Tài liệu Toán xác suất_ Chương 6 doc

G.V Cao Haò Thi

Chương 6
KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
(Tests of Hypotheses)
Thông thường đối với tham số • chưa biết của tập hợp chính ta có thể đưa ra nhiều giả
thuyết về •.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào kiểm đònh được giả thuyết nào thích hợp với các số liệu
của mẫu quan sát được (x
1
, x
2,
…, x
n
).
6.1 NHỮNG KHÁI NIỆM VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Giả thuyết thống kê ( Statistical Hypothesis)
Là một giả sử hay một phát biểu có thể đúng, có thể sai liên quan đến tham số của một
hay nhiều tập hợp chính.
Giả thuyết không (giả thuyết đơn) và giả thuyết ngược lại (đối thuyết)
(Null Hypothesis & Alternative Hypothesis)
Giả thuyết không: là sự giả sử mà chúng ta muốn kiếm đònh thường được ký hiệu là
H
o.
Giả thuyết ngược lại: Việc bác bỏ giả thuyết không sẽ dẫn đến việc chấp nhận giả
thuyết ngược lại. Giả thuyết ngược lại thường được ký hiệu là H
1.
Ví dụ
Kiếm đònh giả thuyết H
o
: • ≥ •

o
có thể •=•
o
Với H
1
: • < •
o

Kiếm đònh giả thuyết H
o
: • ≤ •
o


Với H
1
: • > •
o
Kiểm đònh giả thuyết H
o :
• = •
o
Với H
1
: • ≠ •
o

6.1.3 Các loại sai lầm trong việc kiểm đònh giả thuyết thống kê
Việc kiểm đònh giả thuyết thống kê có thể phạm phải 2 loại sai lầm
1.3.1 Sai lầm loại I

(type I error)
Là loại sai lầm mà chúng ta phạm phải trong việc bác bỏ giả thuyết H
o
khi
H
o
đúng.
Xác suất của việc bác bỏ H
o
khi H
o
đúng lkà xác suất của sai lầm loại I và
được ký hiệu là α
G.V Cao Haò Thi

α = P ( bác bỏ H
o
/ H
o
đúng) = P(type I error)
α : còn được gọi là mức ý nghóa ( level of sigui ficance)
α = 0.05, 0,01 ,0,001 …
1.3.2 Sai lầm II
(type II error)
Là loai sai lầm mà chúng ta phạm phải khi không bác bỏ giả thuyết H
o
khi
H
o
sai.

Xác suất của việc không bác bỏ H
o
khi H
o
sai là xác suất của sai lầm loải II và đưkợc
ký hiệu làβ.
β = P (không bác bỏ H
o
/H
o
sai) = P(type II error)

Quyết đònh về
giả thuyết không Ho
Bản chất của Ho
Ho đúng

Ho sai

Không bác bỏ ( chấp nhận )

Quyết đònh đúng
Prob = 1- α
P (không bác bỏ Ho / Ho) = 1-α
Sai lầm loại II
Prob = β

Bác bỏ

Sai lầm loại I

Prob = α
(α = significance level of the test)
Quyết đònh đúng
Prob = 1 - β
(1 - β: power of the test)
năng lực cuả kiểm đònh
1.4 Miền bác bỏ và miền chấp nhận
( rejection region & acceptance region )
Tất cả các giá trò có thể có của các đại lượng thống kê trong kiểm đònh có thể
chia làm 2 miền: miền bác bỏ và miền chấp nhận.
- Miền bác bỏ
là miền chứ các giá trò làm cho giả thuyết Ho bò bác bỏ.
-Miền chấp nhận
là miền chứa các giá trò giúp cho giả thuyết Ho không bò bác bỏ.
Trong thực tế khi Ho không bò bác bỏ cùng nghóa là nó được chấp nhận.
Giá trò chia đôi hai miền được gọi là giá trò giới hạn ( Gitical value)
- Kiểm đònh một đầu và kiểm đònh 2 đầu

(one – tailed test & two – tailed test)
Kiểm đònh một đầu

Khi giả thuyết ngược lại H
1
có tính chất 1 phía (one – sided) thì việc kiểm đònh được
gọi là kiểm đònh 1 đầu.
Ví dụ:

H
o
: • = •

o
hay H
o
: • = •
o


G.V Cao Haò Thi

H
1
: • > •
o
H
1
: • < •
o

Kiểm đònh hai đầu
:
Khi giả thuyết ngược lại H
1
có tính chất 2 phía( two – sided_ thì việc kiểm được gọi là
kiểm đònh 2 đầu.
Ví dụ

H
o
: • = •
o

H
1
: • ≠ •
o


2.
Các bước của việc kiểm đònh giả thuyết thống kê
Gồm 6 bước:
Bước 1
: Thành lập giả thuyết Ho
Ví dụ
:
H
o
: • = •
o
H
o
: • ≤ •
o
H
o
: • ≥ •
o

Bước 2
: Thành lập giả thuyết H

1
Ví dụ:
H
1
: • < •
o
H
1
: • > •
o
H
1
: • ≠ •
o
Bước 3: Xác đònh mức ý nghóa α
Bước 4
: Chọn các tham số thống kê thích hợp chko việc kiếm đònh và xác đònh các
miền bác bỏ, miền chấp nhận và giá trò giới hạn.
Bước 5
: Tính toán các giá trò của các tham số thống kê trong việc kiểm đònh dựa trên
số hiệu của mẫu ngẫu nhiên.
Bước 6:
Ra quyết đònh: Nếu các giá trò tính toán rồi vào miền bác bỏ Ho thì ra quyết
đònh bác bỏ Ho. Ngược lại sẽ chấp nhận Ho.
3. Kiểm đònh giá trò trung bình µ của phân phối chuẩn N (µ,δ
2
) khi đã biết δ
2

Cho ( x1, x2 , …, xn) là mẫu ngẫu nhiên cỡ n được lấy từ tập họp chính tuân theo phân

phối chuẩn N (µ,δ
2
) trong đó δ
2
đã biết.
Vấn đề
: Kiểm đònh giả thuyết Ho : µ ≤ µ
ο
hay µ ≥ µ
ο
hay
µ = µ
ο
với giả thuyết ngược lại H
1:
µ > µ
ο
hay µ < µ
ο
hay
µ ≠ µ
ο .
Sự kiểm đònh có mức ý nghóa là α.
Ta có 3 trường hợp:
G.V Cao Haò Thi

3.1 Trường hợp 1
Ho : µ = µ
ο
hay µ

ο
: µ ≥ µ
ο

H
1
: µ < µ
ο

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu Σ =
n/
X
0
δ
µ−
< −
α
∑

3.2 Trường hợp 2:


Ho :
0
µ=µ
hay Ho
0
µ≤µ

H
1
:
µ

>

0
µ

Miền bác bỏ R
: Bác bỏ Ho nếu
α
∑>
δ
µ−
=∑
n/
X

0
















3.3 Trường hợp 3:


α
α
∑
−
α
∑

F
z

Miền bác bỏ Ho Miền không bác bỏ Ho
G.V Cao Haò Thi

Ho :
0
µ=µ

H
1
:
0
µ≠µ

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu
2
α
∑>∑
hay
2
α
∑−<∑

Với
n/
X
0
δ
µ−
=∑

Thí dụ

Trong một nhà máy bánh kẹo, một máy tự động sản xuất ra các thanh sô cô la với
trọng lượng qui đònh 250g. Biết rằng trọng lượng các thanh sô cô la được sản xuất ra có
phân bố chuẩn N(
µ
,5
2
). Trong một ngày bộ phân kiểm tra kỹ thuật chọn một mẫu ngẫu
nhiên gồm 16 thanh sô cô la và tính trọng lượng trung bình của chúng được 244g. Có
thể khẳng đònh máy tự động sản xuất ra các thanh sô cô la có trọng lượng nhớ hơn qui
đònh không? Với mức ý nghóa
α
=0.05 kiểm đònh giả thuyết thống kê tương ứng.
Giải

1/ Ho :
µ
= 250g
2/ H
1
:
µ
< 250g
3/
α
= 0.05
4/
=∑=∑

α
05.0
16.45
-
=∑
α
-1.645
5/
8.4
16/5
250246
n/
X
0
−=
−
=
δ
µ−
=∑


=δ
2
5
2

⇒

δ

= 5
n = 16

X
= 244g ,
0
µ
= 250g
6/
Σ
= -4.8 < -
05.0
∑
= -1,645

Ra quyết đònh : Bác bỏ giả thuyết Ho
⇒
Chấp nhận H
1
nghóa là máy tự động sản xuất sô cô la có trọng lượng nhỏ hơn qui
đònh.
⇒
Phải điều chỉnh lại máy
Thí dụ

Một máy khoan trong dây chuyền sản xuất dùng để khkoan lỗ trên các bản thép. Khi
máy khoan hoạt động đúng chứ năng thiết kế đường kính các lỗ khoan sẽ tuân theo
phân phối chuần với số trung bình là 2 inches và độ lệch chuẩn là 0,06 inches. Trong
quá trình kiểm tra đònh kỳ xem máy khoan có hoạt động đúng hay không, người ta lấy
đo ngẫu nhiên các lỗ đã khoan. Giả sử độ lệch chuẩn không thay đổi. Mẫu ngẫu nhiên

G.V Cao Haò Thi

gồm 9 lỗ khoan cho ta đường kính trung bình của mẫu là 1.95 inches. Kiểm đònh giả
thuyết Ho : số trung bình của tập hợp chính là 2 inches.
Với H
1
: số trung bình của tập hợp chính khác 2 inches.
Trong quá trình kiểm đònh dùn
α
= 5%
Giải:

1/ Ho :
µ
=
µ
0
= 2
2/ H
1
:
µ

≠
2
3/
α
= 0.05
4/
96.1

025,0
2
=∑=∑
α

-
196
025.0
2
−=∑−=∑
α

5/
X
= 1,95 ,
µ
0
=2 ,
δ
= 0.06 ,n = 9

50,2
9/06.0
295.1
n/
X
0
−=
−
=

δ
µ−
=∑

6/ Ta có
2
α
∑−<∑

Ra quyết đònh : Bác bỏ giả thuyết Ho ở mức ý nghóa 5%
⇒
Máy hoạt động không đúng chức năng thiết kế.
4. Kiểm đònh giá trò trung bình m của phân phối chuẩn N (
µ
,
δ
2
) khi chưa biết
δ
2

Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ mẫu là n được lấy từ tập hợp chính tuân theo phân
phối chuẩn có số trung bình là
µ
. Gọi • và S
x
là số trung bình và độ lệch chuẩn của
mẫu, ta sẽ có 3 trường hợp kiểm đònh
µ
với mức ý nghóa

α
.
4.1 Trường hợp 1:

Ho :
µ
=
µ
0
hay
µ

≥

µ
0

H
1
:
µ
>
µ
0

Miền bác bỏ R : Bác bỏ Ho nếu t
n-1
> t
n-1
,

α

Với t
n-1
=
n/
X
x
0
δ
µ−
, t
n-1
tuân theo phân phối.
Student t với độ tự do n-1
4.2 Trường hợp 2:

Ho :
µ
=
µ
0
hay Ho :
µ

≤

µ
0

H
1
:
µ
>
µ
0

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu t
n-1
> t
n-1
,
α

4.3 Trường hợp 3: