Về không gian bergman

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1

4

Nhóm tự đẳng cấu và khơng gian Lebesgue

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Nhóm tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Một vài kết quả về không gian Lebesgue
2 Không gian Bergman
2.1. Không gian Bergman

. . . . . . . . . . . 23
26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Một số đặc trưng của không gian Bergman . . . . . . . . . . 35
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


2

MỞ ĐẦU

Khơng gian Bergman mang tên nhà tốn học Stefan Bergman, xuất
hiện vào thập niên 60 của thế kỷ trước. Không gian Bergman cổ điển
được định nghĩa trên các miền của mặt phẳng phức: cho D là một miền
trong mặt phẳng phức, không gian Bergman Ap (D) (p

1) là không

gian các hàm chỉnh hình trên D sao cho
(∫∫
)p
p
∥f ∥p =
|f (x + iy)| dxdy < +∞.
D

Ap (D) là không gian Banach, nó là lớp khơng gian các hàm có vai trị
quan trọng trong Giải tích phức, Lý thuyết tốn tử và Phương trình vi
tích phân.Vào thập niên 70 của thế kỷ trước các nghiên cứu trên không
gian Bergman tập trung vào các vấn đề về khơng điểm của hàm, tính
bất biến của các không gian con...Khoảng thập niên 80 của thế kỷ trước
cho đến nay các nghiên cứu đối với không gian Bergman là khá đa dạng,
đặc biệt như: nghiên cứu các đặc trưng của phần tử (hàm) trong không
gian Bergman, nghiên cứu lý thuyết toán tử Toeplitz, toán tử Hankel
trên không gian Bergman, nội suy của không gian Bergman... Đặc biệt
hai hướng nghiên cứu đầu tiên hiện nay vẫn nhận được sự quan tâm của
nhiều nhà toán học.
Các đặc trưng của phần tử (hàm) trong khơng gian Bergman có ý
nghĩa rất quan trọng trong nghiên cứu cấu trúc của không gian này. Hơn
nữa, ý nghĩa của các đặc trưng cịn ở các áp dụng để nghiên cứu lý thuyết
tốn tử, tập khơng điểm của hàm chỉnh hình. Với mục đích là tìm hiểu
về khơng gian Bergman và một số đặc trưng của nó, chúng tơi lựa chọn
đề tài cho luận văn của mình là: Về khơng gian Bergman


3

Nội dung chính của luận văn là trình bày hệ thống kiến thức về nhóm
tự đẳng cấu các hàm song chỉnh hình, khơng gian Lebesgue,... để xây
dựng và nghiên cứu một số tính chất của khơng gian Bergman. Chứng
minh chi tiết một số đặc trưng của phần tử trong không gian Bergman
thơng qua đạo hàm của nó. Các nội dung trên được trình bày trong 2
chương của luận văn:
Chương 1. Nhóm tự đẳng cấu và khơng gian Lebesgue
Chương 2. Khơng gian Bergman
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn

tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo, TS. Kiều Phương Chi. Tác giả
xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy. Nhân dịp này, tác
giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa sau đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa toán. Tác giả xin được cảm ơn PGS. TS. Đinh Huy Hoàng,
PGS. TS. Trần Văn Ân và các thầy, cô giáo trong Khoa tốn đã nhiệt
tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng
xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp
Cao học 17 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của các thầy, cơ giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 12 năm 2011

Nguyễn Thị Thu Hằng


4

CHƯƠNG 1
NHĨM TỰ ĐẲNG CẤU VÀ KHƠNG GIAN LEBESGUE

Chương này trình bày những kiến thức chuẩn bị về giải tích hàm, hàm
chỉnh hình nhiều biến, nhóm tự đẳng cấu và không gian Lebesgue làm
cơ sở cho xây dựng và nghiên cứu không gian Bergman.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số kiến thức mở đầu về hàm chỉnh hình nhiều
biến phức và giải tích hàm cần dùng về sau.
1.1.1 Định nghĩa. Cho E là không gian tuyến tính trên trường K. Hàm

∥.∥ : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện
sau:
1) ∥x∥

0, với mọi x ∈ E và ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0;

2) ∥λx∥ = |λ|∥x∥, với mọi λ ∈ R và với mọi x ∈ E;
3) ∥x + y∥

∥x∥ + ∥y∥, với mọi x, y ∈ E.

Khi đó (E, ∥.∥) được gọi là một khơng gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn
d(x, y) = ∥x−y∥, ∀x, y ∈ E. Không gian định chuẩn E được gọi là không
gian Banach nếu E đầy đủ với metric sinh bởi chuẩn. Với tôpô sinh bởi
metric sinh bởi chuẩn các phép tốn cộng và nhân vơ hướng trên E là
liên tục.
Cho E, F là các không gian định chuẩn. Ký hiệu L(E, F ) là tập hợp
các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Ta đã biết L(E, F ) là không


5

gian định chuẩn với chuẩn
∥f ∥ = sup ∥f (x)∥, ∀f ∈ L(E, F ).
∥x∥=1

Nếu F là không gian Banach thì L(E, F ) là khơng gian Banach. Đặc biệt
L(E, K) := E ∗ là không gian liên hợp thứ nhất của E cũng là khơng gian
Banach.

1.1.2 Ví dụ. Cho (X, A, µ) là khơng gian độ đo, trong đó A là σ−đại
số các tập hợp của X và µ là độ đo đầy đủ σ-hữu hạn trên X. Ký hiệu
Lp (X, dµ) = {f : X → R : |f |p khả tích trên X}(p

1).

Trên Lp (X, dµ) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp nơi trên X.
Với các phép tốn cộng, nhân vơ hướng theo điểm và chuẩn được xác
định bởi
∥f ∥p =

[∫

|f (x)| dx
p

] p1

thì Lp (X, dµ) là khơng gian Banach. Hơn nữa, khơng gian đối ngẫu của
1 1
Lp (X, dµ) đẳng cấu với khơng gian Lq (X, dµ), trong đó + = 1. Trong
p q
p
khơng gian L (X, dµ) chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức quan trọng đó
1 1
là bất đẳng thức Holder. Nếu f ∈ Lp (X, dµ), g ∈ Lq (X, dµ) và + = 1
p q
thì
∥f g∥1

∥f ∥p ∥g∥q .

Đặc biệt, nếu X = C là tập hữu hạn và µ là độ đo đếm thì ta có bất
đẳng thức Holder cổ điển
n
∑
k=1

ak bk

n
[∑
k=1

|ak |

p

n
] p1 [ ∑

|bk |

q

] 1q

.

k=1

1.1.3 Định nghĩa. Cho E là một K - không gian vectơ. Một dạng
Hermite trên E là một hàm φ : E × E → K thõa mãn


6

(i) φ(x1 + x2 , y) = φ(x1 , y) + φ(x2 , y);
(ii) φ(x, y1 + y2 ) = φ(x, y1 ) + φ(x, y2 );
(iii) φ(λx, y) = λφ(x, y);
(iv) φ(x, λy) = λφ(x, y);
(v) φ(x, y) = φ(y, x);
với mọi x, x1 , x2 , y1 , y2 ∈ E, λ ∈ K.
Dạng Hermite φ trên E được gọi là dương nếu φ(x, x)

0 với mọi

x ∈ E. Một dạng Hermite xác định dương còn được gọi là một tích vơ
hướng. Một khơng gian tiền Hilbert là một K - khơng gian vectơ cùng
với một tích vơ hướng trên nó. Nếu E là một khơng gian tiền Hilbert thì
thay cho φ(x, y) ta cịn viết ⟨x, y⟩ và gọi nó là tích vơ hướng. Với mỗi
khơng gian tiền Hilbert E, bởi bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất
đẳng thức Minkowski ta có cơng thức
√
∥x∥ = ⟨x, x⟩, ∀x ∈ E
xác định một chuẩn trên E. Không gian tiền Hilbert E là khơng gian
Hilbert nếu nó là khơng gian Banach với chuẩn trên.
1.1.4 Ví dụ. 1) Khơng gian phức Cn là khơng gian Hilbert với tích vơ
hướng
⟨z, w⟩ =

n
∑

zi wi , ∀z = (z1 , z2 , ..., zn ), w = (w1 , w2 , ..., wn ) ∈ Cn .

i=1

Tích vơ hướng này sinh ra khoảng cách Euclide trên Cn .
2) Khơng gian L2 (X, dµ) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
∫
⟨f, g⟩ = f (x)g(x)dµ(x),
tích vơ hướng này sinh ra chuẩn thơng thường trên L2 (X, dµ).
Cho E là một khơng gian tiền Hilbert, hai x, y ∈ E được gọi trực giao
và ký hiệu x⊥y nếu ⟨x, y⟩ = 0. Nếu x và y là hai vectơ trực giao trong


7

khơng gian tiền Hilbert thì ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 . Véctơ x gọi là trực
giao với tập M ⊂ E nếu x⊥y với mọi y ∈ M . Cho F là không gian con
của không gian tiền Hilbert E. Khi đó, với mỗi x ∈ E tồn tại duy nhất
y ∈ F sao cho
d(x, y) = d(x, F ) = inf ∥x − y∥.
y∈F

Khi đó y được gọi là hình chiếu trực giao của x trên F . ánh xạ PF :
E → F xác định bởi PF (x) = y được gọi là phép chiếu trực giao lên
không gian con F . Các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên khơng gian
Hilbert được mơ tả tường minh bởi định lý sau của Riesz.

1.1.5 Định lý. ([2]) Giả sử E là khơng gian Hilbert. Khi đó f ∈ E ∗ khi
và chỉ khi tồn tại a ∈ E sao cho
f (x) = ⟨x, a⟩,

∀x ∈ E.

Toán tử tuyến tính T từ khơng gian Hilbert E vào khơng gian Hilbert
F được gọi là toán tử unita nếu T là toàn ánh và đẳng cự, tức là ∥T (x)∥ =
∥x∥ với mọi x ∈ E. Rõ ràng, mọi đẳng cự tuyến tính từ Cn vào chính nó
là tốn tử unita.
Sau đây chúng tơi trình bày một số kết quả cơ sở về giải tích phức
nhiều biến cần dùng về sau. Các kết quả đầy đủ hơn chúng tơi trích dẫn
từ [2].
Giả sử C là trường số phức còn Cn là không gian Euclide phức thành
lập từ bộ n số phức z = (z1 , . . . , zn ), z1 , . . . , zn ∈ C. Trong Cn thường
xét khoảng cách Euclide
′

′

|z − z | := ∥z − z ∥ =

n
∑

|zj − zj′ |2 .

j=1

Khoảng cách này được sinh ra bởi tích vơ hướng

⟨z, w⟩ =

n
∑
i=1

zi wi , ∀z = (z1 , z2 , ..., zn ), w = (w1 , w2 , ..., wn ).


8

Tập B(a, r) = {z ∈ Cn : |z − a| < r} gọi là hình cầu tâm a ∈ Cn bán
kính r.
Nếu r = (r1 , . . . , rn ) > 0, tập
P (a, r) = {z ∈ Cn : |zj − aj | < rj , ∀j = 1, n}
gọi là đa đĩa tâm a bán kính r.
Đặt
n
Z+
= Z+ × . . . × Z+ ,

ở đây Z+ là tập các số nguyên không âm. Mỗi phần tử k = (k1 , . . . , kn ) ∈
n gọi là một đa chỉ số. Với k ∈ Z n đặt
Z+
+

|k| = k1 + . . . + kn , k! = k1 ! . . . kn !
1.1.6 Định nghĩa. Hàm f : D → C, D là mở trong Cn , gọi là C - khả
vi tại z ∈ D nếu
f (z + h) = f (z) + l(h) + 0(h),

ở đây l là C - tuyến tính và
0(h)
→ 0 khi h → 0.
h
Hàm l nếu tồn tại duy nhất và gọi là đạo hàm phức của f tại z kí
hiệu f ′ (z) hay df (z). Bằng cách viết
zj = xj + iyj , zj = xj − iyj , j = 1, ..., n.
Vì
df =

)
∂f
dxj +
dyj
∂xj
∂yj

n (
∑
∂f
j−1

nên người ta viết
df =

)
∂f
dzj +
dz j ,
∂zj

∂z j

n (
∑
∂f
j−1


9

trong đó

và

1 [ ∂f
∂f ]
∂f
=
−i
∂zj
2 ∂xj
∂yj
1 [ ∂f
∂f ]
∂f
=
+i
, j = 1, n.
∂z j
2 ∂xj

∂yj

Ký hiệu

n
n
∑
∑
∂f
∂f
∂f =
dzj , ∂f =
dz j .
∂zj
∂z j
j−1

j−1

Khi đó
df = ∂f + ∂f.
Ta nhắc lại rằng hàm f : D → C được gọi là khả vi thực tại z ∈
D, nếu hàm 2n-biến thực f (x1 + iy1 , x2 + iy2 , ..., xn + iyn ) khả vi tại
(x1 , x2 , ..., xn , y1 , y2 , ..., yn ). Điều kiện sau còn gọi là điều kiện CauchyRiemann.
1.1.7 Định lý. Hàm f là khả vi phức tại z ∈ Cn khả vi khi và chỉ khi
nó khả vi thực và
∂f (z) = 0.
1.1.8 Định nghĩa. 1) Hàm gọi là chỉnh hình tại z ∈ Cn nếu nó C - khả
vi trong một lân cận của z.
2)ánh xạ f : D → Cm với D là mở trong Cn gọi là chỉnh hình tại z

nếu fj chỉnh hình tại z với mọi j = 1, m, ở đây f = (f1 , . . . , fm ).
Sau đây ta dùng ký hiệu P thay cho đã đĩa P (a, r). Định lý sau là
cơng thức tích phân Cauchy trong trường hợp nhiều biến.
1.1.9 Định lý. Nếu f là hàm liên tục trên P và chỉnh hình trong P thì
( 1 )n ∫
f (ξ)dξ1 . . . dξn
f (z) =
, ∀z ∈ P,
2πi
(ξ
−
z
)
.
.
.
(ξ
−
z
)
1
1
n
n
Γ
trong đó Γ = {z ∈ Cn : |zj − aj | = rj , ∀j = 1, n}.


10

Người ta nhận được các hệ quả sau từ định lý trên.
1.1.10 Hệ quả. Giả sử f là hàm liên tục trên P chỉnh hình trên P . Khi
đó
f (z) =

∞
∑

Cα (z − a)α

|α|=0

với

( 1 )n ∫
f (ξ)
Cα =
dξ
α+1
2πi
Γ (ξ − a)

ở đây dξ = dξ1 . . . dξn .
1.1.11 Hệ quả. Nếu f chỉnh hình trên P thì f có các đạo hàm riêng
mọi cấp trên P. Các đạo hàm riêng này đồng thời chỉnh hình trên P.
1.1.12 Định lý. (Bất đẳng thức Cauchy). Nếu f liên tục trên P và chỉnh
hình trên P thì
|Cα |

M

, ∀α ∈ Zn+ ,
α
r

ở đây M = sup{|f (z)| : z ∈ Γ}.
1.1.13 Định lý. (Tính duy nhất). Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền
D ⊂ Cn sao cho mọi đạo hàm riêng của f bằng không tại a ∈ D, thì
f ≡ 0.
1.1.14 Định lý. (ngun lí mơ đun cực đại). Nếu f chỉnh hình trên
miền D ⊂ Cn sao cho |f | đạt cực đại tai a ∈ D, thì f = const trên D.
1.1.15 Định lý. (Định lí Liuoville). Nếu f chỉnh hình trên Cn và bị
chặn, thì f = const.
1.1.16 Định lý. (Định lí Weierstrass). Giả sử dãy hàm {fv } chỉnh hình
trên D hội tụ đều tới hàm f trên mọi compact trong D. Khi đó f chỉnh
hình trong D và

∂ α fv
∂ αf
→ α
∂z α
∂z
đều trên mọi compact trong D và mọi α ∈ Zn+ .


11

1.1.17 Định nghĩa. Giả sử D mở trong Cn , hàm f : D → C, a =
(a1 , . . . , an ). Với mỗi j = 1, ..., n đặt
Dj = {λ ∈ C : (a1 , . . . , aj−1 , λ, aj+1 , . . . , an ) ∈ D}
và xác định hàm gj : D → C bởi

gj (λ) = f (a1 , . . . , aj−1 , λ, aj+1 , . . . , an ), λ ∈ Dj ,
nếu gj chỉnh hình tại λ = aj , ∀j = 1, n thì hàm f được gọi là chỉnh hình
theo từng biến tại a.
1.1.18 Định lý. (Định lí Hartogs). Giả sử f : D → C với D mở trong

Cn chỉnh hình theo từng biến phân biệt trên D. Khi đó f chỉnh hình trên
D.
1.1.19 Định nghĩa. B(a, b) được xác định bởi:
∫ 1
B(a, b) =
xa−1 (1 − x)b−1 dx, a > 0, b > 0
0

được gọi là hàm B (hàm Bê-ta.)
Sau đây là một vài tích chất cơ bản của hàm B.
(a) B(a, b) = B(b, a) với mọi a > 0, b > 0.
(b) Với a > 0, b > 1,
B(a, b) =

b−1
B(a, b − 1).
a+b−1

và với a > 1, b > 0,
B(a, b) =

a−1
B(a − 1, b).
a+b−1

(c) Với 0 < a < 1,
B(a, a − 1) =
Do đó với a = 1 − a =

1
2

π
.
sin πa

ta sẽ có
(1 1)
B ,
= π.
2 2


12

1.1.20 Định nghĩa. Γ(a) được xác định bởi:
∫ +∞
Γ(a) =
xa−1 e−x dx,
0

với a > 0 và được gọi là hàm Gamma hay Γ - hàm.
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của hàm Γ.
(a) Γ(a + 1) = a · Γ(a), a > 0.
(b) Liên hệ giữa hàm B và hàm Γ

Γ(a)Γ(b)
.
Γ(a + b)

B(a, b) =
(c)

√
1
Γ( ) = π.
2

(d)Từ
1
Γ( ) =
2

∫
0

+∞ −x
e

√ ,
x

và thay x = t2 , dx = 2tdt ta nhận được:
∫ +∞
√
π

−t2
e dt =
.
2
0
1.2. Nhóm tự đẳng cấu
Ký hiệu Bn = {z ∈ Cn : |z| < 1} và Sn = {z ∈ Cn : |z| = 1}. Mục
này ta nghiên cứu nhóm các tự đẳng cấu Aut(Bn ) các ánh xạ song chỉnh
hình từ Bn vào chính nó. Các kiến thức trong mục này là cơ sở quan
trọng để nghiên cứu các phần sau của luận văn.
1.2.1 Định nghĩa. Một ánh xạ F : Bn → Bn được gọi là song chỉnh
hình nếu F là song ánh, F và F −1 là chỉnh hình.


13

Tập hợp tất cả các ánh xạ song chỉnh hình từ Bn vào chính nó ký hiệu
là Aut(Bn ). Đơn vị của nhóm Aut(Bn ) là ánh xạ e : Cn → Cn xác định
bởi (z1 , z2 , ..., zn ) → (z1 , z2 , ..., zn ). Ta gọi e là phép biến đổi đồng nhất.
Vì hợp thành các ánh xạ chỉnh hình là ánh xạ chỉnh hình và phép tốn
hợp thành kết hợp nên ta có mệnh đề sau.
1.2.2 Mệnh đề. Aut(Bn ) là một nhóm với phép tốn là phép hợp thành
các ánh xạ.
Nhóm Aut(Bn ) được gọi là nhóm các tự đẳng cấu của hình cầu đơn
vị. Mỗi phần tử của Aut(Bn ) được gọi là một tự đẳng cấu. Mệnh đề sau
đưa ra đặc trưng của tự đẳng cấu là phép biến đổi unita.
1.2.3 Mệnh đề. ([6]) Một tự đẳng cấu φ của Bn là phép biến đổi unita
của Cn nếu và chỉ nếu φ(0) = 0.
Với mỗi a ∈ Bn − {0} ta đặt
φa (z) =

trong đó sa =

√

a − Pa (z) − sa Qa (z)
,
1 − ⟨z, a⟩

z ∈ Bn ,

(1.1)

1 − |a|2 , Pa là phép chiếu trực giao từ Cn vào không

gian con [a] sinh bởi a, và Qa là phép chiếu trực giao từ Cn vào không
gian con của Cn trực giao với [a]. Khi đó
Pa (z) =

⟨z, a⟩
a,
|a|2

và
Qa (z) = z −

⟨z, a⟩
a,
|a|2

z ∈ Cn ,

(1.2)

z ∈ Bn .

(1.3)

Nếu a = 0 thì ta đặt φa (z) = −z. Rõ ràng là mỗi ánh xạ φa là một ánh
xạ chỉnh hình từ Bn vào Cn . Ta có
1.2.4 Mệnh đề. ([6]) Với mỗi a ∈ Bn ánh xạ φa thõa mãn
(1 − |a|2 )(1 − |z|2 )
1 − |φa (z)| =
,
|1 − ⟨z, a⟩|2
2

∀z ∈ Bn ,

(1.4)


14

và
φa ◦ φa (z) = z,

∀z ∈ Bn .

(1.5)

Hơn nữa, mỗi φa là một tự đẳng cấu của Bn biến 0 thành a và ngược lại.
Chứng minh. Trường hợp a = 0 thì kết luận của định lý là hiển nhiên.
Vì vậy chúng ta giả thiết rằng a ̸= 0. Từ định nghĩa của φa suy ra ngay
nó chỉnh hình trên Bn .
Vì a−Pa (z) và Qa (z) trực giao trong Cn , nên theo đẳng thức Pythagore
ta có
|a − Pa (z) − sa Qa (z)|2 = |a − Pa (z)|2 + (1 − |a|2 )|Qa (z)|2
= |a|2 − 2Re⟨Pa (z), a⟩ + |Pa (z)|2
+ (1 − |a|2 )(|z|2 − |Pa (z)|2 ).
Kết hợp với các điều kiện
|a|2 |Pa (z)|2 = |⟨z, a⟩|2 ,

⟨Pa (z), a⟩ = ⟨z, a⟩,

ta có
|a − Pa (z) − sa Qa (z)|2 = |a|2 − 2Re⟨z, a⟩ + |Pa (z)|2
+ (1 − |a|2 )|z|2 − |Pa (z)|2 + |a|2 |Pa (z)|2
= 1 − 2Re⟨z, a⟩ + |⟨z, a⟩|2 − (1 − |a|2 )(1 − |z|2 )
= |1 − ⟨z, a⟩|2 − (1 − |a|2 )(1 − |z|2 ).
Ta nhận được
a − Pa (z) − sa Qa (z) 2
|1 − ⟨z, a⟩|
|1 − ⟨z, a⟩|2 − (1 − |a|2 )(1 − |z|2 )
=1−
|1 − ⟨z, a⟩|2
(1 − |a|2 )(1 − |z|2 )
=
.
|1 − ⟨z, a⟩|2

1 − |φa (z)|2 = 1 −

Tiếp theo ta chứng minh φa là song chỉnh hình. Để có điều này ta sẽ chỉ
ra φa ◦ φa (z) = z với mọi z ∈ Bn . Trước hết ta cần khẳng định sau:


15

1 − |a|2
a |a|2 − ⟨z, a⟩
Khẳng định. 1 − ⟨φa (z), a⟩ =
và Pa (φa (z)) = 2 ·
.
1 − ⟨z, a⟩
|a|
1 − ⟨z, a⟩
Thật vậy, ta có
a − Pa (z) − sa Qa (z)
, a⟩
1 − ⟨z, a⟩
[
]
1
=
⟨a, a⟩ − ⟨Pa (z), a⟩ − sa ⟨Qa (z), a⟩
1 − ⟨z, a⟩
1
=
(|a|2 − ⟨z, a⟩).
1 − ⟨z, a⟩

⟨φa (z), a⟩ = ⟨

1 − |a|2
Suy ra 1 − ⟨φa (z), a⟩ =
. Từ đây ta có
1 − ⟨z, a⟩
⟨φa (z), a⟩
a (
1 − |a|2 )
Pa (φa (z)) =
·a= 2 · 1−
|a|2
|a|
1 − ⟨z, a⟩
a |a|2 − ⟨z, a⟩
.
= 2·
|a|
1 − ⟨z, a⟩
Từ khẳng định trên ta có
a |a|2 − ⟨z, a⟩
Qa (φa (z)) = φa (z) − 2 ·
.
|a|
1 − ⟨z, a⟩
Do đó

φa ◦ φa (z) = φa (φa (z))
a − Pa (φa (z)) − sa Qa (φa (z))

=
.
1 − ⟨φa (z), a⟩

(1.6)

Mặt khác
a − Pa (φa (z)) − sa Qa (φa (z))
[
a |a|2 − ⟨z, a⟩]
a |a|2 − ⟨z, a⟩
− sa φa (z) − 2 ·
.
=a− 2·
|a|
1 − ⟨z, a⟩
|a|
1 − ⟨z, a⟩
[
a(sa − s2a ) |a|2 − ⟨z, a⟩
sa
⟨z, a⟩a ]
⟨z, a⟩a
=
−
− sa z − sa
a−
|a|2
1 − ⟨z, a⟩
1 − ⟨z, a⟩

|a|2
|a|2
1 − |a|2
.
=z
1 − ⟨z, a⟩
Từ đẳng thức trên, (1.6) và khẳng định đã chứng minh ta được φa ◦
φa (z) = z với mọi z ∈ Bn . Điều này có nghĩa ánh xạ φa là khả nghịch


16

trên Bn và nghịch đảo của nó là chính nó. Do đó nghịch đảo của nó là
chỉnh hình và vì vậy φa là một tự đẳng cấu. Từ định nghĩa của φa dễ
dàng suy ra
φa (0) = a,

φa (a) = 0.

Các tự đẳng cấu φa còn được gọi là các phép đối hợp "involution".
Mệnh đề sau trình bày thêm một tính chất của phép đối hợp.
1.2.5 Mệnh đề. ([6]) Giả sử a ∈ Bn . Khi đó
1 − ⟨φa (z), φa (ω)⟩ =

(1 − ⟨a, a⟩)(1 − ⟨z, ω⟩)
(1 − ⟨z, a⟩)(1 − ⟨a, ω⟩)

(1.7)

với mọi z và ω nằm trên hình cầu đơn vị đóng Bn .

Chứng minh. Vì z ∈ Bn nên |z|

1. Vì vậy, nếu a ∈ Bn thì theo bất

đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
| < z, a > |2

|z|2 |a|2 < 1.

Do đó hàm φa xác định tại z. Ta có
⟨Pa (z), a⟩ = ⟨z, a⟩; ⟨a, Pa (w)⟩ = ⟨a, w⟩;
⟨Pa (z), Pa (w)⟩ =

⟨z, a⟩⟨a, w⟩
;
|a|2

⟨Pa (z), Qa (w)⟩ =

⟨z, a⟩⟨a, w⟩ ⟨z, a⟩⟨a, w⟩
−
= 0;
|a|2
|a|2

⟨Qa (z), Pa (w)⟩ =

⟨z, a⟩⟨a, w⟩ ⟨z, a⟩⟨a, w⟩
−
= 0;

|a|2
|a|2

⟨Qa (z), Qa (w)⟩ = ⟨z, w⟩ −

⟨z, a⟩⟨a, w⟩
.
a2


17

Suy ra
a − Pa (z) − sa Qa (z) a − Pa (w) − sa Qa (w)
,
⟩
1 − ⟨z, a⟩
1 − ⟨w, a⟩
⟨a, a⟩ − ⟨a, Pa (w)⟩ − ⟨Pa (z), a⟩ + ⟨Pa (z), Pa (w)⟩

⟨φa (z), φa (w)⟩ = ⟨
=

+

=
=
=
=
=

1 − ⟨z, a⟩)(1 − ⟨w, a⟩)
sa ⟨Pa (z), Qa (w)⟩ + sa ⟨Qa (z), Pa (w)⟩ + s2a ⟨Qa (z), Qa (w)⟩
(1 − ⟨z, a⟩)(1 − ⟨w, a⟩)

|a|2 − ⟨z, a⟩ − ⟨a, w⟩ +

⟨z,a⟩⟨a,w⟩
|a|2

(
+ (1 − |a|2 ) ⟨z, w⟩ −

⟨z,a⟩⟨a,w⟩ )
|a|2

(1 − ⟨z, a⟩)(1 − ⟨a, w⟩)
|a|2 − ⟨z, a⟩ − ⟨a, w⟩ + (1 − |a|2 )⟨z, w⟩ + ⟨z, a⟩⟨a, w⟩
(1 − ⟨z, a⟩)(1 − ⟨a, w⟩)
[
] [
]
− 1 − |a|2 − (1 − |a|2 )⟨z, w⟩ + 1 + ⟨z, a⟩⟨a, w⟩ − ⟨z, a⟩ − ⟨a, w⟩
(1 − ⟨z, a⟩)(1 − ⟨a, w⟩)
−(1 − |a|2 )(1 − ⟨z, w⟩) + (1 − ⟨z, a⟩)(1 − ⟨a, w⟩)
(1 − ⟨z, a⟩)(1 − ⟨a, w⟩)
−(1 − |a|2 )(1 − ⟨z, w⟩)
+ 1.
(1 − ⟨z, a⟩)(1 − ⟨a, w⟩)

Ta nhận được điều cần chứng minh.
Mệnh đề sau đây chứng tỏ nhóm tự đẳng cấu được sinh bởi các phép
biến đổi unita và các phép đối hợp.
1.2.6 Mệnh đề. ([6]) Nếu φ ∈ Aut(Bn ) thì
φ = U φa = φb V,
ở đây U và V là phép biến đổi unita của Cn , và φa và φb là phép đối
hợp.
Chứng minh. Giả sử φ ∈ Aut(Bn ) và a = φ−1 (0). Khi đó tự đẳng cấu
ψ = φ◦φa thoả mãn ψ(0) = 0. Theo Mệnh đề 1.2.3, tồn tại một phép biến
đổi unita U của Cn sao cho U = φ ◦ φa . Suy ra φ = U ◦ φ−1
a = U φa .
1.2.7 Hệ quả. Mọi tự đẳng cấu của hình cầu đơn vị Bn đều mở rộng
thành một phép đồng phôi của Sn .


18

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.2.6, với mọi φ ∈ Aut(Bn ) thì
φ = U ◦ φa .
Theo Mệnh đề 1.2.5, mỗi φa đều có thể mở rộng đồng phơi lên Sn . Thật
vậy, trong (1.7), ta thay w = 0 ta được
1 − |a|2
1 − ⟨φa (z), a⟩ =
1 − ⟨z, a⟩
với mọi z ∈ Bn . Vì tích vô hướng liên tục nên từ đẳng thức trên suy ra
φa liên tục trên Bn . Hơn nữa, φa là song ánh trên Bn . Vì Bn là compact
nên φa là phép đồng phôi. Mặt khác, mỗi phép biến đổi unita là đồng
phôi của Sn . Suy ra φ là phép đồng phôi của Sn .

Bổ đề sau đưa ra một cách xác định đạo hàm của φa tại a và 0.

1.2.8 Bổ đề. Nếu chúng ta đồng nhất các phép biến đổi tuyến tính
của Cn với ma trận của nó đối với cơ sở chuẩn tắc của Cn thì với mọi
a ∈ Bn − {0} ta có
φ′a (0)

√
= −(1 − |a| )Pa − 1 − |a|2 Qa ,
2

(1.8)

và
φ′a (a) = −

Pa
Qa
√
−
.
1 − |a|2
1 − |a|2

Chứng minh. Cho bất kì z, a ∈ Bn , a ̸= 0 ta có |⟨z, a⟩|

(1.9)
|z||a| < 1. Suy

ra chúng ta có thể viết
∞

∑
1
=
⟨z, a⟩k .
1 − ⟨z, a⟩
k=0

Do đó
φa (z) = (a − Pa (z) − sa Qa (z))

∞
∑

⟨z, a⟩k

k=0

= a + a⟨z, a⟩ − (Pa + sa Qa )(z) + O(|z|2 )
= a − s2a Pa (z) − sa Qa (z) + O(|z|2 )


19

với mọi z ∈ Bn , trong đó sa =

√

1 − |a|2 . Nếu đồng nhất phép biến đổi

tuyến tính của Cn với ma trận của nó đối với cơ sở chuẩn tắc của Cn và

để ý rằng Pa , Qa là các ánh xạ đa thức bậc nhất thì đẳng thức trên cho
ta
φ′a (0) = −s2a Pa − sa Qa .
Tiếp theo ta có
φa (a + h) =

a − Pa (a + h) − sa Qa (a + h) −Pa (h) − sa Qa (h)
=
1 − ⟨a + h, a⟩
s2a − ⟨h, a⟩

và
φa (a) = 0.
Suy ra với |h| đủ bé ta có
φa (a + h) − φ(a) =

−Pa (h) − sa Qa (h)
s2a − ⟨h, a⟩

−Pa (h) − sa Qa (h) ∑ [ ⟨h, a⟩ ]k
=
.
s2a
s2a
∞

k=0

Đẳng thức trên suy ra
φ′a (a) = −

1
1
P
−
Qa .
a
s2a
sa

Với mỗi φ ∈ Aut(Bn ), ta ký hiệu JC φ(z) là định thức của các ma trận
phức n × n của φ′ (z) và gọi nó là Jacobi phức của φ tại z. Nếu chúng ta
đồng nhất Bn với hình cầu đơn vị trong khơng gian Euclide thực R2n thì
ánh xạ φ sinh ra định thức Jacobi thực mà chúng ta ký hiệu bởi JR φ(z).
Khi đó, người ta chứng minh được rằng:
JR φ(z) = |JC φ(z)|2

(1.10)

với mọi z ∈ Bn .
Mệnh đề sau trình bày cách xác định các Jacobi của các tự đẳng cấu.


20

1.2.9 Mệnh đề. Với mỗi φ ∈ Aut(Bn ) chúng ta có

( 1 − |a|2 )n+1
JR φ(z) =
,

|1 − ⟨z, a⟩|2

(1.11)

trong đó a = φ−1 (0).
Với mỗi f ∈ H(Bn ) chúng ta viết
Rf (z) =

n
∑

zk

k=1

Dễ thấy rằng nếu
f (z) =

∞
∑

∂f
(z).
∂zk

(1.12)

fk (z)

k=0

là sự khai triển thuần nhất của f thì
Rf (z) =

∞
∑

kfk (z) =

k=0

∞
∑

kfk (z).

(1.13)

k=1

Nó được gọi là đạo hàm theo bán kính của f bởi vì
f (z + rz) − f (z)
r→0
r

Rf (z) = lim

(1.14)

bất cứ khi nào f chỉnh hình, ở đó r là một tham số thực, sao cho rz là

một số gia theo bán kính của điểm z.
Mọi hàm chỉnh hình f trong Bn , dễ dàng thấy rằng
∫ 1
Rf (tz)
f (z) − f (0) =
dt
t
0
với mọi z ∈ Bn (xem [6]).
Ta nhắc lại rằng
△=4

n
∑
k=1

∑ ( ∂2
∂2 )
∂2
=
+
∂zk ∂z k
∂x2k ∂yk2
n

k=1

(1.15)

21

là tốn tử Laplace thơng thường thường trên Cn , trong đó
∂
1( ∂
∂ )
=
−i
∂zk
2 ∂xk
∂yk
và

∂
1( ∂
∂ )
,
=
+i
∂z k
2 ∂xk
∂yk

và zk = xk + iyk với 1

k

n.

Giả sử f là một hàm khả vi thực đến cấp 2 trong Bn . Chúng ta định

nghĩa
(△f )(z) = △(f ◦ φz )(0),

z ∈ Bn ,

trong đó φz ∈ Aut(Bn ) là phép đối hợp. Tính chất sau đây thể hiện tính
bất biến của tốn tử Laplace qua các tự đẳng cấu. Vì vậy, người ta còn
gọi △ là Laplace bất biến.
1.2.10 Mệnh đề. ([6]) Giả sử f là hàm khả vi cấp hai trong Bn . Khi đó
△(f ◦ φ) = (△f ) ◦ φ
với mọi φ ∈ Aut(Bn ).
Chứng minh. Cố định z ∈ Bn và φ ∈ Aut(Bn ) và đặt a = φ(z). Xét tự
đẳng cấu
U = φa ◦ φ ◦ φz .
Khi đó U (0) = φa (φ(φz (0))) = φa (φ(z)) = 0. Theo Mệnh đề 1.2.3, U là
phép biến đổi unita của Cn . Vì U là phép biến đổi tuyến tính nên đạo
hàm mọi cấp của U chính là nó. Hơn nữa, vì U là phép biến đổi unita
nên ma trận của các đạo hàm của U tại 0 là ma trận đơn vị. Do đó, theo
cơng thức đạo hàm của hàm hợp ta có
△(g ◦ U )(0) = △(g)(0)
với mọi hàm g khả vi cấp 2. Suy ra
△(f ◦φ)(z) = △(f ◦φ◦φz )(0) = △(f ◦φa ◦φa φ◦φz )(0) = △(f ◦φa ◦U )(0)


22

= △(f ◦ φa )(0) = (△f )(a) = (△f ) ◦ φ(z).

Laplace bất biến có thể được mơ tả dưới dạng đạo hàm từng phần
thông thường như sau.

1.2.11 Mệnh đề. ([6]) Nếu f là hàm khả vi cấp hai trong Bn thì
(△f )(z) = 4(1 − |z| )
2

n
∑

∂ 2f
(δij − zi z j )
(z)
∂zi ∂z j

i,j=1

với mọi z ∈ Bn , trong đó δi,j là ký hiệu Kronecker thơng thường.
Chứng minh. Cố định z ∈ Bn và viết
φz (ω) = (φ1 (ω), ..., φn (ω)),

ω ∈ Bn .

Theo quy tắc lấy đạo hàm hàm hợp ta có
n
n
∑
∑
∂ 2f
∂φz ∂φj
(0)
(0). (1.16)
(△f )(z) = △(f ◦ φz )(0) = 4

(z)
∂zi ∂z j
∂zk
∂zk
i,j=1

k=1

Từ định nghĩa của φz nó có khai triển
sz
φz (ω) = z − sz ω +
⟨ω, z⟩z + o(|w|),
1 + sz
√
trong đó sz = 1 − |z|2 . Do đó, với mỗi i = 1, 2, ..., n ta có
∂φi
sz
(0) = −sz δik +
z k zi .
∂zk
1 + sz
Suy ra

[
][
]
sz
sz
∂φi ∂φj
(0)

(0) = − sz δik +
zk zj .
z k zi − sz δjk +
∂zk
∂zk
1 + sz
1 + sz
n
∑
Kết hợp với
|zk | = 1 − s2z ta nhận được
k=1
n
∑
∂φi
k=1

∂zk

(0)

∂φj
(0) = (1 − |z|2 )(δij − zi z j ).
∂zk

Thay vào công thức (1.16) ta nhận được điều cần chứng minh.


23

1.3. Một vài kết quả về không gian Lebesgue
Mục này trình bày một số kết quả về các khơng gian Lebesgue trên

Bn và Sn . Ta ký kiệu ν, σ lần lượt là độ đo Lebesgue trên Bn và Sn đã
chuẩn hoá, tức là ν(Bn ) = σ(Sn ) = 1. Trong luận văn này, các không
gian Banach Lp (Bn , ν), Lp (Sn , σ) được gọi là các không gian Lebesgue.
Mệnh đề sau nêu lên mối quan hệ giữa các độ đo trên.
1.3.1 Mệnh đề. ([6]) Nếu f là hàm liên tục trên Bn thì
∫
∫ 1
∫
f (z)dv(z) = 2n
r2n−1 dr
f (rζ)dσ(ζ).
Bn

Sn

0

Chứng minh. Để tiện cho việc theo dõi chúng tơi trình bày cho trường
hợp n = 1. Trường hợp tổng qt có thể tìm thấy chứng minh trong [6].
Gọi dV = dxdy là độ đo Lebesgue trên C (trước khi chuẩn hoá); dS là
độ đo Lebesgue trên S1 = {z : |z| = 1}. Khi đó
∫
∫
dS = 2π,
dV = π.
S1

B1

1
1
dV và dσ = dS. Tiếp theo, với toạ độ cực quen thuộc
π
2π
z = rζ = reiφ . Ta có
Vì vậy dν =

dxdy = rdrdφ.
Khi đó

∫

∫
f (z)dV =
B1

∫

1

iφ

rdr
0

∫

f (re )dφ =
0

0

f (rζ)dζ
S1

f (rζ)dS.
S1

Chia hai vế cho π ta nhận được
∫
∫
f (z)dν(z) = 2
B1

∫

1

rdr
0

∫

1

rdr

=

∫

2π

0

∫

1

f (rζ)dσ(ζ).

rdr
S1


24

Mệnh đề 1.3.1 sẽ được gọi là cách lấy tích phân trong tọa độ cực.
Mệnh đề sau trình bày một thể hiện cụ thể của định lý Fubini mà chúng
ta cần cho các tính tốn sau này. Chứng minh cụ thể được trình bày
trong [6].
1.3.2 Mệnh đề. ([6]) Cho f ∈ L1 (Sn , dσ). Khi đó
∫
∫
∫ 2π
1
f dσ =

dσ(ζ)
f (eiθ ζ)dθ,
2π 0
Sn
Sn
và nếu 1 < k < n, thì
∫
∫
∫
k
2 α
f dσ = Cn−1
(1 − |z| ) dvk (z)
Sn

Bk

Sn−k

(1.17)

√
f (z, 1 − |z|2 η)dσn−k (η),
(1.18)

trong đó α = n − k − 1.
Với k = n − 1, công thức (1.18) là đặc biệt quan trọng. Khi đó
∫
∫
∫ 2π

√
1
f dσ =
dvn−1 (z)
(1.19)
f (z, 1 − |z|2 eiθ )dθ.
2π
Sn
Bn−1
0
1.3.3 Nhận xét. Rõ ràng v và σ là bất biến đối với phép đổi biến đồng
nhất. Đặc biệt hơn (xem [6]) nếu U là phép biến đổi unita của Cn thì
∫
∫
f (U z)dv(z) =
f (z)dv(z)
(1.20)
Bn

và

Bn

∫

∫

g(ζ)dσ(ζ),

g(U ζ)dσ(ζ) =

(1.21)

Sn

Sn

tức là v và σ bất biến qua phép đổi biến unita.
Sau đây, chúng ta cũng sẽ trình bày một lớp độ đo thể tích có trọng
trên Bn . Dễ thấy rằng nếu α là một tham số thực thì
∫
(1 − |z|2 )α dv(z),
Bn


25

là hữu hạn nếu và chỉ nếu α > −1. Thật vậy, trước hết ta chứng minh
cho n = 1. Ta có, với toạ độ cực z = reiφ , ta có
dv(z) = dxdy = rdrdφ.
Khi đó
∫

∫
(1 − |z| ) dv(z) =

(1 − r ) rdr

2 α

B1

∫

1
2 α

0

∫

= −π

2π

dφ
0

∫

1

(1 − r ) d(1 − r ) = π
2 α

2

0

Nếu α

−1 thì tích phân suy rộng

∫

uα du.
0

∫1

uα du phân kỳ. Nếu α > −1 thì

0
1

uα+1
u =
α+1
α

0

1

1

=
0

1

.
α+1

Ta nhận được điều cần chứng minh. Trường hợp n tổng quát, áp dụng
Mệnh đề 1.3.1 và công thức (1.19) rút gọn về được trường hợp n = 1.
Nếu α > −1, chúng ta định nghĩa một độ đo hữu hạn dvα trên Bn xác
định bởi
dvα (z) = cα (1 − |z|2 )α dv(z),

(1.22)

trong đó cα là một hằng số chuẩn hóa để vα (Bn ) = 1. Người ta tính được
cα =
Khi α

Γ(n + α + 1)
.
n!Γ(α + 1)

(1.23)

−1, chúng ta viết đơn giản
dvα (z) = (1 − |z|2 )α dv(z).

Mệnh đề sau trình bày công thức đổi biến qua mỗi tự đẳng cấu đối với
độ đo dvα .
1.3.4 Mệnh đề. ([6]) Giả sử α là số thực và f ∈ L1 (Bn , dvα ). Khi đó
∫
∫
(1 − |a|2 )n+1+α

f (z)
f ◦ φ(z)dvα (z) =
dvα (z),
|1 − ⟨z, a⟩|2(n+1+α)
Bn
Bn
trong đó φ là tự đẳng cấu bất kì của Bn và a = φ(0).