Tài liệu Phép tính Tenxơ_chương 1 docx

Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
1
Chương 1 PHÉP TÍNH TEN-XƠ
1.1.TEN-XƠ VÀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC:
Cơ học môi trường liên tục (CHMTLT) nghiên cứu các đại lượng vật lý
mang tính độc lập với mọi hệ tọa độ biểu diễn chúng. Các đại lượng vật lý này
được xác định bởi một hệ tọa độ thích hợp. Theo toán học những đại lượng như
vậy được biểu diễn bởi ten-xơ.
Ten-xơ hiện hữu độc lập với hệ tọa độ bất kỳ và được xác định trong một
hệ tọa độ bởi các thành phần của nó. Định rõ các thành phần của ten-xơ trong 1
hệ tọa độ sẽ xác định được các thành phần của nó trong các hệ tọa độ khác.
Định luật biến đổi các thành phần của một ten-xơ được sử dụng ở đây như
là công cụ để xác định ten-xơ.
Định luật vật lý của cơ học môi trường liên tục được biểu diễn bởi các
phương trình ten-xơ. Bởi vì sự biến đổi của ten-xơ thì tuyến tính và đồng nhất.
Những phương trình ten-xơ như vậy nếu nó có hiệu lực trong một hệ tọa độ thì sẽ
hiệu lực đối với mọi hệ tọa độ khác. Sự bất biến của phương trình ten-xơ dưới
phéïp biến đổi tọa độ là trọng điểm của phương pháp ten-xơ trong cơ học môi
trường liên tục.
1.2. TEN-XƠ TỔNG QUÁT _ TEN-XƠ DESCARTES _ HẠNG CỦA TEN-XƠ:
- Ten-xơ tổng quát: là các ten-xơ được xét trong các hệ tọa độ cong bất kỳ.
- Ten-xơ Descartes: là các ten-xơ được giới hạn trong các phéïp biến đổi
hệ tọa độ đồng nhất với nhau.
- Hạng của ten-xơ: Trong không gian Euclide 3 chiều, chẳng hạn như
không gian vật lý thông thường, số thành phần của ten-xơ là 3
N
, N được gọi là bậc
hay hạng của ten-xơ. Nghĩa là:
* ten-xơ hạng zero sẽ được xác định trong bất cứ hệ tọa độ không gian 3
chiều nào bởi 1 thành phần và được gọi là số vô hướng.
* ten-xơ hạng nhất sẽ có 3 thành phần tọa độ trong không gian vật lý, được

gọi là véc-tơ, nhằm biểu diễn các đại lượng vật lý có ý nghĩa cả về độ lớn và
chiều.
* ten-xơ hạng hai tương ứng với nhị thức (dyadics). Nhiều đại lượng quan
trọng trong CHMTLT được biểu diễn bởi ten-xơ hạng 2 (có 9 thành phần trong hệ
tọa độ Descartes).
* các ten-xơ hạng cao hơn như hạng ba (triadics) hoặc hạng tư (tetradics)
được định nghĩa và xuất hiện trong toán học của CHMTLT.
1.3. VÉC-TƠ VÀ SỐ VÔ HƯỚNG:
1.3.1. Véc-tơ: Các đại lượng vật lý như là: lực, vận tốc,..hàm chứa cường độ và
chiều, được biểu diễn trong không gian 3 chiều bởi các đoạn thẳng có định hướng
và tuân theo luật hình bình hành về phéïp cộng véc-tơ. Đó là sự biểu diễn hình
học của ten-xơ hạng nhất, được gọi là véc-tơ, bao gồm các loại như sau:
- Véc-tơ đơn vị (ê): là véc-tơ có độ lớn là 1 đơn vị.
- Véc-tơ hoành vi: là các véc-tơ có cùng độ lớn, phương và chiều.
- Véc-tơ đối đẳng: là các véc tơ có cùng độ lớn, cùng phương nhưng
ngược chiều.
Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
2
Ký hiệu: Véc tơ được ký hiệu bởi các chữ cái thường và in đậm a, hoặc a
r
,
độ lớn của véc tơ được ký hiệu bởi chữ thường a hoặc a.
1.3.2. Số vô hướng: Các đại lượng vật lý như: khối lượng và năng lượng,... chỉ
có ý nghĩa về độ lớn nên được biểu diễn bởi các ten-xơ hạng zero, gọi là số vô
hướng.
Ký hiệu: bởi các chữ thường như a, b, l.
1.4. CÁC PHÉP TÍNH VÉC TƠ VÀ SỐ VÔ HƯỚNG:
1.4.1.Cộng véc tơ : tuân theo luật hình bình hành, phéïp trừ véc tơ tuân theo luật
tam giác.
Phép cộng véc tơ có tính giao hoán và kết hợp.

g=)c+b(+a=c+)b+a( ; a+b_=b-a=d ; a+b=b+a=c
rr
r
rr
r
rr
rr
r
r
r
rr
rr
[1.1]
Hình 1. Biểu diễn phép cộng của các véc tơ.
Hình 2. Biểu diễn các phéïp nhân của các véc tơ.
1.4.2. Nhân véc tơ cho một số vô hướng: tạo thành một véc tơ mới có cùng
phương nhưng khác về độ lớn. Luật nhân véc tơ có tính kết hợp và phân bố.

bm+am = )a+bm( = )b+am(
bn+bm = bm)+(n = bn)+(m
b(mn) = )bn(m = )bm(n
r
rr
rr
r
rrrr
rrr
[1.2]
Một véc tơ chia cho độ lớn của nó cho ra 1 véc tơ đơn vị có cùng phương với
véc tơ ban đầu.

b
b
= b
ˆ
r
[1.3]
1.4.3. Tích vô hướng và hữu hướng của véc tơ:
a
a+b
b
a+b=c
c
a
-b
a-b=d
d
e
a
b
[a+b]+c=g
c
f
g
θ
θθ
θ
a
b
0

≤
≤≤
≤

θ
θθ
θ

≤
≤≤
≤

π
ππ
π
θ
θθ
θ
a
b
a
×
××
×
b = v
v
Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
3
a/.Tích vô hướng hay tích chấm (.) : của 2 véc tơ a
r

và b
r
là một số vô hướng, ký
hiệu:

θλ
cosab = a.b = b.a =
r
rr
r
[1.4]
Tích vô hướng của véc tơ a
r
với véc tơ đơn vị e
ˆ
sẽ cho hình chiếu của véc tơ a
r
trên hướng của véc tơ e
ˆ
.
b/. Tích hữu hướng hay tích chéo (() của véc tơ a
r
trên véc tơ b
r
là véc tơ c
r
cho
bởi:

e

ˆ
)sin(ab = ab- = ba = v
θ
r
rr
r
r
×× [1.5]
θ là góc kẹp < 180
o
giữa 2 véc tơ a
r
và b
r
e
ˆ
là véc tơ đơn vị trực giao với mặt phẳng tạo bởi 2 véc tơ theo quy tắc bàn tay
phải.
Độ lớn của véc tơ
v
r
bằng với diện tích của hình bình hành có 2 cạnh là a
r
và b
r
.
Tích véc tơ thì không giao hoán.
c/. Tam tích vô hướng (scalar triple product): là tích vô hướng của 2 véc tơ trong
đó 1 véc tơ được tạo ra từ tích hữu hướng của 2 véc tơ khác.
λ

= cb.a = c).ba( = )cb.(a
r
r
rr
r
rr
r
r
××× [1.6]
Vị trí của các dấu (.) và (() có thể trao đổi và vì dấu của tích hữu hướng phải
thực hiện trước nên các dấu ngoặc không cần thiết. Độ lớn của λ là thể tích của
hình khối bình hành có a
r
, b
r
và c
r
là các cạnh biên.
d/. Tam tích hữu hướng hay tam tích véc tơ (vector triple product): là tích hữu
hướng của 2 véc tơ trong đó 1 véc tơ là tích véc tơ của 2 véc tơ khác.
[1.7] w = c)b.a(- b)c.a( = )cb(a
r
r
r
r
r
rrr
r
r
××

Véc tơ tích
r
w sẽ nằm trên mặt phẳng của
r
b
và c
r
.
1.5. NHỊ TÍCH VÀ NHỊ THỨC:
1.5.1. Nhị tích: Tích véc tơ bất định của 2 véc tơ a
r
và b
r
được định nghĩa bởi
phép nhân ghéïp (juxtaposition), ký hiệu: ba
r
r
, được gọi là nhị tích. Tích bất định,
một cách tổng quát, thì không giao hoán:
ab ba
r
rr
r
≠ [1.8]
Véc tơ đầu tiên trong nhị tích được gọi là tiền kiện và véc tơ thứ hai được gọi là
hậu thức.
1.5.2. Nhị thức D: Tương ứng với 1 ten-xơ hạng hai được biểu diễn theo tổng
hữu hạn của các nhị tích.
b
a

+...+
b
a
+
b
a
= D
N
N
2
2
1
1
r
r
r
r
r
r
[1.9]
Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
4
_ Nhị thức liên hiệp
c
D
: Khi tiền kiện và hậu thức hoán đổi vị trí trong mỗi
nhị tích.
c
1
1

2
2
N
N
=
b
a
+
b
a
+...+
b
aD
r
r
r
r
r
r
[1.10]
_ Nhị thức vô hướng D
s
: Nếu mỗi nhị tích được thay bằng tích vô hướng
của 2 véc tơ thì được gọi là số vô hướng của nhị thức D.
b
.
a
+...+
b
.

a
+
b
.
a
=
D
N
N
2
2
1
1
s
r
r
r
r
r
r
[1.11]
_ Nhị thức véc tơ
v
D
: Nếu mỗi nhị tích được thay bằng tích hữu hướng
của 2 véc tơ, thì được gọi là véc tơ của nhị thức D.
b
a
+...+
b

a
+
b
a
=
D
N
N
2
2
1
1
v
r
r
r
r
r
r
××× [1.12]
_ Nhị thức đơn vị hay nhân tử lũy đẳng I: là nhị thức trong đó
1
e
ˆ
,
2
e
ˆ
,
3

e
ˆ
là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide 3 chiều bất kỳ.
e
ˆ
e
ˆ
+
e
ˆ
e
ˆ
+
e
ˆ
e
ˆ
= I
332211
[1.13]
Và: I.v =v .I =v [1.14]
Tích véc tơ bất định tuân theo luật phân bố:
caba)cb(a
rr
r
rr
r
r
+=+
[1.15]

cbcac)ba(
r
r
rrr
r
r
+=+
[1.16]
dbcbdaca)dc)(ba(
rr
r
rr
rrr
r
r
r
r
+++=++
[1.17]
nếu
λ
và
µ
là 2 số vô hướng thì:
bababa)(
r
r
r
r
r

r
µλµλ
+=+ [1.18]
)ba()b(ab)a(
r
r
r
r
r
r
λλλ
== [1.19]
Tích chấm của
v
r
.D và D.
v
r
là 1 véc tơ được định nghĩa bởi:
u= b)a.v( +...+ b)a.v( + b)a.v( = D.v
nn2211
r
r
r
r
r
r
r
r
r

rr
[1.20]
w= )v.b(a +...+ )v.b(a + )v.b(a = v.D
nn2211
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
r
[1.21]
D trong biểu thức [1.20] được gọi là nhân tố sau và trong biểu thức [1.21] là nhân
tố trước.
Hai nhị thức D và E bằng nhau nếu và chỉ nếu:
.E v= .Dv
rr
hoặc
vE. = vD.
rr
[1.22]
Tích chéo
v
r
với nhị thức D: là 1 nhị thức
F = b)av(+...+ b)av( + b)av( = Dv
nn2211

r
r
r
r
r
r
r
r
rr
×××× [1.23]
Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
5

G = )vb(a+...+ )vb(a+ )vb(a = vD
nn2211
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×××× [1.24]
Tích chấm của 2 nhị tích ba
r
r
và dc

r
r
là 1 nhị tích được định nghĩa bởi:
da)c.b( = dc. ba
r
rr
rr
r
r
r
[1.25]
Tích chấm của 2 nhị thức D và E là 1 nhị thức:
)dc+...+dc+dc).(ba+...+ba+ba( = D.E
nn2211nn2211
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Gda)c.b(+...+da)c.b(+da)c.b(=
nnnn21211111
=
r

rr
rr
rr
rr
rr
r
[1.26]
Nhị thức nghịch đảo: hai nhị thức D và E được gọi là nghịch đảo của nhau khi
E.D = D.E = I [1.27]
ký hiệu: E = D
-1
và D = E
-1
[1.28]
Nhị thức tự liên hiệp hay đối xứng nếu: D = D
c
[1.29]
Nhị thức phản đối xứng nếu: D = - D
c
[1.30]
Mỗi nhị thức đều có thể được biểu diễn duy nhất như là tổng của các nhị thức đối
xứng và phản đối xứng:
H + G = )D- (D
2
1
+ )D + (D
2
1
= D
cc

[1.31]
trong đó
G = D) + (D
2
1
= ))(D + (D
2
1
= G
ccccc
[1.32]
H- = D)- (D
2
1
= ))(D- (D
2
1
= H
ccccc
[1.33]
1.6. CÁC HỆ TỌA ĐỘ_ VÉC TƠ CƠ SỞ_ BỘ BA VÉC TƠ ĐƠN VỊ:
1.6.1.Hệ tọa độ Descartes vuông góc : Biểu diễn bằng ba trục vuông góc nhau
từng đôi một Oxyz.
_ Các véc tơ cơ sở: Một véc tơ
v
r
bất kỳ được biểu diễn bằng tổ hợp tuyến
tính với 3 véc tơ tùy ý, không cùng mặt phẳng và khác không của hệ tọa độ bất kỳ
được gọi là 3 véc tơ cơ sở.
c + b + a = v

r
r
r
r
νµλ
[1.34]
Các véc tơ cơ sở được giả thuyết là độc lập tuyến tính do đó phương trình:
0= c + b + a
r
r
r
r
νµλ
[1.35]
được thỏa chỉ nếu:
λ
=
µ
=
ν
= 0
_ Bộ ba véc tơ đơn vị: Thường các véc tơ cơ sở của hệ tọa độ Descartes
vuông góc được chọn là 3 véc tơ đơn vị k
ˆ
,j
ˆ
,i
ˆ
dọc theo 3 trục tọa độ. Các véc tơ
cơ sở cấu thành bộ 3 véc tơ đơn vị theo luật bàn tay phải.

j
ˆ
= i
ˆ
k
ˆ
; i
ˆ
= k
ˆ
j
ˆ
; k
ˆ
= j
ˆ
i
ˆ
××× [1.36]
và
1= k
ˆ
.k
ˆ
j
ˆ
.j
ˆ
= i
ˆ

.i
ˆ
=
Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
6
0=i
ˆ
.k
ˆ
= k
ˆ
.j
ˆ
j
ˆ
.i
ˆ
=
Tập họp các véc tơ cơ sở như vậy được gọi là cơ sở trực chuẩn
k
ˆ
v + j
ˆ
v + i
ˆ
v = v
zyx
r
[1.37]
trong đó các thành phần Descartes là hình chiếu của

v
r
trên các hệ trục:





==
==
==
γ
β
α
cosvk
ˆ
.vv
cosvj
ˆ
.vv
cosvi
ˆ
.vv
z
y
x
r
r
r
[1.38]

Hình 3. Các véc tơ cơ sở.
Véc tơ đơn vị của
v
r
được cho bởi:
/v v =e
ˆ
v
r
[1.39a]
với
k
ˆ
)(cos + j
ˆ
)(cos + i
ˆ
)(cos =e
ˆ
v
γβα
[1.39b]
Do đó véc tơ đơn vị bất kỳ sẽ có các thành phần Descartes là các cosin chỉ
phương của véc tơ đó. Theo dạng các thành phần Descartes , tích vô hướng của
2 véc tơ a
r
và b
r
là:
)k

ˆ
b+j
ˆ
b+i
ˆ
).(bk
ˆ
a+j
ˆ
a+i
ˆ
(a = b.a
zyxzyx
r
r
)ba+ba+b(a =
zzyyxx
[1.40]
và tích hữu hướng của a
r
và b
r
là:
k
ˆ
)ba-b(a+j
ˆ
)ba-b(a+i
ˆ
)ba-b(a = ba

xyyxzxxzyzzy
r
r
× [1.41]
hay được viết dưới dạng định thức:
zyx
zyx
bbb
aaa
k
ˆ
j
ˆ
i
ˆ
ba =×
r
r
[1.42]
x
y
j
ˆ
i
ˆ
x
y
j
ˆ
i

ˆ
k
ˆ
$
k
α
β
z
v
r
v
r
γ
z
Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
7
Tam tích vô hướng của 3 véc tơ
c,b,a
r
r
r
có thể được viết dưới dạng định thức sau:
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
]cb.a[ =×
r

r
r
[1.43]
và nhị tích
ba
r
r
được viết thành:
k
ˆ
k
ˆ
ba + j
ˆ
k
ˆ
ba + i
ˆ
k
ˆ
ba
+ k
ˆ
j
ˆ
ba + j
ˆ
j
ˆ
ba + i

ˆ
j
ˆ
ba
+ k
ˆ
i
ˆ
ba + j
ˆ
i
ˆ
ba + i
ˆ
i
ˆ
ba =
)k
ˆ
b+j
ˆ
b+i
ˆ
)(bk
ˆ
a+j
ˆ
a+i
ˆ
(a = ba

zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
r
r
[1.44]
trong đó có 9 thành phần của nhị tích ba
r
r
. Do đó có thể viết 1 nhị tích bất kỳ thành
dạng 9 thành phần như trên.
_ Nhị thức đơn vị (hay là nhân tử lũy đẳng) có 9 thành phần dưới dạng bộ
ba véc tơ đơn vị , k
ˆ
, j
ˆ
, i
ˆ
được viết:
k
ˆ
k
ˆ
+ j
ˆ
j
ˆ
+ i
ˆ

i
ˆ
= I
[1.45]
Bộ ba các véc tơ cơ sở )e
ˆ
,e
ˆ
,e
ˆ
(
zR
θ
của hệ tọa độ trụ và )e
ˆ
,e
ˆ
,e
ˆ
(
r
φθ
ở đây đều
không có phương cố định và vì thế ,nói chung , là hàm vị trí.
Hình 4. a/Hệ tọa độ trụ b/ Hệ tọa độ cầu
v
r
v
r
x

y
R
e
ˆ
o
R
θ
x
y
φ
e
ˆ
o
θ
r
φ
z
θ
e
ˆ
z
e
ˆ
z
θ
e
ˆ
r
e
ˆ

Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
8
1.7. HÀM VÉC TƠ TUYẾN TÍNH - TOÁN TỬ VÉC TƠ TUYẾN TÍNH VÀ NHỊ
THỨC:
1.7.1. Hàm véc tơ tuyến tính: cho 1 véc tơ a
r
là hàm số của véc tơ b
r
, ký hiệu:
( )
bfa
r
r
= [1.46]
Hàm số f được gọi là tuyến tính khi:
)bf( = )bf(
)cf(+)bf( = )c+bf(
rr
r
r
r
r
λλ
[1.47]
λ là số vô hướng bất kỳ.
Theo [1.37] :
)k
ˆ
b + j
ˆ

b + i
ˆ
f(b = a
zyx
r
[1.48a]
Nếu f tuyến tính:
)k
ˆ
f(b + )j
ˆ
f(b + )i
ˆ
f(b = a
zyx
r
Đặt: f( ) = , f( ) = , f( ) =
$$$
iujvkw
rr r
suy ra:
b). kw+ j
ˆ
v+ i
ˆ
u( =
)b.k
ˆ
( w+ )b.j
ˆ

( v+ )b.i
ˆ
( u= a
rr
rrr
r
r
r
r
r
r
r
hay
bD. = a
r
r
[1.48b]
trong đó k
ˆ
wj
ˆ
vi
ˆ
uD
rrr
++= là 1 nhị thức được xem như là 1 toán tử véc tơ tuyến
tính.
1.8. KÝ HIỆU CHỈ SỐ_ KHOẢNG VÀ QUI ƯỚC CỘNG CHỈ SỐ:
1.8.1. Ký hiệu chỉ số: Thành phần ten_xơ hạng bất kỳ, cũng như chính bản thân
ten_xơ đó có thể được biểu diễn chính xác và rõ ràng bởi các ký hiệu chỉ số. Chỉ

số được gắn phía dưới hay phía trên của các chữ thường ( véc tơ ) hay chữ in
hoa (ten_xơ hạng 2 trở lên).
Ví dụ: a
i
, b
j
, T
ij
, F
i
j
,
∈
∈∈
∈
ijk
, R
pq
.
Trường hợp xuất hiện các chỉ số trên và chỉ số dưới đồng thời cho 1 ten_xơ, thì
dấu chấm kèm theo cho biết chỉ số đó là chỉ số thứ nhì.
D
i
.j
, D
i
.j
, B
ij
..jk

1.8.2. Khoảng của chỉ số và qui ước cộng chỉ số:
Một ký hiệu chỉ số cóï thể xuất hiện giống nhau 2 lần trong 1 ten_xơ.
- Nếu 1 chỉ số chỉ xuất hiện 1 lần thì khoảng của chỉ số sẽ lấy giá trị số
nguyên từ 1,2,..,N. Chỉ số này được gọi là chỉ số tự do, ví dụ các ten_xơ: a
i
, b
j
, D
ij
,
E
ijk
, có i, j, k đều là các chỉ số tự do. Hạng của ten_xơ được xác định bằng với
tổng số các chỉ số tự do của ten xơ đó.
- Nếu cùng 1 ký hiệu chỉ số xuất hiện hai lần trong một ten_xơ thì được hiểu là chỉ
số giả, giá trị của ten_xơ đó được tính bằng tổng các giá trị trong khoảng biến
Cơ học môi trường liên tụcGVC Trần Minh Thuận
9
thiên của chỉ số này, kết quả là chỉ số này sẽ biến mất, đây là qui ước cộng chỉ số.
Ví dụ:
x
i
= C
ij
z
j
có thể khai triển thành







3332 321313
3232221212
313212 111 1
zC +zC + zC = x
zC + zC + zC = x
zC + zC +zC =x
hay:
x
i
= C
i1
z
1
+ C
i2
z
2
+ C
i3
z
3
[1.49]
tức là chỉ số j đã biến mất trong ten_xơ x
i
- Ten_xơ hạng 1 (véc tơ) cóï thể nhận biết bởi 1 chỉ số tự do sau đây:
A
ij

b
j
; F
ikk
; R
p
.qp
;
∈
∈∈
∈
ijk
u
j
v
k
- Ten_xơ hạng 2 sẽ có 2 chỉ số tự do sau đây:
D
ij
; D
i
.j
; D
i
.j
; D
ij
; A
ijip
; B

ij
..jk
;
δ
ij
u
k
v
k
- Ten_xơ hạng 3 sẽ có 3 chỉ số tự do .v.v.., và số vô hướng
λ
sẽ không có chỉ số
đi kèm tức là ten_xơ hạng zero.
- Ten_xơ A
ij
được biểu diễn bằng 1 ma trận vuông có 9 thành phần là 9 hệ số:

A A A
A A A
AAA
= A
333231
232221
131211
ij
[1.50]
tương tự thành phần của ten_xơ hạng 1 trong không gian 3 chiều cóï thể khai triển
thành dạng 1 hàng hay 1 cột.
()
321i

a,a,aa = hay
3
2
1
i
a
a
a
a
=
[1.51]
Tổng quát đối với khoảng của chỉ số là N thì 1 ten_xơ hạng m sẽ có N
m
thành
phần.
Thí dụ đối với khoảng N của chỉ số i và j đều là 2 thì ta có ten_xơ:
A
ij
= B
ip
C
jq
D
pq
được khai triển theo 4 thành phần sau:
A
11
= B
11
C

11
D
11
+ B
12
C
11
D
21
+ B
12
C
12
D
22
+ B
11
C
12
D
12
A
12
= B
11
C
21
D
11
+ B

11
C
22
D
12
+ B
12
C
21
D
21
+ B
12
C
22
D
22
A
21
= B
21
C
11
D
11
+ B
21
C
12
D

12
+ B
22
C
11
D
21
+ B
22
C
12
D
22

A
22
= B
21
C
21
D
11
+ B
21
C
22
D
12
+ B
22

C
21
D
21
+ B
22
C
22
D
22
Nếu khoảng của i và j là 3 thì ten_xơ A
ij
trên có 9 phương trình đại diện cho 9
thành phần của ten_xơ.
1.8.3. Ngoại lệ của quy ước cộng chỉ số:
Trong hệ toạ độ Descartes, 1 véc tơ cóï thể được biểu diễn bằng kết hợp tuyến
tính của 3 véc tơ cơ sở mang chỉ số như sau: