Xây dựng một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức đại số khi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8

XÂY DỰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT
ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ KHI BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Bài toán về bất đẳng thức là một nội dung quan trọng thường gặp trong
chuyên đề BDHSG phần đại số. Thông thường học sinh nắm chắc định
nghĩa và tính chất vận dụng làm tốt các bài tập về bất đẳng thức ở trong
sách giáo khoa Toán 8, tuy nhiên khi gặp những bài tốn trong đề thi học
sinh giỏi Tốn 8 thì rất khó khăn lúng túng khơng thể tìm ra phương pháp
giải cũng như cách trình bày lời giải bài tốn bất đẳng thức Vì vậy, việc
tổng hợp, khái quát thành phương pháp giải đối với bài toán bất đẳng thức
là một chìa khố giúp học sinh biến bài tốn bất đẳng thức phức tạp thành
những bài tốn đơn giản, có lối đi riêng một cách rõ ràng, từ đó dễ dàng vận
dụng vào giải các bài tập trong chuyên đề bất đẳng thức, nâng cao chất
lượng bồi dưỡng đội tuyển HSG mơn Tốn nói chung.
Với những lí do trên, tơi chọn đề tài "Xây dựng một số phương pháp
giải bài toán bất đẳng thức đại số khi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8".”.
Đây là sự đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp ,
giúp học sinh tìm được hướng giải hợp lý nhất cho mỗi bài tốn. Giúp học
sinh biết vận dụng định nghĩa, tính chất về bất đẳng thức và một số phương
pháp khác để giải bài toán bất đẳng .
1.2. Điểm mới của đề tài.
Đề tài bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, các phương pháp dạy học
phổ biến nhằm hình thành cho các em tư duy khoa học hơn.
Bài tập về bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú. Để giải các bài tập loại
này chỉ dùng kiến thức về định nghĩa và tính chất thì chưa đủ. Muốn làm tốt
các bài tập về bất đẳng thức HS cần phải nắm vững các kiến thức sau:
1.1 - Sử dụng định nghĩa
1.2 - Sử dụng tính chất
1.3 - Các bất đẳng thức sẳn có xem như một hệ quả
1.4 - Đặt biến phụ

1.5 - Phương pháp làm trội
1.6 - Bất đẳng thức ba cạnh của một tam giác


1.7 - Phương pháp quy nạp.
Để thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu nêu ở trên, tôi thực hiện các giải pháp
sau :
+ Nghiên cứu lý thuyết: Tổng quan các tài liệu về lí luận dạy học, các văn
bản chỉ đạo về đổi mới, nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông,
các bài tập nâng cao, các bài tập chuyên chọn
+ Từ việc nghiên cứu lí thuyết lựa chọn các bài tập cơ bản, điển hình cho
mỗi dạng sau đó tổng hợp thành phương pháp giải cho mỗi dạng trong bài
toán bất đẳng thức
+ Nghiên cứu cơ sở lí luận về Bài tập bất đẳng thức ở trường phổ thông.
+ Nghiên cứu và khai thác một số bài tập cơ bản trong chuyên đề bồi
dưỡng HSG chuyên đề bất đẳng thức
+ Thiết kế và xây dựng các bài tập mẫu về tốn bất đẳng thức trong
chương trình bồi dưỡng HSG mơn Tốn lớp 8
+ Nghiên cứu hiệu quả của việc áp dụng phương pháp giải bài toán bất
đẳng thức vào q trình bồi dưỡng HSG mơn Tốn 8.


2. PHẦN NỘI DUNG
2.1. Thực trạng của vấn đề mà đề tài cần giải quyết
Trong năm học 2016-2017 và năm học 2017-2017 , sau khi đội tuyển
HSG của trường được chọn tham gia bồi dưỡng tại lớp “ Bồi dưỡng
HSG tốn “ của PGD huyện Lệ Thủy, tơi đã thống kê về kết quả chất
lượng làm bài của các học sinh (HS) phần Bất đẳng thức như sau:
Số HS không
làm được

SL
Tống số HS: 5

2

%
40

Số HS chỉ làm
được các dạng
cơ bản

Số HS làm được
các dạng nâng
cao

SL

%

SL

%

2

40

1

20

Với kết quả này đã làm ảnh hưởng khơng nhỏ đến kết quả học tập mơn
tốn nói chung của HS ( Cụ thể qua lớp 9 chỉ có một HS tiếp tục bồi
dưỡng mơn tốn)

Qua bảng trên cho thấy, học sinh làm bài tập phần bất đẳng thức đạt
kết quả chưa cao, phương pháp học của các em và phương pháp GV định
hướng , hướng dẫn về phần này chưa được tốt nên ảnh hưởng đến chất
lượng của đội tuyển HSG. Chính vì vậy bản thân tơi có nhiều trăn trở, suy
nghĩ muốn tìm ra những phương pháp giải chuyên đề này để rèn kĩ năng
cho học sinh nhằm góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng bồi dưỡng học
sinh giỏi mơn Tốn ở trường THCS.
2.1.2. Biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Để thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu nêu ở trên, tôi thực hiện các phương
pháp nghiên cứu sau :
Nghiên cứu lý thuyết về Tổng quan các tài liệu về lí luận dạy học, các văn
bản chỉ đạo về đổi mới, nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông,
các bài tập nâng cao, các bài tập chuyên chọn


Từ việc nghiên cứu lí thuyết lựa chọn các bài tập cơ bản, điển hình cho
mỗi dạng sau đó tổng hợp thành phương pháp giải cho mỗi dạng trong bài
toán bất đẳng thức
Nghiên cứu cơ sở lí luận về Bài tập bất đẳng thức ở trường phổ thông.
Nghiên cứu và khai thác một số bài tập cơ bản trong chuyên đề bồi dưỡng
HSG chuyên đề bất đẳng thức
Thiết kế và xây dựng các bài tập mẫu về toán bất đẳng thức trong chương
trình bồi dưỡng HSG mơn Tốn lớp 8
Nghiên cứu hiệu quả của việc áp dụng phương pháp giải bài tốn bất đẳng

thức vào q trình bồi dưỡng HSG mơn Tốn 8.
2.2. NỘI DUNG
2.2.1. Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
Kiến thức: Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0
Lưu ý dựng hằng bất đẳng thức M 2  0 với  M
Bài số1:Với mọi a,b lớn hơn 0
Chứng minh: a3+b3  ab(a+b)
Để chứng minh ta xét hiệu: a3+b3 – ab(a+b) = (a+b)(a2 – ab + b2) – ab(a+b)
= (a+b)( a2 –2ab + b2) = (a+b)(a-b)2
Vì a,b dương nên (a+b) > 0 , (a-b)2  0 suy ra (a+b)(a-b)2  0
Hay a3+b3  ab(a+b)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
Bài số 2: Chứng minh rằng với mọi xy ta luôn có : x2+ y2+1  xy+x+y
Xét hiệu
x 2  y 2  1  ( xy  x  y )
1
 2 x 2  2 y 2  2  2 xy  2 x  2 y
2
1
2
 ( x  y ) 2   y  1  ( x  1) 2   0

2
2
2
Vì ( x - y)  0 , (y-1)  0 ,(x-1)2  0





Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1
Bài số 3: chứng minh rằng :
2

a2  b2  a  b 

a)
 ;
2
 2 

b)

a2  b2  c2  a  b  c 


3
3



c) Hãy tổng quát bài toán

2


2

=





2 a2  b2
a 2  2ab  b 2
a2  b2  a  b 


 =
4
4
2
 2 

Giải: a) Ta xét hiệu

1
1
2
2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab = a  b   0
4
4





2

a2  b2  a  b 

 .
2
 2 

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a = b
b)Ta xét hiệu
2

a2  b2  c2  a  b  c 
1
2
2
2

 = a  b   b  c   c  a   0 .
9
3
3







2

Vậy

a2  b2  c2  a  b  c 

 . Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
3
3



c)Tổng quát

a12  a 22  ....  a n2  a1  a 2  ....  a n 


n
n



2

Bài số 4:
Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1)
Giải:
 m2
  m2
  m2

  m2

 
 mn  n 2   
 mp  p 2   
 mq  q 2   
 m  1  0
 4
  4
  4
  4

2

2

2

2

m
 m
 m
 m 
   n     p     q     1  0 (luôn đúng)
2
 2
 2
 2


m
m

 2 n 0
n

m
2

m
  p0
 m2
p 
2
Dấu bằng xảy ra khi  m

2 
n  p  q  1
 q 0

m
2
q 
 m  22
m

1

0


 2
Bài số 5: Cho x  1, y  1.
1
1
2


Chứng minh:
2
2
1 x 1 y
1  xy
1
1
2
1
1
1
1






Xét hiệu :
2
2
2
2

1  x 1  y 1  xy 1  x 1  y 1  xy 1  xy



x( y  x)
y( x  y)
x ( y  x )(1  y 2 )  y ( x  y )(1  x 2 )


(1  x 2 )(1  xy ) (1  y 2 )(1  xy )
(1  x 2 )(1  y 2 )(1  xy )

( x  y )(  x  xy 2  y  x 2 y )
( x  y )2 ( xy  1)

0
(1  x 2 )(1  y 2 )(1  xy )
(1  x 2 )(1  y 2 )(1  xy )
Vì x  1 , y  1  xy-1  0 và (x-y)2 nên bất đẳng thức cuối cùng đúng



Suy ra bất đẳng thức đã cho được chứng minh
Tóm lại: Các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bước 2: Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2
Bước 3: Kết luận A  B . Lưu ý dấu bằng xảy ra khi nào ?
2.2.2 Phương pháp 2 :
Dùng các tính chất của bất đẳng thức
+A>B B A

+ A > B và B > C  A  C
+ A > B  A+C > B + C
+ A > B và C > D  A + C > B + D
+ A > B và C > 0  A.C > B.C
+ A > B và C < 0  A.C < B.C
+A < B và A.B > 0



1 1

A B

Bài số 6:
Cho a > 2, b > 2 . Chứng minh ab > a + b
Cách 1: Với a > 2, b > 0 nên ab > 2b
b > 2, a > 0 nên ab > 2a
Suy ra 2ab > 2a + 2b  ab > a + b
Cỏch 2: Cũng có thể lập luận a > 2


1 1
1 1
  1  ab     ab
a b
a b



1 1

 ,
a 2

1
b

b>2  

1
2

Với ab > 0 nghĩa là ab > a + b

Bài số 7:
Với a,b,c là các số thực:
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
Chứng minh
-Nhân 2 vế của bất đẳng thức với số 2 ta có : a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
 2(a 2  b 2  c 2 )  2(ab  bc  ca)

 2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ca
 2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ca  0
 (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a )2  0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng
Hay a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
- Có thể gợi ý cho học vận dụng định nghĩa để giải như bài số 2
Bài số 8:
Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta ln có : a 4  b 4  c 4  abc(a  b  c )

Giải:
Cách 1:Ta có : a 4  b 4  c 4  abc(a  b  c ) , a, b, c  0
 a 4  b 4  c 4  a 2 bc  b 2 ac  c 2 ab  0
 2 a 4  2b 4  2c 4  2a 2 bc  2b 2 ac  2c 2 ab  0



 a2  b2



2



 2a 2 b 2  b 2  c 2



2



 2b 2 c 2  c 2  a 2



2

 2a 2 c 2

 2 a 2 bc  2b 2 ac  2c 2 ab  0



 a2  b2

  b
2

2

 c2

  c
2

2

 a2



2

 (a 2 b 2  b 2 c 2  2b 2 ac )  (b 2 c 2  c 2 a 2  2c 2 ab )
 ( a 2 b 2  c 2 a 2  2 a 2 ab )  0



 a2  b2

  b
2

2

 c2

  c
2

2

 a2

  ab  bc   bc  ac   ab  ac 
2

2

2

2

0

Đúng với mọi a, b, c.
Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu và kết hợp với kết quả của bài tập 7 ta có:

Ta ln có : a 4  b4  c 4  a 2b 2  b 2c 2  c2 a 2
Mà a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2  ab 2 c  abc 2  a 2bc  abc (a  b  c)
2.2.3.Phương pháp 3:
Dùng bất đẳng thức phụ
2
2
a) x  y  2 xy
b) x2  y 2  2 xy dấu = xảy ra khi x = y = 0
c) x  y 2  4 xy
a b
b a
1
1
4
x   2 ( x  0);

x
xy ( x  y ) 2
1 1
4
 
( x, y  0)
x y x y

d)   2

( x, y  0)

Lưu ý: Xem các bất đẳng thức phụ như các hệ quả khi làm bài vận dụng cần
phải chứng minh lại.

Bài số 9:
Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a)  8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x  y 2  4 xy
Ta có a  b 2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac
Nhân vế theo vế của các bất đảng thức trên
a  b 2 b  c 2 c  a 2  64a 2 b 2 c 2  8abc 2  (a+b)(b+c)(c+a)  8abc


Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
1
2
2
2
Theo bài ra ta có a  b  1  (a  b)  1  a  2ab  b 2  1 (1)

Bài số 10 : Cho a + b = 1 .Chứng minh a 2  b 2 
(a  b) 2  0

Mặt khác ta có

 a 2  2ab  b 2  0 (2)

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta có 2(a 2  b2 )  1  a 2  b 2 
Dấu bằng xảy ra khi a = b =

1
2

1

2

*Sử dụng kết quả bài số 10 nhưng thay đổi giả thiết và yêu cầu cao hơn
ta có bài toán sau:
Cho a + b = 2. Chứng minh rằng :

a4 + b4  2

Giải : Theo bài ra ta có a  b  2  (a  b)2  4  a 2  2ab  b 2  4 (1)
Mặt khác ta có
(a  b) 2  0  a 2  2ab  b 2  0 (2)
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta có 2(a 2  b2 )  4  a 2  b 2  2 (3)
Bình phương hai vế bất đẳng thức (3) ta có
(a 2  b 2 ) 2  4  a 4  2a 2b2  b4  4 (4)
Ta cũng có
2
2
4
2 2
4
(a  b )  0  a  2a b  b  0 (5)
Cộng bất đẳng thức (4) và (5) vế theo vế ta có :
2(a 4  b 4 )  4  a 4  b 4  2

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1
Sử dụng kết quả của bài số 10 và tính chất A < B 

1 1

và A.B  0 ta có

A B

bài toán :
Bài số 11
Cho x > 0 , y > 0 và x + y = 2. Chứng minh 8( x 4  y 4 ) 
Ta có (x+y)2  4xy  4  4xy  1  xy 
 8( x 4  y 4 ) 

1
 17
xy

1
 1 (1)
xy

1
 8.2  1  17
xy

Bài số 12 :
Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 1. Chứng minh b +c  16abc


Hướng dẫn : Trước hết chứng minh bài toán phụ để có (x+y)2  4xy
Áp dụng bài tốn phụ ta có
2

1  a  (b  c )  4a (b  c )  (b  c ).1  4a (b  c )2  16abc

2.2.4 Phương pháp 4 :
Phương pháp đặt biến phụ (Thường dùng áp dụng cho BĐT có điều kiện)
Bài số 13:(Áp dụng làm bài số 10)
1
2
1
1
1
1
1 1
Đặt a   x ; b   x Khi đó ta có a 2  b 2  (  x) 2  (  x )2  2 x 2  
2
2
2
2
2 2
1
Dấu bằng xảy ra khi x = 0  a  b 
2
1
Với bài số 13 vế trái có hai hạng tử thì lớn hơn hoặc bằng nếu vế trái có 3
2

Cho a + b =1 .Chứng minh a 2  b 2 

hạng tử ta có bài tốn sau:
Bài số 14:
Cho a + b +c =1 .Chứng minh a 2  b2  c 2 
1
3

1
3

1
3

1
3

Đặt a   x , b   y , c   z Vì a + b + c = 1  x + y + z = 0
1
1
1
a 2  b 2  c 2  (  x )2  (  y )2  (  z )2
3
3
3
Khi đó ta có
1 2
1
1
  ( x  y  z )  x 2  y 2  z 2   x2  y 2  z 2 
3 3
3
3
1
Dấu bằng xảy ra khi x = y= z = 0 và a  b  c 
3

Từ bài tập 13 và 14 ta có bài tốn tổng qt:
*Tổng qt : Với a1  a2  a3  ...  an  1. Chứng minh :
a12  a2 2  a32  ...  an 2 

1
.
n

2.2.5 Phương pháp 5:
Phương pháp làm trội:
a > 0 , b > 0 và

a
a ac
 0 thì

b
b bc

Bài số 15:
Cho ba số dương a,b,c .Chứng minh rằng 1 
Vì

a
 1 nên
ab

a
a
ac



abc ab a bc

a
b
c


2
ab bc ca


Tương tự:

b
b
ac


abc bc abc
c
c
cb


abc ca abc

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta có điều phải chứng minh
Bài số 16 :

a
b
c
3



2
2
2
1 a 1 b 1 c
2
b
1
c
1

;

Tương tự:
2
2
1 b
2 1 c
2

Cho a,b,c là các số không âm . Chứng minh
Ta có : (a  1)2  0

 a 2  1  2a 

a
1

2
1 a
2

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta điều cần chứng minh
Bài số 17:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì:
1 1 1
1
 2  2  ...  2  1
2
2 3 4
n
1
1
1
1
1
3
b) 


 ... 

2 n 1 n  2 n  3
nn 4

a)

Giải:
a) Với k  N và k  2 ta có:
1
1
1
1
1




2
k
k .k k (k  1) k  1 k
1
1
1
1
1
1

 ; 2 
 ;
2
2
2 1 2
3
3 1 3

Cho k các giá trị từ 2 đến n ta được
1
1
1


2
n
n 1 n

Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên tacó :
1 1 1
1
1 n 1
 2  2  ...  2  1  
1
2
2 3 4
n
n
n
1
1

b) Ta có :
với k=1,2,3, ..., n-1 Suy ra
n  k 2n
1
1

1
1
1
1
1
n 1


 ... 


 ... 


(1)
n 1 n  2 n  3
n  n 2n 2n
2n 2n 2
1
1
3


 3k 2  3nk  n  3k luôn đúng với
Mặt khác ta lại có
n  k n  ( n  1  k ) 2n

k =1,2,..,n
1
1

3


n  1 n  n 2n
1
1
3


Với k = 2, ta có
n  2 n  (n  1) 2n

Với k = 1, ta có


.....................................
Với n = k ,ta có

1
1
3


n  n n  1 2n

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có :
1
1  3
3
3 3n 3

 1
2

 ... 

 ... 

 (2)

n  n  2n 2n
2n 2n 2
 n 1 n  2

Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh
2.2.3 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm :
Mặc dù đây là một chuyên đề rộng và khó, song qua q trình vận
dụng sáng kiến này vào thực tế tôi nhận thấy tất cả các học sinh đều tiếp thu
và vận dụng tốt các phương pháp đó vào việc giải các bài tập về tốn bất
đẳng thức.
Trong q trình nghiên cứu và thực hiện tơi đó thu được một số thành cơng
bước đầu như sau:
GV và HS đã phân loại được các dạng bài tập và từ đó xây dựng các
phương pháp giải cụ thể cho từng loại bài. Đặc biệt đối với các bài tập về bất
đẳng thức đây không chỉ là nội dung quan trọng trong chuyên đề bồi dưỡng
học sinh giỏi Toán 8 mà các bài tập này sẽ được tiếp tục nghiên cứu nhiều
hơn ở chương trình Tốn ở các lớp trên. Do đó tạo được nền tảng vững chắc
để các em có thể học tốt mơn tốn ở các lớp cấp THPT.
Cụ thể chất lượng làm bài của HS đó có bước tiến rõ nét:

Số HS khơng

làm được

SL
Tống số HS
khảo sát : 5

0

%
0%

Số HS chỉ làm
được các dạng
bài cấp độ
nâng cao đơn
giản

Số HS làm được
các dạng nâng
cao khó

SL

%

SL

%

2

40%

3

60%


3. KẾT LUẬN

Qua thời gian giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn lớp 8, tơi nhận
thấy yếu tố quan trọng nhất để nâng cao chất lượng đó là phương pháp giảng
dạy của giáo viên. Trong đó đối với việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thì một
vấn đề đặc biệt quan trọng là giáo viên phải xây dựng được một hệ thống
phương pháp giải bài tập cho từng loại bài. Có vậy học sinh mới hiểu và
nắm vững một cách tổng quát về kiến thức, trên cơ sở đó các em mới có thể
tự học, tự nghiên cứu tài liệu và có hứng thú học tập, biết tự lực, chủ động,
tự tin làm tốt bài thi.
Đây là sáng kiến đã được phát hiện và được tích lũy qua quá trình bản
thân trực tiếp nghiên cứu và vận dụng vào dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8
trong năm học này. Do đó đây là những vấn đề rất thiết thực và có tính ứng
dụng cao. Mỗi nội dung được trình bày mang tính chất khái qt cao và đã
được giải quyết một cách cụ thể, chi tiết. Chính vì vậy đây khơng chỉ đơn
thuần là những kiến thức, những phương pháp để áp dụng cho việc giải các
bài tập về bất đẳng thức đại số và hệ thống các tính chất quan trọng của bất
đẳng thức . Do đó việc giảng dạy theo nội dung của đề tài này sẽ khơng chỉ
giúp học sinh lớp 8 có một hệ thống phương pháp giải bài tập, mà quan
trọng hơn là các em nắm được bản chất các bài toán về bất đẳng thức
Qua thời gian giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn lớp 8, tơi nhận
thấy yếu tố quan trọng nhất để nâng cao chất lượng đó là phương pháp giảng

dạy của giáo viên. Trong đó đối với việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thì một
vấn đề đặc biệt quan trọng là giáo viên phải xây dựng được một hệ thống
phương pháp giải bài tập cho từng loại bài. Có vậy học sinh mới hiểu và
nắm vững một cách tổng quát về kiến thức, trên cơ sở đó các em mới có thể
tự học, tự nghiên cứu tài liệu và có hứng thú học tập, biết tự lực, chủ động,
tự tin làm tốt bài thi.
Bài tập về bất đẳng thức nói chung là một nội dung rất rộng và khó.
Bởi lý do các phương pháp để giải loại bài tập này đòi hỏi phải vận dụng
một lượng kiến thức tổng hợp và nâng cao. Đối với học sinh lớp 8 thì việc
nắm được những bài tập như vậy là rất khó khăn. Tơi nghĩ rằng, để học sinh
có thể hiểu một cách sâu sắc và hệ thống về từng loại bài tập thì nhất thiết
trong qúa trình giảng dạy giáo viên phải phân loại các dạng bài tập và xây


dựng các phương pháp giải cụ thể cho từng loại bài. Đặc biệt đối với các bài
tập về bất đẳng thức đây không chỉ là nội dung quan trọng trong chuyên đề
bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 mà các bài tập này sẽ được tiếp tục nghiên
cứu nhiều hơn ở chương trình Tốn ở các lớp trên. Do đó đây chính là nền
tảng vững chắc để các em có thể học tốt mơn tốn ở các lớp cấp THPT.
Sáng kiến này chỉ xây dựng phương pháp giải bài tập cho một mảng
nhỏ trong số các dạng bài tập nâng cao của đại số lớp 8. Tuy nhiên, bằng
phương pháp tương tự, trong quá trình giảng dạy mỗi giáo viên đều có thể
xây dựng các phương pháp giải cho tất cả các loại bài tập còn lại.
Việc phân loại và xây dựng các phương pháp giải bài tập Toán bao giờ
cũng là vấn đề khó khăn nhất đối với tất cả các giáo viên dạy bồi dưỡng học
sinh giỏi môn Tốn. Song đây là cơng việc nhất thiết phải làm thì mới mang
lại hiệu quả cao trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn nói
chung và mơn Tốn cho học sinh giỏi lớp 8 nói riêng.
Qua q trình nghiên cứu và giảng dạy , cùng với sự học hỏi kinh
nghiệm từ đồng nghiệp tôi đã mạnh dạn đăng kí tên sáng kiến kinh nghiệm

sẽ viết trong năm học này ngay từ đầu năm theo kế hoạch. Do thời gian có
hạn, sáng kiến này khơng tránh khỏi những khiếm khuyết cần phải sửa chữa,
bổ sung. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các cấp lãnh đạo và của các bạn
đồng nghiệp để sáng kiến của tôi được hồn thiện tốt hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn./.