Về tính ổn định ngẫu nhiên của hệ phương trình vi phân

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

1

Một số kiến thức chuẩn bị về tính ổn định của hệ
phương trình vi phân
4

1.1. Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính

. . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Sự ổn định đối với hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . 17
2

Về tính ổn định ngẫu nhiên của hệ phương trình
vi phân
25

2.1. Tính ổn định của phương trình vi phân tất định . . . . . . . . . 25
2.2. Vi phân ngẫu nhiên và công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

. . . . . . . . . . 27

2.4. Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . 29
2.5. Tính ổn định ngẫu nhiên của hệ phi tuyến . . . . . . . . . . . . 34
2.6. Hệ tuyến tính và nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Kết luận
Tài liệu tham khảo

46
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


2

LỜI NÓI ĐẦU

ổn định là một trong những lý thuyết quan trọng của lý thuyết định tính
phương trình vi phân và có nhiều ứng dụng để giải quyết nhiều bài toán thuộc
các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, cơ học, kinh tế....
Việc nghiên cứu bài toán ổn định của các hệ động lực được bắt đầu từ
cuối thế kỷ trước bởi nhà toán học Nga A.M.Liapunov và ngày nay đã trở
thành một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình
vi phân tất định và ngẫu nhiên.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên của hệ
phương trình vi phân: Thiết lập một lý thuyết chung về ổn định ngẫu nhiên

cho các hệ thống phi tuyến tất định hoặc ngẫu nhiên.
Với mục đích trên luận văn được chia thành hai chương
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị về tính ổn định của hệ phương trình
vi phân
Trong chương này, tơi xin giới thiệu một số định nghĩa về tính ổn định
nghiệm của phương trình vi phân tất định và phương trình vi phân ngẫu
nhiên.
Chương 2: Về tính ổn định ngẫu nhiên của hệ phương trình vi phân
Đây là nội dung chính của luận văn, trong chương này đã chứng minh
được rằng:
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên
m

dx(t) = f (x, t)dt + g(x, t)dW (t) +

Bk x(t)dwk (t);
k=1

t ≥ 0;

(1)


3

Phương trình này có thể xem như hệ bị nhiễu ngẫu nhiên của hệ ngẫu nhiên:

dx(t) = f (x, t)dt + g(x, t)dW (t)
Chúng ta chỉ ra rằng nếu f (x, t), g(x, t) thõa mãn :

|f (x, t)| ≤ K1 |x| và

Vết g(x, t)g(x, t)T ≤ K2 |x|2

với mọi t ∈ Rd , t ≥ 0, K1 > 0, K2 > 0.
Thì phương trình vi phân ngẫu nhiên (1) ổn định .
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình và chu đáo của thầy giáo PGS.TS.Phan Đức Thành. Tôi xin được
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy, người đã chỉ dạy tác giả những
kiến thức, kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứu khoa học và cả những bài
học trong cuộc sống.
Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn tới PGS.TS.Nguyễn Văn Quảng,
PGS.TS.Trần Xuân Sinh, TS.Nguyễn Trung Hòa, cùng các thầy cơ giáo trong
khoa Tốn, khoa Sau đại học và các bạn trong lớp Cao học 17 Toán đã thường
xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hồn thành luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn vẫn cịn nhiều thiếu
sót, tơi mong nhận được những đóng góp quý báu của các thấy cô giáo và
các bạn để luận văn ngày càng hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả


4

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ TÍNH ỔN
ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tính ổn định theo
Liapunop của hệ phương trình vi phân. Nội dung của chương này dựa trên
các tài liệu của Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu.

1.1

Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính

1.1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định.
Xét hệ vi phân thường được viết dưới dạng ma trận vectơ

dX
= F (t, X)
dt

(1.1)

Định nghĩa 1:
Nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞) của hệ (1.1) được gọi là ổn định
theo Liapunov khi t → +∞ (hay nói gọn là ổn định) nếu với mọi

> 0 và

t0 ∈ (a, ∞), tồn tại δ = δ( , t0 ) > 0 sao cho
X(t0 ) − Z(t0 ) < δ thì

X(t) − Z(t) <

với mọi t ≥ t0 , với mọi nghiệm X(t) của hệ (1.1).
*Trường hợp đặc biệt, khi F (t, 0) ≡ 0 nghiệm tầm thường (còn gọi là

trạng thái cân bằng) Z(t) ≡ 0 (a < t < ∞) ổn định nếu với mọi

t0 ∈ (a, ∞), tồn tại δ = δ( , t0 ) > 0 sao cho
X(t0 ) < δ thì

X(t) <

> 0 và


5

với mọi t ≥ t0 , với mọi nghiệm X(t) của hệ (1.1).
Định nghĩa 2:
Nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞) của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm
cận khi t → +∞ nếu
1. Nghiệm Z = Z(t) ổn định theo Liapunốp.
2. Với mọi t0 ∈ (a, ∞), tồn tại

X(t0 ) − Z(t0 ) <

=

(t0 ) > 0 sao cho
lim X(t) − Z(t) = 0

thì

t→∞

với mọi t ≥ t0 , với mọi nghiệm X(t) của hệ (1.1).
Định nghĩa 3:
Nếu trong định nghĩa 1, δ = δ( ) > 0 chỉ phụ thuộc vào

( không phụ

thuộc vào t0 ) thì ổn định được gọi là ổn định đều.
Định nghĩa 4:
Nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞) của hệ (1.1) được gọi là không ổn định
theo Liapunov khi t → +∞ (hay nói gọn là không ổn định) nếu với mọi > 0
và t0 ∈ (a, ∞) nào đó , với mọi δ > 0, tồn tại nghiệm Xδ (t) (ít nhất là một)
và thời điểm t1 = t1 (δ) > t0 sao cho

Xδ (t0 ) − Z(t0 ) < δ thì

Xδ (t1 ) − Z(t1 ) ≥

*Tương tự, nghiệm Z = Z(t) ( với a < t < ∞) không ổn định nếu
với mọi > 0 và t0 ∈ (a, ∞) nào đó và với mọi δ > 0, tồn tại nghiệm Xδ (t)
(ít nhất là một) và thời điểm t1 = t1 (δ) > t0 sao cho

Xδ (t0 ) < δ thì

Xδ (t1 ) ≥ .

Định nghĩa 5:
Nếu nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞)) ổn định tiệm cận khi t → ∞ và
tất các các nghiệm X = X(t), (t0 ≤ t < ∞, t0 > a) đều có tính chất

lim X(t) − Z(t) = 0,

t→∞

thì Z = Z(t) được gọi là ổn định toàn cục.

tức là

=∞


6

1.1.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính.
1.1.2.1. Các khái niệm cơ bản
Xét hệ vi phân tuyến tính

dX
= A(t)X + F (t)
dt

(1.2)

trong đó ma trận A(t) và vectơ F(t) liên tục trong (a, ∞) .
Giả sử X(t) = [xij (t)] (detX(t) = 0) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ
vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng

dX
= A(t)X
dt

(1.3)

Định nghĩa 1:
Hệ vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn định (hoặc không ổn định) nếu
tất cả các nghiệm X = X(t) của nó tương ứng ổn định (hoặc không ổn định)
theo Liapunốp khi t → +∞.
Định nghĩa 2:
Hệ vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các
nghiệm X = X(t) của nó ổn định tiệm cận khi t → +∞ .
Định nghĩa 3:
Hệ vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm

X = X(t) của nó ổn định đều khi t → +∞ đối với thời điểm ban đầu
t0 ∈ (a, ∞).
1.1.2.2- Các định lý tổng quát về sự ổn định của các hệ vi phân
tuyến tính
Định lý 1:
Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.2) ổn định với số hạng tự
do bất kỳ F(t) là nghiệm tầm thường X ≡ 0, (t0 < t < ∞, t0 ∈ (a, ∞)) của
hệ thuần nhất tương ứng (1.3) ổn định.
Chứng minh. 1. Điều kiện cần: Giả sử hệ vi phân tuyến tính khơng thuần
nhất (1.2) ổn định và Z = Z(t) là một nghiệm nào đó của hệ (1.2).


7

Khi đó với mọi > 0, tồn tại δ( , t0 ) sao cho:

Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ

thì

Y (t) − Z(t) <

với mọi t ≥ t0 , với mọi nghiệm Y(t) của hệ (1.2).
Do đó X(t) = Y (t) − Z(t) cũng là một nghiệm của phương trình thuần
nhất (1.3).
Từ đó

dX
= A(t)X
dt
Từ Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ suy ra X(t0 ) < δ thì X(t) < .
với mọi t ≥ t0 , với mọi nghiệm Y(t) của hệ (1.2).
Từ đó suy ra rằng nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.3) ổn định theo Liapunôp khi t → ∞.
2. Điều kiện đủ:
Giả sử nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
tương ứng (1.3) ổn định theo Liapunốp khi t → +∞.
Khi đó, nếu X = X(t), (t0 < t < ∞) là một nghiệm bất kỳ của hệ vi phân
tuyến tính thuần nhất (1.3) sao cho

X(t0 ) < δ( , t0 ) thì

X(t) <

khi t0 ≤ ∞

Như vậy, nếu Z(t) là một nghiệm nào đó của hệ vi phân tuyến tính khơng
thuần nhất (1.2) và Y(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ đó thì ta có :

Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ

ta suy ra

Y (t) − Z(t) <

khi t0 ≤ ∞

Điều đó có nghĩa là nghiệm Z(t) ổn định khi t → +∞
Định lý 2:
Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm
tầm thường X ≡ 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.3) ổn
định đều khi t → +∞.
Định lý 3:


8

Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi
nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng
(1.3) ổn định tiệm cận khi t → +∞
1.1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất.
1.1.3.1-Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tổng
qt
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:

dY
= A(t)Y
dt

(1.4)

trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a, ∞)
Định lý 1:
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định theo Liapunốp khi và chỉ
khi mỗi nghiệm Y = Y (t), (t0 ≤ t < ∞) của hệ đó bị chặn.
Chứng minh. 1. Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của (1.4) là giới nội trên

[t0 , ∞) ⊂ (a, ∞).
Xét ma trận nghiệm cơ bản chuẩn hóa

X(t) = [xjk (t)]
trong đó X(t0 ) = E .
Vì ma trận X(t) bao gồm các hàm giới nội xjk (t) nên nó giới nội, tức là

X(t) ≤ M, khi t0 ≤ ∞, trong đó M là một hằng số dương, nói chung phụ
thuộc vào t0 .
Mỗi nghiệm Y = Y (t) của hệ (1.4) đều có thể biểu diễn dưới dạng tích:

Y (t) = X(t).Y (t0 )
Từ đó ta có

Y (t) ≤ X(t) . Y (t0 ) ≤ M Y (t0 ) <
Khi

Y (t0 ) <

M

= δ.


9

Như vậy với mọi > 0, tồn tại δ =

Y (t0 ) < δ thì

M

sao cho:

Y (t) < ;

với mọi t ≥ t0 .

Nên nghiệm tầm thường Y ≡ 0 ổn định, do đó nghiệm bất kỳ của hệ (1.4)
ổn định theo Liapunốp khi t → +∞.( theo định lý 1 mục 1.1.2.2 ).
Như vậy hệ (1.4) ổn định.
2. Điều kiện cần:
Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử hệ vi phân tuyến tính thuần
nhất (1.4) có một nghiệm khơng giới nội trên [t0 , ∞) là Z(t) (Z(t0 ) = 0)

> 0, δ > 0 và xét nghiệm

Cố định 2 số dương

Y (t) =
Rõ ràng Y (t0 ) =

δ
2

Z(t) δ
.
Z(t0 ) 2

< δ và do tính khơng dưới nội của Z(t) đối với một

thời điểm t1 > t0 nào đó ta có:

Y (t1 ) =

Z(t1 ) δ
. >
Z(t0 ) 2

Do đó nghiệm tầm thường Y ≡ 0 của hệ (1.4) không ổn định theo liapunốp
khi t → +∞ nên theo định lý 1 mục 1.1.2.2 hệ (1.4) cũng không ổn định.
( mâu thuẫn hệ vi phân tuyến tính thuần nhất(1.4) ổn định theo liapunốp).
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất(1.4) ổn định theo liapunốp thì mỗi nghiệm

Y = Y (t), (t0 ≤ t < ∞) của hệ đó bị chặn.
Định lý 2:
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi
tất cả các nghiệm Y= Y(t) của nó dần tới khơng khi t → +∞ , tức là

lim Y (t) = 0.

t→∞

Chứng minh. 1. Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.4) ổn định tiệm cận khi t → +∞.
Khi đó tất cả các nghiệm của nó, kể cả nghiệm tầm thường Y ≡ 0 ổn định
tiệm cận khi t → +∞.


10

Do đó đối với nghiệm Z(t) bất kỳ của hệ (1.4) ta có

lim Z(t) = 0

t→∞

khi Z(t0 ) <

trong đó t0 ∈ (a, ∞) tùy ý.

Xét một nghiệm Y(t) tùy ý, xác định với điều kiện ban đầu Y (t0 ) = Y0 = 0.
Với mọi nghiệm của (1.4) được viết:

Y (t) =

Y (t). 2 Y (t0 )
.
Y (t0 )
2

Hay

Y (t) = Z(t).

Y (t0 )
2

trong đó

Z(t) =

Y (t). 2
Y (t0 )

Theo định nghĩa về ổn định tiệm cận

Z(t0 ) =

Y (t0 )
. =
<
Y (t0 ) 2
2

nên

lim Z(t) = 0 suy ra

t→∞

lim Y (t) = 0

t→∞

2. Điều kiện đủ:
Giả sử tất cả các nghiệm Y=Y(t) của hệ (1.4) dần tới không khi t → +∞.
Khi đó với mọi nghiệm Y(t) bất kỳ (t0 ≤ t < ∞) ta có:

Y (t) < 1 khi (T ≤ t < ∞)
Vì trên nửa đoạn hữu hạn [t0 , T ] hàm vectơ liên tục Y(t) bị chặn, nên
nghiệm Y(t) bất kỳ dưới nội trên [t0 , ∞] và do đó theo định lý 1 mục 1.1.3.1
hệ (1.4) ổn định, ngoài ra nghiệm tầm thường của nó ổn định tiệm cận. Từ
đó do định lý 3 mục 1.1.2.2, ta suy ra hệ (1.4) ổn định tiệm cận.


11

1.1.3.2-Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với
ma trận hằng
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất :

dX
= AY
dt

(1.5)

trong đó A = [ajk ] là ma trận hằng (n × n).
Định lý 3:
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) với ma trận hằng A ổn định khi
và chỉ khi tất các các nghiệm đặc trưng λj = λj (A) của A đều có phần thực

khơng dương , tức là

Reλj (A) ≤ 0

(j = 1, 2, ......., n)

Định lý 4:
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) với ma trận hằng A ổn định tiệm
cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng λj = λj (A) của A đều có phần
thực âm, tức là

Reλj (A) < 0

(j = 1, 2, ......., n)

1.1.4 Tiêu chuẩn Hurwitz.
Xét đa thức

f (z) = a0 + a1 z + ........ + an z n

(n ≥ 1)

trong đó z = x + iy là số phức và a0 , a1 , ......., an có thể là các hệ số thực
hoặc phức.
Định nghĩa:
Đa thức f(z) bậc (n ≥ 1) được gọi là đa thức Hurwitz nếu tất cả các
nghiệm (không điểm) z1 , z2 , , zn của nó đếu có các phần thực âm

Rezj < 0

(j = 1, 2, ......., n)

Giả thiết các hệ số a0 , a1 , .........., an của đa thức f (z) là các số thực và

a0 > 0, an = 0. Một đa thức như vậy ta gọi là đa thức chuẩn bậc n

(n ≥ 1)


12

Định lý:
Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ số của nó đều
dương.
Ma trận Hurwitz








a1
a3
a5
.
.
0

a0
a2
a4
.
.
0

0
a1
a3
.
.
0

0
a0
a2
.
.
0

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

0
0
0
.
.
an








Định lý Hurwitz:
Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz là: tất cả các
định thức trên đường chéo chính của ma trận Hurwitz của nó dương, tức là



1 >0






a1 a0


 2 = a3 a2 > 0


............








 n = an .
1.1.5

n−1

>0

ổn định theo xấp xỉ thứ nhất.

Xét hệ phương trình vi phân sau:

dX
= F (t, X)
dt

F (t, 0) ≡ 0

(1.6)

Khai triển Taylo theo X tại lân cận gốc tọa độ ta được:

dX
= A(t)X + Ri (t, X) i = 1, n
dt
Trong đó Ri (t, X)là VCB bậc cao hơn so với

(1.7)

X .

Khi đó hệ vi phân tuyến tính

dX
= A(t)X
dt
được gọi là hệ phương trình xấp xỉ thứ nhất đối với hệ (1.6 ).

(1.8)


13

Trường hợp ma trận A trong (1.8) là ma trận hằng số thì ta nói hệ (1.7)
á dừng theo xấp xỉ thứ nhất.
Định lý 1 : Nếu
1. Hệ (1.7) á dừng theo xấp xỉ thứ nhất.
2. Tất cả cá số hạng Ri bị chặn theo t và khai triển được thành chuỗi lũy
thừa đối với X, tất cả các khai triển đều bắt đầu từ các số hạng không
thấp hơn bậc hai.
3. Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng | A − λE | đều có phần
thực âm.
Thì nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ (1.7) và hệ (1.8) ổn định tiệm cận.
Định lý 2 : Nếu
1. Hệ phương trình (1.7) á dừng theo xấp xỉ thứ nhất.
2. Tất cả các hàm Ri thõa mãn các điều kiện của định lý 1.
3. Có ít nhất một nghiệm của phương trình đặc trưng | A − λE | có phần
thực dương.
Thì nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ (1.7) và hệ (1.8) không ổn định.
1.1.6 Phương pháp thứ hai của Liapunov.
1.1.6.1-Các khái niệm
Xét hàm số V=V(t,X) liên tục theo t và theo x1, x2 , ., xn trong miền Z0 ,
trong đó Z0 = {a < t < ∞, X < h} .
Định nghĩa 1:
Hàm thực hiện liên tục V(t,X) được gọi là hàm có dấu khơng đổi (dấu
dương hoặc dấu âm) trong Z0 nếu

V (t, X) ≥ 0 ( hoặc V (t, X) ≤ 0)

Định nghĩa 2:

Với (t, X) ∈ Z0 .


14

-Hàm V(t,X) được gọi là hàm xác định dương trong Z0 nếu tồn tại hàm

ω(X) ∈ C( X < h) sao cho
V (t, X) ≥ ω(X) > 0,

với X = 0.

-Hàm V(t,X) được gọi là hàm xác định âm trong Z0 nếu tồn tại hàm

ω(X) ∈ C( X < h) sao cho

V (t, X) ≤ ω(X) < 0,

với X = 0

và V (t, X) = W (0) = 0.

Định nghĩa 3:
Hàm V(t,X) được gọi là hàm có giới hạn vơ cùng bé bậc cao khi X → 0
nếu với t0 > a nào đó ta có V (t, X) ⇒ 0 trên [t0 , ∞) khi X → 0, tức là
với mọi

> 0, tồn tại

δ = δ( ) > 0 sao cho:

|V (t, X)| >

khi

X < δ, t ∈ [t0 , ∞)

Định nghĩa 4:
Xét hệ phương trình vi phân như sau:
dX
= F (t, X)
F (t, 0) ≡ 0
(1.9)
dt
Giả sử V = V (t, X) khả vi liên tục theo các biến t, x1 , x2 , ....xn và F (t, X)
liên tục theo t và có các đạo hàm riêng liên tục theo x1 , x2 , ....xn .
Hàm số

∂V
+
V˙ (t, X) =
∂t

n

j=1

∂V

.Fj (t, X)
∂xj

được gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V (t, X) trong nghĩa của hệ
(1.9).
1.1.6.2- Tính ổn định và tính ổn định tiệm cận nghiệm
Định lý thứ nhất của Liuapunốp :
Nếu đối với hệ (1.9) tồn tại một hàm xác định dương V(t,X) sao cho đạo
hàm lấy dọc theo nghiệm của hệ

dV
≤0
dt


15

thì nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ đã cho ổn định .
Định lý thứ hai của Liuapunốp :
Nếu đối với hệ (1.9) tồn tại một hàm xác định dương V(t,X) có giới hạn
vơ cùng bé bậc cao khi X → 0 và có đạo hàm theo t lấy dọc theo nghiệm
của hệ là

dV
<0
dt
thì nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ đã cho ổn định tiệm cận.
Định lý:
Xét hệ phương trình:

dX
= AX
dt
Với X(0) = I (I là ma trận đơn vị) và A là ma trận hằng số.
Nếu tồn tại ma trận H xác định dương, đối xứng và thõa mãn điều kiện

AT H + HA = −G
( với G đối xứng, xác định dương tùy ý nào đó) thì nghiệm tầm thường X ≡ 0
của hệ đã cho ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại ma trận H xác định dương, đối xứng.
Ta lấy hàm Liapunốp là dạng toàn phương:
n

hii Xi Xj = X T HX

V (t, X) =

với X = (X1 , X2 , .Xn ) ∈ R

i,j=1

Trong đó H = (hij )n×n , H > 0, H = H T .
Trước hết ta chứng minh
n

hii Xi Xj = X T HX = (X, HX) = (HX, X)

V (t, X) =
i,j=1

Thật vậy
n

HX = (

n

h1j Xj ,
j=1

n

h2j Xj , ..............,
j=1

hnj Xj )
j=1


16

Suy ra
n

n

(X, HX) = X1

h1j Xj + X2
j=1

n

h2j Xj + .............. + Xn
j=1

n

n

=

j=1
n

hii Xi Xj =
i=1 j=1

Mà

hnj Xj

hii Xi Xj
i,j=1

n

hii Xi Xj = X T HX
i,j=1

Do đó

X T HX = (X, HX)
Vậy

V (t, X) = X T HX = (X, HX)
Khi đó

d
dV
= V (t, X)
dt
dt
dX
dX
= (
, HX) + (X, H
)
dt
dt
= (AX, HX) + (X, HAX)
= (AX)T HX + X T HAX
=

X T (AT H + HA)X

Từ phương trình

AT H + HA = −G
( với G đối xứng, xác định dương tùy ý nào đó).

Suy ra

dV
= −X T G < 0.
dt
Nên theo định lý thứ hai của Liapunốp nghiệm tầm thường X ≡ 0 ổn
định tiệm cận.


17

1.2

Sự ổn định đối với hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến
tính

1.2.1 Các khái niệm cơ bản.
Định nghĩa 1:
Q trình W = (Wt , t > 0) xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P)
được gọi là quá trình Wiener nếu:
1. W0 = 0
2. (Wt ) là quá trình có gia số độc lập, tức với mọi t1 < t2 < t3 < t4 các
biến ngẫu nhiên Wt4 − Wt3 và Wt2 − Wt1 là độc lập.
3. Biến ngẫu nhiên Wt − Ws (0 ≤ s < t) có phân phối chuẩn với trung bình
0 và phương sai t-s.
4. Với hầu hết ω các qũy đạo Wt (ω) là hàm liên tục.
Định nghĩa 2: Hệ vi phân ngẫu nhiên là hệ có dạng:

dX(t) = A(t, X(t))dt + B(t, X(t))dW (t)

(1.10)

trong đó A, B ∈ Rn×n , X(t) ∈ Rn , W(t)là quá trình Wiener.
Với A(t, 0) = 0,

B(t, 0) = 0.

Nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ (1.10) được gọi là ổn định với xác suất
1 nếu với mọi > 0

lim P{sup X(t) ≥ } = 0.

X→0

t>0

Định nghĩa 3:
Nghiệm X ≡ 0 của hệ (1.10) được gọi là ổn định tiêm cận với xác suất 1
nếu:
1. Nghiệm X ≡ 0 ổn định với xác suất 1.
2. P{lim X(t) = 0} = 1
t→0


18

1.2.2 Quy tắc vi phân Itô.
Cho X= X(t) là quá trình ngẫu nhiên có vi phân:

dXt = A(t, Xt )dt + B(t, Xt )dWt

Trong đó Wt là q trình Wiener một chiều.
Giả sử y= g(t,x) là một hàm khả vi liên tục theo biến t ≥ 0, hai lần khả
vi theo biến x ∈ R.
Khi đó q trình ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt ) có vi phân Itơ được tính theo
cơng thức sau đây gọi là quy tắc vi phân Itô:

∂g
∂g
1 ∂ 2g 2
dYt =
dt +
dXt + . 2 .B .dt
∂t
∂x
2 dx
Thí dụ:
Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính:

dx = Ax(t)dt + Bx(t)dW

(0 ≤ t0 < t < ∞)

trong đó x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , A, B ∈ Rn×n là ma trận hằng.
Khi đó quy tắc vi phân Itơ của hàm V = xT x là

dxT x = xT dx + dxT .x + (Bx)T Bxdt
Mệnh đề :
Cho x có vi phân ngâu nhiên:

dx = Axdt + BxdW

trong đó A và B ∈ Rn×n là các ma trận hằng.
Khi đó vi phân của hàm V = xT Hx có kỳ vọng

EdV = xT (AT H + HA + B T HB)xdt.
Chứng minh. Theo cơng thức vi phân Itơ ta có :

dV = d(xT Hx) = dxT .Hx + xT d(Hx) + (Bx)T H(Bx)dt
= dxT .Hx + xT Hdx + xT B T HBxdt


19

= (xT AT dt + xT B T dW )Hx + xT H(Axdt + BxdW ) + xT B T HBxdt
= xT (AT H + HA + B T HB)xdt + xT (B T H + HB)xdW.
Từ đó suy ra:

EdV = xT (AT H + HA + B T HB)xdt.
(vì EdW=0)
Định lý 1 (Ghiman):
Giả sử X có vi phân ngẫu nhiên Itô

dX(t) = AX(t)dt + BX(t)dW (t)

(1.11)

Nếu tồn tại hàm Liapunốp ngẫu nhiên V(t,X) với V(t,0)=0, V(t,X) xác
định dương, sao cho

dV
<0

dt
(trong đó đạo hàm lấy dọc theo nghiệm của hệ đã cho)
E

Thì khi đó nghiệm X ≡ 0 của hệ (1.11) ổn định tiệm cận với xác suất 1 .
Định lý 2:
Giả sử ma trận A-Hurwitz khi đó nghiệm X ≡ 0 của hệ (1.11) ổn định
tiệm cận với xác suất 1 nếu ma trận AT H + HA + B T HB ( hoặc ma trận

B T HB − G) xác định âm, trong đó H thỏa mãn phương trình Sylvester:
AT H + HA = −G
với G là ma trận xác định dương, đối xứng tùy ý (có thể lấy G=I là ma trận
đơn vị).
Chứng minh. Ta xây dựng hàm Liapunốp V(t, X) là dạng toàn phương:

V (t, X) = X T HX
Ta thấy hàm V(t,X ) là hàm xác định dương và V(t,0)=0. Khi đó theo
cơng thức vi phân ngẫu nhiên Itơ ta có :

dV = d(X T HX) = d(X T ).HX + X T H.dX + X T B T HBXdt


20

= (X T AT dt+X T B T dW )HX+X T H.(AXdt+BX)dW +X T B T HBXdt
= X T (AT H + HA + B T HB)Xdt + X T (B T H + HB)XdW
Lấy kỳ vọng 2 vế

⇒ EdV = X T (AT H + HA + B T HB)Xdt
(vì EdW=0)

dV
= X T (AT H + HA + B T HB)X
dt
Kỳ vọng này âm nếu ma trận AT H + HA + B T HB xác định âm ( hoặc
⇒E

ma trận B T HB − G) xác định âm.
Theo định lý Ghiman ta suy ra nghiệm X ≡ 0 của hệ (1.11) ổn định tiệm
cận với xác suất 1.
Định lý 3:
Giả sử ma trận A Hurwitz. Khi đó điều kiện đủ để nghiệm X ≡ 0 của hệ
(1.11) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là tồn tại ma trận xác định dương H
thõa mãn phương trình Sylvester:

AT H + HA + B T HB = −G
trong đó G là ma trận xác định dương, đối xứng, chọn tùy ý (có thể lấy G=I
là ma trận đơn vị ).
Chứng minh. Giả sử tồn tại ma trận xác định dương H thõa mãn phương
trình Sylvester:

AT H + HA + B T HB = −G
trong đó G là ma trận xác định dương, đối xứng .Khi đó ta lấy hàm Liapunov
là dạng toàn phương: V (t, X) = X T HX

⇒ V xác định dương.
Tương tự như định lý 2 ở trên ta có:

dV
= X T (AT H + HA + B T HB)X = −X T GX < 0

dt
Do vậy theo định lý Ghiman thì nghiệm X ≡ 0 của hệ (1.11) ổn định tiệm
E

cận với xác suất 1.


21

Định lý 4:
Giả sử A là ma trân Hurwitz (Reλj (A) < 0) và ma trận B không suy biến.
Khi đó điều kiện đủ của tính ổn định tiêm cận với xác suất 1 của nghiệm

X ≡ 0 của hệ phương trình ngẫu nhiên Itơ (1.11) là tính xác định âm của
ma trận H-E, trong đó H thõa mãn phương trình Sylvester:

AT H + HA = −B T B
(H là ma trận đối xứng, xác định dương).
Chứng minh. Theo giả thiết B là ma trận không suy biến nên B T B là ma
trận xác định dương.
Vì H thỏa mãn phương trình Sylvester:

AT H + HA = −B T B
nên H là ma trận xác định dương.
Do đó hàm Liapunốp dang toàn phương:

V (t, X) = X T HX

xác định dương

áp dụng mệnh đề 1 ta có :

EdV = X T (AT H + HA + B T HB)Xdt

E

dV
= X T (AT H + HA + B T HB)X
dt
= X T (−B T B + B T HB)X
= X T B T (−E + H)BX
= X T B T (H − E)BX

Vì H − E

xác định âm

nên B T (H − E)B

xác định âm

(*)


22

Từ đó suy ra

X T B T (H − E)BX < 0
hay

E

dV
<0
dt

(**)

.
Từ (*),(**) suy ra nghiệm X ≡ 0 của hệ phương trình ngẫu nhiên Itơ
(1.11) ổn định tiêm cận với xác suất 1 .
Định lý 5 :
Giả sử A là ma trân Hurwitz (Reλj (A) < 0) và ma trận B khơng suy
biến. Khi đó điều kiện cần và đủ để nghiệm X ≡ 0 của hệ phương trình ngẫu
nhiên Itô ổn định tiêm cận với xác suất 1 là vết của H<1, trong đó H thõa
mãn phương trình Sylvester:

AT H + HA = −B T B
(H là ma trận đối xứng, xác định dương).
Bổ đề:
Giả sử H là ma trận xác định dương. Khi đó điều kiện cần và đủ để ma
trận H-E xác định âm là tất cả các giá trị riêng của ma trận H nhỏ hơn 1.
Chứng minh. bổ đề:
Giả sử λ1 , λ2 , ......, λn là tất cả các giá trị riêng của ma trận H và Xj là
các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng λj (j=1,2,.....,n). Khi đó

(H − λj E)Xj = 0;

với mọi j = 1, n

⇒ (H − E + (1 − λj )E)Xj = 0;

với mọi j = 1, n

⇒ (H − E)Xj = (λj − 1)EXj ;

với mọi j = 1, n


23

⇒ X T (H − E) = X T diag(λ1 − 1, ......, λn − 1)X
Do λj − 1, với mọi j = 1, n nên H-E xác định âm.
- Tiếp theo chứng minh : vết H<1 là điều kiện đủ để tất cả các giá trị
riêng λj của ma trận H nhỏ hơn 1. Thật vậy

h11 − λ
h12
h21
h22 − λ
f (λ) = |H − λE| =
.
.
h1n
hn2

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
h1n
.
h2n
.
.
. hnn − λ

= (−λ)n + C1 (−λ)n−1 + ........ + Ck (−λ)n−k + ....... + Cn
Trong đó Ck là tổng các định thức con của ma trận H − λE mà chứa k
phân tử trên đường chéo chính, đó là những định thức con cấp k của ma trận
H.
Do λj (với mọi j = 1, n ) là các giá trị riêng của ma trận H, nên chúng

là tất cả các nghiệm của phương trình |H − λE| = 0 hay f (λ) = 0

• Do đó theo định lý Viet có
n

−(−1)n−1
.C1 = C1
λj =
n
(−1)
j=1
n

Mà C1 =

hii nên suy ra
i=1
n

n

λj =
j=1

hay

hii
i=1

n

λj = traceH
j=1

Theo giả thiết vết H <1
n

⇒

λj < 1
j=1

(*)


24

Hơn nữa tất cả các giá trị riêng λj của ma trận H đều dương. Thật vậy,từ
giả thiết suy ra H là ma trận xác định dương.
Giả sử Xj là các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng λj . Khi đó ta có :

(H − λj E)Xj = 0

⇒ HXj = λj Xj

(với mọi j = 1, n)

(với mọi j = 1, n)

⇒ X T HX = X T diag(λ1 , ......, λn )X

Do H xác định dương nên λj ≥ 0 (với mọi j = 1, n )
Từ (*),(**) suy ra λj < 1 (với mọi j = 1, n )
Từ đó theo bổ đề trên thì H-E xác định âm.
Vậy nghiệm X ≡ 0 của hệ phương trình ngẫu nhiên Itơ ổn định tiêm cận
với xác suất 1.

(**)


25

CHƯƠNG 2

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN CỦA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trước hết ta cần nhắc lại một số kết quả cơ bản của tính ổn định của hệ
vi phân tất định và ngẫu nhiên.

2.1

Tính ổn định của phương trình vi phân tất định

Xét phương trình vi phân thường d-chiều

x(t)
˙
= f x(t), t ;

t ≥ t0 ,

x(t0 ) = x0 ∈ Rd

(2.1)

Giả thiết f (0, t) = 0 với mọi t ≥ t0 .
Giả sử tồn tại nghiệm duy nhất x(t; t0 , x0 )
Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm x(t) ≡ 0 tương ứng với giá trị ban
đầu x(t0 ) = 0 .
Gọi K là họ tất cả các hàm liên tục khơng giảm.

µ : R+ → R+

sao cho

µ(0) = 0 và

µ(r) > 0

nếu

r > 0.

Gọi Sh = {x ∈ Rd : |x| < h} (với h>0) và C 1,1 (Sh × [t0 , ∞); R+ ) là họ tất
cả các hàm liên tục V (x, t) : Sh × [t0 , ∞) → R+ có các đạo hàm riêng bậc
nhất liên tục theo x và theo t.
Gọi x(t) là nghiệm của (2.1) và V (x, t) ∈ C 1,1 (Sh × [t0 , ∞); R+ ). Khi đó

v(t) = V (x(t), t) là một hàm của t và có đạo hàm
v(t)

˙ = Vt x(t), t + Vx x(t), t .f x(t), t
Định lý 1 ( Liapunov)