de thi

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2015 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề). C©u 1(4,5 ®iÓm) 1  1   1 M  2  3,5  :   4  3   7,5 7  3   6 a/ TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc :. b/ T×m x biÕt :  2 x  3. 2. 16. c/ T×m x, y biÕt r»ng :  2 x  5 C©u 2 (4,5 ®iÓm) a/ T×m ®a thøc M biÕt r»ng :. 2012.   3 y  4. 2014. 0. M  5 x 2  2 xy 6 x 2  9 xy  y 2. . . B. b/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :. x2  y 2  3 x2  y2  2. x y y z  ;  c/ T×m x, y, z biÕt : 2 3 5 4 vµ x – y + z = 49. C©u 3 (5,0 ®iÓm) a/ T×m hai sè h÷u tû a vµ b biÕt. a  b 2  a  b  a : b M  2012  x  2013  x. b/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña bÓu thøc : c/ Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phơng. C©u 4 (4,0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c nhän ABC. VÏ vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c vu«ng t¹i A : ABD, ACE sao cho AB = AD, AE = AC. KÎ AH vu«ng gãc víi BC, DM vu«ng gãc víi AH, EN vu«ng gãc víi AH. a/ Chøng minh DM = AH b/ Chøng minh MN ®i qua trung ®iÓm cña DE Câu 5 (2,0 điểm) : Cho tam giác đều ABC. M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 3:4:5. TÝnh sè ®o gãc AMB. HÕt. §¸p ¸n To¸n 7.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> C©u. Néi dung. §iÓm. 1  1   1  7 7    25 22  15 M  2  3,5  :   4  3   7,5    :    3 6 7 3 2 6 7  2        a/ 35  43 15 35 42 15  245 15  490 645 155 69 M :   .       1 6 42 2 6  43 2 43 2 86 86 86 86 2 2   2 x  3 4  2 x  3 4  x 3,5 2      2 x  3 16   2 2   2 x  3   4   2 x  3  4  x  0,5  b/ .. 1,5. 1,5. VËy : x = 3,5 ; x = -0,5 C©u 1 c/  2 x  5  4,5. 2012.   3 y  4. 2014. 0.  2 x  5 2012 0 2012 2014   2 x  5    3 y  4 0  2014 0  3 y  4  Ta cã :. Mµ  2 x  5. 2012.   3 y  4. 2014. 0. =>  2 x  5 . 2012.   3 y  4. 2014. 1 1   x 2 x 2  2 x  5  2012 0     2 2     2014 0  3 y  4   y  1 1  y  1 1  3 . VËy  3 => M  5 x 2  2 xy 6 x 2  9 xy  y 2  M 6 x 2  9 xy  y 2  5 x 2  2 xy. . a/. . 1,5. 0. . . 2 2 2 2 2 => M 6 x  9 xy  y  5 x  2 xy x 11xy  y x2  y 2  3 x2  y 2  2 1 1 B 2  2 1  2 2 2 x  y 2 x  y 2 x  y2  2 b/. 1,5. 2 2 B lín nhÊt khi x  y  2 nhá nhÊt..  x 2 0  x 2  y 2  2 2  2 2 2 Ta cã  y 0 => x  y  2 nhá nhÊt b»ng 2, khi x =. 1,5. C©u 2 4,5 y=0. 3 1 1 Khi đó B lớn nhất = 2 2 x y y z x y y z  ;   ;  c/ 2 3 5 4 => 10 15 15 12 =>. 1,5. x y z x yz  49      7 10 15 12 10  15  12 7. => x = -70 ; y = -105 ; z = -84 C©u 3 a  b 2  a  b  a : b a/ T×m hai sè h÷u tû a vµ b biÕt: (1) 5,0 Tõ. 2,0. a  b 2  a  b   a  b 2a  2b   a 3b  a  3b. MÆt kh¸c :. a  b a : b   3b  b  3b : b   4b  3  b . 3 4.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3 9 a  3.  4 4 . =>. VËy :. a. 9 3 ;b  4 4. b/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña bÓu thøc :. M  2012  x  2013  x. Sö dông : A  B  A  B . DÊu “=” x¶y ra khi A,B cïng dÊu. (*) Ta cã :. 1,5. M  2012  x  2013  x  2012  x  x  2013  2012  x  x  2013   1 1. VËy M (min) = 1 khi ( 2012 - x)(x – 2013) ≥ 0 => 2012 ≤ x ≤ 2013 NhËn xÐt : NÕu sè chÝnh ph¬ng chia hÕt cho a ( lµ sè nguyªn tè) th× nã chia hÕt cho a2 Gi¶ sö A = n2 + 2002 lµ sè chØnh ph¬ng. - XÐt trêng hîp 1 : n lµ sè ch½n => n = 2k => n2 = 4k2=> A = n2 + 2002 = 4k2 + 2002 Ta cã : 4k2 chia hÕt cho 2 , 2002 chia hÕt cho 2 => A chia hÕt cho 2 => A chia hÕt cho 4. Do 4k2 chia hÕt cho 4, cßn 2002 kh«ng chia hÕt cho 4 => A kh«ng chia hÕt cho 4(lo¹i) - XÐt trêng hîp 2 : n lµ sè lÎ => n = 2k +1 => A lµ sè chÝnh ph¬ng lÎ, cã d¹ng (2b + 1)2 = 4b2 + 4b + 1 chia cho 4 d 1. Mµ : A = (2k + 1)2 + 2002 = 4k2 + 4k + 2003 chia cho 4 d 3 ( lo¹i) Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phơng C©u 4 H×nh vÏ 4,0 E N. 1. I. M. D. 3. 1. 1. A 4. 2. B. H. a/ Chøng minh DM = AH XÐt MAD vµ HBA cã AMD BHA  900 (gt) (1). AD = AB (gt) (2). C. 1,5. 2,0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>   A 900  D  1 1     D1  A2 A  A 900  1 2  (3). Tõ 1,2,3 => MAD = HBA (C¹nh huyÒn – gãc nhän) => DM = AH ( Hai c¹nh t¬ng øng)(§PCM) (4) b/ Chøng minh MN ®i qua trung ®iÓm cña DE Chøng minh t¬ng tù c©u a => EN = AH (5) Gäi giao ®iÓm cña MN vµ DE lµ I C/m đợc : MID = NIE (Cạnh góc vuông – góc nhọn)  ID = IE (Hai c¹nh t¬ng øng)  I lµ trung ®iÓm cña DE => MN ®i qua trung ®iÓm I cña DE (§PCM) A. Do MA : MB : MC 3 : 4 : 5 MA MB MC   a 4 5 => §Æt 3. 1. N. . AMN => AM = AN = MN = 3a vµ AMN 60 XÐt ABN vµ ACM cã AB = AC (gt) (1) ; AN = AM = 3a (2) A  A 600   1 2     A1  A3 A  A 60 0  2 3  (3). 3. 2. => MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác đều. C©u 5 2,0. 2,0. 3a. 0. M. 2,0 4a. Tõ 1,2,3 => ABN = ACM (c.g.c) => BN = CN = 5a. XÐt BMN cã BN2 = (5a)2 = 25a2 BM2 + MN2 = (4a)2 + (3a)2 = 25a2 B => BN2 = BM2 + MN2 =>  BMN vuông tại M (đ/l pytago đảo) 0  => NMB 90 0 0 0    Suy ra : AMB  AMN  NMB 90  60 150. 5a. C.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>