  2 e y 1  3log ( x  2 y  6) 2log ( x  y  2)  1  2 2.  3  x  1  y m  3  y  1  x m Bài 8. Cho hệ phương trình . ĐS: (4; -4). Xác định m để hệ có nghiệm. ĐS:. 2≤ m ≤2 √ 2.  x3  y 3  3 y 2  3 x  2 0  2 x  1  x 2  3 2 y  y 2  m 0   Bài 9. Tìm m để hệ phương trình ĐS: 1  m 2 3  x  2 y  1 0  (3  x) 2  x  2 y 2 y  1 0 Bài 10. Giải hệ phương trình  ĐS: (1;1) 1 3x  4  2  x  3 y 1  y  y  x 1   9 y  2  3 7 x  2 y  2 2 y  3 Bài 11. Giải hệ phương trình  ĐS: (3; 2), (8, 3) (Thi thử THPT Chuyên Lê Qúy Đôn – Đà Nẵng) 2 y 3  12 y 2  25 y  18 (2 x  9) x  4  3 x  1  3 x 2  14 x  8  6  4 y  y 2   Bài 12. Giải hệ phương trình ĐS: (5;1) (Thi thử THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa)  x3  y 3  17 x  32 y 6 x 2  9 y 2  24  ( y  2) x  4  (x  9) 2 y  x  9  x 2  9 y  1 Bài 13. Giải hệ phương trình  ĐS: (5;6) (Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc K A, B 2015)  x  3  4 x  2  y 4  5  y  2 x  2 x( y  2)  y 2  8 y  4 0   Bài 14. (THTT) Giải hệ phương trình ĐS: (2;0), (3;1) x 1  3 3 2  x  3x  y  6 y  9 y  2  ln y  1 0   y  log ( x  3)  log y   x  1 2 3 Bài 15. Giải hệ phương trình  ĐS: (5;3) (Thi thử THPT Chuyên – Vĩnh Phúc) 3x 2  3 y 2  8 ( y  x)( y 2  xy  x 2  6)  (x  y  13)( 3 y  14  x  1) 5 Bài 16. Giải hệ phương trình . ĐS: (3;5), (8;10) (Thi thử THPT Chuyên – Vĩnh Phúc). 2 y 3  y  2 x 1  x 3 1  x  9  4 y 2 2 x 2  6 y 2  7 Bài 17. Giải hệ phương trình . ĐS: (1 . 2; 4 2).

<span class='text_page_counter'>(34)</span> (Thi thử THPT Trần Phú – Thanh Hóa) 2 x3  4 x 2  3 x  1 2 x3 (2  y ) 3  2 y    x  2  3 14  x 3  2 y  1 Bài 18. Giải hệ phương trình . (7;. 111 ) 98. ĐS: (Thi thử THPT Chuyên Lê Qúy Đôn – Đà Nẵng). ( x  2016  x 2 )( y  2016  y 2 ) 1  x 6 x  2 xy  1 4 xy  6 x  1 Bài 19. Giải hệ  2 x 2 y  y 3 2 x 4  x 6  2 x  2  y  1  x  1    Bài 20. Giải hệ phương trình sau  x2 1 8 y 2  12 3 2 y  x 2  4  2  2 x  y   3 x  y  7 2 2 Bài 21. Giải hệ phương trinh . . Bài 22. Giải hệ phương trình.  3  11  3  11  ;   2 2   ĐS: (1; -1),. ĐS:. . . 3;3 ,. 3;3. .   4 1  ;  ĐS:  5 5 .  x  y s inx  e  siny      x   0; 4     3 8 x 2  3  1 6 2 y 2  2 y  1  8 y  . 1 1  ;  ĐS:  8 8 . 3 3 2 y  3 xy 8  3 Bài 23. Giải hệ phương trình sau  x y  2 y 6 ĐS: (2;1);(-1;-2) 3 2  2 x  1  2 x  1  2 y  3 y  2  53  1 31  53   ;   4 2 4 x  2  2 y  4  6     Bài 24. Giải hệ phương trình ĐS:  8 x  3 2 x  1  y  4 y 3 0 1 5  2 ( ;0), (1;1), (1;0), ( ;  2) 3 2 2 Bài 25. Giải hệ phương trình 4 x  8 x  2 y  y  2 y  3 0 ĐS: 2  x 3  2 y  1 0  3  x  2  x  2 y 2 y  1 0 Bài 26. Giải hệ phương trình  ĐS: (1; 2) 2 2 2  x y  2 x  2 y  5 y  2 0  2 y  1  x  y 2 xy  x 2  x 2  2 xy  y 2  1  y   Bài 27. Giải hệ phương trình ĐS: (4; 2). 2  x  2  x  6 6  y  x  2  y  2  y  1. x 2  4 x  5 Bài 28. Giải hệ phương trình sau  2 y  4 y 2  3 x 2   x 4  x 2  3   x 2 y  2 x  5  x  1 4024 2012 Bài 29. Giải hệ phương trình sau.  1  1;  ĐS:  2 .  x 3  12 x  y 3  6 y 2  16 0  2 4 x  2 4  x 2  5 4 y  y 2  6 0 Bài 30. Giải hệ phương trình sau . ĐS: (0; 2). . . ĐS: (3; 0).

<span class='text_page_counter'>(35)</span>  x 5  xy 4  y10  y 6  4 x  5  y 2  8 6   Bài 31. Giải hệ phương trình  x  x 2  1 3 y  y  y 2  1 3x Bài 32. Giải hệ phương trình   y 3  3 y 2  y  4 x 2  22 x  21  2 x  1 2 x  1  2 Bài 33. Giải hệ phương trình 2 x  11x  9 2 y  xy  3  y x 2  3  2 y  4 x  2( x  1) x 2  2 x  4 2 x 2  5 Bài 34. Giải hệ phương trình   x  x2  2x  2 3y 1  1    y  y2  2y  2 3x 1  1 Bài 35. (DB K A 2007) Giải hệ phương trình . ĐS: (1; 1). ĐS: (0; 0) ĐS: (1;0), (5;2)  1 1  13   ;  2 2   ĐS:. ĐS: (1;1).  4 x 2  1 x   y  3 5  2 y 0 1 ;2  2 2 2 4 x  y  2 3  4 x  7 Bài 36. (ĐH K A 2010) Giải hệ phương trình  ĐS: 3 2 3 2  x  3 x  9 x  22  y  3 y  9 y   2 1  3 1  1 3 2  ;   ; ;  x  y  x  y  2 Bài 37. (ĐH KA 2012) Giải hệ  ĐS:  2 2   2 2   x  1  4 x  1  y 4  2  y  2 x  2 x( y  1)  y 2  6 y  1 0 Bài 38. (ĐH KA 2013) Giải hệ phương trình  ĐS: (1; 0). ( ).  y 3 (3 x 2  2 x  1)  4 y 8  2 3 2 2 Bài 39. Giải hệ phương trình  y x  4 y x  6 y  5 y 4 5 y 2  9 y  y  1  3x 2  35 x  x  1  14  2 2 Bài 40. Giải hệ phương trình  x  y  8 x  2 y  4 0. ĐS: (1; 1). ĐS: (1; 3), (2;4). VI. PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP Nếu không có dấu hiệu nào để dùng các phương pháp trên thì ta đi tìm mối quan hệ giữa hai biên x, y từ một phương trình bằng chìa khóa vạn năng CASIO, thông thường thì có một hoặc hai mối quan hệ. Tiếp theo ta sử dụng kĩ thuật ghép liên hợp cho các căn để ép nhân tử ra ngoài ta được phương trình tích theo hai biến x, y. Đánh giá và giải phương trình này ta sẽ thế được ẩn này theo ẩn kia vào phương trình còn lại. Đến đây ta sẽ gặp lại người bạn quen thuộc là phương trình chứa căn. Ok chưa! Nói không bằng làm, ta sẽ đi giải quyết các ví dụ sau: ( x  4) 3  x  y 3  y 0  2 2 Bài 1. Giải hệ phương trình 2 x  y  3x  12  5 x  6  7 x  11 0. ĐS: (-1; 2), (2; 1).

<span class='text_page_counter'>(36)</span> (Thi thử L1 THPT Lục Ngạn – Bắc Giang - 2016)  x 3  y 3  3x  12 y  7 3x 2  6 y 2  x  2  4  y x3  y 2  4 x  2 y Bài 2. Giải hệ phương trình  ĐS: (-1; 2), (2; 1) (Thi thử L1 THPT Chuyên - Vĩnh Phúc - 2016) 8 x 3  y  2  y y  2  2 x  ( y  2  1) 2 x  1 8 x3  13( y  2)  82 x  29 Bài 3. Giải hệ phương trình  ĐS: (-1; 2), (2; 1) (Thi thử L1 THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh - 2016)  xy  y 2  2 y  x  1  y  1  x  3 6  y  3 2 x  3 y  7 2 x  7 Bài 4. Giải hệ phương trình  ĐS: (-1; 2), (2; 1) (Thi thử L1 THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh - 2016)  x3  x 2  3x  1  y  ( y  4) y  1  3 y 2 x  1 2( x 3  y  1)   Bài 5. Giải hệ phương trình ĐS: (-1; 2), (2; 1) (Thi thử L1 THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - 2016)  x  1  x 2  2 x  y  y 2  1  5 1 5  5   3 ;   4 4  4x  x  y 2 y  1    Bài 6. Giải hệ phương trình ĐS:  x  4  x 2  8 x  17  y  y 2  1  x  y  y  21  1 2 4 y  3 x Bài 7. Giải hệ phương trình  ĐS: (0; 4)  6 x 2  1  y  1  y 2   6 y 2 1  x  1  x2 Bài 8. Giải hệ phương trình  ĐS: (2; 2)  x( x  y )  x  y  2 y 2 y 2  2 x  3 y 4  x 2 2 y  1 Bài 9. Giải hệ phương trình   x 2  91  y  2  y 2  2  y  91  x  2  x 2 Bài 10. Giải hệ phương trình  2 x 2  5 xy  y 2 1  y ( xy  2 y 2  4 y 2  xy ) 1 Bài 11. Giải hệ phương trình   x( x  y )  y 2  x  y ( y  1)  x(4 y  1)  6 2( x  y  1)  7 y  1 Bài 12. Giải hệ phương trình .  1 5 1 5  ;   2 2  ĐS: . ĐS: (3;3)  1 5 1 5  ;   2 2   ĐS:. ĐS: VN.

<span class='text_page_counter'>(37)</span>  x3  (x  y ) x  y  1  2 2 y  1 9 y 2  33 y  29  3 4 x  x 2  4 y  4 (4 x 2  1) y  2 Bài 13. Giải hệ phương trình  2 y ( x  y  1)  ( x  y  2) x  3 y  4 y  1  x  2 y  6  x 2  3 2 x  y  x Bài 14. Giải hệ phương trình   x  1 2 y (2 x  2 y  1) x  3 y  1  3 x 2 x  y  2  2 2 Bài 15. Giải hệ phương trình 3 x  3  2 x  x  4 y  3  2 x 2  5 x  2 y  4 y 2  9 x  6 y  x  2   x  2  x  2 y  4 y 2  x 2  14 x  20 Bài 16. Giải hệ phương trình  (1  y ) x  y  x 2  ( x  y  1) y  2 2 y  3x  6 y  1 2 x  2 y  4 x  5 y  3 Bài 17. Giải hệ sau . ĐS: (2; 2) ĐS: (2;3) ĐS: (1;0). ĐS: (6;1).  1 5  1 5  ;   , (3;1) 2 2  ĐS:  (Đề ĐH KB 2014. (1  y ) x  y  x  3 y 6  ( x  y  4) y   5  x  2 y  x 1  x  y  7 Bài 18. Giải hệ sau . ĐS: (3;1). 2 x 2  y 2  5 x  2 3 y ( x  1)  (2 x  y  1) y  x  2 4x  y2  x  4  2x  y  x  4 y   Bài 19. Giải hệ phương trình ĐS: (0;1), (1; 2)  2 x  y  3 y  x  x  2 y 1   2  2  ;   , (1; 1) 2  x  2 x  y  x 3 y  2 3 3 Bài 20. Giải hệ phương trình  ĐS:  1   8x  y  5  xy  x   8 x  y  5  x  y  1 3 x  2 Bài 21. Giải hệ phương trình  ĐS: (1;4)  x 4  x 2 y 2  4 y 4  x 4  20 x 2 y 2  4 y 4 7 xy  2 2 Bài 22. Giải hệ phương trình  x  xy  y 1. TỔNG HỢP ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 1. THPT chuyên Hà Tĩnh  x 2  ( y 2  y  1) x 2  2  y 3  y  2 0  2 3 y  3  xy 2  2 x  2  x 0 Giải hệ phương trình  2. THPT chuyên Hưng Yên. ĐS:.  3; 11 .

<span class='text_page_counter'>(38)</span> (1  y ) x 2  2 y 2  x  2 y  3xy   1 5 1 5   ;   2 2 4 2   y  1  x  2 y 2 y  x  Giải hệ phương trình ĐS: 3. THPT chuyên Lê Hồng Phong (TP.HCM) 2 2 2 2  9.3x  2 y (2  9 x  2 y )52 y  x 2 1   x 1;    4  4 4 x  4 2 y  2 x  4 2 Giải hệ phương trình  ĐS:  4. THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh) 3 y 2  x  8 2  x 10 y  3 xy  12 6  3 ( ; 5) 2 3 5 y . 2  x  8  6 y  xy . 2  x Giải hệ phương trình  ĐS: 5 5. THPT Chuyên Vĩnh Phúc Khối A, B  5 x 2  2 xy  2 y 2  2 x 2  2 xy  5 y 2 3( x  y )  x  2 y  1  2 3 12 x  7 y  8 2 xy  x  5 Giải hệ phương trình  ĐS: (0;0), (1;1) 6. THPT Chuyên Vĩnh Phúc Khối D  x3  y 3  6 x  3 y 3 x 2  4  2 x  6 y  19 2 3 x  4  3 5 y  14 Giải hệ phương trình  ĐS: (0;-1), (-1;-2) 7. THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 2 4 4 3  x  2 x  y  y 3 1 3 3  1 2 1  2 ( ; ),( 3 ;  3 ) 2 3 ( x  y ) 3 2 2 3 3 Giải hệ phương trình  ĐS: 8. THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 3  x  y  2 y  1  x  y 5  2 Giải hệ phương trình  y  2  xy  y ĐS: (2;1) 9. THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) 3x 2  12 y 2  24 xy  9( x  2 y ) 2 xy 0  2 2 Giải hệ phương trình 5 x  7 y  xy 15 ĐS: (2;1) 10. THPT Chuyên Lê Qúy Đôn (Bình Định) (1  y )( x  3 y  3)  x 2  ( y  1)3 x  1 5 3  5   2 ;   2 2   x  y  2 3 x 3  4 2( y  2)  Giải hệ phương trình ĐS: 11. THPT Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) 3 2 2  x  x y  y 2 x  x  2  2 y  4 x  2  16  3 y 2 x 2  4 x  12 Giải hệ phương trình  ĐS: (2;0), (-1;-3) 12. Sở GDĐT Phú Yên 27 x3  3 x  (9 y  7) 6  9 y  1 2 1 5 109 2 0  ;   x  y  2  3x  81 Giải hệ phương trình  3 ĐS:  3 9 .

<span class='text_page_counter'>(39)</span> 13. Sở GDĐT Vĩnh Phúc lần 1  xy  2  y x 2  2  2 2 2 Giải hệ phương trình  y  2( x  1) x  2 x  3 2 x  4 x 14. Sở GDĐT TP.HCM  y2 2 2 ( y  1)  x  y  2 x  2  x  x  1  y y2  y  y x Giải hệ phương trình .  1    ;1 ĐS:  2 . ĐS: (4; 2). 15. Sở GDĐT Thanh Hóa  x 2 y  x 2  1 2 x x 2 y  2  1  5 1  5  ;  3 6   2 2 2 2  y ( x  1)  3 y ( x  2)  3 y  4  0    Giải hệ phương trình ĐS: 16. Sở GDĐT Quảng Ngãi  x  1  y  1 2  x  2  y  2 4 Giải hệ phương trình  ĐS: (2; 2) 17. Sở GDĐT Lào Cai 2 x 2  5 2 2 y  x 2 1  (2; )  x  3 xy  x  y 2  y 5 y  4 2 Giải hệ phương trình ĐS: 18. Sở GDĐT Lâm Đồng  x 2  6 y  4  2(1  y )( x3  1) 1  (2; ) (3  x) 2  x  2 y 2 y  1 0   2 Giải hệ phương trình ĐS: 19. THPT số 3 Bảo Thắng (Lào Cai)  2 x  y  1  3 y  1  x  x  2 y  3 3 2 1;0 ,(5;4) Giải hệ phương trình  x  3x  2 2 y  y ĐS:   20. THPT Bố Hạ (Bắc Giang)  x 2 ( x  3)  y y  3  2  3 x  2  y ( y  8) 3;1 Giải hệ phương trình  ĐS:   21. THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) 3 y 3 (2 x  y)  x 2 (5 y 2  4 x 2 ) 4 y 2  1 5 1 5   ;   2 2 2 2  x  y  1  2  x  y   Giải hệ phương trình  ĐS:  22. THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc)  x  2 y  1  2 x 4( y  1)  1  2 2  1;  x  4 y  2 xy  7   Giải hệ phương trình ĐS:  2  23. THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc).

<span class='text_page_counter'>(40)</span>  xy ( x  1) x 3  y 2  x  y  3 y (2  9 x 2  3)  (4 y  2)( 1  x  x 2  1) 0 Giải hệ phương trình  24. THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang)  2 y2  2 2 x  2 y  x x   2 y  1  3 2 x  1 1 Giải hệ phương trình  25. THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên)  x  2 y  1  x  3 y  x( x  4 y  1)  y (4 y  3) 5 Giải hệ phương trình  26. THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2  x  x( x 2  3 x  3)  3 y  2  y  3  1  3 x  1  x 2  6 x  6  3 y  2  1 Giải hệ phương trình 27. THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên)  x3  y 3  3( y  1)( x  y ) 2   ( x  y )2 x  1  y  1   8 Giải hệ phương trình  28. THPT Minh Châu (Hưng Yên) 2 1 2   ( x  y ) 2  x  y (2 x  y )  y  x(2 x  y )  2( y  4) 2 x  y  3  ( x  6) x  y  1 3( y  2) Giải hệ phương trình  29. THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2 2 x 2  y 2  7 x  2 y  6 0  3 2 2 3 Giải hệ phương trình  7 x  12 x y  6 xy  y  2 x  2 y 0 30. THPT Phủ Cừ (Hưng Yên)  x 2  x  y  1. 3 x  y  1  y  1   x  y  1  2 x  y  5 x 2  3 y 2  3x  7 y Giải hệ phương trình  31. THPT Quỳnh Lưu 3 (Nghệ An) 2 x  y  6 1  y  9 1  x  xy 9  y 2 0 Giải hệ phương trình  32. THPT Thanh Chương III (Nghệ An)  x  3 xy  x  y 2  y 5 y  4   4 y 2  x  2  y  1 x  1 Giải hệ phương trình  33. THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa).  1 1   ;  ĐS:  5 5 . 1   ;0  ĐS:  2 . ĐS:. ĐS:.   5;  3 ,( 11;  5).  5;62  ,(. 5 127 ; ) 4 64. ĐS:.   1;3 ,(  3;1). ĐS:.  2; 2  ,(4;4),(6;6). ĐS:.  2; 2  ,(3;3). ĐS: (1;-1). ĐS: (1;-3). ĐS: (5;2).

<span class='text_page_counter'>(41)</span>  y x 2 x 1  2log 2 2.4  1 2 y   3 2  x  x ( y  1)( xy  1)  x. Giải hệ phương trình 34. THPT Thuận Châu (Sơn La)  x3  12 y 2  x  2 8 y 3  8 y  2 x  8 y 3 5 x  2 y   Giải hệ phương trình 35. THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa) 2 y 2  3 y  1  y  1  x 2  x  xy  2 x  y   3 x  2 y  4  3x 2  14 x  8 0 Giải hệ phương trình  36. THPT Thanh Chương I (Nghệ An)  3 y  1  5 x  4 3 xy  y  3   4( x 2  xy  y 2 ) 2 2 2( x  y )  2x  2 y  3  Giải hệ phương trình 37. THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh)  x 3  y 3  3 y 2  32 x 9 x 2  8 y  36  4 x  2  16  3 y  x 2  8   Giải hệ phương trình 38. THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh)  x 2  2 x  2( x 2  x) 3  2 y (2 y  3) x 2  1  3  2 x 2  x3  x  2  2  3 2y  2x 1 Giải hệ phương trình  39. THPT Nghèn (Hà Tĩnh) ( x 2  5 y 2 ) 2 2 xy (6  x 2  5 y 2 )  36  5 y 4  x 4 6 x 2  2 xy  6 y 2   Giải hệ phương trình 40. THPT Trần Quang Diệu (Đồng Tháp)  x 2 y (2  2 4 y 2  1  x  x 2  1  2 x (4 y 2  1)  2( x 2  1) x 6 Giải hệ phương trình  41. THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM)  x3  3 x 2  6 x  4  y 3  3 y  3 x (3 y  7) 1  ( x 2  1)3 Giải hệ phương trình  42. THPT Hồng Quang (Hải Dương)  8 y  9 ( x  1) y  2   1 y 1 y  x  ( x  1) 2  x  1  y Giải hệ phương trình  43. THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội). ĐS: (2;1). ĐS: (1;1), (11;6). ĐS: (5;6). ĐS: (0;0), (1;1). ĐS: (-1;-3), (2;0). ĐS: VN. ĐS: (1; 1) 1 (1; ) ĐS: 2. ĐS: (0;1). ĐS: ( 1  5;5).

<span class='text_page_counter'>(42)</span> 2 x 3  3  2 y 2  3 y 2 x y  y  2 x  y  3  y 0 Giải hệ phương trình  44. THPT Thường Xuân (Thanh Hóa)  2 4x2 5 x  ( x  2) 2   4 2 2 Tìm m để hệ sau có nghiệm  x  8 x  16mx  16m  32m  16 0 45. THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa)  x 2  2 x  5  y 2  2 y  5  y  3 x  3  2 2 Giải hệ phương trình  y  3 y  3 x  x 46. THPT Triệu Sơn 3 (Thanh Hóa)  x x 2  y  y  x 4  x3  x   9  x  y  x  1  y ( x  1)  2 Giải hệ phương trình . ĐS: (1;1), (-1;1). ĐS: m = 2. ĐS:. (. 1 3 3 3 ; ),(  ; ) 2 2 4 4. 25 25 ; ) ĐS: 16 16  y 3  6 y 2  16 y  3x  11 0  3 2 47. THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình  x  3x  x  3 y  3 0 ĐS: (0;-1) 48. THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa)   1 y2  2 2 ( x  1)  y 2  1   x    4 y 2 ( y 2  x 3  3x  2) 2  x 2  1 Giải hệ phương trình  ĐS: (1;0) 49. THPT Nguyễn Văn Trỗi (Hà Tĩnh)  x3  3x 2  2  y 3  3 y 2  x 3  y x2 Giải hệ phương trình  ĐS: (3;1) 50. THPT Thủ Đức (TP.HCM) (1  y ) x 2  2 y 2  x  2 y  3xy   1 5 1 5   ;   2 2 4 2   y  1  x  2 y 2 y  x  Giải hệ phương trình ĐS: 51. THPT Nông Cống 1 (Thanh Hóa) lần 2  x 2  xy  2 y 2  y 2  xy  2 x 2 2( x  y )   34 34   (2;2),  ;  (8 y  6) x  1  2  y  2  y  4 x  2  3   9 9  Giải hệ phương trình  ĐS: 52. THPT Lam Kinh (Thanh Hóa)  x 2  y 2  xy  1 4 y  2 2 Giải hệ phương trình  y ( x  y ) 2 x  7 y  2 ĐS: (1;2), (-2;5) 53. THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh). . . . (.  . .

<span class='text_page_counter'>(43)</span>  x2  2x  3  y  3 x  y  3   2 x  1 3( x 2  y  4). 3 2 x 2  xy  3 x  2 6 x  2 xy  2 x  1 Giải hệ phương trình   3  11  8  5 11  (1;  3),  ;  4 8   ĐS: 54. THPT Đa Phúc (Hà Nội)  x2  y 2 x 2  xy  y 2  x  y  2 3   x 2 xy  5 x  3 4 xy  5 x  3 Giải hệ phương trình  ĐS: (3;3) 55. THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) ( xy  3) 2  ( x  y ) 2 8  y 1  x   2 2  4 Giải hệ phương trình  x  1 y  1 ĐS: ( 1; 2  3), (2  3;  1) 56. THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa)  x3  6 x 2  13 x  y 3  y  10  2 x  y  5  3  x  y  x 3  3x 2  10 y  6 Giải hệ phương trình  ĐS: (2;-1) 57. THPT Quảng Hà (Quảng Ninh)  x 4  4 y 3  ( x 4  1) y  4 y 2 1  1  3 2 2  0;  , (0;  1), 2 2;  1 8 y  4 x  1 x  6 y  2 Giải hệ phương trình  ĐS:  2  58. THPT Thống Nhất (Bình Phước)  x  2 y  xy 0 5  1  2;  , (10; )  x  1  2 y  1 1 3 Giải hệ phương trình  ĐS:  2  59. THPT Hồng Quang (Hải Dương) 1 y 1 y   x  ( x  1) 2  x  1  y   8 y  9 ( x  1) y  2  1  5;5 Giải hệ phương trình  ĐS: 60. THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc)  x  y  x 2  y 2 12   y x 2  y 2 12 Giải hệ phương trình ĐS: (5;3), (5;4). . . . . . . .

<span class='text_page_counter'>(44)</span>