De thidap an Thi hoc sinh gioi toan tinh Binh dinh 2016

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đáp án đề thi HSG Toán Tỉnh SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề chính thức. THCS Tây Sơn KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: Toán. Ngày thi: 18/3/2016. Thời gian làm bài: 150’. Bài 1: (5,0 điểm).. 1 1 1 1 1 1 1 1  2  1  2  2  1  2  2  ......  1   2 2 2 3 3 4 4 5 2015 2016 2 b) Tìm các giá trị nguyên x;y thỏa mãn đẳng thức: (y+2)x2 +1=y2 Bài 2: (3,0 điểm) Cho phương trình x2 +ax+b+1=0 với a,b là tham số  x1  x 2  3 Tìm giá trị của a,b để pt trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn điều kiện:  3 3  x1  x 2  9 Bài 3: (3,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4a 9b 16c P   bca a cb a bc Bài 4: (9,0 điểm) 1. Cho đường tròn (O) có đường kính BC =2R và điểm A thay đổi trên đường tròn (O) (A không trùng với B và C). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn tại K ( K  A) . Hạ AH vuông góc với BC. a) Đặt AH =x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất. a) Tính tổng: T  1 . AH 3  HK 5 2. Một đường thẳng d thay đổi cắt hai cạnh Ox, Oy của góc nhọn xOy lần lượt tại hai điểm M, N nhưng 1 2 luôn thỏa hệ thức   1 . Chứng tỏ rằng d luôn đi qua một điểm cố định. OM ON HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (5,0 điểm).. b) Tính góc B của tam giác ABC, biết. a) Tính tổng: Với a.b.c  0 và a+b+c=0 ta dễ dàng chứng minh:. T  1  . 1 1 1 1 1 1  2  2    .Do đó: 2 a b c a b c. 1 1 1 1 1 1 1 1  2  1  2  2  1  2  2  ......  1   2 2 2 3 3 4 4 5 2015 2016 2. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2   2   2  ......    2 2 2 2 1 2  3  1 3  4  1 4  5  1 2015  2016 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1          .....    1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 2015 2016. 1 1   1 1   1 1   1 1     1      1     1     ..... 1     2 3   3 4   4  5   2015 2016  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1007  1.2014        ....    2014    2014 2 3 3 4 4 5 2015 2016 2 2016 1008 2 2 b) Tìm các giá trị nguyên x;y thỏa mãn đẳng thức: (y+2)x +1=y (1) Cách 1: (1)  y2 –x2y-2x2 -1=0 (*), xem đây là pt bậc hai ẩn y, ta có:   ( x 2 )2  4(2 x 2  1)  x 4  8 x 2  4  ( x 2  4) 2  12 ĐK cần để pt có nghiệm y nguyên là   k 2 (k  N )   k 2  ( x 2  4)2  12  k 2  ( x 2  4)2  k 2  12   x 2  4  k  .  x 2  4  k   12 : Vì k  N nên x2+4-k < x2+4+k ; x2+4-k và x2+4+k có cùng tính chẵn, lẻ; đồng thời x2+4-k và x2+4+k cùng dấu mà x2+4+k >0 nên x2+4-k và x2+4+k cùng dương . Phan Hòa Đại. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đáp án đề thi HSG Toán Tỉnh. THCS Tây Sơn.  2 x  8  8 x  0 x  0 x  4  k  2 Suy ra:  2    (TMDK ) x  4  k  6 k  2  2k  4 k  2  2. 2. 2.  b   0 2  2 y   1  1  2a 2.1 2 Với x=0, ta được:   k  4 =>pt(*) có hai nghiệm  : 2  y  b    0  2   1  2 2a 2.1 Vậy pt đã cho có hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (0;-1) Cách 2: Thay y=-2, ta được 1= 4 không thỏa mãn , nên x=2 không phải là nghiệm của pt. -. Vậy x  -2 : Ta có (y+2)x +1=y   y  2  x  1  y 2. 2. 2. 2. y2 1 3 x   y2 y2 y2 2. 3  Z  y  2  3; 1;1;3  y  5; 3; 1;1 y2 Lần lượt thay y bằng -5;-3;-1; 1 ta đươc: hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (0;-1). Ta có: x  Z . Bài 2: (3,0 điểm) Ta có: Pt(1) có hai ngiệm phân biệt x1;x2    0  a 2  4b  4  0 Khi đó: 2  x1  x 2 2  4x1x 2  9   x1  x 2 2  4x1x 2  9  x1  x 2  3  x1  x 2   9       3 3 2 2 2  x1  x 2  2  x 1 x 2   9 x  x x  x  x x  9 3      x1  x 2  9    1 2 1 2 1 2  x1  x 2   x1x 2  3    .   b  3   a   4(b  1)  9 3b  9 b  3 a  4b  13 a  1   2  2  2  (TMDK) 2   b  3 a  b  4 a  1 a  b  4  a   (b  1)  3   a  1 Bài 3: (3,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác yz  a  2 x  b  c  a  0  1  4  y  z  9(z  x) 16  x  y   zx Đặt:  y  a  c  b  0  b  : Ta được: P      2 x y z 2  z  a  c  b  0   xy  c  2  =>Theo BĐT Cô- Si cho hai số ko âm, ta có: 2. P. 2. 1  4  y  z  9(z  x) 16  x  y   1  4y 4z 9z 9x 16x 16y             2 x y z x y y z z   2 x. 1  4y 9x   4z 16x   9z 16y            2  x y   x z   y z . :. 4y 9x 4z 16x 9z 16y .  .  .  6  8  12  26 x y x z y z.  4y 9x x  y   2y  3x 4 7 7 7 7  4z 16x    z  2x  z  2x  y  a  b  c .Vậy:Pmax=26  a  b  c Dấu “=” xảy ra    z 3 6 5 6 5 x 3z  4y  9z 16y  y  z . Bài 4: (9,0 điểm) *Chú ý: Bài này có 3 trường hợp , AB<AC; AB=AC; AB>AC, -Nếu AB=AC: Thì 3 điểm A,H, K thẳng hàng => Ko tồn tại tam giác ABC, Và KH=HK => Cả 2 câu a,b ko thể có AB= AC. Vậy AB  AC -Vì vai trò bình đẳng của AB, AC nên ta giả sử AB <AC, còn trường hợp AB< AC thì tương tự. 1. a) Xét trường hợp AB<AC: Phan Hòa Đại. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đáp án đề thi HSG Toán Tỉnh. THCS Tây Sơn. Đặt AH =x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất. Dễ dàng chứng minh: OI  BC và AK là phân giác của góc HAO. Gọi I là giao điểm của AK với BC. Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có: IH AH IH AH A    IO OA OH OA  AH AH x x. R 2  x 2 Rx 2 2  IH  OH .  OA  OH .   x. OA  AH Rx Rx Rx 1 1  S AHK  S AHI  S IHK   AH .HI  OK .HI   .HI  AH  OK  2 2. x B. I. O. C. H. 1 Rx 1  .x. .  R  x   x. R 2  x 2 2 Rx 2. Theo BĐT Cô-Si, ta có: S AHK. 1 x2  R2  x2 R2 2 2 .  x. R  x   2 4 4. K. Dấu “=” xãy ra khi 2 R2 0 0 x R x  x R x  x R  AOH  45  sdAB  45  S max   sdAB  450 2 4 2. 2. 2. 2. 2. Xét trường hợp AC<AB: Tương tự: S max  Vậy : S max . R2  sdAC  450 4. R2  sdAB  450 hoặc sdAC  450 4. b) Tính góc B của tam giác ABC, biết:. AH  HK. 3 :Ta có: 5. Xét trường hợp AB<AC: AH  HK. 3 AH 2 3 R2 R 2 2 2 2 2 2 2    5AH  3HK  5 R  OH  3 R  OH  OH   OH  H     2 5 HK 5 4 2. là trung điểm của OB   OAB cân tại A   OAB đều  ABC  600 AH  Xét trường hợp AC<AB: Tương tự HK. 3 R2 R 2  OH   OH   H là trung điểm của OC   5 4 2. OAC cân tại A   OAC đều  ACB  600  ABC  300 2. -Trên tia Ox lấy điểm I sao cho OI = 1, vẽ đường thẳng qua I , song song với Oy cắt NM tại K, ta có: y IK IM OM  OI OI OI IK    1   1 ON OM OM OM OM ON N (vì OI=1) 1 IK 2 1 1 IK 2 K   .    . 1 OM 2OI ON OI OM 2 ON 1 2 IK Lại có: =1=> IK=2.   1 . Suy ra O I OM ON 2 M Ta có I nằm trên tia Ox và OI=1 => I cố định => Tia IK //Ox, nằm trong góc xOy cố định => Tia IK cố định, mà K nằm trên tia IK và IK=2 => K ccố định . d luôn đi qua một điểm cố định K. Phan Hòa Đại. Trang 3. x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>