Độ đo haar trên nhóm tôpô compact địa phương và một vài ứng dụng

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 Một số kết quả về độ đo và nhóm tơpơ

4

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Độ đo và định lý biểu diễn Riesz

. . . . . . . . . . . . . . .

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Nhóm tơpơ

2 Độ đo Haar và một vài ứng dụng
2.1. Độ đo Haar

15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Một vài ứng dụng của độ đo Haar . . . . . . . . . . . . . . . 27
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết độ đo là chủ đề quan trọng của toán học, đặc biệt là các
chuyên ngành toán giải tích. Lý thuyết độ đo có nhiều ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật, khoa học xã
hội...Từ khi lý thuyết độ đo được xây dựng chính xác bằng hệ tiên đề
vào khoảng cuối thế kỷ 19 bởi Lebesgue, Carathedory,... nó đã phát triển
mạnh mẽ và là công cụ quan trọng hàng đầu để phát triển các lĩnh vực
toán học khác. Tuy nhiên, những bài toán trong lý thuyết độ đo vẫn rất
phong phú và khơng mất đi tính thời sự. Độ đo Haar là lớp độ đo Borel

quan trọng, nó được xây dựng trên các nhóm tơpơ. Những tính chất tốt
của độ đo Haar được thể hiện thông qua sự kết hợp giữa cấu trúc tơpơ
và cấu trúc đại số của nhóm tơpơ. Độ đo Haar có những ứng dụng đặc
biệt quan trọng trong nghiên cứu những lớp nhóm tơpơ như: nhóm Lie,
nhóm tơpơ compact địa phương, nhóm tơpơ giải được,...
Với mục đích tìm hiểu khái niệm, sự tồn tại, các tính chất và một số
ứng dụng của độ đo Haar trên nhóm tơpơ compact địa phương, chúng
tơi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là: Độ đo Haar trên nhóm tơpơ
compact địa phương và một vài ứng dụng.
Nội dung chính của ln văn là trình bày các kiến thức cần thiết để
xây dựng khái niệm độ đo Haar, một phương pháp chứng minh sự tồn
tại độ đo Haar trên nhóm tơpơ compact địa phương, và một số vài ứng
dụng trong nghiên cứu một lớp đại số Banach và một số tính chất của
phân bố trên nhóm tơpơ compact. Các nội dung trên được viết thành 2


3

chương.
Chương 1: Một số kết quả về độ đo và nhóm tơpơ
Nội dung của chương này trình bày những kiến thức về độ đo và nhóm
tơpơ là cơ sở cho việc xây dựng độ đo Haar.
Chương 2: Độ đo Haar và một vài ứng dụng
Nội dung của chương trình bày khái niệm, tính chất và sự tồn tại độ
đo Haar trên nhóm tơpơ compact địa phương và một vài ứng dụng trên
nhóm tơpơ compact.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo, TS. Kiều Phương Chi. Tác giả
xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả
xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm

khoa tốn. Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cơ giáo trong Khoa tốn
đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn
trong lớp Cao học 17 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặt dù đã có nhiều cố gắng,
nhưng luận văn khơng tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Chúng tơi
rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cơ giáo và bạn
bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả


4

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐỘ ĐO VÀ NHÓM TƠPƠ

Chương này nhằm mục đích trình bày các kết quả cơ bản của lý thuyết
độ đo, nhóm tơpơ cần dùng về sau.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này chúng tơi trình bày hệ thống những kiến thức cơ bản về lý
thuyết nhóm, khơng gian tơpơ, khơng gian định chuẩn cần dùng về sau.
Các kết quả này có thể tìm thấy trong [1].
1.1.1 Định nghĩa. Cho G là một tập hợp khác rỗng và một phép tốn
hai ngơi (x, y) → xy từ G × G → G. Ta gọi G là một nhóm nếu phép
tốn thoả mãn các điều kiện sau:
1) Phép toán là kết hợp, tức là a(bc) = (ab)c với mọi a, b và c ∈ G;
2) Tồn tại e ∈ G sao cho ea = ae = a với mọi a ∈ G;
3) Với mọi a ∈ G tồn tại b ∈ G sao cho ab = ba = e.

Khi đó e là duy nhất và được gọi là đơn vị của nhóm G; phần tử b
thoả mãn 3) là duy nhất được gọi là phần tử nghịch đảo của a và ký
hiệu là b := a−1 . Dễ thấy (ab)−1 = b−1 a−1 . Nhóm G được gọi là Aben
nếu ab = ba với mọi a, b ∈ G.
1.1.2 Định nghĩa. Tập con H của nhóm G được gọi là một nhóm con
của G nếu H là một nhóm với phép tốn cảm sinh từ G.
Mệnh đề sau là một kết quả quen thuộc.


5

1.1.3 Mệnh đề. Tập con H là nhóm con của nhóm G nếu và chỉ nếu
ab−1 ∈ H với mọi a, b ∈ H.
1.1.4 Ví dụ. 1) Rn là một nhóm Aben với phép tốn là phép cộng thơng
thường (theo toạ độ).
2) Đặt Γ = {z ∈ C : |z| = 1} = {eiϕ : ϕ ∈ [0, 2π]} là một nhóm Aben
với phép tốn cảm sinh từ phép nhân thơng thường các số phức. Nhóm
này cịn gọi là nhóm đường tròn.
Sau đây ta nhắc lại một số vài khái niệm và ví dụ về tơpơ cần dùng
về sau.
1.1.5 Định nghĩa. Cho X = ∅, họ τ các tập hợp con của X được gọi
là một tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau
1) ∅, X ∈ τ ;
2) Nếu U1 , U2 ∈ τ thì U1 ∩ U2 ∈ τ ;
3) Với mọi họ {Uα }α∈I ⊂ τ đều có ∪α∈I Uα ∈ τ .
Khi đó (X, τ ) là một không gian tôpô, mỗi U ∈ τ được gọi là tập mở,
tập A được gọi là đóng nếu X \ A là mở.
Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, x ∈ X. Mỗi tập hợp V được gọi
là lân cận của x nếu tồn tại tập mở U sao cho x ⊂ U ⊂ V .
Cho X = ∅. Ký hiệu P(X) là họ tất cả các tập con của X.

Khi đó P(X) là một tôpô trên X và (X, P(X)) được gọi là không gian
tôpô rời rạc.
Họ {Uα }α∈I ⊂ τ gọi là phủ mở của A ⊂ X nếu A ⊆ ∪α∈I Uα . Tập con
A ⊂ X được gọi là compact nếu mỗi phủ mở của nó đều có phủ con hữu
hạn. Khơng gian tơpơ X gọi là compact nếu nó là tập compact. Không
gian tôpô X gọi là compact địa phương nếu với mỗi x ∈ X tồn tại lân
cận là tập compact. Tiếp theo ta nhắc lại một số kết quả về không gian
Banach cần dùng về sau.


6

1.1.6 Định nghĩa. Cho E là khơng gian tuyến tính trên trường K. Hàm
. : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện
sau:
1) x

0, với mọi x ∈ E và x = 0 ⇔ x = 0;

2) λx = |λ| x , với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E;
3) x + y

x + y , với mọi x, y ∈ E. Khi đó (E, . ) được gọi là

một không gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn
d(x, y) = x−y , ∀x, y ∈ E. Không gian định chuẩn E được gọi là không
gian Banach nếu E đầy đủ với metric sinh bởi chuẩn.
1.1.7 Ví dụ. Cho X là khơng gian tơpơ compact. Khi đó
C(X) = {f : X → C : f là hàm liên tục}

là một không gian Banach với chuẩn
f = sup |f (x)|.
x∈X

Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Ký hiệu L(X, Y ) là tập hợp
các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y . Ta đã biết L(X, Y ) là không
gian định chuẩn với chuẩn
f = sup

f (x) , ∀f ∈ L(X, Y ).

x =1

Nếu Y là không gian Banach thì L(X, Y ) là khơng gian Banach. Đặc
biệt L(X, K) = X ∗ là không gian liên hợp thứ nhất của X cũng là không
gian Banach. Mỗi phần tử của X ∗ ta gọi là một dạng tuyến tính liên tục.
1.1.8 Định nghĩa. Cho X là một khơng gian tôpô và hàm số f liên tục
trên X. Giá của hàm f được ký hiệu suppf là tập hợp đóng nhỏ nhất
của X sao cho f (x) = 0 với mọi x ∈ X \ suppf .


7

Ta ký hiệu Cc (X) là tập hợp tất cả các hàm số liên tục giá compact
trên X. Với các phép tốn cộng và nhân vơ hướng theo điểm thì X là
khơng gian tuyến tính. Nếu X là khơng gian compact địa phương thì
Cc (X) là khơng gian lồi địa phương với tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn
{pK }, K chạy qua khắp các tập compact của X, trong đó
pK (f ) = sup |f (x)|, ∀f ∈ Cc (X).
x∈K

Các kết quả trên có thể tìm hiểu trong [7].
1.1.9 Định nghĩa. Hàm thực φ : Cc (X) → R được gọi dạng tuyến tính
dương nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1) φ là tuyến tính, tức là
φ(αf + βg) = αφ(f ) + βφ(g) ∀f, g ∈ Cc (X), ∀α, β ∈ R;
2) Nếu f

0, tức là f (x)

0 với mọi x ∈ X thì φ(f )

0.

1.2. Độ đo và định lý biểu diễn Riesz
Mục này chúng tơi trình bày hệ thống những kiến thức cơ bản về lý
thuyết độ đo. Các kết quả này được trích từ các tài liệu [1] và [7].
1.2.1 Định nghĩa. Cho X = ∅ và A là họ các tập con của X. Họ A
được gọi là một đại số nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1) ∅, X ∈ A;
2) Nếu A ∈ A thì X \ A ∈ A;
3) Nếu A, B ∈ A thì A ∪ B ∈ A.
Họ A được gọi là một σ-đại số nếu thoả mãn 1), 2) và
∞
3’) Nếu {An }∞
n=1 ⊂ A thì ∪n=1 An ∈ A.

1.2.2 Nhận xét. 1) Mỗi σ-đại số là đại số. Ngược lại là không đúng.
Chẳng hạn, cho X = {x1 , x2 , ..., xn , ...} là tập đếm được. Xét A là họ các

8

tập hữu hạn hoặc có phần bù hữu hạn của X. Khi đó, dễ dàng kiểm tra
được A là một đại số. Tuy nhiên, xét An = {x2n } với mỗi n = 1, 2, ...
Khi đó An ∈ A với mọi n và ∪∞
/ A. Do đó A khơng phải là một
n=1 An ∈
σ-đại số.
2) Giả sử {Aα }α∈I là họ các đại số (σ−đại số) các tập con của X.
Khi đó ∩Aα = {A : A = ∩Aa , Aα ∈ Aα } là một đại số (σ-đại số).
Rõ ràng, họ tất cả các tập con P(X) của X là một σ−đại số. Do đó,
từ nhận xét trên ta có thể định nghĩa.
1.2.3 Định nghĩa. 1) Cho B là họ các tập con tuỳ ý của X. Giao của
tất cả các σ-đại số chứa B được gọi là σ-đại số sinh bởi B.
2) Cho X là không gian mêtric. σ-đại số sinh bởi các tập mở của X
được gọi là σ-đại số Borel. Ta ký hiệu σ−đại số Borel của X là B(X) và
mỗi tập thuộc B(X) được gọi là tập Borel.
1.2.4 Định nghĩa. Cho A là một đại số các tập con của X = ∅. Hàm
tập µ : A → R được gọi là một độ đo trên X nếu thoả mãn:
1) µ(∅) = 0;
2) µ(A)

0 với mọi A ∈ A;

3) Với mọi {An } ⊂ A sao cho Am ∩ An = ∅ với mọi m = n và
∞
n=1 An

∈ A thì

∞

µ(
n=1

∞

An ) =

µ(An ).
n=1

1.2.5 Định nghĩa. Cho X là khơng gian tơpơ và µ là một độ đo trên
X.
1) µ được gọi là độ đo Borel nếu mọi tập Borel là µ-đo được;
2) µ là chính quy Borel nếu nó là độ đo Borel và với mọi tập Borel A
tồn tại tập mở B ⊃ A sao cho µ(A) = µ(B);
3) µ là độ đo Radon nếu nó là độ đo Borel chính quy và µ(K) < +∞
với mọi tập compact K.


9

Trong tồn bộ luận văn này các tích phân được hiểu là tích phân
Lebesgue. Sau đây chúng ta phát biểu định lý biểu diễn Riesz. Đây là kết
quả quan trọng được sử dụng nhiều lần trong chương sau. Chứng minh
của định lý này có thể tìm đọc trong [1] hoặc [7].
1.2.6 Định lý. Nếu X là không gian tôpô compact địa phương. Khi đó,
mọi phiếm hàm liên tục dương φ trên Cc (X) đều tồn tại duy nhất một

độ đo Radon µ trên X sao cho
φ(f ) =

f dµ

với mọi f ∈ Cc (X).
1.3. Nhóm tơpơ
Mục này trình bày hệ thống kiến thức cơ bản về nhóm tơpơ cần dùng
để xây dựng độ đo Haar về sau. Các kết quả trong mục này cơ bản được
trình bày từ [1].
1.3.1 Định nghĩa. Một nhóm tơpơ là một nhóm G được trang bị một
tơpơ τ sao cho phép tốn (x, y) → xy và ánh xạ x → x−1 từ G × G → G
và G → G là liên tục.
1.3.2 Ví dụ. 1) Cho G là một nhóm tuỳ ý và trên G ta xác định tơpơ
rời rạc. Khi đó, G là một nhóm tơpơ và được gọi là nhóm tơpơ rời rạc.
2) Cho E là không gian định chuẩn. Khi đó, E là một nhóm với phép
tốn cộng. Vì các phép tốn cộng và nhân vơ hướng trong E là liên tục
với tôpô sinh bởi chuẩn nên E là một nhóm tơpơ. Tổng qt hơn mọi
khơng gian véctơ tơpơ là nhóm tơpơ với phép tốn cộng. Đặc biệt Rn với
phép cộng thơng thường (theo toạ độ) là một nhóm tơpơ.
3) Xét nhóm đường trịn Γ = {eiθ : 0

θ < 2π}. Với tôpô sinh bởi

mêtric cảm sinh từ C, tức là
d(eiθ , eiϕ ) =

(cos θ − cos ϕ)2 + (sin θ − sin ϕ)2

10

thì Γ là một nhóm tơpơ compact.
1.3.3 Mệnh đề. Giả sử G là một nhóm và τ là một tơpơ trên G. Khi đó
(G, τ ) là nhóm tơpơ khi và chỉ khi ánh xạ (a, b) → ab−1 là liên tục trên
G × G.
Chứng minh. Nếu (G, τ ) là một nhóm tơpơ thì theo định nghĩa (a, b) →
ab và ánh xạ a → a−1 từ G × G → G và G → G là các ánh xạ liên tục.
Khi đó, vì ánh xạ ngược của ánh xạ a → a−1 là chính nó nên nó là một
đồng phơi. Do đó trong ánh xạ (a, b) → ab ta có thể thay b bởi b−1 . Suy
ra ánh xạ (a, b) → ab−1 là liên tục trên G × G.
Ngược lại, giả sử ánh xạ (a, b) → ab−1 là liên tục trên G × G. Khi đó,
ánh xạ (e, b) → b−1 là liên tục (trong đó e là đơn vị của phép tốn trong
G). Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ (e, a) → a là một đồng phôi. Suy ra
ánh xạ a → a−1 liên tục. Vì ánh xạ ngược của ánh xạ a → a−1 là chính
nó nên nó là một đồng phơi. Do đó ta có thể thay b−1 bởi b trong ánh
xạ (a, b) → ab−1 . Suy ra ánh xạ (a, b) → ab liên tục. Vậy G là một nhóm
tơpơ.
Giả sử G là một nhóm tơpơ, A, B ⊂ G và a ∈ G. Ta định nghĩa
xA = {xy : y ∈ A}; Ax = {yx : y ∈ A}; A−1 = {x−1 : x ∈ A}
và AB = {xy : x ∈ A, y ∈ B}. Ta nói A là đối xứng nếu A−1 = A.
1.3.4 Mệnh đề. Cho G là một nhóm tơpơ. Khi đó, các ánh xạ sau là
đồng phôi:
1) Phép tịnh tiến phải Ra : G → G theo một phần tử a ∈ G cho trước,
được xác định bởi Ra (x) = xa với mọi x ∈ G;
2) Phép tịnh tiến trái La : G → G theo một phần tử a ∈ G cho trước,
được xác định bởi La (x) = ax với mọi x ∈ G.
Chứng minh. Từ định nghĩa nhóm tơpơ suy ra La , Ra liên tục. Dễ thấy
(La )−1 = La−1 . Do đó (La )−1 liên tục. Suy ra La là đồng phôi. Tương tự
Ra là một đồng phôi.

11

1.3.5 Mệnh đề. Cho G là một nhóm tơpơ. Khi đó, ta có các kết quả
sau:
1) Với mỗi lân cận U của e, tồn tại lân cận V đối xứng của e sao cho
V ⊂ U.
2)Với mỗi lân cận U của e tồn tại lân cận V của e sao cho V V ⊂ U .
3) Nếu H là nhóm con của G thì H cũng vậy.
4) Mỗi nhóm con mở của G là đóng trong G.
5) Nếu K1 , K2 là các tập con compact của G thì K1 K2 cũng là tập
compact của G.
6) G là không gian tơpơ chính quy.
Chứng minh. 1) Vì ánh xạ a → a−1 liên tục nên nó liên tục tại e. Từ
đó suy ra, với mọi lân cận U của e tồn tại lân cận W của e sao cho
W −1 ⊂ U . Đặt V = W ∩ W −1 . Khi đó V lân cận đối xứng của e và
V ⊂ U.
2) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa ánh xạ liên tục và tính liên tục của
phép tốn tại (e, e).
3) Giả sử a, b ∈ H. Ta cần chứng minh ab ∈ H và a−1 ∈ H. Thật
vậy, giả sử U là lân cận ab. Khi đó, tồn tại lân cận V của e sao cho
aV bV ⊂ U . Vì a, b ∈ H nên tồn tại x, y ∈ H sao cho x ∈ aV và y ∈ bV .
Suy ra xy ∈ aV bV . Rõ ràng xy ∈ H. Suy ra U ∩ H = ∅ với mọi lận cận
U của ab. Vậy ab ∈ H.
Giả sử a ∈ H và U là lân cận tuỳ ý của a−1 . Khi đó, tồn tại lân cận
đối xứng V của e sao cho V a−1 ⊂ U . Từ a ∈ H suy ra aV ∩ H = ∅. Do
đó, tồn tại x ∈ H và y ∈ V sao cho x = ay. Suy ra x−1 = y −1 a−1 . Vì V
đối xứng nên
x−1 = y −1 a−1 = V a−1 ⊂ U.

Vậy U ∩ H = ∅. Vì U là tuỳ ý nên a−1 ∈ H.
4) Nếu H nhóm con mở thì từ phép tịnh tiến là đồng phôi suy ra xH


12

mở với mọi x ∈ G. Mặt khác ta có
G\H =

xH.
x∈H
/

Thật vậy, nếu x ∈ G \ H thì x = xe ∈ xH. Suy ra G \ H ⊂
Ngược lại, nếu y ∈

x∈H
/

x∈H
/

xH.

xH thì tồn tại x ∈
/ H sao cho y ∈ xH. Khi đó,

tồn tại z ∈ H sao cho x = yz. Suy ra y ∈
/ H, bởi vì nếu ngược lại thì
x ∈ H. Vậy y ∈ G \ H, tức là

x∈H
/

xH ⊂ G \ H. Vậy

G\H =

xH.
x∈H
/

Suy ra H đóng.
5) Từ tính compact bảo toàn qua ánh xạ liên tục và phép nhân trong
G liên tục suy ra điều phải chứng minh.
6) Theo Mệnh đề 1.3.3 ta có với mọi lân cận U của e tồn tại lân cận V
của e sao cho V V −1 ⊂ U . Ta chứng minh V ⊂ U . Thật vậy, nếu a ∈ V
thì từ aV là lân cận của a suy ra aV ∩ V = ∅. Suy ra a ∈ V V −1 ∈ U .
Vậy V ⊂ U . Từ đó suy ra e ∈ V ⊂ U . Do đó G là khơng gian chính quy.

1.3.6 Mệnh đề. Nếu nhóm tơpơ G là T1 −khơng gian thì G là khơng
gian Hausdorff.
Chứng minh. Giả sử G là T1 -khơng gian. Khi đó, với mỗi x = y ∈ G ta
có xy −1 = e và tồn tại lân cận U của e sao cho xy −1 ∈ U . Theo Mệnh
đề 2.2, tồn tại lân cận V của e sao cho V V ⊂ U . Do đó xy −1 ∈
/ V V . Suy
ra xV và yV lần lượt là các lân cận rời nhau của x và y.

Từ nay về sau ta giả thiết các nhóm tơpơ là T1 -khơng gian.
1.3.7 Định nghĩa. Cho G là nhóm tơpơ, f là hàm số liên tục trên G và

y ∈ G.


13

1) Phép tịnh tiến trái của f bởi y là ánh xạ Ly f được xác định bởi
Ly f (x) = f (y −1 x).
2) Phép tịnh tiến phải của f bởi y là ánh xạ Ry f được xác định bởi
Ry f (x) = f (xy).
3) f được gọi là liên tục đều bên trái (tương ứng bên phải ) nếu với
mỗi ε > 0 tồn tại lân cận V của đơn vị e sao cho
Ly f − f = sup |Ly f (x) − f (x)| < ε
x∈G

với mọi y ∈ V (tương ứng, Ry f − f = supx∈G |Ry f (x) − f (x)| < ε).
1.3.8 Định lý. ([1]) Nếu f là hàm liên tục giá compact trên nhóm tơpơ
G thì f liên tục đều về bên trái và bên phải.
Chứng minh. Ta chứng minh f liên tục đều về bên phải. Giả sử f ∈
Cc (G). Khi đó K := suppf là tập compact. Với mỗi ε > 0, với mỗi
x ∈ K từ f liên tục suy ra tồn tại lân cận U của x sao cho
|f (z) − f (x)| <

ε
2

với mọi z ∈ U . Đặt z = xy và suy ra y = x−1 z. Khi đó, Ux = x−1 U là
lân cận của e và

ε
2

với mọi y ∈ Ux . Chọn lân cận đối xứng Vx của e sao cho Vx Vx ⊂ Ux . Khi
|f (xy) − f (x)| <

đó, {xVx }x là phủ mở của K. Vì K compact nên tồn tại x1 , x2 , ..., xn ∈ K
sao cho K ⊂

n
i=1 xi Vxi .

Đặt V =

Nếu x ∈ K thì tồn tại i sao cho

n
i=1 Vxi .
x−1
i x ∈ Vxi .

Do đó, với mọi y ∈ V ta

có
xy = xi (x−1
i xy) ∈ xi Vxi Vxi ⊂ xi Uxi .


14

Do đó,
|f (xy) − f (x)|

|f (xy) − f (xi )| + |f (xi ) − f (x)| < ε.

(1.1)

Nếu x ∈
/ K thì f (x) = 0. Với mọi y ∈ V ta có xy ∈
/ K hoặc xy ∈ K ⊂
n
i=1 xi Vxi .

Nếu xy ∈
/ K thì
|f (xy) − f (x)| = 0.

Nếu xy ∈ K ⊂

n
i=1 xi Vxi

(1.2)

thì tồn tại i sao cho xy ∈ xi Vxi . Suy ra

x−1
i xy ∈ Vxi và
−1
−1
x−1
∈ Vxi V ⊂ Vxi Vxi ⊂ Uxi .
i x = xi xyy

Do đó,

ε
|f (xi x−1
x)
−
f
(x
)|
<
.
i
i
2

ε
Suy ra |f (xi )| < . Vì vậy
2
|f (xy) − f (x)| = |f (xy)| = |f (xy) − f (xi )| + |f (xi )| <

ε ε
+ = ε. (1.3)
2 2

Từ (1.1), (1.2) và (1.3) suy ra
Ry f − f = sup |Ry f (x) − f (x)| = sup |f (xy) − f (x)|.
x∈G

x∈G

Vậy, f liên tục đều về bên phải. Chứng minh tương tự ta có f liên tục
đều về bên trái.

Với mỗi nhóm tơpơ G, ta cịn xét ánh xạ J : Cc (G) → Cc (G) xác định
bởi J(f )(x) = f (x−1 ) với mọi x ∈ G.


15

CHƯƠNG 2
ĐỘ ĐO HAAR VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

Nội dung của chương trình bày khái niệm, tính chất và sự tồn tại độ
đo Haar trên nhóm tơpơ compact địa phương và một vài ứng dụng trên
nhóm tơpơ compact.
2.1. Độ đo Haar
Mục này trình bày khái niệm, tính chất và sự tồn tại độ đo Haar. Các
kết quả chính được trích ra từ [1].
2.1.1 Định nghĩa. Cho G là nhóm tơpơ compact địa phương. Một độ
đo Radon µ khơng tầm thường trên G được gọi là một độ đo Haar trái
(tương ứng phải) trên G nếu µ(xE) = µ(E) (tương ứng µ(Ex) = µ(E))
với mọi x ∈ G và E ∈ B(G).
2.1.2 Nhận xét. Giả sử µ là một độ đo trên G và ∈ L1 (G, µ). Khi đó,
ánh xạ I : L1 (G, µ) → C xác định bởi
I(f ) =

f (x)dµ(x)

là dạng tuyến tính bị chặn. Hơn nữa, điều kiện µ(xE) = µ(E) tương

đương với I(xχE ) = I(χE ) hoặc tương đương I(Lx χE ) = I(χE ). Do tập
hợp các hàm đơn giản trù mật trong L1 (G, µ) nên điều kiện bất biến trái
của độ đo tương đương với I(Lx f ) = I(f ) với mọi f ∈ L1 (G, µ) và với
mọi x ∈ G.


16

2.1.3 Ví dụ. a) Độ đo Lebesgue trên Rn là một độ đo Haar trái và phải
trên nhóm tơpơ Rn .
b)Cho G là nhóm tơpơ rời rạc. Khi đó, độ đo đếm trên G là một độ
đo Haar trái và phải trên G.
c) Độ đo Haar µ trên nhóm các đường tròn được xác định bởi
1
f (x)dx =
2π
Γ

2π

f (eiθ )dθ.

0

Ký hiệu Cc+ (G) = {f ∈ Cc (G) : f (x)

0, ∀x ∈ G và

f > 0}.

Định lý sau trình bày một số tính chất cơ bản của độ đo Haar.
2.1.4 Định lý. Giả sử G là nhóm tơpơ compact địa phương. Khi đó ta
có các kết quả sau:
a) Độ đo Radon µ là độ đo Haar trái khi và chỉ khi độ đo µ
˜ xác định
bởi µ
˜(E) = µ(E −1 ) là một độ đo Haar phải.
b)Độ đo Radon khơng tầm thường µ trên G là độ đo Haar trái khi và
chỉ khi
f dµ =

Ly f dµ

với mọi f ∈ Cc+ (G) và với mọi y ∈ G.
c) Nếu µ là một độ đo Haar trái trên G thì µ(U ) > 0 với mọi tập mở
khác rỗng U ⊂ G và

f dµ > 0 với mọi f ∈ Cc+ (G).

d) Nếu µ là độ đo Haar trái trên G thì µ(K) < ∞ khi và chỉ khi K
là tập compact.
Chứng minh. a) Giả sử µ là độ đo Haar trái. Dễ dàng kiểm tra được µ
˜
là một độ đo. Với mọi x ∈ G, E ∈ (G) ta có (Ex)−1 = x−1 E −1 . Do đó
µ
˜(Ex) = µ((Ex)−1 ) = µ(x−1 E −1 ) = µ(E −1 ) = µ
˜(E).
Vì vậy, µ
˜ là độ đo Haar phải. Chứng minh chiều ngược lại là tương tự.
b) Giả sử µ là độ đo Haar. Vì f ∈ Cc+ (G) nên f là hàm đo được khơng

âm. Khi đó, tồn tại dãy hàm đơn giản {fn } trên G sao cho fn

f hầu


17

khắp nơi trên G. Hơn nữa
f dµ = lim

fn dµ.

n→∞

Với mỗi hàm đơn giản g ta có
m

ai χAi ,

g=
i=1

trong đó Ai ∈ B(G) với mọi i = 1, 2..., m, Ai ∩ Aj = ∅ với i = j và χAi
là hàm đặc trưng của tập Ai . Khi đó, với mọi y ∈ G ta có
m

Ly g(x) = g(y

−1

ai χAi (y −1 x).

x) =
i=1

Vì vậy

m

Ly gdµ =

ai µ(Ai ) =

gdµ.

i=1

Do đó
fn dµ =
với mọi n. Từ fn

f hầu khắp nơi trên G suy ra Ly fn

nơi trên G. Từ đó suy ra limn→∞
Ly f dµ =

Ly fn dµ =

Ly f hầu khắp

Ly f dµ. Ta thu được

f dµ.

Ngược lại, giả sử
Φy (f ) :=

Ly fn dµ

Ly f dµ =

Ly f dµ =

f dµ với mọi f ∈ Cc+ (G). Khi đó

f dµ := Φ(f ) là các dạng tuyến tính dương trên

Cc (G). Theo định lý biểu diễn Riesz, thì tồn tại duy nhất một độ đo ν
sao cho
Φy (f ) = Φ(f ) =

f dν =

f dµ.

Măt khác
Ly f dµ =

f (y −1 x)dµ(x) =

f (z)dµ(yz) =

Suy ra µ(E) = µ(yE) với mọi E ∈ B(G).

f (x)dµ(x).


18

c) Vì µ là độ đo Radon nên tồn tại K ⊂ G là tập compact sao cho
0 < µ(K) < ∞. Giả sử U là tập mở. Khi đó, từ µ(xU ) = µ(U ) suy ra
ta có thể giả thiết U là lân cận của đơn vị e của G. Khi đó {xU } là phủ
mở của K. Tồn tại x1 , x2 , ..., xn sao cho K ⊂ ∪ni=1 xi U . Suy ra
n

µ(xi U )

µ(K) > 0,

i=1

và vì thế µ(U ) = µ(xi U ) > 0 với i nào đó. Với mọi f ∈ Cc+ (G) đặt
U = {x : f (x) >

1
f }.
2

Khi đó U là tập mở và
1

f µ(U ) > 0.
2

f dµ

d) Nếu G là compact thì µ(G) < +∞. Ngược lại, giả sử µ(G) < +∞
nhưng G khơng compact. Khi đó tồn tại lân cận mở V của e sao cho
G khơng thể phủ bởi hữu hạn các tập có dạng xV . Do đó tồn tại dãy
{xn }n=1 ⊂ G sao cho

n−1

xn ∈
/
Gọi U là lân cận của e thoả mãn

xi V.

i=1
U U −1 ⊂

V . Với mọi m = n ∈ N ta có thể

giả thiết m > n. Khi đó, nếu xm U ∩ xn U = ∅ thì xm ∈ xn U U −1 ⊂ xn V .
Điều này mâu thuẫn với cách chọn dãy {xn }. Vậy {xn U } là dãy rời nhau.
Do U là tập mở nên µ(xn U ) = µ(U ) > 0. Suy ra
∞

µ(G)

µ(xn U ) = +∞.
n=−1

Ta nhận được sự mâu thuẫn. Vậy G là compact.
Định lý sau chỉ ra sự tồn tại của độ đo Haar trên các nhóm tơpơ
compact địa phương. Có nhiều phương pháp chứng minh định lý này,


19

một điểm chung của các phương pháp là phải sử dụng định lý biểu diễn
Riesz, cụ thể là các phương pháp đều phải xây dựng một phiếm hàm
tuyến tính dương và bất biến trái trên Cc (G), sự khác nhau chỉ là cách
xây dựng phiếm hàm. Một phương pháp chứng minh quen thuộc chúng
ta có thể tìm đọc trong [1].

ở đây, dựa vào ý tưởng chứng minh định lý

Hahn-Banach và tham khảo một số tài liệu tham khảo [4], [5],... chúng
tơi trình bày một phương pháp chứng minh khác. Để thuận lợi trong
chúng trình bày cho trường hợp G là compact. Trường hợp tổng quát
được suy ra từ trường hợp này kết hợp với sử dụng phân hoạch đơn vị.
2.1.5 Định lý. Mỗi nhóm tơpơ compact địa phương G đều có một độ đo
Haar trái.
Chứng minh. Gọi CR (G) là không gian các hàm thực liên tục trên G. Với
mỗi f ∈ CR (f ) đặt
n

L(f ) =

n

ai Lαi f : αi ∈ G, ai > 0,

ai = 1 ;

i=1

i=1

n

n

R(f ) =

ai Rαi f : αi ∈ G, ai > 0,
i=1

ai = 1 .
i=1

Gọi L(f ) và R(f ) lần lượt là bao đóng của L(f ) R(f ) trong CR (G).
Khi đó, từ Lxy = Lx Ly , Rxy = Rx Ry và JLx = Rx J ta nhận được
L(Lx f ) = L(f ), R(Rx f ) = R(f ), JL(f ) = R(Jf ),
L(λf ) = λL(f ), R(λf ) = λR(f )
với mọi λ ∈ R, với mọi x ∈ G, với mọi f ∈ CR (G). Hơn nữa, nếu f khơng
âm thì mọi phần tử của L(f ) và R(f ) là không âm.
Tiếp theo, ta tóm tắt các bước chứng minh của định lý như sau:
1)L(f ) và R(f ) là tập compact của CR (G).

2) L(f ) và R(f ) chứa hằng.


20

3) Tồn tại duy nhất một hàm hằng c(f ) ∈ L(f ) ∩ R(f ).
4)

ánh xạ I : CR(G) → R xác định bởi I(f ) = c(f ) là dạng tuyến

tính xác định dương.
5) Sử dụng định lý biểu diễn Riesz để thu được độ đo Haar.
Sau đây là chứng minh chi tiết.
Khẳng định 1. L(f ) là tập compact trong CR (G).
Đặt f = supx∈G |f (x)| với mọi f ∈ CR (G). Ta có
Lx f = sup |f (x−1 y)| = sup |f (z)| = f
y∈G

z∈G

với mọi x ∈ G. Khi đó, với mỗi f ∈ CR (G)
n

n

n

ai Lαi f =
i=1

ai Lαi f =
i=1

ai f = f < +∞.
i=1

Vì vậy L(f ) là tập bị chặn trong CR (G) và do đó L(f ) cũng là bị chặn.
Tiếp theo ta chứng minh L(f ) là họ đồng liên tục của CR (G). Với mỗi
ε > 0, do tính liên tục đều của f (theo định lý Cantor) ta chọn được lân
cận Vε của đơn vị e sao cho
|f (α) − f (β)| < ε
với mọi α, β thoả mãn α−1 β ∈ Vε . Để ý rằng
−1
(αi−1 α)−1 αi−1 β = α−1 αi a−1
i β = α β ∈ Vε

với mọi i. Do đó
n

|

n

ai Lαi f (α) −
i=1

n

ai Lαi f (β)|

ai |Lαi f (α) − Lαi f (β)|

i=1

i=1
n

ai |f (αi−1 α) − f (a−1
i β)|

=
i=1
n

<

ai ε = ε.
i=1


21

Với mỗi f ∈ L(f ) luôn tồn tại dãy {fk } ∈ L(f ) hội tụ đều tới nó. Do đó,
từ bất đẳng thức trên đúng cho các fk và lấy giới hạn ta nhận được
|f (α) − f (β)| < ε
với mọi α, β ∈ G mà α−1 β ∈ Vε . Vậy L(f ) đồng liên tục. Theo định lý
Arzeta-Ascoli, L(f ) là tập compact. Chứng minh tương tự R(f ) là tập
compact.
Khẳng định 2. L(f ) chứa hàm hằng.
Với mỗi f ∈ CR (G), đặt

M (f ) = max{f (x) : x ∈ G}, m(f ) = min{f (x) : x ∈ G}
và
v(f ) = M (f ) − m(f ).
Khi đó v là hàm số liên tục và không âm trên CR (G). Trên tập compact
L(f ), v đạt giá trị nhỏ nhất tại f∗ . Khi đó, v(f∗ ) = 0 nếu f∗ là hàm hằng
hoặc v(f∗ ) = 0 , tức là M (f∗ ) > m(f∗ ). Ta chứng minh khả năng sau là
không xẩy ra. Thật vậy, giả sử M (f∗ ) > m(f∗ ). Khi đó
F = {x ∈ G : f∗ (x) >

M (f∗ ) + m(f∗ )
}
2

là tập mở khác rỗng của G. Khi đó {αF }α∈G là phủ mở của G. Vì G
compact nên tồn tại α1 , α2 , ..., αn ∈ G sao cho {α1 F, α2 F, ..., αn F } phủ
G. Đặt
1
f˜∗ (x) =
n
Khi đó
i) Từ

1
n

αi
n=1 Lαi g

n

Lαi f∗ (x), ∀x ∈ G.
i=1

∈ L(f ) với mọi g ∈ L(f ) suy ra f˜∗ ∈ L(f ).


22

ii)
1
M (f˜∗ ) = max
x∈G n

n

Lαi f∗ (x)
i=1

n

max f∗ (αi−1 x)
x∈G

i=1

1
=
n

max f∗ = M (f∗ ).

i=1

x∈G

1
v(f∗ ). Thật vậy, với mỗi x ∈ G tồn tại 1
2n
−1 x ∈ F . Từ định nghĩa của tập F
n sao cho x ∈ αm F . Suy ra αm

iii) m(f˜∗ )
m

n

m(f∗ ) +

suy ra
−1
f∗ (αm
x) >

M (f∗ ) + m(f∗ )
.
2

Do đó
1
1
−1

x) +
f˜∗ (x) = f∗ (αm
n
n

f∗ (αi−1 x)
i=m

M (f∗ ) + m(f∗ ) 1
>
+
2n
n
= m(f∗ ) +

n

m(f∗ ) =
i=m

1
2n − 1
M (f∗ ) +
m(f∗ )
2n
2n

1
v(f∗ ).
2n

Bất đẳng thức trên đúng với mọi x ∈ G, suy ra m(f˜∗ )
Từ ii) và iii) ta được
v(f˜∗ ) = M (f˜∗ )−m(f˜∗ )

m(f∗ )+

1
v(f∗ ).
2n

1
M (f˜∗ )−m(f∗ )+ v(f∗ ) < M (f∗ )−m(f∗ ) = v(f∗ ).
2n

Điều này mâu thuẫn với v đạt giá trị nhỏ nhất tại f∗ và f˜∗ ∈ L(f ). Vậy
v(f∗ ) = 0 và f∗ là hàm hằng. Chứng minh tương tự ta được R(f ) chứa
hàm hằng.
Khẳng định 3. Tồn tại duy nhất một hàm hằng c(f ) ∈ R(f ) ∩ L(f ).
Ta chỉ ra rằng, nếu l và r là các hàm hằng tuỳ ý lần lượt thuộc vào
L(f ) và R(f ) thì l = r. Với mỗi ε > 0, lấy αi ∈ G, ai > 0, i = 1, 2..., m


23
m
i=1 ai

và βj ∈ G, bj > 0, j = 1, 2..., n sao cho
m

l−
ß=1

Đặc biệt, với mỗi 1

ε
ai Lαi f < ,
2
j

n

r−
j=1

=

n
j=1 bj

= 1 và

ε
bj Rβj f < .
2

m ta có
m

max |l −

x∈G

i=1

ε
ai f (αi−1 xβj )| < .
2

Suy ra
n

m

n

n

ai bj f (αi−1 xβj ) =

l−

m

ai f (αi−1 xβj )

bj l −

j=1 i=1

j=1

n

j=1 i=1
m

bj l −
j=1

n

ai f (αi−1 xβj )
i=1

bj
j=1

ε
ε
= .
2 2
(2.1)

Hồn tồn tương tự ta có
m

m

r−
i=1 j=1

ε
ai bj f (αi−1 xβj ) < .
2

(2.2)

Từ (2.1) và (2.2) suy ra |l − r| < ε. Vì ε tuỳ ý nên l = r. Như vậy, với
mỗi f ∈ CR tồn tại duy nhất hàm hằng c(f ) ∈ R(f ) ∩ L(f ).
Xét ánh xạ I : CR (G) → R xác định bởi
I(f ) = c(f )
với mọi f ∈ CR (G).
Khẳng định 4. I là dạng tuyến tính dương liên tục và I(Lx f ) = I(f ).
Từ L(Lx f ) = L(f ) suy ra L(Lx f ) = L(f ). Do tính duy nhất của c(f )
nên ta được I(Lx f ) = I(f ).
Nếu f

0 thì g

0 với mọi g ∈ L(f ) suy ra I(f )

0 với mọi f

0.

Từ L(λf ) = λL(f ) với mọi λ ∈ R suy ra L(λf ) = λL(f ). Từ đó suy
ra
I(λf ) = λI(f ).


24

Ta cần chứng minh I(f1 + f2 ) = I(f1 ) + I(f2 ) với mọi f1 , f2 ∈ CR (G).
Thật vậy, với mỗi ε > 0 chọn αi ∈ G, ai > 0, i = 1, ..., m sao cho
m
i=1 ai

= 1 và

m

|I(f1 ) −
i=1
m
i=1 ai Lαi f2 .

Đặt φ =

ε
ai Lαi f1 (x)| < .
2

(2.3)

Khi đó φ ∈ L(f2 ). Do đó L(φ) ⊂ L(f2 ). Suy ra

L(φ) ⊂ L(f2 ). Suy ra I(φ) = I(f2 ). Chọn βj ∈ G, bj > 0, j = 1, 2..., n
sao cho

n
j=1 bj

= 1 và
n

I(f2 ) −
j=1

ε
bj Rβj f < .
2

Từ định nghĩa của φ suy ra
n

m

n

ai bj f2 (αi−1 βj−1 x)|

|I(f2 ) −

m

= |I(f2 ) −

j=1 i=1

ai bj Lβj αi f2 (x)|
j=1 i=1

n

|I(f2 ) −

m

bj Lβj
j=1
n

|I(f2 ) −

ai Lαi f2 (x)|
i=1

bj Lβj φ(x)|
j=1

e
.
2
(2.4)

Trong (2.3), thay x bởi βj−1 x với mỗi j = 1, 2, ...n ta thu được
m

|I(f1 ) −
i=1

Từ

n
j=1 bj

ε
ai Lαi f1 (βj−1 x)| < .
2

= 1 suy ra

m

n

ai Lαi f1 (βj−1 x)| = |I(f1 ) −

|I(f1 ) −
i=1

m

ai Lαi f1 (βj−1 x)]|

[bj
j=1
i=1
n m

= |I(f1 ) −

j=1 i=1

ε
ai bj f2 (αi−1 βj−1 x)| < .
2
(2.5)


25

Từ (2.4) và (2.5) suy ra
n

m

ai bj f2 (αi−1 βj−1 x)| < ε.

|I(f1 ) + I(f2 ) −
j=1 i=1

Vì

n
j=1

m
−1 −1
i=1 ai bj f2 (αi βj x)

∈ L(f1 + f2 ) suy ra I(f1 ) + I(f2 ) ∈

L(f1 + f2 ). Từ tính duy nhất của các hằng số c(f ) suy ra I(f1 ) + I(f2 ) =
I(f1 + f2 ). Hơn nữa, từ cách xác định của c(f ) ta có
|I(f )| = |c(f )|

max |f (x)| = f .
x∈G

Vậy I liên tục. Khẳng định được chứng minh.
Cuối cùng, áp dụng đinh lý biểu diễn Riesz tồn tại độ đo Radon µ
trên G sao cho
I(f ) =

f dµ

với mọi f ∈ Cc (G). Từ tính chất I(Lx f ) = I(f ) và Nhận xét 2.1.2 ta có
µ(xE) = µ(E)
với mọi x ∈ G. Vậy µ là độ đo Haar cần xây dựng.
Định lý sau chứng tỏ các độ đo Haar trên một nhóm tơpơ compact
địa phương chỉ sai khác nhau một hằng số. Chứng minh của định lý có
thể tìm thấy trong [1].
2.1.6 Định lý. Nếu µ và ν là các độ đo Haar trên nhóm tơpơ compact
địa phương G thì tồn tại hằng số c > 0 sao cho µ = cν.
2.1.7 Nhận xét. 1) Nếu µ là độ đo Haar trái trên G thì với mỗi x ∈ G
µx (E) = µ(Ex)
với mọi tập Borel E ⊂ G là một đô đo trái trên G. Thật vậy, từ µ là một
độ đo dễ dàng suy ra µx là một độ đo. Bởi vì µ là độ đo Haar trái nên
µx (yE) = µ(yEx) = µ(Ex) = µx (E)