12 CHUYEN DE ON THI THPT QG 2016 CD3 HHKG THE TICH

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP A. LÝ THUYẾT TG: BÙI ĐỨC THUẬT I. HÌNH HỌC PHẲNG 1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho D ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 ( Pitago)   AH .BC = AB .AC 2 2  AB = BH .BC , AC = CH .CB. 1 1 1 = + , AH 2 = HB .HC 2 2 2 AH AB AC  BC AM = 2 . A 2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường a) Định lí hàm số cosin b2 + c2 - a2 2 2 2 * a = b + c - 2bc cosA Þ cosA = B A HM 2bc C. c. b. a B C b) Định lí hàm số sin A c b B R a C. a2 + c2 - b2 * b = a + c - 2ac cosB Þ cosB = 2ac 2 a + b2 - c2 2 2 2 * c = a + b - 2abcosC Þ cosC = 2ab 2. 2. 2. (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC). c) Công thức tính diện tích của tam giác A c. b. a B C – nửa chu vi – bán kính đường tròn nội tiếp d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác AB 2 + AC 2 BC 2 * AM = 2 4 . 2. * CK 2 =. CA 2 + CB 2 AB 2 2 4 .. A K N B M C. BA2 + BC 2 AC 2 * BN = 2 4 . 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 3/ Định lí Talet. M. AM AN MN = = =k AB AC BC 2 æ ö AM ÷ ç ÷ =ç = k2 ÷ ÷ ç èAB ø. * MN / / BC Þ. A. B. SD AMN. *. N. SD ABC. (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng. C. 4/ Diện tích của đa giác B. a/ Diện tích tam giác vuông  Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc vuông. b/ Diện tích tam giác đều SD. (cạnh)  Diện tích tam giác đều: đều 2 đều.  Chiều cao tam giác đều:. =. hD(cạnh) =. B ha. . 3 4. C. A. A. C. 1 Þ SD ABC = AB .AC 2. Þ. 2 ìï 3 ïï SD A BC = a ïï 4 í ïï a 3 ïï h = 2 ïî. . 3 2 A. c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật  Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.  Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 .  Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.. a D. B O. C. ìï SHV = a2 ï Þ ïí ïï AC = BD = a 2 ïî.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> A. d/ Diện tích hình thang. D. Þ S=.  Diện tích hình thang: =. SHình Thang chiều cao. 1 2 .(đáy lớn + đáy bé) x. e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc. B. H. ( AD + BC ) .AH 2. C. B. Þ C. A.  Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo.  Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm của mỗi đường.. 1 SH .Thoi = AC .BD 2. D. Lưu y: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác. II. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Quan Hệ Song Song a/ Chứng minh đường thẳng d // mp(a) với  Chứng minh: d // d ' và d ' Ì (a). ( d Ë (a)). b // (a )  Chứng minh: d Ì (b) và ( ). b/ Chứng minh. mp(a) // mp( b). mp( b)  Chứng minh mp(a) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với .. ( ) cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông  Chứng minh mp(a) và góc với 1 đường thẳng. c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau mp b.  Hai. mp(a), ( b). có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a,b thì. (a ) Ç ( b) = Sx // a // b. .. ìï a // mp(a) ï Þ (a) Ç ( b) = b // a í ïï a Ì mp( b)  ïî .. 2. Quan Hệ Vuông Góc.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ( ) a/ Chứng minh đường thẳng  Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp(a) . d ^ mp a. ìï d // d ' ï Þ í ïï d ' ^ mp( a ) d ^ mp( a )  Chứng minh: ïî ìï d ^ mp( b) ï Þ í ïï mp( b) // mp( a ) d ^ mp( a )  Chứng minh: ïî.  Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của ìï ( a ) ^ ( P ) ïï ïí ( b) ^ ( P ) Þ d ^(P ) ïï ï ( a ) Ç ( b) = d chúng vuông góc với mặt phẳng thứ 3: ïî b/ Chứng minh đường thẳng d ^ d '. ( ) và ( )  Chứng minh .  Sử dụng định lý ba đường vuông góc. 0  Chứng tỏ góc giữa d và d ' bằng 90 . d^ a. c/ Chứng minh. a É d'. mp( a ) ^ mp( b). ìï ( a ) É d ï Þ mp( a ) ^ mp( b) í ïï d ^ ( b)  Chứng minh ïî (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng. vuông góc với mp kia) 0  Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 90 . 3/ Góc Và Khoảng Cách. a/ Góc giữa hai đường thẳng  Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương với hai đường thẳng đó: ìï a // a ' ï Þ (a¶,b) = (a· ',b') = f í ïï b // b' î. a a' . b'b. ( ) b/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. mp a. é· ù · êd,( a ) ú= (d,d ') = f ê ú ë û. (với d ' là hình chiếu vuông góc của d lên mp(a) ).. ( ) và ( ) c/ Góc giữa hai d d'   u  Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến , 2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên 2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.   a b mp a. mp b. u.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ( (·a);( b) ) = (a¶,b) = f M. d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:.  Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng. D. d ( M , D ) = MH. e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:. H. Md.  Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng) này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia. f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng. M. d'. g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó. mp( a )  Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến M chứa d ' và song song với d ..  Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa d và d ' .. d. ( a ) , ( b). d'. 4/ Hinh chóp đều a/ Định nghĩa. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. Nhận xét: +Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. +Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. S. b/ Hai hình chóp đều thường gặp.  Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đềuAS.ABC .C O H Khi đó: Đáy ABC là tam giác đều. B S Các mặt bên là các tam giác cân tại . Chiều cao: SO . · · · Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO = SBO = SCO ..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> · Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO . 2 1 AB 3 AO = AH , OH = AH , AH = 3 3 2 . Tính chất:. Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều. + Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều. + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy. * Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Đáy ABCD là hình vuông. Các mặt bên là các tam giác cân tại S . Chiều cao: SO . ·. ·. ·. ·. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO = SBO = SCO = SDO . · Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO S .. A B. D. O. H C. 5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.. Ví du: Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA ^ ( ABC ). thì chiều cao là SA .. Ví du: Hình chóp S.ABCD có mặt bên b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.. ( SAB ) vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) thì chiều cao của hình. chóp là chiều cao của D SAB .. Ví du: Hình chóp S.ABCD có hai mặt c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy. d/ Hình chóp đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy. 6/ Thể tích khối đa diện. ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông ABCD ) góc với mặt đáy ( thì chiều bên. cao là SA . Ví du: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1 V = B .h 3 1/ Thể tích khối chóp: B : Diện tích mặt đáy. h : Chiều cao của khối chóp. A B. 2/ Thể tích khối lăng tru: V = B.h B : Diện tích mặt đáy. h : Chiều cao của khối chóp.. Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh bên. 3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: V = abc ... a. c. aa a. b. 3 Þ Thể tích khối lập phương: V = a. 4/ Tỉ số thể tích: VS .A 'B 'C ' VS.ABC. =. S. SA ' SB ' SC ' . . SA SB SC. 5/ Hình chóp cut A’B’C’.ABC V =. (. h B + B '+ BB ' 3. B ’. A ’ C ’. A. ). B. C. Với B, B ',h là diện tích hai đáy và chiều cao. B. BÀI TẬP MẪU Thí du 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác. · 0 vuông tại B, BAC = 30 , SA = AC = a và SA vuông góc mp ABC ) với ( .Tính thể tích khối chóp S.ABC và. khoảng cách từ A đến (SBC) Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chóp S.ABC . * Ta có:. VS.ABC. 1 = .SD ABC .SA 3. ( 1). S. A3 a C 0 0. B.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> * Trong đó:. SA = a ( 2). * Tìm SDABC ? Trong D ABC vuông tại B , ta có: ïìï a ïìï BC 0 0 ïï BC = AC .sin30 = ïï sin30 = 2 AC Û ïí í ïï ïï AB a 3 0 0 ïï cos30 = ïï AB = AC .cos30 = AC ïî 2 ïî 1 1 a a 3 a2 3 Þ SDABC = AB.BC = . . = 2 2 2 2 8. ( 3). 1 a2 3 a3 3 1 Þ V = . × a = ( ) S.ABC 3 8 2, 3 24 (đvtt) * Thay ( ) ( ) vào mp( SBC ) A. Tính khoảng cách từ. đến. ( 4). .. 3.VS .ABC 1 VS .ABC = d é A,( SBC ) ù .SD SBC Þ d é A,( SBC ) ù = ê ú ê ú ë û ë û 3 SD SBC. * Ta có: * Tìm D SBC ?. ( 5). ìï BC ^ AB ï Þ BC ^ mp( SAB ) Þ BC ^ SB Þ D SBC í ïï BC ^ SA î Ta có: vuông tại B . Þ SDSBC. 1 1 1 2 = .BC .BS = . AC 2 - AB 2 . SA2 + AB 2 = a 2 2 2. 1 a a 7 a2 7 = × × = 2 2 2 8. 2. 2. æ æ a 3ö ÷ a 3ö ÷ ç ç 2 ÷ ÷ ç ç . a +ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ç 2 2 ÷ ÷ ç ç è ø è ø. ( 6). a3 3 8 a 21 é ù Þ d êA,( SBC ) ú= 3× × = 2 ë û 4, 6 5 24 a 7 7 * Thế ( ) ( ) vào ( ) . Thí du 2. Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a . mp( SAB ) mp( SAD ) Hai và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC hợp 0 với đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .. Bài giải tham khảo. ìï (SAB ) ^ (ABCD ) ïï ïí (SAD) ^ (ABCD ) Þ SA ^ (ABCD ) ïï ïï (SAB ) Ç (SAD) = SA î .. S. Þ Hình chiếu của SC lên mp( ABCD ) é· ù · Þ êSC ,( ABCD ) ú= SCA = 600 ê ú ë û .. 1 VS .ABCD = SA.SACBD 3  Mà:.  Tìm SA ?. ( 1). .. là AC . A B. D 6 0 0. C.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trong D SAC vuông tại A :. SA · Þ SA = AC .tanSCA AC. · tan SCA =. = AB 2 + BC 2 .tan600 = a2 + (2a)2 . 3 = a 15 ( 2).  Ta lại có:  Thay (. 2. SABCD = AB.BC = a.2a = 2a. 2) ,( 3). vào. ( 1) Þ. VABCD =. ( 3) .. .. 1 2a3 15 ×a 15 ×2a2 = 3 3 (đvtt).. Thí du 3. Hình chop S.ABC có BC = 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại C ,SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I là trung điểm cạnh AB . S a/ Chứng minh rằng, đường thẳng SI ^ mp( ABC ). .. ) hợp với ( ) một góc 60 b/ Biết ( . Tính thể tích khối chóp S.ABC . A Bài giải tham khảo 6 I mp SAC. mp ABC. 0. ( ) a/ CM:  Do D SAB vuông cân tại có SI là trung tuyến Þ SI cũng đồng thời là đường cao Þ SI ^ AB . SI ^ mp ABC. 0. K0 C. B 2 a. ìï (SAB ) ^ (ABC ) ïï ïí AB = (SAB ) Ç (ABC ) Þ SI ^ mp( ABC ) ïï ï AB ^ SI Ì (SAB )  Ta có: ïî. (đpcm) b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC  Gọi K là trung điểm của đoạn AC . Þ SK vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong D SAC Þ SK ^ AC .  Trong D ABC vuông tạiC có K I là đường trung bình. ìï K I //BC Þ ïí Þ K I ^ AC ïï BC ^ AC î . ìï mp(ABC ) Ç mp(SAC ) = {AC } ïï Þ ïí K I ^ AC Ì mp(ABC ) Þ ïï ï SK ^ AC Ì mp(SAC )  Mặt khác: ïî. é· ù · 0 êmp( SAC ) ;mp( ABC ) ú= SK I = 60 ê ú ë û. 1 VS .ABC = SDABC .SI ( 1) 3  Mà:  Tìm SI ? Trong D SK I vuông tại I , ta có: · I = tan SK.  Tìm. SDABC. SI · I = 1.BC .tan600 = a 3 2 Þ SI = IK .tan SK ( ) IK 2 .. ?. ..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 2 1 1 1 SDABC = .BC .AC = .BC . AB 2 - BC 2 = .BC . ( 2SI ) - BC 2 2 2 2 2 2 1 = .2a. 2a 3 - ( 2a) = 2a2 2 ( 3) 2 .. (. ). 1 2 2a3 6 ( 1) Þ VS.ABC = 3.2a 2.a 3 = 3 2, 3 Thế ( ) ( ) vào Thí du 4. Cho hình lăng trụ ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a .. Hình chiếu vuông góc của A ' xuống mp( ABC ). A ’. là trung điểm của AB . Mặt. ) tạo với đáy một góc bên ( o bằng 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ này. AA 'C 'C. Bài giải tham khảo  Gọi H , M , I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC , AM . V. = B.h = S. D ABC  ABC .A 'B 'C '  Do D ABC đều nên:. .A 'H. B ’ C ’. A. I. H. B a. M C. ( 1). BC 2. 3 a2 3 = ( 2) 4 4 . A ' H  Tìm ? IH Do là đường trung bình trong đều D AMB , đồng thời BM là trung tuyến nên cũng SDABC =. là đường cao. ìï IH // MB ï Þ IH ^ AC í ïï MB ^ AC Do đó: î và ìï AC ^ A 'H ï Þ AC ^ ( A 'HI ) Þ AC í ïï AC ^ IH î ìï (ABC ) Ç (ACC 'A ') = {AC } ïï ïí AC ^ IH Ì (ABC ) Þ ïï ï AC ^ A 'I Ì (ACC 'A ') Mà: ïî Trong D A 'HI vuông tại H , ta có: tan450 =. ^ A 'I. é· ù · 0 ê( ACC 'A ') ;( ABC ) ú= A 'IH = 60 ê ú ë û. .. A 'H 1 a 3 Þ A 'H = IH .tan45o = IH = MB = ( 3) HI 2 4 .. a2 3 a 3 3a3 ( 1) Þ VABC .A 'B 'C ' = 4 . 4 = 16 2, 3  Thay ( ) ( ) vào . ABC . A ' B ' C ' Thí du 5. Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông tại · A, AC = a, ACB = 600 . Đường chéo BC ' của mặt bên ( BC 'C 'C ) tạo với mặt. phẳng. mp( AA 'C 'C ). 0 một góc 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a .. a60C.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ’30 A oC ’ B’ ’. Bài giải tham khảo. ìï AB ^ AC ï Þ AB ^ (ACC ¢ A ¢) í ïï AB ^ AA ¢  Ta có: î . Do đó AC ¢là hình chiếu vuông góc của BC ¢ lên (ACC ¢A ¢) . ·. 0 Từ đó, góc giữa BC ¢và (ACC ¢A ¢) là BC ¢A = 30 .. 0  Trong tam giác vuông ABC : AB = AC .tan60 = a 3 . 0  Trong tam giác vuông ABC ' : AC ¢= AB.cot 30 = a 3. 3 = 3a .. 2 2 2 2  Trong tam giác vuông ACC ' : CC ' = AC ' - AC = (3a) - a = 2a 2 .. 1 1 V = B .h = AB .AC .CC ' = .a 3.a.2a 2 = a3 6 2 2  Vậy, thể tích lăng trụ là: (đvdt). Thí du 6. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy 0 bằng 60 . Tính thể tích của hình chóp S.ABCD .. Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ( )  GọiO là tâm của mặt đáy thì nên SO là đường cao của hình chóp và gọi M là trung điểm đoạnCD . SO ^ mp ABCD. ìï CD ^ SM Ì (SCD) ïï · ïí CD ^ OM Ì (ABCD ) Þ SMO = 600 ïï ï CD = (SCD ) Ç (ABCD)  Ta có: ïî (góc giữa mặt (SCD) và mặt đáy). S. A B. 6 0 0. O 2 C a. D M. 1 VS .ABCD = SABCD .SO ( 1) 3  Ta có:  Tìm SO ? Trong D SMO vuông tạiO , ta có: · tan SMO =. SO OM. BC · Þ SO = OM .tan SMO = .tan600 = a 3 ( 2) 2 . 2.  Mặt khác:. SABCD = BC 2 = ( 2a) = 4a2. ( 3) .. 1 2 4a3 3 1 Þ V = .4 a . a 3 = ( ) ABCD 3 2, 3 3  Thế ( ) ( ) vào (đvtt).. C. CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI GẦN ĐÂY Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a,SA ^ ( ABC ). ( ) và ( ) bằng 30 . Gọi M là trung , góc giữa điểm của cạnh SC . Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a . HD: Cm :. ( 2) Þ. BC ^ ( SAB ). mp SBC. mp ABC. 0. 1 VS .ABM =VM .SAB = .SDSAB .MN 3 , Ke MN // BC ,. VS .ABM =V M .SAB =. a3 3 36. ĐS: Bài 2. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SB, BC ,CD . Tính thể tích khối tứ diệnCMNP . HD: Gọi H là trung điểm của AD thì S SH ^ AD Þ SH ^ ( ABCD ). M. MK // SH ( K Î HB ) Þ MK ^ ( ABCD ) 1 VCMNP = .SDCNP .MK 3 1 a2 a 3 a3. 3 = . . = 3 8 4 96. A H D. P. B. K. N C. Bài 3. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt S AD , SC I là trung điểm của và là giao điểm của BM và AC . Tính thể tích khối tứ diện ANIB . N HD: GọiO là tâm của của đáy ABCD . A B D SAC NO M IO  Trong , ta có là đường trung bình nên: C D. ìï NO // SA ï Þ NO ^ ( ABCD ) í ïï SA ^ ( ABCD ) ïî 1 VANIB =VN .AIB = .SDAI B .NO 3.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> S. =?.  Tìm DAIB Do I là trọng tâm D ABD nên. AB ìï 2 2 AC AC AD 2 + DC 2 AD 2 + AB 2 a 3 ïï = = ïï AI = 3 AO = 3. 2 = 3 = 3 3 3 I ï Þ í 2 M ïï æ ö 2 2 2 AD ÷ a 6 ÷ ïï BI = .BM = . AB 2 + AM 2 = . AB 2 + ç = ç ÷ ç 3 3 3 3 ïïî è2 ÷ ø DC 2. 2. æ ö æ ö a 3÷ a 6÷ ç ç ÷ ÷ ç ç AB = a = ç +ç = AI 2 + BI 2 Þ D AIB ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç 3 ÷ ç ç è 3 ÷ ø è ø vuông tại I 2. 2. 1 a2 2 a a3 2 VN .AIB = . . = 3 6 2 36. Bài 4. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009) Cho lăng trụ tam giác ABC .A 'B 'C ' có BB ' = a , góc giữa đường thẳng BB ' và mp( ABC ). 0 bằng 60 , tam giác ABC vuông tại C và A. · 0 góc BAC = 60 . Hình chiếu vuông góc của mp( ABC ) B'. điểm lên trùng với trọng tâm của D ABC . Tính thể tích của khối tứ diện A 'ABC theo a . HD: Gọi M , N là trung điểm của AB, AC . Khi đó, G là trọng tâm của D ABC . Do hình chiếu điểm B ' lên. mp( ABC ). làG nên. C ’. ’ B ’ N. A. C. MG B. B 'G ^ ( ABC ). é· ù · Þ êBB ;( ABC ) ú= B 'BG = 600 ê ú ë û . 1 1 V A 'ABC = .SDABC .B 'G = .AC .BC .B 'G 3 6 Ta có:. ( 1). .. Tìm B 'G ?. · 0 Trong D B 'BG vuông tạiG và có B 'BG = 60 nên nó là nữa tam giác đều cạnh là. Þ BG = a ; B 'G = a 3 BB ' = a 2 2  Tìm AB, BC ?. ( 2) .. A C 6 N 0 0. ·. 0. Đặt AB = 2x . Trong D ABC vuông tạiC có BAC = 60 nên nó cũng là nữa tam giác đều với đường cao là BC . Þ AC =. AB = x, BC = x 3 2. 3 3a Þ BN = BG = 2 4 . DoG là trọng tâm D ABC. G M.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 2 2 2 Trong D BNC vuông tạiC : BN = NC + BC. ìï ïï AC = 3a ï 9a2 x2 9a2 3a 2 13 3 Û = + 3x2 Û x2 = Þ x= Þ ïí ( ) 16 4 52 2 13 ïï BC = 3a 3 ïï ïî 2 13 1 3a 3a 3 a 3 9a3 1 Þ V = . . = ( ) A 'ABC 6. 108 2 13 2 13 2.  Thế ( ) ( ) vào D- CÁC BÀI TẬP CẦN RÈN LUYỆN THÊM 2, 3. Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 2, BC a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 . a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. b) Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là trung điểm I của cạnh SC. c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABI). Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 2, BC a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc hợp bởi cạnh SC và mặt phẳng đáy bằng 600 . a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. b) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3, AC 2a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 600. I là trung điểm của SC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Tìm tâmvà tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AI Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên SA=SB=SC và tạo với đáy một góc 60o. a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC. b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC). c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, BC 2a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc hợp bởi SB và mặt phẳng đáy bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC 2a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 450. I là trung điểm của BC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AI..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SB=SC, góc hợp bởi SA và mặt phẳng đáy bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA= SB, góc hợp bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 450. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC), với G là trọng tâm của tam giác ABC Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA= a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SC. a) Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a. b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a và AB = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt phẳng đáy bằng 300 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SC. I là trung điểm của AB a) Tính khối chóp S.AHK theo a. b) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (AHK) Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều tâm O. Hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn AO. Biết SO = a, góc hợp bởi SO và mp(ABC) bằng 600 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Tính khoảng cách từ C đến mp(SAB) Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3a, BC = 5a. ·. Mp(SAC) vuông góc với mp(ABC). Biết SA 2 3a và SAC = 30 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) theo a Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc hợp bởi SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD. c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc hợp bởi SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Tính khoảng cách tử C đến mặt phẳng (SBD) Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a, BC=2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc hợp bởi SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 300. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Tính khoảng cách giữ hai đường thẳng BD và SC Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Các canh bên SA = SB = SC = SD và hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng 450 . 0.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có AB= a, BC = 2a và góc ABC bằng 600. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc hợp bởi SD và mặt phẳng đáy bằng 450. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có AB= a, BC = 2a và góc ABC bằng 600. O là giao điểm của AC và BD. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc hợp bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a góc ABC bằng 600. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 450. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a góc ABC bằng 600. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc hợp bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=a, tam giác ACD vuông cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc hợp bởi SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. a)Tính tích khối chóp S.ABCD theo a b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a 3 , góc hợp bởi SB và mặt phẳng(ABCD) bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt (ABCD) bằng 450 . Gọi M là trung điểm của cạnh SD a) Tính thể tích khối chóp SABCD theo a b) Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC) ·. 0. Bài 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a. Góc BAD = 60 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AB thỏa mãn HB = 2AH. Biết SH a 2.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> a) Tình thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Tính khoảng cách từ C đến mp(SBD) Bài 26: Cho lăng trụ đứng ABC.A /B/C/ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = a 3 . Góc hợp bởi A/C và mặt phẳng (ABC) bằng 300. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A/B/C/ theo a. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC/ Bài 27: Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Góc giữa hai mặt phẳng (C/AB) và mặt phẳng (ABC) bằng 600. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A/B/C/ theo a. b) Tính khoảng cách từ B/ đến mặt phẳng (ABC/ ) Bài 28: Cho lăng trụ đứng ABC.A /B/C/ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB= a. Góc giữa hai mặt phẳng (A/BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A/B/C/ theo a. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AC/ /. /. /. AA/ . a 10 · 2 ; BAC = 1200 . Hình. Bài 29: Cho lăng trụ ABC.A B C có AB = 2a, AC = a, chiếu vuông góc của C/ lên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A/B/C/ theo a b) Tính khoảng cách từ A đến mp(BB/C/C) theo a Bài 30: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ , ABC là tam giác đều có cạnh bằng a; AA / = a và đỉnh A/ cách đều A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và A/B a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A/B/C/ theo a b) Tính khoảng cách từ C đến mp(AMN) theo a Bài 31: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ , ABC là tam giác đều có cạnh bằng a; đỉnh A/ cách đều A, B, C. Góc giữa AA/ và mp(ABC) bằng 60o a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A/B/C/ theo a b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A/B và CC/ theo a Bài 32: Cho lăng trụ đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy là hình vuông AC= a 2 . Góc giữa hai mặt phẳng (A/BD) và (ABCD) bằng 450. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A/B/C/D/ theo a. b) Tính khoảng cách từ B/ đến mặt phẳng (A/ BD) Bài 33: Cho lăng trụ đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy là hình chữ nhật AB=a, BC=2a. Góc hợp bởi A/C và mặt phẳng(ABCD) bằng 600. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A/B/C/D/ theo a. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A/C Bài 34: Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/. Biết A/.ABD là tứ diện đều cạnh bằng a a) Tính thể tích khối hộp ABCD.A/B/C/D/ theo a. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB/ và A/C/ theo a E- KHỐI TRÒN XOAY 1. Khối nón: a) Diện tích S xq  rl. , với r là bán kính đáy và l là độ dài đường sinh.. Stp S xq  Sdáy. , với. S dáy  r 2.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 1 V   r 2h 3 b) Thể tích: , với h là chiều cao, r là bán kính đáy. 2. Khối trụ: a) Diện tích: S xq 2 rl. , với r là bán kính đáy và l là độ dài đường sinh.. Stp S xq  2S dáy. , với. S dáy  r 2 2. b) Thể tích: V  r h , với h là chiều cao, r là bán kính đáy Chú y: h = l. 3. Khối cầu: a) Diện tích, thể tích hình cầu S 4 r 2 , với r là bán kính. 4 V   r3 3 , với r là bán kính.. b) Cách xác định tâm I và bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD * Cách 1: Chứng minh cho: IA IB IC ID IS . Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và có bán kính R = IA * Cách 2: + Xác định trục d của đa giác đáy + Xác định giao điểm I của d và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên Suy ra: I là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp là R = IA Bài 1: Cho hình nón (N) có đỉnh S và đường tròn đáy tâm O bán kính r = a. Thiết diện qua trục của hình nón (N) là một tam giác đều. a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đó. b) Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình nón (N) Bài 2: Cho hình nón (N) có đỉnh S và đường tròn đáy tâm O bán kính r = a.Thiết diện qua trục của hình nón (N) là một tam giác vuông cân . a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đó. b) Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình nón (N) Bài 3: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng a. Thiết diện qua đỉnh của hình nón hợp 0 2 với đáy một góc 30 có diện tích bằng 4a . Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đó. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông ABCD cạnh a, SA   ABCD . , SA 2a . Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của khối trụ có đường cao SA và đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD..

<span class='text_page_counter'>(19)</span>