Bài giảng Kỹ thuật điều khiển tự động: Bài 2 - Trường ĐH Công nghiệp TP.HCM

Kỹ thuật điều khiển tự động

BÀI 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE

VÀ HÀM TRUYỀN




Giới Thiệu
• Các phần tử của hệ thống điều khiển được mơ tả bởi một
phương trình – thiết lập mối quan hệ về thời gian giữa tín
hiệu vào và tín hiệu ra của phần tử. Những phương trình
này là những hàm theo thời gian và thường gồm có những
thành phần vi / tích phân.
• Phép biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi phương
trình vi phân thành phương trình đại số - là những hàm
theo tần số. Khi phương trình đại số này được sắp xếp ở
dạng tỷ lệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào, thì kết quả được
gọi là hàm truyền đạt của phần tử.
Phép biến đổi Laplace rất thuận tiện trong việc mô tả
hệ thống cũng như trong q trình phân tích và thiết
kế hệ thống điều khiển.


Thiết Lập Quan Hệ Input-Output
Xác định phương trình vi phân mơ tả hệ cơ khí gồm lị xo-khối lượng-giảm chấn có
sơ đồ như hình (a).

Bộ giảm chấn (b) gồm 1 xy lanh dầu và một piston, một trong hai thành phần này được
lắp cố định, còn phần kia di động. Khi có chuyển động tương đối giữa piston và xy lanh,

dầu sẽ chảy từ buồng này sang buồng kia qua khe hở. Lực đẩy dầu qua khe hở có tác
dụng cản trở chuyển động, gọi là lực ma sát nhớt.
Lực giảm chấn Fd ngược chiều và tỷ lệ với vận tốc v:
Fd = b.v
b: hệ số ma sát nhớt [N.s/m]
Bộ giảm chấn cũng được biểu diễn đơn giản như hình (c) và (d)


Thiết Lập Quan Hệ Input-Output
Giả sử tại t=0, hệ đang ở trạng thái
cân bằng.

Theo định luật II Newton, ta có
phương trình cân bằng lực:

d2 y
m 2
dt

Fi

F (t ) b

dy
dt

k.y (t )

Trong đó, tín hiệu vào: lực F(t) tác dụng từ bên ngồi [N]
tín hiệu ra: lượng di động y(t) của khối lượng m [m]

m: khối lượng [kg]
b: hệ số ma sát nhớt [N.s/m]

d2 y
m 2
dt

: lực quán tính

dy
b
dt

Fd : lực giảm chấn

Phương trình vi phân bậc 2 mơ tả quan hệ vào-ra:

d2 y
m 2
dt

k: độ cứng lò xo [N/m]

k.y(t) : lực lò xo
dy
b
dt

k.y (t )

F(t)


Thiết Lập Quan Hệ Input-Output
• Mạch điện RC

Đối với tụ điện

Với

là hằng số thời gian của mạch điện


Biến Đổi Laplace

Định nghĩa:

Với

Thí dụ: làm phép biến đổi Laplace đối với hàm f(t) = K


Biến Đổi Laplace Các Hàm Cơ Bản
Giả thiết là chỉ xét các hàm f(t) trong miền t ≥ 0 và điều kiện ban đầu f(t) = 0 khi t < 0
Hàm bậc thang đơn vị

Ảnh Laplace:

F(s)

l (t )

1 t
0 t

0
0
1
e
s

e st dt

L l (t )
0

Hàm xung đơn vị

(t )

dl (t )
dt

0

1
0 1
s

st

t
t

0

1
s

0
0

0

Hàm có tính chất

(t )dt

(t )dt

1

0

0

Ảnh Laplace:

F(s)

L (t )

(t ) e
0

st

0

(t ) e 0 dt

dt
0

(t)dt
0

1


Biến Đổi Laplace Các Hàm Cơ Bản
Hàm mũ

F(s)

t

Le

e

t

e

st

dt

e

0

Lấy tích phân từng phần

Ảnh Laplace

F(s)

t t
0 t

t.l (t )
udv

e (s
s

dt

te

st

dt

0

)t

s

e

te

st

s

s

e
0
0

st

st

s

dt

0

1
s2

Hàm lượng giác
Sử dụng công thức Euler: cos(ωt) ± jsin(ωt) = e(±jωt)

cos t

s
s

2

2

1

0
0

vdu với u = t và v

uv

Lt

)t

0

Hàm dốc đơn vị

r (t )

(s

sin t

s

2

2

1
s2


Bảng Biến Đổi Laplace
Time domain

Frequency domain

Định Lý Của Phép Biến Đổi


Biến Đổi Laplace

1

2

3


Biến Đổi Laplace
Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm sau:

Giải
Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm sau với tất cả điều kiện ban đầu bằng 0:

Giải

Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm trên khi có điều kiện ban đầu là:


Biến Đổi Laplace
Giải

Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm sau với tất cả điều kiện ban đầu bằng 0:

Giải

Biến Đổi Laplace
Thí dụ: Chứng minh biến đổi Laplace của các hàm sau

Giải

Thí dụ: Chứng minh biến đổi Laplace của các hàm sau

Giải


Biến Đổi Laplace
Đổi biến số:

Thí dụ: Chứng minh biến đổi Laplace của các hàm sau

Giải

TS. Ngô Hà Quang Thịnh,


Biến Đổi Laplace
Thí dụ: Nếu f(t) là 1 hàm gốc, tuần hoàn với chu kỳ T, nghĩa là f(t) = f(t + T) với t >0
thì biến đổi Laplace của nó là

Trong đó
Giải
Theo định nghĩa, ta có

Đổi biến t = u + T

Biến Đổi Laplace
Do tính chất tuần hồn f(u + T) = f(u) nên

Ta được


Biến Đổi Laplace
Thí dụ: Một phần tử có thời gian trễ được mô tả như sau: fi(t) = 4t và fo (t) = 4(t 6), hãy biến đổi Laplace cho tín hiệu ra của phần tử.

Giải

• Biến đổi Laplace ngược
Chuyển đổi hàm theo tần số thành hàm theo thời gian. Trong phân tích hệ
thống điều khiển, hàm trong miền tần số thường có dạng là phân số của hai đa
thức.


Biến Đổi Laplace
Đặt vấn đề: Tìm hàm thời gian y(t) khi biết ảnh Laplace Y(s)
Thơng thường, ảnh Laplace Y(s) có dạng hàm hữu tỉ:

1) Mẫu số Y(s) chỉ có các nghiệm đơn


Biến Đổi Laplace
Tìm biến đổi Laplace ngược:

Biến Đổi Laplace
2) Mẫu số Y(s) có nghiệm bội


Biến Đổi Laplace
Hãy xác định hàm y(t) của ảnh Laplace


Biến Đổi Laplace
3) Mẫu số Y(s) có nghiệm phức


Biến Đổi Laplace
Xác định hàm y(t) khi biết ảnh Laplace


Biến Đổi Laplace