Tài liệu Toán xác suất_ Chương 4 pptx

Gv. Cao Hào Thi

CHƯƠNG 4
LẤY MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU
(Sampling and Sampling Distribution)

4.1. LẤY MẪU TỪ TẬP HP CHÍNH (Sampling from a Population)
4.1.1. Tập hợp chính (Population)
Tập hợp chính là tập hợp tất cả các đối tương mà ta quan tâm nghiên cứu trong một vấn
đề nào đó. Số phần tử của tập hợp chính được ký hiệu là N.
• Nếu N là số hữu hạn ta có tập hợp chính hữu hạn (finite population)
• Nếu N là số vô hạn ta có tập hợp chính vô hạn (infinite population)
4.1.2. Mẫu (Sample)
Mẫu là tập hợp con của tập hợp chính. Số phần tử của mẫu đã ký hiệu là n và được gọi
là cỡ mẫu.
4.1.3. Lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản (Simple Random Sampling)
Đó là cách chọn n phần tử từ tập hợp chính gồm N phần tử sao mỗi tổ hợp trong
n
N
C
tổ
hợp đều có cùng khả năng được chọn như nhau. Kết quả của việc chọn này cho ta các
mẫu ngẫu nhiên (random sample).
Việc lấy mẫu ngẫu nhiên có thể tiến hành theo cách lấy mẫu không hoàn trả lại
(sampling without replacement) hay theo cách lấy mẫu có hoàn trả lại (sampling with
replacement).
4.1.4. Phân phối mẫu (Sampling Distribution)
Các mẫu đều có các đặc trưng thống kê của mẫu như số trung bình X, phng sai
2
x
S.

Phân phối xác suất của các đặc trưng thống kê của mẫu được gọi là
phân phối mẫu
.
Trong chương này ta khảo sát phân phối mẫu của
X
,
2
x
S
.
Suy diễn thống kê
(Statistic Inference)
Dựa vào các đặc trưng thống kê của mẫu ta có thể suy rộng ra cho các đặc trưng thống
kê của tập hợp chính.
4.2. PHÂN PHỐI MẪU CỦA SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU
X

(Sampling Distribution
of the Sample Mean)
Phân phối mẫu của số trung bình của mẫu

là phân phối xác suất của đại lượng X
4.2.1.

Kỳ vọng của số trung bình mẫu E (
X
)
Giả sử tập hợp chính có N phân tử, có trung bình là
µ
x

và phương sai là
2
x
σ
. Ta có:
Gv. Cao Hào Thi

2

N
X
N
i
i
x
∑
=µ
=1


N
)X(
N
i
i
x
∑
µ−
=σ
=1

2
2

Gọi X
1
, X
2
... X
n
là mẫu ngẫu nhiên có cỡ mẫu là n, được chọn từ tập hợp chính. Số
trung bình của mẫu là :

∑
=
i
X
n
X
1

•

Kỳ vọng của số trung bình mẫu của số trung bình mẫu E ( X
)
là giá trò trung bình
của tập hợp chính µ
x
. Nói cách khác, phân phối mẫu của X

có số trung bình là µ

x.

E(
X ) = µ
x


Thí dụ
:
Giả sử tập hợp chính gồm 5 học sinh có số tuổi là 2, 4, 6, 8 và 10. Trong trường hợp này
số trung bình của tập hợp chính sẽ là
µ
x
= 1/5(2+4+6+8+10) = 6
Giả sử lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại với cỡ mẫu là 2. Ta sẽ có
2
5
C
= 10 mẫu khác
nhau (với cỡ mẫu là 2). Và mỗi mẫu sẽ có số trung bình của mẫu
X
như sau :
Sample 2,4 2,6 2,8 2,10 4,6 4,8 4,10 6,8 6,10 8,10
X

3 4 5 6 5 6 7 7 8 9

Phân phối mẫu của số trung bình
X là :
(Phân phối xác suất của đặc trưng thống kê của mẫu

X
Sample 3 4 5 6 7 8 9 10
X
0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
Kỳ vọng của X
E(
X ) = Σ X * p( X)
= 3 * 0.1 + 4 * 0.1 + 5 * 0.2 + 6 * 0.2 + 7 * 0.2 + 8 * 0.1 + 9 * 0.1
E(
X
) = 6 = µ
x

4.2.2. Phương sai của số trung bình mẫu
(
2
X
σ
)
Trường hợp tập hợp chính vô hạn
(Infinite Polulation)
Phương sai của số trung bình mẫu
X
được ký hiệu là
σ
2
x

Gv. Cao Hào Thi

3
Var (
X
) =
σ
2
x
=
n
x
σ
2
Đúng khi n < N
Với
σ
2
x
là phương sai của tập hợp chính, n là cỡ mẫu.
Var (
X) =
σ
2
x
=
)(
1N
nN
n
2
x

−
−
σ

Trường hợp tập hợp chính hữu hạn
(Finite Population)
Thí dụ
:
Tính phương sai của
X
trong thí dụ trên
Phương sai của tập hợp chính
σ
2
x
= E[(Xi - µ
x
)² = Σ(xi - µ
x
)² * P(X
i
) µ
x
= 6; P(X
i
) = 1/5
= 1/5[(2-6)² + (4 - 6)² + (6 -6 )² + (8-6)² + (10 - 6)²]
σ
2
x

= 8
Phương sai của
X tính từ đònh nghóa
Var (
X ) = E [( X

- E( X))
2
] = E [( X- 6)
2
] vì E ( X) = µ
x
= 6
= [(3-6)
2
* 0.1 + (4-6)
2
* 0.1 + (5-6)
2
* 0.2 + (6-6)
2
* 0.2 + (7-6)
2
* 0.2
+( 8-6)
2
* 0.1 + (9-6)
2
* 0.1]
Var (

X) =
σ
2
x
= 3
Nếu áp dụng công thức :
Var (
X ) =
3
15
25

2
8

1N
nN

n

2
x
2
X
=
−
−
=
−
−

σ
=
σ
**
4.2.3. Độ lệch chuẩn của số trung bình mẫu (
X
σ
)
Độ lệch chuẩn của X được ký hiệu (
X
σ )
σσ
σ
xx
x
n
==
2
Đối với tập hợp chính vô hạn
hay
1N
nN

n

x
x
−
−
σ

=σ *
Đối với tập hợp chính hữu hạn
x
σ
được xem như sai số chuẩn (Standard Error) của số trung bình mẫu
X
.
4.2.4. Lấy mẫu từ tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn
(Sampling From Normal
Population)
Luật phân phối của số trung bình mẫu
X

Gv. Cao Hào Thi

4
Nếu tập hợp chính của biến X tuân theo phân phối chuẩn với số trung bình là
µ
x
và
phương sai
σ
x
thì số trung bình mẫu X sẽ tuân theo phân phối chuẩn với số trung trình
là
µ
x
và phương sai là n
2
x

/
σ
.
X ~
X N
2
xX
==>σµ ),(
~
N
n
X
X
(, )µ
σ
2

4.2.5. Chuẩn hóa số trung bình mẫu

X

Đặt :
Z
X
X
X
=
−µ
σ

Nếu
X
có số trung bình là
µ
x
và phương sai là
σ
2
X
thì Z có số trung bình là 0 và
phương sai là 1.
Nếu
( )
( )
10
2
,N~Z ,N~X
X
x
==>
σ
µ
4.2.6. Đònh lý giới hạn trung tâm
(Central Limit Theorem)
Khi n lớn thì
n
X
Z
X
X

σ
µ−
=
sẽ gần đúng có phân phối chuẩn chuẩn hóa hay
X có phân
phối chuẩn với số trung bình hoá là µ
x
phương sai
n
x
2
σ

Khi n lớn ==> Z ~ N(0, 1) hay
XN
n
X
X
~,µ
σ
2







Thí dụ
:

Chiều dài của các cây thước kẻ trong dây chuyền sản xuất thước tuân theo phân phối
chuẩn với µ = 30cm. Độ lệch chuẩn xung quanh số trung trung bình là δ = 0.1cm. Nhân
viên thanh tra lấy mẫu với cỡ mẫ n = 4 và nhận thấy số trung bình của mẫu là
X =
29875cm.
Tìm xác suất để số trung bình của mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 29875cm.
Giải
:

()












−
≤













−
=〈
4
0.1
3029875

n
30X
P 29875 XP
= P (Z
≤
- 350)
= 0.062
Thí dụ
:
Một nhà sản xuất phụ tùng xe ôtô cho biết tuổi thọ của phụ tùng xe tuân theo luật phân
phối chuẩn với số trung bình là 36,000 dặm và độ lệch chuẩn là 4,000 dặm. Đối với một
Gv. Cao Hào Thi

5
mẫu được chọn một cách ngẫu nhiên với cỡ mẫu là 16 thì tuổi thọ trung bình của mẫu là
34,500 dặm. Nếu nhà sản xuất nói đúng thì xác suất để số trung bình mẫu nhỏ hơn hoặc
bằng giá trò của mẫu đã đo là bao nhiêu.

Giải
:

()












−
〈
σ
µ−
=〈
16
4000
0003650034
50034
,,

X
P , X P
X

X

= P (Z < -1.5)
= 0.0668
Thí dụ
:
Giả sử tập họp chính tuân theo phân phối chuẩn với số trung bình là 40 và phương sai là
100.






Phân phối xác suất chuẩn với µ = 40, σ
2
= 100


Lấy 1,000 mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu 5. Gọi
X
là số trung bình của mẫu.
X

tuân theo
phân phối với số trung bình là µ = 40 phương sai
σ
2
100
5

20
n
==.
Lấy 1,000 mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu 10. Gọi là số trung bình của mẫu.
X
tuân theo
phân phối với số trung bình là µ = 40, phương sai
σ
2
100
10
10
n
==.








X
F(
X
)
60
40
Phân
phối mẫu của

X
20
N = 10
60
Giá trò của biến X
20
40
f
x
(x)
N = 5
X