De thi va dap an HSG mon Toan lop 9 tinh Bac Giang 20122013
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (294.45 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG. ĐỀ THI CHÍNH THỨC. Ngày thi: 30/3/2013 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi có 01 trang Câu 1. (5,0 điểm). 3 3 1) Tính giá trị của biểu thức A 26 15 3 26 15 3 .. a 2 2 a 2 a 7 3 a 2 1 P . : 3 3 a 2 11 a a 3 a 2 2 2) Rút gọn biểu thức. 1 a 2 .. Câu 2. (4,0 điểm) 3 2 1) Giải phương trình: 3 x 8 2 x 3 x 10 .. x 2 y 2 xy 1 4 y 2 2) Giải hệ phương trình sau: ( x 1)( x y 2) y .. Câu 3. (4,0 điểm) 2 1) Cho hàm số y x . Tìm các giá trị của m để đường thẳng có phương trình. y x m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) thoả mãn: ( x2 x1 ) 4 ( y2 y1 ) 4 18 .. 2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện 20abc 30( ab bc ca) 21abc. Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), có đường cao AH và O là trung điểm của cạnh BC. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự tại M và N. OA và MN cắt nhau tại D. 1) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp. 1 1 1 2) Chứng minh : AD HB HC .. 3) Cho AB=3 và AC=4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b và c thoả mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 2 2 2 2 a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2 . 2. ---------------Hết---------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:....................... Giám thị 1 (Họ tên và ký)...............................................................................................................
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giám thị 2 (Họ tên và ký).............................................................................................................. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM BẮC GIANG BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH. NGÀY THI 30 /3/2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG. ĐỀ CHÍNH THỨC. Bản hướng dẫn chấm có 04 .trang Câu 1. Hướng dẫn giải. (5 điểm). 3 3 Ta có A 26 15 3 26 15 3. 3 8 3.22 3 3.2.( 3) 2 ( 3)3 . 1. (2 điểm). 3 (2 3)3 . 3. (2 . (2 3) (2 . 3. 8 3.2 2 3 3.2.( 3) 2 ( 3) 3. 3)3. 3). A 2 3 .. 0.5 0.5 0.5. KL: Điều kiện: 2 a 11. 0.5. 2 Đặt x a 2 (0 x 3) a x 2 .. 0.5. P. 2. 0.5. Tính được. ( x 2) x x 2 9 3x 1 1 . : 3 3 x 9 x 2 x 2 3x x . ( x 2) 3( x 3) 2 x 4 . : 3 9 x 2 x( x 3) ( x 2) x( x 3) x . 3 x 2x 4 2 a 2 2 =. (3 điểm). . 0.5 0.5 0.5 0.5. KL: Câu 2 1 (2 điểm). (4 điểm) ĐK: x 2 . Với điều kiện biến đổi phương trình đã cho trở thành: 3. ( x 2)( x 2 2 x 4) 2( x 2 2 x 4) ( x 2). 0.5. 2 Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 x 4 , ta được. x2 x2 3 2 2 0 x 2x 4 x 2x 4 (1) 2. t. x2 (t 0) x 2x 4 2. Đặt 2 Thay vào (1) ta được t 3t 2 0 t 1 hoặc t 2 (t/m). 0.5 0.5.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> + với t 1 ta có + với t 2 ta có KL:. x2 =1 x 2 3x 2 0 x 2x 4 2. x 1 x 2 (t/m).. x2 =2 4 x 2 9 x 14 0 x 2x 4 (vô nghiệm).. 0.5. 2. 2 x 1 y ( x y ) 4 y 2 ( x 1)( x y 2) y. + Với y 0 Hpt trở thành:. 2 x 1 0 2 ( x 1)( x 2) 0. 0.5 (vô nghiệm). 2. 2 (2 điểm). + Với y 0 .Hệ trở thành. x 1 y ( x y ) 4 2 ( x 1)( x y 2) 1 y. (1). a b 4 x2 1 a , b x y y + Đặt thay vào hpt(1) ta được a (b 2) 1 + Giải được: a 1, b 3. 0.5. 0.5. 2. x 1 1 y x y 3 + Với a 1, b 3 . ( x ; y ) (1; 2) và (x;y)=(-2;5) Giải được nghiệm của hệ:. 0.5. + KL: Câu 3. (4 điểm) Xét pt hoành độ giao điểm: x 2 x m x 2 x m 0 (1) Đường thẳng cắt đths đã cho tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ. 0.5. khi pt(1) có hai nghiệm phân biệt. + Điều kiện: 1 4m 0 1 m . 4. 0.5. + Theo định lí Viet x1 x2 1, x1 x2 m . Ta có y1 x1 m, y2 x2 m. 0.5. 1 (2 điểm) + Khi đó A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) 4 4 4 2 2 + ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 18 ( x1 x2 ) 9 [( x1 x2 ) 4 x1 x2 ] 9. m 1 (k o t / m) m 1 (t / m) 2 + Tìm được . KL:. 0.5.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 1 1 1 7 + Từ giả thiết suy ra: 3 a b c 10 . Không giảm tính tổng quát 2 3 2c 9 giả sử a b c 1 . Suy ra 3 c Do đó c {2;3}. 0.5. + Với c 2 suy ra 2 1 1 1 7 1 1 1 1 1 2 1 1 (1) và 3 2 a b 10 6 a b 5 6 b b 5 b {7;11} Do đó 1. 1. 0.5. 2. a {19; 23; 29;31;37; 41} 2 b 7 từ (1) suy ra 42 a 35 + Với (2 điểm) 5 1 6 a 13 + Với b 11 từ (1) suy ra 66 a 55 ( do a>b) c 3 + Với từ giả thiết suy ra 1 1 1 11 1 2 (*) b 6 b 5 3 a b 30 3 b ( do b>c) 15 6 a a 7 2 Thay b 5 vào (*) được .. 0,5. 0.5. Vậy có 8 bộ ba (a;b;c) thoả mãn: (19;7; 2), (23;7; 2), (29;7; 2), (31;7; 2), (37; 7; 2), (41;7; 2), (13;11; 2), (7;5;3). và các hoán vị của nó. Câu 4. (6 điểm). 1 (2 điểm) + Tứ giác AMHN nội tiếp nên AMN AHN. 0.5. + Lại có AHN ACH (vì cùng phụ với góc CHN ). 0.5. 0 0 + Suy ra ACB AMN , mà AMN NMB 180 nên ACB NMB 180. 0.5. KL:. 0.5. + Có AID AOH vì cùng bằng hai lần ACB .. 0.5. AD AI AH AO + Tam giác 1 1 1 1 AO BC ( HB HC ), AI= AH HB.HC 2 2 2 2 + Có 1 AO HB HC 1 1 . HB.HC HB HC + Do đó AD AH . AI AID AOH . 2 (2 điểm). 0.5 0.5 0.5.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> 12 AH 5 + Tính được BC=5,. 0.5. + Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. Khi đó KI là đường trung trực của đoạn MN. 0 Do hai tam giac AID và AOH đồng dạng nên ADI AHO 90. OA MN 3 (2 điểm) Do vậy KI//OA. + Do tứ giác BMNC nội tiếp nên OK BC . Do đó AH//KO. + Dẫn đến tứ giác AOKI là hình bình hành.. 0.5. 0.5. Bán kính 1 1 1 769 R KB KO 2 OB 2 AI 2 BC 2 AH 2 BC 2 4 4 4 10. Câu 5 2. 2. 2. 2. 2. Ta có: a 2b 3 (a b ) (b 1) 2 2ab 2b 2 2 2 2 2 Tương tự: b 2c 3 2bc 2c 2 , c 2a 3 2ac 2a 2 Suy ra: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) 2 2 2 a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2 ab b 1 bc c 1 ac a 1 1 1 1 1 1 ( ) . 2 ab b 1 1 1 1 1 a 1 2 a ab b. 0.5. (1 điểm) 0.5. 2. 0.5. Điểm toàn bài (20điểm). Lưu ý khi chấm bài:. -. Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm..
<span class='text_page_counter'>(6)</span>
