Bai tap DSTT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bộ môn Đại số và Xác suất Thống kê 9-2015 Chú ý đối với sinh viên Bài 7. Cho hai ma trận   1. Các bài tập được soạn trong tài liệu này được dùng   1 2 cho các sinh viên học môn ĐSTT 2 hoặc 3 tín chỉ và 1 2 3 A= , B = −1 3 . được sử dụng chung trong các giờ bài tập của học −1 1 3 3 4 phần ĐSTT. Yêu cầu về việc chuẩn bị bài tập cho từng tuần sẽ được giảng viên thông báo trực tiếp cho a) Tính det(AB) và det(BA). sinh viên. b) Tính hạng của ma trận BA + 4I.     1. Ma trận và định thức 4 2 3 1 Bài 8. Cho hai ma trận A = ,B= .   1 3 2 3 2 −1 Bài 1. Cho ma trận A = a) Tính det(A3 B 2 + 4A2 B 3 ). 5 −2 b) Tính (A + 2B)2 − 19(A + 2B). a) Tính A567 b) Tính det(A576 + 2A567 + 3A675 ) Bài 9. Cho các ma trận vuông cấp ba       1 −4 2 1 2 4 3 4 5 Bài 2. Cho ma trận A = 1 −4 2. Tính A200 + A = 2 1 −2 , B = 2 2 3 1 −4 2 3 −2 1 4 −1 3 A. Hãy xác định giá trị của det(AB). 3 3 x x x 3 3 x Bài 10. Cho các ma trận vuông cấp ba Bài 3. Giải phương trình: =0     x x 3 3 3 5 7 1 4 −5 x x x 3 3 A = 2 3 −2 , B = −2 2 2 −2 3 4 −1 2 2 2 x x x 2 1 x Bài 4. Giải phương trình: =0 Hãy xác định giá trị của det(A2 B − 3AB 2 ). x x x 1 2 x 1 1 Bài 11. Cho các ma trận vuông cấp ba     1 2 5 3 2 −2 Bài 5. Tính giá trị của định thức A = 3 4 −1 , B = 3 1 4  x 1 1 1 4 2 −3 5 2 7 1 x 1 1 D= a) Hãy xác định giá trị của det(A3 B 2 − 3A2 B 3 ). 1 1 x 1 b) Tính hạng của ma trận A + 3B 1 1 1 x Bài 12. Cho  3 A = 1 2. Bài 6. Cho ma trận vuông cấp ba   1 3 −2 A = 2 1 3  . 5 4 7 4. các ma trận vuông cấp ba    2 −2 −2 4 5 1 3 , B =  1 2 −3 −2 1 2 −1 1. a) Chứng minh rằng ma trận A3 B 2 + 3A2 B 3 khả nghịch. b) Tính hạng của ma trận A2 B − 2AB 2 .. 3. a) Tính det(A + 3A ). b) Tính hạng của ma trận A + 5I. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ. Bài 13. Tính nghịch đảo của ma trận   2 1 −3 3 −2 A= 1 −1 −2 1 Bài 14. Cho ma trận .  2 0 3 A = 1 2 2 1 0 4 3. 2. a) Tính A − 8A + 17A. b) Tính A−1 . Bài 15. Tìm x để ma trận sau  a x x b b x A= c c c d d d. khả nghịch:  x x  x d. Bài 21. Giải phương trình ma trận       4 3 7 5 1 2 X = 3 2 3 2 −1 0 Bài 22. Tính hạng của ma trận   1 1 2 1 A = 2 1 4 3 3 2 6 4 Bài 23. Tính hạng của ma trận   1 −1 3 2 −1 2 2 −1 2 3   A= 1 −2 −2 2 −4 4 −1 0 6 −2 Bài 24. Tính hạng của ma trận sau theo x   1 1 1 x 1 x x 1  A= x x 1 1  x 1 x 1. với a, b, c, d là các số cho trước.   x 2 3 Bài 25. Tính hạng của ma trận sau theo x Bài 16. Cho ma trận A =  0 1 4. Hãy tìm x để   0 5 8 1 x 1 x  1 x x x A4 − 3A3 là một ma trận khả nghịch.  A=  x 1 1 x Bài 17. Tìm x để ma trận sau khả nghịch x 1 1 1   1 1 1 1 Bài 26. Tính hạng của ma trận sau theo x x 2 2 2   A=   x x −2 −2 2 x x x x x x −1 A = x 2 x x  x x 2 x Bài 18. Tìm x để ma trận sau khả nghịch Bài 27. Cho ma trận   1 x x x   x 1 x x x 1 1 x   A= 1 1 x x  x x −2 −2  A=  1 x 2 x −2 −2 x x 1 1 2 2 Bài 19. Giải phương trình ma trận Hãy tính x biết r(A) = 2.     1 −1 4 5 1 3 2 1 −1 X = 2 2 −2 2. Hệ phương trình 1 −2 1 4 −2 1 Bài 20. Giải phương trình ma trận     2 1 −2 2 1 0 1  = −2 1 3 X 0 2 3 −1 3 1 −2 5 Đại học Giao thông Vận tải. Bài 28. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Cramer   2x1 + 2x2 + 5x3 = 21 2x1 + 3x2 + 6x3 = 26   x1 − 6x2 − 9x3 = −37 Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê. 3. Bài 29. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Bài 36. Cho hệ phương trình khử Gauss  x1 + x2 + 2x3 = 4      x + 3x + 2x + 2x − 3x = 8  1 2 3 4 5  3x1 + x2 + 4x3 = 8 −2x1 + x2 + 2x3 − 4x4 + 6x5 = 3  5x1 − 4x2 + x3 = 2      x1 − 2x2 + x3 + 2x4 − 3x5 = 1 4x1 − x2 + 5x3 = λ Bài 30. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm khử Gauss được.   x1 + 3x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 14 Bài 37. Cho hệ phương trình 5x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 − 6x5 = 17    x 1 + x2 + x3 − x 4 − x5 = 3  3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 − 2x5 = −1   2x + 3x − 2x + 4x + x = 7 1 2 3 4 5 Bài 31. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp  3x1 + 4x2 − 2x3 + x4 − 2x5 = 4    khử Gauss 6x1 + 8x2 − 3x3 + 4x4 − 2x5 = λ  x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 3    Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm 2x + 3x + x − 2x = 4 1 2 3 4 được.  3x1 + 5x2 − 2x3 + 2x4 = 6    Bài 38. Cho hệ phương trình 6x1 + 10x2 − 3x3 + x4 = 13   3x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 4 Bài 32. Giải hệ phương trình sau: 2x1 − x2 + 3x3 + 3x4 = 3    x + 2x − 3x + 2x = 6  1 2 3 4  4x1 − 3x2 − x3 − 7x4 = λ  2x + 3x + x − x = 7 1 2 3 4 a) Tìm λ để hệ được cho có nghiệm.  3x1 + 5x2 + 2x3 + 4x4 = 23    b) Giải hệ thuần nhất tương ứng với hệ được cho. 4x + 6x + 6x + 2x = 22 1. 2. 3. 4. Bài 33. Cho hệ phương trình   2x1 + 3x2 − x3 = 6 3x1 + x2 + 4x3 = 0   λx1 + 4x2 + 3x3 = 2 a) Tìm giá trị của λ để hệ có nghiệm duy nhất. b) Giải hệ khi λ = 2.. Bài 39. Cho hệ phương trình   2x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 3x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 4   4x1 − 5x2 − x3 + 8x4 = λ a) Tìm λ để hệ được cho có nghiệm. b) Giải hệ thuần nhất tương ứng với hệ được cho.. Bài 40. Cho hệ phương trình Bài 34. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo  tham số λ  x1 + x2 + 2x3 − 2x4 = 3  3x1 + x2 − x3 + 4x4 = 5 x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = 5      2x + 3x + 3x − x = 4 6x1 + 4x2 + 5x3 + λx4 = 6 1 2 3 4 3x1 + 5x2 + 2x3 + x4 = 9   Giải hệ với λ 6= −2.  6x1 + 10x2 + λx3 + 2x4 = 18 Bài 41. Cho hệ phương trình Bài 35. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo   tham số α 2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 5  3x1 + 4x2 − 2x3 + 5x4 = 6   2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 6  4x1 + 9x2 − 7x3 + λx4 = 8 x1 + x2 + 3x3 + x4 = 9   3x1 + 5x2 − 5x3 + (α + 5)x4 = 3 Giải hệ với λ 6= 8. Đại học Giao thông Vận tải. Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4. Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ. Bài 42. Xác định nghiệm của hệ phương trình sau Bài 49. Tìm λ để x = (1, 4, λ) biểu diễn được theo theo tham số λ các véc tơ dưới đây, trong không gian tuyến tính R3 :  x1 + x2 + x3 − x4 = 0 a1 = (1, 1, −2); a2 = (2, −3, 1); a3 = (−1, −3, 4),    x + x − x + x = 0 1 2 3 4 Bài 50. Tìm λ để x = (2, 3, 2, λ) biểu diễn được theo  x 1 − x2 + x3 + x4 = 0   các véc tơ dưới đây, trong không gian tuyến tính R4 :  −x1 + x2 + x3 + x4 = λ a1 = (1, 1, 2, 2); a2 = (2, 3, 1, 4); a3 = (3, 4, 2, 3), . Bài 43. Xác định nghiệm của hệ phương trình sau Bài 51. Tìm λ để x = (4, 12, −7, λ) biểu diễn được theo tham số λ theo các véc tơ dưới đây, trong không gian tuyến tính  R4 : x1 + x2 − 3x3 − 3x4 = 3    2x + 3x + 4x − x = 5 a1 = (1, 1, −1, −2); a2 = (1, 2, −3, −1); 1 2 3 4 a3 = (1, −1, 4, 2), a4 = (1, 3, 2, 1).  3x1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 = 8    7x1 + 9x2 + x3 + x4 = λ Bài 52. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ {a1 , a2 , a3 } với 3. Không gian tuyến tính. a1 = (−2, 1, 1), a2 = (1, −2, 1), a3 = (1, 1, 2).. Bài 44. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ a) Chứng minh rằng hệ {a1 , a2 , a3 } là hệ độc lập tuyến tính. {a1 , a2 , a3 } với b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử x = (1, 3, −2) qua hệ {a1 , a2 , a3 }. a1 = (1, 1, −1), a2 = (3, 2, 1), a3 = (−1, 1, 3). Bài 53. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ Chứng minh rằng phần tử x = (7, 7, 3) là một tổ hợp {a1 , a2 , a3 } với tuyến tính của hệ {a1 , a2 , a3 }. a = (1, 2, −1, 1), a2 = (1, −2, 2, 1), a3 = (1, 1, −1, 1) Bài 45. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ 1 {a1 , a2 , a3 } với a) Chứng minh rằng hệ {a1 , a2 , a3 } là hệ độc lập tuyến tính. a1 = (1, 1, −2), a2 = (3, −4, 1), a3 = (−3, 2, 1). b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử x = (4, 6, −1, 3) qua hệ {a1 , a2 , a3 }. Chứng minh rằng phần tử x = (5, −6, 1) là một tổ hợp tuyến tính của hệ {a1 , a2 , a3 }. Bài 54. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ Bài 46. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 } với. {a1 , a2 , a3 } với a1 = (1, −1, −1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, λ),. a1 = (1, 2, 3), a2 = (3, 1, −1), a3 = (5, 3, 1).. trong đó λ là tham số. a) Tìm các giá trị của λ để hệ {a1 , a2 , a3 } là một hệ Hãy tìm tất cả các biểu diễn tuyến tính của phần tử độc lập tuyến tính. x = (2, 3, 4) qua hệ {a1 , a2 , a3 }. b) Thay λ = 1, hãy tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử x = (4, 2, 3) qua hệ {a1 , a2 , a3 }. Bài 47. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 3, −1) Bài 55. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ a3 = (3, −1, 2), a4 = (2, 8, −2). Hãy tìm tất cả {a1 , a2 , a3 } với các biểu diễn tuyến tính có thể có của a4 trên hệ {a1 , a2 , a3 , a4 }. a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, 4). Bài 48. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 2, −2), a2 = (2, −1, 3) a3 = (3, 1, 4), a4 = (5, 5, 3). Hãy tìm tất cả các biểu diễn tuyến tính có thể có của a4 trên hệ {a1 , a2 , a3 , a4 }. Đại học Giao thông Vận tải. a) Chứng minh rằng hệ {a1 , a2 , a3 } là hệ độc lập tuyến tính. b) Hãy cho biết hệ {a1 , a2 , a3 } có là một cơ sở của R3 hay không? Tại sao? Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê Bài 56. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 2, 1, 2), a2 = (1, 2, −1, 1), a3 = (2, 1, 3, 1), a4 = (1, 3, −2, 2). a) Chứng minh rằng hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } là hệ độc lập tuyến tính. b) Hãy cho biết hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } có là một cơ sở của R4 hay không? Tại sao? 4. 5 Bài 64. Trong không gian tuyến tính R4 cho M là không gian con hai chiều có cơ sở là {u1 , u2 , u3 } với u1 = (1, 2, −1, 1), u2 = (2, 1, 3, 2), u3 = (−1, 2, 1, 2). Hãy xác định số thực λ biết rằng phần tử x = (2, 5, 3, λ) nằm trong M .. Bài 65. Trong không gian R3 cho các tập con M và cho hệ véc tơ N như sau. Bài 57. Trong không gian R {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 1, −1, 2), a2 = (2, 3, −1, 1), a3 = (−1, 1, 1, 3), a4 = (2, 2, 5, 6). a) Hãy cho biết hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } là hệ độc lập tuyến tính hay là hệ phụ thuộc tuyến tính? b) Cho b ∈ R4 là một phần tử nào đấy. Hãy cho biết hệ {a1 , a2 , a3 , a4 , b} là hệ độc lập tuyến tính hay là hệ phụ thuộc tuyến tính?. M = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 − x3 = 0}, N = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 − x3 ≥ 0}. Hãy cho biết trong các tập con trên, tập con nào là một không gian con của R3 . Ứng với mỗi tập con là không gian con của R3 , hãy xác định một cơ sở và số chiều của nó.. Bài 58. Xác định giá trị của λ để hệ {a1 , a2 , a3 } được Bài 66. Trong không gian tuyến tính R4 , không gian cho dưới đây là hệ phụ thuộc tuyến tính: con M được xác định bởi a1 = (2, 3, −2, 3), a2 = (2, −1, 2, 1), a3 = (1, 1, 1, λ). M = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 − x2 − x3 + x4 = 0} 4 Bài 59. Trong không gian R cho hệ véc tơ Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M . {a1 , a2 , a3 } với a1 = (2, 1, 2, 3), a2 = (1, 4, 1, 5), a3 = (3, −2, 3, λ). a) Tìm λ để hệ {a1 , a2 , a3 } là hệ phụ thuộc tuyến tính. b) Với λ tìm được hãy xác định biểu diễn tuyến tính của a2 theo hệ {a1 , a3 }.. Bài 67. Trong không gian tuyến tính R4 cho không gian con M = {(x1 , x2 , x3 , x4 )|2x1 − x2 − x3 + 4x4 = 0}. và phần tử w ∈ M với w = (1, 5, 1, 1). Hãy xác định Bài 60. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (10, 9, 9) một cơ sở và số chiều của M và cho biết tọa độ của trong cơ sở dưới đây của không gian tuyến tính R3 : w trên cơ sở được đưa ra. a1 = (1, 1, 2); a2 = (1, 2, 3); a3 = (3, 1, −1). Bài 68. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ cơ Bài 61. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (8, 8, 19, 19) sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và véc tơ x có tọa độ trong cơ trong cơ sở dưới đây của không gian tuyến tính R4 : sở (a) là x = (1, 2, −3). Hãy tìm tọa độ của véc tơ x trong cơ sở mới (b) = {b1 , b2 , b3 }, biết ma trận chuyển a1 = (1, 1, 2, 3); a2 = (2, 1, 3, 4); từ cơ sở (a) sang cơ sở (b) là a3 = (2, 3, −2, 1); a4 = (1, 3, 3, 1).   Bài 62. Trong không gian tuyến tính R3 cho M là 1 −1 2 không gian con hai chiều có cơ sở là {u1 , u2 } với 1 T = 2 3 3 4 −1 u1 = (1, 2, −2), u2 = (2, 2, −1). Cho các phần tử u = (4, 7, 2), v = (1, 3, 5). Hãy xác Bài 69. Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở từ hệ định số thực λ sao cho u − λv ∈ M . (a) sang hệ (b) là Bài 63. Trong không gian tuyến tính R4 cho M là   không gian con hai chiều có cơ sở là {u1 , u2 } với 4 2 1 T = 1 −2 3 u1 = (2, 1, −1, 1), u2 = (1, 2, 3, −1). 3 3 4 Cho các phần tử u = (0, 1, 1, 3), v = (1, 1, 1, −1). Hãy Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a). xác định số thực λ sao cho u − λv ∈ M . Đại học Giao thông Vận tải. Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 6. Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ. Bài 70. Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho Bài 76. Trong không gian tuyến tính R3 cho hai hệ hai hệ cơ sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và (b) = {b1 , b2 , b3 } với cơ sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và (b) = {b1 , b2 , b3 } với b1 = 2a1 +3a2 −a3 , b2 = a1 +4a2 +2a3 , b3 = 3a1 −a2 +a3 Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a).. a1 = (3, 1, 4), a2 = (5, −4, 2), a3 = (2, 1, 1) b1 = (3, −2, 3), b2 = (4, 1, −2), b3 = (3, 4, 2).. Bài 71. Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở từ hệ Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a). (a) sang hệ (b) là   3 −2 −1 4. Ánh xạ tuyến tính 3 T = 2 2 1 2 1 Bài 77. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi công Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất thức (a) là xa = (2, 4, 5). Hãy tính tọa độ xb của phần tử f (x) = (x1 + 2x2 − x3 , x1 − x2 + 2x3 , 2x1 − x2 − x3 ) x trong cơ sở thứ hai (b). Bài 72. Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . hai hệ cơ sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và (b) = {b1 , b2 , b3 } với a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b1 = a1 +a2 −3a3 , b2 = 2a1 −3a2 +2a3 , b3 = 4a1 +5a2 +a3b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3 . Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất (a) là xa = (1, −3, 5). Hãy tính tọa độ xb của phần tử Bài 78. Cho ánh xạ f : R4 −→ R3 xác định bởi công x trong cơ sở thứ hai (b). thức Bài 73. Trong không gian tuyến tính R3 cho hai hệ f (x) = (2x1 −x2 −x3 +x4 , x1 +x2 −2x3 +x4 , x1 −x3 +x4 ) cơ sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và (b) = {b1 , b2 , b3 } với a1 = (2, −1, 3), a2 = (1, 1, 2), a3 = (2, 1, 4) b1 = (1, 2, 3), b2 = (3, 1, −2), b3 = (−1, 1, 2).. với mọi x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 . a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên các cơ sở chính Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b). tắc của R3 và R4 . Bài 74. Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho 3 3 ba hệ cơ sở (e), (a) và (b). Cho biết ma trận chuyển Bài 79. Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi công thức cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở (a) là   2 −1 1 f (x) = (3x1 − 2x2 + x3 , x1 + x2 + x3 , x1 − x3 + α) Tea = 2 1 2 3 1 4 với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 (α là tham số). và ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở (b) là a) Hãy xác định α để ánh xạ f là một ánh xạ tuyến tính.   1 1 1 b) Với α tìm được hãy lập ma trận của ánh xạ f trên Teb = −2 3 1  cơ sở chính tắc của R3 . 2 1 −2 Bài 80. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b). định bởi công thức Bài 75. Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở từ hệ f (x) = (2x1 − x2 + 2x3 , x1 + 2x2 − x3 , 3x1 + 4x2 − x3 ) (a) sang hệ (b) là   với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . 1 2 −4 a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc T = 2 5 3  của R3 . 3 2 1 b) Hãy tìm ma trận của f trên cơ sở mới {a1 , a2 , a3 } Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất của R3 với (a) là xa = (1, 4, −2). Hãy tính tọa độ xb của phần tử a1 = (2, 1, −1), a2 = (1, −2, 3), a3 = (3, 2, 1) x trong cơ sở thứ hai (b). Đại học Giao thông Vận tải. Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê. 7. Bài 81. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi công Bài 86. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác thức định bởi công thức f (x) = (2x1 +3x2 +4x3 , x1 +2x2 −5x3 , 2x1 +x2 +3x3 ), f (x) = (x1 −2x2 +x3 , −2x1 −2x2 +2x3 , −5x1 −10x2 +7x3 ) với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở {a1 , a2 , a3 } của R3 , biết rằng a1 = (0, 4, 0), a2 = (2, 0, 0), a3 = (0, 0, −1).. với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3 . b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f .. Bài 82. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Bài 87. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác định bởi công thức định bởi công thức f (x) = (2x1 + x2 − 3x3 , 3x1 − 2x2 − x3 , x1 + 3x2 − 2x3 ) f (x) = (3x1 −x2 +2x3 +x4 , 3x2 −x3 +6x4 , 3x3 +5x4 , 3x4 ), với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3 b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = (6, 2, 6).. với mọi x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc của R4 . b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f .. Bài 83. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R3 xác định bởi công thức Bài 88. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác định bởi công thức f (x) = (x1 + x2 − x4 , 3x1 − 2x2 + x3 , x1 + x3 − 2x4 ) f (x) = (2x1 , −3x1 +2x2 , 5x1 −x2 +2x3 , 2x1 −x2 +4x3 +2x4 ), với mọi x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cặp cơ sở chính với mọi x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 . tắc của R3 và R4 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trong cơ sở chính b) Tìm tất cả x ∈ R4 để f (x) = f (1, 2, 1, 2). tắc của R4 . Bài 84. Một tự đồng cấu f trong cơ sở {a1 , a2 , a3 } với a1 = (8, −6, 7), a2 = (−16, 7, −13), a3 = (9, −3, 7) có ma trận:   1 −18 15 A = −1 −22 20 1 −25 22. b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f . Bài 89. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức f (x) = (3x1 + x2 + x3 , x1 + 3x2 + x3 , −x1 + x2 + x3 ). với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . Hãy xác định ma trận của f trong cơ sở mới a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc {b1 , b2 , b3 } với b1 = (1, −2, 1), b2 = (3, −1, 2), b3 = của R3 . (2, 1, 2). b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của Bài 85. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác ánh xạ f . định bởi công thức Bài 90. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác f (x) = (3x +x +2x , x +3x +2x , 3x +3x +5x ) định bởi công thức 1. 2. 3. 1. 2. 3. 1. 2. 3. với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3 . b) Hãy chỉ ra rằng ma trận của f trên cơ sở mới {a1 , a2 , a3 } của R3 với a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 2, −3), a3 = (1, −1, 0) là một ma trận đường chéo. Đại học Giao thông Vận tải. f (x) = (3x1 − x2 + 2x3 , −x1 + 3x2 − 2x3 , x1 + x2 + x3 ) với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3 . b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f . c) Hãy xây dựng một cơ sở của R3 bao gồm ba véc tơ riêng của f . Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 8. Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ. Bài 91. Tìm các giá trị riêng trận sau  2 1 A = 1 2 3 3. và véc tơ riêng của ma Bài 99. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận được cho dưới đây. Chứng minh rằng ma trận đó  đồng dạng với ma trận chéo và biến đổi ma trận đó 2 về ma trận chéo. 2   7 4 1 2 A = 4 4 4 Bài 92. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma 1 2 5 trận sau   Bài 100. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma 2 −1 1 trận được cho dưới đây. Chứng minh rằng ma trận đó A = 1 0 1  đồng dạng với ma trận chéo và biến đổi ma trận đó 3 −1 2 về ma trận chéo.   Bài 93. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma −2 2 1 trận sau A =  1 −3 −1   3 1 2 −1 2 0 A = 1 3 2   3 1 2 1 1 0 Bài 101. Cho ma trận A = 2 4 4 2 −1 1 Bài 94. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. trận sau   b) Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao? Nếu 1 2 2 được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để A = 2 1 2 cho B = T −1 AT . 2 2 1   3 2 2 Bài 95. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma Bài 102. Cho ma trận A = 2 3 2 2 2 3 trận sau   a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. 3 1 2 b) Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao? Nếu A = 1 3 2 được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để 1 2 3 cho B = T −1 AT .   Bài 96. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma 3 1 2 trận sau Bài 103. Cho ma trận A = 1 3 2   2 1 2 4 3 3 5 0 −2 2 3  a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A.  A= 0 0 3 1  b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay 0 0 0 −3 không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma trận đường chéo B để cho B = T −1 AT .   Bài 97. Cho ma trận 2 1 2   Bài 104. Cho ma trận A = 1 2 2 2 2 3 2 3 6 A =  1 3 3 a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A. −1 1 1 b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma Chứng minh rằng ma trận A không chéo hóa được trận đường chéo B để cho B = T −1 AT .   Bài 98. Cho ma trận 3 2 3 Bài 105. Cho ma trận A = 1 4 3   3 −1 2 4 −1 5 A = −2 2 −2 a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A. 2 −1 3 b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma Chứng minh rằng ma trận A chéo hóa được. trận đường chéo B để cho B = T −1 AT . Đại học Giao thông Vận tải. Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê. 9. 5. Không gian Euclide (Dành riêng cho hệ 3 Bài 114. Cho M là không gian con hai chiều của tín chỉ) không gian Euclide R4 có một cơ sở gồm hai véc tơ u = (2, 1, 0, 2), v = (1, −1, 1, 1). Hãy tìm véc tơ có độ Bài 106. Trong không gian R4 hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với dài đơn vị trực giao đồng thời với véc tơ sau: véc tơ w = (1, 2, 3, −2). v1 = (1, 2, −2, 0), v2 = (3, 2, −1, −2), v3 = (1, 1, 1, 1). Bài 115. Cho M là không gian con của không gian 5 Bài 107. Trong không gian Euclide R4 cho hệ cơ sở Euclide R có cơ sở gồm hai véc tơ 1 u = (2, 1, 2, 1, 1), v = (1, 0, −1, 3, −1). trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (4, −2, −2, 1), 5 1 1 u2 = (−1, −2, 2, 4), u3 = (2, 4, 1, 2). Hãy xác định Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M sao cho véc 5 5 tơ đó trực giao với véc tơ w = (−1, 2, 1, −1, 3). tất cả các giá trị có thể có của u4 . Bài 116. Trong không gian R5 , cho M là không gian Bài 108. Trong không gian Euclide R4 cho hệ cơ con ba chiều có một cơ sở gồm 3 véc tơ 1 sở trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (5, 1, 3, 1), 6 u1 = (1, −3, −1, 1, 1), u2 = (1, −1, 2, −1, 1), 1 1 u2 = (−1, 3, −1, 5), u3 = (−3, −1, 5, 1). Hãy xác u3 = (−1, 3, −1, −1, −3). 6 6 định tất cả các giá trị có thể có của u4 . Hãy xác định trong M véc tơ có độ dài đơn vị trực giao 4 Bài 109. Trong không gian Euclide R cho hệ với cả hai véc tơ v1 = (2, 1, 1, 2, 1), v2 = (1, 1, 2, 3, 5). {u1 , u2 , u3 , u4 } với Bài 117. Trong không gian R6 cho M là không gian con ba chiều có một cơ sở gồm 3 véc tơ u1 = (2, 1, −1, −2), u2 = (1, −2, 3, −2) u3 = (2, 1, −4, 1), u4 = (−2, 1, −3, 4) u = (1, 1, 1, 1, 1, 1), u = (2, −3, 4, 1, 5, 2), 1. Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử x ∈ R4 nào đấy thỏa mãn x ⊥ u1 , x ⊥ u2 , x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4 . Bài 110. Trong không gian Euclide R {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (2, −1, 1, 1), u3 = (2, 2, 3, −3),. 4. 2. u3 = (3, −4, 10, 2, 1, 3).. Hãy xác định trong M véc tơ có độ dài đơn vị trực cho hệ giao với cả hai véc tơ v1 = (2, −1, 1, 3, 1, −4), v2 = (3, −2, 1, 2, 1, −1).. u2 = (1, 2, 3, −2) u4 = (2, 1, 2, −2). Bài 118. Trong không gian Euclide R4 cho M là không gian con hai chiều có một cơ sở gồm hai véc tơ u1 = (1, 2, −3, 3); u2 = (2, 1, −1, 5). Hãy phân tích Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử x ∈ R4 nào đấy thỏa phần tử x = (6, 1, 4, 8) thành x = u + v trong đó mãn x ⊥ u1 , x ⊥ u2 , x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4 . u ∈ M và v = M ⊥ . Bài 111. Trong không gian Euclide R4 cho các véc Bài 119. Trong không gian Euclide R4 , cho véc tơ tơ x = (1, 0, −7, 2) và cho M là không gian con hai chiều u1 = (1, −1, 1, 2), u2 = (−2, 1, 2, 3), v = (2, λ, −1, µ) có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (1, 2, −3, 2), u2 = (2, −1, −2, 1). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ Hãy xác định giá trị của λ và µ để v⊥u1 , v⊥u2 . M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v. Bài 112. Trong không gian Euclide R4 cho các véc Bài 120. Trong không gian Euclide R4 , cho véc tơ tơ x = (6, 6, −6, 0) và cho M là không gian con hai chiều u = (1, 3, −2, 2), v1 = (1, 3, 2, −1), v2 = (0, −1, 1, 1). có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (1, 2, −1, 2), u2 = (2, −1, −2, 1). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ Hãy xác định λ, µ sao cho w = u + λv1 + µv2 thỏa M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v. mãn điều kiện w⊥v1 , w⊥v2 . Bài 121. Trong không gian Euclide R4 , cho véc Bài 113. Cho M là không gian con hai chiều của tơ x = (4, −1, −5, 4) và cho M là không gian không gian Euclide R4 có cơ sở gồm hai véc tơ u = con hai chiều có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (1, −1, 1, 1), v = (2, −1, 2, 1). Hãy tìm véc tơ có độ (2, −2, −3, 2), u2 = (1, −1, −2, 1). Hãy tìm các véc dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với tơ u, v với u ∈ M, v ∈ M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v. véc tơ w = (1, −2, −2, 1). Đại học Giao thông Vận tải. Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 10. Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ. Bài 122. Trong không gian Euclide R5 cho M là Bài 130. Trong một cơ sở trực chuẩn của R4 , cho các không gian con hai chiều có một cơ sở gồm 2 véc tơ véc tơ u1 = (1, 1, −1, 3, 4); u2 = (2, 3, 1, −3, −14).. a1 = (2, 1, −3, −1), a2 = (3, 1, −1, 2) và b = (1, µ, 0, 2λ). Hãy phân tích véc tơ x = (5, −5, 1, −2, −9) thành a) Tìm λ, µ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a và 1 tổng x = u + v với u ∈ M và v ∈ M ⊥ . a2 . Bài 123. Trong không gian Euclide R4 cho M là một b) Với λ, µ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a1 , a2 , b}. không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1 , u2 } với Bài 131. Trong không gian Euclide R4 , cho các véc tơ u = (14, 8, 10, 12), v1 = (1, 3, 1, 5), v2 = (7, 1, 11, 3). u1 = (1, 2, 0, 2), u2 = (4, 2, −2, 2). a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1 +µv2 Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x − u1 || = 4, ||x − u2 || = 7. trực giao với các véc tơ v1 , v2 . Bài 124. Trong không gian Euclide R4 cho M là một b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1 , v2 , w} theo không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1 , u2 } với thủ tục Gram–Schmidt. Bài 132. Trong không gian Euclide R4 , cho các véc tơ u = (6, −10, −4, 17), v1 = (2, 4, 2, 5), v2 = Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x − u1 || = 7, ||x − u2 || = 7. (2, 14, 11, 13). Bài 125. Trong không gian Euclide R4 cho M là một a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1 +µv2 không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1 , u2 } với trực giao với các véc tơ v1 , v2 . b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1 , v2 , w} theo u1 = (3, 2, 6, 2), u2 = (2, 2, 7, 2). thủ tục Gram–Schmidt. u1 = (2, 2, 7, 2), u2 = (1, 2, 8, 2).. Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x − u1 || = 7, ||x − u2 || = 7. Bài 133. Trong một cơ sở trực chuẩn của R4 cho các Bài 126. Trong không gian Euclide R4 cho M là một véc tơ không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1 , u2 } với a = (1, 1, −3, −1), a = (2, 1, −1, 2) và b = (2, γ, 1, α) 1 2 u1 = (3, 2, 0, 2), u2 = (4, 2, −2, 2). a) Tìm α, γ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 và Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x − u1 || = 4, ||x − u2 || = 5. a2 . b) Với α, γ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a1 , a2 , b}. Bài 127. Trong không gian Euclide R4 cho các phần tử a1 = (1, 1, 0, 1); a2 = (1, 0, −1, 1) và không gian Bài 134. Bằng phương pháp trực chuẩn hoá con Gram–Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của L = {x ∈ R4 |hx, a1 i = 0, hx, a2 i = 0} không gian R3 từ cơ sở đã cho sau đây: a) Tìm một cơ sở của L. a1 = (2, −1, 2); a2 = (4, 1, 1); a3 = (−2, 6, −3). b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1 , a2 và các véc tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu a. Tính tọa độ của phần tử x = (3, 1, 5) trên cơ sở nhận 4 Bài 128. Trong không gian Euclide R cho các phần được. tử a1 = (1, 2, 3, −1); a2 = (2, 3, −1, 4) và không gian Bài 135. Bằng phương pháp trực chuẩn hóa con Gram–Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của L = {x ∈ R4 |hx, a1 i = 0, hx, a2 i = 0} không gian R4 từ cơ sở được cho sau đây: a) Tìm một cơ sở của L. a1 = (1, 0, 1, −1); a2 = (0, 2, 2, 2); b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1 , a2 và các véc tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu a. a3 = (5, −2, 3, 2); a4 = (3, 1, 1, 1). Bài 129. Trong không gian Euclide R4 cho các phần Tính tọa độ của phần tử x = (1, 2, 5, 6) trên cơ sở tử a1 = (1, 1, 2, −1); a2 = (2, 1, −1, 3) và không gian nhận được. con L = {x ∈ R4 |hx, a1 i = 0, hx, a2 i = 0} Bài 136. Trong không gian Euclide R3 cho hệ véc tơ {u1 , u2 , u3 } với a) Tìm một cơ sở của L. b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1 , a2 và các véc tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu a. Đại học Giao thông Vận tải. 6 2 3 3 6 2 2 3 6 u1 = ( , , ), u2 = ( , , − ), u3 = ( , − , ) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê. 11. a) Hãy chỉ ra rằng hệ {u1 , u2 , u3 } là một cơ sở trực Bài 143. Hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn của chuẩn của không gian Euclide R3 . không gian Euclide R4 sao cho cơ sở này có chứa hai b) Hãy tìm tọa độ của phần tử x = (3, 4, 5) trên cơ phần tử như sau sở {u1 , u2 , u3 }. 1 1 u1 = (1, 1, −1, −1); u2 = (1, −1, 1, −1). 2 2 Bài 137. Trong không gian Euclide R4 cho hệ cơ 1 sở trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (3, 5, 1, 1), Bài 144. Hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn của 6 không gian Euclide R4 sao cho cơ sở này có chứa hai 1 1 u2 = (−5, 3, 1, −1), u3 = (−1, −1, 3, 5). Giả sử phần tử như sau 6 6 phần tử x = (4, 2, 1, −5) có tọa độ trên {u1 , u2 , u3 , u4 } 1 1 u1 = (5, 3, −1, −1); u2 = (1, −1, 5, −3). là (x1 , x2 , x3 , x4 ). Hãy tính x24 . 6 2 Bài 138. Trong không gian Euclide R4 cho hệ cơ Bài 145. Chéo hóa ma trận đối xứng thực sau đây 1 sở trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (2, 4, 2, 5), bằng ma trận trực giao 7   1 1 3 2 4 u2 = (−5, 2, −4, 2), u3 = (2, 5, −2, −4). Giả sử 7 7 A = 2 3 4 phần tử x = (2, −3, 1, 5) có tọa độ trên {u1 , u2 , u3 , u4 } 4 4 9 là (x1 , x2 , x3 , x4 ). Hãy tính x24 . Bài 139. Trong không gian Euclide R5 cho M là không gian con ba chiều có một cơ sở là {u1 , u2 , u3 } với u1 = (1, 1, 1, 1, −1), u2 = (2, 0, 3, −2, 1), u3 = (−1, 2, 1, −1, 2). Hãy xác định một cơ sở trực chuẩn và số chiều của không gian con M ⊥ .. Bài 146. Cho A2 = A. Hãy chỉ ra rằng (A + I)k = I + (2k − 1)A. Bài 140. Trong không gian R4 cho hai véc tơ u1 = (2, 1, −2, 2); u2 = (1, −1, −1, −1). Gọi M là tập hợp tất cả các véc tơ của R4 trực giao với u1 , u2 .. (a + b)2 c2 c2 2 2 a (b + c) a2 = 2abc(a + b + c)3 b2 b2 (a + c)2. 6. Một số bài tập nâng cao. Bài 147. Chứng minh đẳng thức. a) Chứng minh rằng M là một không gian con của Bài 148. Chứng minh đẳng thức R4 . a b c d b) Xác định một cơ sở trực chuẩn của M . −b a d −c = (a2 + b2 + c2 + d2 )2 −c −d a b Bài 141. Cho ma trận −d c −b a   1 2 2  3 −3 −3 Bài 149. Tính giá trị định thức       Q = − 2 − 2 1  . a1 x x . . . x   3 3 3 x a2 x . . . x     D = x x a3 . . . x x y z .. .. .. . . . . .. . . . x x x . . . an Hãy tìm x, y, z để Q là ma trận trực giao. Bài 142. Hãy tìm x, y, z, t để ma trận Q được cho Bài 150. Chứng minh rằng ma trận vuông cấp hai   sau đây là ma trận trực giao: a b A=   c d −1 1 1 1 1  1 −1 1 1  thỏa mãn phương trình Q=  1 −1 1 2 1 x y z t X 2 − (a + d)X + (ad − bc)E = 0. Đại học Giao thông Vận tải. Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 12. Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ. Bài 151. Chứng minh rằng nếu A là ma trận thực Bài 163. Tính định thức và AA0 = 0 thì A = 0. 1 1 1 ... 1 1 1 1 Bài 152. Cho hai ma trận vuông cấp hai A = 1 C C . . . C     2 3 n 4 −1 2 0 2 2 C42 . . . Cn+1 D = 1 C3 và B = . 2 1 0 3 .. .. .. .. .. . . . . . a) Hãy tìm một ma trận khả nghịch T sao cho T A = n−1 n−1 n−1 Cn+1 . . . C2n−2 1 Cn BT . b) Tính A2011 . Bài 164. Chứng minh rằng không tồn tại các ma Bài 153. Cho A là một ma trận vuông cấp n khả trận A và B sao cho AB − BA = E. nghịch có ma trận phụ hợp là A∗ . Hãy chứng minh Bài 165. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n sao rằng det(A∗ ) = (det A)n−1 . cho r(AB − BA) = 1. Chứng minh rằng (AB − Bài 154. Cho A là một ma trận vuông sao cho A4 = BA)2 = 0. 0. Hãy chứng minh rằng I + A là một ma trận khả Bài 166. Cho A, B là các ma trận kích thước 3 × 2 nghịch. và 2 × 3. Giả sử rằng tích A.B là Bài 155. Cho A là một ma trận vuông sao cho A10 =   0. Hãy chứng minh rằng I + A2 + A5 là một ma trận 8 2 −2 khả nghịch. AB =  2 5 4  −2 4 5 Bài 156. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp sao cho (AB)10 = I. Chứng minh rằng (BA)10 = I. Hãy chỉ ra rằng Bài 157. Cho A là một ma trận vuông thực cấp ba   9 0 có ba giá trị riêng thực phân biệt. Hãy chứng minh BA = 0 9 rằng ma trận A3 cũng có ba giá trị riêng thực phân biệt. Bài 167. Cho A, B là các ma trận vuông cấp 3 với Bài 158. Cho A là một ma trận vuông thực cấp ba các phần tử thực sao cho có ba giá trị riêng thực phân biệt. Hãy chứng minh rằng ma trận A5 − A4 + A cũng có ba giá trị riêng det A = det B = det(A + B) = det(A − B) = 0. thực phân biệt. Chứng minh rằng det(xA + yB) = 0 với mỗi cặp số Bài 159. Cho A là một ma trận vuông thực cấp n thực x, y. khả nghịch và có n giá trị riêng phân biệt. Chứng minh rằng ma trận A3 + 2A − 3A−1 cũng có n giá trị Bài 168. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng riêng thực phân biệt. minh rằng nếu A là một ma trận luỹ linh và B là ma trận giao hoán với A thì I − AB và I + AB là các ma Bài 160. Cho A là mộtma trận  vuông cấp hai đồng trận khả nghịch. 3 2 dạng với ma trận B = . Hãy tính giá trị của   0 4 2015 −2014 Bài 169. Cho ma trận vuông A = . định thức det(A3 + 3A). 2014 −2013   Hãy xác định số nguyên dương n sao cho tồn tại ma 2 −1 3 2 . Tính trận vuông cấp hai X với các phần tử nguyên để Bài 161. Cho ma trận A = 0 1 0 4 −1 X 2015 + X n = 2A. 2004 1002 det B với B = A −A . Bài 162. Tính định thức 1 2 3 −1 0 3 D = −1 −2 0 .. .. .. . . . −1 −2 −3 Đại học Giao thông Vận tải. ... ... ... .. .. n n n .. .. ... 0. MẪU ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê trân trọng giới thiệu một số mẫu đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính. Để có sự chuẩn bị tốt cho kỳ thi sinh viên cần lưu ý các điểm sau: Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê. 13. 1. Sinh viên học ĐSTT 2 tín chỉ chỉ làm bốn câu Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử x ∈ R4 nào đấy thỏa đầu tiên. Thời gian làm bài đối với mỗi đề thi là mãn x ⊥ u1 , x ⊥ u2 , x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4 . 70 phút. ĐỀ SỐ 2 2. Sinh viên học ĐSTT 3 tín chỉ chỉ làm cả 5 câu. Bài 1. Tính hạng ma trận sau theo x Thời gian làm bài đối với mỗi đề thi là 90 phút.   x 3 3 x 3. Không được mang tài liệu trong phòng thi. A =  3 x x x Không mang điện thoại vào phòng thi. x x x x 4. Mang thẻ sinh viên khi đi thi, mang máy tính (nếu cần) để sử dụng trong giờ thi. Bài 2. Giải hệ phương trình 5. Sinh viên không được nháp vào đề thi, phải nộp lại đề thi cùng bài làm khi hết giờ làm bài. ĐỀ SỐ 1   −3 5 Bài 1. Cho ma trận A = . −2 3 a) Tính A215 b) Tính det(A512 + 4A215 + 2A251 )..   3x1 − x2 + 5x3 − x4 = 3 2x1 + x2 + x3 + 4x4 = 6   2x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = 2. Bài 3. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 1, −1), a2 = (2, 1, 3) a3 = (1, 4, 2), a4 = (5, 0, 2). Hãy tìm tất cả các biểu diễn tuyến tính có thể có của a4 trên hệ {a1 , a2 , a3 , a4 }. Bài 2. Giải và biện luận hệ phương trình   3 1 −1  Bài 4. Cho ma trận A = 1 3 −1  x1 − x2 + 2x3 − x4 = 4 5 4 −5 2x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = 2  a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.  4x1 − x2 + 7x3 + λx4 = 8 b) Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao? Nếu được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để 4 Bài 3. Trong không gian R cho hệ véc tơ {a1 , a2 , a3 } cho B = T −1 AT . với Bài 5. Trong không gian Euclide R4 , cho véc tơ x = (2, 4, −5, 6) và cho M là không gian con hai chiều a1 = (1, 1, 3, −2), a2 = (2, 1, 2, 1), a3 = (1, 3, 3, 2) có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (2, 1, 3, −1), u2 = a) Chứng minh rằng hệ {a1 , a2 , a3 } là hệ độc lập tuyến (1, −1, 1, 2). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v. tính. b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử x = (4, 0, 4, −2) qua hệ {a1 , a2 , a3 }.. ĐỀ SỐ 3. Bài 1. Cho hai ma trận     1 2 2 1 5 3 A = 2 3 −2 , B = −1 3 1 f (x) = (3x1 + x2 + 2x3 , 2x1 + 2x2 − 3x3 , 3x1 + x2 − x3 ) 1 1 1 2 −1 2 Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức. với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . Hãy tìm ma trận của f a) Tính nghịch đảo của ma trận A. trên cơ sở {a1 , a2 , a3 } của R3 với b) Giải phương trình AX = B. a1 = (2, 1, 4), a2 = (1, −1, 1), a3 = (2, 2, 1) Bài 2. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số λ 4 Bài 5. Trong không gian Euclide R cho hệ  x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 2  {u1 , u2 , u3 , u4 } với   2x + 3x + x − x = 5 1 2 3 4 u1 = (1, 1, 1, 2), u2 = (2, 1, 1, −1)  3x + 5x + 3x + 4x 1 2 3 4 = 8    u3 = (3, 2, −1, 3), u4 = (5, 2, 5, −4) 6x1 + 10x2 + λx3 + 5x4 = 15 Đại học Giao thông Vận tải. Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 14. Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ   3 −1 2 Bài 3. Trong không gian tuyến tính R4 cho không Bài 4. Cho ma trận A = 1 1 2 gian con 3 −1 5 M = {(x1 , x2 , x3 , x4 )|x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = 0} a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A. b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay và phần tử w ∈ M với w = (1, 1, 3, 1). Hãy xác định không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma một cơ sở và số chiều của M và cho biết tọa độ của trận đường chéo B để cho B = T −1 AT . w trên cơ sở được đưa ra. Bài 5. Trong không gian Euclide R4 , cho các véc 3 3 Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R −→ R xác định tơ u = (3, −2, −2, 11), v1 = (2, −1, 3, 3), v2 = bởi công thức (1, 1, −1, 2). a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1 +µv2 f (x) = (4x1 +3x2 −3x3 , x1 −2x2 −3x3 , x1 +3x2 +2x3 ) trực giao với các véc tơ v , v . 1 2 b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1 , v2 , w} theo với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . thủ tục Gram–Schmidt. a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3 ĐỀ SỐ 5 b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = f (2, −1, 3). Bài 1. Giải phương trình Bài 5. Bằng phương pháp trực chuẩn hoá x 1 1 x Gram–Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của x x x x 3 không gian R từ cơ sở đã cho sau đây: =0 x 2 x 2 2 2 x x a1 = (2, 2, 1); a2 = (4, 10, −1); a3 = (2, 7, 3). Tính tọa độ của phần tử x = (1, 8, 9) trên cơ sở nhận Bài 2. Giải hệ phương trình được.   x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 11 ĐỀ SỐ 4 3x1 + x2 + 3x3 − 9x4 − 2x5 = 14   Bài 1. Cho hai ma trận 2x1 − 2x2 + 5x3 − 6x4 + 4x5 = 13     2 1 1 1 2 3 Bài 3. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (3, 10, −2, 3) A =  3 −2 1 , B = 3 −2 1  trong cơ sở dưới đây của không gian tuyến tính R4 : −2 1 2 1 4 −2 a1 = (1, 1, −1, 2); a2 = (2, 3, 1, 1); a3 = (−1, 2, −2, 1); a4 = (1, 1, 1, −1). a) Tính det(2A3 B 2 + 3A2 B 3 ). Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định b) Tính hạng của ma trận A + 2B. bởi công thức Bài 2. Cho hệ phương trình f (x) = (4x1 + x2 − x3 , 2x1 + 3x2 − x3 , −x1 − 3x2 + 2x3 )  x + x + x + x = 4  1 2 3 4   3x + x − x − 2x = 6 với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . 1 2 3 4 a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc  2x 1 − 4x2 + x3 − 2x4 = 5   của R3 .  2x1 + 6x2 − x3 + x4 = λ b) Hãy chỉ ra rằng ma trận của f trên cơ sở mới Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm được.. {a1 , a2 , a3 } của R3 với a1 = (1, 1, 4), a2 = (3, −1, 5), a3 = (−1, −1, 1). Bài 3. Trong không gian tuyến tính R3 cho hai hệ cơ là một ma trận đường chéo. sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và (b) = {b1 , b2 , b3 } với Bài 5. Trong không gian Euclide R4 cho hệ cơ sở 1 trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (4, 2, 1, 2), u2 = a1 = (2, 1, −1), a2 = (3, 1, 2), a3 = (2, 1, 4) 5 1 1 b1 = (1, 2, 3), b2 = (−1, 0, 2), b3 = (5, 1, 2). (−1, 2, 4, −2), u3 = (2, −4, 2, −1). Hãy xác định 5 5 tất cả các giá trị có thể có của u4 . Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b). Đại học Giao thông Vận tải. Tháng 9 năm 2015.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>