Tổng hợp kiến thức chuyên đề luyện thi đại học môn toán

Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th

Chun đ LTðH – ð i S
1. Gi i và bi n lu

PH N I: KI N TH C CƠ B N
n phương trình ax + b = 0 ( 1) :

b
- N u a ≠ 0 thì phương trình (1) có nghi m duy nh t x = − .
a
- N u a = 0 thì phương trình (1) tr thành b = 0.
* N u b ≠ 0 thì phương trình (1) vơ nghi m.
* N u b = 0 thì phương trình (1) có vơ s nghi m.
2. Gi i và bi n lu n phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( 2 ) :
- N u a = 0 thì phương trình (2) tr thành bx + c = 0 (d ng phương trình (1)).

(

)

- N u a ≠ 0 thì phương trình (2) là phương trình b c hai có bi t th c ∆ = b 2 − 4ac ∆ / = b / 2 − ac, b = 2b / .

(

)

* N u ∆ p 0 ∆ / p 0 thì phương trình (2) vơ nghi m.

(

)

* N u ∆ = 0 ∆ / = 0 thì phương trình (2) có nghi m kép x = −

(

b 
b/
x=−

2a 
a

)

* N u ∆ f 0 ∆ / f 0 thì phương trình (2) có hai nghi m phân bi t x1,2 =


.


−b ± ∆ 
−b / ± ∆ / 
 x1,2 =
.

a
2a 




3. ð nh lý v d u c a nh th c b c nh t: Nh th c b c nh t f ( x ) = ax + b ( a ≠ 0 ) cùng d u v i h s a khi
x l n hơn nghi m x = −

b
b
và trái d u v i h s a khi x nh hơn nghi m x = − .
a
a

4. ð nh lý v d u c a tam th c b c hai: Cho tam th c b c hai f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) có ∆ = b 2 − 4ac.
- N u ∆ p 0 thì f ( x ) cùng d u v i h s a v i m i x ∈ ¡ .
- N u ∆ = 0 thì f ( x ) cùng d u v i h s a v i m i x ≠ −

b
.
2a

- N u ∆ f 0 thì f ( x ) có hai nghi m x1 , x2 ( x1 p x2 ) . Khi đó:
* f ( x ) trái d u v i h s a khi x n m trong kho ng ( x1 ; x2 ) .
* f ( x ) cùng d u v i h s a khi x n m ngồi đo n [ x1 ; x2 ].

5. ði u ki n đ m t tam th c khơng ñ i d u trên ¡ : Cho tam th c b c hai f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
a f 0
- ∀x ∈ ¡ : f ( x ) f 0 ⇔ 
∆ p 0.

a p 0
- ∀x ∈ ¡ : f ( x ) p 0 ⇔ 

∆ p 0.

6. ð nh lý Vi-ét cho phương trình b c hai: Hai s x1 , x2 là nghi m c a ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) khi và ch

b
c
khi chúng th a mãn các h th c x1 + x2 = − , x1 x2 = .
a
a
7. Xét d u nghi m c a phương trình b c hai: Cho phương trình b c hai ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai

b
c
nghi m x1 , x2 ( x1 ≤ x2 ) . ð t S = x1 + x2 = − , P = x1 x2 = . Khi đó:
a
a
- N u P p 0 thì x1 p 0 p x2 (hai nghi m trái d u).
- N u P f 0, S f 0 thì 0 p x1 ≤ x2 (hai nghi m dương).

1


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th

Chun đ LTðH – ð i S
- N u P f 0, S p 0 thì x1 ≤ x2 p 0 (hai nghi m âm).
8. B t đ ng th c Cơ-si :

a+b

≥ ab . D u “=” x y ra khi và ch khi a = b.
2
a+b+c 3
- V i m i a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ta có
≥ abc . D u “=” x y ra khi và ch khi a = b = c.
3
9. Công th c v lũy th a và lôgarit:
- Công th c v lũy th a:
- V i m i a ≥ 0, b ≥ 0 ta có

* an =

m

1
a−n

* a m .a n = a m + n

* a n = n am

m

am
= a m−n
an

a f 1
⇔mf n
*  m

n
a f a

m

am
a
*  = m
b
b

* ( a.b ) = a m .b m

*

* ( a m ) = a mn
n

0 p a p 1
⇔ m p n.
*  m
n
a f a

- Công th c v lôgarit:
* log a b = α ⇔ aα = b ( 0 p a ≠ 1, b f 0 ) .
* log a ( bc ) = log a b + log a c, log a
* log b c =

log a c

1
, log a b =
log a b
log b a

* log a 1 = 0, log a a = 1, a loga b = b, log a a b = b.

b
= log a b − log a c, log a bα = α log a b.
c
1
, log aα b = log a b.

α

a f 1
* 
⇔ b f c.
log a b f log a c
10. S ph c:

0 p a p 1
⇔ b p c.
* 
log a b f log a c

- D ng ñ i s c a s ph c: z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) .

a = a /


- Hai s ph c b ng nhau: ( z = a + bi ) = z / = a / + b / i ⇔ 
/
b = b .


(

)

- Mơđun c a s ph c z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) : z = a 2 + b 2 .

- Bi u di n s ph c: S ph c z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ñư c bi u di n b i ñi m M ( a; b ) trong m t ph ng ph c.
- Căn b c hai c a s ph c: z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

là căn b c hai c a s ph c w = a + bi ( a, b ∈ ¡

)

khi và ch

 x2 − y2 = a
khi z 2 = w ⇔ 
2 xy = b.
- D ng lư ng giác c a s ph c z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) : z = r ( cos ϕ + i sin ϕ )( r f 0 ) , trong đó r = a 2 + b 2 và
a

cos ϕ = r


v i ϕ là m t acgumen c a z.

sin ϕ = b


r
- Nhân và chia hai s ph c d ng lư ng giác: N u z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , z / = r / ( cos ϕ / + i sin ϕ / ) thì:

(

)

(

)

* z.z / = rr /  cos ϕ + ϕ / + i sin ϕ + ϕ /  .



*
2

z
r
= /  cos (ϕ − ϕ / ) + i sin (ϕ − ϕ / )  .
/

z
r 

Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th

Chun đ LTðH – ð i S

- Công th c Moa-vrơ: V i 1 ≤ n ∈ ¢ , thì z =  r ( cos ϕ + i sin ϕ )  = r ( cos nϕ + i sin nϕ ) .


n

n

n

- Công th c nhân ba: sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α , cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α .

1. Phương trình b c ba ax

3

PH N II: CÁC D NG BÀI T P
+ bx 2 + cx + d = 0 ( 3 ) :

Ta bi n đ i phương trình (3) v d ng phương trình tích ( x − α ) ( Ax 2 + Bx + C ) = 0, trong đó α là m t
nghi m c a phương trình (3) mà ta có th tìm đư c nh các lưu ý sau đây:
- N u phương trình (3) có a + b + c + d = 0 thì α = 1.
- N u phương trình (3) có a − b + c − d = 0 thì α = −1.
- N u phương trình (3) có a = 1 thì α (n u có) là ư c c a d.

- N u phương trình (3) có ch a tham s thì ta có th l y các giá tr α làm cho tham s tri t tiêu.

Bài t p 1: (TSðH – Kh i D – 2006) Cho hàm s y = x 3 − 3 x + 2 có đ th
đi m A ( 3; 20 ) và có h s góc là m. Tìm m ñ d c t ñ th

(C ) t

(C ). G

i d là ñư ng th ng ñi qua

i 3 ñi m phân bi t.

- Phương trình đư ng th ng d : y = m ( x − 3) + 20.
- PTHðGð c a d và ( C ) : x3 − 3 x + 2 = m ( x − 3) + 20 ⇔ ( x − 3) ( x 2 + 3 x + 6 − m ) = 0.
- ycbt ⇔ f ( x ) = x 3 + 3 x + 6 − m = 0 có 2 nghi m phân bi t khác 3.
∆ = 9 − 4 ( 6 − m ) f 0 15

- Hay 
⇔ p m ≠ 24.
4
 f ( 3) = 24 − m ≠ 0


Bài t p 2: (TSðH – Kh i A – 2002) Tìm k đ phương trình − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 có 3 nghi m phân bi t.


- Vi t phương trình đã cho dư i d ng ( x − k )  x 2 + ( k − 3) x + k 2 − 3k  = 0.
- ycbt ⇔ f ( x ) = x 2 + ( k − 3) x + k 2 − 3k = 0 có 2 nghi m phân bi t khác k.
∆ = −3k 2 + 6k + 9 f 0

 −1 p k p 3

⇔
- Hay 
2
k ≠ 0, k ≠ 2.
 f ( k ) = 3k − 6k ≠ 0


Bài t p 3: (ðGQG TPHCM - 1996) Cho hàm s y = x 3 − 6 x 2 + 9 x có đ th
sao cho d qua A ( 4; 4 ) và c t ( C ) tai 3 ñi m phân bi t.

( C ) . Tìm nh

ng đư ng th ng d

0p k ≠9

Bài t p 4: (TSðH – Kh i B – 2002) Cho hàm s y = mx 4 + ( m 2 − 9 ) x 2 + 10 (1) . Tìm m đ hàm s

(1)

có ba

m p −3 ∪ 0 p m p 3

ñi m c c tr .

Bài t p 5: (TSðH – Kh i D – 2008) Cho hàm s y = x 3 − 3 x 2 + 4 (1) . Ch ng minh r ng m i ñư ng th ng ñi
qua ñi m I (1; 2 ) v i h s góc k ( k f −3) đ u c t ñ th c a hàm s

(1)

t i 3 ñi m phân bi t I, A, B ñ ng

th i I là trung ñi m c a ño n th ng AB.
2. Phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0 ( 4 ) :

Ta dùng n ph t = x 2 ( t ≥ 0 ) ñ ñưa phương trình (4) v d ng at 2 + bt + c = 0, t ≥ 0 ( 4 / ) . Khi đó:
- N u phương trình ( 4 / ) vô nghi m ho c ch có nghi m âm thì phương trình ( 4 ) vơ nghi m.
- N u phương trình ( 4 / ) có nghi m t = 0 thì phương trình ( 4 ) có nghi m x = 0.
3


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th
Chun đ LTðH – ð i S
/
- N u phương trình ( 4 ) có m t nghi m t f 0 thì phương trình ( 4 ) có hai nghi m x = ± t .
Bài t p 6: (D b 1 – Kh i A – 2002) Cho hàm s y = x 4 − mx 2 + m − 1(1) . Xác ñ nh m sao cho ñ th hàm s
0p m ≠ 2

(1) c t tr c hoành t i 4 ñi m phân bi t.

Bài t p 7: (ðH Hu - Kh i D – 2000) Cho hàm s y = x − 5 x + 4 có ñ th
4

d : y = m c t ñ th

(C ) t

2

( C ) . Tìm m đ

đư ng th ng

−9 4 p m p 4

i 4 ñi m phân bi t.

Bài t p 8: (ðH ðà N ng – 1997) Cho ( Cm ) : y = x 4 + mx 2 − m − 5. Tìm m đ

( Cm ) khơng c

t tr c Ox.

3. Phương trình, b t phương trình có ch a d u giá tr tuy t đ i:

a) Phương trình d ng f ( x ) = g ( x ) :
g ( x) ≥ 0

- Cách 1: (Thư ng dùng khi xét d u g ( x ) d dàng) f ( x ) = g ( x ) ⇔ 
 f ( x) = ± g ( x).

 f ( x) ≥ 0
 f ( x) p 0


- Cách 2: (Thư ng dùng khi xét d u f ( x ) d dàng) f ( x ) = g ( x ) ⇔ 

∪
 f ( x ) = g ( x ) − f ( x ) = g ( x ) .


b) B t phương trình d ng f ( x ) ≥ g ( x ) :

g ( x) ≥ 0

- Cách 1: f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ g ( x ) ≤ 0 ∪  2
2
 f ( x ) ≥ g ( x ).

 f ( x) ≥ 0
 f ( x) p 0


- Cách 2: f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ 
∪
 f ( x ) ≥ g ( x ) − f ( x ) ≥ g ( x ) .


- Cách 3: f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) ∪ f ( x ) ≤ − g ( x ) .
c) B t phương trình d ng f ( x ) ≤ g ( x ) :

g ( x) ≥ 0

- Cách 1: f ( x ) ≤ g ( x ) ⇔  2
2
 f ( x) ≤ g ( x).


 f ( x) ≥ 0
 f ( x) p 0


∪
- Cách 2: f ( x ) ≤ g ( x ) ⇔ 
 f ( x ) ≤ g ( x ) − f ( x ) ≤ g ( x ) .


- Cách 3: f ( x ) ≤ g ( x ) ⇔ − g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) .
d) Phương trình, b t phương trình có ch a nhi u d u giá tr tuy t ñ i: S d ng ñ nh nghĩa ñ lo i
b d u giá tr tuy t ñ i.

x=

Bài t p 9: Gi i phương trình 3cos x + 2 sin x = 2.
Bài t p 10: (ðH Th y S n TP HCM – 2001) Gi i phương trình x 2 − 4 x = 2 x − 7 + 1.
Bài t p 11: (B ñ TSðH) Gi i b t phương trình

)

2

+ kπ

x = ±2, 3 + 3,1 + 7

x 4 − 2 x 2 + 1 ≥ 1 − x.

1 − x p 0

x f 1



Hư ng d n: bpt ⇔ x 2 − 1 ≥ 1 − x ⇔  1 − x ≥ 0
⇔  x ≤ 1
⇔ x p −2 ∪ x ≥ 0.
2
 2
2
 2
 x + 2x ≥ 0

  x − 1 ≥ (1 − x )

4

(

π


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th
−1 + 5
−1 + 29
x=
,x =
2
2

Chuyên ñ LTðH – ð i S
Bài t p 12: (Cð H i Quan – 1999) Gi i phương trình x 2 − x + 2 x − 4 = 3.

x=k

Bài t p 13: Gi i phương trình sin x − cos x + 4sin 2 x = 1.

π
2

,k ∈¢

Bài t p 14: (B đ TSðH) V i giá tr nào c a m thì b t phương trình x 2 − 2mx + 2 x − m + 2 f 0 th a mãn

v i m i x.
HD: bpt ⇔ ( x − m ) + 2 x − m + 2 − m 2 f 0.Ycbt ⇔ 2 − m 2 f 0 ⇔ − 2 p m p
2

m.

4. Phương trình, b t phương trình vơ t :

g ( x) ≥ 0

f ( x) = g ( x) ⇔ 
2
 f ( x) = g ( x).


f ( x ) = g ( x ) : Ta có

a) Phương trình d ng

b) B t phương trình d ng

f ( x ) p g ( x ) : Ta có

 f ( x) ≥ 0 g ( x) ≥ 0


f ( x) f g ( x) ⇔ 
∪
2
g ( x) p 0  f ( x) f g ( x).



f ( x ) f g ( x ) : Ta có

c) B t phương trình d ng

 f ( x) ≥ 0


f ( x) p g ( x) ⇔ g ( x) f 0

2
 f ( x) p g ( x).


Bài t p 15: Gi i các phương trình sau

a) (ðHQG TPHCM – Kh i D – 1999)

x=2

− x 2 + 4 x + 2 = 2 x.

b) (ðH DL Hùng Vương – Kh i C – 2000) 17 + x − 17 − x = 2.

x=8

c) (ðH Hu - Kh i A – 2000) 3 − cos x − cos x + 1 = 2.
Bài t p 16: Gi i các b t phương trình sau

x = π + k 2π

2 x 2 − 6 x + 1 − x + 2 f 0.

a) (ðHSP TPHCM – 1994)
b) (ðH GTVT – 1994)

c) (ðH Bách Khoa TP HCM – 1994) 3 x − 1 ≥ x + 1 .
3

x + 34 − 3 x − 3 = 1.

3− 7
∪xf 3

2

!:Sau

khi tìm
đư c x nh th l i
đ ch n nghi m.

x≥2

x + 2 − 2 ≤ x − 2.

d) (ðHSP TPHCM– 1995)

x≤

x ∈∅

x = 30, x = −61

e)

3

2 x − 1 + 3 x − 1 = 1. x = 1

2 x 2 + mx = 3 − x.
x = −1
a) Gi i phương trình khi m = −14.
b) Tìm m i giá tr c a m đ phương trình có m t nghi m duy nh t.

Bài t p 17: (ðHSP K Thu t TPHCM – 2001) Xét phương trình

3 − x ≥ 0

Hư ng d n: pt ⇔  2
2
2 x + mx = ( 3 − x )


!: So sánh s

  f ( 3) = 0


S
x ≤ 3
⇔
. ycbt ⇔   f 0 ⇔ m p −6.
2
 2
 f ( x ) = x + ( m + 6) x − 9 = 0


 af ( 3) p 0


th c α v i hai nghi m x1 , x2 c a tam th c f ( x ) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 :




∆ f 0
∆ f 0


TH1: af (α ) p 0 ⇔ x1 p α p x2 . TH2: af (α ) f 0 ⇔ α p x1 p x2 . TH3: af (α ) f 0 ⇔ x1 p x2 p α .
5
S
S
 f α
 pα
2
2


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th

Chun đ LTðH – ð i S

5. Dùng n ph trong gi i phương trình, b t phương trình vơ t :
Phương trình, b t phương trình có

n ph

•

ax + b , x, x ,...

•

t = ax + b , t ≥ 0

•

ax 2 + bx + c , ax 2 + bx,...

•

t = ax 2 + bx + c , t ≥ 0

ax + b , ax + b,...

•

t = 3 ax + b

•

t=

f ( x) ± g ( x)

•

t=

f ( x) ±

•

t=

2

•

3

•

 f ( x) ± g ( x)

, f ( x) + g ( x) = C

 f ( x ). g ( x )

f ( x) ±

•
•

m

A
f ( x)

, f ( x) +

A2

f ( x)

f ( x), n f ( x)

Bài t p 18: Gi i phương trình x 2 + 3 − 2 x 2 − 3x + 2 =

A
f ( x)

f ( x ) v i s là b i chung nh nh t c a m và n.

s

3( x + 4)
2

.

7
HD: pt ⇔ 2 x 2 − 3 x + 2 − 8 − 2 2 x 2 − 3 x + 2 = 0. ð t t = 2 x 2 − 3 x + 2 ⇒ t = 4 ⇒ x = −2, x = .
2
1681
x=
Bài t p 19: Gi i phương trình 2 x − 5 + 2 x 2 − 5 x + 2 x − 5 + 2 x = 48.
144
HD: pt ⇔ x + x − 5 + 2 x . x − 5 + 2

(

)

x − 5 + x − 48 = 0 ⇔

Bài t p 20: (B ñ TSðH) Gi i b t phương trình 5 x +
1 

- bpt ⇔ 5  x +
p
2 x


1 

2  x +  + 4.
4x 


5
2 x

(

x −5 + x

p 2x +

)

2

+2

(

)

x − 5 + x − 48 = 0.

1
+ 4.
2x

-ð t t= x+

1
2 x

≥2

x.

1
2 x

= 2.

- B t phương trình đã cho thành 2t 2 − 5t + 2 f 0, t ≥ 2. Gi i & so ñi u ki n ta ñư c t f 2.
- V i t f 2 thì

x+

 3
 3

f 2 ⇔ x − 4 x + 1 f 0 ⇔ x ∈  0; − 2  ∪  + 2; +∞  .
2
2
2 x

 

1

Bài t p 21: (ðH GTVT TPHCM – 1999) Gi i phương trình 1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 = 3.

x=0

4
2
+a = x −
+ 4.
x
x
2
t= x−
⇒ x = 2, x = 4
a) Gi i phương trình khi a = 0.
x
b) Ch ng minh r ng v i m i tham s a phương trình có khơng q hai nghi m.

Bài t p 22: (ðH T ng H p TPHCM – Kh i D – 1995) Cho phương trình x +

x + 4 x − 4 + x + x − 4 = 6.

Bài t p 23: (Cð H i Quan – 1999) Gi i phương trình
6

x=4


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th
9 ± 65
Bài t p 24: (ðH Y Dư c TPHCM – 1997) Cho phương trình x + 9 − x = − x 2 + 9 x + 9. x = 0,9,
2
x+3
x = 1, x = 5
Bài t p 25: (B ñ TSðH) Gi i phương trình x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 =
.
2
Chuyên ñ LTðH – ð i S

Bài t p 26: (B ñ TSðH) Xác ñ nh theo m s nghi m c a phương trình
Bài t p 27: (ðH ANND – Kh i A – 2001) Gi i phương trình

3

x 4 + 4 x + m + 4 x 4 + 4 x + m = 6.

x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0.

- D th y x = −2 là nghi m c a phương trình.
- ð t f ( x ) = 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3. Do f ( x ) là hàm s tăng trên ¡ nên x = −2 là nghi m duy nh t.

x + 2 + 2 x +1 + x + 2 − 2 x +1 =

Bài t p 28: (ðH Th y S n – 2001) Gi i phương trình

x+5
. x = −1,3
2

6. H phương trình:
a) H phương trình g m m t phương trình b c nh t và m t phương trình b c hai:
- T phương trình b c nh t bi u di n m t n theo n còn l i.
- Th vào phương trình b c hai.
b) H phương trình đ i x ng lo i I: Là h phương trình khơng thay đ i khi thay x b i y và y b i x.
- ð t x + y = S , xy = P ñưa v h phương trình v i n là S, P.
- Gi i tìm S, P. Tìm x, y b ng vi c gi i phương trình t ng – tích X 2 − SX + P = 0.
c) H phương trình đ i x ng lo i II: Là h phương trình khi trao đ i vai trị c a x, y thì phương trình
này chuy n thành phương trình kia c a h .
- Tr t ng v c a hai phương trình đ có th đ t th a s chung và đưa v d ng phương trình tích.
- T phương trình tích s tính nghi m này theo nghi m kia và thay vào m t trong hai phương trình
đ u ñ suy ra k t qu .
Lưu ý:
- H phương trình đ i x ng lo i I có nghi m khi và ch khi S 2 − 4 P ≥ 0.
- N u h phương trình đ i x ng (lo i I & II) có nghi m ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là m t nghi m c a
h . Do đó đi u ki n đ h phương trình ñ i x ng có nghi m duy nh t là x0 = y0 .

 a1 x + b1 y = c1

d) H phương trình 
:
 a2 x + b2 y = c2
- Tính các đ nh th c: D =

a1

b1

a2

b2

, Dx =

c1

b1

c2

b2

, Dy =

a1

c1

a2

c2

.

Dx

x = D

- N u D ≠ 0 thì h phương trình có nghi m duy nh t tính theo 
 y = Dy .

D


D = 0 D = 0
thì h phương trình vơ nghi m.
∪
-N u 
 Dx ≠ 0  Dy ≠ 0
- N u D = Dx = Dy = 0 thì h phương trình có vơ s nghi m.

Bài t p 29: Gi i các h phương trình sau

7


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th

Chun đ LTðH – ð i S
 x + y + xy = 5
x = 1 x = 2
∪
a)  2

2
y = 2 y =1
 x + y = 5.

x − 2 y = 2x + y

b)  2
2
 y − 2 x = 2 y + x.

2

2

x = y = 0 ∪ x = y = −3

 x − my = 1
Bài t p 30: (TSCð – Kh i A, B, D – 2008) Tìm giá tr c a tham s m đ h phương trình 
có
mx + y = 3
nghi m ( x; y ) th a mãn xy p 0.
1 + 3m
3−m 


- Tính các đ nh th c & tìm đư c nghi m c a h là  x =
,y=
.
2
1+ m
1 + m2 

- T ñi u ki n xy p 0 th tr c ti p vào ta ñư c m p −1 3 ∪ m f 3.

 x2 + y 2 + x + y = 4

Bài t p 31: (D b 1 – Kh i A – TSðH 2005) Gi i h phương trình 
 x ( x + y + 1) + y ( y + 1) .

 x2 + y2 + x + y − 4 = 0
x2 + y2 + x + y − 4 = 0

- Hpt ⇔  2
⇔
2
 x + y + x + y + xy = 2
 xy = −2.

 x = 2, y = − 2 ∪ x = − 2, y = 2
S 2 − 2P + S − 4 = 0
x + y = S
 S = 0, P = −2
-ð t 
⇒
⇔

⇒
 xy = P
 S = −1, P = −2  x = 1, y = −2 ∪ x = −2, y = 1.
 P = −2
 x3 = 2 y + x + 2

Bài t p 32: (ðH Sài Gòn – Kh i A – 2007) Gi i h phương trình  3
 y = 2 x + y + 2.


 3
 3
x = 2 y + x + 2
x = 2 y + x + 2
- Ta có:  3
⇔
2
2
 y = 2x + y + 2


( x − y ) x + xy + y

(

)

 x3 = 2 y + x + 2

 x = y

⇔ 3
= −( x − y)

 x = 2 y + x + 2
  x 2 + xy + y 2 + 1 = 0



 x3 = 2 y + x + 2
 x = −1  x = 2
- Gi i h 
cho ta 
∪
 y = −1  y = 2.
x = y
 x3 = 2 y + x + 2

vô nghi m vì x 2 + xy + y 2 + 1 = 0 có ∆ = − ( 3 y 2 + 1) p 0 nên vô nghi m.
-H  2
2
 x + xy + y + 1 = 0


 x + y + xy = m
Bài t p 33: (Cð Kinh T ð i Ngo i – Kh i A, D) ð nh m đ h phương trình  2
vô nghi m.
2
 x y + xy = m − 1
x + y = S
-ð t 

thì h phương trình thành
 xy = P

S + P = m
S = 1
S = m − 1
⇔
∪

 SP = m − 1  P = m − 1  P = 1.

1 − 4 ( m − 1) p 0

⇔ 5 4 p m p 3.
- H vô nghi m ⇔ S 2 − 4 P p 0 ⇔ 
2
( m − 1) − 4 p 0


y2 + 2
3 y =
x2

Bài t p 34: (TSðH – Kh i B – 2003) Gi i h phương trình 
2
3 x = x + 2 .

y2

- Nh n xét: Do v ph i dương nên ñi u ki n c a x, y là x f 0, y f 0.

8


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th
Chun đ LTðH – ð i S
2
2

x − y = 0
3 yx = y + 2
- Hpt ⇔  2
⇒ ( x − y )( 3 xy + x + y ) = 0 ⇔ 
⇔ ... ⇔ x = y = 1.
2
3xy = x + 2
3 xy + x + y = 0


CÁC BÀI TOÁN TRONG ð TSðH & Cð
Bài t p 35: Gi i các phương trình sau:

a) (TSðH – Kh i D – 2006) 2 x − 1 + x 2 − 3 x + 1 = 0 ( x ∈ ¡ ) .

x = 1, x = 2 − 2
x = −1, x = 3

3 x + 7 − x + 1 = 2.

b) (Cð Tài Chánh – H i Quan – 2007)

x=3

c) (TSðH – Kh i D – 2005) 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4.

x=5

x + 4 + x − 4 = 2 x − 12 + 2 x 2 − 16.

d) (TSðH – Kh i A – 2002)

e) (D b 1 – Kh i B – TSðH 2005)

3 x − 3 − 5 − x = 2 x − 4.

x = 2, x = 4

f) (D b 1 – Kh i B – TSðH 2006)

3 x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2.

x=2

g) (D b 2 – Kh i D – TSðH 2006) x + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x 2 + 8 x − 7 + 1.

x = 4, x = 5

h) (ðH Sài Gòn – Kh i B – 2007) 3 x 2 − 5 x + 10 = 5 x − x 2 .

x = 2, x = 3

Bài t p 36: Gi i các b t phương trình

a) (Cð Kinh T TPHCM)

1≤ x ≤

x − 1 + x + 1 ≤ 4.

x 2 − 4 x f x − 3.

b) (Cð Bán Công Hoa Sen – Kh i D – 2007)
5x − 1 − x − 1 f

c) (TSðH – Kh i A – 2005)

(

2 x 2 − 16
d) (TSðH – Kh i A – 2004)

x −3

(

e) (TSðH – Kh i D – 2002) x 2 − 3 x
f) (D b 2 – Kh i B – TSðH 2005)
g) (D b 1 – Kh i D – TSðH 2005)

)

)+

2 x − 4.

x−3 f

7−x
.
x−3

xf
B = 0

A. B ≥ 0 ⇔   B f 0
 A ≥ 0


2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0.

8 x 2 − 6 x + 1 − 4 x + 1 ≤ 0.
2 x + 7 − 5 − x ≥ 3 x − 2.

h) (ðH Cao Th ng – 2007) Gi i b t phương trình
Bài t p 37: Gi i các h phương trình sau

5 x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − 2 x − x 2 .

65
16

9
2

2 ≤ x ≤ 10
x f 10 − 34

1
x ≤ − ∪ x ≥ 3∪ x = 2
2
1
1
x= ∪x≥
4
2
2
14
≤ x ≤ 1∪ ≤ x ≤ 5
3
3
x ≤ −3 ∪ x ≥ 1

 xy + x + y = x 2 − 2 y 2

a) (TSðH – Kh i D – 2008) 
( x, y ∈ ¡ ) .
x 2 y − y x −1 = 2x − 2 y


x = 5


y = 2

 x + y − xy = 3

b) (TSðH – Kh i A – 2006) 
.
 x +1 + y +1 = 4


x = 3

y = 3

3 x − y = x − y

c) (TSðH – Kh i B – 2002) 
 x + y = x + y + 2.


x = 1 x = 3 2
∪

y =1 y =1 2

9


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th

Chun đ LTðH – ð i S

 2x + y +1 − x + y = 1

d) (D b 2 – Kh i A – TSðH 2005) 
3 x + 2 y = 4.


x = 2

 y = −1


x y + y x = 6
e) (Cð Bán Công Hoa Sen – Kh i A – 2007) 
2
2
 x y + y x = 20.


x = 1 x = 4
∪

y = 4 y =1

5
 2
3
2

 x + y + x y + xy + xy = − 4

f) (TSðH – Kh i A – 2008) 
 x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = − 5 .


4

x = 3 5 4
x = 1

∪

 y = − 3 2  y = − 3 25 16


3
2 2
 4
 x + 2x y + x y = 2x + 9
g) (TSðH – Kh i B – 2008)  2
.
 x 2 xy = 6 x + 6


 x = −4

 y = −17 4

1

 1
x − = y −
x
y
h) (TSðH – Kh i A – 2003) 
2 y = x3 + 1.


x = 1
−1 ± 5
∪x= y=

2
y =1

 x2 + 1 + y ( y + x ) = 4 y

k) (D b 1 – Kh i A – TSðH 2006)  2
( x, y ∈ ¡ ) .
x + 1 ( y + x − 2) = y



 x = 1  x = −2
∪

y = 2 y = 5

(

l) (D b 2 – Kh

)
( x − y ) ( x

i B – TSðH 2006) 
( x + y ) ( x


)
( x, y ∈ ¡ ) .
) 25

2

+ y 2 = 13

2

− y2

 x 2 − xy + y 2 = 3 ( x − y )

x, y ∈ ¡ ) .
m) (D b 1 – Kh i D – TSðH 2006) 
2(
2
2
 x + xy + y = 7 ( x − y )


 x = 2  x = −2
∪

 y = 3  y = −3
 x = 0  x = 2  x = −1
∪
∪

 y = 0  y = 1  y = −2

7. Phương trình, b t phương trình mũ và lơgarit:
a) Phương trình mũ:
- D ng cơ b n: V i 0 p a ≠ 1 thì a

f ( x)

= b ⇔ f ( x ) = log a b.

- ðưa v cùng cơ s : V i 0 p a ≠ 1 thì a

f ( x)

= a g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) .

- ð t n ph : ð t t = aϕ ( x ) , t f 0. ðưa v phương trình n t đã bi t cách gi i.
- ðoán nghi m & ch ng minh nghi m đó là duy nh t: S d ng tính đơn ñi u c a hàm s mũ.
b) B t phương trình mũ:
f x
g x

- N u a f 1 thì a ( ) f a ( ) ⇔ f ( x ) f g ( x ) .
f x
g x
- N u 0 p a p 1 thì a ( ) f a ( ) ⇔ f ( x ) p g ( x ) .

 f ( x) f 0

c) Phương trình lơgarit: ði u ki n t n t i log a f ( x ) là 
0 p a ≠ 1.

- D ng cơ b n: V i 0 p a ≠ 1 thì log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b .
 f ( x) f 0 ∪ g ( x) f 0

- ðưa v cùng cơ s : V i 0 p a ≠ 1 thì log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ 
 f ( x) = g ( x).

- ð t n ph : ð t t = log a f ( x ) . ðưa v phương trình n t đã bi t cách gi i.

10


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th
Chun đ LTðH – ð i S
- ðoán nghi m & ch ng minh nghi m đó là duy nh t: S d ng tính đơn đi u c a hàm s lơgarit.
d) B t phương trình lơgarit:
g ( x) f 0

- N u a f 1 thì log a f ( x ) f log a g ( x ) ⇔ 
 f ( x) f g ( x).


 f ( x) f 0

- N u 0 p a p 1 thì log a f ( x ) f log a g ( x ) ⇔ 
 f ( x) p g ( x).


Bài t p 38: Gi i các phương trình sau
a) (ðH K Toán HN – 1999) 4 x +1 + 2 x + 4 = 2 x + 2 + 16.

t = 2x ⇒ x = 0

(

b) (ðHDL K Thu t Công Ngh - Kh i D – 1999) 2 − 3

) + (2 + 3)
x

(

t = 2− 3

= 4.

72 x
x
= 6. ( 0, 7 ) + 7.
100 x

x=2

(

lg 100 x 2

f) (ðH Bách Khoa HN – 1999) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3

HD: pt ⇔ 4.4

−6

lg x

− 18.9

lg x

4
= 0 ⇔ 4 
9

lg x

⇒ x = ±1

x

e) (ðH T ng H p – Kh i A – 1995) 3 − 4 = 5 .

lg x

x

t = ( 0, 7 ) ⇒ x = log 0,7 7

x
2

x

)

Chia hai v cho 16 x ⇒ x = 0, x = 1 2

c) (ðH C n Thơ – Kh i D – 1997) 3.16 x + 2.81x = 5.36 x
d) (ðH An Ninh – Kh i D, G – 2000)

x

6
− 
9

).

lg x

2
− 18 = 0 ⇔ 4.  

3

2lg x

2
− 
3

lg x

− 18 = 0 ⇒ x = 10−2.

g) ( ðHQG HN – Kh i D – 2000) 8.3x + 3.2 x = 24 + 6 x.

(

)

(

) (

)(

)

HD: pt ⇔ 8.3x + 3.2 x = 8.3 + 3x.2 x ⇔ 8 3x − 3 = 2 x. 3x − 3 ⇔ 3x − 3 2 x − 8 = 0 ⇒ x = 1, x = 3.
h) (B ñ TSðH) 3.25 x − 2 + ( 3 x − 10 ) .5 x − 2 + 3 − x = 0.

t = 5 x − 2 ⇒ x = 2, x = 2 − log 5 3

Bài t p 39: Gi i các phương trình sau
a) (ðHDL K Thu t Công Ngh - 1999) log 9 ( x + 8 ) − log 3 ( x + 26 ) + 2 = 0.

x = 1, x = 28

b) (ðH Hu - Kh i D – 1999) log 4 ( x + 2 ) .log x 2 = 1.

HD: pt ⇔

lg ( x + 2 ) lg 2
.
= 1 ⇔ lg ( x + 2 ) = 2 lg x = lg x 2 ⇔ x + 2 = x 2 ⇔ x = 2.
lg 4
lg x

c) (ðH An Giang – Kh i D – 2000) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2.
HD: pt ⇔

1
1
1

log 2 ( log 2 x ) + log 2  log 2 x  = 2 ⇔ log 2 ( log 2 x ) − 1 + log 2 ( log 2 x ) = 2 ⇔ ... ⇔ x = 16.
2
2
2


d) (ðH Bách Khoa HN – Kh i A – 2000) log 4 ( x + 2 ) + 2 = log

2

4 − x + log 8 ( 4 + x ) .
3

2

HD: pt ⇔ log 2 x + 2 + log 2 4 = log 2 ( 4 − x ) + log 2 ( 4 + x ) ⇔ log 2 ( 4 x + 2 ) = log 2 ( x 2 − 16 ) ⇔ x = 2, 2 − 2 6.

e) (ðH Hu - Kh i A – 2000) x + log 2 ( 9 − 2 x ) = 3.

(

HD: pt ⇔ log 2 9 − 2

x

) = log

2

2

3− x

⇔ 9−2 = 2
x

3− x

⇔ ... ⇔ x = 0, x = 3.

f) (ðHQG HN – Kh i B – 2000) log 5 x = log 7 ( x + 2 ) .
HD: pt ⇔

lg x lg ( x + 2 )
−
= 0. Ch ng minh x = 5 là nghi m duy nh t.
lg 5
lg 7
11

Nh r ng:
log a x 2 = 2 log a x , x ≠ 0


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th

Chun đ LTðH – ð i S
g) x1− lg x = 0, 01. (L y lôgarit cơ s 10 hai v r i dùng n ph t = lg x )

 1

1
h) log 5  5 x + 125  = log 5 6 + 1 + .
2x


Bài t p 40: Gi i các b t phương trình sau

a) (ðH GTVT – 1997) −2.4 x + 2 x +1 f 0.

xp 0

b) (ðH An Giang – Kh i D – 2000) ( 2,5 ) − 2. ( 0, 4 )
x

2

1

x +1

+ 1, 6 p 0.

t = ( 2,5 ) ⇒ ( 0, 4 ) = t −1 ⇒ x p −1
x

x

1

+1

 1 x
 1 x
c) (ðH Y Dư c TPHCM – 2001)   + 3   f 12.
3
3

 1 x
t =   ⇒ −1 p x p 0
3

d) (ðH Bách Khoa – 1995) log 2 ( x 2 + 3 x ) ≤ 2.

−4 ≤ x p −3 ∪ 0 p x ≤ 1

e) (ðHDL K Thu t Công Ngh - Kh i D – 2001) 2 log 3 ( x − 1) f log 3 ( 5 − x ) + 1.
xp

−1 − 57
−1 + 57
∪xf
2
2


31  

f) (ðHDL K Thu t Công Ngh - Kh i A, B – 2001) log 2  log 0,5  2 x −   ≤ 2.
16  



(

)

(

x ≥1

)

log 9 3 x 2 + 4 x + 2 + 1 f log 3 3 x 2 + 4 x + 2 .

g) (ðHSP TPHCM – Kh i A, B – 2000)

7
1
HD: ð t t = log 9 ( 3 x 2 + 4 x + 2 ) ⇒ − p x ≤ −1 ∪ − ≤ x p 1
3
3

 x 2 log x−1  
log 3 log 1  + 2 2  + 3

 3 2

 
2


1
≥ 1.
h) (ðH Tài Chánh K Toán HN – 2001)  
3
Bài t p 41: Gi i các h phương trình và b t phương trình sau

−1 + 73
−1 + 217
≤ xp
2
2

log x ( 6 x + 4 y ) = 2

a) (ðH ðà N ng – Kh i A – 2001) 
log y ( 6 y + 4 x ) = 2.


 x = 10

 y = 10

3.2 x − 2.3 y = −6

b)  x +1 y +1
2 − 3 = −19.


x = 2

y = 2

y
 x+ x
4 y = 32
c) (HV Công Ngh BCVT – 1999) 

log 3 ( x − y ) = 1 − log 3 ( x + y ) .


x = 2

y =1

32 x + 3 p 4.3 x


1
d) 
 1 x
2 x+ 2 f   .

4


0p xp 1

CÁC BÀI TOÁN TRONG ð TSðH & Cð
Bài t p 42: Gi i các phương trình sau

a) (TSðH – Kh i D – 2006) 2 x
b) (TSðH – Kh i B – 2007)

(

2

+x

− 4.2 x

2

−x

) (
x

2 −1 +

− 22 x + 4 = 0.

)

x

2 + 1 − 2 2 = 0.

c) (TSðH – Kh i A – 2006) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0.
12

x = 0, x = 1
x = ±1
x =1


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí

: Gv Bùi Sang Th
x = −1, x = 2

Chuyên ñ LTðH – ð i S
2
2
d) (TSðH – Kh i D – 2003) 2 x − x − 22+ x − x = 3.

e) (D b 2 – Kh i B – TSðH 2006) 9 x

2

+ x −1

− 10.3x

2

+ x−2

x = −1, x = −2

+ 1 = 0.

f) (D b 1 – Kh i D – TSðH 2006) 4 x − 2 x +1 + 2 ( 2 x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + 2 = 0.

(

)

g) (TSðH – Kh i D – 2007) log 2 4 x + 15.2 x + 27 + 2 log 2

1
log
2

h) (D b 2 – Kh i A – TSðH 2002)

2

( x + 3) +

x = 1, y = −

1
= 0.
4.2 x − 3

1
8
log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x ) .
4

x =1
3

x=

2

m) (TSCð – Kh i A, B, D – 2008) log

2
2

( x + 1) − 6 log 2

1 ± 17
2

x + 1 + 2 = 0. ( x = 1, x = 3 )

(

)

(

)

x = ln

n) (Cð Kinh T - Công Nghi p TPHCM – 2007) log 2 e x − 2 + log 1 e x − 3 = 2.
2

(

− 1 + k 2π

x = 2, x = 2 3

x + 1 − log 1 ( 3 − x ) − log8 ( x − 1) = 0.

2

2

x = log 2 3

k) (D b 1 – Kh i D – TSðH 2002) 16 log 27 x3 x − 3log 3 x x 2 = 0.
l) ) (D b 1 – Kh i B – TSðH 2006) log

π

)

10
3

o) (TSðH – Kh i A – 2008) log 2 x −1 2 x 2 + x − 1 + log x +1 ( 2 x − 1) = 4.

x = 2, x = 5 4

2
2
p) (TSðH – Kh i A – 2002) log3 x + log 3 x + 1 − 5 = 0.

x = 3±

2

q) (D b 1 – Kh i D – TSðH 2006) log 3 ( 3x − 1) log 3 ( x x +1 − 3) = 6.
r) (ðH Cao Th ng – 2007)

3

x = log 3 10, x = log 3

1 + log 3 x 1 + log 27 x
=
.
1 + log 9 x 1 + log 81 x

28
27

x = 1, x = 3−5

s) (Cð Công Nghi p Th c Ph m – 2000) log x (125 x ) .log 2 x = 1.
25

x = 5, x = 5−4

t) D b 2 – Kh i D – TSðH 2003) log 5 ( 5 x − 4 ) = 1 − x.

x =1

Bài t p 43: Gi i các b t phương trình sau
1

a) (D b 2 – Kh i A – TSðH 2004) 2 x 2

log 2 x

3

≥ 22

log 2 x

0 p x ≤ 2∪ x ≥ 4

.

2 x −1 + 4 x − 16
f 4.
x−2

b) (D b 1 – Kh i B – TSðH 2004)

x f 4∪ x p 2

c) (Cð Kinh T ð i Ngo i – 2000) 5.4 x + 2.25 x ≤ 7.10 x.

0 ≤ x ≤1

d) (D b 2 – Kh i A – TSðH 2003) 15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1.

x≤2

e) (D b 2 – Kh i D – TSðH 2005) 9
f) (ðH Sài Gòn – Kh i A – 2007) 8 x

2

x2 − 2 x

−x

1
− 2 
3

− 3.2 x

2

− x+2

2 x − x2

≤ 3.

− 16 ≤ 0.


x +x
g) (TSðH – Kh i B – 2008) log 0,7  log 6
 p 0.
x+4 


2

h) (TSðH – Kh i D – 2008) log 1
2

1− 2 ≤ x ≤ 1+ 2
−1 p x p 2
−4 p x p −3 ∪ x f 8

x 2 − 3x + 2
≥ 0.
x

2 − 2 ≤ x p 1∪ 2 p x ≤ 2 + 2

13


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th
3
p x≤3
4

Chun đ LTðH – ð i S

k) (TSðH – Kh i A – 2007) 2 log 3 ( 4 x − 3) + log 1 ( 2 x + 3) ≤ 2.
3

l) (TSðH – Kh i B – 2006) log 5 ( 4 + 144 ) − 4 log 5 2 p 1 + log 5 ( 2 x − 2 + 1) .
x

(

(

))
( 4 + 4 ) ≥ log ( 2

2p xp 4
log 9 73 p x ≤ 2

m) (TSðH – Kh i B – 2002) log x log 3 9 x − 27 ≤ 1.

− 3.2 x .

)

x≥2

o) (D b 2 – Kh i B – TSðH 2003) log 1 x + 2 log 1 ( x − 1) + log 2 6 ≤ 0.

x≥3

n) (D b 1 – Kh i A – TSðH 2002) log 1

x

2 x +1

1
2

2

2

4

)

(

p) (D b 1 – Kh i A – TSðH 2004) log π log 2 x + 2 x 2 − x  p 0.




4

x p −4 ∪ x f −1

q) (D b 1 – Kh i A – TSðH 2006) log x +1 ( −2 x ) f 2.

−2 + 3 p x p 0

r) (Cð GTVT III – Kh i A – 2007)

log 2 ( 2 x + 1)

log 2 x
≤
.
log 2 ( 2 x + 1)
log 2 x

0p x≤

1
∪xf 1
2

s) (ðH Xây D ng – 2007) log 2 ( 22 x −1 − 1) ≤ x − 1.

1
p x ≤1
2

t) (D b 1 – Kh i D – TSðH 2003) f / ( x ) ≤ 0 v i f ( x ) = x log x 2, 0 p x ≠ 1.

0 p x ≤ e, x ≠ 1

Bài t p 44: Gi i các h phương trình sau

 23 x = 5 y 2 − 4 y

a) (TSðH – Kh i D – 2002)  4 x + 2 x +1
= y.
 x
 2 +2

x = 0 x = 2
∪

y =1 y = 4

x − 4 y + 3 = 0

b) (D b 1 – Kh i B – TSðH 2002) 
 log 4 x − log 2 y = 0.


x = 1 x = 9
∪

y =1 y = 3

1

log 1 ( y − x ) − log 4 y = 1
c) (D b 1 – Kh i A – TSðH 2004)  4
 x 2 + y 2 = 25.


x = 3

y = 4

 x −1 + 2 − y = 1
x = 1 x = 2


∪
d) (TSðH – Kh i B – 2005) 

2
3
y =1 y = 2
3log 9 9 x − log 3 y = 3.

8. Phương pháp gi i tích tìm giá tr tham s đ phương trình, b t phương trình có nghi m:

( )

a) Áp d ng vào phương trình f ( x ) = m v i x ∈ K :

- Kh o sát s bi n thiên c a f ( x ) trên K đ tìm mi n giá tr T c a hàm s .
- Phương trình f ( x ) = m có nghi m x ∈ K ⇔ m ∈ T .
b) Áp d ng vào b t phương trình f ( x ) f m ( ≥ m , p m , ≤ m ) v i x ∈ K :

- Kh o sát s bi n thiên c a f ( x ) trên K đ tìm mi n giá tr T c a hàm s .
- N u hàm s ñ t giá tr l n nh t & giá tr nh nh t trên K thì:
•

f ( x ) f m có nghi m thu c K ⇔ Maxf ( x ) f m.

14


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th

Chun đ LTðH – ð i S
• f ( x ) f m th a v i m i x ∈ K ⇔ min f ( x ) f m.

•

f ( x ) p m có nghi m thu c K ⇔ min f ( x ) p m.

•

f ( x ) p m th a v i m i x ∈ K ⇔ Maxf ( x ) p m.
m ∈ [ −2;9]

Bài t p 45: ð nh m đ phương trình x3 − 3x = m có nghi m thu c đo n [ −2;3] .
Bài t p 46: (D b 1 – Kh i D – 2003) Cho hàm s y =

x2 + 5x + m2 + 6
(1) . Tìm m ñ hàm s (1) ñ ng bi n
x+3

trên kho ng (1; +∞ ) .
Hư ng d n:

- ð o hàm c a hàm s (1): y / =

x2 + 6 x + 9 − m2

( x + 3)

2

.

- Hàm s (1) ñ ng bi n trên (1; +∞ ) ⇔ ∀x f 1: y / ≥ 0 ⇔ ∀x f 1: x 2 + 6 x + 9 − m 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + 6 x + 9 ≥ m 2

⇔ min g ( x ) ≥ m 2 ⇔ 16 ≥ m 2 ⇔ −4 ≤ m ≤ 4, g ( x ) = x 2 + 6 x + 9.
(1;+∞ )

ng h p hàm s f ( x ) khơng có GTLN, GTNN ta có th làm như sau:
B1: Chưng ñi u ki n nh n m c a ñ bài.
B2: Ch n ra m t s c th cùng chi u v i m.
B3: L y ñáp s t hai bư c trên.

!: Trong trư

Bài t p 47: (ðH Y Dư c TPHCM - 1996) Tìm các s dương a đ b t phương trình

nghi m.
Hư ng d n:
- B t phương trình có nghĩa khi x ≥ 1.
- ð t f ( x ) = x − x − 1, x ≥ 1. Ta có f / ( x ) =

1
2 x

−

x − x − 1 f a có
0≤ap1

1
p 0, ∀x ≥ 1. ycbt ⇔ 0 ≤ a p 1.
2 x −1

Bài t p 48: (ðH Ki n Trúc TPHCM – 1994) Cho b t phương trình mx − x − 3 ≤ m + 1.

1
a) Gi i b t phương trình khi m = .
2

S = [3; 7 ]

b) ð nh m đ b t phương trình có nghi m.

m≤

3 +1
4

Hư ng d n:

- ð t t = x − 3 ≥ 0, b t phương trình thành mt 2 − t + 2m − 1 ≤ 0 ⇔ m ≤
- Ycbt ⇔ b t phương trình m ≤

t +1
, t ≥ 0.
t2 + 2

t +1
3 +1

t +1
có nghi m t ≥ 0 ⇔ m ≤ Maxg ( t ) ⇔ m ≤
, g (t ) = 2
2
t +2
2
t + 2.
t ≥0

Bài t p 49: (Cð GTVT – 1999) Tìm m đ b t phương trình 32 x +1 − ( m + 3) 3x − 2 ( m + 3) p 0.

m f −3

Bài t p 50: (ðH Y Dư c TPHCM – 1999) Xác ñ nh m ñ b t phương trình 4 x − m.2 x + m + 3 f 0 có nghi m.
m p −3 ∪ m ≥ 6
Bài t p 51: (ðH Ngo i Thương – 1994) Xác đ nh tham s m đ phương trình sau có nghi m

7 − x + 2 + x − 7 − x 2 + x = m.

15


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th

Chun đ LTðH – ð i S
- Phương trình xác đ nh khi −2 ≤ x ≤ 7.

- ð t t = 7− x + 2+ x ⇒ 7− x 2+ x =

t2 9
− .V i
2 2

5 ≤ t ≤ 3 2.

t2
9
9
+ t + = m, 5 ≤ t ≤ 3 2. ycbt ⇔ 3 2 − ≤ m ≤ 2 + 5.
2
2
2
Bài t p 52: (ðH GTVT TPHCM – 1999) Tìm t t c các giá tr c a tham s a đ phương trình sau có nghi m
- Phương trình đã cho thành −

duy nh t 1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 = a.
- ði u ki n có nghĩa c a phương trình −1 ≤ x ≤ 1.
- Nh n xét: N u phương trình có nghi m x0 thì − x0 cũng là m t nghi m c a phương trình. S duy nh t
nghi m cho ta x0 = − x0 ⇔ x0 = 0. Th vào phương trình ta đư c a = 3.
- Th a = 3 vào cho ta 1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 = 3. ð t t = 6 1 − x 2 ≥ 0 thì phương trình thành t 3 + 2t 2 = 3. Gi i
phương trình n t ta ñư c t = 1 ⇒ x = 0. V y a = 3 thì phương trình đã cho có nghi m duy nh t.
Bài t p 53: (Cð H i Quan – 1999) Tìm các giá tr c a tham s m đ phương trình sau có nghi m

m≥6

x + 4 x − 4 + x + x − 4 = 6.

CÁC BÀI TOÁN TRONG ð TSðH & Cð
Bài t p 54: (TSðH – Kh i A – 2008) Tìm các giá tr c a tham s m đ phương trình sau có đúng hai nghi m

th c phân bi t:

4

2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m (m ∈ ¡ ).

2

(

4

)

6+ 6 ≤m≤3

(

4

4+ 4

)

−1 p m ≤

Bài t p 55: (TSðH – Kh i A – 2007) Tìm m đ phương trình 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1.

1

3

Bài t p 56: (TSðH – Kh i B – 2007) Ch ng minh r ng v i m i giá tr dương c a tham s m, phương trình

x 2 + 2 x − 8 = m ( x − 2 ) có hai nghi m th c phân bi t.
Bài t p 57: (TSðH – Kh i B – 2006) Tìm m đ phương trình

x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 có hai nghi m th c phân
m≥

bi t.

9
2

Bài t p 58: (TSðH – Kh i B – 2004) Xác đ nh m đ phương trình sau có nghi m:

m

(

)

1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2

2 −1 ≤ m ≤ 1

5

Bài t p 59: (D b 2 – Kh i D – 2004) Cho phương trình x 2 +  m 2 −  x 2 + 4 + 2 − m3 = 0. Ch ng minh

3

r ng v i m i m ≥ 0 phương trình ln có nghi m.
Bài t p 60: (Cð GTVT III – Kh i A - 2007) Tìm giá tr c a tham s m đ phương trình sau có nghi m
dương:

−3 p m p

x2 − 4 x + 5 = m + 4 x − x2 .

Bài t p 61: (Cð Kinh T ð i Ngo i) ð nh m đ phương trình

5

x 2 − 2 x + 3 − m = 0 có nghi m.

Bài t p 62: (Cð Kinh T ð i Ngo i) ð nh m đ phương trình 2 x + 1 = x + m có nghi m th c.

m≥ 2
m≤2

2
2
Bài t p 63: (TSðH – Kh i A – 2002) Tìm m đ phương trình log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 có ít nh t m t

nghi m thu c ño n 1;3 3  .


9. Các bài toán v s ph c:

0≤m≤2

16


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th

Chun đ LTðH – ð i S
Bài t p 64: Tìm t p h p các ñi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s z th a mãn:

a) z + z + 3 = 5.

x = 1, x = −4

b) z − z + 1 − i = 2.

y = 1± 2 2 / 2

(

(

)

1
y = − x +1
2

)

1
5

( x − 1) +  y −  =

2
4


c) ( 2 − z ) i + z là s th c tùy ý.

(

2

d) ( 2 − z ) i + z là s

2

o tùy ý.

y = x2 4

e) 2 z − i = z − z + 2i .

()

f) z 2 − z

)

2

y=±

= 4.

1
x

g) 2 + z f z − 2 .

xf 0

h) 1 ≤ z + 1 − i ≤ 2.

1 ≤ ( x + 1) + ( y − 1) ≤ 4
2

Bài t p 65: Xét s ph c z =

i−m
.
1 − m ( m − 2i )

1
a) Tìm m đ z.z = .
2
1

b) Tìm m ñ z − i ≤ .
4

m = ±1

1
1
≤m≤
15
15
m =0⇒ z =i

−

c) Tìm s ph c z có mơđun l n nh t.
Hư ng d n:
−

a) z =

2

−
1
1
1
m
m2 + 1
−
⇒ z. z = ⇔

= ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1.
2
2
2
2
1+ m 1+ m
2
2
m +1

(

1
1
1
m
m
m2
m2
 1

⇔
+
− 1 i ≤ ⇔
−
i ≤ ⇔
4
1 + m2  1 + m2 
4
1 + m2 1 + m2

4
1 + m2

b) z − i ≤

c) z =

)

(

m2 + 1

(

)

m +1
2

2

=

1
m2 + 1

+

m4

) (1 + m )
2

2

2

≤

1
⇔ ...
4

. D th y Max z = 1 ⇔ m = 0.

Bài t p 66: Gi i các phương trình sau

(

(

b) z 2 + z

)

± 3 −i
2

)(

)

z = ±i,

+ 4 z 2 + z − 12 = 0.

(

)

z = 1, −2,

z2
+ z + 1 = 0.
2

z = 1 ± i,

a) ( z − i ) z 2 + 1 z 3 + i = 0.
2

c) z 4 − z 3 +

d) z 3 − 2 (1 + i ) z 2 + 3iz + 1 − i = 0.

−1 ± i 23
2

−1 ± i

2

z = 1, i, i + 1

Hư ng d n:

17


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th
Chun đ LTðH – ð i S
c) Do z = 0 không là nghi m c a phương trình nên chia hai v c a phương trình cho z ≠ 0 ta đư c:

1

2
1 1 1
1
1 1
1 ± 3i
t = z −


pt ⇔ z − z + + + 2 = 0 ⇔  z −  + 2 −  z −  + = 0 ⇔ 
.
⇒t =
z
z
z 2

2 z z
2


2t 2 − 2t + 5 = 0

2

1 + 3i
1 1 + 3i
−1 + i
⇒ z− =
⇔ 2 z 2 − (1 + 3i ) z − 2 = 0 ⇔ z = 1 + i, z =
.
2
z
2
2
1 − 3i
1 1 − 3i
−1 − i
-V i t=
⇒ z− =
⇔ 2 z 2 − (1 − 3i ) z − 2 = 0 ⇔ z = 1 − i, z =
.
2
z
2
2

-V i t=

d) Do 1 + ( −2 − 2i ) + ( 3i ) + (1 − i ) = 0 nên z = 1 là m t nghi m c a phương trình đã cho. Ta phân tích v trái

(

)

c a phương trình thành z 3 − 2 (1 + i ) z 2 + 3iz + 1 − i = ( z − 1) z 2 + α z + β (*) , v i α , β ∈ £ .

α − 1 = −2 − 2i
α = −2i − 1

Ta có (*) ⇔ z − 2 (1 + i ) z + 3iz + 1 − i = z + (α − 1) z + ( β − α ) z − β ⇔  β − α = 3i
⇔
 β = i − 1.
β = i − 1

3

2

3

2

 z −1 = 0
Khi đó pt ⇔  2
⇔ z = 1, z = 1 + i, z = i.
 z − ( 2i + 1) z + i − 1 = 0

 z1 + z2 = 4 + i

Bài t p 67: Gi i h phương trình  2
2
 z1 + z2 = 5 − 2i.


 z1 = 1 + 2i  z1 = 3 − i
∪

 z2 = 3 − i  z2 = 1 + 2i


 z1 + z2 = 4 + i
 z1 + z2 = 4 + i

 z1 + z2 = 4 + i
Hư ng d n:  2
Khi đó z1 , z2 là nghi m c a
⇔
⇔
2
2

 z1 z2 = 5 + 5i.
( z1 + z2 ) − 2 z1 z2 = 5 − 2i
 z1 + z2 = 5 − 2i


t = 1 + 2i  z1 = 1 + 2i  z1 = 3 − i

phương trình t 2 − ( 4 + i ) t + 5 + 5i = 0 ⇔ 
⇒
∪
t = 3 − i
 z2 = 3 − i  z2 = 1 + 2i.
Bài t p 68: Tìm s ph c z sao cho z + 1 có m t acgumen b ng

π
2

.

z = −1 + i

Hư ng d n:

- G i z = a + bi ⇒ z + 1 = ( a + 1) + bi.
a +1

=0
π
a

2
2
= cos

 ( a + 1) + b
 a = −1
π


2
nên  r
- Vì z + 1 có m t acgumen b ng
⇔
⇒
b
2
b = 1.
 b = sin π

=1
r
 a + 1 2 + b2
2

)
 (
1
1
Re ( z ) = −1, Im ( z ) = 0
Bài t p 69: Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z10 + 10 n u z + = 1.
z
z
Hư ng d n:

 1 + 3i
π
π
= cos + i sin

z =
1
2
3
3
- T z + = 1 ⇒ z2 − z +1 = 0 ⇒ 
 1 − 3i
z
 π
 π
= cos  −  + i sin  −  .
z =
2
 3
 3


18


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài li u – ð thi mi n phí
: Gv Bùi Sang Th

Chun đ LTðH – ð i S

- V i z = cos

π
3

+ i sin

π
3

10

1 
π
π
1
=  cos + i sin  +
= ... = −1.
10
10
z
3
3

π
π

 cos + i sin 
3
3


⇒ z10 +

1

 π
 π
- V i z = cos  −  + i sin  −  ⇒ z10 + 10 = −1.
z
 3
 3
- Ph n th c b ng – 1, ph n o b ng 0.
n

 3 − 3i 
Bài t p 70: Xét s ph c 
V i n b ng bao nhiêu thì s ph c này là s th c, s
 3 − 3i  .



Hư ng d n:

o.

π
π

 π
 π
2  cos − i sin  cos  −  + i sin  − 
 3 − 3i 
3 −i
6
6


 6
 6  = cos π + i sin π .
-
=
 3 − 3i  = 3 1 − 3i = 1 − 3i = 

π
π
6
6
 π
 π


2  cos − i sin  cos  −  + i sin  − 
3
3

 3
 3
n

n

3

(
(

3 −i

)
)

 3 − 3i 
nπ
nπ
-
 3 − 3i  = cos 6 + i sin 6 .




n

 3 − 3i 
-
là s th c khi n = 6k , là s
 3 − 3i 




19

o khi n = 6k + 3.