Bài thuyết trình: CHƯƠNG 6: CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM

Cơ học lượng tử
Quantum mechanics
GVHD:PGS-TS Võ Thành Lâm

CHƯƠNG 6 CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂ
Particle motion in the radial
NHÓM 6
NGUYỄN
THỊ
3116022030

HỒNG

VY

NGUYỄN
THỊ
3116022031

NGỌC

VY

NGUYỄN
THỊ
3116022027

NGỌC

TÚ

NGUYỄN
3116021016

MINH

TUẤN


Giới thiệu-Introduction

• Trong chương trước, sinh viên đã tìm hiểu về
phương trình schrodinger. Đến chương này sẽ
tìm hiểu về phương trình Schrodinger của hạt
trong trường xuyên tâm với hệ tọa độ sử dụng là
hệ tọa độ cầu. Bài toán thực tế ứng với trường
hợp này là bài toán nguyên tử Hydro và các ion
tương tự. Các tính chất của năng lượng và hàm
sóng của electron trong nguyên tử Hydro sẽ
được khảo sát một cách chi tiết.

• In the previous subject, we learned about
Schrodinger’s equation. In this subject will
learn about Schrodinger equation of particle
in the case of radial coordinate system used
with the spherical coordinates. The real math
problem in this case is the problem of
hydrogen atoms and ions similar.The nature
of energy and electron wave function of
hydrogen atoms will be examined in detail.

• Sau khi học xong chương này, sinh viên sẽ nắm
được cách giải phương trình trị riêng của tốn tử
mơmen tồn phần và của toán tử năng lượng
trong trường xuyên tâm. Sinh viên cũng sẽ giải
được các bài toán liên quan đến xung lượng,
năng lượng và hàm sóng của electron trong
nguyên tử Hydro

• After completing this subject, We will
understand how to solve the equation of the
operator torque eigenvalues and full of
energy operators in the radial.We will also
solve the problems related to energy and
momentum of the electron wave functions of
hydrogen atoms.


Content
Nội dung

Chương 6 Chuyển động
của hạt trong trường
xuyên tâm
Particle motion in the radial

1.Tốn tử mơmen
xung

1.1 Khái
niệm

trường
xun tâm

1.2 Tốn
tử mơmen
xung
lượng

1.3 Các
đặc điểm
của hạt
chuyển
động của
hạt trong
trường
xun tâm

2.Phương trình
Schrodinger trong
trường xun tâm
2.1
Phương
trình bán
kính và
phương
trình góc

2.2 Khảo
sát
phương

trình bán
kính

3.Bài tốn ngun
tử Hydro và các
ion tương tự
3.1 Giá trị
âm của
năng
lượng
electron
trong
nguyên tử

3.3 Kết
luận về
bài toán
nguyên tử
Hydro và
các ion
tương tự
Hydro

3.2
Năng
lượng và
hàm
sóng của
electron
trong

nguyên
tử Hydro
và các
ion
tương tự

4.Sự phân bố
electron trong
nguyên tử Hydro
4.1 Sự
phân bố
electron
theo bán
kính

4.2 Sự
phân bố
electon
theo góc

5.Bài tập


§1 :TỐN TỬ MƠMEN XUNG LƯỢNG
Inherent angular momentum operators
1.1 Khái niệm trường xuyên tâm (The concept of the radial)
Một trường lực được gọi là đối xứng xuyên tâm khi lực tác dụng tại một
điểm trong trường thỏa mãn các điều kiện sau:
• Đi qua một điểm cố định là tâm của trường.
• Thế năng ứng với lực chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ hạt đến tâm

trường.
Khi nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm có một
đại lượng động lực đóng vai trị rất quan trọng đó là mômen xung
lượng. Trước khi khảo sát chi tiết ta cần nghiên cứu cụ thể tốn tử
mơmen xung lượng.


1.2 Tốn tử momen xung lượng
•Trong
 

chương này ta sẽ sử dụng tọa độ cầu cho bài toán của hạt chuyển
động trong trường xuyên tâm. Ta quan tâm đến hai thành phần cơ bản
của tốn tử mơmen xung lượng. Đó là tốn tử hình chiếu mơmen xung
lượng lên trục z (z) và tốn tử mơmen xung lượng tồn phần (2).
Trong chương II, ta đã biết các thơng tin về tốn tử z, đó là:
Dạng:
Trị riêng:
Hàm riêng chuẩn hóa: trong đó


•  
Trong
tọa độ cầu, dạng của toán tử này là: với là phần góc của

tốn tử Laplace và có dạng:

Ta chứng minh được , nghĩa là các toán tử và giao hốn với nhau, vì
vậy chúng có hàm riêng chung, ta gọi hàm này là .

•a)
  Trị

riêng của toán tử

Trước hết, ta đưa ra hai tốn tử bậc thang (ladder operater), có
dạng sau:
và
Ta chứng minh được các hệ thức sau
Tác dụng hệ thức toán tử lên hàm ta được:


•Từ
 

phương trình trị riêng , ta tính được:

Số hạng là hàm riêng của toán tử ứng với trị riêng . Từ đó ta thấy
tốn tử tác dụng lên hàm làm cho trị riêng của toán tử thay đổi
một đơn vị của : . Như vậy ta có thể viết:
và
Tốn tử vì thế được gọi là tốn tử nâng (raising operator), tốn tử
gọi là tốn tử hạ (lowering operator).
Vì trị riêng của một toán tử là hữu hạn nên giá trị m phải hữu hạn.
Giả sử ta đặt thì


•  
Bây

giờ ta tác dụng toán tử lên hàm :

Phương trình này chính là phương trình trị riêng của tốn tử
ứng với hàm riêng . Như vậy, trị riêng của toán tử là:
, với
Ta thấy rằng, ứng với 1 giá trị của thì có nhiều giá trị của
nhưng giá trị cực đại của thì bằng , như vậy


•b)
 

Hàm riêng của toán tử

Ta đã biết toán tử , tốn tử , vì vậy chúng hàm riêng chung. Đây là
một hàm điều hịa cầu có dạng phụ thuộc vào góc và góc . Ta ký
hiệu hàm này là .
Phương trình trị riêng của tốn tử và là:
Vì chỉ phụ thuộc vào góc nên hàm riêng bằng tích của hai hàm
phụ thuộc vào 2 biến và riêng biệt:
trong đó là hàm riêng của tốn tử . Để tìm dạng cụ thể của ta chỉ
cần tìm dạng của .


•Thay
 

dạng của vào phương trình trị riêng của tốn tử , ta được:

Hay:

Thay dạng của phần góc vào của tốn tử Laplace vào phương trình
trên, ta được:
Vì nên , thay vào phương trình trên ta được:
(*)


•Để
 

giải phương trình, ta dùng phương pháp đổi biến số.

Đặt , lúc đó , phương trình (*) trở thành:
So sánh với phương trình cho đa thức Legendre liên kết:
Ta thấy có dạng là một đa thức Legendre liên kết:
,
trong đó là đa thức Legendre được xác định bởi công thức Rodrigues:


•Vậy:
 

Hằng số trong phương trình trên được xác định từ điều kiện trực chuẩn
của hàm :
Dùng điều kiện trực giao của đa thức Legendre liên kết:

Ta tìm được:

()

•Từ
 

đó ta được dạng tổng quát của hàm cầu chuẩn hóa với các giá trị xác
định của
và :
()
Ta đã tìm được trị riêng của toán tử phụ thuộc vào số lượng tử m và trị
riêng của toán tử phụ thuộc vào số lượng tử ,trong đó và ,
Như vậy với một giá trị của thì có giá trị của .
Điều này có nghĩa là ứng với một giá trị xác định của bình phương mơmen
xung lượng thì hình chiếu của nó lên trục z có giá trị. Vì trục z được định
hướng một cách bất kỳ nên với một giá trị của thì hình chiếu của mơmen
xung lượng lên trục x hoặc trục y cũng có giá trị.



1.3 Các đặc điểm chuyển động của hạt trong
trường xuyên tâm
•Ta
 

nghiên cứu các đặc điểm chuyển động của hạt khối lượng trong
trường xuyên tâm với thế năng. Hamiltonian của hạt ở trạng thái
dừng là :
Dạng của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu là:
Thay vào biểu thức Hamiltonian ta được


•Ta

 

chứng minh được rằng toán tử giao hoán với toán tử và .
Như vậy, các hệ mô tả bởi Hamiltonian có thể ở trong các trạng
thái dừng có giá trị xác định của năng lượng, bình phương
mơmen xung lượng và hình chiếu của mơmen xung lượng. Mặt
khác, ở Chương V ta thấy rằng mômen xung lượng ( và ) của
hạt trong trường xuyên tâm là các tích phân chuyển động. Đây
chính là hệ quả của tính đối xứng cầu của trường xuyên tâm.


2 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM
Schrdinger equation in the radial
2.1 Phương trình bán kính và phương trình góc
Phương trình Schrodinger của hạt ở trạng thái dừng
là:
Thay vào (6.26) ta được phương trình:


Do biến số r độc lập với hai biến số nên hàm sóng
có thể viết ở dạng phân ly biến số:
hàm góc
hàm bán kính hoặc
hàm xun tâm
Thay dạng của hàm sóng (6.28) vào (6.27) :


Chia hai vế của (6.29) cho RY

Từ đó ta được hai phương trình:

α

Phương trình

Phương trình
bán kính


Phương trình trị riêng của tốn tử
Suy ra

(*)
=>Trị riêng

Thay(*) vào (6.31)

Phương trình bán
kính


2.2 Khảo sát phương trình bán
kính
Phương trình bán kính

Đặt


Thế ly tâm ( thế đẩy)

Nếu đặt

Thì (6.34)

Thế hấp dẫn xuyên
tâm


Có dạng giống

Nếu
Nghĩa là
0
Giả sử thế năng của hạt là
Cho trường hợp r>0

Và thế năng vô hạn khi r ->0


§3 BÀI TOÁN NGUYÊN
TỬ HYDRO VÀ CÁC
ION TƯƠNG TỰ
Problem hydrogen atoms and ions similar