Kỳ vọng có điều kiện của phần tử ngẫu nhiên đa trị

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

1

Kiến thức cơ sở

4

1.1. Ánh xạ đo được và biến ngẫu nhiên

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Kỳ vọng và kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên
1.3. Phần tử ngẫu nhiên đa trị
2

. . . . . . . . . 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Kỳ vọng có điều kiện của phần tử ngẫu nhiên đa trị 11

2.1. Lát cắt đo được

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Kỳ vọng có điều kiện của phần tử ngẫu nhiên đa trị

. . . . . . . . . . 21

2.4. Tính chất của kỳ vọng có điều kiện của phần tử ngẫu nhiên đa trị . . . 23

Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

32


2

LỜI NÓI ĐẦU

Như chúng ta đã biết lý thuyết xác suất là một bộ môn nghiên cứu mà từ
lâu đã được nhiều nhà khoa học quan tâm. Xuất phát từ các trò chơi may rủi lý
thuyết xác suất đã được hình thành và phát triển một cách nhanh chóng và trở
thành một chuyên nghành độc lập, một lĩnh vực toán học mới.
Ngày nay lý thuyết xác suất có tầm quan trọng về cả lý thuyết và ứng dụng.

Trong mấy thập niên gần đây, lý thuyết xác suất đa trị đã xuất hiện và phát triển
mạnh mẽ và đã có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như : tối ưu hóa
và điều khiển, hình học ngẫu nhiên, tốn kinh tế,...Xác suất đa trị đã thu hút sự
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà tốn học. Chúng ta có thể kể đến một số nhà
toán học nổi tiếng như: Charles Castaing, Fumio Hiai, Gerald Beer...
Những kết quả thu được về xác suất đa trị là sự mở rộng các kết quả về xác
suất đơn trị. Khi nghiên cứu về lý thuyết xác suất đơn trị thì các đặc trưng như
kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên đóng một vai trị hết sức quan
trọng. Do đó, nghiên cứu kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên đa trị và tìm
ra các tính chất của nó có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết xác suất. Từ những
lý do đó chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là:
Kỳ vọng có điều kiện của phần tử ngẫu nhiên đa trị.
Luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Trong chương này, chúng tơi trình bày các kiến
thức về biến ngẫu nhiên, kỳ vọng và kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên,
phần tử ngẫu nhiên đa trị và các kiến thức cần dùng cho các nội dung chính ở
Chương 2.


3

Chương 2. Kỳ vọng có điều kiện của phần tử ngẫu nhiên đa trị. Trong
chương này, chúng tôi hệ thống hóa và trình bày một cách chi tiết về kỳ vọng và
kỳ vọng có điều kiện của phần tử ngẫu nhiên đa trị.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn khoa
học của Thầy giáo, PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc nhất tới Thầy. Tác giả cũng xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành tới các
Thầy, Cơ giáo trong tổ Xác suất thống kê và toán ứng dụng Khoa Tốn - Trường
Đại học Vinh đã tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến quý Thầy, Cô giáo khoa Sau
đại học - Trường Đại học Vinh, các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi, động viên và giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học
và thực hiện được luận văn này.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về mặt năng lực,
kiến thức và thời gian nên luận văn không thể tránh khỏi các thiếu sót. Rất mong
nhận được các ý kiến đóng góp quý báu để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này chúng tôi đưa ra các kiến thức cơ bản về biến ngẫu nhiên, kỳ vọng
và kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên, một số kiến thức về phần tử ngẫu
nhiên đa trị sử dụng trong chương 2.

1.1

Ánh xạ đo được và biến ngẫu nhiên

1.1.1 Định nghĩa. Giả sử (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) là hai không gian đo.
Ánh xạ X : Ω1 → Ω2 được gọi là ánh xạ F1 /F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2
thì X −1 (B) ∈ F1 .

Ánh xạ f : Rn → R được gọi là hàm đo được nếu f − (B) ∈ B(Rn ) với mọi

B ∈ B(R). (Trong đó : B(Rn ) là σ− đại số bé nhất chứa các tập mở trên Rn ) .
1.1.2 Ví dụ. Giả sử Ω1 = ∅, F1 = P(Ω1 ); Ω2 = ∅, F2 là σ− đại số con bất kì
của Ω2 . Khi đó mọi ánh xạ

X : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 )
là ánh xạ F1 /F2 đo được.
1.1.3 Định nghĩa. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ− đại số con
của σ− đại số F.
Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên G− đo được nếu nó là
ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì X −1 (B) ∈ G ).


5

Khi X là biến ngẫu nhiên F− đo được, thì X được gọi một cách đơn giản là
biến ngẫu nhiên.
Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên G− đo được là biến ngẫu nhiên. Mặt khác, dễ thấy
rằng X là biến ngẫu nhiên thì họ σ(X) = (X −1 (B) : B ∈ B(R)) lập thành σ−
đại số sinh bởi X . Đó là σ− đại số bé nhất mà X đo được. Từ đó suy ra rằng X
là biến ngẫu nhiên G− đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G.
1.1.4 Định lý. X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau
thỏa mãn :
(i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F, ∀ a ∈ R.
(ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F, ∀ a ∈ R.
(iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F, ∀ a ∈ R.
(iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F, ∀ a ∈ R.

1.2

Kỳ vọng và kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên. Khi
đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọng của

X và ký hiệu là EX . Vậy
EX =

XdP.
Ω

Nếu tồn tại E|X|p < ∞ (p > 0), thì ta nói X khả tích bậc p. Đặc biệt nếu

E|X| < ∞, thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.
Ta có các tính chất sau đây của kỳ vọng :
1.2.2 Định lý. Kỳ vọng có các tính chất sau :
(1) Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.
(2) Nếu X = c thì EX = c.
(3) Nếu tồn tại EX thì với mọi c ∈ R, ta có E(cX) = cEX .
(4) Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY .


6

1.2.3 Định nghĩa. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R là biến
ngẫu nhiên và G là σ− đại số con của F . Khi đó biến ngẫu nhiên Y gọi là kỳ vọng
có điều kiện của X đối với σ− đại số G nếu
i) Y là biến ngẫu nhiên G− đo được.
ii) Với mỗi A ∈ G , ta có

Y dP =
A

XdP.
A

Ta ký hiệu Y = E(X|G).
Sau đây là các tính chất của kỳ vọng có điều kiện :
1.2.4 Định lý. Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên có các tính chất sau :
1. Nếu E|X| < ∞ thì tồn tại duy nhất Y = E(X|G).
2. Nếu X = c (hằng số) thì

E(X|G) = E(c|G) = c (h.c.c).
3. Nếu X ≥ Y (h.c.c) thì

E(X|G) ≥ E(Y |G) (h.c.c).
4. Với mọi hằng số a, b, ta có

E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) (h.c.c).
5. Nếu X và G độc lập thì E(X|G) = EX.
6. E[E(X|G)] = EX (h.c.c).
7. Nếu X là biến ngẫu nhiên G− đo được thì E(X|G) = X.
8. Nếu G1 ⊂ G2 thì

E(X|G1 ) = E[E(X|G1 )|G2 ] = E[E(X|G2 )|G1 ] (h.c.c).
9. Nếu E|XY | < ∞, E|X| < ∞, X ∈ G thì

E(XY |G) = XE(Y |G) (h.c.c).

7

1.3

Phần tử ngẫu nhiên đa trị
Trong mục này ta luôn giả thiết (Ω, A, µ) là khơng gian đo hữu hạn và F là

σ - đại số con của A
1.3.1 Định nghĩa. Giả sử (Ω, A) là không gian đo được, X là không gian mêtric.
Ánh xạ F : Ω → 2X từ không gian Ω vào không gian của họ tất cả các tập con
của X gọi là ánh xạ đa trị.
Khi đó các tập :

D(F ) = {ω ∈ Ω : F (ω) = ∅} và G(F ) = {(ω, x) ∈ Ω × X : x ∈ F (ω)},
gọi là miền xác định và đồ thị của F , và tập :

F −1 (X) = {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ X = ∅, X ⊂ X},
là nghịch ảnh của X .
*) Ta ký hiệu K(X) = {X ⊂ X, X đóng, X = ∅}.
1.3.2 Định nghĩa. Một ánh xạ đa trị F : Ω → K(X) được gọi là đo được mạnh
nếu với mỗi tập con đóng C của X, thì F −1 (C) ∈ A.
Một ánh xạ đa trị F : Ω → K(X) được gọi là đo được (hay đo được yếu) nếu
với mỗi tập con mở O của X, thì F −1 (O) ∈ A.
Một ánh xạ đa trị đo được còn được gọi là phần tử ngẫu nhiên đa trị.
*) Ký hiệu M[Ω; X] là họ tất cả các hàm đa trị đo được F : Ω → X sao cho

F (ω) là tập đóng khác rỗng với mọi ω ∈ Ω.
*) Với 1 ≤ p ≤ ∞ ký hiệu Lp (Ω, A, µ; X) = Lp (Ω; X) là khơng gian Banach
của các hàm đo được khả tích bậc p, f : Ω → X với chuẩn

1/p
p

||f ||p =

||f (ω)|| dµ

, 1 ≤ p < ∞,

Ω

||f ||∞ = ess sup ||f (ω)||.
ω∈Ω

*) Ký hiệu Lp (Ω, A, µ) = Lp là không gian Banach các hàm đo được nhận
giá trị thực.


8

1.3.3 Ví dụ. Cho Ω = [−1, 2] ⊂ R, X = R.

−1





F (x) = 1






[−1, 1]

Và ánh xạ F : Ω → K(R). Với
nếu x < 0
nếu x > 0
nếu x = 0.

Khi đó F là phần tử ngẫu nhiên đa trị.
1.3.4 Định lý. Ánh xạ đa trị đo được mạnh là phần tử ngẫu nhiên đa trị
Chứng minh. Giả sử F : Ω → K(X) là ánh xạ đa trị đo được mạnh, và O là
tập mở trong X. Ta đặt

x ∈ X : d(x, Oc ) ≥

Cn =

1
n

.

Với Oc = X\O. Do đó Oc là tập đóng và Oc = ∅ nên Oc ∈ K(X). Và d(x, Oc ) liên
tục đối với x. Từ cách đặt trên ta có Cn = f −1
∞

1

n , +∞

tập này đóng và do đó

Cn . Thật vậy, ta lấy x ∈ O do đó

Cn là tập đóng. Bây giờ ta chứng minh O =
n=1
c

c

c

x∈
/ O nên d(x, O ) > 0 Từ đó tồn tại n0 sao cho : d(x, O ) ≥
∞

∞

Do đó O ⊂

Cn nên O =
n=1

Cn . Ta có
n=1

F −1 (O) = {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ O = ∅}
∞

=

ω ∈ Ω : F (ω)

Cn

=∅

n=1
∞

=

ω∈Ω:

(F (ω) ∩ Cn ) = ∅ .
n=1

∞

F −1 (Cn ) ∈ A.

=
n=1

Khi O = X, ta có F −1 (O) = Ω ∈ A.

1
n0 ,

∞

nên x ∈

Cn .
n=1


9

1.3.5 Định lý. Giả sử (Ω, A) là không gian đo được và X là không gian Banach
khả ly. Ánh xạ F : Ω → K(X) là phần tử ngẫu nhiên đa trị. Khi đó F có một lát
cắt đo được f : Ω → X.
1.3.6 Định lý. Giả sử (Ω, A) là không gian đo được , X là không gian mêtric khả
ly và F : Ω → K(X) là ánh xạ đa trị. Ta xét các điều kiện sau:
(1) Với mỗi tập Borel B ⊂ X sao cho: F −1 (B) ∈ A.
(2) Với mỗi tập đóng C ⊂ X sao cho: F −1 (C) ∈ A.
(3) Với mỗi tập mở O ⊂ X sao cho: F −1 (O) ∈ A.
(4) Ánh xạ từ ω → d(x, F (ω)) là hàm đo được của ω ∈ D(F ) với mỗi x ∈ X.
(5) G(F ) là A × BX − đo được, trong đó BX là trường Borel của X.
Khi đó ta có các kết luận sau:
(i) (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇔ (4) ⇒ (5).
(ii) Nếu X là không gian đầy đủ và A đầy đủ tương ứng với độ đo σ− hữu hạn
thì các điều kiện từ (1)-(5) là tương đương.
Chứng minh.
(1) (1) ⇒ (2) là hiển nhiên.

(2) ⇒ (3) do Định lý 1.3.5
Bây giờ ta chứng minh (3) ⇔ (4). Thật vậy, ta có F là ánh xạ đo được khi và

chỉ khi F −1 (B(x, α)) ∈ A với mỗi hình cầu mở B(x, α) trong X. Mặt khác, ánh
xạ ω → d(x, F (ω)) là hàm đo được với x ∈ X khi và chỉ khi {ω : d(x, F (ω)) < α}
là đo được với 0 < α < +∞. Mà ta lại có

F −1 (B(x, α)) = {ω : F (ω) ∩ B(x, α) = ∅}
= {ω : d(x, F (ω)) < α}.
Do đó (3) ⇔ (4)
Tiếp theo ta chứng minh (4) ⇒ (5). Giả sử {xn } là một dãy trù mật trong X
và α ≥ 1 cố định. Ta xác định dα (ω, x) = d(xn , F (ω)),
trong đó (ω, x) ∈ Ω × [B(xn , 1/α)\

B(xm , 1/α)].
m
Từ


10

{(ω, x) : dα (x, ω) < b}
∞

B(xm , 1/α) ∈ A × B(X),

ω : d(xn , F (ω)) < b × B(xn , 1/α)\

=

m

n=1

dα là A × B(X)− đo được. Do đó d(x, F (ω)) = lim dα (ω, x) là A × B(X)− đo
α→∞

được. Vì vậy

G(F ) = {(ω, x) : d(x, F (ω)) = 0} ∈ A × B(X).
Bây giờ ta chứng minh (2). Để chứng minh điều này ta chỉ cần chứng minh

(5) ⇒ (1) là đủ. Thật vậy, từ giả thiết (5), ta có G(F ) là A × B(X)− đo được.
Giả sử B là tập Borel bất kỳ trong X, khi đó ta có

F −1 (B) = {ω : F (ω) ∩ B = ∅}
= {ω : (x, ω) ∈ G(F ) ∩ (Ω × B)}
= P rΩ (G(F ) ∩ (Ω × B)).
(trong đó P rΩ (M ) là hình chiếu lên Ω của tập đo được M ).

P rΩ (G(F ) ∩ (Ω × B))− đo được, vì G(F ) là A × B(X)− đo được và Ω × B
cũng là A × B(X)− đo được.
Do đó định lý được chứng minh.


11

CHƯƠNG 2

KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA PHẦN TỬ NGẪU
NHIÊN ĐA TRỊ

Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa và một số tính chất của
lát cắt đo được, tiếp theo là các định nghĩa về kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện của
phần tử ngẫu nhiên đa trị và một số tính chất của nó.

2.1

Lát cắt đo được

2.1.1 Định nghĩa. Giả sử f : Ω → X là ánh xạ đo được và

F : Ω → K(X) là ánh xạ đa trị. Khi đó f được gọi là lát cắt đo được của F
nếu f (ω) ∈ F (ω) với mọi ω ∈ Ω.
*) Với 1 ≤ p < ∞, ta xác định tập :

SFp = {f ∈ Lp (Ω; X) : f (ω) ∈ F (ω) h.c.c}.
Rõ ràng SFp là tập con đóng của Lp (Ω; X).
2.1.2 Bổ đề. Giả sử F ∈ M[Ω; X] và 1 ≤ p ≤ ∞ . Khi đó nếu SFp = ∅ thì tồn
tại dãy fn sao cho

F (ω) = cl{fn (ω)}.
Chứng minh. Giả sử F ∈ M[Ω; X] khi đó tồn tại một dãy các hàm đo được {gj }
sao cho F (ω) = cl{gj (ω)} với mọi ω ∈ Ω. Ta lấy một phân hoạch đo được hữu
hạn {Ak } của Ω với µ(Ak ) < ∞ và một hàm f ∈ Lp (Ω; X) sao cho f (ω) ∈ F (ω)
với mọi ω ∈ Ω, ta xác định

Bjmk = {ω ∈ Ω : m − 1 ≤ ||gj (ω)|| < m} ∩ Ak ,


12

fjmk = 1Bjmk gj + 1Ω\Bjmk f,

j, m, k ≥ 1.

Từ đó dễ thấy {fjmk } ⊂ SFp và F (ω) = cl{fjmk }, với mọi ω ∈ Ω.
2.1.3 Hệ quả. Giả sử F1 , F2 ∈ M[Ω; X] và 1 ≤ p < ∞. Khi đó,
nếu SFp 1 = SFp 2 = ∅ thì F1 (ω) = F2 (ω) h.c.c.
2.1.4 Bổ đề. Giả sử F ∈ M[Ω; X] và 1 ≤ p < ∞. Giả sử dãy {fi } ⊂ SFp sao cho

F (ω) = cl{fi (ω)}, với mọi ω ∈ Ω. Khi đó với mỗi f ∈ SFp và

> 0 tồn tại phân

hoạch đo được hữu hạn {A1 , A2 , ..., An } của Ω sao cho
n

f−

< .

1Ai fi
i=1

p

Chứng minh. Ta có thể giả thiết rằng f (ω) ∈ F (ω), với mọi ω ∈ Ω. Lấy một
hàm số dương ρ ∈ L1 thõa mãn

Ω ρdµ

<

p

/3. Khi đó tồn tại một phân hoạch

đo được đếm được {Bi } của Ω sao cho

||f (ω) − fi (ω)||p < ρ(ω),

ω ∈ Bi , i ≥ 1.

Lấy số nguyên n sao cho
∞

||f (ω)||p dµ < ( /2)p /3.
i=n+1

Và

Bi

∞

||f1 (ω)||p dµ < ( /2)p /3.
i=n+1

Bi

Ta xác định một phân hoạch đo được hữu hạn như sau

∞

Bi , trong đó Aj = Bj , 2 ≤ j ≤ n.

A1 = B1 ∪
i=n+1

Khi đó ta có
p

n

f−

1 Ai f i
i=1

∞

n
p

i=1

p

||f (ω) − f1 (ω)||p dµ

||f (ω) − fi (ω)|| dµ +

=
Bi

i=n+1

Bi

∞

≤

2p

ρdµ +
Ω

i=n+1

(||f (ω)||p + ||f1 (ω)||p )dµ <
Bi

p

.


13

Từ đó suy ra
n

f−

< .

1Ai fi
i=1

p

2.1.5 Định lý. Giả sử F1 , F2 ∈ M[Ω; X] và F (ω) = cl(F1 (ω)+F2 (ω)) với ω ∈ Ω.
Khi đó F ∈ M[Ω; X] và hơn nữa nếu SFp 1 , SFp 2 = ∅ với 1 ≤ p < ∞ thì

SFp = cl(SFp 1 + SFp 2 ).
Chứng minh. Trước tiên ta có F ∈ M[Ω; X]. Giả sử SF1 1 = ∅
và SFp 2 = ∅ với 1 ≤ p < ∞. Khi đó tồn tại 2 dãy {f1i } ⊂ SFp 1 và {f2i } ⊂ SFp 2 sao
cho F1 (ω) = cl{f1i (ω)} và F2 (ω) = cl{f2i (ω)}, với mọi ω ∈ Ω. Với mỗi f ∈ SFp
và

> 0, ta có thể chọn được một phân hoạch đo được hữu hạn {A1 , A2 , ..., An }

của Ω và các số nguyên i1 , i2 , ..., in ; j1 , j2 , ..., jn sao cho
n

f−

1Ak (f1ik + f2jk )
k=1

< .

p

Từ đó suy ra SFp ⊂ cl(SFp 1 + SFp 2 ). Điều ngược lại là hiển nhiên.
Do đó định lý được chứng minh.
2.1.6 Định lý. Giả sử F ∈ M[Ω; X] và (coF )(ω) = coF (ω).
Khi đó coF ∈ M[Ω; X] và hơn nữa nếu SFp = ∅ với 1 ≤ p < ∞ thì
p
ScoF
= coSFp .
p
Chứng minh. Giả sử SFp = ∅ với 1 ≤ p < ∞. Đặt G = coF . Do SG
là tập đóng
p
p
và lồi trong Lp (Ω; X) nên SFp ⊂ SG
, do đó coSFp ⊂ SG
.

Bây giờ ta chứng minh điều ngược lại, chọn một dãy {fi } ⊂ SFp
sao cho F (ω) = cl{fi (ω)}, với mọi ω ∈ Ω và ta xác định tập sau
m

m

αi fi , αi ≥ 0, αi hữu tỉ,

U = g:g=
i=1

αi = 1, m ≥ 1 .

i=1


14

p
Khi đó U là tập con đếm được của SG
và G(ω) = cl{g(ω) : g ∈ U }, với mọi

ω ∈ Ω. Với mỗi f ∈ SGp và

> 0, ta có thể chọn được một phân hoạch đo được

hữu hạn {A1 , A2 , ..., An } của Ω và các hàm g1 , g2 , ..., gn ∈ U sao cho
n

f−

< .

1 Ak g k
k=1

p
m

Khi đó tồn tại số nguyên m sao cho, với 1 ≤ k ≤ n, gk =
i=1

m

αki ≥ 0 và

αki fi , trong đó

αki = 1. Do đó ta có
i=1
n

n

1Ak gk =
k=1

m

1 Ak (

αki fi )
i=1

k=1

n

=

(α1i1 ...αnin )(

1Ak fik ),

k=1

(i1 ,...,in )

trong đó bộ (i1 , ..., in ) lấy với 1 ≤ ik ≤ m (1 ≤ k ≤ n).
n

Từ đó suy ra

f∈

2.2

coSFp .

k=1

1Ak gk là tổ hợp lồi của các hàm số trong SFp . Do đó ta có

Đó là điều phải chứng minh.

Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị
Ký hiệu R là tập số thực mở rộng, tức là R = [−∞, +∞].

2.2.1 Định nghĩa. Giả sử φ : Ω × X → R là hàm A ⊗ BX − đo được. Khi đó
phiếm hàm tích phân Iφ với hàm lấy tích phân φ được xác định như sau : cho hàm
đo được f : Ω → X thì

Iφ (f ) =

φ(ω, f (ω))dµ,
Ω

nếu tích phân tồn tại.
2.2.2 Bổ đề. Giả sử F ∈ M[Ω; X] và φ : Ω × X → R là A ⊗ BX − đo được. Giả
thiết một trong hai điều kiện sau được thõa mãn
(i) φ(ω, x) là hàm nửa liên tục trên đối với x với mỗi ω ∈ Ω.


15

(ii) Khơng gian (Ω, A, µ) là đầy đủ và φ(ω, x) là hàm nửa liên tục dưới đối với
x với mỗi ω ∈ Ω.
Khi đó hàm ω → inf{φ(ω, x) : x ∈ F (ω)} là đo được.
Chứng minh. Đặt ξ(ω) = inf{φ(ω, x) : x ∈ F (ω)}. Trước tiên ta xét giả thiết
(i) được thõa mãn, khi đó tồn tại dãy các hàm đo được {fn } sao cho

F (ω) = cl{fn (ω)}, với ω ∈ Ω. Khi đó ta có
ξ(ω) = inf φ(ω, fn (ω)), ω ∈ Ω.
n

Do đó ξ đo được.
Tiếp theo nếu giả thiết (ii) được thõa mãn, và ta xác định hàm

H : Ω → 2X×R bởi cơng thức :
H(ω) = {(x, α) ∈ X × R : x ∈ F (ω), φ(ω, x) ≤ α}, ω ∈ Ω
Khi đó H(ω) đóng trong X × R với ω ∈ Ω, cịn tập

G(H) = [G(F ) × R] ∩ {(ω, x, α) : φ(ω, x) − α ≤ 0}
đóng trong A ⊗ BX×R . Do D(H) ∈ A, nên tồn tại dãy các hàm đo được {(gn , ξn )},

gn : Ω → X và ξn : Ω → R, sao cho
H(ω) = cl{(gn (ω), ξn (ω))},

ω ∈ D(H).

Do đó ta có

ξ(ω) =

inf ξ( ω) nếu ω ∈ D(H)
n

∞

nếu ω ∈ Ω\D(H).

Điều đó chỉ ra rằng ξ đo được.
2.2.3 Bổ đề. Giả sử F ∈ M[Ω; X] và hàm φ : Ω × X → R là A ⊗ BX − đo được.
Nếu giả thiết (i) hoặc (ii) trong Bổ đề 2.2.2 được thoã mãn và hàm

Iφ (f ) =

Ω φ(ω, f (ω))dµ

xác định với mọi f ∈ SFp và Iφ (f0 ) < ∞ với f0 ∈ SFp ,

1 ≤ p ≤ ∞ thì:
inf Iφ (f ) =

f ∈SFp

inf φ(ω, x)dµ.
Ω x∈F (ω)


16

Chứng minh. Đặt ξ(ω) = inf{φ(ω, x) : x ∈ F (ω). Theo Bổ đề 2.2.2, ξ là hàm
đo được và ξ(ω) ≤ φ(ω, f (ω)) h.c.c, với f ∈ SFp . Lấy f = f0 , từ đó tích phân của

ξ là tồn tại và
ξdµ ≤
Ω

inf

f ∈SFp Iφ (f )

.

Giả thiết rằng Iφ ξ(f0 ) hữu hạn, do đó hàm ω → φ(ω, f0 (ω)) khả tích. Lấy β >
Ω ξdµ

cho trước. Ta sẽ chỉ ra rằng Iφ (f ) < β , với f ∈ SFp . Lấy một dãy {An } ⊂ A,

với µ(An ) < ∞ và An ↑ Ω, và lấy một hàm dương ρ ∈ L1 . Với n ≥ 1, ta xác định
tập

Bn = An ∩ {ω ∈ Ω : φ(ω, f (ω)) ≥ −n},

và hàm


nếu ω ∈ Bn và ξ(ω) ≥ −n
ξ( ω) + ρ(ω)/n
ξn (ω) = −n + ρ(ω)/n
nếu ω ∈ Bn và ξ(ω) < −n

φ(ω, f (ω)) + ρ(ω)/n nếu ω ∈ Ω\Bn .
Từ đó dễ thấy {ξn } ⊂ L1 và ξn (ω) ↓ ξ(ω) h.c.c, do đó

Ω ξn0 dµ

< β ,với giá trị n0

nào đó. Đặt ζ = ξn0 , khi đó ta có

ζdµ < β và ξ(ω) < ζ(ω) h.c.c.
Ω

Bây giờ ta phải chỉ ra rằng tồn tại một hàm đo được g : Ω → X thỏa mãn

g(ω) ∈ F (ω) và φ(ω, g(ω)) ≤ ζ(ω) h.c.c.

(2.2.3)

Xét trường hợp giả thiết (i) được thỏa mãn, lấy dãy các hàm đo được {gi } sao
cho F (ω) = cl{gi (ω)}, với mọi ω ∈ Ω. Từ

inf φ(ω, gi (ω)) = ξ(ω) < ζ(ω) h.c.c.

i

Suy ra tồn tại hàm đo được g thỏa mãn (2.2.3).
Xét trường hợp giả thiết (2) được thỏa mãn, ta xác định

F1 (ω) = F (ω) ∩ {x ∈ X : φ(ω, x) ≤ ζ(ω)},

ω ∈ Ω.


17

Do F1 (ω) là tập đóng với mỗi ω ∈ Ω và G(F1 ) ∈ A ⊗ BX . Từ Định lý 1.3.6, suy
ra F1 có một lát cắt đo được trong D(F1 ) ∈ A. Do đó hàm g cần có thu được từ

µ(Ω \ D(F1 )) = 0.
Với hàm g thỏa mãn (2.2.3), ta xác định

Cn = An ∩ {ω ∈ Ω : ||g(ω)|| ≤ n},
và

fn = 1Cn g + 1Ω\Cn f0 ,

n ≥ 1.

Từ đó chỉ ra {fn } ⊂ SFp và

Iφ (fn ) =

φ(ω, g(ω))dµ +

Cn

≤
Ω ζdµ

(φ(ω, f0 (ω)) − ζ(ω))dµ.

ζdµ +
Ω

Từ

φ(ω, f0 (ω))dµ
Ω\Cn

Ω\Cn

< β và Cn ↑ Ω, ta có Iφ (fn ) < β .

Do đó Bổ đề được chứng minh.
Cho 2 tập con đóng khác rỗng X, Y của X, khi đó số δ(X, Y ) ≥ 0 được xác
định bởi

δ(X, Y ) = max{sup d(x, Y ), sup d(y, X)},
x∈X

y∈Y

và trong trường hợp riêng, số |X| được xác định bởi

|X| = δ(X, {0}) = sup ||x||.
x∈X

*) Chú ý rằng nếu X, Y bị chặn thì δ(X, Y ) là khoảng cách Hausdorff của X
và Y . Giả sử F1 , F2 ∈ M[Ω; X], ta lấy 2 dãy hàm đo được {f1i } và {f2j } sao cho

F1 (ω) = cl{f1i (ω)} và F2 (ω) = cl{f2j (ω)} với mọi ω ∈ Ω, khi đó ta có
δ(F1 (ω), F2 (ω)) = max{sup inf ||f1i (ω)−f2j (ω)||, sup inf ||f1i (ω)−f2j (ω)||}, ω ∈ Ω.
i

j

Do đó hàm ω → δ(F1 (ω), F2 (ω)) là đo được.

j

i


18

2.2.4 Định nghĩa. Hàm đa trị F : Ω → 2X được gọi là khả tích bị chặn nếu tồn
tại một hàm ρ ∈ L1 sao cho ||x|| ≤ ρ(x) với mỗi x và ω mà x ∈ F (ω).
2.2.5 Định lý. Giả sử F ∈ M[Ω; X]. Khi đó F là khả tích bị chặn khi và chỉ khi

SF1 = ∅ và bị chặn trong L1 (Ω; X).
*) Với F ∈ M[Ω; X], rõ ràng F là hàm khả tích bị chặn nếu và chỉ nếu hàm

ω → |F (ω)| khả tích. Nếu SF1 = ∅ thì ta có
sup ||f ||1 =

f ∈SF1

|F (ω)|dµ.
Ω

*) Ký hiệu L1 [Ω, A, µ; X] = L1 [Ω; X] là không gian của tất cả các hàm khả
tích bị chặn trong M[Ω; X].
Với F1 , F2 ∈ L1 [Ω; X], khi đó hàm ω → δ(F1 (ω), F2 (ω)) khả tích, và ta định
nghĩa

∆(F1 , F2 ) =

δ(F1 (ω), F2 (ω))dµ.
Ω

*) Ký hiệu K(X) là họ tất cả các tập con khác rỗng , đóng và bị chặn của X.
Ngồi ra ta cịn ký hiệu Kc (X) là họ tất cả các tập lồi X ∈ K(X), và Kcc (X) là
họ tất cả các tập compact lồi X ∈ K(X). Ta định nghĩa các không gian con của

L1 [Ω, X] như sau
L1c [Ω, A, µ; X] = L1c [Ω; X]
= {F ∈ L1 [Ω; X] : F (ω) ∈ Kc (X) h.c.c},
L1cc [Ω, A, µ; X] = L1cc [Ω; X]
= {F ∈ L1 [Ω; X] : F (ω) ∈ Kcc (X) h.c.c}.
2.2.6 Chú ý. Ta định nghĩa 3 phép toán trong M[Ω; X] như sau
(i) Phép cộng : Với F1 , F2 ∈ M[Ω; X], thì

(F1

F2 )(ω) = cl(F1 (ω) + F2 (ω)), ω ∈ Ω.

19

(ii) Phép nhân với hàm đo được : Với F ∈ M[Ω; X] và hàm ξ đo được nhận
giá trị thực, thì

(ξF (ω)) = ξ(ω)F (ω), ω ∈ Ω.
(iii) Bao lồi đóng : Với F ∈ M[Ω; X], thì

(coF )(ω) = coF (ω), ω ∈ Ω.
2.2.7 Định nghĩa. Giả sử F ∈ M[Ω; X]. Khi đó kỳ vọng của F trên (Ω, A, µ)
Ω F dµ

ký kiệu là

và được xác định như sau

f dµ : f ∈ SF1

F dµ =
Ω

trong đó

Ω f dµ

,

Ω

là tích phân Bochner.

Với A ∈ A thì

A F dµ

là tích phân thu hẹp F |A của F trên A.

2.2.8 Định nghĩa. Kỳ vọng của F trên (Ω, F, µ) ký hiệu là

(F)
Ω F dµ

và được

xác định như sau
(F)

f dµ : f ∈ SF1 (F) .

F dµ =
Ω

Ω

Sau đây là các tính chất của kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị :
Ω F dµ

2.2.9 Định lý. Kỳ vọng

(1) δ(cl

Ω F1 dµ, cl Ω F2 dµ)

(2) cl

Ω (F1

F2 )dµ = cl(

(3) cl

Ω coF dµ

= co

của F ∈ L1 [Ω; X] có các tính chất sau

≤ ∆(F1 , F2 ), với F1 , F2 ∈ L1 [Ω; X].

Ω F1 dµ

Ω F dµ,

+

Ω F2 dµ),
1

với F1 , F2 ∈ L1 [Ω; X].

với F ∈ L [Ω; X].

Chứng minh. Giả sử F1 , F2 ∈ L1 [Ω; X]. Cho f1 ∈ SF1 1 . Khi đó ta có

f1 dµ −

inf

f2 ∈SF1

2

Ω

Ω

f2 dµ ≤ inf1

f2 ∈SF

||f1 (ω) − f2 (ω)||dµ
2

Ω

inf1 ||f1 (ω) − f2 (ω)||dµ

=

Ω f2 ∈SF2

=

d(f1 (ω), F2 (ω))dµ
Ω

≤

δ(F1 (ω), F2 (ω))dµ = ∆(F1 , F2 ).
Ω


20

Từ đó ta có

d x, cl

≤ ∆(F1 , F2 ), x ∈ cl

F2 dµ
Ω

F1 dµ.
Ω

Hồn tồn tương tự

f2 dµ ≤ ∆(F1 , F2 ).

f1 dµ −

inf

f1 ∈SF1

Ω

1

Ω

Từ đó suy ra

d y, cl

≤ ∆(F1 , F2 ), y ∈ cl

F1 dµ
Ω

F2 dµ.
Ω

Do đó (1) được chứng minh.
Chứng minh (2)
(+)Trước hết ta chứng minh

(F1 + F2 )dµ ⊂

Ω

Lấy x ∈

F1 dµ +
Ω

F2 dµ.
Ω

1
+ F2 )dµ, suy ra tồn tại f ∈ S(F
sao cho x =
1 +F2 )

Ω (F1

Ω f dµ.

Do

1
f ∈ S(F
nên tồn tại f1 ∈ SF1 1 , f2 ∈ SF1 2 sao cho f = f1 + f2 .
1 +F2 )

Suy ra

x=

(f1 + f2 )dµ =

f1 dµ +

Ω

Do đó x ∈

Ω F1 dµ

+

Ω

f2 dµ.
Ω

Ω F2 dµ

(+) Chứng minh bao hàm ngược lại

F2 dµ ⊂

F1 dµ +
Ω

Lấy x ∈

Ω F1 dµ

Suy ra tồn tại f1 ∈
Khi đó x ∈

(F1 + F2 )dµ.

Ω

Ω F2 dµ.
SF1 1 , f2 ∈ SF1 2

Ω

+

Ω (F1

sao cho x =

Ω f1 dµ + Ω f2 dµ

=

Ω (f1

+ f2 )dµ.

+ F2 )dµ.

Từ đó suy ra

cl

(F1

F2 )dµ = cl(

Ω

(3) Lấy x ∈

Ω
Ω coF dµ.

F2 dµ), với F1 , F2 ∈ L1 [Ω; X].

F1 dµ +
Ω


21

1
Khi và chỉ khi tồn tại f ∈ ScoF
sao cho x =

Khi và chỉ khi tồn tại f ∈ coSF1 sao cho x =
Khi và chỉ khi x ∈ co

Ω f dµ.
Ω f dµ.

Ω F dµ.

Do đó (3) được chứng minh.

2.3

Kỳ vọng có điều kiện của phần tử ngẫu nhiên đa trị
Trong phần này ta giả thiết F ∈ L1 [Ω, F, µ; X]. Ta kí hiệu

SF1 (F) = {f ∈ L1 (Ω, F, µ; X) : f (ω) ∈ F (ω) h.c.c}.
2.3.1 Định nghĩa. Cho f ∈ L1 (Ω; X), khi đó kỳ vọng có điều kiện của f đối với

F được xác định bởi hàm E(f |F) ∈ L1 (Ω, F, µ; X) thõa mãn điều kiện sau
E(f |F)dµ =
A

f dµ, ∀ A ∈ F.
A

2.3.2 Định nghĩa. Giả sử M là tập các hàm đo được f : Ω → X . Khi đó tập M
được gọi là phân tích được (tương ứng với đại số A) nếu f1 , f2 ∈ M và A ∈ A thì

1A f1 + 1Ω\A f2 ∈ M .
n

1Ai fi ∈ M với mỗi phân

Nhận xét : Nếu M là tập phân tích được thì
i=1

hoạch đo được hữu hạn A1 , A2 , ..., An của Ω và {f1 , f2 , ..., fn } ⊂ M .
2.3.3 Định lý. Giả sử M = ∅ là tập con đóng trong Lp (Ω; X). Khi đó tồn tại
hàm F ∈ M[Ω; X] sao cho, M = SFp khi và chỉ khi M là tập phân tích được.
Chứng minh. Rõ ràng rằng SFp là tập đóng và phân tích được. Giả sử M là
tập con khác rỗng, đóng, phân tích được của Lp (Ω; X). Khi đó tồn tại một dãy

{fi } ⊂ Lp (Ω; X) sao cho {fi (ω)} trù mật trong X, với ω ∈ Ω. Với mỗi i ≥ 1, đặt
αi = inf{||fi − g||p : g ∈ M }
và chọn một dãy {gij : j ≥ 1} ⊂ M sao cho ||fi − gij ||p → αi . Ta xác định

F ∈ M[Ω; X] với F (ω) = cl{gij (ω) : i, j ≥ 1}. Ta sẽ chứng minh M = SFp . Thật


22

vậy, với mỗi f ∈ SFp và

> 0, ta có thể lấy được một phân hoạch đo được hữu

hạn {A1 , A2 , ..., An } của Ω và {h1 , h2 , ..., hn } ⊂ {gij } sao cho
n

f−

< .

1Ak hk
k=1

p

n

1Ak hk ∈ M , điều này kéo theo f ∈ M . Do

Do M là tập phân tích được nên
k=1

đó SFp ⊂ M . Bây giờ ta giả thiết M = SFp . Khi đó tồn tại f ∈ M , A ∈ A với

µ(A) > 0 và một số δ > 0 sao cho
inf ||f (ω) − gij (ω)|| ≥ δ, ω ∈ A.
i,j

Ta cố định một giá trị nguyên i sao cho tập

B = A ∩ {ω ∈ Ω : ||f (ω) − fi (ω)|| < δ/3},
có độ đo µ(B) > 0 và đặt

gj = 1B f + 1Ω\B gij , j ≥ 1.
Khi đó ta có gj ⊂ M và

||fi (ω) − gij (ω)|| ≥ ||f (ω) − gij (ω)|| − ||f (ω) − fi (ω)|| > 2δ/3, ω ∈ B.
Từ đó ta suy ra

||fi − gij ||pp − αip ≥ ||fi − gij ||pp − ||fi − gj ||pp
(||fi (ω) − gij(ω)||p − ||fi (ω) − f (ω)||p )dµ

=

B

≥ (2δ/3)p − (δ/3)p .µ(B) > 0, j ≥ 1.
Cho j → ∞ chúng ta gặp mâu thuẫn. Do đó ta có điều cần chứng minh.
2.3.4 Định lý. Giả sử F ∈ L1 [Ω; X] . Khi đó tồn tại duy nhất

G ∈ L1 [Ω, F, µ; X] sao cho
SG1 (F) = cl{E(f |F) : f ∈ SF1 }.

(2.3.4)


23

Chứng minh.
Đặt M = {E(f |F) : f ∈ SF1 }. Từ đó dễ thấy M là tập phân tích được tương
ứng với F .
Thật vậy, với f1 , f2 ∈ SF1 với A ∈ F .
Với ω ∈ A thì E(f1 (ω)|F), E(f2 (ω)|F) ∈ M , từ đó ta có

1A E(f1 |F) + 1Ω\A E(f2 |F) = E(f1 (ω)|F) ∈ M.
Tương tự với ω ∈
/ A ta cũng suy ra

1A E(f1 |F) + 1Ω\A E(f2 |F) = E(f2 (ω)|F) ∈ M.
Từ đó clM cũng là tập phân tích được tương ứng với F . Rõ ràng clM = ∅, bị
chặn trong L1 (Ω, F, µ; X).
Từ các Bổ đề 2.1.3, 2.2.5, 2.3.3 suy ra tồn tại duy nhất G ∈ L1 (Ω, F, µ; X).
sao cho

clM = SG1 (F).
Do đó

SG1 (F) = cl{E(f |F) : f ∈ SF1 }.
2.3.5 Định nghĩa. Cho F ∈ L1 [Ω; X], ta gọi G thỏa mãn (2.3.4) là kỳ vọng có
điều kiện của hàm đa trị F đối với F . Ký hiệu là G = E[F |F].

2.4

Tính chất của kỳ vọng có điều kiện của phần tử ngẫu
nhiên đa trị

2.4.1 Định lý. Kỳ vọng có điều kiện E[F |F] của F ∈ L1 [Ω; X] có các tính chất
sau:
(1) Ánh xạ F → E[F |F] không giãn được từ L1 [Ω; X] vào L1 [Ω, F, µ; X], nghĩa
là

∆(E[F1 |F], E[F2 |F]) ≤ ∆(F1 , F2 ), với F1 , F2 ∈ L1 [Ω; X]
.


24

(2) E[F1

E[F2 |F], với F1 , F2 ∈ L1 [Ω; X].

F2 |F] = E[F1 |F]

(3) E[ξF |F] = ξE[F |F] với F ∈ L1 [Ω; X], ξ ∈ L∞ (Ω, F, µ).

(4) E[coF |F] = coE[F |F] với F ∈ L1 [Ω; X].
Chứng minh.
Đặt G = E[F |F], G1 = E[F1 |F], G2 = E[F2 |F] với F, F1 , F2 ∈ L1 [Ω; X].
1) Ta xác định tập

A = {ω ∈ Ω : sup d(x, G2 (ω)) ≥ sup d(x, G1 (ω))}.
x∈G1 (ω)

x∈G2 (ω)

Rõ ràng A là tập đo được.
Ta có

∆(E[F1 |F], E[F2 |F]) = ∆(G1 , G2 ) =

∆(G1 (ω), G2 (ω))dµ
Ω

=

sup d(x, G2 (ω))dµ +

sup d(x, G1 (ω))dµ

A x∈G1 (ω)

=

sup

d(g1 (ω), G2 (ω))dµ +

1 (F)
g1 ∈SG
1

=

Ω\A x∈G2 (ω)

sup
1

2

1 (F)
g2 ∈SG
2

+

A

sup

=

sup
f1 ∈SF1

f2 ∈SF1

2

+
sup

sup

1

f2 ∈SF1

2

+

1

||E(f1 |F)(ω) − E(f2 |F)(ω)||dµ

inf

f2 ∈SF1

2

Ω\A

||f1 (ω) − f2 (ω)||dµ

inf

f1 ∈SF1

Ω\A

A

f1 ∈SF1
1

≤

1 (F)
g1 ∈SG

||E(f1 |F)(ω) − E(f2 |F)(ω)||dµ

inf

1

||g1 (ω) − g2 (ω)||dµ

inf

1 (F)
g2 ∈SG
2

d(g2 (ω), G1 (ω))dµ
Ω\A

||g1 (ω) − g2 (ω)||dµ

inf

1 (F)
g1 ∈SG

sup
1 (F)
g2 ∈SG

A

A

sup

||f1 (ω) − f2 (ω)||dµ.

inf

f1 ∈SF1

1

f2 ∈SF1

2

Ω\A


25

Có được bất đẳng thức này là do

||E(f1 |F)(ω) − E(f2 |F)(ω)||dµ =
A

||E(f1 − f2 |F)(ω)||dµ
A

≤

E||f1 (ω) − f2 (ω)||dµ
A

≤

||f1 (ω) − f2 (ω)||dµ.
A

Từ đó ta có

∆(G1 , G2 ) =

sup d(x, F2 (ω))dµ +
A x∈F1 (ω)

≤

sup d(x, F1 (ω))dµ
Ω\A x∈F2 (ω)

δ(F1 (ω), F2 (ω))dµ = ∆(F1 , F2 ).
Ω

Do đó ∆(G1 , G2 ) ≤ ∆(F1 , F2 ).
Đó là điều phải chứng minh.
(2) Từ Định lý 2.3.4, ta có
1
SE[F
(F) = cl{E(f |F) : f ∈ SF1 1 +F2 }
1 +F2 |F]

= cl{E(f |F) : f ∈ cl(SF1 + SF2 )}
= cl{cl{E(f1 |F) + E(f2 |F) : f1 ∈ SF1 1 , f2 ∈ SF1 2 }
1
1
= cl{SE[F
(F) + SE[F
(F)}
1 |F]
2 |F]
1
= SE[F

(F).
1 |F]+E[F2 |F]

Từ Bổ đề 2.3.3, ta suy ra

E[F1 + F2 |F] = E[F1 |F] + E[F2 |F].
1
(3) Giả sử ξ ∈ L∞ (Ω, F, µ), từ SξF
= ξSF1 , ta có

SE[ξF |F](F) = cl{E(ξf |F) : f ∈ SF1 }
= cl{ξE(f |F) : f ∈ SF1 }.
SξE[F |F](F) = ξcl{E(f |F) : f ∈ SF1 }.