Luật mạnh số lớn cantrell roralsky đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên

1

MỤC LỤC

Mở đầu

4

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

1.2

Phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.5

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.6

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.7

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.8

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.9

Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.10 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.11 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.12 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.13 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.14 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Các dạng hội tụ của phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

10

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


2

1.3

1.4

1.2.2

Các ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.4

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.5

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.6

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.7

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.8

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.9

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.10 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Các đặc trưng của phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.1

Bất đẳng thức Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.2

Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.3

Bất đẳng thức Markov . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 2. Luật mạnh số lớn Cantrell-Rosallsky đối với dãy các
phần tử ngẫu nhiên
2.1

Luật số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập

17
. . .

17

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Định lí (Luật yếu số lớn) . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.3

Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.4

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.5

Bổ đề (Kronecher) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20


3

2.2

2.3

Luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên bất kì .

22

2.2.1

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.2

Hệ quả

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.3

Hệ quả

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.4

Hệ quả

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.5

Hệ quả

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập

28

2.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.2

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.3

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.4

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.5

Hệ quả

32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


4

MỞ ĐẦU

Lý thuyết xác suất thống kê bắt nguồn từ sự xem xét các trò chơi may rủi
mà đã trờ thành một ngành tốn học quan trọng, có cơ sở lý thuyết chặt chẽ,
có phạm vi nghiên cứu rộng, có nhiều ứng dụng sâu sắc trong các lĩnh vực
khác nhau của đời sống con người. Khi nghiên cứu xác suất thống kê không
thể không nghiên cứu về "luật mạnh số lớn", đã có rất nhiều nhà tốn học
nghiên cứu về đề tài và đã thu được nhiều kết quả sâu sắc.
Trong luận văn này chúng tôi làm rõ thêm một số vấn đề về Luật mạnh số
lớn Cantrell-Rosallsky.
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Luật mạnh số lớn Cantrell-Rosallsky đối với dãy các phẩn tử ngẫu
nhiên.
Để hồn thành luận văn này tơi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, chỉ
dẫn nhiệt tình, sâu sát của PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, tôi cũng cảm ơn sự
giúp đỡ của tập thể lớp cao học 16 chuyên ngành Xác suất thống kê Toán.
Vinh, ngày 05 tháng 12 năm 2010
Tác giả
Vũ Trọng Quang

5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong suốt luận văn này, ta luôn giả sử rằng (Ω, F, P) là không gian xác suất
đầy đủ, E là không gian Banach khả li, G là σ -đại số con của F , B(E) là

σ -đại số Borel.
1.1
1.1.1

Phần tử ngẫu nhiên
Định nghĩa

Ánh xạ X : Ω −→ E được gọi là phần tử ngẫu nhiên G - đo được, nhận
giá trị trong E nếu X là G/B(E) đo được, tức là với mọi B ∈ B(E) thì

X −1 (B) ∈ G .
Phần tử ngẫu nhiên F -đo được sẽ được gọi đơn giản là phần tử ngẫu nhiên.
Hiển nhiên, nếu X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được, thì X là phần tử
ngẫu nhiên.
1.1.2

Ví dụ

Xét ánh xạ X : Ω −→ E xác định bởi

X(ω) = 0, ∀ω ∈ Ω.
Khi đó X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được, với G = ∅, Ω .

Thật vậy,

X −1 (B) =

∅
Ω

nếu 0 ∈
/B
nếu 0 ∈ B

nên X −1 (B) ∈ G với mọi B ∈ B(E).
1.1.3

Định nghĩa

Phần tử ngẫu nhiên X : Ω −→ E gọi là phẩn tử ngẫu nhiên rời rạc nếu

|X(Ω)| không quá đếm được.


6

1.1.4

Định nghĩa

Dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn ) gọi là hội tụ đến ánh xạ X : Ω −→ E nếu

Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn), với mọi ω ∈ Ω . Kí hiệu Xn → X .

Dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn ) gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến ánh xạ

X : Ω −→ E nếu tồn tại tập N ∈ F sao cho P(N ) = 0, Xn (ω) → X(ω)
h.c.c

(theo chuẩn), với mọi ω ∈ Ω N . Kí hiệu Xn −−→ X .
1.1.5

Định lí
h.c.c

Nếu (Xn ) là dãy phần tử ngẫu nhiên và Xn −−→ X thì X là phần tử ngẫu
nhiên. Đặc biệt, nếu (Xn ) là dãy phần tử ngẫu nhiên G -đo được và Xn → X
thì X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được.
1.1.6

Định lí

Ánh xạ X : Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên G -đo được khi và chỉ khi X là
giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G -đo được (tức là tồn
tại dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc (Xn ) G -đo được sao cho

lim sup Xn (ω) − X(ω) = 0).

n→∞ ω∈Ω

1.1.7

Định lí

Ánh xạ X : Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên G -đo được khi và chỉ khi X là
giới hạn (theo chuẩn) của một dãy các phần tử ngẫu nhiên đơn giản (Xn ) G -đo
được và Xn (ω)

2 X(ω) với mọi n và với mọi ω ∈ Ω . (Tức là tồn tại dãy

phần tử ngẫu nhiên đơn giản (Xn ) G -đo được thỏa mãn lim Xn (ω) X(ω) =
n→∞

0 và Xn (ω)

2 X(ω) với mọi n và với mọi ω ∈ Ω ).

Chứng minh. Điều kiện đủ : Định lí 1.1.5.
Điều kiện cần:
Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên. Do E khả li nên tồn tại (yn ) trù mật trong


7

E, y0 = 0. Với mỗi n = 1, 2, ... xác định

fn : E −→ {y0 , ..., yn }, ∀x ∈ E, fn (x) = yl , yl ∈ {y0 , ..., yn }
thỏa mãn

x − yl < x − ym ; 0

m < l.

x − yl

m

x − ym ; l

n.

Khi đó với mọi n, fn là ánh xạ B(E)/B(E) đo được.
Thật vậy,

fn−1 (yl ) = {x ∈ E : x − yl
x − yl

x − ym ; 0

x − ym ; l

m

n}

l−1

n

{x : x − yl

=

m < l,

x − ym }

m=0

{x : x − yl

x − ym }

m=l

vì các ánh xạ f1 : x −→ x − a và f2 : x −→ x liên tục nên ánh xạ

f : x −→ x − a liên tục.
Tương tự, g : x −→ x − b liên tục.
Do đó f(a,b) (x) = x − a − x − b liên tục.

fn−1 (yl ) =

l−1
m=0

−1
f(y
[(−∞; 0)]
l ,ym )

Vậy với mọi B ∈ B(E) ta

n

−1
f(y
[(−∞; 0)] ∈ B(E) với mọi l.
l ,ym )

m=l
có fn−1 (B)

fn−1 (yl ) ∈ B(E). Suy ra

=
{l:yl ∈B}

fn : E −→ E là B(E)/B(E) đo được. Hơn nữa
xn − fn (x) = min

0 m n

Do đó fn (x)

ym − x

y0 − x = x .

2 x .

Đặt Xn = fn ◦ X. Khi đó

|Xn (Ω)| = |fn [Xn (Ω)]|

|fn (E)| < ∞.

Tức là Xn chỉ nhận hữu hạn giá trị.
Với mọi B ∈ B(E) thì

Xn−1 (B) = (fn ◦ X)−1 (B) = X −1 [fn−1 (B)] = X −1 (B ) ∈ G(B ∈ B(E)).


8

do X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được, nên Xn là phần tử ngẫu nhiên G -đo
được.
Vậy Xn là phần tử ngẫu nhiên đơn giản G -đo được và

Xn (ω) = fn [Xn (ω)]

2 X(ω) .

với mọi n và mọi ω ∈ Ω . Cuối cùng ta có

Xn (ω) − X(ω) = fn [Xn (ω)] − X(ω)
= fn (x) − x
= min

0 m n

ym − x −→ 0 khi n → ∞.

Vậy

lim Xn (ω) = X(ω), ∀ω ∈ Ω

n→∞

Vậy X là giới hạn theo chuẩn của dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc (Xn ).
Định lí được chứng minh.
1.1.8

Định lí

Giả sử E1 , E2 là khơng gian Banach. T : E1 −→ E2 là ánh xạ B(E1 )/B(E2 )
đo được. X : Ω −→ E1 là phần tử ngẫu nhiên G -đo được, khi đó ánh xạ

T (X) : Ω −→ E2 là phần tử ngẫu nhiên G -đo được.
Chứng minh. Với mọi B2 ∈ B(E2 ) ta có T −1 (B2 ) = B1 ∈ B(E1 )
Suy ra

(T X)−1 (B2 ) = X −1 (T −1 (B2 )) = X −1 (B1 ) ∈ G.
Vậy ánh xạ T (X) : Ω −→ E2 là phần tử ngẫu nhiên G -đo được.
Định lí được chứng minh.
1.1.9

Hệ quả

Giả sử ánh xạ X : Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên G -đo được. Khi đó, ánh
xạ X : Ω −→ R là đại lượng ngẫu nhiên G -đo được.


9

Chứng minh. Ta có
X

.

X = · ◦X :Ω −
→ E −→ R
vì . liên tục nên X đo được.
Áp dụng định lí 1.1.8 ta có điều phải chứng minh.
1.1.10

Định lí

Ánh xạ X : Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên G -đo được khi và chỉ khi với
mọi f ∈ E ∗ thì f (X) là đại lượng ngẫu nhiên G -đo được.
1.1.11

Hệ quả

Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên G -đo được, a, b ∈ R, ξ : Ω −→ R là
đại lượng ngẫu nhiên G -đo được. Khi đó aX + bY, ξX là phần tử ngẫu nhiên

G -đo được.
Chứng minh. Ta có

(aX + bY )(ω) = aX(ω) + bY (ω) ∈ E; ξX(ω) = ξ(ω)X(ω ∈ E).
Do đó, với mọi f ∈ E∗ thì f (aX + bY ) = af (X) + bf (Y ) và aX + bY, ξX là
phần tử ngẫu nhiên G -đo được. Đó là điều phải chứng minh.
1.1.12

Định nghĩa

Giả sử Xt , t ∈ ∆ là họ các phần tử ngẫu nhiên xác định trên không gian

(Ω, F, (P )) nhận giá trị trong (E, B(E)). Khi đó họ Xt , t ∈ ∆ gọi là độc lập
nếu với mọi bộ hữu hạn tj ∈ ∆ và Aj ∈ B(E), 1
n

P(
j=i

1.1.13

j

n ta có

n

Xt−1
(Aj ))
j

P(Xt−1
(Aj )).
j

=
j=1

Định lí

Giả sử E1 , E2 là không gian Banach, Xt , t ∈ ∆ là họ các phần tử ngẫu nhiên
độc lập nhận giá trị trong E1 . Khi đó, nếu với mọi t ∈ ∆, Tt : E1 −→ E2


10

là ánh xạ B(E1 )/B(E2 ) đo được, thì họ (Tt , (Xt ), t ∈ ∆) là họ phần tử ngẫu
nhiên độc lập nhận giá trị trong E2 .
1.1.14

Định lí

Giả sử X1 , X2 , ..., Xn là các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên không
gian (Ω, F, P) nhận giá trị trong (E, B(E)). Khi đó, điều kiện cần và đủ để

X1 , X2 , ..., Xn độc lập với mọi f1 , f2 , ..., fn ∈ E∗ , các đại lượng f1 (X), f2 (X), ...,
fn (X) độc lập.
1.2

Các dạng hội tụ của phần tử ngẫu nhiên

1.2.1

Định nghĩa

Cho {Xn } là dãy các phần tử ngẫu nhiên xác định trên không gian (Ω, F, P)
nhận giá trị trong (E, B(E)). Ta nói {Xn } hội tụ đến một phẩn tử ngẫu nhiên

X:
h.c.c

1. Hầu chắc chắn, kí hiệu Xn −−→ X , nếu
P( lim Xn − X = 0) = 1.
n→∞
P

2. Theo xác suất, kí hiệu Xn →
− X , nếu với mọi ε > 0 thì

lim P( Xn − X > ε) = 0.

n→∞

Lp

3. Theo trung bình cấp p, kí hiệu Xn −→ X nếu

lim E( Xn − X p ) = 0.

n→∞

D

4. Yếu (theo phân phối), kí hiệu Xn −
→ X nếu
w

→P
PXn −
trong đó
PX : B(E) −→ R

B −→ (P (X −1 (B)).


11

1.2.2

Các ví dụ
h.c.c

h.c.c

h.c.c

Ví dụ 1: Cho Xn −−→ X , Yn −−→ Y . Khi đó Xn + Yn −−→ X + Y .
Ví dụ 2: Cho a ∈ E và Xn là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0
và a với xác suất tương ứng là 1 −
1.2.3

1
n

P

L

2
và n1 . Khi đó Xn →
− 0 và Xn −→
0.

Định lí
h.c.c

Xn −−→ X khi và chỉ khi với mọi ε > 0
lim P(sup Xm − X

n→∞

1.2.4

> ε) = 0.

m n

Định lí
Lp

h.c.c

P

Nếu Xn −−→ X hoặc Xn −→ X thì Xn →
− X.
h.c.c

P

i) Nếu Xn −−→ X thì Xn →
− X.

Chứng minh.

Thật vậy, ta có với mọi ε > 0

0

P Xn − X > ε

P sup Xm − X > ε .
m n

h.c.c

Mặt khác, theo giả thiết Xn −−→ X và định lí 1.2.3 với mọi ε > 0 ta có

lim P sup Xm − X > ε = 0.

n→∞

m n

P

Vậy Xn →

− X khi n → ∞.
Lp

P

ii) Nếu Xn −→ X thì Xn →
− X.
Thật vậy,
Áp dụng bất đẳng thức Markov cho đại lượng ngẫu nhiên Xn − X , ta
có với mọi ε > 0

E Xn − X
εp
−→ 0 khi n → ∞)

P Xn − X > ε
(do E Xn − X
P

p

p

−→ 0.

Vậy Xn →
− X khi n → ∞. Định lí được chứng minh.


12

1.2.5

Định nghĩa

Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn ) là dãy cơ bản

• Hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P( lim

m,n→∞

Xm − Xn = 0) = 1.

• Theo xác suất nếu với mọi ε > 0 thì lim P( Xm − Xn > ε) = 0.
m,n→∞

• Theo trung bình cấp p > 0 nếu lim E( Xm − Xn p ) = 0.
m,n→∞

1.2.6

Định lí

Dãy (Xn ) cơ bản hầu chắc chắn khi và chỉ khi dãy (Xn ) hội tụ hầu chắc
chắn.
1.2.7

Định lí

Dãy {Xn } là cơ bản h.c.c khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thỏa

mãn:
(i) lim P( sup Xk − Xl ) = 0, ∀ε > 0,
n→∞

k,l n

(ii) lim P(sup Xk − Xn ) = 0, ∀ε > 0.
n→∞

1.2.8

k n

Định lí

Nếu dãy (Xn ) cơ bản theo xác suất thì tồn tại dãy con (Xnk ) ⊂ (Xn ) sao
cho (Xnk ) hội tụ h.c.c.
1.2.9

Định lí

Dãy (Xn ) hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi dãy (Xn ) cơ bản theo xác suất.
1.2.10

Định lí

Dãy (Xn ) hội tụ theo trung bình cấp p khi và chỉ khi dãy (Xn ) cơ bản theo
trung bình cấp p (p

1).

13

1.3

Các đặc trưng của phần tử ngẫu nhiên

1.3.1

Kỳ vọng

1.3.1.1 Định nghĩa. Giả sử X : Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên, phần tử

EX ∈ E gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có
E(f (X)) = f (EX), ∀f ∈ E∗ .
trong đó E∗ = {f : E −→ R, f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục}.
1.3.1.2 Ví dụ
Cho a ∈ E, A ∈ F, X = aIA

X(ω) =

a nếu ω ∈ A
0 nếu ω ∈
/A

(1.1)

Khi đó EX = P(A)a ∈ E .
Thật vậy, với mọi f ∈ E∗

f (EX) = f (P(A) a) = P(A) f (a).
E(f (X)) = E[f (a) IA ] = f (a) E IA = f (a)P(A).
Vậy EX = P(A).
1.3.1.3 Tính chất
Định lí. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu nhiên
cùng xác định trên (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E. Khi đó nếu tồn tại EX, EY, Eξ
thì
1. Tồn tại E(X + Y ) và E(X + Y ) = EX + EY ,
2. Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX ,
3. Tồn tại E(αξ)) và E(αξ) = αEξ ,
4. Nếu P(X = α) = 1 thì EX = α,
5. Nếu ξ và f (X) độc lập với mọi f ∈ E ∗ thì tồn tại E(ξX) và E(ξX) =

EξEX ,


14

6. Với mọi ánh xạ tuyến tính T : E −→ E (E là khơng gian Banach khả
li) thì tồn tại E[T (X)] và

E[T (X)] = T [E(X)].
Định lí. Nếu E X < ∞ thì tồn tại EX và E X
1.3.2

EX .

Phương sai

1.3.2.1 Định nghĩa. Cho X là phần từ ngẫu nhiên trong E với giá trị kỳ
vọng EX . Phương sai của X , kí hiệu là DX , cho bởi cơng thức

DX = E X − EX

2

1.3.2.2 Tính chất. Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu
nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E. Khi
đó
1. D(a X) = a2 DX ,
2. D(α ξ) = α

2

Dξ ,

3. DX = 0 khi và chỉ khi X = EX (h.c.c) .

1.4
1.4.1

Một số bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cr

Giả sử X, Y ∈ Lr , r > 0. Khi đó

E X +Y

r

Cr (E X

r

+E Y

r

),

trong đó Cr = max(1, 2r−1 ) chỉ phụ thuộc vào r.
Chứng minh. Ta có bất đẳng thức sơ cấp

(a + b)r

(ar + br ) max(1, 2r−1 ), a > 0, b > 0, r > 0,


15

và

X +Y

r

( X + Y )r .

nên từ đó ta thay a bởi X , b bởi Y , sau đó lấy kỳ vọng hai vế sẽ được

điều phải chứng minh.
1.4.2

Bất đẳng thức Jensen

Nếu ϕ : E −→ R là hàm lồi liên tục, X : Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên
và E X < ∞ thì

ϕ(EX)

Eϕ(X).

Chứng minh. Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên rời rạc
∞

X=

∞

aj IAj , với
j=1

Aj = Ω, Ai

Aj = ∅, aj ∈ E, Aj ∈ F.

j=1

Khi đó

∞

ϕ(X) =

ϕ(aj ) IAj .
j=1

n

Đặt Xn =

aj IAj .
j=1

Khi đó
n

EX = lim EXn ; EXn =
n→∞

aj P(IAj ); Eϕ(X) =
j=1

∞

ϕ(aj ) P(IAj ).
j=1

n

P(Aj ) −→ 1 khi n → ∞.

P(Aj ) = 1 nên cn =

Vì

n

j=1

j=1

Ta có

ϕ
=

1
cn
1
cn

EXn = ϕ

1
cn

n

n

aj P(Aj ) = ϕ
j=1

j=1

P(Aj )
cn

n

aj
j=1

n

P(Aj ) ϕ(aj ) −→ Eϕ(X) khi n → ∞.
j=1

Do đó

lim ϕ

n→∞

1
EXn
cn

Eϕ(X)

(1)

P(Aj )
cn

ϕ(aj )


16

Mặt khác

lim ϕ

n→∞

1
1
1
EXn = ϕ lim
EXn = ϕ( lim
lim EXn ) = ϕ(EX) (2)
n→∞ cn
n→∞ cn n→∞
cn

Từ (1) và (2) suy ra

ϕ(EX)

Eϕ(X).

Định lí được chứng minh.
1.4.3

Bất đẳng thức Markov

Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó với mọi ε > 0 ta có
P( X

ε)

E X
.
ε

Chứng minh. Ta có X : Ω −→ E và . : E −→ R là ánh xạ liên tục
nên X : Ω −→ R là biến ngẫu nhiên không âm. Từ đó ta áp dụng Bất
đẳng thức Markov đối với biến ngẫu nhiên khơng âm ta có điều phải chứng
minh.


17

Chương 2
Luật mạnh số lớn Cantrell-Rosallsky đối với dãy
các phần tử ngẫu nhiên
2.1

Luật số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập

2.1.1

Định nghĩa

Không gian Banach thực khả li E được gọi là có tính chất Rademacher loại

p với 1

p

2 nếu tồn tại hẳng số c sao cho với mọi dãy các phần tử ngẫu

nhiên độc lập {Xi , 1

j

n} nhận giá trị trên E, với EXj = 0, E Xj

ta có:

n

E

<∞

n

Xj

p

j=1

2.1.2

p

E Xj p .

c
j=1

Định lí (Luật yếu số lớn)

Giả sử {Xn } là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên E,

(bn ) là dãy số dương, bn ↑ ∞ khi n → ∞. Đặt Xni = Xi I(
Khi đó

1
bn

Xi

bn ) , 1

i

n.

n
P

Xi →
− 0 khi n → ∞.
i=1

nếu
n

P Xi > bn → 0 khi n → ∞,
i=1

1
bn
1
bpn
2.1.3

n

EXni → 0 khi n → ∞,
i=1
n
p

E Xni − EXni → 0 khi n → ∞.

i=1

Bổ đề

Giả sử {Xn , n

1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng 0,

nhận giá trị trong không gian Banach Rademacher loại p (1

p

2). Khi


18

đó

j

n

p

E max

Xi

1 j n

E Xi p , n

c

i=1

1,

i=1

trong đó c là hằng số không phụ thuộc vào n.
Chứng minh. Giả sử Fn = σ(Xi , 1

i

n), n

1.

n

Xi , F n , n

Khi đó

1 là martingale dưới khơng âm nhận giá trị thực.

i=1

Trong trường hợp 1 < p

2, theo bất đẳng thức Doob, với mọi n

j

E

max

1 j n

p
p−1

p

Xi
i=1

n

p

n

p

E

1

Xi

E Xi p .

c

i=1

i=1

Điều này cho ta điều phải chứng minh.
Khi p = 1 với n

1, ta có

j

E max

1 jn i=1

2.1.4

j

Xi

n

E max

1 j n i=1

Xi

n

=E

Xi

=

i=1

E Xi .
i=1

Định lí

Giả sử X là khơng gian Rademacher loại p(1
dãy {Xn , n

p

2). Khi đó với mọi

1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng 0, điều kiện

∞

j=1

E Xj
jp

p

< ∞,

kéo theo luật mạnh số lớn

Sn
→ 0 h.c.c.
n

Chứng minh. Đặt

Tn =

k

1
2n−1

max

2n−1 k 2n −1

Xj , n

1.

j=2n−1

Ta có

ETnp

= E(

1

k

Xj )p

max

2n−1 2n−1 k 2n −1

j=2n−1


19
2n −1

c
2p(n−1)

p

E Xj
j=2n−1

n

2 −1

c
j=2n−1

1
2p(n−1)

2n −1

E Xj
jp
n−1

c

=c

j=2
2n −1
j=2n−1

p

E Xj
p

E Xj

p

,n

jp

1.

Do đó
∞

∞

ETnp

2n −1

E Xj
jp
n−1

c

n=1

n

p

=c

n=1 j=2

Suy ra

j=1

E Xj
jp

p

< ∞.

∞

ETnp < ∞.
n=1

Sử dụng bất đẳng thức Markov và bổ đề Borel - Cantelli, ta có

Tn −→ 0 h.c.c khi n → ∞.
Giả sử 2m−1

2m . Khi đó ta có

n
1
n

n

n

1

max
2m−1 1 j n

Xj
j=1

1
2m−1 1
2m−1
=
k=1

Đặt

amk

j=1

n

maxm
j 2

Xj
j=1

m

1
m

Xj

i

max

j=1

2k−1 j 2k

2k−1
Tk .
2m−1

2k−1
= m−1 , 1
2

k

m.

Xj
j=1


20

Khi đó

lim amk

m→∞

Mặt khác,

m

m

|amk | =
k=1

k=1

2k−1
= lim m−1 = 0.

m→∞ 2

2k−1
2m−1

2m
= 2, ∀m
2m−1

1.

mà

Tk −→ 0 khi k → ∞,
nên theo bổ đề Toeplitz ta có
m

k=1

2k−1
Tk −→ 0 h.c.c khi m → ∞.
2m−1

Do đó

1
n

2.1.5

n

Xi −→ 0 h.c.c khi n → ∞.
i=1

Bổ đề (Kronecher)

bn ↑ ∞ khi n → ∞, xn ∈ E và chuỗi

Giả sử 0

1
bn

n
xk
k=1 bk

hội tụ. Khi đó

n

xk −→ 0 khi n → ∞.
k=1

Chứng minh. Đặt rn =

∞
xk
k=n+1 bk .

Rõ ràng

rn

→ 0 khi n → ∞

và r = supn rn < ∞.
Ta có

xn
bn

= rn−1 − rn nên xn = bn (rn−1 − rn ), suy ra

n

n

bk (rk−1 − rk )

xk =
k=1

k=1

= (b1 r0 − b1 r1 ) + (b2 r1 − b2 r2 ) + · · · + (bn rn−1 − bn rn )
= r1 (b2 − b1 ) + r2 (b3 − b2 ) + · · · + rn−1 (bn − bn−1 ) + b1 r0 − bn rn .

1

lim
n→∞ bn

n

xk
k=1

1
= lim
n→∞ bn

n

xk
k=1


21
n−1

1
lim
n→∞ bn

b1
r0 + lim rn
n→∞ bn
n→∞

xk (bk+1 − bk ) + lim
k=1
n−1

1
n→∞ bn

xk (bk+1 − bk ).

= lim

k=1

Vậy

1
lim
n→∞ bn

n

1
lim
n→∞ bn

xk
k=1

n−1

xk (bk+1 − bk ).

(*)

k=1

Do rn −→ 0 nên với mọi ε > 0 tồn tại n0 sao cho rn < ε, ∀n

n0 .

Khi đó với mọi n > n0 ta có

1
bn

n−1

rk (bk+1 − bk )
k=1

n−1

1
bn

n−1

r(bk+1 − bk ) +
k=1

ε(bk+1 − bk )
k=n0

Kết hợp với (*) ta có

1
lim
n→∞ bn

n

xk
k=1

lim

n→∞

Suy ra

1
lim
n→∞ bn

bn
r(bn0 − b1 )
+ ε − ε 0 = ε,
bn
bn

n

xk

ε, ∀ε > 0.

k=1

Do đó

1
lim
n→∞ bn
Vậy

1
lim
n→∞ bn
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

n

xk = 0.
k=1
n

xk = 0.
k=1

22

2.2

Luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên bất kì

2.2.1

Định lí

Giả sử {Xn , n

1} là dãy các biến ngẫu nhiên không âm và {bn , n

1}

là dãy tăng các số dương bn ↑ ∞. Nếu
∞

n=1

EXnα
< ∞ h.c.c.
bαn

(1)

với α ∈ [0; 1] thì
∞

Xn
< ∞ h.c.c,
b
n
n=1
và

1
bn

n

Xk −→ 0 h.c.c khi n → ∞.
k=1

Chứng minh. Đặt

Xnα
X1α
Sn = α + · · · + α ; S =
b1
bn

∞

n=1

Xnα
.
bαn

Khi đó {Sn } là dãy các biến ngẫu nhiên không âm và Sn ↑ S h.c.c.
Suy ra
∞

E
n=1

Xnα
= ES = E( lim Sn ) = lim ESn = lim E
n→∞
n→∞
n→∞
bαn
n

= lim

n→∞

i=1

Xiα
E α =
bi

Suy ra

∞

E
n=1

Do đó

∞

n=1

∞

i=1

EXiα
< ∞.
bαi

Xnα
< ∞.
bαn

Xnα
< ∞ h.c.c.
bαn

n

i=1

Xiα

bαi


23

Khi đó tồn tại n0 ∈ N và với α ∈ [0; 1] ta có

Xnα
bαn
Suy ra

1, ∀n

Xn
Xnα
=
bn
bαn

Điều đó chứng tỏ

∞

n=1

1
α

n0 .

Xnα
, ∀n
bαn

n0 .

Xn
< ∞ h.c.c.
bn

Do đó theo bổ đề Kronecher, ta có

1
bn

2.2.2

n

Xk −→ 0 h.c.c khi n → ∞.
k=1

Hệ quả

Giả sử {Xn , n
thực và {an , n

1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach
1}, {bn , n

1} là dãy tăng các số dương với bn ↑ ∞ sao

cho

n

ai = O(bn ).
i=1

Giả sử λ

0 và ∀ε > 0 ta có
∞

P Xn > λbn < ∞.
n=1

và
∞

n=1

1
E Xn I[εan < Xn
bn

λbn ] − EXn I[εan < Xn

Khi đó ta có luật mạnh số lớn

1
bn

∞

Xi − EXi I[ Xi
n=1

λbi ] −→ 0 h.c.c.

λbn ] < ∞.


24

Chứng minh. Với mỗi n ∈ N ta đặt

λbn ] − EXn I[εan < Xn

Vn = Xn I[εan < Xn

λbn ] ,

Yn = Xn I[ Xn > λbn ] .
Bằng cách áp dụng định lí 2.2.1 cho dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Vn , n
ta được

1
bn

n

λbi ] − EXi I[εai < Xi

Xi I[εai < Xi

λbi ] −→ 0 h.c.c.

i=1

Theo giả thiết. ε là một số dương tùy ý và tồn tại c > 0 sao cho
n

0

ai

cbn , ∀n ∈ N.

i=1

Do đó

1
lim sup
n→∞ bn
và

1
lim

n→∞ bn

n

Xi I[ Xi

εai ]

c ε h.c.c.

i=1
n

E Xi I[ Xi

εai ]

c ε.

i=1

Từ đó ta có

1
bn
Từ giả thiết

n

Xi I[ Xi

λbi ] − EXi I[ Xk

λbk ] −→ 0 h.c.c.

i=1
∞

∞

P Yn = 0 < ∞.

P Xn > λbn =
n=1

n=1

Suy ra
P[lim sup[Yn = 0]] = 0.
n→∞

Theo bổ đề Borel - Cantelli suy ra
∞

∞

P[lim inf [Yn = 0]] = P
n→∞

[Yi = 0] = 1.

n=1 i=n

1},


25

Vì thế với xác suất 1, tồn tại n0 ∈ N sao cho Yn = 0 với mỗi n
Suy ra

1
bn
Do đó

1
bn

2.2.3

n0 .

n

Yi −→ 0 h.c.c.
i=1

n

Xi − EXi I[ Xi

bi ] −→ 0 h.c.c.

i=1

Hệ quả

Giả sử {Xn , n
thực và {bn , n

1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach
1} là dãy các số dương với bn ↑ ∞, α ∈ [0, 1] .

∞

P[ Xn > bn ] < ∞,

(a)
n=1
∞

(b)
n=1

1
E
bα
n

Xn I[ Xn

Khi đó

1
bn
và

1
bn

bn ] − EXn I[ Xn

bn ]

α

< ∞.

n

Xi − EXi I[ Xi

bi ] −→ 0 h.c.c.

Xi − EXi I[ Xi

bi ] −→ 0 h.c.c.

i=1
n

i=1

Chứng minh. Với mỗi n ∈ N ta đặt

Vn = Xn I[ Xn

bn ] − EXn I[|Xn

bn ] ,

Yn = Xn I[ Xn > bn ] .
Bằng cách áp dụng định lí 2.2.1 cho dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Vn , n
ta được

1
bn

n

Xi I[ Xi
i=1

bi ] − EXi I[ Xi

bi ] −→ 0h.c.c.

1},