Vi phân suy rộng của hàm khoảng cách và ứng dụng

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1

4

Dưới vi phân Fréchet của hàm khoảng cách

1.1. Các khái niệm cơ bản

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Ước luợng dưới vi phân Fréchet của hàm khoảng cách . . . . .

6

2

Dưới vi phân qua giới hạn của hàm khoảng cách

2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản

16

. . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Ước luợng dưới vi phân qua giới hạn của hàm khoảng cách
3 Bài toán Fermat-Torricelli suy rộng

. . 19
30

3.1. Bài toán Fermat-Torricelli cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Bài toán Fermat-Torricelli suy rộng
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


2

MỞ ĐẦU

Hàm khoảng cách đóng vai trị nổi bật trong giải tích biến phân và lý
thuyết tối ưu. Nó thường xuất hiện khi chúng ta sử dụng các kỹ thuật
phạt, xấp xỷ và nhiễu để giải các bài toán tối ưu, điều khiển tối ưu và
khảo sát các tính chất ổn định của các hệ ràng buộc và hệ biến phân chứa

tham số (xem [1, 2, 3, 6]).
Ngay cả khi dữ liệu bài tốn là trơn thì hàm khoảng cách cũng có thể
khơng trơn. Vì thế, việc nghiên cứu các tính chất vi phân suy rộng của
hàm khoảng cách là cần thiết và quan trọng.
Hướng nghiên cứu này đã và đang thu hút được sự quan tâm của
nhiều nhà toán học. A. Shapiro (1987, 1988) tiến hành khảo sát tính
chất khả vi theo hướng. L. Thibault (1991) đưa ra các cơng thức tính
dưới vi phân Clarke. Đối với dưới vi phân Fréchet, một số công thức ước
lượng đã được thiết lập dưới những điều kiện nhất định bởi A. Jourani,
L. Thibault, J. M. Borwein,...Nhiều kết quả liên quan khác cũng có thể tìm
thấy trong các nghiên cứu của R. T. Rockafellar, F. H. Clarke, R. B. Vinter,
A. D. Ioffe, R. A. Poliquin...
Gần đây, B. S. Mordukhovich và N. M. Nam (2005) thu được các công
thức ước lượng dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân qua giới hạn của hàm
khoảng cách và các mở rộng của chúng. Đặc biệt là chúng được sử dụng
để khảo sát tính chất ổn định Lipschitz của các ánh xạ đa trị và nghiên
cứu thành cơng một số bài tốn thực tế (xem [4, 5]).
Với mục đích hệ thống lại, trình bày chi tiết và phân tích một số kết quả
gần đây về vi phân suy rộng của hàm khoảng cách, tạo điều kiện thuận


3

lợi cho việc tham khảo và sử dụng chúng, trên cơ sở bài báo Subgradient
of distance functions with applications to Lipshitzian stability [Math.
Program. Ser. B. 104, (2005) 635-668] và một số tài liệu liên quan, chúng
tôi đã tiếp cận và thực hiện nghiên cứu đề tài "Vi phân suy rộng của
hàm khoảng cách và ứng dụng".
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Danh mục các tài liệu tham khảo,
luận văn được chia thành ba chương. Chương 1 được dành cho các ước

lượng khác nhau của dưới vi phân Fréchet của hàm khoảng cách và mối
liên hệ giữa dưới vi phân Fréchet của hàm khoảng cách và nón pháp tuyến
Fréchet của tập tương ứng. Chương 2 trình bày các kết quả liên quan đến
dưới vi phân qua giới hạn của hàm khoảng cách và mối liên hệ của chúng
với nón pháp tuyến qua giới hạn. Bài toán Fermat-Toricelli suy rộng và
ứng dụng của các kết quả được trình bày ở phần trước vào việc khảo sát
bài toán này được giới thiệu ở Chương 3.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Huy Chiêu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn tới Thầy về sự hướng dẫn. Nhân dịp này, tác giả xin cám ơn các Thầy
Cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Tốn, khoa Sau Đại học của Trường Đại
học Vinh, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tác
giả trong suốt quá trình học tập.
Mặt dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn khơng tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cô giáo và bạn bè.

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Phạm Thị Hiền


4

CHƯƠNG 1
DƯỚI VI PHÂN FRÉCHET CỦA HÀM KHOẢNG CÁCH

Chương này trình bày một số ước lượng của dưới vi phân Fréchet hàm
khoảng cách và các mở rộng của chúng, mối quan hệ giữa nón pháp tuyến
Fréchet của một tập hợp với dưới vi phân hàm khoảng cách tương ứng với

tập hợp đó.
1.1. Các khái niệm cơ bản

Trong mục này, nếu khơng nói gì thêm, khơng gian định chuẩn được xét
đến là khơng gian Banach thực X có khơng gian đối ngẫu tôpô là X ∗ và
Ω là một tập con khác rỗng của X .

1.1.1 Định nghĩa. (i) Với mỗi ε

0, tập ε− pháp tuyến Fréchet của

Ω tại x¯ ∈ Ω được xác định bởi
x∗ , x − x¯
Nε x¯; Ω := x ∈ X | lim sup
x − x¯
Ω
x → x¯
∗

∗

ε ,

Ω

ở đây x → x¯ nghĩa là x → x¯ với x ∈ Ω. Nếu x¯ ∈
/ Ω thì Nε (¯
x; Ω) := ∅ với
mọi ε

0.

(ii) Khi ε = 0, tập N x¯; Ω := N0 x¯; Ω được gọi là nón pháp tuyến
Fréchet của tập Ω tại điểm x¯ ∈ Ω.
1.1.2 Nhận xét. Nếu Ω là một tập con lồi của X thì nón pháp tuyến
Fréchet của Ω tại x¯ trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa của giải tích lồi,
tức là
N x¯; Ω = x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯

0, ∀x ∈ Ω .


5

1.1.3 Định lý. Cho X1 , X2 là các không gian Banach, Ωi là tập con
của Xi (i = 1, 2) và (x1 , x2 ) ∈ Ω1 × Ω2 . Khi đó,
N (x1 , x2 ); Ω1 × Ω2 = N x1 ; Ω1 × N x2 ; Ω2 .

1.1.4 Định nghĩa. Cho ϕ : X → R := [−∞, ∞] là một hàm số hữu
hạn tại x¯ ∈ X .
(i) Với mỗi ε

0, tập hợp

∂ε ϕ(¯
x) := x∗ ∈ X ∗ lim inf
x→¯
x

ϕ(x) − ϕ(¯

x) − x∗ , x − x¯
x − x¯

−ε

được gọi là ε-dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x¯. Nếu |ϕ(¯
x)| = +∞ thì
∂ε ϕ(¯
x) := ∅ với mọi ε

0.

(ii) Khi ε = 0, tập ∂ϕ(¯
x) := ∂0 ϕ(¯
x) được gọi là dưới vi phân Fréchet
của ϕ tại x¯.
1.1.5 Nhận xét. Ta ln có N (¯
x; Ω) = ∂δ(¯
x; Ω), ở đây δ(x; Ω) := 0 nếu
x ∈ Ω và δ(x; Ω) := +∞ nếu x ∈ X\Ω là hàm chỉ của Ω. Nếu ϕ là một

hàm lồi thì ∂ϕ(¯
x) trùng với dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi, tức là
∂ϕ(¯
x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯

ϕ(x) − ϕ(¯
x) ∀x ∈ X}.

1.1.6 Định nghĩa. Cho Z, X là các không gian Banach và F : Z ⇒ X

là một ánh xạ đa trị. Ta nói F có tính chất Lipschitz-like quanh điểm
(¯
z , x¯) ∈ gphF :=

(z, x) ∈ Z × X | x ∈ F (z) nếu và chỉ nếu tồn tại

> 0, W ∈ N (¯
z ) và U ∈ N (¯
x) sao cho
F (z1 ) ∩ U ⊂ F (z2 ) +

z1 − z2 B,

với mọi z1 , z2 ∈ W , ở đây N (¯
z ) và N (¯
x) tương ứng là tập hợp tất cả các
lân cận mở của z¯ và x¯, B là hình cầu đơn vị đóng trong X .


6

1.1.7 Định lý. (Nguyên lý biến phân Ekeland). Cho (X, d) là một không
gian mêtric đầy đủ, ϕ : X → R ∪ {+∞} là một hàm chính thường, nửa
liên tục dưới và bị chặn dưới trên X . Giả sử ε > 0 và x0 ∈ X thỏa
mãn ϕ(x0 )
(i) ϕ(xλ )

inf ϕ + ε. Khi đó, với mỗi λ > 0, tồn tại xλ ∈ X sao cho:
X

ϕ(x0 );

(ii) d(xλ , x0 ) λ;
ε
(iii) ϕ(x) + d(x, xλ ) > ϕ(xλ ) với mọi x ∈ X\{xλ }.
λ
1.2. Ước luợng dưới vi phân Fréchet của hàm khoảng cách

Mục này trình bày một số ước lượng dưới vi phân Fréchet của hàm khoảng
cách và các mở rộng của chúng.
1.2.1 Mệnh đề. Cho F : Z ⇒ X là ánh xạ đa trị giữa các không gian
Banach, (¯
z , x¯) ∈ Z × X , r := d x¯; F (¯
z ) và Fr là một mở rộng của F ,
nghĩa là Fr (z) := x ∈ X | d(x; F (z)

r với mọi z ∈ Z . Khi đó, các

khẳng định sau đây là đúng đối với bất kỳ ε ≥ 0.
(i) Nếu r = 0 thì
∂ε ρ(¯
z , x¯) ⊂ (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯
z , x¯); gphFr , x∗

1+ε .

(ii) Nếu r > 0 thì
∂ε ρ(¯
z , x¯) ⊂ (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯
z , x¯); gphFr , 1 − ε

x∗

1+ε .

Chứng minh. Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ε ρ(¯
z , x¯). Với bất kỳ γ > 0, theo định nghĩa
của ε- dưới gradient, tồn tại δ > 0 sao cho
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯

ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯)

(1.1)
+(ε + γ) z − z¯ + x − x¯ ,

với mọi (z, x) ∈ intBδ (¯
z ) × intBδ (¯
x). Ta lưu ý rằng nếu (z, x) ∈ gphFr thì
ρ(z, x)

r = ρ(¯
z , x¯). Do đó,
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯

(ε + γ)( z − z¯ + x − x¯ ),


7

với mọi (z, x) ∈

intBδ (¯
z ) × intBδ (¯
x) ∩ gphFr . Điều này có nghĩa là

(z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯
z , x¯); gphFr . Trong (1.1), đặt z = z¯, ta suy ra x∗ ∈
∂ε d x¯, Ω với Ω := F (¯
z ). Điều này kéo theo x∗ ≤ 1 + ε trong cả hai

trường hợp (i) và (ii). Vì d(., Ω) là hàm liên tục Lipschitz với modulus
= 1. Nếu r > 0 như ở trong trường hợp (ii), chúng ta nhận được x¯ ∈
/ clΩ
x∗

và do đó 1 − ε

1 + ε. Mệnh đề đã được chứng minh.

1.2.2 Định lý. Cho F : Z ⇒ X là một ánh xạ đa trị có đồ thị đóng
và hàm khoảng cách ρ(z, x) := d x; F (z) (z ∈ Z, x ∈ X) là Lipschitz
địa phương quanh điểm (¯
z , x¯) ∈ Z × X với r = d x¯, F (¯
z ) , ở đây Z và
X là các không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng

đối với bất kỳ ε ≥ 0 đủ nhỏ.
(i) Nếu r = 0 thì tồn tại α > 0 khơng phụ thuộc vào ε sao cho
z , x¯); gphF , x∗

(z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯

1 + ε ⊂ ∂αε ρ(¯
z , x¯).

(ii) Nếu r > 0 thì tồn tại α > 0 không phụ thuộc vào ε sao cho
(z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯
z , x¯); gphFr , 1 − ε

x∗ ≤ 1 + ε ⊂ ∂αε ρ(¯
z , x¯).

Chứng minh. Đầu tiên chứng minh cho khẳng định (i) với r = 0. Vì
F có đồ thị đóng nên trong trường hợp này Fr = F và x¯ ∈ F (¯
z ). Lấy
(z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯
z , x¯), gphF thỏa mãn x∗

1+ε. Từ định nghĩa ε−pháp

tuyến ta thu được
lim sup
gphF

z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯
z − z¯ + x − x¯

ε.

(z,x)→(¯

z ,¯
x)

Điều này có nghĩa là với bất kỳ γ > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯

(ε + γ)( z − z¯ + x − x¯ ),

(1.2)

với mọi (z, x) ∈ [intBδ (¯
z ) × intBδ (¯
x)] ∩ gphF . Đặt δ¯ := min{ 8( δ+1) , 1},
trong đó

là một modulus Lipschitz của ρ quanh (¯
x, y¯). Lấy (z, x) ∈


8

¯ × B). Nếu (z, x) ∈ gphF thì ρ(z, x) = 0 và ta có
(¯
z , x¯) + δ(B
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯

(ε + γ)( z − z¯ + x − x¯ )
+ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯).

Nếu x ∈
/ F (z) thì ta chọn x1 ∈ F (z) sao cho
x − x1

ρ(z, x) + z − z¯

2

+ x − x¯ 2 .

Do đó,
x − x1

ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯) + z − z¯

2

+ x − x¯

2

≤ ( z − z¯ + x − x¯ ) + 2δ¯
2 δ¯ + 2δ¯ < 2δ .

Từ đó ta suy ra x1 − x¯

x1 − x + x − x¯ < δ . Bây giờ ta thay

(z, x1 ) ∈ gphF vào (1.2), ta có

z ∗ , z − z¯ + x∗ , x1 − x¯

(ε + γ)( z − z¯ + x1 − x¯ ).

Từ các quan hệ ở trên ta thu được ước lượng
z ∗ , z − z¯

+ x∗ , x − x¯ = z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x1 + x∗ , x1 − x¯
x∗ , x − x1 + (ε + γ) z − z¯ + x1 − x¯
x∗ , x − x1 + (ε + γ) x − x1 + z − z¯ + x − x¯
x∗ + ε + γ

x − x1 + (ε + γ) z − z¯ + x − x¯

(1 + 2ε + γ) d x; F (z) + x − x¯

2

+ z − z¯

2

+(ε + γ) z − z¯ + x − x¯
ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯) + (1 + 2ε + γ) x − x¯
+ ε(2 + 1) + γ( + 1)

2

+ z − z¯

z − z¯ + x − x¯ .

2


9

Cho (z, x) → (¯
z , x¯) trong cả hai trường hợp (z, x) ∈ gphF và (z, x) ∈
/
gphF, ta có
ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯) − z ∗ , z − z¯ − x∗ , x − x¯
lim inf
≥ −αε,
z − z¯ + x − x¯
(z,x)→(¯
z ,¯
x)

với α := 2 + 1. Do đó, (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂αε ρ(¯
z , x¯). Tiếp theo chúng ta chứng
minh (ii). Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯
z , x¯); gphFr với r = d x¯; F (¯
z ) > 0 sao
cho 1 − ε

x∗

1 + ε. Với bất kỳ η > 0 đủ nhỏ, tồn tại x0 sao cho

x0 = 1 và x∗ , x0 ≥ 1 − ε − η > 0. Theo định nghĩa của ε−pháp tuyến,

tồn tại δ > 0 để với mọi (z, x) ∈ intBδ (¯
z ) × intBδ (¯
x) ∩ gphFr , ta có
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯

(ε + η)( z − z¯ + x − x¯ ).

(1.3)

Vì hàm ρ Lipschitz địa phương quanh điểm (¯
z , x¯) ∈ gphFr nên hàm
ρr (z, x) := d x, Fr (z) là Lipschitz địa phương quanh điểm (¯
z , x¯) với

cùng modulus Lipschitz. Do đó, sử dụng khẳng định (i) của định lý, chúng
ta nhận được rằng (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂αε ρr (¯
z , x¯) với α > 0 nào đó. Do đó, tồn tại
0 < δ1 < δ sao cho
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯

d x; Fr (z) − d x¯; Fr (¯
z)

(1.4)
+(αε + η)( z − z¯ + x − x¯ ),

với mọi (z, x) ∈ Bδ1 (¯
z ) × Bδ1 (¯
x). Đặt
δ¯ :=

δ1
2 +1

¯ × B). Xét hai trường hợp sau đây của (z, x):
và lấy (z, x) ∈ (¯
z , x¯) + δ(B
(a) (z, x) ∈
/ gphFr

và (b) (z, x) ∈ gphFr .

Trong trường hợp (a) chúng ta có d x, F (z) > r. Ta có
d x, Fr (z) = d x, F (z) − r = ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯).

Do đó, từ (1.4) ta suy ra
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯

ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯) + (αε + η)( z − z¯ + x − x¯ ).


10

Tiếp theo xét trường hợp (b). Ta có d x; F (z)

r. Đặt

x := x + ρ(¯
z , x¯) − ρ(z, x) x0 .

Vì
ρ(z, x) = d x; F (z)

d x; F (z) + x − x
= ρ(z, x) +

ρ(¯
z , x¯) − ρ(z, x) x0

= ρ(z, x) + ρ(¯
z , x¯) − ρ(z, x) x0
ρ(z, x) + ρ(¯
z , x¯) − ρ(z, x)

r,

nên x ∈ Fr (z). Hơn nữa,
x − x¯

x − x¯ + x − x
= x − x¯ +

ρ(¯
z , x¯) − ρ(z, x) x0

= x − x¯ + |ρ(¯
z , x¯) − ρ(z, x)|

(1.5)

x − x¯ + ( x − x¯ + z − z¯ )
δ¯ + 2 δ¯ < δ.

Kết hợp (1.3) và (1.5) ta thu được
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯

(ε + η)( x − x¯ + z − z¯ )
(ε + η) x − x¯ + z − z¯
+ ( x − x¯ + z − z¯ )
(ε + η)( + 1)( x − x¯ + z − z¯ ).

Từ đó ta suy ra
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯
(ε + η)( + 1)( x − x¯ + z − z¯ ) + x∗ , (ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯))x0
(ε + η)( + 1)( x − x¯ + z − z¯ ) + ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯) (1 − ε − η)
[(ε + η)(2 + 1)]( z − z¯ + x − x¯ ) + ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯).


11

Đặt α := max{α, 2 + 1}, trong đó α đã được chọn trong (1.4). Với lưu ý

rằng η > 0 đươc chọn tùy ý, ta suy ra (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂αε ρ(¯
z , x¯).
1.2.3 Hệ quả. Dưới các giả thiết của Định lý 1.2.2, với (¯
z , x¯) ∈
/ gphF ,
ta có
∂ρ(¯
z , x¯) = (z ∗ , x∗ ) ∈ N (¯
z , x¯); gphFr , x∗ = 1 ,

(1.6)

với r = d x¯; F (¯
z ) . Đặc biệt, nếu Ω là một tập con đóng khác rỗng của
khơng gian Banach X , thì
∂d(¯
x; Ω) = N (¯
x, Ωr ) ∩ S ∗ ,

với r = d(¯
x; Ω) > 0, ở đây Ωr := x ∈ X | d(x; Ω)

(1.7)
r

và S ∗ là mặt

cầu đơn vị đóng trong X ∗ .
Chứng minh. Theo khẳng định (ii) của Mệnh đề 1.2.1 với ε = 0,
∂ρ(¯

z , x¯) ⊂ (z ∗ , x∗ ) ∈ N (¯
z , x¯); gphFr , x∗ = 1 .

Theo khẳng định (ii) của Định lý 1.2.2 với ε = 0,
z , x¯).
(z ∗ , x∗ ) ∈ N (¯
z , x¯); gphFr , x∗ = 1 ⊂ ∂ρ(¯

Từ đó ta suy ra (1.6). Đặt F (z) := Ω với mọi z ∈ Z . Ta có ρ(z, x) =
d(x; Ω) với mọi (z, x) ∈ Z × X , Fr (z) = Ωr với mọi z ∈ Z và gphFr =
Z × Ωr . Vì vậy,
∂ρ(¯
z , x¯) = {0} × ∂d(¯
x; Ω) và N (¯
z , x¯); gphFr = {0} × N x¯; Ωr .

Do đó, (1.7) được suy ra từ (1.6).
1.2.4 Định lý. Cho F : Z ⇒ X là một ánh xạ đa trị có đồ thị đóng,
(¯
z , x¯) ∈ Z × X và r := d x¯, F (¯
z ) . Dưới các giả thiết của Định lý 1.2.2,

ta có
N (¯
z , x¯); gphFr =

λ∂ρ(¯
z , x¯).
λ≥0

12

Nói riêng ra,
N (¯
x; Ωr ) =

λ∂d(¯
x; Ωr ),
λ≥0

ở đây r = d(¯
x, Ω) và Ω là một tập con đóng khác rỗng của X .
Chứng minh. Tương tự như trong chứng minh của Hệ quả 1.2.3, chúng
ta có thể suy ra công thức thứ hai từ công thức thứ nhất với F (z) ≡ Ω.
Từ Mệnh đề 1.2.1 ta suy ra
λ∂ρ(¯
z , x¯) ⊂ N (¯
z , x¯); gphFr .
λ 0

Vì ρ Lipschitz địa phương quanh điểm (¯
z , x¯) ∈ gphF nên ρr (z, x) :=
d x; Fr (z) cũng Lipschitz địa phương quanh điểm (¯
z , x¯). Do đó, ánh

xạ đa trị Fr là Lipschitz-like quanh điểm (¯
z , x¯) ∈ gphFr . Lấy bất kỳ
(z0∗ , x∗0 ) ∈ N (¯
z , x¯); gphFr . Nếu x∗0 = 0 thì, do Fr là Lipschitz-like quanh

điểm (¯
z , x¯), z0∗ = 0. Với quy ước 0 · ∅ = 0, ta có
(z0∗ , x∗0 ) = (0, 0) ∈

λ∂ρ(¯
z , x¯).
λ 0

Tiếp theo ta xét trường hợp x∗0 = 0. Đặt λ = x∗0 > 0. Vì (z0∗ , x∗0 ) ∈
N (¯
z , x¯); gphFr nên
1 ∗ ∗
(z0 , x0 ) ∈ (z ∗ , x∗ ) ∈ N (¯
z , x¯); gphFr , x∗ = 1 .
λ

Theo Hệ quả 1.2.3, (z0∗ , x∗0 ) ∈ λ∂ρ(¯
z , x¯). Ta có điều phải chứng minh.
1.2.5 Định nghĩa. Cho X là một không gian Banach, Ω ⊂ X và x ∈ X .
Ta gọi Π(x, Ω) := {u ∈ Ω | u − x = d(x; Ω)} là tập các hình chiếu của
x lên Ω.

1.2.6 Định lý. Cho Z, X là các không gian Banach, F : Z ⇒ X là
ánh xạ đa trị và ε ∈ [0; 1]. Giả sử (¯
z , x¯) ∈
/ gphF là điểm thỏa mãn
Π x¯; F (¯
z ) = ∅. Khi đó,
∂ε ρ(¯

z , x¯) ⊂ (z ∗ , x∗ ) ∈

Nε (¯
z , y¯); gphF , 1−ε
y¯∈Π(¯
x,F (¯
z ))

x∗

1+ε .


13

Nói riêng ra,
Nε (¯
y ; Ω) ∩ [1 − ε, 1 + ε]S ∗

∂ε d(¯
x; Ω) ⊂
y¯∈Π(¯
x,Ω)

nếu x¯ ∈
/ Ω và Π(¯
x, Ω) = ∅.
Chứng minh. Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ε ρ(¯
z , x¯). Với bất kỳ η > 0, theo định nghĩa
của ε- dưới gradient, tồn tại δ > 0 sao cho

z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯
ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯)
(1.8)
+(ε + η)( z − z¯ + x − x¯ ),

với mọi (z, x) ∈ intBδ (¯
z ) × intBδ (¯
x). Lấy y¯ ∈ Π x¯; F (¯
z ) và (z, x) ∈
intBδ (¯
z ) × intBδ (¯
y ) ∩ gphF. Theo(1.8),
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − y¯

(ε + η)( z − z¯ + x − y¯ )
+ρ(z, x − y¯ + x¯) − x¯ − y¯
(ε + η)( z − z¯ + x − y¯ ).
z¯ ta suy ra x∗ ∈

z , x¯); gphF . Từ (1.8) với z
Do đó, (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯
∂ε d(.x¯; ) khi x¯ ∈
/

:= clF (¯
z ). Do đó, 1 − ε

x∗

1 + ε. Điều này

chứng tỏ
∂ε ρ(¯
z , x¯) ⊂ (z ∗ , x∗ ) ∈

Nε (¯
z , y¯); gphF , 1−ε

x∗

1+ε .

y¯∈Π(¯
x,F (¯
z ))

Từ đó, bằng cách đặt F (z) = Ω, ta thu được bao hàm thức thứ hai.
1.2.7 Định lý. Cho Z, X là các không gian Banach, F : Z ⇒ X là
ánh xạ đa trị có đồ thị đóng và (¯
z , x¯) ∈
/ gphF . Với η > 0, đặt
η

:= (u, v) ∈ gphF | v − z¯

η, u − x¯

ρ(¯
z , x¯) + η .

Khi đó, với ε ∈ [0, 1], ta có
(z ∗ , x∗ ) ∈ Nε+η (v, u); gphF ,

∂ε ρ(¯
z , x¯) ⊂
η>0 (v,u)∈Θη

1−ε

x∗

1+ε .


14

Nói riêng ra, với bất kỳ tập đóng Ω và x¯ ∈
/ Ω, ta có
Nε+η (¯
x; Ω) ∩ [1 − ε, 1 + ε]S ∗ ,

∂ε d(¯
x; Ω) ⊂
η>0 x∈Πη (¯
x;Ω)

trong đó Πη (¯
x; Ω) := x ∈ Ω | x − x¯

d(¯
x; Ω) + η .

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh bao hàm thức thứ nhất ở trong định
lý, bởi vì bao hàm thức cịn lại được suy ra từ bao hàm thức thứ nhất
bằng cách đặt F (z) = Ω với mọi z ∈ Z . Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ε ρ(¯
z , x¯) và η > 0.
Với bất kỳ γ ∈ (0, η2 ), tồn tại δ > 0 sao cho
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯

ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯) + (ε + γ)( z − z¯ + x − x¯ ),

với mọi (z, x) ∈ intBδ (¯
z ) × intBδ (¯
x). Lấy 0 < η < min{γ, 4δ , 1} và chọn
y¯ ∈ F (¯
z ) thỏa mãn
ρ(¯
z , x¯) + η 2 .

y¯ − x¯

Với bất kỳ (z, x) ∈ intBδ (¯
z ) × intBδ (¯
y ) ∩ gphF , ta có
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − y¯

ρ(z; x − y¯ + x¯) − x¯ − y¯ + η 2
+(ε + γ)( z − z¯ + x − y¯ )

(ε + γ)( z − z¯ + x − y¯ ) + η 2 .

Đặt
ϕ(z, x) := − z ∗ , z − z¯ − x∗ , x − y¯ + (ε + γ)( z − z¯ + x − y¯ ) + η 2 ,

với mọi (z, x) ∈ Z × X . Ta có ϕ liên tục trên không gian mêtric đầy đủ
W := gphF ∩ (¯
z , y¯) + δB và
ϕ(¯
z , y¯)

inf ϕ(z, x) + η 2 .
W

Theo nguyên lý biến phân Ekeland, tồn tại (v, u) ∈ W thỏa mãn
v − z¯ < η , u − y¯ < η và
−

z ∗ , v − z¯ − x∗ , u − y¯ + (ε + γ)( v − z¯ + u − y¯ + η 2
− z ∗ , z − z¯ − x∗ , x − y¯ + (ε + η)( z − z¯ + x − y¯
+η 2 + η( v − z + u − x ) với mọi(z, x) ∈ W.


15

Điều này kéo theo
z ∗ , z − v + x∗ , x − u

(ε + γ + η)( z − v + x − u )
(ε + 2γ)( z − v + x − u )

(ε + η)( z − v + x − u )

với mọi (z, x) ∈ W . Hơn nữa, theo cách chọn η , ta có
(v, u) + ηB ⊂ (¯
z , y¯) + δB

và do đó
z ∗ , z − v + x∗ , x − u

(ε + η)( z − v + x − u )

với mọi (z, x) ∈ gphF ∩ (v, u) + ηB . Điều này chứng tỏ
(z ∗ , x∗ ) ∈ Nε+η (v, u); gphF .

Lưu ý rằng v − z¯
u − x¯

η < η và

u − y¯ + y¯ − x¯

Từ Định lý 1.2.6 ta suy ra 1 − ε
(z ∗ , x∗ ) ∈

η + ρ(¯
z , x¯) + η
x∗

1 + ε. Do đó,

(z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (v, u); gphF , 1 − ε
(v,u)∈

η

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.

ρ(¯
z , x¯) + η.

x∗

1+ε .


16

CHƯƠNG 2
DƯỚI VI PHÂN QUA GIỚI HẠN CỦA
HÀM KHOẢNG CÁCH

Chương này được dành để khảo sát dưới vi phân qua giới hạn của hàm
khoảng cách và mối quan hệ giữa nó với nón pháp tuyến qua giới hạn của
tập tương ứng.
2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Trong mục này, chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm và tính chất cần
thiết trong giải tích biến phân và phép tính vi phân suy rộng.
2.1.1 Định nghĩa. Cho X là một không gian Banach và Ω là một tập
con đóng khác rỗng của X . Nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại x¯ ∈ Ω

là tập con N (x; Ω) của X ∗ được xác định bởi
N (¯
x, Ω) :=

Lim sup

(2.1)

Nε (x; Ω),

Ω

x → x¯, ε ↓ 0

nghĩa là

x∗

Ω

∈ N (¯
x, Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại εk ↓ 0, xk → x¯,

x∗k

w∗

→ x∗ sao

cho x∗k ∈ Nεk (xk ; Ω). Nếu x¯ ∈

/ Ω thì N (¯
x; Ω) := ∅.
2.1.2 Nhận xét. Tập N (¯
x, Ω) có thể khơng lồi. Trong trường hợp Ω là
tập lồi, ta có
N (¯
x, Ω) = N x¯; Ω = x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯

0, ∀x ∈ Ω .


17

Nếu Ω là tập đóng và X là khơng gian Asplund, tức là X là khơng gian
Banach có tính chất: mọi khơng gian con đóng khả ly của X có khơng
gian đối ngẫu khả ly, thì trong (2.1) ta có thể lấy ε = 0.
¯ := [−∞, ∞] là hữu hạn tại x¯.Dưới
2.1.3 Định nghĩa. Cho ϕ : X → R

vi phân qua giới hạn của ϕ tại x¯ được xác định bởi
∂ϕ(¯
x) :=

Lim sup
ϕ

(2.2)

∂ε ϕ(x),

x → x¯, ε ↓ 0
ϕ

ở đây x → x¯ nghĩa là x → x¯ và ϕ(x) → ϕ(¯
x). Nếu |ϕ(¯
x)| = +∞, thì
∂ϕ(¯
x) := ∅.

2.1.4 Chú ý. Nếu X là không gian Asplund và ϕ là nửa liên tục dưới
quanh điểm x¯, thì, trong cơng thức (2.6), ∂ε ϕ(x) có thể thay bằng ∂ϕ(x).
2.1.5 Định nghĩa. Cho X , Y là các không gian Banach, F : X ⇒ Y
và (¯
x, y¯) ∈ gphF := (x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) . Đối đạo hàm của F
tại (¯
x, y¯) là ánh xạ đa trị D∗ F (¯
x, y¯) : Y ∗ ⇒ X ∗ được xác định bởi
D∗ F (¯
x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ (x∗ , −y ∗ ) ∈ N (¯
x, y¯); gphF

(2.3)

.

∗ F (¯
Đối đạo hàm hỗn hợp của F tại (¯
x, y¯) là ánh xạ DM
x, y¯) : Y ∗ ⇒ X ∗

được xác định bởi
∗ F (¯
DM
x, y¯)(y ∗ )

:=

x∗

∈

X∗

gphF

∃εk ↓ 0, (xk , yk ) −→ (¯
x, y¯),

(2.4)
x∗k

w

∗

→

x∗ , yk∗

.

→ y ∗ với (x∗k , −yk∗ ) ∈ Nεk (xk , yk ); gphF

.

¯ := [−∞, ∞] là hữu hạn tại x¯, thì
2.1.6 Chú ý. Nếu ϕ : X → R
∂ϕ(¯
x) = D∗ Eϕ x¯, f (¯
x) (1)
=

x∗

∈

X∗

(x∗ , −1)

(2.5)
∈N

x¯, ϕ(¯
x) ; epiϕ

.


18

¯ := [−∞, ∞] là một hàm số hữu
2.1.7 Định nghĩa. Cho ϕ : X → R

hạn tại x¯.Dưới vi phân qua giới hạn suy biến của ϕ tại x¯ là tập ∂ ∞ ϕ(¯
x)
được xác định bởi
∂ ∞ ϕ(¯
x) :=

Lim sup

λ∂ε ϕ(x).

ϕ

x → x¯; λ, ε ↓ 0

2.1.8 Định nghĩa. Chuẩn . trên không gian Banach X được gọi là
chuẩn Kadec nếu sự hội tụ theo tôpô sinh bởi chuẩn và hội tụ theo tôpô
yếu trùng nhau trên mặt cầu đơn vị.
2.1.9 Nhận xét. Mọi không gian Banach phản xạ đều có một chuản
tương đương là chuẩn Kadec.
¯ := [−∞, ∞] là hữu hạn tại x¯.
2.1.10 Định nghĩa. Cho ϕ : X → R

Dưới vi phân qua giới hạn phải của ϕ tại x¯ được xác định bởi
∂ ϕ(¯
x) :=

Lim sup

∂ε ϕ(x),

(2.6)

+

ϕ

x → x¯, ε ↓ 0
ϕ+

ϕ

ở đây x → x¯ nghĩa là x → x¯ và ϕ(x)

ϕ(¯
x). Nếu |ϕ(¯
x)| = +∞, thì

∂ ϕ(¯
x) := ∅.

2.1.11 Định nghĩa. Cho X, Y là các không gian Banach, Ω ⊂ X và
K ⊂X ×Y.

(i) Ta nói Ω là compact pháp tuyến theo dãy (SNC) tại x¯ ∈ Ω nếu với
Ω

bất kỳ εk ↓ 0, xk → x¯ và x∗k ∈ Nεk (xk ; Ω), ta có

[x∗k

w∗

→ 0] =⇒ [ x∗k → 0] khi k → ∞.

(2.7)

(ii) Tập K được gọi là SNC tại (¯
x, y¯) đối với X nếu (2.7) đúng với
K

mọi dãy εk ↓ 0, (xk , yk ) → (¯
x, y¯) và (x∗k , yk∗ ) ∈ Nεk (xk , yk ); K .


19

2.2. Ước luợng dưới vi phân qua giới hạn của hàm khoảng cách

Mục này trình bày một số ước lượng dưới vi phân qua giới hạn của hàm
khoảng cách.
2.2.1 Định lý. Cho Z , X là các không gian Banach, F : Z ⇒ X là
một ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, (¯
z , x¯) ∈
/ gphF và r = ρ(¯
z , x¯).Giả sử
rằng gphFr là một tập đóng. Khi đó,
(i) Bao hàm thức
∂ ρ(¯

z , x¯) ⊂ N (¯
z , x¯); gphFr ∩ (Z ∗ × B∗ )

(2.8)

là đúng. Nếu gphFr là SNC tại (¯
z , x¯) đối với X , thì
∂ ρ(¯
z , x¯) ⊂ N (¯
z , x¯); gphFr ∩ Z ∗ × (B∗ \{0}) .

(2.9)

∂ ρ(¯
z , x¯) ⊂ N (¯
z , x¯); gphFr ∩ Z ∗ × S ∗

(2.10)

Hơn thế,

nếu X là khơng gian hữu hạn chiều.
(ii) Ngược lại, bao hàm thức
N (¯
z , x¯); gphFr ∩ Z ∗ × (B∗ \{0}) ⊂

λ∂ ρ(¯
z , x¯)

(2.11)

λ>0

là đúng nếu ρ là Lipschitz địa phương quanh điểm (¯
z , x¯).
Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh (2.8). Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ ρ(¯
z , x¯).
ρ

Khi đó, tồn tại εk ↓ 0, (zk , xk ) → (¯
z , x¯) và
ρ(zk , xk )

(zk∗ , x∗k )

w∗

→ (z ∗ , x∗ ) sao cho

ρ(¯
z , x¯) > 0 và (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂ρεk (zk , xk ) với mọi k ∈ N. Vì gphF

đóng, (¯
z , x¯) ∈ gphF và (zk , xk ) → (¯
z , x¯), nên (zk , xk ) ∈ gphF khi k đủ
lớn. Nếu có một dãy (zk , xk ) thỏa mãn ρ(zk , xk ) = r = ρ(¯
x, z¯) thì, theo
khẳng định (ii) của Mệnh đề 1.2.1,
(zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk (zk , xk ); gphFr

và 1 − εk

x∗k

1 + εk .

(2.12)


20

Trong trường hợp ngược lại, khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử
(zk , xk ) ∈ gphF với mọi k . Khi đó, ρ(zk , xk ) > ρ(¯
z , x¯) = r với mọi k và
ρ(z, x) = r+ρr (z, x) với mọi (z, x) ∈ gphFr , ở đây ρr (z, x) := d x; Fr (z) .

Điều này chứng tỏ
(zk∗ , x∗k ) ∈ ∂εk ρ(zk , xk ) = ∂εk (r + ρr )(zk , xk ) = ∂εk ρr (zk , xk ),

với mọi k ∈ N và ηk := ρr (zk , xk ) = ρ(zk , xk ) − r ↓ 0 khi k → ∞. Theo
Đinh lý 1.2.7, tồn tại (vk , uk ) ∈ gphFr sao cho
zk − vk

ηk ,

xk − uk

ρr (zk , xk ) + ηk

(zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk +ηk (vk , uk ); gphFr và 1 − εk

x∗k

2ηk ,
1 + εk .

(2.13)

Lấy giới hạn các biểu thức ở trong (2.12) và (2.13) khi k → ∞, ta suy ra
(z ∗ , x∗ ) ∈ N (¯
z , x¯); gphFr và x∗

1. Điều này chứng tỏ (2.8) đúng.

Hơn thế, nếu gphFr là SNC tại (¯
z , x¯) đối với X , thì x∗ = 0 và do đó,
ta có (2.9). Khi X hữu hạn chiều, lấy giới hạn các biểu thức trong (2.12)
và (2.13) khi k → ∞, ta có x∗ = 1. Do đó, (2.10) được chứng minh.
Bây giờ chúng ta chứng minh (ii). Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ N (¯
z , x¯); gphFr với
x∗ = 0. Theo định nghĩa ε-pháp tuyến, tồn tại εk ↓ 0,
w

∗

(zk , xk ) →

(¯
z , x¯) và (zk∗ , x∗k ) −→ (z ∗ , x∗ ) thỏa mãn
ρ(zk , xk )

r = ρ(¯
z , x¯) và (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk (zk , xk ); gphF ,

với mọi k ∈ N. Do 0 < x∗
cần, ta tìm được µ > 0 thỏa

lim inf x∗k , bằng cách thay dãy con nếu

k→∞
mãn x∗k

µ > 0 và εk < µ với mọi k . Từ

đó suy ra
1
(zk∗ , x∗k ) ∈ (z ∗ , x∗ ) ∈ Nεk /µ (zk , xk ); gphFr , x∗ = 1 .
∗
xk

Nếu ρ(zk , xk ) < r thì x∗k

εk < µ. Điều này mâu thuẫn với tính chất

của µ. Vậy ρ(zk , xk ) = r = ρ(¯
z , x¯) với mọi k .Theo khẳng định (i) của


21

Định lý 1.2.2, dưới giả thiết về tính Lipschitz của ρ, tồn tại một dãy bị
chặn các số dương αk sao cho
1
(zk∗ , x∗k ) ∈ ∂αk εk ρ(zk , xk ).
∗
xk

Từ dãy số

x∗k

bị chặn, bằng cách thay dãy con nếu cần, chúng ta có

thể giả sử rằng x∗k → λ khi k → ∞ với λ
(z ∗ , x∗ ) ∈ λ∂ ρ(¯
z , x¯) ⊂

µ > 0. Do đó,
λ∂ ρ(¯
z , x¯),

λ 0

Vì vậy, (ii) được chứng minh.
2.2.2 Hệ quả. Cho Z, X là các không gian Banach, F : Z ⇒ X là
ánh xạ đa trị có đồ thị đóng và (¯
z , x¯) ∈ gphF với r = ρ(¯
z , x¯). Giả sử
rằng ρ là liên tục Lipschitz quanh điểm (¯
z , x¯) và gphFr là SNC đối với

X tại điểm (¯
z , x¯) (giả thiết SNC tự động thỏa mãn nếu dimX < ∞ ).

Khi đó,
λ∂ ρ(¯
z , x¯).

N (¯
z , x¯); gphFr =

(2.14)

λ 0

Chứng minh. Chiều "⊃" trong ( 2.14) có được từ ( 2.8) mà không cần
điều kiện ρ liên tục Lipschitz và gphFr là SNC. Bây giờ chúng ta chứng
minh bao hàm thức ngược lại. Nhờ ( 2.11), ta chỉ cần chứng minh
(z ∗ , 0) ∈ N (¯
z , x¯); gphF ⇒ z ∗ = 0.

(2.15)

Vì ρ liên tục Lipschitz quanh điểm (¯
z , x¯) nên ρr liên tục Lipschitz quanh
điểm (¯
z , x¯). Do đó, Fr là Lipschitz-like quanh điểm (¯
z , x¯). Từ đó suy ra
∗ F (¯
DM
¯)(0) = {0}. Dưới giả thiết SNC của gphFr , ta có

r x, y
∗
∗
DN
Fr (¯
x, y¯)(0) = DM
Fr (¯
x, y¯)(0).

Thật vậy, lấy (z ∗ , 0) ∈ N (¯
z , x¯); gphFr . Khi đó, theo định nghĩa, tồn
gphFr

tại εk ↓ 0, (zk , xk ) −→ (¯
z , x¯) và (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk (zk , xk ); gphFr sao cho


22
w∗

(zk∗ , x∗k ) → (z ∗ , 0) khi k → ∞. Từ giả thiết SNC của Fr đối với X ta suy

ra x∗k → 0. Mặt khác, nhờ tính chất Lipschitz-like của Fr quanh điểm
(¯
z , x¯) với modulus , ta có zk∗

x∗k + εk (1 + ), với mọi k ∈ N đủ

lớn. Vì vậy, zk∗ −→ 0 và z ∗ = 0. Điều này chứng tỏ ( 2.15) đúng. Từ đó
ta suy ra điều phải chứng minh.

2.2.3 Hệ quả. Giả sử Ω là một tập con đóng của khơng gian Banach
X , x¯ ∈ Ω và r = d(¯
x, Ω). Khi đó,

(i) ∂ d(¯
x, Ω) ⊂ N (¯
x; Ωr ) ∩ B∗ . Nếu Ωr là SNC tại x¯ thì
∂ d(¯
x, Ω) ⊂ N (¯
x; Ωr ) ∩ B∗ \ {0}.

Hơn nữa, ∂ d(¯
x, Ω) ⊂ N (¯
x; Ωr ) ∩ S ∗ miễn là X hữu hạn chiều.
(ii) Bao hàm thức sau đây là đúng:
(2.16)

λ∂ d(¯
x, Ω).

N (¯
x; Ωr ) =
λ 0

Chứng minh. Vì d(.; Ω) là liên tục Lipschitz nên khẳng định (i) được suy
ra từ Định lý 2.2.1 (i) với F (.) = Ω. Tiếp theo, chúng ta chứng minh (ii).
Từ ( 2.8) ta suy ra quan hệ "⊃" trong (2.16). Theo ( 2.11),
N (¯
x; Ωr )\{0} ⊂

λ∂ d(¯
x, Ω).

(2.17)

λ>0

Do đó,
N (¯
x; Ωr ) ⊂

λ∂ d(¯
x, Ω),
λ 0

ở đây quy ước 0.∅ = 0. Như vậy, đẳng thức (2.16) được chứng minh.
2.2.4 Bổ đề. Cho Z, X là các không gian Banach, F : Z ⇒ X là một
ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, (¯
z , x¯) ∈ gphF và γ > 0. Giả sử ρ là nửa
liên tục trên tại (¯
z , x¯). Khi đó,
(z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯
z , x¯); gphF

(2.18)
=⇒

(z ∗ , x∗ )

∈ λ∂ε ρ(¯

z , x¯) với λ :=

x∗

+ε+γ .


23

Chứng minh. Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯
z , x¯); gphF . Khi đó, với mỗi η ∈ (0, γ),
tồn tại δ ∈ (0, 1) sao cho
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯

(η + ε)( z − z¯ + x − x¯ ),

(2.19)

với mọi (z, x) ∈ int Bδ (¯
z ) × int Bδ (¯
x) ∩ gphF . Nhờ tính liên tục trên của
ρ tại (¯
z , x¯), ta chọn được δ1 > 0 sao cho
ρ(z, x) − ρ(¯
z , x¯) = ρ(z, x) <

δ
với mọi (z, x) ∈ int Bδ1 (¯
z ) × int Bδ1 (¯
x).

8

δ
¯ × B). Nếu (z, x) ∈ gphF
z , x¯) + δ(B
Đặt δ¯ := min{δ1 , } và lấy (z, x) ∈ (¯
4
thì, theo ( 2.19), ta có
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯

(η + ε)( z − z¯ + x − x¯ )

(2.20)
λρ(z, x) + (η + ε)( z − z¯ + x − x¯ ),

ở đây λ được xác định như trong (2.18). Nếu (z, x) ∈ gphF thì x ∈ F (z)
và tồn tại x1 ∈ F (z) thỏa mãn
x1 − x

Do đó, x1 − x¯

ρ(z, x) + z − z¯

2

+ x − x¯

2

δ

δ
δ
δ
+
+
< .
8 16 16 2

δ ¯
+ δ < δ. Nhờ (2.19), ta có
2
(η + ε)( z − z¯ + x1 − x¯ ).

x1 − x + x − x¯ <

z ∗ , z − z¯ + x∗ , x1 − x¯

Từ các ước lượng trên chúng ta suy ra
z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ = x∗ , x − x1 + z ∗ , z − z¯ + x∗ , x1 − x¯
x∗ , x − x1 + (η + ε)( z − z¯ + x1 − x¯ )
( x∗ + η + ε) x − x1 + (η + ε)( z − z¯ + x − x¯ )
( x∗ + γ + ε)ρ(z, x) + (η + ε)( z − z¯ + x − x¯ )
+( x∗ + γ + ε)( z − z¯

2

+ x − x¯ 2 )

λρ(z, x) + (η + ε)( z − z¯ + x − x¯ ) + λ( z − z¯

Vì vậy, (z ∗ , x∗ ) ∈ λ∂ε ρ(¯
z , x¯), nghĩa là (2.18) đúng.

2

+ x − x¯ 2 ).


24

2.2.5 Định lý. Cho Z, X là các không gian Banach và F : Z ⇒ X là
một ánh xạ đa trị có đồ thị đóng. Giả sử ρ là nửa liên tục trên một
lân cận của (¯
z , x¯) ∈ gphF . Khi đó,
∗
∂ ∞ ρ(¯
z , x¯) = (z ∗ , 0) ∈ Z ∗ × X ∗ z ∗ ∈ DM
F (¯
z , x¯)(0) .

(2.21)

Chứng minh. Theo định nghĩa của dưới vi phân qua giới hạn suy biến,
∂ ∞ ρ(¯
z , x¯) =

Lim sup

(2.22)

λ∂ε ρ(z, x).

ρ

(z,x)→(¯
z ,¯
x);λ,ε↓0

Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ ∞ ρ(¯
z , x¯). Từ (2.22) ta suy ra tồn tại dãy εk ↓ 0, λk ↓ 0,
ρ

(zk , xk ) → (¯
z , x¯) và (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂ε ρ(zk , xk ) sao cho
λk (zk∗ , x∗k )

w∗

→ (z ∗ , x∗ ) khi k → ∞.

Ta xét hai trường hợp sau.
(i) {(zk , xk )} có một dãy con {(zki , xki )} ⊂ gphF . Theo Mệnh đề 1.2.1(i),
xki

1 + εki và (zk∗i , x∗ki ) ∈ Nεki (zki , xki ); gphF . Do đó,
(λki zk∗i , λki x∗ki ) ∈ Nλki εki (zki , xki ); gphF và λki x∗ki → 0.

∗ F (¯
Vì vậy, x∗ = 0 và z ∗ ∈ DM
z , x¯)(0).

(ii) (zk , xk ) ∈ gphF với mọi k ∈ N đủ lớn. Đặt ηk := ρ(zk , xk ) > 0.
Theo Định lý 1.2.7, tồn tại (vk , uk ) ∈ gphF sao cho
zk − vk

ηk ,

xk − uk

ρ(zk , xk ) + ηk = 2ηk ,

(zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk +ηk (vk , uk ); gphF và 1 − εk

x∗k

1 + εk .

∗ F (¯
Tương tự trường hợp thứ nhất ta suy ra x∗ = 0 và z ∗ ∈ DM
z , x¯)(0).

Vậy quan hệ "⊂" trong (2.21) là đúng.
∗ F (¯
Tiếp theo chúng ta chứng minh chiều ngược lại. Lấy z ∗ ∈ DM
z , x¯)(0).
gphF

Theo định nghĩa M -đối đạo hàm, tồn tại εk ↓ 0, (zk , xk ) −→ (¯
z , x¯) và
(zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk (zk , xk ); gphF sao cho

zk∗

w∗

−→ z ∗ và x∗k → 0 khi k → ∞.


25

Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử ρ nửa liên tục trên tại (zk , xk ).
Theo Bổ đề 2.2.4,
(zk∗ , x∗k ) ∈ λk ∂ρ(zk , xk ) với λk = x∗k + εk +

1
với mọi k ∈ N.
k

Vì λk ↓ 0 nên (z ∗ , 0) ∈ ∂ ∞ ρ(¯
z , x¯). Định lý được chứng minh.
2.2.6 Định lý. Cho (¯
z , x¯) ∈ gphF và r = ρ(¯
z , x¯), trong đó F : Z ⇒ X
là ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach sao cho gphF và gphFr
là đóng địa phương quanh (¯
z , x¯). Khi đó,
∗
∂ ∞ ρ(¯
z , x¯) ⊂ (z ∗ , 0) ∈ Z ∗ × X ∗ : z ∗ ∈ DM
Fr (¯
z , x¯)(0) .

(2.23)

z , x¯). Khi đó, tồn tại dãy εk ↓ 0,
Chứng minh. Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ ∞ ρ(¯
ρ
(zk , xk ) −→ (¯
z , x¯) với ρ(zk , xk )
ρ(¯
z , x¯) = r, (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂ε ρ(zk , xk ) và
λk ↓ 0 sao cho
λk (zk∗ , x∗k )

w∗

−→ (z ∗ , x∗ ) khi k → ∞.

Khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử rằng (zk , xk ) ∈ gphF với mọi
k ∈ N. Nếu tồn tại dãy con (zki , xki ) sao cho ρ(zki , xki ) = r với mọi
i ∈ N, thì theo Mệnh đề 1.2.1, ta có
x∗ki

(zk∗i , x∗ki ) ∈ Nεki (zki , xki ); gphFr với 1 − εki

1 + εki .

Trong trường hợp cịn lại ta có thể giả sử ρ(zk , xk ) > r với mọi k ∈ N. Lập
luận tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2.1, ta tìm được ηk ↓ 0 và
gphFr

(vk , uk ) −→ (¯
z , x¯) sao cho
(zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk +ηk (vk , uk ); gphFr với 1 − εk

Vì

λk (zk∗ , x∗k )

∈ Nλk (εk +ηk ) (vk , uk ); gphFr ,

λk zk∗

x∗k

1 + εk .

w∗

→ z ∗ và λk x∗k

→ 0

∗ F (¯
khi k → ∞, nên x∗ = 0 và z ∗ ∈ DM
¯)(0). Điều này có nghĩa là
r z, x

(2.23) là đúng. Ta có điều phải chứng minh.