PHUONGPHAPLIENHOPHAINGHIEMVOTY

<span class='text_page_counter'>(1)</span>04. PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP HAI NGHIỆM VÔ TỶ I, Lý thuyết cơ bản. -. -. Trong các chủ đề trên, đã đề cập đến vấn đề nâng lũy thừa rồi sử dụng Viet đảo trong các bài toán phương trình vô tỷ chứa căn đơn giản như một căn bậc hai, hai căn bậc hai ở hai vế, … Và vấn đề được đặt ra là trong các bài toán phức tạp hơn, nhiều căn thức thậm chí chứa cả phân thức việc nâng lũy thừa sẽ tạo hệ số lớn dẫn đến khó có thể xử lý. Chính vì thế ta cần tư duy qua hướng liên hợp. Tuy nhiên, để có thể liên hợp được thuận tiện thì ta cần sự hỗ trợ của công cụ đắc lực CASIO để đoán nghiệm vô tỷ cũng như tìm nhân tử chung chứa nghiệm lẻ của bài toán. Các dạng biểu thức liên hợp: f  x  g  x  . f  x  g  x  f  x  g  x . f  x  g  x . . 3. . f 2  x  g  x f  x  g  x. f  x  3 g  x . f  x  3 g  x . .. f  x  g  x.  x  3 f  x 3 g  x  3 g 2  x f 3  x  g  x . f 2  x  f  x 3 g  x  3 g 2  x 3. f. 2. -. .. Dựa vào các căn thức của phương trình, ta lựa chọn các biểu thức liên hợp cho phù hợp. Ví dụ. Phương trình chứa căn bậc hai nên ta cần tìm nhân tử ax  b  c px  q . II, Ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Đặt vấn đề. “ Có những cách nào để tìm biểu thức liên hợp của biểu thức “ [Phân tích ở video dạy trên lớp] 2 1. Giải phương trình 2 x  x  3  2  x . 2. Giải phương trình x 2  4 x  3   x  1 8 x  5  6 x  2 .. 4 x  2  3 x 3  14  3 . x2  2 x  8 4. Giải phương trình 2   x  1 x  2  2 x  2x  3 5. Giải phương trình x 2  x  2  3  x  x . 3. Giải phương trình. . 6. Giải phương trình x 2  4 x  6 . . 5x  2  11x  7 . x. 7. Giải phương trình x 2  x  2 x  2  3x  1  2  3 x  1 . 8. Giải phương trình. 5x2  7 x  3  7 x  2  4 x2  6 x  1  0 ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ví dụ 2. Giải phương trình x3  4 x  1  x 2  x  x3  x  x  1.  x   .. PHÂN TÍCH CASIO. Tương tự như các ví dụ trên, thì sẽ đi thực hiện các bước:.  . . . Ta chưa xác định được phương trình bài cho có nghiệm hữu tỷ hay vô tỷ, chính vì thế ta sẽ sử dụng công cụ TABLE ( Mode 7 ) để tìm khoảng nghiệm của phương trình. x  1 Nhập hàm số f  X   X 3  4 X  1  X 2  X  X 3  X  X  1 . Vì điều kiện bài toán là  nên x  0 ta sẽ gán giá trị khởi đầu và kết thúc tương ứng với điều kiện chặn và với hai miền nghiệm khác nhau tức là sẽ ứng với hai bảng giá trị. TH1. Với điều kiện x  1 . Bảng giá trị của hàm số F(X) o Start ? Nhập START  1 . x 1 x0 o End ? Nhập END  5 . X F(X) X F(X) o Step ? Nhập STEP  0.5 . ERROR 4 1 5.414 ERROR TH2. Với điều kiện x  0 . 3.5 1.5 5.709 o Start ? Nhập START  4 . ERROR 3 2 3.767 o End ? Nhập END  0 . ERROR 2.5 2.5 1.0678 o Step ? Nhập STEP  0.5 . ERROR 2 3 9.5505 ERROR Dựa vào bảng bên, ta thấy hai khoảng nghiệm 1.5 3.5 22.436 1 3.4142  5  1  4 40.482 phương trình là x   2;  và x    ; 0  .  0.5 0.4215  2  2  4.5 64.441 2 0 Và bây giờ ta sẽ sử dụng đến công cụ SHIFT 5 95.068 CALC để dò nghiệm trong hai khoảng nghiệm trên. o Nhập phương trình bài cho vào máy.  5 o Với khoảng nghiệm x   2;  gán x  2.25 suy ra được nghiệm x  2.414213562 .  2  1  o Với khoảng nghiệm x    ; 0  gán x  0.25 suy ra được nghiệm x  0.414213562 .  2  Xét hai nghiệm tìm được, thế vào hai căn thức của bài toán, ta có:  x1  x2  2 o Theo Viet đảo, sẽ thấy được  nên nhân tử chung cần tìm là x 2  2 x  1 .  x1 x2  1. x3  x  x  x 2  1  x  x  1 x  1  x 2  x . x  1 .. o Bài toán xuất hiện ba căn thức, lại có. Vì thế ta sẽ tìm mối liên hệ giữa hai căn thức x 2  x và x  1 .  x 2  x  1.847759065  x2  x  x  1 o Với x  2.414213562 suy ra   x  1  1.847759065 o Tương tự với x  0.414213562 ta cũng có được cách khác biểu thức liên hợp cần tìm là. . x 2  x  x  1 , do đó nhân tử chung hay nói. . x2  x  x  1 .. TƯ DUY LỜI GIẢI. Với nhân tử tìm được, đồng thời quan sát bài toán, ta đã có được ngay nhân tử chung giữa hai căn là. . . x 2  x  x  1 , việc còn lại chỉ là đi ghép biểu thức liên hợp với căn thức. giải phương trình g  x   x3  4 x  1  x3  x  0 .. x3  x , hay để đơn giản hóa ta sẽ đi.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> . Nếu đề bài yêu cầu giải phương trình g  x   0 thôi thì ta thấy phương trình có dạng h  x   k  x  nên hoàn toàn có thể chọn giải pháp nâng lũy thừa, sau đó sẽ chia đa thức tạo nhân tử. Bình phương hai vế 2. của phương trình g  x   0 với điều kiện x 3  4 x  1  0 ta được  x3  4 x  1  x3  x . o Với kỹ năng ở CHUYÊN ĐỀ 1, hoàn toàn ta có được:. x. 3. 2.  4 x  1  x 3  x  x 6  8 x 4  3 x3  16 x 2  9 x  1  0. o Nhân tử tìm được là x 2  2 x  1 nên tiếp tục thực hiện phép chia đa thức để giảm bậc: x 6  8 x 4  3x 3  16 x 2  9 x  1 P  x 4  2 x3  3x 2  7 x  1 2 x  2x  1 4 3 2 o Và chứng minh x  2 x  3 x  7 x  1  0 vô nghiệm với điều kiện xác định của nó. . x3  x .. Còn trong trường hợp này, ta sẽ đi tìm biểu thức liên hợp với căn thức o Với hai nghiệm tìm được, ta có x  2.414213562 suy ra. x3  x  3.414213561  x  1 . Vì thế. . . biểu thức liên hợp chính là x  1  x3  x .. . . o Do đó, phương trình g  x   0 tương đương với:  x3  5 x  2   x  1  x3  x  0. . .   x  2   x  2 x  1  x  1  x  x  0   x  2   x  2 x  1  2. 3. 2.  x  1. 2.   x3  x . x  1  x3  x. 0.  x  1  x 2  2 x  1.   x 1  0   x 2  2 x  1  x  2  0 x  1  x3  x x  1  x3  x   o Và một lần nữa, sức mạng của TABLE lên tiếng, ta có thể dùng bảng giá trị này để khảo sát x 1 nghiệm của phương trình x  2   0 còn lại. x  1  x3  x X 1 Nhập hàm số f  X   X  2  , ta sẽ xét trong khoảng điều kiện x  1 . X 1 X 3  X  Start ? Nhập START  1 . X F(X)  End ? Nhập END  4.5 . 1 2  Step ? Nhập STEP  0.5 . 1.5 2.8538 Nhận thấy hàm số có dấu hiệu tăng và không có dấu 2 3.4494 hiệu cắt trục hoành vì thế ta có thể khẳng định rằng 2.5 4.0086 phương trình f  X   0 vô nghiệm. 3 4.5505 Hướng chứng minh vô nghiệm ta có thể khảo sát hàm 3.5 5.0823 số để chỉ ra đó là một HÀM TĂNG, hoặc có thể biến 4 5.6077 đổi tương đương hay nhóm hằng số đê đưa về tổng các 4.5 6.1285 đại lượng luôn dương. Ta có:   x 1 x 1 x3  x  x2  x  1  1   x 1 0  x  1  x3  x x  1  x3  x  x  1  x3  x    x  2   x  2 x  1  2. . x2. x 1 x  1  x3  x. .  x  2  x  1 . . x3  x  x  1. x  1  x3  x. . x 2  2 x  3   x  2  x3  x x  1  x3  x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  x   ; 0  1;   o Suy ra g  x   0  x 2  2 x  1  0   2  x  1 2 .  x  2 x  1  0. . Từ đó, ta có lời giải như sau: x 3  4 x  1 .  . . x3  x . . x2  x  x  1  0.  .  x3  5 x  2  x  1  x3  x    x  2   x  2 x  1  2. . x2  x  x  1  0.  x  1  x 2  2 x  1 x  1  x3  x. . x2  2x  1 x2  x  x  1. 0.   x 1 1   x 2  2 x  1  x  2   0 x  1  x3  x x2  x  x  1     x3  x 1   x 2  2 x  1  x  1   0 3 2   x  1  x  x x  x  x  1     x 2  2 x  1 . f  x   0  x  1  2. .  f  x   0 . . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  1  2 . 3. 2. Ví dụ 3. Giải phương trình 6 x  2 x  3x   x  3 3 x  2  2 x  1.  x  . PHÂN TÍCH CASIO. Bài toán chứa hai căn thức và tư tưởng của chúng ta là vẫn đi liên hợp cho căn, tuy nhiên cần xác định được nghiệm thì mới xác định được biểu thức liên hợp đó. Dùng chức năng SHIFT CALC ta sẽ có được nghiệm.  3x  2  2.618033989  x  1 nên các biểu thức liên hợp đó chính là x  1  3 x  2 x  1.618033989 suy ra   x  1  1.618033989  x. . . . và x  x  1 , tuy nhiên lại thấy x  3 trước căn thức. . 3x  2 do đó ta cần thêm bớt đại lượng  x  1 x  3 . Do. đó, phương trình đã cho tương đương với:. 6 x3  2 x 2 3x   x  3 3x  2  2 x  1  0. .   x  1  0. .  6 x3  2 x 2 3x   x  3 x  1  2 x   x  3 x  1  3x  2  2 x  x  1  0. .  .  3  2 x  1  x 2  x  1   x  3 x  1  3x  2  2 x .  3  2 x  1  x  x  1  2.  x  3  x. 2.  x  1. x  1  3x  2. . 2  x 2  x  1 x  x 1. x3 2     x 2  x  1 3  2 x  1   0 x  1  3x  2 x  x  1  . 0.  . 2  x3 2 2 1 5 x     0; x   suy ra     Vì 3  2 x  1  . x 3 3 2 x  1  3x  2 x  x  1  x2  x  1  0  1 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  . 2. Ví dụ 4. Giải phương trình 11x  3 9 x 2  15 x  7  x 2   x  2  8 x  3.  x  . PHÂN TÍCH CASIO. Không khác các ví dụ ở trên là bao nhiêu, vẫn là những kỹ năng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình bằng SHIFT CALC đồng thời xét bảng TABLE tìm khoảng nghiệm, ta sẽ có x  0.2679491924 là một nghiệm của.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  8 x  3  2.267949192  x  2. phương trình. Với nghiệm này ta thấy  3. 2  9 x  15 x  7  2.267949192  x  2. x  2 . 3. . nên các biểu thức liên hợp lần lượt là. . 9 x 2  15 x  7 , x  2  8 x  3 .. Khi đó, phương trình đã cho tương đương với: x 2  11x   x  2  8 x  3  3 9 x 2  15 x  7  0. . .  x 2  12 x  2   x  2  8 x  3  x  2  3 9 x 2  15 x  7  0  2  x 2  4 x  1   x  2   2  x  4 x  1  2. .  . . 8 x  3  x  2  x  2  3 9 x 2  15 x  7  0.  x  2   x 2  4 x  1 8x  3  x  2.  x  1  x 2  4 x  1. .  x  2. 2. 2.   x  2  9 x  15 x  7  3.   x2 x 1   x 2  4 x  1  2   8 x  3  x  2  x  2  2   x  2  3 9 x 2  15 x  7   . . . . . 3. 2. 9 x  15 x  7. . 2. 0.   0 2  2 3 9 x  15 x  7  . .  . 2 8x  3  x  2  x  2 x  2  2 8x  3 x2 3    0; x   nên phương trình 8 8x  3  x  2 8x  3  x  2 8x  3  x  2 10 x  3  0  x  2  3 là hai nghiệm của phương trình đã cho.     2 x  4 x  1  0 . Chú ý đến 2 .

<span class='text_page_counter'>(6)</span>