de thi

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề). (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) Câu 1: (4,5 điểm) 4  1 2 4  1 5  A  :    :   9  15 3  9  11 22  1) Tính giá trị của biểu thức: 1  3  12   1  x  : 2 6 2) Tìm x, biết:  5  13. 3) Tính giá trị của biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn: (x - 2)4 + ( 2y - 1)2014 0 Câu 2: (4,5 điểm) x y y z  ;  1) Tìm các số x, y, z biết: 3 4 6 8 và 2 x  y  z  14. 2 2) Tìm x , biết: (x - 2)(x + 3 ) > 0. 3 1 3 2 1  1  1 .15  .5 x  3 : 7  6  .   2  2  3  2 3) Tìm số nguyên x, biết rằng: 7 3 7 5. Câu 3: (5,0 điểm) 1) Tính giá trị của biểu thức M = 4x + 4y + 21xy(x + y) + 7(x3y2 + x2y3) + 2014, biết x + y = 0. 2) Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng, p(x) 5 với mọi x nguyên. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5. 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2013 A 1     ...  B 1     ...  1 2 3 4 4026 , 3 5 7 4025 . So sánh B với 2014 . 3) Cho. Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C). Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt BA tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt tia AC tại N. MN cắt BC tại I. 1) Chứng minh rằng: DM = EN. 2) Chứng minh rằng IM = IN; BC < MN. 3) Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I. Chứng minh rằng: BMO CNO . Từ đó suy ra điểm O cố định. Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E    ECB  ABD (E nằm giữa B và D). Chứng minh rằng DAE sao cho DAE . .............. Hết.............. Họ và tên thí sinh::........................................... SBD.............................. Giám thị 1:................................. Giám thị 2:...............................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HÓA. Câu. Câu 1: 4,5đ. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 Năm học: 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Hướng dẫn Điểm. 4  3 4  3 4   5  22  A :  :  .    4 9 5 9 22 9 3 3   1) (1,5đ). 1,5. 3 13 12 3 1 x . 3 6 13  x  5 2) (1,5đ) Ta có:  5 4  3) (1,5đ) Vì (x - 2) 0; (2y – 1) 2014  0 với mọi x, y nên (x - 2)4 + (2y – 1) 2014  0 . Mà (x - 2)4 + (2y – 1) 2014  0 1 Suy ra (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2014 = 0 suy ra x = 2, y = 2. 1,5. Khi đó M = 44. x y y z x y z  ;     9 12 16 1) (1,5đ) Từ 3 4 6 8 x y z 2x y z 2 x  y  z  14         1 Vậy: 9 12 16 18 12 16 18 12  16 14. Suy ra x = -9; y = -12; z = -16.. Câu 2: 4,5đ. 2 2 2) (1,5đ) Từ (x - 2)(x + 3 ) > 0 suy ra x – 2 và x + 3 cùng dấu. 2 Dễ thấy x – 2 < x + 3 nên ta có: 2  x – 2 và x + 3 cùng dương  x – 2 > 0  x > 2. 2 2 2  x – 2 và x + 3 cùng âm  x + 3 < 0  x < - 3 2 Vậy x > 2 hoặc x < - 3 . 3 1 3 2 3  1 2 31 .15  .5  .  15  5  8 3)(1,5đ) Ta có 7 3 7 5 7  3 5  35 1  1  1  3 : 7  6  .   2  14 2  3  2. 31 8 x   9;10;11;12;13;14 Do đó: 35  x  14 , vì x nguyên nên Câu 3: 1)(1,5đ) M = 4(x + y) + 21xy(x + y) + 7x2y2(x+ y) + 2014 = 2014 (5.0đ) (Vì x + y = 0) 2)(2,0đ) Vì p(x) 5 với mọi x nguyên nên p (0) = d  5. p (1) = a + b + c + d 5 (1) p (- 1) = - a + b - c + d 5 (2) Từ (1) và (2) suy ra : 2(b + d) 5 và 2(a + c) 5 .. 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25. 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 1,5 0,25 0,5 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Vì 2(b + d) 5, mà (2, 5) = 1 nên b+ d 5 suy ra b5. p (2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d  5; b5. nên 8a + 2c 5, kết hợp với 2(a + c) 5 suy ra 6a 5 suy ra a 5 vì (6,5) = 1. từ đó c 5. Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5. 1 1 1 1 C  A  B     ...  2 4 6 4026 3)(1,5đ) Đặt 1 1 1 1 1 1 1 1 B 1     ...   1    ...   C 3 5 7 4025 4 6 4026 2 Ta có (1) 2013 1 1 1 1 1 1 1 1     ...      ...  C 2 4026 2  2 2    2 2 4 6. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,5. 2013 sohang. Lại có. . 1 C  2 2013. (2). C  C  2013B  2014C 2013 Từ (1) và (2) suy ra C 2013 CB 2013 A 2013   1  1 B 2014 B 2014 Do đó: B 2014 B. 0,25 0,5. Câu 4: (4,5đ). 1) (1,5đ) . . Tam giác ABC cân tại A nên ABC  ACB; Do đó: MDB NEC ( g .c.g )  DM EN.  NCE  ACB; (đối đỉnh). 2) (1,5đ)Ta có MDI NEI ( g .c.g )  MI NI Vì BD = CE nên BC = DE . Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN Suy ra BC < MN. 3)(1,5đ) Ta chứng minh được:  ABO ACO (c.g .c)  OC OB , ABO  ACO .. 1,5. 0,5 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 0,5. MIO NIO(c.g.c)  OM ON .. Lại có: BM = CN, do đó BMO CNO(c.c.c)        MBO NCO , Mà: MBO  ACO suy ra NCO  ACO , mà đây là hai góc kề bù nên CO  AN.. 0,25 0,5. Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường 0,25 vuông góc với AC tại C nên O cố dịnh.. Câu 5: Vẽ AF vuông góc BD, CG vuông góc BD, CH vuông góc với AE. Ta có (1,5đ) ABF CAH (cạnh huỳen – góc nhon). Suy ra: AF = CH. ADF CDG (ch  gn) suy ra AF = CG.. 0,25. Từ đó ta có CH = CG.   CEH CEG (ch  cgv)  CEH CEG ;       Mà CEG EBC  ECB; CEH EAC  ECA;     Do đó: EBC  ECB EAC  ECA; (1)     EBA  EBC ECB  ECA ;. Măth khác:. lấy (1) trừ (2) theo vế ta có:. 0,5. (2).       ECB  EBA EAC  ECB EBA  ECB    EBA ECB.    ECB  ABD nên DAE Mà DAE .. Chú ý: 1. Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. 2. Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm.. 0,5 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>