Nhóm cơ bản của phức đơn hình

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HƯƠNG THẢO

NHĨM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
Chun ngành: Hình học - Tơpơ
Mã số: 60.46.10

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN DUY BÌNH

VINH - 2011


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HƯƠNG THẢO

NHĨM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

VINH - 2011

3

MỤC LỤC

Trang
LỜI NÓI ĐẦU..................................................................................

2

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ.............................................

4

1.1. Đồng ln...................................................................................

4

1.2. Nhóm cơ bản..............................................................................

7

1.3. Phức đơn hình.............................................................................

13

Chương 2. NHĨM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH...…………

17

2.1. Ánh xạ đơn hình................…………………………………….

17

2.2. Nhóm cơ bản của phức đơn hình...................………………….

20

2.3. Nhóm cơ bản của đồ thị..............................................................

31

KẾT LUẬN...…………………………………………………........

41

TÀI LIỆU THAM KHẢO……...………………………………......

42


4

LỜI NĨI ĐẦU
Tơpơ đại số là một ngành của tốn học hiện đại. Nó ra đời vào những
năm đầu của thế kỉ XX, gắn kết hai lĩnh vực cơ bản của tốn học là tơpơ và
đại số. Tơpơ đại số vừa được nghiên cứu với tư cách như một ngành độc lập,
vừa được xem là công cụ để giải quyết nhiều vấn đề của tốn học hiện đại.
Nhóm cơ bản là một trong những khái niệm cơ bản của tôpô đại số. Mỗi một
điểm trong khơng gian tơ pơ có một nhóm cơ bản liên kết với nó, mang các

thơng tin về cấu trúc một chiều của phần không gian quanh điểm đó. Nhiều ví
dụ tính tốn nhóm cơ bản của các không gian riêng lẻ hay phương pháp cho
cách tính nhóm cơ bản của một số lớp khơng gian, chẳng hạn như các phức
đơn hình hữu hạn đã được đề cập đến trong các tài liệu chuyên sâu. Để nghiên
cứu sâu sắc hơn về các vấn đề này, đề tài luận văn tập trung vào nghiên cứu
một cách có hệ thống phức đơn hình và nhóm cơ bản của chúng.
Luận văn được chia làm hai chương như sau:
Chương 1. Các kiến thức cơ sở
1.1. Đồng luân
1.2. Nhóm cơ bản
1.3. Phức đơn hình
Chương 2. Nhóm cơ bản của phức đơn hình
2.1. Ánh xạ đơn hình
2.2. Nhóm cơ bản của phức đơn hình
2.3. Nhóm cơ bản của đồ thị
Trong chương 1, chúng tơi trình bày các khái niệm đồng ln, tương
đương đồng luân, cách xây dựng nhóm cơ bản của một khơng gian tơpơ bất
kỳ, một vài tính chất của khơng gian liên thơng đường; trình bày các khái
niệm đơn hình, phức đơn hình, phức con của phức đơn hình, hình sao của một
đỉnh, khung r chiều, thứ phân của phức đơn hình, lấy ví dụ minh họa.


5

Trong chương 2, chúng tơi trình bày các kiến thức về nhóm cơ bản của
phức đơn hình và trường hợp đặc biệt của phức đơn hình là nhóm cơ bản của đồ
thị. Cụ thể, trong mục 2.1 chúng tơi trình bày khái niệm ánh xạ đơn hình, xấp xỉ
đơn hình, các định lý về xấp xỉ đơn hình. Trong mục 2.2, chúng tơi trình bày các
khái niệm tương đương mật tiếp, tương đương cạnh, các ví dụ và tính chất của
chúng, cơng thức tính nhóm cơ bản của phức đơn hình và ví dụ ứng dụng. Cuối

cùng, trong mục 2.3, chúng tơi nêu cơng thức tính nhóm cơ bản của đồ thị và ví dụ
ứng dụng.
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và tận tình
của thầy giáo, Tiến sỹ Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ
lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới thầy!
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo trong khoa Tốn, các
thầy cơ tổ bộ mơn Hình học, Khoa sau đại học trường Đại học Vinh, Phòng
quản lý khoa học trường đại học Hải Phịng đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ
tác giả. Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã tạo điều kiện thuận
lợi, động viên, giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót, kính
mong được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả


6

CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương 1 chúng tơi sẽ trình bày các khái niệm đồng ln, tương
đương đồng ln, khơng gian co rút, cách xây dựng nhóm cơ bản của một
khơng gian tơpơ bất kỳ, tính nhóm cơ bản của một số khơng gian tơpơ đặc
biệt, trình bày một cách có hệ thống các khái niệm đơn hình, phức đơn hình.

1.1. Đồng luân
1.1.1. Định nghĩa (Xem [1])
Cho các không gian tôpô X, Y, f , g : X  Y là các ánh xạ liên tục,
I  0,1 là không gian con của đường thẳng thực

, ánh xạ liên tục

F : X  I  Y sao cho F ( x,0)  f ( x); F ( x,1)  g ( x) với mọi x  X được gọi là

phép đồng luân nối f và g. Khi đó f được gọi là đồng luân với g bởi phép
đồng luân F và ký hiệu f

g.

1.1.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: X  Y 

n

, x0 

n

1X : X  Y là ánh xạ đồng nhất

 x : X  Y là ánh xạ hằng tại x0
0

Khi đó 1X

 x bởi phép đồng luân F : X  I  Y , F ( x, t )  (1  t ) x  tx 0 .
0

Ví dụ 2: X là không gian tôpô bất kỳ, Y là tập lồi trong
C ( X , Y )  { f : X  Y f liên tục}. Khi đó: f , g  C ( X , Y ) thì f

n

,
g bởi phép

đồng luân: F : X  I  Y , F ( x, t )  (1  t ) f ( x)  tg ( x) .
1.1.3. Nhận xét. Quan hệ đồng luân giữa các ánh xạ là quan hệ tương
đương.


7

Chứng minh
 f

f bởi phép đồng luân F : X  I  Y

 x, t 
 Nếu f

g thì g

F  x, t   f  x  t  I

f bởi phép đồng luân:

E : X  I  Y , E  x, t   F  x,1  t 
 Nếu f

f

g bởi phép đồng luân F1 , g

h bởi phép đồng luân F2 thì

h bởi phép đồng luân F : X  I  Y với

1

F1  x, 2t  , 0  t 


2
F  x, t   
 F  x, 2t  1 , 1  t  1
2


2
Vậy quan hệ đồng luân giữa các ánh xạ là quan hệ tương đương.
1.1.4. Bổ đề (Bổ đề dán) (Xem [7])
Cho X, Y là các không gian tôpô, X  A  B , với A, B là các tập đóng (mở)
trong X. Giả sử f1 : A  Y , f 2 : B  Y là các ánh xạ liên tục sao cho

f1 ( x)  f 2 ( x), x  A  B .

Khi

đó

ánh

xạ

g : X Y

cho

bởi:

 f ( x), x  A
g ( x)   1
là ánh xạ liên tục.
 f 2 ( x), x  B

1.1.5. Định lý. (Xem [1]) Cho X, Y, Z là các không gian tôpô. Giả sử
các ánh xạ f0 , f1 : X  Y , f0

f1 và g0 , g1 : Y  Z , g0

g1 . Khi đó g0 f0

g1 f1 .

1.1.6. Định nghĩa. (Xem [1]) Hai không gian tôpô X, Y được gọi là
tương đương đồng luân (có cùng kiểu đồng luân) nếu tồn tại hai ánh xạ liên
tục f : X  Y , g : Y  X sao cho fg 1Y ; gf

1X .

8

1.1.7. Nhận xét
1) Quan hệ tương đương đồng luân giữa các không gian tôpô là quan
hệ tương đương.
2) Các không gian đồng phơi với nhau thì tương đương đồng ln.
1.1.8. Định nghĩa. (Xem [1]) Không gian tôpô X được gọi là co rút
được nếu ánh xạ đồng nhất trên X đồng luân với ánh xạ hằng tại x0  X . Khi
đó ta cịn nói X co rút được về điểm x0  X .
1.1.9. Ví dụ:
X là tập lồi trong
1X

n

, X là không gian co rút được về điểm x0  X vì

 x ( x0  X ) bởi phép đồng luân: F : X  I  Y
0

( x, t )

(1  t ) x  tx 0

1.1.10. Định lý. Không gian tôpô X co rút được khi và chỉ khi nó tương
đương đồng ln với khơng gian một điểm.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử X co rút được, tức 1X

 x ( x0  X ) .
0

Xét ánh xạ f   x : X  x0 ; g : x0   X , g ( x0 )  x0
0

Khi đó: fg  1x  1x  ; gf   x
0

0

0

1X

Suy ra X tương đương đồng luân với không gian một điểm.
Điều kiện đủ: Giả sử X tương đương đồng luân với không gian một
điểm Y  a , có nghĩa là tồn tại các ánh xạ f : X  Y , g : Y  X sao cho
fg 1Y ; gf

1X .

Đặt x0  g (a) và  x : X  x0  là ánh xạ hằng.
0

Ta có: gf : X  X , gf ( x)  g (a)  x0 , x  X .
Do đó  x  gf
0

1X

Vậy X co rút được.


9

1.2. Nhóm cơ bản
1.2.1. Định nghĩa. (Xem [2]) Cho X là một không gian tôpô, I  0,1
là không gian con của đường thẳng thực R . Một đường  trong X từ x0 đến

x1 là một ánh xạ liên tục  :I  X sao cho  (0)  x0 ,  (1)  x1 . Điểm x0
gọi là điểm gốc, điểm x1 gọi là điểm cuối của

đường  . Nếu

 (0)  (1)  x0  X thì  được gọi là đường đóng tại x0 .

1.2.2. Định nghĩa. Cho  là đường từ x0 đến x1 ,   là đường từ x1
đến x2 . ¸nh xạ liên tục    ' : I  X cho bởi:

 (2t )
   '(t )  
 '(2t  1)


nÕu 0  t 
nÕu

1

2

1
 t 1
2

được gọi là nối tiếp hai đường ,  ' .
Đường ngược của  là đường  1 từ x1 đến x0 cho bởi  1 (t )   (1  t ) .
Chú ý rằng đường    ' có điểm gốc là    '(0)  (0)  x0 và điểm cuối là
   '(1)   '(1)  x2 .
xo
 (0) .

 (1) x2

.

 '(0)

 '(1)
.

x2

Hình 1
1.2.3. Định nghĩa. (Xem [1]) Cho hai đường ,  ' có cùng điểm gốc
x0 và điểm cuối x1 trong khơng gian tơpơ X. Ta nói  đồng ln với  ' và

ký hiệu   nếu tồn tại một ánh xạ liên tục F : I  I  X sao cho:
F (0, t2 )   (0)   (0)  x0 , t2  I

F (1, t2 )   (1)   (1)  x1 , t2  I
F (t1 , 0)   (t1 ); F (t1 ,1)   (t1 ), t1  I


10

1.2.4. Nhận xét
- Quan hệ đồng luân giữa các đường là quan hệ tương đương.
- Nếu 1 đồng luân với 2 thì 11 đồng luân với 2 1 .
- Giả sử 1 2 ; 1 2 là các đường sao cho 1  1 xác định. Khi đó
2  2 xác định và 1  1 2  2 .

Đặt     |   . Tích và nghịch đảo của

1.2.5. Định nghĩa.

  được định nghĩa như sau:       ;  

1

  1 

1.2.6. Định lý: Cho X là không gian tôpô, x0  X , 1  X , x0  là tập hợp
các lớp đồng luân của các đường đóng tại x0 . Khi đó 1  X , x0  lập thành một
nhóm với phép tốn đã cho ở trên.
Chứng minh.
 Phần tử đơn vị là  x0  vì:

    x      x  và    x
0

0

0

 bởi phép đồng luân:

  2t1 
t2  1
 
 ; 0  t1 
 t 1
2
F  t1 , t2     2 
t2  1

 t1  1
 x0 ;
2

Tương tự  x       x    và  x   
0

0

0

Như vậy     x    x       .
0

0

 Phần tử đối của   là     1  vì:
1

    

1

    1  và    1

 x bởi phép đồng luân:
0


11

t

0  t1  2
 x0 ;
2

t2
1
  2t  t  ;
 t1 
1
2


2
2
F  t1 , t2   
  2  2t  t  ; 1  t  1  t2
1
2
1

2
2

t
 x0 ;
1  2  t1  1

2

Tương tự        1    và  1    x
1

0

1
1
Như vậy              x 
0



Phép tốn



thỏa mãn tính chất kết hợp, nghĩa là:

           
Thật vậy:             ;             và
F: I  I  X cho bởi:
  4t1 
t 1
0  t1  2
 
;
4
  1  t2 

t2  1
t 2
F  t1 , t2      4t1  t2  1 ;
 t1  2
4
4

  4t1  t2  2  t2  2
 t1  1
  
;
4
  2  t2 

là phép đồng luân nối      với      .
Vậy 1  X , x0  là một nhóm.
1.2.7. Định nghĩa. Cho X là khơng gian tơpơ, 1  X , x0  gọi là nhóm cơ
bản của X với điểm đánh dấu x0 .
1.2.8. Định nghĩa. (Xem [2]) Không gian tôpô X được gọi là liên thông
đường nếu mọi x0 , x1  X luôn tồn tại đường  trong X nối x0 với x1 .
1.2.9. Định lý. Nếu X là không gian tôpô liên thơng đường thì 1  X , x0 
đẳng cấu với 1  X , x1  với mọi x0 , x1  X .


12

Chứng minh.
X liên thông đường nên tồn tại con đường  trong X nối x0 với x1 .
Với    1  X , x0  đặt f      1     .
Khi đó, nếu   ' thì 1      1  ' vì:
1
 1
0  t1 
  3t1  ;
3

1
2

G : I  I  X cho bởi: G  t1 , t2   F  3t1  1, t2  ;  t1 
3
3

2


  3t1  2  ; 3  t1  1


là phép đồng luân nối 1     với  1     (với F là phép đồng luân nối
 với   ).
 f  là đơn ánh.

Thật vậy, giả sử f     f    tức là 1       1   '   hay
1     1   '  . Theo chứng minh trên ta có:
   1        1     1   '     1 nên     
 f  là toàn ánh.

Thật vậy, giả sử 1   1  X , x1  , xét       1     1  X , x0  và
f        1 1     1   1 
 f  là đồng cấu.

Thật vậy, f         f     
 1         1       1    

 f     f    

Vậy 1  X , x0  đẳng cấu với 1  X , x1  .
1.2.10. Định lý. Nếu 2 không gian tôpô X,Y liên thông đường, tương
đương đồng ln thì nhóm cơ bản của chúng đẳng cấu với nhau.


13

Chứng minh. Giả sử f là phép đồng luân nối X, Y và g là ngược đồng

luân của f . Khi đó, fg 1Y và gf 1X .
Giả sử x0 là điểm đánh dấu của X, đặt y0  f  x0 
Xét ánh xạ 1  f  xác định như sau:
1  f  : 1  X , x0   1 Y , y0 

 

1 ( f )     f  

Khi đó 1  f  xác định và là đồng cấu nhóm.
Tương tự ánh xạ 1  g  : 1 Y , y0   1  X , g  y0   cũng là đồng cấu nhóm.
Bây giờ ta xét với    1  X , x0  thì  :  I ,  I    X , x0  ( I  0,1 là biên
của I ) và  gf   :  I ,  I    X , gf  x0   . Do gf 1X nên  gf    suy ra x0 nối
được với x1  gf  x0  , tức là có đường cong liên tục  nối x0 và x1 , suy ra có
đẳng cấu h : 1  X , x0   1  X , x1  và 1  g  1  f   h (vì với    1  X , x0  ta
có: 1  g  1  f     1  g   f     gf   và h     1  . Mà gf   1
 1  g  1  f   h ). Tương tự 1  f  1  g   h

1

Vì h và h là các đẳng cấu nên 1  f  là đẳng cấu hay 1  X , x0   1 Y , y0  .
1

1.2.11. Hệ quả. Nếu X là không gian co rút được thì 1  X , x0  là nhóm
tầm thường.
Chứng minh. X là khơng gian co rút được nên X tương đương đồng luân
với không gian 1 điểm  x0  . Mà không gian 1 điểm  x0  có nhóm cơ bản là
nhóm tầm thường: 1 x0  , x0     ,  : I  x0  , (0)  (1)  x0 
  x0    

nên theo định lý 1.2.10, 1  X , x0  là nhóm tầm thường.
1.2.12. Hệ quả. 1  R n , x0  là nhóm tầm thường.


14

Cho X là không gian liên thông đường, X 1 và X 2 là hai không gian con
mở liên thông đường của X , X  X1  X 2 và X o  X1  X 2 là liên thơng đường
khác rỗng. Với x0  X 0 ta có các nhúng :
k1 :  X1 , x0    X , x0  ; k2 :  X 2 , x0    X , x0 

1.2.13. Mệnh đề. (Xem [2]) Nhóm cơ bản 1  X , xo  được sinh bởi các
ảnh của các đồng cấu 1  k1  và 1  k2  .
Chứng minh. Giả sử    1  X , x0 
Xét một phân hoạch của đoạn  0,1 : 0  t0  t1  ...  tn  tn1  1
Và i : I  X , i  t      ti 1  ti  t  ti 
Như vậy i là đường nối   ti  với   ti 1  , tức là thu hẹp của  trên đoạn

ti , ti 1  . Theo giả thiết  X1 , X 2  là một phủ mở của X, theo định lí Lebesgue về
 - phủ ta có thể lựa chọn phân hoạch của  0,1 sao cho i  I    ti , ti 1  được

chứa hoàn toàn trong X 1 hoặc X 2 và i  0    ti   X 0
Với mỗi i = 1, 2, …, n tồn tại một đường  i trong X o nối xo với   ti 
(Vì X 0 là liên thơng cung).

x2




2

x1 x
0



1

Hình 2
Ta có:    0  1  ...  n 
 0 11 1  1  21  2  ...  n1  n  n 
 0 11   1  1  21   ...   n  n 

Các đường 0 *11 , 1 *1 *21,...,n *n đóng tại x0 và chứa trong X 1
hoặc X 2 nên mệnh đề được chứng minh.


15

1.3. Phức đơn hình
1.3.1. Định nghĩa. (Xem [2]) Đơn hình tiểu chuẩn k chiều hay k- đơn
hình chuẩn  k là một tập con của không gian Ơclit R k 1 gồm các điểm có tọa
độ  x0 ,..., xk   R k 1 thỏa mãn các điều kiện:
 xi  0, i  1, k
k



x

i 0

i

1



Các điểm e j   0,..., 0,1, 0,..., 0  nằm trong  k được gọi là các đỉnh của đơn hình.


j



1.3.2. Nhận xét
 Đơn hình chuẩn k chiều 

k

là một tập con đóng và bị chặn của

khơng gian Ơclit R k 1 nên nó là 1 tập compact.
 Đơn hình chuẩn là 1 tập lồi.

  là một điểm,  là một đoạn thẳng,  là một tam giác đều,  là
0

1

2

3

tứ diện đều.
1.3.3. Định nghĩa (Xem [7])
- Cho a0 , a1 ,..., ak là k+1 điểm độc lập trong không gian Ơclit R n , tập
k
hợp  ti ai , ti  0,
 i 0

k

t
i 0

i


 1 gọi là đơn hình k chiều hay k- đơn hình với các


đỉnh a0 , a1 ,..., ak . Ký hiệu:  S    a0 , a1 ,..., ak 
- Tập hợp các điểm a thuộc đơn hình k chiều  S    a0 , a1 ,..., ak  mà
ti  0, i  1, 2,..., m gọi là đơn hình mở. Ký hiệu:  S    a0 , a1 ,..., ak 
k

- Nếu điểm a thuộc vào đơn hình k chiều, a   ti ai , ti  0 ,
i 0

thì bộ số  t1 , t2 ,..., tk  gọi là tọa độ trọng tâm của a .

k

t
i 0

i

1


16

1.3.4. Nhận xét. Đơn hình  S    a0 , a1 ,..., ak  chính là bao lồi của tập các
đỉnh a0 , a1 ,..., ak .
1.3.5. Định nghĩa. (Xem [1]) Biên r chiều của một đơn hình k chiều

 S  là một đơn hình r chiều có các đỉnh là tập con của các đỉnh của  S  .
1.3.6. Định nghĩa. (Xem [1]) Phức đơn hình K là tập hợp các đơn hình
trong R n thỏa mãn các điều kiện:
 Nếu 1 đơn hình thuộc K thì mọi biên của đơn hình đó cũng thuộc K.
 Hai đơn hình phân biệt trong K hoặc khơng giao nhau, hoặc giao

nhau theo một đơn hình duy nhất là biên chung của chúng.
Chiều của K là chiều lớn nhất của các đơn hình trong K.
Nếu K chỉ gồm hữu hạn đơn hình thì K gọi là phức đơn hình hữu hạn.
Trong khn khổ luận văn, chúng tơi chỉ nghiên cứu về phức đơn hình
hữu hạn.
1.3.7. Ví dụ:

Hình 3
Đây là các phức đơn hình trong R3 và có chiều bằng 2 và 3
1.3.8. Định nghĩa. Phức đơn hình L được gọi là phức con của phức đơn
hình K nếu mỗi đơn hình thuộc L cũng thuộc K.
1.3.9. Định nghĩa. Cho K là một phức đơn hình có chiều là k, khung r
chiều của phức đơn hình K là tập hợp các đơn hình trong K có chiều khơng
vượt q r ( r  N , r  k ). Ký hiệu K r
Nhận xét: Khung r chiều K r của K là phức con của K.


17

Cho K là phức đơn hình , ký hiệu K 
Trên K

 S K

S  .

đưa vào Tôpô mạnh nhất sao cho các phép bao hàm

i :  S   K là ánh xạ liên tục ( tức V  K , V mở khi và chỉ khi V   S  là

mở trong  S  ). Khi đó tơpơ này của K trùng với tơpơ cảm sinh từ R n lên
K và K tập compact.

1.3.10. Định nghĩa. K là phức đơn hình, a là một đỉnh của K. Hình sao
của a là tập hợp tất cả các đơn hình mở của K chứa đỉnh a. Ký hiệu: st (a)
1.3.11. Ví dụ: Cho K là phức đơn hình như hình 4.

Ta có: st  a1    a0 , a1 , a2    a1 , a2   a1 , a0 

a0

st  a2    a0 , a1 , a2    a1 , a2    a0 , a2    a2 , a3 

a3

st  a3    a0 , a3    a2 , a3    a3 , a4 
st  a4    a3 , a4 

a1

a2

a4

Hình 4
1.3.12. Nhận xét


st  a  mở trong K

 a là đỉnh duy nhất của K nằm trong st  a  .


st (a) aK

0

là phủ mở của K với K 0 là tập tất cả các đỉnh của K.

1.3.13. Định nghĩa. (Xem [1]) Nếu không gian tôpô X sao cho X đồng
phôi với K , ( K là phức đơn hình nào đó) thì X được gọi là một đa diện và K
được gọi là phép tam giác phân của đa diện X. Nếu f : K  X là phép đồng
phôi và S là 1 đơn hình của K thì f (S )  X được gọi là đơn hình cong.
Chú ý: Một đa diện có thể có các phép tam giác phân khác nhau.


18

1.3.14. Định nghĩa. Giả sử K là 1 phức đơn hình, thứ phân của phức
đơn hình K là phức đơn hình K' thỏa mãn các điều kiện:
 Các đỉnh của phức K' là các điểm trong K
 Nếu  S   là đơn hình trong K' thì tồn tại đơn hình  S  nào đó của K

sao cho  S    S 
 Ánh xạ tuyến tính

 : K   K chuyển mỗi đỉnh của K' thành điểm

tương ứng của nó trong K là phép đồng phơi.
1.3.15. Ví dụ:

a0

K 

a1

a0

a2

 K 

a1

Hình 5

Cho hai phức đơn hình K và K’ như hình 5. Vì:
- Các đỉnh của K , a0 , a1 , a2 đều là các điểm trong K .

 

 

- Các đơn hình S1   a0 , a2  ; S2   a2 , a1  trong K  đều nằm trong đơn
hình  S    a0 , a1   K .
- Ánh xạ tuyến tính biến mỗi đỉnh của K  thành điểm tương ứng của nó
trong K là ánh xạ đồng nhất nên là phép đồng phôi.
Vậy K  là thứ phân của K.


19

CHƢƠNG 2. NHĨM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH
Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày các kiến thức về nhóm cơ bản
của phức đơn hình và nhóm cơ bản của đồ thị - trường hợp đặc biệt của phức
đơn hình.

2.1. Ánh xạ đơn hình
2.1.1. Định nghĩa. (Xem [7]) Cho K, L là các phức đơn hình, ánh xạ

 : K  L là một ánh xạ đơn hình nếu thỏa mãn các điều kiện:
 Biến mỗi đỉnh của K thành một đỉnh của L.
 Biến mỗi đỉnh của đơn hình S trong K thành đỉnh của đơn hình S’

trong L.
k

 S là đơn hình trong K với các đỉnh a0 , a1 ,..., ak , điểm p =

 t a  S thì
i 0

i i

k

 ( p)   ti (ai ) .
i 0

Nghĩa là  là ánh xạ tuyến tính trên mỗi đơn hình của K và biến đỉnh
thành đỉnh. Theo định nghĩa trên ánh xạ đơn hình khơng chỉ phụ thuộc vào
K , L mà cịn phụ thuộc vào cấu trúc của K và L nên ta ký hiệu  : K  L .

2.1.2. Ví dụ: Ánh xạ  cho bởi hình 6 là một ánh xạ đơn hình.



a3

a0

v0

 (a0 )   (a3 )  v0
 (a1 )   (a3 )  v1

a1

a2

Hình 6

v1

2.1.3. Định nghĩa. (Xem [7]) K, L là các phức đơn hình, f : K  L là
ánh xạ liên tục. Ánh xạ đơn hình  : K  L là một xấp xỉ đơn hình của f
nếu f  st  a    st   a   , với mỗi đỉnh a  K .


20

2.1.4. Ví dụ: Cho phức đơn hình K, L như hình 7:
a0

v0

v1

p

a2

a1
(K )

(L)
Hình 7

Giả sử p là 1 điểm thuộc L và p  v0 , p  v1
Xét ánh xạ f : K  L , f ( x)  p x  K
 : K  L,  (a0 )   (a1 )  v0 ,  (a2 )  v1 là ánh xạ đơn hình.
 f  st  ai    p, i  0,1, 2.
st   a0    st   a1    st  v0   v0 , v1 
st   a2    st  v1   v1 , v0 
 f  st  ai    st   ai   , i  0,1, 2.

Vậy  là xấp xỉ đơn hình của f .
2.1.5. Định lý. (Xem [7]) Giả sử  :K  L là xấp xỉ đơn hình của
f : K  L . Khi đó,mỗi p  K , f  p  và   p  nằm trong cùng một đơn hình

của L.
Chứng minh.
Giả sử p  K  p   S  ,  S   K .
Do f  p   L  f  p    S  ,  S   L .
Với mỗi đỉnh a của đơn hình (S) ta có:

p  st (a)

thì

f  p   f  st (a)   st  (a)    S   st  (a)      (a) là một đỉnh của
k

 S  . Vì  là ánh xạ đơn hình nên nếu p   ti ai (với ai là các đỉnh của (S))
i 0

k

thì   p    ti  ai    S  (do  (ai ) cũng là đỉnh của  S  ) .
i 0

Vậy f  p  ,   p  đều thuộc  S  .


21

2.1.6. Bổ đề. Giả sử f : K  L là một ánh xạ đơn hình,  là xấp xỉ đơn
hình của f ,khi đó f   .
Chứng minh.
Với mỗi đỉnh a  K , do  là xấp xỉ đơn hình của f

nên ta có

f  a   f  st  a    st   a   . f là ánh xạ đơn hình nên f  a  cũng là đỉnh của L.

Mà   a  là đỉnh duy nhất của L nằm trong st   a   , suy ra f  a     a  .
Vậy ta có f  a     a  , a là đỉnh của K nên f  p     p  , p  K hay

f  .

2.1.7. Định lý. (Xem [7]) Cho  là một xấp xỉ đơn hình của ánh xạ liên
tục f : K  L , K1 là một phức con của K, giả sử f

K1

Khi đó, sẽ tồn tại phép đồng luân nối f với  và f



K1

là ánh xạ đơn hình.
K1

Chứng minh.
 Xét F : K  0,1  L

 p, t 

t  p   1  t  f  p 

p  K nên theo định lý 2.1.4   p  , f  p  cùng thuộc một đơn hình của

L do đó t  p   1  t  f  p  cùng thuộc một đơn hình của L, vậy F xác định.
Vì  và f liên tục nên F liên tục.
Ta có: F  p,0  f  p  , F  p,1    p  , p  K
Vậy F là phép đồng luân nối f và  hay f 
 Vì f

K1

là ánh xạ đơn hình và 

theo bổ đề 2.1.5 có f

K1

là xấp xỉ đơn hình của f

K1

nên

 K1     K  .
1

2.1.8. Định lý. Cho f : K  L là ánh xạ liên tục và  : K 0  L0 là ánh
xạ đỉnh. Khi đó,  có thể mở rộng thành xấp xỉ đơn hình của f khi và chỉ khi
f  st  v    st   v   , v  K 0 .


22

Chứng minh.
Điều kiện cần: hiển nhiên
Điều kiện đủ: Giả sử f  st  v    st   v   , v  K 0
k

Ta xây dựng ánh xạ  như sau:  S    v0 , v1 ,..., vk   K ; p   ti vi   S 
i 0

k

 : K  L,   p    ti  vi  . Để chứng minh  là xấp xỉ đơn hình của f ta chỉ
i 0

cần chứng minh  là ánh xạ đơn hình. Thật vậy, ta có  thỏa mãn điều kiện 1
và 3 của định nghĩa 2.1.1, ta sẽ chứng minh  thỏa mãn điều kiện 2, tức là
  v0  ,   v1  ,...,   vk  cùng thuộc một đơn hình  S    L . Thật vậy:

Với mỗi đỉnh vi   S   vi  st  vi   f   S    f  st  vi    st   vi  
k

k

st  vi       S    st  vi  ,  S    L
Suy ra 
i 1
i 1

hay  S    st  (vi )  , i  0, k
   vi  là đỉnh của  S  , i  0, k

Vậy  là xấp xỉ đơn hình của f .
2.2. Nhóm cơ bản của phức đơn hình
2.2.1. Định nghĩa
Cho K, L là các phức đơn hình, 1 , 2 : K  L là các ánh xạ đơn hình.
1 , 2 được gọi là mật tiếp nếu mỗi đơn hình  S    a0 ,..., ak   K tồn tại đơn

hình  S   L sao cho 1  a0  ,...,1  ak  và 2  a0  ,..., 2  ak  là các đỉnh của  S   .
2.2.2. Ví dụ:
K là phức đơn hình 3 chiều với các đỉnh a0 , a1 , a2 , a3
L là phức đơn hình 1 chiều với các đỉnh v0 , v1 , v2 


23

a0

v0

a3

a1

v1

v2
(L)

a2

(K)

Hình 8

Ta xác định các ánh xạ đơn hình 1 , 2 , 3 như sau:
1  a0   1  a1   1  a2   1  a3   v1

2  a0   2  a1   2  a2   v0 , 2  a3   v1
3  a0   3  a1   v2 , 3  a2   3  a3   v1

Khi đó 1 mật tiếp với  2 vì tồn tại đơn hình  S1   L,  S1    v0 , v1  mà
1  a0   1  a1   1  a2   1  a3   2  a3   v1 ;2  a0   2  a1   2  a2   v0

là

các

đỉnh của (S’).
1 mật tiếp với với 3 vì tồn tại đơn hình

 S2   L,  S2    v1 , v2  mà

1  a0   1  a1   1  a2   1  a3   3  a2   3  a3   v1 ;3  a0   3  a1   v2 là các đỉnh

của (S’). Tuy nhiên 1 khơng mật tiếp với 3 vì khơng tồn tại đơn hình nào
trong L nhận v0 , v1 , v2 là đỉnh.
Vậy quan hệ mật tiếp không phải là quan hệ tương đương.
2.2.3. Định nghĩa. Hai ánh xạ đơn hình  , được gọi là tương đương
mật tiếp nếu tồn tại dãy hữu hạn các ánh xạ đơn hình 0 ,1 ,..., k : K  L sao
cho 0   , k   và i 1 mật tiếp với i , i  0, k .
C

Ký hiệu   .
2.2.4. Nhận xét. Quan hệ tương đương mật tiếp là quan hệ tương đương.
Chứng minh.
C

 Hiển nhiên  
C

C

 Nếu   bởi dãy các ánh xạ đơn hình 0 , 1 ,..., k : K  L thì   bởi

dãy các ánh xạ đơn hình k ,k 1 ,..., 0 : K  L .


24

C

 Nếu   bởi dãy các ánh xạ đơn hình 0 , 1 ,..., k : K  L và 

C



C

bởi dãy các ánh xạ đơn hình  0 , 1 ,..., k : K  L thì   bởi dãy các ánh xạ
đơn hình 0 ,1 ,...,k , 0 , 1,..., k : K  L .
2.2.5. Định lý. (Xem [7]) Cho K là một phức đơn hình,
là các đường trong K ,  0

0 , 1 : I  0,1  K

1 . Khi đó sẽ tồn tại thứ

phân I’ của I và các ánh xạ đơn hình 0 , 1 : I   K sao cho:
(i)  j là xấp xỉ đơn hình của  j , j 0,1
C

(ii) 0 1
Chứng minh. Giả sử F : I  I  K là phép đồng luân nối  0 , 1 .
Vì st  a aK là phủ mở của K nên F 1  st  a  aK là phủ mở của
0

0

I  I . Vì I  I là khơng gian mêtric compact nên tồn tại số

 > 0 sao cho mọi

hình trịn bán kính  đều được chứa trong F 1  st  a   với a nào đó thuộc K0.
Chọn một thứ phân I  của I với các đỉnh: a0  0, a1 ,..., ak  1 và một thứ
phân khác I  của I với các đỉnh

m
,  m  0,..., 2k  . Khi đó I   I  trở thành một
k
2

phức đơn hình M với các đỉnh arm   ar ,


a

m
r

1 
 và các đơn hình 2 chiều có dạng
2k 

, arm1 , arm11  hoặc  arm , arm1 , arm11 
arm11

arm 1
arm

arm1

Hình 9
m  1 m  1
, k  được chứa
k
2 
 2

Thứ phân có thể chọn được đủ mịn để st  ar   
trong một đường trịn bán kính  . Vì vậy:


25

 m  1 m  1
st  ar    k , k   F 1  st  a   với a là đỉnh nào đó, a  K 0 .

2 
 2

m  1 m  1
, k   F 1  st  a    F st  arm   st  a  (1)
k
2
2 




Vì st  arm   st  ar   



Xét ánh xạ  : M 0  K 0 ,   arm   a .









Do F st  arm   st  a   st   arm  nên theo định lý 2.1.8,  mở rộng
được thành ánh xạ đơn hình  : M  K , là xấp xỉ đơn hình của F , và từ (1) ta

 

 m  1 m  1
, k   F 1 st   arm 
k
2 
 2

có: st  ar   

Đặt 0  
F

I 0

 0 ; F

I 0

; 1  



(2)

thì i (i = 0,1) lần lượt là xấp xỉ đơn hình của

I 1

 1 .

I 1

Đặt  m  

 m  0,..., 2   
k

m
I  k 
2 

0

 0 ,  2k  1

Suy ra, tồn tại dãy các ánh xạ đơn hình 0   0 ,..., 2  1 , nên để chứng
k

minh 0 1 ta cần chứng minh  m , m1  m  0,..., 2k 1 mật tiếp. Thật vậy, từ
C



m 1 m  1 

(2) suy ra: F  st  ar    k , k    st   arm  
2 
 2




1





1



  st  (armji )     st  (armji ) chứa đơn hình  S   nào đó của K
i , j 0



i , j 0







 4 đỉnh  mi ar  j   armji ,  i, j  0,1 là các đỉnh của  S  
  m mật tiếp với  m1 .
C

Vậy 0 1 .

2.2.6. Định nghĩa
 Cho K là một phức đơn hình. Một cạnh trong K là một cặp sắp thứ tự
e  a1 a2 với a1 , a2 là các đỉnh của cùng một đơn hình nào đó trong K. a1 gọi

là điểm gốc, a2 gọi là điểm ngọn của e.
1
 Nếu cạnh e  a1 a2 thì cạnh a2 a1 được ký hiệu bằng e