Về không gian tựa h đóng

1

MỤC LỤC

Lời nói đầu

2

1 Các tập hợp S -đóng tương đối

4

1.1

Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Các tập hợp S -đóng tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Không gian tựa H -đóng

18

2.1

Khơng gian tựa H -đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Các tập hợp tựa H -đóng tương đối . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3

Khơng gian tựa H -đóng địa phương . . . . . . . . . . . . . .

31

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37


2

LỜI NĨI ĐẦU

Lý thuyết các khơng gian tơpơ là một nhánh quan trọng của giải tích hiện
đại, nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành Toán học và các mơn học

khác. Tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu về các tập mở cùng với các ứng dụng
của chúng, năm 1963 một lớp mới các tập mở suy rộng trong khơng gian
tơpơ là các tập nửa mở, nửa đóng đã được nghiên cứu và giới thiệu bởi N.
Levine. Cũng theo hướng đó, năm 1969 J. Porter và J. Thomas nghiên cứu và
giới thiệu khái niệm khơng gian tựa H -đóng (quasi H -closed) nhằm mở rộng
nhiều tính chất quan trọng của không gian compact trong tôpô. Sử dụng khái
niệm tập nửa mở vào định nghĩa, năm 1976 T. Thompson đã giới thiệu khái
niệm khơng gian S -đóng (S -closed) và đến năm 1977 T. Noiri giới thiệu khái
niệm các tập hợp S -đóng tương đối (S -closed relative to).
Trên cơ sở một số kết quả của các nhà toán học đó và một số tài liệu theo
hướng trên như: On S-closed spaces của A. S. Mashhour, A. A. Allam và A.
M. Zahran, On quasi H-closed subspaces của Z. Duszy´
nski, Characterizations
of quasi H-closed spaces của Y. Yang, . . . chúng tơi tiếp tục nghiên cứu, tìm
hiểu một số tính chất của khơng gian tựa H -đóng và các tính chất bất biến
của khơng gian tựa H -đóng.
Với nội dung nghiên cứu này, luận văn được trình bày trong hai chương
Chương 1. Các tập hợp S -đóng tương đối. Trong chương này, phần
đầu chúng tơi trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bày luận
văn, cụ thể chúng tơi giới thiệu và trình bày các khái niệm: tập nửa mở, tập
nửa đóng, tập mở chính quy, tập đóng chính quy, tập α-mở, tập α-đóng, . . .


3

Các ánh xạ α-liên tục, ánh xạ α-mở, ánh xạ α-khơng giải được, . . . Tiếp đó,
chúng tơi trình bày khái niệm và một số đặc trưng của các tập hợp S -đóng
tương đối.
Chương 2. Khơng gian tựa H -đóng. Trong chương này, chúng tơi trình
bày về khái niệm khơng gian tựa H -đóng, một số tính chất đặc trưng của

khơng gian tựa H -đóng. Tiếp đó, chúng tơi trình bày khái niệm và một số
tính chất của các tập tựa H -đóng tương đối, ảnh của các tập này qua một
số ánh xạ. Cuối cùng, chúng tơi trình bày khái niệm và một số tính chất cơ
bản của khơng gian tựa H -đóng địa phương.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình và nghiêm khắc của thầy giáo PGS. TS. NGƯT. Trần Văn Ân. Tác giả
xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin
chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa
Toán. Tác giả xin được cảm ơn PGS. TS. Đinh Huy Hoàng, PGS. TS. Tạ
Khắc Cư, PGS. TS. Phạm Ngọc Bội, TS. Vũ Thị Hồng Thanh và các thầy,
cơ giáo trong Tổ Giải tích, khoa Tốn đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ
tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng, xin cảm ơn Ban giám hiệu
trường THPT Diễn Châu 3, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các
bạn trong lớp Cao học 16 - Tốn Giải tích đã cộng tác, tạo điều kiện giúp đỡ
tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của thầy, cơ giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 12 năm 2010
Tác giả


4

CHƯƠNG 1

CÁC TẬP HỢP S-ĐÓNG TƯƠNG ĐỐI

1.1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Định nghĩa. Không gian tôpô là một cặp (X, τ ), trong đó X là một
tập hợp và τ là một họ những tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau
(i) ∅ ∈ τ và X ∈ τ ;
(ii) Nếu U1 ∈ τ và U2 ∈ τ thì U1 ∩ U2 ∈ τ ;
(iii) Nếu {Ui : i ∈ I} là một họ những tập con của X và Ui ∈ τ , với mọi

i ∈ I thì

Ui ∈ τ .
i∈I

Các phần tử của X gọi là các điểm của không gian tôpô, mỗi phần tử của

τ gọi là một tập mở trong không gian X . Phần bù của một tập mở gọi là tập
đóng. Họ τ được gọi là một tôpô trên tập X .
Ký hiệu CO(X, τ ) là họ tất cả các tập vừa đóng, vừa mở trong (X, τ ).
1.1.2 Định nghĩa. ([9]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là
nửa mở (semi-open) nếu tồn tại tập mở U sao cho U ⊂ A ⊂ cl(U ), trong đó

cl(U ) ký hiệu là bao đóng của tập con U trong không gian tôpô (X, τ ).
Ký hiệu SO(X, τ ) là họ tất cả các tập nửa mở trong (X, τ ).
1.1.3 Bổ đề. ([3]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) là nửa mở khi và
chỉ khi A ⊂ cl(int(A)).
1.1.4 Định nghĩa. ([3]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là
nửa đóng (semi-closed) nếu X\A là tập nửa mở.
Ký hiệu SC(X, τ ) là họ tất cả các tập nửa đóng trong (X, τ ).

5

1.1.5 Định nghĩa. ([3]) Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ).
Khi đó, giao của tất cả các tập nửa đóng chứa A được gọi là bao nửa đóng
(semi-closure) của A và ký hiệu là scl(A).
1.1.6 Định nghĩa. ([3]) Tập con A của không gian tơpơ (X, τ ) được gọi là
mở chính quy (regular open) nếu A = int(cl(A)).
Ký hiệu RO(X, τ ) là tập hợp tất cả các tập con mở chính quy trong (X, τ ).
1.1.7 Nhận xét. (i) Nếu A là tập mở chính quy trong khơng gian tơpơ

(X, τ ) thì A là tập nửa mở.
(ii) Nếu A là tập mở trong khơng gian tơpơ (X, τ ) thì int(cl(A)) là tập
mở chính quy.
Chứng minh. (i). Hiển nhiên.
(ii). Giả sử A là tập mở. Để chứng minh int(cl(A)) là tập mở chính quy,
ta sẽ chứng minh int(cl(A)) = int(cl(int(cl(A)))). Thật vậy, vì A mở nên

A = int(A), do đó cl(A) = cl(int(A)) ⊂ cl(int(cl(A))). Điều này kéo theo
int(cl(A)) ⊂ int(cl(int(cl(A)))).

(1.1)

Ngược lại, ta có int(cl(A)) ⊂ cl(A), vì thế cl(int(cl(A))) ⊂ cl(A), do đó

int(cl(int(cl(A)))) ⊂ int(cl(A)).

(1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta có điều phải chứng minh.

1.1.8 Định nghĩa. ([3]) Tập con A của khơng gian tơpơ (X, τ ) được gọi là
đóng chính quy (regular closed) nếu X\A là tập mở chính quy.
Ký hiệu RC(X, τ ) là họ tất cả các tập con đóng chính quy trong (X, τ ).
1.1.9 Nhận xét. (i) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) là đóng chính
quy khi và chỉ khi A = cl(int(A)).
(ii) Nếu A là tập nửa mở trong không gian tơpơ (X, τ ) thì cl(A) là tập
đóng chính quy.


6

Chứng minh. (i) Ta có A là tập đóng chính quy khi và chỉ khi X\A là tập mở
chính quy. X\A là tập mở chính quy khi và chỉ khi X\A = int(cl(X\A)) =

X\cl(int(A)). Điều này tương đương với A = cl(int(A)). Vì vậy, ta có điều
phải chứng minh.
(ii) Giả sử A là tập nửa mở. Khi đó, theo Bổ đề 1.1.3 ta có

A ⊂ cl(int(A)) ⊂ cl(int(cl(A))). Vì vậy, cl(A) ⊂ cl(int(cl(A))).

(1.3)

Ngược lại, ta có int(cl(A)) ⊂ cl(A), kéo theo cl(int(cl(A))) ⊂ cl(A). (1.4)
Từ (1.3) và (1.4) suy ra cl(A) = cl(int(cl(A))). Vậy cl(A) là tập đóng
chính quy.
1.1.10 Bổ đề. ([3]) Nếu A, B ∈ RC(X, τ ) thì A ∪ B ∈ RC(X, τ ).
1.1.11 Định nghĩa. ([3]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là
nửa mở chính quy (regular semi-open) nếu tồn tại tập mở chính quy U sao
cho U ⊂ A ⊂ cl(U ).
1.1.12 Bổ đề. Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ). Khi đó, nếu

A là tập đóng chính quy thì A là tập nửa mở chính quy.
Chứng minh. Giả sử A là tập đóng chính quy trong khơng gian tơpơ (X, τ ).
Đặt U = int(A). Khi đó, vì A là tập đóng chính quy, nhờ Nhận xét 1.1.9(i)
suy ra A = cl(int(A)), do đó U = int(cl(int(A))) = int(cl(U )). Điều này
kéo theo U là tập mở chính quy.
Mặt khác, do U = int(A) và A = cl(int(A)) nên suy ra U ⊂ A ⊂ cl(U ).
Vì vậy, A là tập nửa mở chính quy.
1.1.13 Định nghĩa. ([11]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là tiền mở (preopen) nếu A ⊂ int(cl(A)).
Ký hiệu P O(X, τ ) là họ tất cả các tập tiền mở trong (X, τ ).
1.1.14 Bổ đề. ([3]) Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ). Khi đó,
nếu A ∈ P O(X, τ ) thì RC(A, τA ) = {F ∩ A, F ∈ RC(X, τ )}, trong đó τA là


7

tôpô cảm sinh bởi tôpô τ trên A.
1.1.15 Định nghĩa. ([11]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là α-mở (α-open) nếu A ⊂ int(cl(int(A))).
Ký hiệu τ α là họ tất cả các tập con α-mở trong (X, τ ).
1.1.16 Nhận xét. ([11]) (i) τ α lập thành một tôpô trên tập X .
(ii) τ ⊂ τ α = SO(X, τ ) ∩ P O(X, τ ).
1.1.17 Định nghĩa. ([11]) Tập con A của không gian tơpơ (X, τ ) được gọi
là α-đóng (α-closed) nếu X\A là tập α-mở.
1.1.18 Định nghĩa. ([11]) Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ).
Khi đó, giao của tất cả các tập α-đóng chứa A được gọi là α-bao đóng (αclosure) của A và ký hiệu là clτ α (A).
1.1.19 Bổ đề. ([11]) Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi
đó, nếu A ∈ SO(X, τ ) thì cl(A) = clτ α (A).
1.1.20 Bổ đề. ([11]) Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi đó,

A là tập α-mở nếu và chỉ nếu tồn tại tập mở G sao cho G ⊂ A ⊂ int(cl(G)).
Chứng minh. Giả sử A là tập α-mở, nghĩa là A ⊂ int(cl(int(A))). Khi đó,
đặt G = int(A), ta có G mở và G ⊂ A ⊂ int(cl(G)).
Ngược lại, giả sử tồn tại tập mở G sao cho G ⊂ A ⊂ int(cl(G)). Vì G mở
nên G = int(G). Do đó A ⊂ int(cl(G)) = int(cl(int(G))) ⊂ int(cl(int(A))).
Điều này kéo theo A ⊂ int(cl(int(A))). Vì vậy, A là tập α-mở.
1.1.21 Bổ đề. ([11]) Giả sử A, B là các tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ).
Khi đó, nếu A ∈ P O(X, τ ) và B ∈ τ α thì tập A ∩ B ∈ (τA )α , trong đó τA
là tơpơ cảm sinh bởi tơpơ τ trên A và (τA )α là họ tất cả các tập α-mở trong
không gian (A, τA ).
1.1.22 Bổ đề. ([11]) Giả sử A, B là các tập con của không gian tôpô (X, τ ).
Khi đó, nếu A ∈ P O(X, τ ) và B ∈ SO(X, τ ) thì A ∩ cl(B) ⊂ cl(A ∩ B).


8

1.1.23 Bổ đề. ([11]) Giả sử A, B là các tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ).
Khi đó, nếu A ∈ SO(X, τ ) và B ∈ τ α thì A ∩ B ∈ (τA )α , trong đó (τA )α là
họ tất cả các tập α-mở trong (A, τA ).
1.1.24 Bổ đề. ([11]) Giả sử A, B là các tập con của không gian tôpô (X, τ ).
Khi đó, nếu A ∈ P O(X, τ ) sao cho A ⊂ B thì A ∈ P O(B, τB ).
1.1.25 Định nghĩa. ([5]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là

β -mở (β -open) nếu A ⊂ cl(int(cl(A))).
1.1.26 Nhận xét. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi đó
(i) Nếu A là tập nửa mở thì A là tập β -mở.
(ii) Nếu A là tập β -mở thì cl(A) là tập nửa mở.
Chứng minh. (i) Giả sử A là tập nửa mở. Khi đó, A ⊂ cl(int(A)). Điều này
kéo theo A ⊂ cl(int(cl(A))). Vậy, A là tập β -mở.

(ii) Giả sử A là tập β -mở, suy ra A ⊂ cl(int(cl(A))), kéo theo cl(A) ⊂

cl(int(cl(A))). Vì vậy, cl(A) là tập nửa mở.
1.1.27 Định nghĩa. ([5]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là

β -đóng (β -closed) nếu X\A là tập β -mở.
1.1.28 Định nghĩa. ([5]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ từ không
gian tôpô (X, τ ) vào khơng gian tơpơ (Y, σ). Khi đó
(i) f được gọi là α-liên tục (α-continuous) nếu f −1 (V ) ∈ τ α , với mọi

V ∈ σ.
(ii) f được gọi là α-mở (α-open) nếu f (U ) ∈ σ α , với mọi U ∈ τ .
(iii) f được gọi là tiền mở (preopen) nếu f (U ) ∈ P O(Y, σ), với mọi U ∈ τ .
(iv) f được gọi là hầu mở (almost open) nếu f −1 (cl(V )) ⊂ cl(f −1 (V )), với
mọi V ∈ σ .
1.1.29 Định nghĩa. ([5]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ từ không
gian tôpô (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ). Khi đó


9

(i) f được gọi là nửa đóng (semi-closed) nếu ảnh của mỗi tập đóng trong

X là tập nửa đóng trong Y .
(ii) f được gọi là đóng chính quy (regular closed) nếu ảnh của mỗi tập đóng
chính quy trong X là tập đóng trong Y .
(iii) f được gọi là β -đóng (β -closed) nếu ảnh của mỗi tập đóng trong X là
tập β -đóng trong Y .
(iv) f được gọi là α-không giải được (α-irresolute) nếu f −1 (V ) ∈ τ α , với
mỗi V ∈ σ α .

1.1.30 Định nghĩa. ([9]) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là S -đóng (S closed) nếu với mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của (X, τ ) bởi các tập nửa mở, tồn tại
tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
1.1.31 Định nghĩa. ([8]) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là S -đóng địa
phương (locally S -closed) nếu với mỗi x ∈ X , tồn tại lân cận mở U của x sao
cho U là khơng gian con S -đóng của (X, τ ).
1.1.32 Định nghĩa. ([10]) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là khơng liên
thơng cực trị (extremally disconnected) nếu bao đóng của mỗi tập mở là mở.

1.2

Các tập hợp S-đóng tương đối

1.2.1 Định nghĩa. ([5]) Tập con A của không gian tơpơ (X, τ ) được gọi
là S -đóng tương đối với (X, τ ) (S -closed relative to (X, τ )) nếu với mọi phủ

{Uα : α ∈ ∧} của A bởi các tập nửa mở trong (X, τ ), tồn tại tập con hữu
hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
1.2.2 Nhận xét. Giả sử A là tập con của không gian tơpơ (X, τ ). Khi đó
(i) Nếu A là khơng gian con S -đóng của (X, τ ) thì A là tập S -đóng tương
đối với (X, τ ).
(ii) Nếu A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) thì scl(A) và cl(A) cũng là
tập S -đóng tương đối với (X, τ ).


10

Chứng minh. (i) Giả sử A là không gian con S -đóng của (X, τ ) và {Uα : α ∈

∧} là một phủ của A bởi các tập nửa mở trong (X, τ ). Khi đó, {Uα ∩ A : α ∈
∧} là một phủ của A bởi các tập nửa mở trong không gian con (A, τA ). Vì A

là khơng gian con S -đóng của (X, τ ) nên tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao
cho A ⊂ ∪{clτA (Uα ∩A) : α ∈ ∧0 }. Lại vì, clτA (Uα ∩A) = A∩cl(Uα ) ⊂ cl(Uα ).
Điều này kéo theo A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Vì vậy, A là tập S -đóng tương
đối với (X, τ ).
(ii) Ta chứng minh cho trường hợp scl(A).
Giả sử A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) và {Uα : α ∈ ∧} là một
phủ của scl(A) bởi các tập nửa mở trong (X, τ ). Khi đó, vì A ⊂ scl(A)
nên {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các tập nửa mở. Do A là tập S đóng tương đối với (X, τ ) nên tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho

A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }, suy ra cl(A) ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Lại vì, với mỗi
tập A, ta có scl(A) ⊂ cl(A). Do đó, scl(A) ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Vì vậy,

scl(A) là tập S -đóng tương đối với (X, τ ).
Trường hợp cl(A) được chứng minh tương tự.
1.2.3 Bổ đề. Giả sử A là tập con của không gian tơpơ (X, τ ). Khi đó, các
khẳng định sau đây là tương đương
(i) A là tập S -đóng tương đối với (X, τ );
(ii) Mọi phủ của A bởi các tập đóng chính quy trong (X, τ ) có phủ con hữu
hạn;
(iii) Mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của A bởi các tập nửa mở chính quy trong

(X, τ ), tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) và

{Uα : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các tập đóng chính quy trong (X, τ ).
Khi đó, vì mỗi tập đóng chính quy là tập nửa mở nên {Uα : α ∈ ∧} là một
phủ của A bởi các tập nửa mở. Do A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) nên


11

tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Lại vì
mỗi tập đóng chính quy là đóng nên ta có cl(Uα ) = Uα , với mọi α ∈ ∧0 . Suy
ra, A ⊂ ∪{Uα : α ∈ ∧0 }.

(ii) ⇒ (iii). Giả sử {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các tập nửa
mở chính quy trong (X, τ ). Khi đó, vì bao đóng của mỗi tập nửa mở là
tập đóng chính quy nên ta có {cl(Uα ) : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các
tập đóng chính quy. Nhờ (ii), tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho

A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
(iii) ⇒ (i). Giả sử {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các tập nửa mở.
Khi đó, vì bao đóng của mỗi tập nửa mở là tập đóng chính quy và mỗi tập
đóng chính quy là tập nửa mở chính quy nên ta có {cl(Uα ) : α ∈ ∧} là một
phủ của A bởi các tập nửa mở chính quy. Nhờ (iii), tồn tại tập con hữu hạn

∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Vậy, A là tập S -đóng tương đối
với (X, τ ).
1.2.4 Bổ đề. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A1 , A2 , . . . , An là các tập
n

S -đóng tương đối với (X, τ ). Khi đó,

Ai là tập S -đóng tương đối với (X, τ ).
i=1

Chứng minh. Giả sử A1 , A2 , . . . , An là các tập S -đóng tương đối với (X, τ ) và
n

{Uα : α ∈ ∧} là một phủ của

Ai bởi các tập đóng chính quy trong (X, τ ).
i=1

Khi đó, với mỗi i = 1, 2, . . . , n ta có {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của Ai bởi các
tập đóng chính quy trong (X, τ ). Vì A1 , A2 , . . . , An là các tập S -đóng tương
đối với (X, τ ), nhờ Bổ đề 1.2.3(ii), tồn tại các tập con hữu hạn ∧1 , ∧2 , . . . , ∧n
n

của ∧ sao cho Ai ⊂ ∪{Uα : α ∈ ∧i }. Suy ra,

n

Ai ⊂ ∪{Uα : α ∈
i=1

n

n

∧i là tập con hữu hạn của ∧. Điều này chứng tỏ

trong đó
i=1

∧i },
i=1

Ai là tập
i=1

S -đóng tương đối với (X, τ ).
1.2.5 Bổ đề. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và tập A ∈ P O(X, τ ). Khi
đó, (A, τA ) là khơng gian con S -đóng của (X, τ ) nếu và chỉ nếu A là tập


12

S -đóng tương đối với (X, τ ).
Chứng minh. Giả sử (A, τA ) là khơng gian con S -đóng của (X, τ ) và {Uα :

α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các tập đóng chính quy trong (X, τ ). Khi
đó, vì Uα là tập đóng chính quy trong (X, τ ) và A ∈ P O(X, τ ), theo Bổ đề
1.1.14 thì A ∩ Uα là tập đóng chính quy trong (A, τA ), với mọi α ∈ ∧. Do
đó, {A ∩ Uα : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các tập đóng chính quy trong

(A, τA ). Vì (A, τA ) là khơng gian con S -đóng của (X, τ ) nên tồn tại tập con
hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{A ∩ Uα : α ∈ ∧0 }. Điều này kéo theo

A ⊂ ∪{Uα : α ∈ ∧0 }. Nhờ Bổ đề 1.2.3(ii), A là tập S -đóng tương đối với
(X, τ ).
Ngược lại, giả sử A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) và {Vα : α ∈ ∧}
là một phủ của A bởi các tập đóng chính quy trong (A, τA ). Khi đó, với mỗi

α ∈ ∧, theo Bổ đề 1.1.14, tồn tại tập đóng chính quy Uα trong (X, τ ) sao
cho Vα = A ∩ Uα . Do đó, {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các tập đóng
chính quy trong (X, τ ). Vì A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ), theo Bổ đề
1.2.3(ii), tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{Uα : α ∈ ∧0 }.
Suy ra A ⊂ ∪{A ∩ Uα : α ∈ ∧0 } = ∪{Vα : α ∈ ∧0 }. Điều này kéo theo

A ⊂ ∪{Vα : α ∈ ∧0 }. Vậy, (A, τA ) là không gian con S -đóng của (X, τ ).
1.2.6 Định lý. Giả sử A, B là các tập con của không gian tôpô (X, τ ) sao
cho A ⊂ B và B ∈ P O(X, τ ). Khi đó, A là tập S -đóng tương đối với (B, τB )
nếu và chỉ nếu A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ).
Chứng minh. Giả sử A là tập S -đóng tương đối với (B, τB ) và {Uα : α ∈ ∧} là
một phủ của A bởi các tập đóng chính quy trong (X, τ ). Khi đó, vì Uα là tập
đóng chính quy trong (X, τ ) và B ∈ P O(X, τ ), theo Bổ đề 1.1.14 thì B∩Uα là
tập đóng chính quy trong (B, τB ), với mọi α ∈ ∧. Do đó, {B ∩ Uα : α ∈ ∧} là
một phủ của A bởi các tập đóng chính quy trong (B, τB ). Vì A là tập S -đóng
tương đối với (B, τB ), theo Bổ đề 1.2.3(ii), tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧


13

sao cho A ⊂ ∪{B ∩ Uα : α ∈ ∧0 }. Điều này kéo theo A ⊂ ∪{Uα : α ∈ ∧0 }.
Vậy, A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ).
Ngược lại, giả sử A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) và {Vα : α ∈ ∧}
là một phủ của A bởi các tập đóng chính quy trong (B, τB ). Khi đó, với mỗi

α ∈ ∧, theo Bổ đề 1.1.14, tồn tại tập đóng chính quy Uα trong (X, τ ) sao
cho Vα = B ∩ Uα . Do đó, {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các tập đóng
chính quy trong (X, τ ). Vì A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ), theo Bổ đề
1.2.3(ii), tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{Uα : α ∈ ∧0 }. Suy
ra A ⊂ ∪{A∩Uα : α ∈ ∧0 } = ∪{A∩B ∩Uα : α ∈ ∧0 } = ∪{A∩Vα : α ∈ ∧0 }.
Điều này kéo theo A ⊂ ∪{Vα : α ∈ ∧0 }. Vậy, A là tập S -đóng tương đối với

(B, τB ).
1.2.7 Bổ đề. ([11]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và tập A ∈ P O(X, τ ).
Khi đó, nếu A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) thì int(cl(A)) cũng là tập

S -đóng tương đối với (X, τ ).
Chứng minh. Giả sử A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) và {Uα : α ∈ ∧}
là một phủ của int(cl(A)) bởi các tập nửa mở. Khi đó, vì A là tập tiền mở
nên A ⊂ int(cl(A)), suy ra {Uα : α ∈ ∧} là phủ của A bởi các tập nửa mở.
Lại vì, A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) nên tồn tại tập con hữu hạn ∧0
của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }, do đó cl(A) ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
Điều này kéo theo int(cl(A)) ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Vậy, int(cl(A)) là tập

S -đóng tương đối với (X, τ ).
1.2.8 Định lý. ([11]) Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, các khẳng
định sau đây là tương đương
(i) (X, τ ) là khơng gian S -đóng địa phương;
(ii) Với mỗi điểm x ∈ X , tồn tại tập Px ∈ P O(X, τ ) sao cho x ∈ Px và

Px là tập S -đóng tương đối với (X, τ );


14

(iii) Với mỗi điểm x ∈ X , tồn tại tập Px ∈ P O(X, τ ) sao cho x ∈ Px và

Px là khơng gian con S -đóng của (X, τ );
(iv) Với mỗi điểm x ∈ X , tồn tại tập Px ∈ P O(X, τ ) sao cho x ∈ Px và

int(cl(Px )) là tập S -đóng tương đối với (X, τ );
(v) Với mỗi điểm x ∈ X , tồn tại tập Px ∈ P O(X, τ ) sao cho x ∈ Px và

int(cl(Px )) là khơng gian con S -đóng của (X, τ ).
1.2.9 Bổ đề. ([8]) Giả sử A và B là các tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ).
Khi đó, nếu A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) và B là tập mở chính quy

thì A ∩ B là tập S -đóng tương đối với (X, τ ).
Chứng minh. Giả sử A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) và {Uα : α ∈ ∧}
là một phủ của A ∩ B bởi các tập đóng chính quy trong (X, τ ). Vì B là tập
mở chính quy trong (X, τ ) nên X\B là tập đóng chính quy trong (X, τ ) và

{Uα : α ∈ ∧} ∪ (X\B) là một phủ của A bởi các tập đóng chính quy. Lại vì,
A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ), theo Bổ đề 1.2.3(ii), tồn tại tập con
hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂

∪ {Uα : α ∈ ∧0 } ∪ (X\B). Điều này kéo

theo A ∩ B ⊂ ∪{Uα : α ∈ ∧0 }. Vì vậy, nhờ Bổ đề 1.2.3(ii), A ∩ B là tập

S -đóng tương đối với (X, τ ).
1.2.10 Bổ đề. ([8]) Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, các khẳng định
sau đây là tương đương
(i) (X, τ ) là không gian S -đóng địa phương;
(ii) Với mỗi điểm x ∈ X , tồn tại tập mở Ux sao cho x ∈ Ux và Ux là tập

S -đóng tương đối với (X, τ );
(iii) Với mỗi điểm x ∈ X , tồn tại tập mở Ux sao cho x ∈ Ux và int(cl(Ux ))
là tập S -đóng tương đối với (X, τ ).
1.2.11 Định lý. ([5]) Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ). Khi
đó, A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) nếu và chỉ nếu với mọi phủ {Uα :


15

α ∈ ∧} của A bởi các tập β -mở, tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho
A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.

Chứng minh. Giả sử A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) và {Uα : α ∈ ∧} là
một phủ của A bởi các tập β -mở. Khi đó, với mỗi α ∈ ∧, vì Uα là tập β -mở,
theo Nhận xét 1.1.26(ii) suy ra cl(Uα ) là tập nửa mở. Do đó {cl(Uα ) : α ∈ ∧}
là một phủ của A bởi các tập nửa mở. Lại vì, A là tập S -đóng tương đối với

(X, τ ) nên tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
Ngược lại, giả sử {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các tập nửa mở.
Vì mỗi tập nửa mở là β -mở nên {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các
tập β -mở. Nhờ giả thiết của điều kiện đủ, tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của

∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Vì vậy, A là tập S -đóng tương đối với
(X, τ ).
1.2.12 Bổ đề. Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ β -đóng. Khi đó, nếu

V ⊂ Y và U là tập mở trong X chứa f −1 (V ) thì tồn tại tập β -mở W trong
Y sao cho W chứa V và f −1 (W ) ⊂ U .
1.2.13 Định lý. ([5]) Giả sử (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị,

f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ β -đóng, α-mở, tồn ánh và f −1 (y) là tập S đóng tương đối với (X, τ ), với mọi y ∈ Y . Khi đó, nếu G là tập S -đóng tương
đối với (Y, σ) thì f −1 (G) là tập S -đóng tương đối với (X, τ ).
Chứng minh. Giả sử G là tập S -đóng tương đối với (Y, σ) và {Uα : α ∈ ∧}
là một phủ của f −1 (G) bởi các tập đóng chính quy trong (X, τ ). Khi đó, với
mỗi y ∈ G, vì f −1 (y) là tập S -đóng tương đối với (X, τ ), nên theo Bổ đề
1.2.3(ii), tồn tại tập con hữu hạn ∧y của ∧ sao cho f −1 (y) ⊂ ∪{Uα : α ∈ ∧y }.
Đặt Uy = ∪{Uα : α ∈ ∧y }. Vì (X, τ ) là khơng gian khơng liên thơng cực trị
và Uα là tập đóng chính quy nên Uα là tập mở, với mọi α. Suy ra Uy là tập
mở trong (X, τ ) và Uy chứa f −1 (y). Lại vì, f là ánh xạ β -đóng, theo Bổ đề
1.2.12 tồn tại tập β -mở Vy trong Y sao cho y ∈ Vy và f −1 (Vy ) ⊂ Uy . Vì vậy,

16

{Vy : y ∈ G} là một phủ của G bởi các tập β -mở. Do G là tập S -đóng tương
đối với (Y, σ), nhờ Định lí 1.2.11, tồn tại hữu hạn các điểm y1 , y2 , . . . , yn
của G sao cho G ⊂ ∪{cl(Vyj ) : j = 1, 2, . . . , n}. Mặt khác, vì f là ánh xạ

α-mở nên ta có f −1 (G) ⊂

n

j=1
n

f −1 (cl(Vyj )) ⊂

n

j=1

n

cl(f −1 (Vyj )) ⊂

cl(Uyj ) ⊂
j=1

Uα . Vì vậy, theo Bổ đề 1.2.3(ii), f −1 (G) là tập S -đóng tương đối với

j=1 α∈∧yj

(X, τ ).
1.2.14 Định nghĩa. ([5]) Một ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) từ không gian
tôpô (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) được gọi là nửa đóng yếu (weakly
semiclosed) nếu ảnh của mỗi tập đóng chính quy trong (X, τ ) là tập nửa
đóng trong (Y, σ).
1.2.15 Định lý. ([5]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ nửa đóng yếu.
Khi đó, nếu V ⊂ Y và U là tập mở chính quy trong X chứa f −1 (V ) thì tồn
tại tập nửa mở W trong Y sao cho W chứa V và f −1 (W ) ⊂ U .
1.2.16 Định lý. ([5]) Giả sử (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị,

f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ nửa đóng yếu, hầu mở, tồn ánh và f −1 (y) là
tập S -đóng tương đối với (X, τ ), với mọi y ∈ Y . Khi đó, nếu G là tập S -đóng
tương đối với (Y, σ) thì f −1 (G) là tập S -đóng tương đối với (X, τ ).
Chứng minh. Giả sử G là tập S -đóng tương đối với (Y, σ) và {Uα : α ∈ ∧} là
một phủ của f −1 (G) bởi các tập đóng chính quy của (X, τ ). Khi đó, với mỗi

y ∈ G, vì f −1 (y) là tập S -đóng tương đối với (X, τ ), nên theo Bổ đề 1.2.3(ii),
tồn tại tập con hữu hạn ∧y của ∧ sao cho f −1 (y) ⊂ ∪{Uα : α ∈ ∧y }.
Đặt Uy = ∪{Uα : α ∈ ∧y }. Vì (X, τ ) là khơng gian khơng liên thơng cực
trị và Uα là tập đóng chính quy nên Uα là tập mở chính quy, với mọi α. Suy
ra Uy là tập mở chính quy trong (X, τ ) và Uy chứa f −1 (y). Lại vì, f là ánh
xạ nửa đóng yếu, theo Bổ đề 1.2.15 tồn tại tập nửa mở Vy của Y sao cho

y ∈ Vy và f −1 (Vy ) ⊂ Uy . Vì vậy, {Vy : y ∈ G} là phủ của G bởi các tập nửa


17

mở. Do G là tập S -đóng tương đối với (Y, σ), nhờ Định lí 1.2.11, tồn tại hữu
hạn các điểm y1 , y2 , . . . , yn của G sao cho G ⊂ ∪{cl(Vyj ) : j = 1, 2, . . . , n}.

Mặt khác, vì f là ánh xạ hầu mở nên ta có

f

−1

n

(G) ⊂

f

−1

n

(cl(Vyj )) =

j=1
n

cl(f −1 (Vyj )) ⊂

j=1
−1

f

f

−1

n

(cl(int(Vyj ))) ⊂

j=1
n

cl(f −1 (int(Vyj ))) ⊂

j=1
n

cl(Uyj )) =
j=1

Uα . Vì vậy, theo Bổ đề 1.2.3(ii),
j=1 α∈∧yj

(G) là tập S -đóng tương đối với (X, τ ).

1.2.17 Hệ quả. ([5]) Giả sử (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị,

f : (X, τ ) → (Y, σ) là hàm nửa đóng, hầu mở, toàn ánh và với mỗi y ∈ Y ,
f −1 (y) là tập S -đóng tương đối với (X, τ ). Khi đó, nếu G là tập S -đóng tương
đối với (Y, σ) thì f −1 (G) là tập S -đóng tương đối với (X, τ ).
Chứng minh. Suy từ Định lý 1.2.16 và mỗi hàm nửa đóng là hàm nửa đóng
yếu.
1.2.18 Định lý. ([5]) Giả sử (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị,

f : (X, τ ) → (Y, σ) là hàm nửa đóng yếu, hầu mở, toàn ánh và với mỗi
y ∈ Y , f −1 (y) là tập compact. Khi đó, nếu (Y, σ) là khơng gian S -đóng thì
(X, τ ) là khơng gian S -đóng.
1.2.19 Hệ quả. ([5]) Giả sử (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị,

f : (X, τ ) → (Y, σ) là hàm nửa đóng, hầu mở, tồn ánh và với mỗi y ∈ Y ,
f −1 (y) là tập compact. Khi đó, nếu (Y, σ) là khơng gian S -đóng thì (X, τ ) là
khơng gian S -đóng.


18

CHƯƠNG 2

KHƠNG GIAN TỰA H-ĐĨNG

2.1

Khơng gian tựa H-đóng

2.1.1 Định nghĩa. ([7]) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là tựa H -đóng
(quasi H -closed) nếu với mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của X bởi các tập mở, tồn
tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
2.1.2 Nhận xét. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó
(i) Nếu (X, τ ) là khơng gian compact thì (X, τ ) là khơng gian tựa H -đóng.
(ii) Nếu (X, τ ) là khơng gian S -đóng thì (X, τ ) là khơng gian tựa H -đóng.
2.1.3 Định lý. ([3]) Giả sử (X, τ ) là không gian khơng liên thơng cực trị.
Khi đó, (X, τ ) là khơng gian S -đóng khi và chỉ khi (X, τ ) là khơng gian tựa

H -đóng.
2.1.4 Định lý. Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, các khẳng định sau
đây là tương đương
(i) (X, τ ) là khơng gian tựa H -đóng;
(ii) Với mọi phủ {Ui : i ∈ ∧} của (X, τ ) bởi các tập mở chính quy, tồn tại
tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 };
(iii) Với mọi phủ {Ui : i ∈ ∧} của (X, τ ) bởi các tập α-mở, tồn tại tập con
hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{clτ α (Ui ) : i ∈ ∧0 }.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử {Ui : i ∈ ∧} là một phủ của (X, τ ) bởi các
tập mở chính quy. Khi đó, vì mỗi tập mở chính quy là mở nên {Ui : i ∈ ∧}


19

là một phủ của (X, τ ) bởi các tập mở. Nhờ (i), tồn tại tập con hữu hạn ∧0
của ∧ sao cho X = ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 }.

(ii) ⇒ (iii). Giả sử {Ui : i ∈ ∧} là một phủ của (X, τ ) bởi các tập α-mở.
Khi đó, với mỗi i ∈ ∧, vì Ui là tập α-mở, theo Bổ đề 1.1.20 tồn tại tập mở

Gi sao cho Gi ⊂ Ui ⊂ int(cl(Gi )). Lại vì Gi là tập mở suy ra int(cl(Gi )) là
tập mở chính quy. Do đó {int(cl(Gi )) : i ∈ ∧} là một phủ của (X, τ ) bởi
các tập mở chính quy. Nhờ (ii), tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho

X = ∪{cl(int(cl(Gi ))) : i ∈ ∧0 }. Từ đó ta có X = ∪{cl(int(cl(Gi ))) : i ∈
∧0 } ⊂ ∪{cl(Gi ) : i ∈ ∧0 } ⊂ ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 }. Mặt khác, vì Ui là tập
α-mở nên Ui là tập nửa mở, theo Bổ đề 1.1.19 ta có cl(Ui ) = clτ α (Ui ). Vì vậy
X ⊂ ∪{clτ α (Ui ) : i ∈ ∧0 }. Điều này kéo theo X = ∪{clτ α (Ui ) : i ∈ ∧0 }.
(iii) ⇒ (i). Giả sử {Ui : i ∈ ∧} là một phủ của (X, τ ) bởi các tập
mở. Khi đó, vì mỗi tập mở là tập α-mở nên {Ui : i ∈ ∧} là một phủ của

(X, τ ) bởi các tập α-mở. Nhờ (iii), tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao
cho X = ∪{clτ α (Ui ) : i ∈ ∧0 }. Vì Ui là tập mở, theo Bổ đề 1.1.19 ta có

cl(Ui ) = clτ α (Ui ). Do đó X = ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 }. Vậy (X, τ ) là khơng gian
tựa H -đóng.
2.1.5 Hệ quả. ([11]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó, (X, τ ) là
khơng gian tựa H -đóng nếu và chỉ nếu (X, τ α ) là không gian tựa H -đóng.
Chứng minh. Suy từ Định lý 2.1.4.
2.1.6 Định lý. ([5]) Giả sử ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) là song ánh, α-mở.
Khi đó, nếu (Y, σ) là khơng gian S -đóng thì (X, τ ) là khơng gian tựa H -đóng.
Chứng minh. Giả sử (Y, σ) là khơng gian S -đóng và {Uα : α ∈ ∧} là một phủ
của X bởi các tập mở. Do f là song ánh và α-mở nên {f (Uα ) : α ∈ ∧} là phủ
của Y bởi các tập α-mở. Vì mỗi tập α-mở là nửa mở do đó {f (Uα ) : α ∈ ∧}
là phủ của Y bởi các tập nửa mở. Lại vì, (Y, σ) là khơng gian S -đóng nên
tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho Y = ∪{cl(f (Uα )) : α ∈ ∧0 }.


20

Do đó X = ∪{f −1 (cl(f (Uα ))) : α ∈ ∧0 } ⊂ ∪{cl(f −1 (f (Uα ))) : α ∈ ∧0 } =

∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Điều này kéo theo X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Vậy, (X, τ )
là không gian tựa H -đóng.
2.1.7 Hệ quả. ([5]) Giả sử ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) là song ánh mở. Khi
đó, nếu (Y, σ) là khơng gian S -đóng thì (X, τ ) là khơng gian tựa H -đóng.
2.1.8 Định lý. Giả sử ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) là toàn ánh và α-liên tục.
Khi đó, nếu (X, τ ) là khơng gian tựa H -đóng thì (Y, σ) là khơng gian tựa

H -đóng.

Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là khơng gian tựa H -đóng và {Ui : i ∈ ∧} là
một phủ của (Y, σ) bởi các tập mở. Khi đó, vì f là tồn ánh và α-liên tục
nên {f −1 (Ui ) : i ∈ ∧} là phủ của (X, τ ) bởi các tập α-mở. Lại vì, (X, τ ) là
khơng gian tựa H -đóng nên theo Định lý 2.1.4(iii), tồn tại tập con hữu hạn

∧0 của ∧ sao cho X = ∪{clτ α (f −1 (Ui )) : i ∈ ∧0 }. Mặt khác, theo giả thiết
f : (X, τ ) → (Y, σ) là toàn ánh và α-liên tục do đó f : (X, τ α ) → (Y, σ) là
tồn ánh và liên tục. Do đó, Y = ∪{f (clτ α (f −1 (Ui ))) : i ∈ ∧0 } ⊂ ∪{cl(Ui ) :

i ∈ ∧0 }. Điều này kéo theo Y = ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 }. Vì vậy, (Y, σ) là khơng
gian tựa H -đóng.
2.1.9 Hệ quả. Giả sử (X, τ ), (Y, σ) là các không gian tôpô và f : (X, τ ) →

(Y, σ) là ánh xạ liên tục hoặc α-khơng giải được, tồn ánh. Khi đó, nếu (X, τ )
là khơng gian tựa H -đóng thì (Y, σ) là khơng gian tựa H -đóng.
Chứng minh. Suy từ Định lý 2.1.8 và mỗi ánh xạ liên tục hoặc α-không giải
được là ánh xạ α-liên tục.
2.1.10 Định nghĩa. ([1]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Một họ F khác
rỗng các tập con của X được gọi là lọc (filter) trên X nếu thỏa mãn các điều
kiện
(i) Nếu A ∈ F thì A = ∅;


21

(ii) A ∈ F và B ∈ F thì A ∩ B ∈ F ;
(iii) A ∈ F và A ⊂ B thì B ∈ F .
2.1.11 Định nghĩa. ([1]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Một họ F khác
rỗng các tập con của X được gọi là cơ sở lọc (filter base) trên X nếu thỏa
mãn các điều kiện

(i) Nếu A ∈ F thì A = ∅;
(ii) A ∈ F và B ∈ F thì tồn tại C ∈ F sao cho C ⊂ A ∩ B .
2.1.12 Định nghĩa. ([1]) Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, họ tất
cả các cơ sở lọc trên X có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. Phần tử
cực đại đó được gọi là cơ sở lọc cực đại (maximal filter base) trên X .
2.1.13 Định nghĩa. ([10]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và F = {Ai } là
một cơ sở lọc trên X . Khi đó
(i) F = {Ai } được gọi là ω -hội tụ (ω -converges) về x ∈ X nếu với mọi tập
mở U chứa x, tồn tại Ai ∈ F sao cho Ai ⊂ cl(U ).
(ii) F = {Ai } được gọi là ω -tụ (ω -accumulates) tại x ∈ X nếu Ai ∩cl(U ) =

∅, với mọi tập mở U chứa x và mọi Ai ∈ F .
2.1.14 Định lý. ([10]) Giả sử F là một cơ sở lọc cực đại trên X . Khi đó, F
là ω -tụ tại x ∈ X nếu và chỉ nếu F là ω -hội tụ về x.
2.1.15 Định lý. ([10]) Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, các khẳng
định sau đây là tương đương
(i) (X, τ ) là không gian tựa H -đóng;
(ii) Với mọi họ {Vα : α ∈ ∧} các tập đóng chính quy khác rỗng sao cho

∩{Vα : α ∈ ∧} = ∅, tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho ∩{int(Vα ) :
α ∈ ∧0 } = ∅;
(iii) Với mọi họ {Vα : α ∈ ∧} các tập đóng chính quy khác rỗng, nếu
mỗi tập con hữu hạn ∧0 của ∧ có tính chất ∩{int(Vα ) : α ∈ ∧0 } = ∅ thì

∩{Vα : α ∈ ∧} = ∅;


22

(iv) Mỗi cơ sở lọc F là ω -tụ tại điểm nào đó của X ;

(v) Mỗi cơ sở lọc cực đại F là ω -hội tụ về điểm nào đó của X .
Chứng minh. (i) ⇒ (v). Giả sử F là một cơ sở lọc cực đại trên X và giả sử
ngược lại rằng F không ω -hội tụ về bất kỳ điểm nào của X . Khi đó, theo
Định lý 2.1.14 thì F khơng ω -tụ tại bất kỳ điểm nào của X . Suy ra, với mỗi

x ∈ X , tồn tại tập mở Ux chứa x và Ax ∈ F sao cho Ax ∩ cl(Ux ) = ∅. Họ
{Ux : x ∈ X} là một phủ của (X, τ ) bởi các tập mở. Nhờ (i), tồn tại hữu
n

cl(Uxi ). Vì F là một cơ

hạn điểm x1 , x2 , . . . , xn thuộc X sao cho X =

i=1
n

sở lọc trên X nên tồn tại Ak ∈ F sao cho Ak ⊂

Axi . Suy ra Ak ⊂ Axi ,
i=1

với mọi i = 1, 2, . . . , n. Do Axi ∩ cl(Uxi ) = ∅ nên Ak ∩ cl(Uxi ) = ∅, với mọi
n

i = 1, 2, . . . , n. Điều này kéo theo ∅ = Ak ∩

cl(Uxi ) = Ak ∩ X . Do đó
i=1

Ak = ∅. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ F là ω -hội tụ về điểm nào đó của X .

(v) ⇒ (iv). Hiển nhiên vì mỗi cơ sở lọc chứa trong một cơ sở lọc cực đại.
(iv) ⇒ (ii). Giả sử {Vα : α ∈ ∧} là họ các tập đóng chính quy khác rỗng
sao cho ∩{Vα : α ∈ ∧} = ∅. Ký hiệu Γ(∧) là họ tất cả các tập con hữu hạn
của ∧. Giả sử ngược lại rằng ∩{int(Vα ) : α ∈ γ} = ∅, với mọi γ ∈ Γ(∧). Khi
đó, họ F = {

int(Vα ) : γ ∈ Γ(∧)} là một cơ sở lọc trên X . Thật vậy, giả

α∈γ

sử A ∈ F, B ∈ F . Khi đó, tồn tại γ1 , γ2 ∈ Γ(∧) sao cho A =

int(Vα )
α∈γ1

int(Vα ). Vì γ1 ∪ γ2 ∈ Γ(∧) nên C =

và B =

int(Vα ) ∈ F và
α∈γ1 ∪γ2

α∈γ2

C = A∩B . Vậy F là một cơ sở lọc trên X . Nhờ (iv), F là ω -tụ tại điểm x nào
đó thuộc X . Vì

(X\Vα ) = X\(
α∈∧

Vα ) = X\∅ = X nên {X\Vα : α ∈ ∧}

α∈∧

là một phủ của X . Do x ∈ X nên tồn tại αx ∈ ∧ sao cho x ∈ X\Vαx . Lại do

Vαx là tập đóng chính quy nên X\Vαx là tập mở chính quy và vì vậy X\Vαx là
tập mở. Rõ ràng ta có int(Vαx ) ∩ cl(X\Vαx ) = int(Vαx ) ∩ (X\int(Vαx )) = ∅.
Điều này mâu thuẫn với F là ω -tụ tại x.

(ii) ⇔ (iii). Hiển nhiên.


23

(ii) ⇒ (i). Giả sử {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của (X, τ ) bởi các tập mở
chính quy. Khi đó, {X\Uα : α ∈ ∧} là một họ các tập đóng chính quy trong

(X, τ ) thỏa mãn

(X\Uα ) = X\(
α∈∧

Uα ) = ∅. Nhờ (ii), tồn tại tập con

α∈∧

hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho ∩{int(X\Uα ) : α ∈ ∧0 } = ∅. Điều này kéo theo

X\(∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }) = ∅. Do đó, X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Vì vậy, theo

Định lý 2.1.4(ii) thì (X, τ ) là khơng gian tựa H -đóng.
2.1.16 Bổ đề. ([6]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó ta có
(i) Bao đóng của khơng gian con tựa H -đóng là khơng gian con tựa H -đóng.
(ii) Nếu (X, τ ) là khơng gian tựa H -đóng thì bao đóng của một tập con mở
của (X, τ ) là khơng gian con tựa H -đóng.
(iii) Nếu A và B là các khơng gian con tựa H -đóng của (X, τ ) thì A ∪ B
cũng là khơng gian con tựa H -đóng của (X, τ ).
(iv) Nếu (X, τ ) là khơng gian tựa H -đóng, A là một tập con đóng của X
và biên của A là khơng gian con tựa H -đóng thì A cũng là khơng gian con
tựa H -đóng.

2.2

Các tập hợp tựa H-đóng tương đối

2.2.1 Định nghĩa. ([11]) Tập con A của không gian tơpơ (X, τ ) được gọi là
tựa H -đóng tương đối với (X, τ ) (quasi H -closed relative to (X, τ )) nếu với
mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của A bởi các tập mở của (X, τ ), tồn tại tập con hữu
hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
2.2.2 Nhận xét. Giả sử A là tập con của không gian tơpơ (X, τ ). Khi đó
(i) Nếu A là khơng gian con tựa H -đóng của (X, τ ) thì A là tập tựa H -đóng
tương đối với (X, τ ).
(ii) Nếu A là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) thì A là tập tựa H -đóng
tương đối với (X, τ ).


24

2.2.3 Mệnh đề. ([11]) Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ). Khi
đó, nếu A là tập tựa H -đóng tương đối với (X, τ ) thì cl(A), scl(A), clτ α (A)

cũng là tập tựa H -đóng tương đối với (X, τ ).
2.2.4 Định lý. ([10]) Giả sử A là tập con của không gian tơpơ (X, τ ). Khi
đó, A là tập tựa H -đóng tương đối với (X, τ ) nếu và chỉ nếu với mọi phủ

{Uα : α ∈ ∧} của A bởi các tập mở chính quy trong (X, τ ), tồn tại tập con
hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
Chứng minh. Giả sử A là tập tựa H -đóng tương đối với (X, τ ) và {Uα : α ∈

∧} là một phủ của A bởi các tập mở chính quy trong (X, τ ). Khi đó, vì mỗi
tập mở chính quy là mở nên {Uα : α ∈ ∧} là phủ của A bởi các tập mở. Do

A là tập tựa H -đóng tương đối với (X, τ ) nên tồn tại tập con hữu hạn ∧0
của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
Ngược lại, giả sử {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các tập mở. Khi đó, vì

Uα là tập mở nên Uα = int(Uα ) ⊂ int(cl(Uα )), do đó {int(cl(Uα )) : α ∈ ∧}
là một phủ của A. Lại vì Uα là tập mở, theo Nhận xét 1.1.7(ii), int(cl(Uα ))
là tập mở chính quy, suy ra {int(cl(Uα )) : α ∈ ∧} là một phủ của A bởi các
tập mở chính quy. Nhờ giả thiết của điều kiện đủ, tồn tại tập con hữu hạn

∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(int(cl(Uα ))) : α ∈ ∧0 } ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
Điều này kéo theo A ⊂ {cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Vậy, A là tập tựa H -đóng tương
đối với (X, τ ).
2.2.5 Định lý. ([11]) Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi
đó, các khẳng định sau đây là tương đương
(i) A là tập tựa H -đóng tương đối với (X, τ );
(ii) Với mọi phủ {Ui : i ∈ ∧} của A bởi các tập α-mở trong (X, τ ), tồn tại
tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 };
(iii) Với mọi phủ {Ui : i ∈ ∧} của A bởi các tập α-mở trong (X, τ ), tồn
tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{clτ α (Ui ) : i ∈ ∧0 };

25

(iv) Với mọi phủ {Ui : i ∈ ∧} của A bởi các tập mở trong (X, τ ), tồn tại
tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{clτ α (Ui ) : i ∈ ∧0 }.
Chứng minh. (i) ⇔ (iv). Suy từ bổ đề 1.1.19.

(ii) ⇒ (iii), (iii) ⇒ (i). Suy từ Bổ đề 1.1.19.
(i) ⇒ (ii). Giả sử A là tập tựa H -đóng tương đối với (X, τ ) và {Ui : i ∈ ∧}
là một phủ của A bởi các tập α-mở. Khi đó, với mỗi i ∈ ∧, vì Ui là tập α-mở
nên theo Bổ đề 1.1.20, tồn tại tập mở Gi sao cho Gi ⊂ Ui ⊂ int(cl(Gi )). Do
đó, {int(cl(Gi )) : i ∈ ∧} là một phủ của A bởi các tập mở. Nhờ (i), tồn tại
tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{cl(int(cl(Gi ))) : i ∈ ∧0 }. Lại vì

cl(int(cl(Gi ))) ⊂ cl(Gi ), với mọi i ∈ ∧. Vì vậy, A ⊂ ∪{cl(Gi ) : i ∈ ∧0 } ⊂
∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 }. Điều này kéo theo A ⊂ ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 }.
2.2.6 Định nghĩa. ([10]) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là RS -compact
nếu với mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của (X, τ ) bởi các tập nửa mở chính quy, tồn
tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{int(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
2.2.7 Định nghĩa. ([10]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là RS -compact tương đối với (X, τ ) (RS -compact relative to (X, τ )) nếu với
mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của (X, τ ) bởi các tập nửa mở chính quy của (X, τ ),
tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{int(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
2.2.8 Định nghĩa. ([10]) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là gần compact
(nearly compact) nếu với mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của (X, τ ) bởi các tập mở,
tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{int(cl(Uα )) : α ∈ ∧0 }.
2.2.9 Định nghĩa. ([10]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là
gần compact tương đối với (X, τ ) (nearly compact relative to (X, τ )) nếu với
mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của (X, τ ) bởi các tập mở của (X, τ ), tồn tại tập con

hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho A ⊂ ∪{int(cl(Uα )) : α ∈ ∧0 }.