ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2012
Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B và Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề


I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số
23
(1).
1
x
y
x
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
(1

).
b)
Viết phương trình tiếp tuyến
d
của đồ thị hàm số biết rằng vuông góc với đường thẳng (1),
d
2.yx= +
Câu 2. (2,0 điểm)

a)
Giải phương trình
2cos2 sin sin3 .x xx+=

b)
Giải bất phương trình
23
log (2 ).log (3 ) 1.xx>
Câu 3. (1,0 điểm)
Tính tích phân
3
0
d.
1
x
Ix
x
=
+
∫

Câu 4. (1,0 điểm)
Cho khối chóp có đáy
.S ABC ABC
là tam giác vuông cân tại
,A
2ABa=
,
.SA SB SC= =

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Tính thể tích khối chóp và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp theo
.

SA
( )ABC
o
60 .
.S ABC
.S ABC
a
Câu 5. (1,0 điểm)
Giải phương trình
3
4(1)210(xxx x x+− + += ∈\).

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 6.a. (2,0 điểm)
a)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho đường tròn Oxy
22
(): 2 4 1 0Cx y x y+ −−+=
và đường thẳng
Tìm để cắt ( tại hai điểm :4 3 0.dx ym−+=
m
d
)C
, A B
sao cho

n
o
120 ,AIB =
với là tâm của
I
( ).C
b)
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng: Oxyz
1
:2 (
1
xt
dyt t
zt
=
⎧
⎪
=∈
⎨
⎪
=−
⎩
\), ).

2
12s
:22 (
x
dy ss
zs

=+
⎧
⎪
=+ ∈
⎨
⎪
=−
⎩
\
Chứng minh

và cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng

1
d
2
d
12
, .dd
Câu 7.a. (1,0 điểm)
Cho số phức thỏa mãn
z
2
(1 2 ) (3 ) .
1
i
iz iz
i
−
−− =−

+
Tìm tọa độ điểm biểu diễn của trong
mặt phẳng tọa độ
Ox

z
.
y
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 6.b. (2,0 điểm)
a)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác
Oxy
.ABC
Các đường thẳng
, ', ' 'BCBB BC
lần lượt có
phương trình là với 2 0, 2 0, 3 2 0;
yxyxy
−= −+= − +=
', 'B C
tương ứng là chân các đường cao kẻ từ
, B C
của tam giác
ABC
. Viết phương trình các đường thẳng
, .ABAC

b)
Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng

Oxyz
21
:
111
1
x yz
d
− ++
==
− −
và mặt phẳng
Đường thẳng
Δ
nằm trong vuông góc với tại giao điểm của và ( ():2 2 0.
Pxyz
+− = ( )
P
d d
).
P
Viết phương trình đường thẳng
.
Δ
Câu 7.b. (1,0 điểm)
Gọi là hai nghiệm phức của phương trình
12
, zz
2
2120zz i.
− ++ =

Tính
12
.zz+


Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
/>BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2012
Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B và Khối D

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
a) (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
23
(1).
1
x
y
x
+
=
+

• Tập xác định: R \ {−1}.

• Sự biến thiên:
- Đạo hàm:
2
1
',
(1)
y
x
'0y
−
=
+
,
<
∀x ≠ −1.
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ∞; −1) và (−1; + ∞).
0,25
- Giới hạn và tiệm cận: ; tiệm cận ngang
lim lim 2
xx
yy
→−∞ →+∞
==
2.y =

(1)
lim
x
y
−

→−
= −∞ và
(1)
lim
x
y
+
→−
= +∞; tiệm cận đứng
1.x =−
- Hàm số không có cực trị.
0,25
- Bảng biến thiên:





0,25
• Đồ thị:

0,25

1/4
b) (1,0 điểm)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1 biết rằng vuông góc với đường thẳng

d
),
d
2.yx=+
vuông góc với đường thẳng
d
yx=+2
⇔
có hệ số góc bằng
d 1.−

0,25
Hoành độ tiếp điểm là
0
x
:
0
0
2
0
0
0
1
'( ) 1 1

2
(1)
x
yx
x
x
=
⎡
−
=− ⇔ =− ⇔
⎢
= −
+
⎣

0,25
0
0x =
: Phương trình tiếp tuyến là
d
3.yx= −+
0,25
1
(2,0 điểm)
0
2x =−
: Phương trình tiếp tuyến là
d
1.yx= −−
0,25

a) (1,0 điểm)
Giải phương trình:
2cos2 sin sin3 .
x xx
+ =

2
(2,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với:
2cos2 sin sin3 0
xx x
+ −=2cos2 2cos2 sin 0
xxx
⇔ −=

0,25
+
∞
−
∞
2

2
y
'y


−

−

x
−
∞ −1 + ∞

3
2
−

3
O

x
y
-1
2


3
/>
2/4
cos2 0
sin 1
x
x
=
⎡
⎢
=

⎣
2cos2 (sin 1) 0
xx
⇔−=

⇔

0,25
cos2 0 .
42
x xk
π π
=⇔= +

0,25
sin 1 2 .
2
xxk
π
π
=⇔ = +

0,25
b)

(1,0 điểm)


Giải bất phương trình
( ) ( )

23
log 2 .log 3 1
xx
>
.
Điều kiện Bất phương trình tương đương với
0.x >

23
(1 log )(1 log ) 1
xx
++>
0,25
[]
22
232 2323
2
log log 6
(1 log )(1 log 2.log ) 1 log (log 2).log log 6 0
log 0
x
xxxx
x
<−
⎡
⇔+ + >⇔ + >⇔
⎢
>
⎣

0,25
22
1
log log 6 0 .
6
xx<− ⇔ < <

0,25
2
log 0 1
x x
>⇔>
. Tập nghiệm của bất phương trình đã cho:
()
1
0; 1; .
6
⎛⎞
∪+∞
⎜⎟
⎝⎠

0,25
Tính tích phân
3
0
d.
1
x
Ix

x
=
+
∫

Đặt
1x t+=
; d 2 d ; 0 1; 3 2.
xttx t x t
= =⇒= =⇒=

0,25
Ta có
2
2
1
2( 1)d .It=−
∫
t
0,25
Suy ra
2
3
1
2.
3
t
It
⎛⎞
=−

⎜⎟
⎝⎠

0,25
3
(1,0 điểm)

8
.
3
I =

0,25
Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông cân tại
.SABC ABC
,A
2
ABa
=
, Góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Tính thể tích khối chóp và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo

.SA SB SC==
)
SA
(
ABC
o
60 . .

S ABC
.
SABC
.a

Gọi là trung điểm của
H
BC

⇒

.
HA HB HC
= =

Kết hợp với giả thiết suy ra
SA SB SC
==
,SH BC⊥

.
SHA SHB SHC
∆ =∆ =∆


⇒
( )
SH ABC
⊥
và

n
o
60 .SAH =

0,25
4
(1,0 điểm)
ABC
∆
vuông cân tại
: A
22
ACABa BC a
== ⇒=
⇒
.
AHa
=

SHA
∆
vuông
:
o
tan60 3SH AH a==
⇒
3
.
11 3

32 3
S ABC
a
VABACSH==.

0,25
S
A
2a

H
o
60

2a

B
C
/>Gọi lần lượt là tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thuộc đường thẳng
thuộc mặt phẳng (
,OR
.
SABC O
⇒
SH
⇒
O
)
SBC
⇒

R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp
.
SBC
∆

0,25
Xét ta có
,SHA∆
o
2
sin 60
SH
SA a
= =
SBC
⇒∆
đều có độ dài cạnh bằng
a
2
o
22
.
3
2sin60
aa
R⇒= =
3
0,25

Giải phương trình
3
4(1)210(
xxx x x
+− + += ∈\
).
Điều kiện
1
2
x ≥−
. Phương trình đã cho tương đương với:
( )
3
3
(2)2 21 21(1xx x x+= + + + )

0,25
Xét hàm số
3
()
f tt
=+
t
trên . Với mọi
\
2
,'()3 10
tftt
∈ =+>\

.
0,25
⇒
()
f t
đồng biến trên . Do đó
\
(1) 2 2 1.
xx
⇔ =+

0,25
5
(1,0 điểm)
Giải phương trình trên được nghiệm
15
.
4
x
+
=

0,25
a) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường tròn
()
và
đường thẳng
,
Oxy
22

: 2 4 1 0
Cx y x y
+−−+=
:4 3 0.
dx ym
− +=
Tìm
m
để
d
ắt
(
tại hai điểm
,
c
)
C

A B
sao cho
n
o
120 ,
AI
ới
I
là
tâm của
(
C

B
=
v
).
Đường tròn ( có tâm bán kính )
C
(1;2),
I
2
R
=
.
0,25
Gọi là hình chiếu của trên khi đó:
H I
,d
n
oo
120 cos60 1.AIB IH IA= ⇔= =

0,25
Do đó
|2|
1
5
m −
=

0,25
7

3.
m
m
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣

0,25
b) (1,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng: ,
Oxyz
1
:2 (
1
xt
dyt t
zt
=
⎧
⎪
=∈
⎨
⎪
=−
⎩
\
), ).

2
12s
:22 (
x
dy ss
zs
=+
⎧
⎪
=+ ∈
⎨
⎪
=−
⎩
\
Chứng minh

và cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng
1
d
2
d
12
, .
dd
Xét hệ
()
12s
222s*
1

t
t
ts
=+
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
−=−
⎩
0,25
Giải hệ
(
được
)
*
1
0
t
s
=
⎧
⎨
=
⎩
cắt nhau.
⇒
12
,

dd
0,25
1
d
có VTCP
( )
1
1; 2; 1 ,u =−
JJG
có VTCP
2
d
( )
2
2;2; 1 .u = −
JJG
Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua
điểm và có một VTPT là
1
(0;0;1)I∈d
( )
12
[ , ] 0;1;2.uu = −−
G G

0,25
6.a
(2,0 điểm)
Phương trình mặt phẳng cần tìm: 2 2 0.
yz

+−=
0,25
Cho số phức thỏa mãn
z
2
(1 2 ) (3 ) .
1
i
iz iz
i
−
−− =−
+
Tìm tọa độ điểm biểu diễn của trong mặt phẳng tọa
độ
z
.
Oxy
7.a
(1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
2
(1 2 ) (3 )
1
i
iz iz
i
−
−−−=
+

0,25

3/4
/>
13
(2 )
2
i
iz
−
⇔−− =

0,25

17
10 10
zi⇔= +

0,25
Đ
iểm biểu diễn của là
z
17
;.
10 10
M
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

0,25


a) (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác Các đường thẳng ,
Oxy
.ABC
, ', ' 'BCBB BC
lần
lượt có phương trình là với 20, 20, 3 20;
yxyxy
−= −+= − +=
', 'B C
tương ứng là chân các đường
cao kẻ từ
, B C
của tam giác
ABC
. Viết phương trình các đường thẳng
, .ABAC

Tọa độ của điểm '
B
là nghiệm của hệ
20
,
320
xy
xy

−+=
⎧
⎨
− +=
⎩
giải hệ ta được
2
'( 2; 0)
0
x
B
y
=−
⎧
⇒−
⎨
=
⎩
Đường thẳng
AC
đi qua '
B
và vuông góc với '
BB
nên
AC
có phương trình 2 0.
xy
++=
0,25

Tọa độ của điểm
B
là nghiệm của hệ
20
,
20
xy
y
− +=
⎧
⎨
−=
⎩
giải hệ ta được
0
(0;2).
2
x
B
y
=
⎧
⇒
⎨
=
⎩
Tọa độ của điểm là nghiệm của hệ
C
20
,

20
xy
y
+ +=
⎧
⎨
−=
⎩
giải hệ ta được
4
(4;2).
2
x
C
y
=−
⎧
⇒−
⎨
=
⎩
0,25
'(3 2; ) ' ',
Ct t BC
−∈
từ
''BCCC⊥
suy ra
42
'( ; )

55
C −
hoặc '( 2;0).
C
−

Nếu
42
'( ; )
55
C −
thì đường thẳng có phương trình là
AB
2 2 0.
xy
− +=

0,25
Nếu thì đường thẳng có phương trình là '( 2;0)
C
−
AB
2 0.
xy
− +=

0,25
b) (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng
,
Oxyz

21
:
111
1
x yz
d
−++
==
−−
và mặt
phẳng Đường thẳng
():2 2 0.
Pxyz
+− = ∆
nằm trong vuông góc với tại giao điểm của
d
và
Viết phương trình đường thẳng
()
P
d
().
P
.
∆

Gọi là giao điểm của
d
và ( ;
I

)
P
(1; 2;0)
I
−
.
0,25
()
P
có một VTPT là (2;1; 2)
P
n
=−
JJG
, có một VTCP là
d
( 1; 1;1)
d
u
=− −
JJG
.
0,25
[ . nằm trong vuông góc với
d

⇒
, ](1;0;1)
Pd
nu

=− −
JJG JJG
∆
( )
P
∆
có một VTCP là [ ; ]
P d
unu
∆
=
JJG JJG JJJG
.
0,25
6.b
(2,0 điểm)
Phương trình đường thẳng
1
:2(
xt
yt
zt
=−
⎧
⎪
∆=− ∈
⎨
⎪
=−
⎩

\).
0,25


Gọi là 2 nghiệm phức của phương trình
12
,zz
2
2120zz i− ++ =
. Tính
12
.
zz
+

Phương trình đã cho tương đương với
22
(1)(1) 0
zi
− −− =

0,25
( )( 2 ) 0
ziz i
⇔− −+=
0,25


2
zi

zi
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣
0,25
7.b
(1,0 điểm)

12
|| |2 |1 5.zzi i+=+−=+

0,25

HẾT

4/4
/>