Luyện tập cho học sinh một số hoạt động phát hiện vấn đề trong dạy học giải bài tập toán ở trường trung học phổ thông

1
bộ giáo dục

và đào tạo

Tr-ờng đại học vinh
==== ====

NGUYN TH THU

LUYệN TậP cho HọC SINH MộT Số HOạT Động
phát hiện Vấn đề trong dạy học giảI bài tập Toán
ở tr-ờng thpt

Chuyên ngành: Lý luận và PPdh bộ môn toán

MÃ số: 60.14.10

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:
Gs.TS. đào tam

Vinh 2011


MỞ ĐẦU

2

1. Lý do chọn đề tài

1.1. Với sự phát triển nhƣ vũ bão của nền kinh tế tri thức, sự bùng nổ về
khoa học công nghệ thông tin trên toàn cầu đang đặt ra cho chúng ta sự thách
thức trƣớc nguy cơ tụt hậu về trí tuệ. Điều đó địi hỏi phải có sự đổi mới về
giáo dục. Trong đó có sự đổi mới căn bản về phƣơng pháp dạy học. Việc dạy
học hƣớng vào thúc đẩy học sinh biết các phƣơng pháp phát hiện vấn đề và
giải quyết vấn đề một cách hiệu quả phải đƣợc đặt lên hàng đầu. Yêu cầu đó
đƣợc thể hiện trong các văn bản sau.
Nghị quyết TW2 (khóa 8, 1997) của ban chấp hành trung ƣơng Đảng
Cộng Sản Việt Nam khẳng định “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đòa
tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nêp tư duy sáng tạo
cho người học…”
Luật giáo dục nƣớc Cộng Hòa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam ( 12/1998),
điều 24.2 quy định: “…..Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của
từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,đem lại niềm vui, hứng
thú học tập cho học sinh”.
Luật giáo dục nƣớc Cộng Hòa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam năm 2005
cũng quy định “Nhà nước phát triển giáo dục nhằm nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài…”, “ phương pháp giáo dục phải phát huy tính
tích cực tự giác, chủ động, tư duy sáng tạp của người học…”.
Trong những năm gần đây việc đổi mới phƣơng pháp dạy học đã đƣợc
bộ giáo dục triển khai trong cả nƣớc và đã đạt đƣợc kết quả nhất định. Các
PPDH hiện đại nhƣ dạy học khám phá, dạy học kiến tạo, dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề đã bƣớc đầu đƣợc áp dụng vào dạy học Tốn ở các trƣờng
phổ thơng, trong đó hoạt động của giáo viên đã bƣớc đầu quan tâm tạo môi
trƣờng học tập cho học sinh đƣợc hoạt động trí tuệ nhiều hơn có cơ hội khám
phá và kiến tạo trí thức, qua đó học sinh có điều kiện tốt hơn phát triển tƣ duy
cho bản thân họ. Nhƣng trong thực tế cịn nhiều giáo viên vẫn gặp khó khăn
trong việc tiếp cận và thực hiện các PPDH đặc biệt là PPDH theo hƣớng phát

hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học3giải bài tập Tốn. Khó khăn trên do
ngƣời giáo viên chƣa quan tâm nghiên cứu những vẫn đề cơ bản về lý luận
then chốt về hoạt động phát hiện của học sinh trong dạy Tốn nói chung, dạy
học giải bài tập Tốn nói riêng, nhƣ cơ sở triết học, cơ sở tâm lý học nhận
thức, nghiên cứu các loại tri thức điều chỉnh hoạt động phát hiện và giải quyết
vấn đề.
1.2. Ở trƣờng phố thơng dạy Tốn là dạy hoạt động Tốn học (A.Stơliar).
Đối với học sinh, có thể xem việc giải Tốn là hình thức chủ yếu của hoạt
động Tốn học. Các bài Tốn ở trƣờng phổ thơng là một phƣơng tiện rất có
hiệu quả và khơng thể thay thế đƣợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri
thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng Toán học vào
thực tiễn. Hoạt động giải bài tập Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục
đích dạy Tốn ở trƣờng phổ thơng. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải
bài tập Tốn học có vai trị quyết định với chất lƣợng dạy học Tốn. Đứng
trƣớc những bài tập Toán, giáo viên gợi ý và hƣớng dẫn học sinh nhƣ thế nào
để họ phát hiện vấn đề là hết sức quan trọng.
1.3. Khái niệm phát hiện đã đƣợc trình bày trong cuốn “Những vấn đề
cơ bản về chương trình và quá trình dạy học" (2005) của Nguyễn Hữu
Châu.“Phương pháp dạy học mơn Tốn” của tác giả Nguyễn Bá Kim. Cũng
có thể thấy đƣợc cách dạy học phát hiện vấn đề đã đƣợc làm sáng tỏ trong
cuốn “Giải một bài toán như thế nào” của nhà sƣ phạm G.Polya luôn quan
tâm định hƣớng tiếp cận phát hiện thơng qua giải bài tập Tốn.
Gần đây đã có nhiều đề tài nghiên cứu liên quan đến phát hiện vấn đề
trong dạy học giải bài tập Toán nhƣ: Luận án “Rèn luyện năng lực giải Toán
theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo cho học sinh
khá giỏi ở trường THPT” của tác giả Nguyễn Thị Hƣơng Trang. Luận văn
“Một số phương thức tiếp cận phát hiện trong dạy học giải bài tập Toán” của
tác giả Hồ Văn Quảng.

Nhƣ vậy vấn đề đặt ra nghiên cứu đã đƣợc nhiều nhà sƣ phạm quan tâm,
tuy nhiên việc nghiên cứu để vạch ra con đƣờng tiếp cận phát hiện tri thức
nhƣ thế nào để có hiệu quả đối với ngƣời giáo viên còn cần phải đƣợc tiếp tục


quan tâm. Đặc biệt cần làm sáng tỏ để4phát hiện vấn đề thì cần những hoạt
động nào. Đề tài nghiên cứu cần giải đáp những câu hỏi sau:
 Rèn luyện cho học sinh những loại hình tri thức nào để họ có khả năng
điều chỉnh định hƣớng hoạt động phát hiện vấn đề.
 Để thúc đẩy hoạt động phát hiện vấn đề thì cần những loại hình hoạt
động chủ yếu nào liên quan đến hoạt động trí tuệ và hoạt động Tốn học.
Vì lý do đó tơi chọn đề tài: “Luyện tập cho học sinh một số hoạt động
phát hiện vấn đề trong dạy học giải bài tập Toán ở trường THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu
Cụ thể hóa thêm quan điểm hoạt động phát hiện vấn đề và phát hiện cách
giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập Tốn
Góp phần tăng cƣờng đổi mới phƣơng pháp dạy học Tốn ở trƣờng phổ
thơng trong giai đoạn hiện nay.
3.Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở trƣơng trình sách giáo khoa hiện hành, trong q trình dạy học
giải bài tập Tốn nếu giáo viên xác định đƣợc các dạng hoạt động phát hiện
và giải quyết vấn đề và tổ chức các hoạt động trên một cách có hiệu quả cho
học sinh thì sẽ nâng cao chất lƣợng dạy học Toán ở trƣờng phổ thông trong
giai đoạn hiện nay.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề về lý luận và thực tiễn hoạt động của phát
hiện vấn đề trong các lý thuyết và phƣơng pháp dạy học tích cực.
Xác định một số tri thức nhằm thúc đẩy hoạt động phát hiện vấn đề
trong dạy học giải bài tập Toán.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu

5.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận (Các tài liện có liên quan đến đề tài
luận văn)
5.2. Nghiên cứu thực tiễn về thực trạng dạy học phát hiện vấn đề trong
dạy học giải bài tập Toán ở trƣờng phổ thông hiện nay.
5.3. Thực nghiệm sƣ phạm nhằm kiểm tra tính đúng đắn và khả thi của
các biện pháp đƣợc đề xuất


5.4. Xử lý số liệu bằng phƣơng5pháp thống kê.
6. Đóng góp của luận văn
6.1. Về lý luận: Luận văn góp phần làm sáng tỏ lý luận dạy học giải bài
tập Toán theo hƣớng hoạt động phát hiện vấn đề.
6.2. Về mặt thục tiễn: Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo
cho giáo viên dạy Toán nhằm nâng cao hiệu quả dạy học.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo luận văn có 3 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Khái niệm cơ bản.
1.1.1. Khái niệm về hoạt động phát hiện vấn đề
1.1.2. Những dạng hoạt động phát hiện
1.1.3. Tri thức trong hoạt động phát hiện
1.2. Hoạt động phát hiện thể hiện trong các lý thuyết DH và PPDH tích cực.
1.2.1. Hoạt động phát hiện thể hiện trong PPDH theo lý thuyết hoạt động
1.2.2. Hoạt động phát hiện thể hiện trong PPDH theo lý thuyết kiến tạo
1.2.3. Hoạt động phát hiện thể hiện trong dạy học PH và GQVĐ
1.2.4. Hoạt động phát hiện thể hiện trong DH khám phá
1.3. Đặc điểm của bài toán THPT
1.4. Thực trạng giảng dạy giải bài tập toán ở trƣờng THPT hiện nay
Kết luận chƣơng I
Chƣơng 2. Luyện tập cho học sinh hoạt động phát hiện vấn đề trong DH

giải bài tập Toán.
2.1. Cơ sở khoa học để đề ra hoạt động phát hiện vấn đề trong dạy học
giải bài tập Toán.
2.1.1. Dựa vào yêu cầu đổi mới của sách giáo khoa
2.1.2. Dựa vào yêu cầu đổi mới PPDH Toán ở trƣờng phổ thơng hiện nay
3.1.3. Dựa vào trình độ nhận thức của học sinh
2.2. Một số định hƣớng sƣ phạm của việc đề ra hoạt động phát hiện trong
DH giải bài tập Toán
2.3. Một số biện pháp luyện tập cho học sinh hoạt động phát hiện vấn đề
trong dạy học giải bài tập Toán


2.3.1. Biện pháp 1: Khai thác một số6tri thức thuộc phạm trù triết học duy
vật biện chứng nhằm định hƣớng điều chỉnh các hoạt động tìm tịi kiến thức mới.
2.3.2. Biện pháp 2: Khai thác quan điểm dạy học PH và GQVĐ trong
dạy học giải bài tập Toán
2.3.3. Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh hoạt động liên tƣởng, tìm mối
liên hệ giữa các bài tốn trong q trình PH và GQVĐ
2.3.4. Biện pháp 4: Luyện tập cho học sinh hoạt động mị mẫm dự đốn
thơng qua khảo sát các trƣờng hợp riêng
2.3.5. Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh hoạt động huy động kiến thức
thông qua việc xác lập liên hệ các tri thức đã có và tri thức cần tìm.
2.3.6. Biện pháp 6: Luyện tập cho học sinh khả năng phối hợp giữa các
thao tác tƣ duy, hoạt động trí tuệ nhằm thúc đẩy hoạt động phát hiện
2.4. Kết luận chƣơng II
Chƣơng 3. Thử nghiệm sƣ phạm
3.1. Xác định mục đích thử nghiệm
3.2. Tƣờng trình q trình thử nghiệm
3.3. Đánh giá quá trình thử nghiệm
3.4. Kết luận chƣơng III

7

CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1. Khái niệm hoạt động phát hiện
Theo từ điển Tiếng Việt, phát hiện là “tìm thấy cái chƣa ai biết”, nghĩa là
tìm ra cái mới đƣợc nhân loại thừa nhận và dùng đƣợc trong phạm vi khoa
học và cả phạm vi lồi ngƣời.
Theo Nguyễn Hữu Châu thì phát hiện là sự hấp thu về mặt tinh thần một
khái niệm hay nguyên lý mà một cá nhân đã đúc kết từ một hoạt động thể
chất hay tinh thần.
Hoạt động phát hiện: Trong dạy học Tốn ở trƣờng phổ thơng, hoạt động
PH là hoạt động trí tuệ của học sinh đƣợc điều chỉnh bởi vốn tri thức đã có
thơng qua các hoạt động khảo sát tƣơng tác với các tình huống mới để phát
hiện tri thức mới.
Trong luận văn này chúng tôi quan niệm về cụm từ hoạt động phát hiện
bao gồm hoạt động phát hiện vấn đề và hoạt động phát hiện cách giải quyết
vấn đề.
1.1.2. Những dạng hoạt động phát hiện
Hoạt động phát hiện có ý nghĩa quan trọng trong bất kỳ lĩnh vực nào, đặc
biệt trong công tác nghiên cứu khoa học và trong học tập. Hoạt động phát
hiện luôn gắn liền với hoạt động sáng tạo và suy luận mị mẫm. Bằng những
hoạt động trí tuệ chung nhƣ khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tƣợng hóa, cụ
thể hóa, tƣơng tự hóa, phân tích và tổng hợp, quy lạ về quen, chuyển hóa liên
tƣởng từ đối tƣợng này sang đối tƣợng khác… Sau đây chúng tôi xin làm rõ
các dạng hoạt động đó.
1.1.2.1. Phân tích và tổng hợp.
Phân tích tổng hợp là hai thao tác quan trọng của tƣ duy đƣợc vận dụng

thƣờng xuyên vào trong dạy học PH và GQVĐ


Theo GS. Nguyễn Cảnh Tồn:8Phân tích là chia một chỉnh thể ra
thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp
là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ
giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với mơi trƣờng
xung quanh. Theo ơng, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ
ra phƣơng hƣớng cho sự phân tích tiếp theo [42, tr. 122]
Theo Hoàng Chúng: Trong mọi khâu của q trình học tập Tốn học của
học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp ln là một yếu tố quan trọng giúp học
sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [8, tr. 15].
Nhƣ vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngƣợc nhƣng
lại là hai mặt của một q trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ
bản của quá trình tƣ duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền
tảng của phân tích và tổng hợp. Có thể nói khơng một vấn đề tổng hợp (không
tầm thƣờng) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong q trình phát hiện
và giải quyết vấn đề.
Phân tích và tổng hợp khơng bao giờ tồn tại tách rời nhau. Chúng là hai
mặt đối lập của một q trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp,
phân tích cái tồn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó. Vì phân tích cái
tồn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa
các phần của cái tồn thể ấy. Phân tích một cái tồn thể là con đƣờng để nhận
thức cái toàn thể sâu sắc hơn. Sự thống nhất của q trình phân tích- tổng hợp
cịn đƣợc thể hiện ở chỗ: Cái tồn thể ban đầu (tổng hợp 1) định hƣớng cho
phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả của phân tích là
cái tồn thể ban đầu đƣợc nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2). Nhƣ vậy, phân
tích và tổng hợp theo con đƣờng: tổng hợp 1 - phân tích - tổng hợp 2. Các thao
tác phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ của con ngƣời.
Bằng gợi ý của G. Pôlya viết trong tác phẩm “Giải bài toán nhƣ thế nào”

đã đƣa ra quy trình 4 bƣớc để giải bài tốn. Trong mỗi bƣớc tác giả đã đƣa ra
các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau
để thực hiện đƣợc 4 bƣớc của q trình giải tốn.
Có thể thấy trong giải tốn, các thao tác phân tích và tổng hợp thƣờng
gắn bó khăng khít với nhau. Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành


phần) và trong q trình tổng hợp phải9có sự phân tích (Để đảm bảo tính
lơgic và tính định hƣớng của quá trình tổng hợp).
Một điều hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cần phải giải (Bài tập
này do thầy giáo đặt ra, do chƣơng trình học tập yêu cầu, do học sinh biết
đƣợc trong quá trình tự học...) chỉ có hữu hạn các phƣơng pháp giải, các
phƣơng pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiến thức đã
đƣợc học, kiến thức tự tích lũy). Ta có thể xét ví dụ sau đây để làm sáng tỏ
điều này:
Ví dụ1: Giải phƣơng trình

= 1 + sin 2x

( 1)

Hoạt động phân tích diễn ra trƣớc hết ở điều kiện của bài toán.
cos x

0

x

tan x

-1

x

+k
-

+k

Tổng hợp lại điều kiện của bài toán
x

R\{ +k ;- +k }

Tiếp tục hoạt động phân tích tanx =

Ta có:

)2

=(

)2

=(
=(

)3

(2)

Đến đây học sinh gặp khó khăn khi biến đổi cơng thức này:

Trong khi tri thức đã có của học sinh là các cơng thức biến đổi tổng
thành tích. Vấn đề đặt ra là sử dụng cơng thức nào trong 4 cơng thức đó.
Đến đây giáo viên phải định hƣớng cho học sinh sử dụng công thức:
cosa + cosb
sin a + sinb


Sự định hƣớng đó giúp học sinh10phát hiện ra biến đổi sinx thành cos
trong đó x và

là hai góc phụ nhau.

+)

= cosx + cos( + x)
= 2cos( x + )cos(- )
=

cos (x + )

+)

= sinx + sin( + x )
= 2sinx( x+ ) cos(- )
=

sin (x + )

Tổng hợp lại ta có:
)3

=(

cos (x + ) = 2sin3 (x + )
cot (x + ) =
cot3 (x + ) + cot (x + ) - 2 = 0
Bằng hoạt động phân tích đa thức thành nhân tử ta biến đổi (3) thành
= 0 (4)
Đến đây học sinh phát hiện:
>0
(4)

=0

x=k

x nên
(K

Z)

1.1.2.2. Khái quát hóa, đặc biệt hóa.
 Khái quát hóa: Là tách cái chung trong các đối tƣợng, sự kiện đƣợc
đem ra xét. Muốn khái quát phải so sánh, khảo sát nhiều đối tƣợng với nhau
để rút ra cái chung, nhƣng cũng có khi từ một đối tƣợng ta cũng có thể khái
quát hóa một tính chất, một phƣơng pháp.
Có hai con đƣờng khái quát hóa: con đƣờng thứ nhất trên cơ sở so sánh

những trƣờng hợp riêng lẻ, con đƣờng thứ hai không dựa trên sự so sánh mà


dựa trên sự phân tích chỉ một hiện11tƣợng trong hàng loạt hiện tƣợng
giống nhau. Những dạng khái quát hóa thƣờng gặp trong mơn Tốn có thể
biểu diễn theo sơ đồ sau:
Khái quát hóa

Khái quát hóa từ
cái riêng lẻ đến cái
tổng quát

Khái quát hóa từ cái
tổng quát đến cái tổng
quát hơn

Khái quát hóa tới cái
tổng quát đã biết

Khái quát hóa tới cái
tổng quát chƣa biết

Ví dụ 2: Khi dạy bất đẳng thức Cauchy ta có thể yêu cầu học sinh chứng
minh các bất đẳng thức sau:
1. Chứng minh rằng:

(1)

Bằng phép biến đổi tƣơng đƣơng ta có
(1)

ab
(a + b)2

4ab

(a – b )2

0

2. CM bất đẳng thức:

với a,b,c là các số không âm.

Để chứng minh bất đẳng thức trên ta đƣa về bài toán sau:
3. CM bất đẳng thức
( với a, b, c, d là các số không âm )
Hoạt động biến đổi vế trái bằng cách đặt:
a+b=m
c+d=n


Và áp dụng BĐT ở bài tốn 1 ta

12
có:

m2n2

Do m, n > 0 nên

(1)

m2 = (a+b)2

4ab

(2)

n2 = (c+d)2

4cd

(3)

Do a,b,c,d

0 nên nhân (2) với (3) ta đƣợc:

m2n2

16 abcd

(4)

Bằng hoạt động tổng hợp (1) và (4) ta có:
16 abcd
Dấu “ = ” xảy ra

a=b=c=d

Từ kết quả của bài toán 3 đƣa đến cách giải bài toán 2 nếu ta đặt d =

Ta có

abc

Hoạt động biến đổi biểu thức ta đƣợc:
abc
Chia 2 vế cho
Ta đƣợc

>0
abc

Dấu “ = ” xảy ra khi a= b= c=
Và bằng hoạt động khái quát với n số không âm, ta có bất đẳng thức
Cauchy trong trƣờng hợp tổng qt:

 Đặc biệt hóa là q trình ngƣợc lại với khái quát hóa. Đó là việc
nghiên cứu từ tập hợp đối tƣợng đã cho sang nghiên cứu đối tƣợng nhỏ hơn
chứa trong tập hợp ban đầu.


Đặc biệt hóa là q trình đi từ cái13chung đến cái riêng, là q trình
minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trƣờng hợp riêng
lẻ, cụ thể.
Đặc biệt hố có vai trị quan trọng khi giải Toán. Khi cho một mệnh đề
mà ta giả thiết là tổng quát và liên quan tới một lớp đối tƣợng nào đó, để phủ
định nó ta đƣa về trƣờng hợp đặc biệt bằng cách chọn trong tập hợp đó một

đối tƣợng không theo mệnh đề.
Chẳng hạn ta đặc biệt biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu một đa
giác sang nghiên cứu một tam giác. Tiếp tục chuyển từ nghiên cứu tam giác
bất kỳ sang nghiên cứu tam giác đặc biệt nhƣ tam vuông, tam giác đều.
Những dạng đặc biệt hóa thƣờng gặp trong mơn Tốn có thể đƣợc biểu
diễn theo sơ đồ sau:
Đặc biệt hóa

Đặc biệt hóa từ
cái tổng quát đến cái
riêng lẻ

Đặc biệt hóa từ
cái riêng đến cái
riêng hơn

Đặc biệt hóa tới cái
riêng lẻ đã biết

Đặc biệt hóa tới cái
riêng lẻ chƣa biết

Ví dụ 3: Cho a1 , a2 , a3 là các số không âm, chứng minh rằng:
a a a
1 2 3 3a a a
1 2 3
3

(1)

Để chứng minh (1) giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh một
trƣờng hợp đặc biệt khi a3 =

a1 + a2
. Khi đó (1) trở thành:
2

a a
a |a  1 2
a a
a a
1
2
2  3 a a 1 2  1 2  a a  a a 2  0
1 2 2
1 2
1 2
3
2






Từ trƣờng hợp đặc biệt đúng ta có14thể áp dụng để chứng minh tổng
quát hơn cho 4 số không âm. Đó là:
a a
a a
1 2 3 4

aa  a a
a a a a
3 4  4 a a a a (2)
1 2 3 4 2
2  1 2
1 2 3 4
4
2
2

Khi (2) là bất đẳng thức tổng quát hơn đã đƣợc chứng minh bây giờ
chúng ta xét trƣờng hợp đặc biệt khi a4 =

a1 + a2 + a3
ta sẽ đƣợc bất đẳng
3

thức (1).
1.1.2.3. Trừu tượng hóa và cụ thể hóa.
Theo Nguyễn Bá Kim: “Trừu tƣợng hoá là sự nêu bật và tách những đặc
điểm bản chất khỏi những đặc điểm khơng bản chất”. Chẳng hạn trừu tƣợng
hố mệnh đề: “Bình phƣơng của một số âm là một số dƣơng” học sinh phải
tách đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2 để đƣợc mệnh đề: “luỹ
thừa bậc chẵn của một số âm là một số dƣơng”.
Khơng có khái qt hố và trừu tƣợng hố thì khơng thể có kiến thức
và tri thức lí thuyết đƣợc. Khi trừu tƣợng hoá, chúng ta tách ra cái chung
trong các đối tƣợng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một
bên những cái riêng phân biệt đối tƣợng này với đối tƣợng khác, không chú
ý tới những cái riêng này. Chẳng hạn từ những kết quả cụ thể: Hình chữ
nhật có giao của 2 đƣờng chéo là trung điểm của mỗi đƣờng. Hình vng

cũng có 2 dƣờng chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đƣờng. Hình thoi
cũng có kết quả tƣơng tự. Tất cả 3 hình kể trên đều là hình bình hành. Từ
đó ta có thể tách một đặc điểm chung của các hình trên và có mệnh đề khái
quát sau: “Trong một hình bình hành các đƣờng chéo giao nhau tại trung
điểm của mỗi đƣờng”.
Cụ thể hóa là tìm ví dụ minh họa cho cái chung đó, tức là tìm một cái
riêng mà nó thõa mãn những tính chất (điều kiện)của cái chung đã xác định.
Học sinh cũng thƣờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào những
điều kiện cụ thể mới, thƣờng là do phải chuyển từ tƣ duy cụ thể sang tƣ duy
trừu tƣợng, tìm cái chung trong cái riêng, mà cái cụ thể, cái không bản chất


làm mờ nhạt, che lấp cái chung, tạo ra 15cái hố ngăn cánh giữa cái cụ thể và
cái trừu tƣợng.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác vuông tại B,
SA

S

(ABC) Xác định khoảng

cách từ điểm A đến mp(SBC).
Theo giả thiết, gọi H là hình chiếu

H

của điểm A trên SB, tức là AH  SB.
HS chứngminh đƣợc AH  (SBC).

C

A

Khi đó khoảng cách từ điểm A tới
mp(SBC) là độ dài đoạn AH.
Mặc dù học sinh nắm rõ cách tìm

B

khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhƣng khi gặp bài tốn cụ thể
thì HS cịn gặp một số khó khăn trong việc xác định đƣợc hình chiếu của
điểm đó trên mặt phẳng.
1.1.2.4. Tương tự hóa
Tƣơng tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tƣơng tự là giống nhau
nhƣng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó đƣợc phản ánh bằng khái niệm.
Trong “lôgic học”, D. Gorki viết: “Tƣơng tự là phép suy luận trong đó
từ chỗ hai đối tƣợng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các
đối tƣợng này giống nhau ở các dấu hiệu khác. Nếu đối tƣợng A có dấu hiệu
là a, b, c, d và đối tƣợng B cũng có dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả
định rằng đối tƣợng B cũng có tính chất d. Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép
suy luận tƣơng tự nhƣ sau:
A có tính chất a, b, c, d
B có tính chất a, b, c
-------------------------------------------Kết luận B cũng có tính chất d” (Theo 20).
Trong Tốn học, ngƣời ta thƣờng xét vấn đề tƣơng tự trên các khía
cạnh sau:
- Hai phép chứng minh là tƣơng tự, nếu đƣờng lối, phƣơng pháp chứng
minh là giống nhau;

- Hai hình là tƣơng tự, nếu chúng16có nhiều tính chất giống nhau. Nếu
vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần
tử tƣơng ứng của chúng có quan hệ giống nhau. Chẳng hạn đƣờng thẳng trong
mặt phẳng tƣơng tự với mặt phẳng (trong Hình học khơng gian), vì trong Hình
học phẳng đƣờng thẳng là đƣờng đơn giản nhất có vai trị giống mặt phẳng là
mặt đơn giản nhất trong Hình học khơng gian. Ngồi ra, có nhiều định lý vẫn
cịn đúng nếu chúng ta thay từ “đường thẳng” bởi từ “mặt phẳng”, ví dụ định
lý “Nếu hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì
chúng song song” (có thể thay “đường thẳng” bởi “mặt phẳng”).
Nói về vai trị của phép tƣơng tự, nhà Sƣ phạm đồng thời là nhà Tốn
học nổi tiếng ngƣời Mỹ G. Pơlya có nhận xét: “Trong Toán học sơ cấp cũng
nhƣ trong Toán học cao cấp, phép tƣơng tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh.
Trong một số phát minh, phép tƣơng tự đóng vai trị quan trọng hơn cả”. Ở
đây, chúng ta chỉ xét những phép tƣơng tự theo nghĩa là chuyển từ một trƣờng
hợp riêng này sang một trƣờng hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát.
Ví dụ 5: Dạy học về phƣơng trình bậc 2
Phƣơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0
Nếu
Thì S = x1 + x2 = P = x1.x2 =
Với x1, x2 là hai nghiệm của phƣơng trình bậc 2 trên. Học sinh dễ dàng
tính đƣợc biểu thức theo hệ số a, b, c.
S2 =

+

= ( x1 + x2 )2 – 2x1x2
Thay

S = x1 + x2 = P = x1.x2 =

Vào ta đƣợc S2 =


Tƣơng tự nhƣ vậy yêu cầu HS17tính:
S3 =

+

=

1.1.2.5. Quy lạ về quen
Mục tiêu của việc luyện tập cho học sinh hoạt động quy lạ về quen là để
tăng cƣờng khả năng huy động kiến thức để giải quyết vấn đề nói chung, nói
riêng để chuyển bài tốn về dạng quen thuộc.
Mọi sự vật hiện tƣợng đều có mối liên hệ với nhau. Đó có thể là sự liên
hệ bên trong hoặc bên ngoài; trực tiếp hoặc gián tiếp trong tổng thể những
mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn màu mn vẻ của nó đối với các
sự vật hiện tƣợng khác.
Mỗi bài tập khơng phải ngẫu nhiên mà có, nó có thể là kết quả của sự
khái quát, tƣơng tự... của một lý thuyết, bài tập nào đó. Mỗi bài tập có thể
đƣợc diễn đạt theo nhiều cách khác nhau tùy thuộc vào mơi trƣờng "khơng
gian" của nó.
Do đó, khi giải một bài tốn, giáo viên có thể hƣớng dẫn học sinh nhìn
nhận bài tập cần giải trong tổng thể hình dạng khơng gian khác, đặt bài tốn
cần xem xét trong hình biểu diễn khác, thay đổi ngơn ngữ, vừa để "lợi dụng"
đƣợc những tính chất của hình dạng biểu diễn vừa tìm ra đƣợc những cách
giải hay, ngắn gọn súc tích. Học sinh vừa có dịp ơn lại các tính chất của hình
biểu diễn lại đƣợc nâng cao khả năng tƣởng tƣợng, tính linh hoạt, sáng tạo
trong lời giải, biết nhìn bài tốn trong tổng thể các mối liên hệ lại vừa cung

cấp thêm một phƣơng pháp mới để giải toán. Thực hiện nhuần nhuyễn những
thao tác trên còn giúp học sinh đƣợc giáo dục về tƣ duy biện chứng.
Việc rèn luyện cho học sinh hoạt động này có thể tiến hành bằng cách
chuyển việc xét bài tốn từ hình khơng gian này sang xét bài tốn trong hình
khơng gian khác liên quan trực quan hơn, quen thuộc hơn. Chẳng hạn, có thể
đặt các hình tứ diện, hình chóp, lăng trụ vào hình hộp chữ nhật, để làm sáng
tỏ điều này ta xét các ví dụ minh họa sau:
Ví dụ 6: Cho tứ diện trực tâm ABCD
1. Chứng minh các đoạn trung bình của tứ diện bằng nhau.
2. Chứng minh tổng các bình phƣơng hai cạnh đối của tứ diện bằng nhau.


Đối với bài tốn trên, học sinh có18thể giải trực tiếp, song việc đặt tứ
diện vào hình hộp, chuyển bài tốn tứ diện thành bài tốn hình hộp giúp học
sinh có phƣơng pháp giải đơn giản hơn, ngắn gọn hơn và trực quan hơn. Việc
đặt tứ diện vào hình hộp là có thể. Qua mỗi cạnh của tứ diện dựng mặt phẳng
song song với cạnh đối. Ta đƣợc ba cặp mặt phẳng, và trong mỗi cặp ấy hai mặt
phẳng song song với nhau. Sáu mặt phẳng này cắt nhau tạo thành hình hộp.
Quay trở lại ví dụ trên, giáo viên hƣớng dẫn, gợi ý học sinh giải toán:
- Tứ diện trực tâm có gì đặc biệt ?
- Là tứ diện có các cặp cạnh đối vng góc nhau.
- Hãy đặt tứ diện trực tâm ABCD vào trong

D

B'
I

hình hộp nào đó, hình hộp ngoại tiếp tứ diện trực
tâm ABCD có gì đặc biệt ?

A

C'

Gọi hình hộp đó là A'BD'C.AB'DC'.
Ta có B'C' // BC và A'D'  BC.

D'

B

 AD  B'C'
 hình bình hành AC'DB' là hình thoi

J
A'

C

 hình bình hành A'CD'B cũng là hình thoi
Chứng minh tƣơng tự ta có các mặt cịn lại của hình hộp cũng là hình thoi.
Vậy tứ diện trực tâm ABCD nội tiếp trong hình hộp A'CD'B.AC'DB' có
sáu mặt là hình thoi cạnh bằng nhau, bằng a.
- Gọi I, J là trung điểm các cạnh AD và BC. Nhận xét gì về quan hệ của
đoạn thẳng IJ với tứ diện và với mặt chéo AD'DA' của hình hộp?
IJ là đoạn trung bình của tứ diện. IJ cũng là đoạn trung bình của hình
bình hành AD'DA.
Do đó: IJ = AA' = a
Chứng minh các đƣờng trung bình còn lại tƣơng tự cũng bằng a.

Vậy 3 đoạn trung bình của tứ diện trực tâm dài bằng nhau.
- Nhận xét gì hai mặt đáy của hình hộp?
Hai mặt đáy của hình hộp là hai hình bình hành bằng nhau.
- Hãy tính AD2 + BC2 qua a?
Ta có: AD2 + BC2 = AD2 + B'C'2 = (2 AI)2 + (2IB')2


= 4AI2 + 4IB'2 = 4 (AI2 + IB'2) =194AB'2 = 4a2
Tƣơng tự:

AB2 + CD2 = 4a2
AC2 + BD2 = 4a2

Vậy:

AB2 + BD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2 = 4a2.

Ở ví dụ trên, chúng ta đã sử dụng các tính chất của hình hộp để giải
quyết bài tốn tứ diện. Khơng chỉ đặt đƣợc tứ diện vào hình hộp mà đối với
hình chóp, lăng trụ hoặc hai đƣờng chéo nhau bất kỳ ta cũng có thể đặt vào
trong hình hộp đƣợc.
1.1.2.6. Chuyển hóa liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác
Liên tƣởng nghĩa là nghĩ tới sự việc, hiện tƣợng nào đó có liên quan đến
sự việc hiện tƣợng đang xảy ra.
Liên tƣởng có vai trò rất quan trọng khi ghi nhớ và nhớ lại. Để giải
quyết bài tốn nào đó có thể ta phải liên tƣởng đến những định lý, nhữn bài
toán, những kiến thức quen thuộc đã biết, nhƣng đến khi bài toán đã đƣợc giải
quyết song rồi nó sẽ trở thành kiến thức quen thuộc đối với chính mình và sau
đó đối với những bài tốn khó hơn, trong q trình giải có khi ta lại nghĩ tới,
liên tƣởng tới cái mà ta vừa tích lũy đƣợc, vì vậy để bồi dƣỡng cho học sinh

hoạt động phát hiện ta cần thiết phải quan tâm một cách đúng mực đến việc
bồi dƣỡng năng lực chuyển hóa liên tƣởng mà ta có thể chuyển việc xem xét
các đối tƣợng quan hệ từ mơ hình này qua mơ hình khác quen thuộc hơn, dể
phát hiện vấn đề hơn.
Ví dụ 7: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp tam giác đều
cạnh đáy bằng a và cạnh đáy bằng b.
Giả sử hình chóp SABCD đều, SA = SB = SC =b,AB =BC= CA =a. Do
hình chóp SABCD đều nên chân đƣờng cao vẽ từ S là tâm H của tam giác
ABC, khi đó SH là trục đƣờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC nên tâm O của

S

mặt cầu A thuộc đƣờng thẳng SH.
Giả sử (ABC) cắt mặt cầu ngoại
tiếp theo đƣờng tròn ngoại tiếp
C
A

H
B

F

I


ABC. Đƣờng cao của ABC kéo dài20cắt đƣờng tròn trên tại I.
=> Mặt phẳng ( SAI) cắt mặt cầu theo đƣờng trịn lớn. Việc tìm bán kính
của mặt cầu quy về tìm bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp SAI trong đó

SHAI, SA = SI =b, HA =HI ( vì hai đƣờng xiên SA bằng SI vẽ từ một điểm.
Khi đó, Giả sử R là bán kính mặt cầu, cũng là bán kính đƣờng trịn ngoại
tiếp SAI theo định lý hàm số sin trong SAI
2R =

( với

là độ lớn SAI )

Trong  vng SAH ta có:
Cos 

AH a 3
3a 2
3b2  a 2

 sin   1 

2
SA 3b
9b2
3b

 

3b2
3b2  a2
3b2
Vậy: R 
2 3b2  a2

S

 2R 

Trong dạy học, đặc biệt là trong hoạt

O
A

H

I

động giải tốn, liên tƣởng có vai trị rất quan
trọng. Đứng trƣớc một bài tốn cụ thể nếu liên tƣởng đƣợc những kiến thức từ
các định nghĩa, địnhlý, các bài toán cũng đang biết cách giải… Thì việc giải
quyết đó sẽ dễ dàng hơn. Lẽ đƣơng nhiên không cần sử đến những kiến thức
mà ngƣời ta đã tích lũy đƣợc trƣớc đó, mà cần xem xét đến những mối liên hệ
đó, những kiến thức đó giúp chủ thể giải quyết đƣợc bài tốn đặt ra khơng,
điều này còn phụ thuộc vào khả năng của ngƣời giải tốn. Nhũng tri thức
đƣợc tích lũy từ trƣớc đó trong trí nhớ của ngƣời giải tốn, giờ đây đƣợc rút
ra để vận dụng một cách thích hợp.
1.1.3. Tri thức trong hoạt động phát hiện
Chúng ta biết rằng, tri thức là đối tƣợng của hoạt động học tập. Để dạy
một tri thức nào đó, thầy giáo khơng thể trao ngay cho học sinh điều thầy
muốn dạy; cách làm tốt nhất thƣờng là cài đặt tri thức đó vào những tình
huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thơng qua hoạt động tự giác, tích
cực và sáng tạo của bản thân.

Sau mỗi q trình học tập, ngƣời21học khơng chỉ đơn thuần thu đƣợc
những tri thức khoa học (khái niệm mới, định lí mới,...) mà cịn phải nắm
đƣợc những tri thức phương pháp (dự đốn, giải quyết, nghiên cứu...). Đó
chính là những tri thức phƣơng pháp, vừa là kết quả vừa là phƣơng tiện của
hoạt động tạo cho học sinh một tiềm lực quan trọng để hoạt động tiếp theo.
Các dạng tri thức thường gặp [35, tr.28]:
Tri thức sự vật: Những hiểu biết về hiện thực khách quan mà con ngƣời
đã tích lũy đƣợc. Trong mơn tốn đó là: khái niệm, định lí, phƣơng pháp giải
Tốn, có khi là một yếu tố lịch sử.
Tri thức phương pháp: Gồm có hai loại, phƣơng pháp có tính chất thuật
tốn và phƣơng pháp có tính chất tìm đốn.
Tri thức chuẩn: Những kiến thức có liên quan đến chuẩn mực đạo đức (ít
gặp ở mơn Tốn).
Tri thức giá trị: Có nội dung là những mệnh đề đánh giá. Ví dụ nhƣ:
"Khái qt hóa là một thao tác trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học" hay "phép
tƣơng tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh và trong một số phát minh nó
chiếm vai trò quan trọng hơn cả" (theo G.Polya).
Trong những dạng tri thức kể trên thì tri thức phƣơng pháp đóng một vai
trị quan trọng trong việc tổ chức hoạt động vì đó là cơ sở định hướng cho
hoạt động.
Những tri thức phương pháp định hướng cho hoạt động nhận thức
thường gặp trong dạy học toán [35, tr. 37]:
- Những tri thức về phƣơng pháp tiến hành những hoạt động toán học cụ
thể nhƣ cộng hai số hữu tỉ, giải phƣơng trình bậc hai…
- Những tri thức về phƣơng pháp tiến hành những hoạt động toán
họcphức tạp nhƣ định nghĩa, chứng minh…
- Những tri thức về phƣơng pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ phổ biến
trong mơn tốn nhƣ hoạt động tƣ duy hàm, phân chia các trƣờng hợp riêng.
- Những tri thức về phƣơng pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ

chung nhƣ phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tƣơng tự,...


- Những tri thức về phƣơng pháp22tiến hành nhữn hoạt động ngôn ngữ
logic nhƣ dịch sang ngôn ngữ vectơ, tọa độ, biến hình, mệnh đề ba điểm A, B, C
thẳng hàng, lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trƣớc, liên kết hai mệnh đề
thành một tuteenr hay hội của chúng.
Tri thức vừa là điều kiện, vừa là kết quả của hoạt động. Vì vậy trong
dạy học ta cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn những tri thức đạt
đƣợc trong quá trình hoạt động. Thầy giáo cần chú ý tới những dạng khác
nhau của tri thức nhƣ: Tri thức sự vật, tri thức phƣơng pháp, tri thức chuẩn,
tri thức giá trị… điều này tạo cơ sở cho việc giáo dục toàn diện.
Đứng trƣớc một nội dung dạy học, ngƣời thầy giáo cần nắm đƣợc tất cả
các tri thức phƣơng pháp có thể có trong nội dung đó. Nắm đƣợc nhƣ vậy
khơng phải là để dạy tất cả cho học sinh một cách tƣờng minh mà còn phải
căn cứ vào mục đích và tình hình cụ thể để lựa chọn cách thức, mức độ làm
việc thích hợp, từ mức độ dạy học tƣờng minh tới mức độ thực hành ăn khớp
với tri thức phƣơng pháp.
1.2. Hoạt động phát hiện thể hiện trong một số lý thuyết dạy học và
phƣơng pháp dạy học tích cực
1.2.1. Hoạt động phát hiện thể hiện trong PPDH theo lý thuyết HĐ
1.2.1.1. Quan điểm hoạt động trong dạy học giải bài tập toán.
Luận điểm cơ bản của lý thuyết HĐ là “Con ngƣời làm ra chính bản thân
mình bằng lao động và HĐ xã hội. Toàn bộ đời sống tâm lý, ý thức của con
ngƣời là sự phản ánh thực tiễn đời sống vật chất của nó. Tâm lý, ý thức đƣợc
hình thành và đƣợc biểu hiện qua HĐ, mà trƣớc hết là lao động sản suất và
HĐ xã hội ” [19,tr32]
Nội dung dạy học giải bài tập Tốn có mối liên hệ mật thiết với HĐ của
con ngƣời, đó là một biểu hiện của mối liên hệ giữa mục tiêu, nội dung và
PPDH. Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với nhữngHĐ nhất định. Đó là các

HĐ đƣợc thực hiện trong q trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó.
Chúng ta cần quan tâm không chỉ là những HĐ cụ thể mà cịn cần biết
nhìn những HĐ một cách trừu tƣợng hơn mà xét chúng trên những bình diện
khác nhau để thấy đƣợc những dạng HĐ khác nhau. Làm nhƣ vậy ta sẽ xác
định đƣợc những dạng HĐ cơ bản tiềm tàng trong từng nội dung.


Trong một HĐ có thể có nhiều HĐ23thành phần. Ngƣời GV cần khai
thác những HĐ thành phần ẩn chứa trong mỗi HĐ, nhằm rèn luyện cho HS đã
có kỹ năng trong các HĐ thành phần thì những HĐ bao hàm những hoạt động
đó sẽ tốt hơn.
Mục đích dạy học giải bài tập Tốn khơng phải chỉ ở những kết quả cụ
thể của quá trình học tập, ở tri thức và kỹ năng mà điều quan trọng hơn là ở
bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện
những quá trình học tập một cách có hiệu quả. Đƣơng nhiên ý tƣởng này chỉ
có thể đƣợc thực hiện trong những quá trình mà ngƣời học thực sự HĐ để đạt
đƣợc những gì mà họ cần đạt.
Con ngƣời sống trong HĐ, học tập diễn ra trong HĐ đó chính là học tập
trong HĐ và bằng HĐ. Việc thiết kế các HĐ, tạo môi trƣờng cho học sinh
đƣợc học tập trong HĐ và bằng HĐ là yêu cầu quan trọng của việc đổi mới
PPDH hiện nay. Vì PPDH mới là phƣơng pháp tổ chức HĐ có đối tƣợng. Do
đó việc xác định đƣợc đối tƣợng HĐ dựa trên cơ sở tổ chức HĐ của ngƣời
học là nền tảng cơ bản để tiến hành việc giáo dục có hiệu quả.
Tính tự giác, tích cực của ngƣời học từ lâu đã thành một nguyên tắc của
giao dục học xã hội chủ nghĩa. Tính tự giác, tích cực và chủ động của ngƣời
học có thể đạt đƣợc bằng cách tổ chức cho học sinh học tập thông qua những
HĐ đƣợc hƣớng đích và gợi động cơ để chuyển hóa nhu cầu cho xã hội thành
nhu cầu nội tại của chính bản thân mình. HS chỉ có thể phát huy sáng tạo khi
họ đƣợc học tập trong HĐ và bằng HĐ. Tùy theo hồn cảnh cụ thể có thể tổ
chức cho học sinh HĐ độc lập hoặc trong giao lƣu.

HĐ học tập tự giác ,tích cực, chủ động, sáng tạo một mặt đòi hỏi và mặt
khác tạo ra niềm vui. Niềm vui này có thể có đƣợc bằng nhiều cách khác nhau
nhƣ động viên, khen thƣởng,.. nhƣng quan trọng nhất vẫn là niềm lạc quan
dựa trên lao động và thành quả học tập của bản thân ngƣời học. Giải đƣợc
một bài Toán, PH ra một điều mới khơi nguồn cảm hứng cho học sinh. Do
vậy việc dạy học nói chung và dạy học giải bài tập Tốn nói riêng phải đảm
bảo vừa sức, phải tác động vào vùng phát triển gần nhất trong trí tuệ của học
sinh. Xuất phát từ một nội dung dạy học, ta cần PH những HĐ tƣơng thích


với nội dung đó, rồi căn cứ với nội24dung dạy học mà lựa chọn để tập
luyện cho học sinh một số trong những HĐ đã PH đƣợc.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất
định. PH đƣợc những HĐ nhƣ vậy trong nội dung là vạch đƣợc một con
đƣờng để ngƣời khác chiếm lĩnh nội dung đó và đạt đƣợc những mục đích
dạy học khác, cũng đồng thời là cụ thể hóa đƣợc mục đích dạy học nội dung
đó và chỉ ra cách kiểm tra xem mục đích dạy học có đạt đƣợc hay không và
đạt đƣợc đến mức độ nào.
Một HĐ là tƣơng thích với một nội dung nếu nó góp phần đem lại kết
quả giúp chủ thể chiếm lĩnh và vận dụng nội dung đó. Việc PH những HĐ
tƣơng thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự hiểu biết về
những HĐ nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau, về những con đƣờng
khác nhau để lĩnh hội từng dạng nội dung.
Ví dụ 8:
Cho x, y, z là ba số thực thay đổi nhƣng luôn luôn thỏa mãn điều kiện sau:
x2 + y2 + z2 = 1
Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
P = x + y + z + xy + yz + xz
Đứng trƣớc bài tốn học sinh có thể gặp khó khăn trong hƣớng đi tìm lời
giải để có đƣợc kết quả. Nhƣng nếu dẫn dắt học sinh hoạt động biến đổi đối

tƣợng làm bộc lộ nội dung.
Hoạt động 1: đặt u = x + y + z
Khi đó ta có

xy + yz + xz =

u 2 1
2

Hoạt động 2: biến đổi và tổng hợp ta có P đƣợc viết lại nhƣ sau:
P

2
1
u 1 1  1  P  1

2

Hoạt động 3: bằng hoạt động dự đoán, suy diễn học sinh có thể chọn:
thì đƣợc
Vậy Pmin = - 1

P=-1


Mặt khác: Quan tâm biến đổi đối25tƣợng u2 và liên tƣởng để sử dụng
bất đẳng thức Bunhiakopski ta có:
u2 = (x + y + z)2 = (x.1 + y.1 + z.1)2 ≤ (x2 + y2 + z2).(12 + 12 + 12) = 3
u2 ≤ 3

u≤

1
1 3
1
Do đó: P  u 2  u    3   3 1
2
2 2
2

Dấu "=" xảy ra  x  y  z 
Vậy Pmax =

1
3

3 1

1.2.1.2. Hoạt động phát hiện thể hiện trong PPDH theo lý thuyết HĐ
Hoạt động phát hiện trong PPDH theo lý thuyết HĐ là bằng cách gợi
động cơ và tạo nhu cầu.
*) Gợi động cơ: Để đạt đƣợc mục đích dạy học, điều cần thiết là học sinh
phải học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Muốn vậy địi hỏi học
sinh phải có ý thức về những mục đich đặt ra vào tạo đƣợc động lực bên trong
thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục đích đó. Điều này đƣợc thực
hiện trong dạy học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục đích mà quan
trọng hơn cịn do gợi động cơ và hƣớng đích.
Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những HĐ và
của đối tƣợng HĐ. Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu sƣ phạm trở
thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ sự vào bài,

đặt vấn đề một cách hình thức.
Cần rèn luyện cho học sinh năng lực PH các đối tƣợng có chức năng gợi
động cơ cho HĐ tìm tịi kiến thức. Đối tƣợng của HĐ là cái đang sinh thành
trong quan hệ sinh thành của HĐ và thông qua HĐ chủ thể. Nhƣ vậy, đối
tƣợng của HĐ khộng chỉ là các vật chất cụ thể mà có thể là các đối tƣợng
quan hệ trừu tƣợng cần đƣợc hình dung, tƣ duy làm bộc lộ nó với tƣ cách là
động cơ HĐ, là đối tƣợng mang tính nhu cầu.
Động cơ quan trọng của q trình nhận thức là hứng thú nhận thức, nó
thƣờng biểu lộ ra ngồi dƣới dạng tính tị mị, lịng khao khát cái mới…. Dƣới
ảnh hƣởng của hứng thú nhận thức, các em tích cực tri giác và tri giác sâu sắc
hơn, tinh tế hơn, trí nhớ cảm xúc, trí nhớ hình ảnh diễn ra tích cực hơn, tƣởng