Câu hỏi trắc nghiệm cực trị trong hình học không gian

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. Câu 111. Cho hình chóp S . ABC có SA  a , SB  a 2 , SC  a 3 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. A. Vmax  a 3 6.. B. Vmax . a3 6 . 2. C. Vmax . a3 6 . 3. D. Vmax . a3 6 . 6. Câu 112. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài đường chéo AC '  18. Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất Smax của S . A. Smax  36 3.. B. Smax  18 3.. C. Smax  18.. D. Smax  36.. Câu 113. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  4 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  và SC  6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 40 80 B. Vmax  . A. Vmax  . 3 3. C. Vmax . 20 . 3. D. Vmax  24.. Câu 114. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA  SB  SC  1 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.. 1 A. Vmax  . 6. B. Vmax . 2 . 12. C. Vmax . 3 . 12. D. Vmax . 1 . 12. Câu 115. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD  4 . Các cạnh bên bằng nhau và bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. A. Vmax . 130 . 3. B. Vmax . 128 . 3. C. Vmax . 125 . 3. D. Vmax . 250 . 3. Câu 116. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng 1;. SO vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  và SC  1 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 2 3 A. Vmax  . 9. B. Vmax . 2 3 . 3. C. Vmax . 2 3 . 27. D. Vmax . 4 3 . 27. Câu 117. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD  4 a . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 8a 3 A. Vmax  . 3. B. Vmax . 4 6 3 a . 3. C. Vmax  8a 3 .. D. Vmax  4 6 a 3 .. Câu 118. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , AB  2 . Cạnh bên SA  1 và vuông góc với mặt phẳng đáy  ABC . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 1 A. Vmax  . 3. 1 B. Vmax  . 4. C. Vmax . 1 . 12. 1 D. Vmax  . 6.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Câu 119. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh bên. SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABC . Biết SC  1, tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 3 . A. Vmax  12. B. Vmax . 2 . 12. C. Vmax . 2 3 . 27. 3 . 27. D. Vmax . Câu 120. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB  1. Các cạnh bên SA  SB  SC  2. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.. 5 A. Vmax  . 8. 5 B. Vmax  . 4. 2 C. Vmax  . 3. 4 D. Vmax  . 3. Câu 121. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA  y  y  0 và vuông góc với mặt đáy  ABCD  . Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt. AM  x 0  x  a  . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S . ABCM , biết x 2  y2  a2. A. Vmax . a3 3 a3 3 . B. Vmax  . 3 8. C. Vmax . a3 3 . 24. D. Vmax . 3a 3 3 . 8. Câu 122. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  4, SC  6 và mặt bên SAD  là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. A. Vmax . 40 . 3. B. Vmax  40.. C. Vmax  80.. Câu 123. Cho hình chóp S . ABC có SA  x. D. Vmax . 80 . 3. 0  x  3  , tất cả các cạnh còn lại đều. bằng 1 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.. 1 A. Vmax  . 4. 1 B. Vmax  . 8. C. Vmax . 1 . 12. D. Vmax . 1 . 16. Câu 124. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB  x và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. B. x  6. C. x  2 3. D. x  14. A. x  3 2. Câu 125. Trên ba tia Ox , Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm. A, B, C sao cho OA  a, OB  b, OC  c . Giả sử A cố định còn B, C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA  OB  OC . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối tứ diện OABC . A. Vmax . a3 . 6. B. Vmax . a3 . 8. C. Vmax . a3 . 24. D. Vmax . a3 . 32. Câu 126. Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh BC  a, SB  b, SC  c . Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho. A. Vmax . abc 2 abc 2 . B. Vmax  . 4 8. C. Vmax . abc 2 . 12. D. Vmax . abc 2 . 24. Câu 127. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA  a và vuông góc với mặt đáy  ABCD . Trên SB, SD lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SN SM  n  0. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S . AMN biết  m  0, SD SB 2m 2  3n 2  1. A. Vmax . a3 . 6. B. Vmax . a3 6 . 72. C. Vmax . a3 3 . 24. D. Vmax . a3 . 48. Câu 128. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là một hình vuông. Biết tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 32. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp đã cho. 56 3 80 3 A. Vmax  . . B. Vmax  9 9. C. Vmax . 70 3 . 9. D. Vmax . 64 3 . 9. Câu 129. Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều. Khi diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu? B. 3 V . C. 3 2V . D. 3 6V . A. 3 4V .. . . Câu 130. Cho hình chóp S . ABCD có SA  x 0  x  3 , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1 . Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S . ABCD lớn nhất? A. x . 3 . 3. B. x . 2 . 2. C. x . 6 . 2. D. x . 3 . 2. Câu 131. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  bằng 3 . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC  và  ABC  , tính cos  khi thể tích khối chóp S . ABC nhỏ nhất.. 1 A. cos   . 3. B. cos  . 3 . 3. C. cos  . 2 . 2. 2 D. cos   . 3. Câu 132. Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ   SCB   90 0. Xác định độ dài cạnh AB để A đến mặt phẳng SBC  bằng a 2, SAB khối chóp S . ABC có thể tích nhỏ nhất.. a 10 . B. AB  a 3. C. AB  2a. D. AB  3a 5. 2 Câu 133. Cho tam giác OAB đều cạnh a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB  lấy điểm M sao cho OM  x . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu A. AB . vuông góc của A trên MB và OB . Gọi N là giao điểm của EF và d . Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất.. a 6 a 3 a 2 C. x  D. x  . . . 12 2 2 Câu 134. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , AC  2 . Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng  ABC  lấy các điểm M , N khác phía so với mặt phẳng A. x  a 2.. B. x .  ABC  sao cho AM .AN  1 . Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện MNBC . 1 A. Vmin  . 3. 1 B. Vmin  . 6. C. Vmin . 1 . 12. 2 D. Vmin  . 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu 135. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , SA  AB  2. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABC  . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S . AHK . A. Vmax . 2 . 6. B. Vmax . 3 . 6. C. Vmax . 3 . 3. D. Vmax . 2 . 3. Câu 136. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A B C D  có AB  x , AD  3, góc giữa đường thẳng A C và mặt phẳng  ABB A  bằng 30 0. Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất. 3 6 3 15 . A. x  B. x  . 2 5. C. x . 3 3 . 2. D. x . 3 5 . 5. Câu 137. Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho. A. Vmax  16 2.. B. Vmax  12.. C. Vmax  8 2.. D. Vmax  6 6.. Câu 138*. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c . Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi S là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất Smax của S . A. Smax . 1 . 10. B. Smax . 16 . 5. C. Smax . 32 . 5. D. Smax . 48 . 5. Câu 139*. Cho hình chóp S . ABC có SA  1, SB  2, SC  3 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Mặt phẳng   đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M , N , P . Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức T . 2 A. Tmin  . 7. 3 B. Tmin  . 7. C. Tmin . 18 . 7. 1 1 1   2 . 2 2 SM SN SP D. Tmin  6.. Câu 140*. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V . Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN  2 NB ; mặt phẳng   di động qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K , Q . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S .MNKQ . A. Vmax . V . 2. B. Vmax . V . 3. C. Vmax . 3V . 4. D. Vmax . 2V . 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. Câu 111. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SBC    AH  SBC . Ta có  AH  AS .. A. Dấu ''  '' xảy ra khi AS  SBC  .. 1   1 SB.SC . SSBC  SB.SC .sin BSC 2 2 S Dấu ''  '' xảy ra khi SB  SC .  1 1 1 1 Khi đó V  SSBC . AH   SB  SC  AS  SA.SB.SC .    3 3 2 6 . B H. Dấu ''  '' xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau.. C. a3 6 1 Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là Vmax  SA.SB.SC  . Chọn D. 6 6 Câu 112. Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật. Khi đó S tp  2 ab  bc  ca . Theo giả thiết ta có a 2  b 2  c 2  AC '2  18. Từ bất đẳng thức a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca , suy ra S tp  2 ab  bc  ca   2.18  36. Dấu ''  '' xảy ra  a  b  c  6. Chọn D. Câu 113. Đặt cạnh BC  x  0. Tam giác vuông ABC , có AC 2  16  x 2 .. S. Tam giác vuông SAC , có SA  SC 2  AC 2  20  x 2 . Diện tích hình chữ nhật S ABCD  AB.BC  4 x . Thể tích khối chóp VS . ABCD. 6. 1 4  S ABCD .SA  x 20  x 2 . 3 3. A. 4. B. Áp dụng BĐT Côsi, ta có. x . 20  x 2 . x2 . . 20  x 2 2. . x. 2. C. D.  10 .. 4 40 Suy ra VS . ABCD  .10  . 3 3 Dấu "  " xảy ra  x  20  x 2  x  10 . Vậy Vmax  Cách 2. Xét hàm số f  x  . 40 . Chọn A. 3. 4 x 20  x 2 trên 0;2 5 . 3. . . Câu 114. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC . Vì S . ABC là hình chóp đều  SO   ABC  . Đặt AB  x  0. Diện tích tam giác đều SABC . x2 3 . 4. S. A. C O. M.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Gọi M là trung điểm BC  AM . x 3 x 3 2  OA  AM  . 2 3 3. Tam giác vuông SOA, có SO  SA 2  OA 2  1 . x2 . 3. 1 1 x2 3 3 x2 1 Khi đó VS . ABC  SABC .SO  .  .x 2 3  x 2 . 3 3 4 12 3 1 2 Xét hàm f  x   .x 3  x 2 trên 0; 3 , ta được max f  x   f 12 0; 3 . . Cách 2. Ta có x 2 3  x 2 . 1 2. . x 2 . x 2 . 6  2 x 2  .  2   16 . Chọn A. 3. 2 2  2  x  x  6  2 x   2.  3 2 . 1. Câu 115. Gọi O  AC  BD. Vì SA  SB  SC  SD suy ra hình chiếu của S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  SO   ABCD . Đặt AB  x  0. Tam giác vuông ABC , có. S. AC  AB 2  BC 2  x 2  16. Tam giác vuông SOA, có. 6. SO  SA 2  AO 2  SA 2 . 2. 2. AC 128  x .  4 2. 1 1 128  x Khi đó VS . ABCD  S ABCD .SO  .4 x . 3 3 2 1 1 128  . 2 x 128  x 2  . x 2  128  x 2   . 3 3 3. . . x. B. 2. O C. Dấu ''  '' xảy ra x  128  x 2  x  8. Suy ra VS . ABCD . A 4. D. 128 . Chọn B. 3. Câu 116. Đặt OA  OC  x . Tam giác vuông AOD, có. S. OD  AD 2  OA 2  1  x 2 . Suy ra BD  2 1  x 2 .. 1. Diện tích hình thoi S ABCD  OA.BD  2 x 1  x 2 . Tam giác vuông SOC , có 2. A. B 2. 2. SO  SC  OC  1  x . 1 Thể tích khối chóp VS . ABCD  S ABCD .SO 3 1 2  .2 x 1  x 2 . 1  x 2  x 1  x 2 . 3 3. O C.  1  2 Xét hàm f  x   x 1  x 2  trên 0;1 , ta được max f  x   f    .  3  3 3 0;1 Suy ra Vmax . 4 3 . Chọn D. 27. Cách 2. Áp dụng BDT Côsi, ta có. x D. 1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2 x 1  x 2  3. . 2 2 x 2 1  x 2 1  x 2  3. 2  3. 3. 2 2  2  2 x  1  x  1  x   4 3 .   3 27 . Câu 117. Do SA  SB  SC  SD  a 6 nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABCD  trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Gọi H  AC  BD , suy ra SH   ABCD  . Đặt AB  x  0. Ta có 2. S 2. 2. 2. AC  AD  AB  x  16a . Tam giác vuông SHA, có. AC 2 8a 2  x 2 .  4 2 1 1  S ABCD .SH  AB. AD.SH 3 3. Khi đó VS . ABCD. D. A. SH  SA 2 . H. B. C. a a 1 8a 2  x 2 8a 3  .x .4 a.  2 x 8a 2  x 2   x 2  8a 2  x 2   . Chọn A. 3 2 3 3 3. . . Câu 118. Đặt AC  x  0.. S. Suy ra CB  AB  CA  4  x . 2. 2. 2. 1 x 4 x2 AC .CB  . 2 2 1 1 Khi đó VS . ABC  SABC .SA  x 4  x 2 3 6 2 2 1  x  4  x  1   . Chọn A.    3 6  2 Diện tích tam giác SABC . . C. Câu 119. Giả sử CA  CB  x  0.. S. Suy ra SA  SC 2  AC 2  1  x 2 . 1 1 Diện tích tam giác SABC  CA.CB  x 2 . 2 2 1 1 2 Khi đó VS . ABC  SABC .SA  x 1  x 2 . 3 6 Xét hàm f  x   Cách 2. Ta có x. 1 2 x 1 x 2 6 2. 2. 1 x . B. A. . 1. A. B x. x. C  2  3 trên 0;1 , ta được max f  x   f    . Chọn D. 0;1  3  27. 1 2. 3.  x 2  x 2  2  2 x 2  2 3    . x . x . 2  2 x     3 9  2  2. 2. 2. 1. Câu 120. Gọi I là trung điểm của BC . Suy ra IA  IB  IC   I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Theo giả thiết, ta có SA  SB  SC suy ra I là hình chiếu của S trên mặt phẳng  ABC    SI   ABC ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Đặt AC  x  0. Suy ra BC  AB 2  AC 2  x 2  1.. 15  x 2 Tam giác vuông SBI , có SI  SB 2  BI 2  . 2 x 1 Diện tích tam giác vuông SABC  AB. AC  . 2 2 1 1 x 15  x 2 Khi đó VS . ABC  SABC .SI  . . 3 3 2 2 2 2 1 1 x  15  x 5   . Chọn A. x 15  x 2  . 12 12 2 8. . S. C. B I. . A. Câu 121. Từ x 2  y 2  a 2  y  a 2  x 2 .  BC  AM   a  x  Diện tích mặt đáy S ABCM   . AB    a.    2  2 Thể tích khối chóp VS . ABCM. S. 1  S ABCM .SA 3. x. a 1  a  x  2  . .a  a  x 2  a  x  a 2  x 2 .   3  2 6. y A. a. B a. M C. D.  a  3 3a 2 Xét hàm f  x   a  x  a 2  x 2 trên 0;a  , ta được max f  x   f    .  2  0;a  4 Suy ra Vmax . a3 3 . Chọn B. 8. Câu 122. Gọi H là trung điểm của AD  SH  AD. Mà SAD    ABCD   SH   ABCD .. S. Giả sử AD  x  0 . Suy ra HC  HD 2  CD 2 . x2  16. 4. Tam giác vuông SHC , có SH  SC 2  HC 2  20  Khi đó VS . ABCD. A. x2 . 4. 1 1  S ABCD .SH  AB. AD.SH 3 3. B. H C. D. x2 1 1 1 80  .4.x 20   2 x 80  x 2   x 2  80  x 2   . Chọn D. 3 4 3 3 3. . . Câu 123. Ta có tam giác ABC và SBC là những tam giác đều cạnh bằng 1 . Gọi N là trung điểm BC . Trong tam giác SAN , kẻ SH  AN . 1 Ta có ●.  SN  SN là đường cao của tam giác đều SBC . ●. BC  AN     BC  SAN    BC  SH .    BC  SN. 3 . 2. 2 .

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Từ 1 và 2 , suy ra SH   ABC  .. S. Diện tích tam giác đều ABC là SABC . 3 . 4. x. 1 Khi đó VS . ABC  SABC .SH 3. C. A. 1 1 3 3 1  SABC .SN  . .  . 3 3 4 2 8. H. Dấu ''  '' xảy ra  H  N . Chọn B.. N. B. Câu 124. Hình vẽ. Cách làm tương tự như bài trên. Tam giác BCD đều cạnh bằng 2 3  BN  3. VABCD lớn nhất H  N . Khi đó ANB vuông.. A x C. B. Trong tam giác vuông cân ANB , có. AB  BN 2  3. 2.. H. Chọn A.. N. D Câu 125. Từ giả thiết ta có a  b  c . Do OA, OB, OC vuông góc từng đôi nên VOABC . 2. a3 1 1 1  b  c   abc  a.bc   a. .  6 6 6  2  24. a Dấu ''  '' xảy ra  b  c  . Chọn C. 2  x 2  y 2  a 2  2 2 2 Câu 126. Đặt AB  x , AC  y, AS  z . Ta có  x  z  b .  2 2 2  y  z  c 2 xy 2 yz 2 zx  xyz Khi đó V   V 2  6 288 . x. 2. y. 2.  y. 2. z. 2.  z. 2. x. 2. . 288. . S. Mặt khác mn . 6. . a S M. N. mna 3 . 6. 2.m. 3.n. C. B. a3 . 6. VS . AMN SM SN .   mn VS . ABD SB SD.  VS . AMN  mnV . S . ABD . y x. Dấu ''  '' xảy ra khi x  y  z   a  b  c . Chọn D.. Ta có. b. A. a2b 2 c 2 abc 2  V  . 288 24. Câu 127. Thể tích khối chóp S . ABD là VS . ABD . c. z. B A. 2m 2  3n 2 2 6. . 1 2 6. .. D. C.  2m  3n 1 1 a3 6 Dấu ''  '' xảy ra   Suy ra . Chọn B.    m ; n . V   2 S AMN . 2m  3n 2  1 2 72 6 . Câu 128. Đặt a là độ dài cạnh của hình vuông đáy, b là chiều cao của khối hộp với a, b  0..

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  1 16 Theo giả thiết ta có 2a 2  4 ab  32  2a a  2b   32  a a  2b   16  b    a .   2 a Do b  0  . 16  a  0  a  4. a.  1 16 1 Khi đó thể tích của khối hộp V  a 2 .   a    a 3  8a .   2 a 2 1 Xét hàm f a    a 3  8a trên 0;4  , ta được max f a   0;4  2.  4  64 3 . f     3  9. Chọn D. Câu 129. Gọi h  0 là chiều cao lăng trụ; a  0 là độ dài cạnh đáy. Theo giả thiết ta có V  Sday .h . 4V a2 3 . .h  h  2 4 a 3. Diện tích toàn phần của lăng trụ: S tp  S2 day  S xung quanh  Áp dụng BĐT Côsi, ta có S toan phan . . 4V a2 3 .  3a. 2 2 a 3. a 2 3 4 3V  2 a. a 2 3 2 3V 2 3V a 2 2 2 3V 2 3V . .    33  3 3 6 2V 2 2 2 a a a a. Dấu ''  '' xảy ra khi . a 2 3 2 3V 2 3V    a  3 4V . Chọn A. 2 a a. Câu 130. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD  OA  OC .. 1. Theo bài ra, ta có SBD  CBD  OS  OC .. 2 . Từ 1 và 2 , ta có OS  OA  OC  Suy ra OA . 1 AC  SAC vuông tại S  AC  x 2  1 . 2. x 2 1 3 x2 và OB  AB 2  OA 2  . 2 2 S. A. B H C Diện tích hình thoi S ABCD  2.OA.OB . O D.  x 2  13  x 2 . . 2 Ta có SB  SC  SD  1 , suy ra hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD   H  AC . SA.SC x Trong tam giác vuông SAC , ta có SH   . 2 2 2 SA  SC x 1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Khi đó VS . ABCD. 1  3.  x 2  13  x 2  2. .. x x 2 1. . 1 1  x 2  3  x 2  1   . x 3  x 2  .  4 6 6  2. 6 1 . Chọn C. Suy ra VS . ABCD  . Dấu ''  '' xảy ra  x  3  x 2  x  2 4 Câu 131. Gọi M là trung điểm của BC , kẻ AH  SM  H  SM . 1 Tam giác ABC cân suy ra BC  AM . Mà SA   ABC   SA  BC . Suy ra BC  SAM   AH  BC .. 2 . Từ 1 và 2 , suy ra AH  SBC  nên d  A, SBC   AH  3. S 3 Tam giác vuông AMH , có AM  . sin  3 Tam giác vuông SAM , có SA  AM .tan   . cos  Tam giác vuông cân ABC , BC  2 AM . A 1 9 9 Diện tích tam giác SABC  BC . AM  AM 2   . 2 sin 2  1  cos 2  1 9 Khi đó V  SABC .SA  . 2 3 1 cos .cos . H. Xét hàm f  x   1  cos 2 x .cos x , ta được f  x  . 2 3 3. . Suy ra V . C M B. 27 3 . 2. 3 . Chọn B. 3 1 Cách 2. Đặt AB  AC  x ; SA  y . Khi đó VS . ABC  x 2 y. 6. Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi cos  . Vì AB, AC , AS đôi một vuông góc nên Suy ra x 2 y  81 3  VSABC . 1 1 1 1 1 1  2  2  2  2  33 4 2 .   9 d  A, SBC  x x y x y. 1 2 27 3 x y . 6 2. Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y  3 3   cos  . 3 . 3. Câu 132. Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình vuông.  AB  AD Ta có    AB  SAD    AB  SD .   90 0  AB  SA SAB  Tương tự, ta cũng có BC  SD . Từ đó suy ra SD   ABDC  ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Kẻ DH  SC  H  SC    DH  SBC .. S. Khi đó d  A, SBC   d  D, SBC   DH . Đặt AB  x  0. Trong tam giác vuông SDC , có 1 1 1 1 1 1      2. 2 2 2 2 2 DH SD DC SD x a 2. . Suy ra SD . ax 2 x 2  2a 2. H. .. C. D. . A. B. a 2 x3 1 1 ax 3 2 Thể tích khối chóp VS . ABC  VS . ABCD  .  . . 2 6 x 2  2a 2 6 x 2  2a 2 Xét hàm f  x  . x3 2. x  2a. 2. . . . . trên a 2;  , ta được min f  x   f a 3  3 3a 2 . a. 2 ;. . Chọn B.. a Câu 133. Do tam giác OAB đều cạnh a  F là trung điểm OB  OF  . 2  AF  OB M Ta có   AF   MOB   AF  MB.  AF  MO. Mặt khác, MB  AE . Suy ra MB   AEF   MB  EF .. Suy ra OBM ∽ ONF nên OB ON OB.OF a2 .   ON   OM OF OM 2x Ta có VABMN  VABOM VABON. O F. 1 a 2 3  a2  a3 6 .  SOAB OM  ON    x    3 12  2 x  12 Đẳng thức xảy ra khi x . A. E. B. N. a2 a 2 . Chọn B. x 2x 2. Câu 134. Đặt AM  x , AN  y suy ra AM . AN  x . y  1. Tam giác vuông ABC , có AB  BC  Diện tích tam giác vuông SABC . AC 2.  2.. M. AB 2  1. 2. 1 Ta có VMNBC  VM . ABC VN . ABC  SABC . AM  AN  3 1 1 2 Cosi   x  y     .2 xy  . 3 3 3 Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y  1 . Chọn D.. A. N. C. B.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Câu 135. Đặt AC  x 0  x  2.. S. Tam giác vuông ABC , có BC  AB  AC  4  x . 2. 2. 2. Tam giác SAB cân tại A , có đường cao AH suy ra H SH 1 là trung điểm của SB nên  . SB 2 Tam giác vuông SAC , có. K. A. H. SK SA 2 4   . 2 SC SC 4  x2 SH SK 1 4 2   . 2  2 . SB SC 2 x 4 x 4. C. SA 2  SK .SC  Ta có. VS . AHK VS . ABC.   VS . AHK . B. 1  2 x 4 x2 2 2   . . . V S SA    ABC S . ABC   3 . x 2  4 . x2  4 x 2  4  3. 2 x 4 x2 trên 0;2 , ta được max f  x   Xét hàm f  x   . 2 0;2 3 x 4.  2  2 f    . Chọn A.  3  6. Câu 136. Vì ABCD. A B C D  là hình hộp chữ nhật suy ra BC   ABB A . Khi đó A B là hình chiếu của A C trên mặt phẳng  ABB A ..   C ,  ABB A    B . Suy ra 30 0  A A C , A B   CA Đặt BB   h h  0. D'. C' B'. A'. h C. D 3 A. x. B. Tam giác vuông A B B, có A B  A B  2  BB  2  x 2  h 2 . 3 BC  B  Tam giác vuông A BC , có tan CA  tan 30 0   x 2  h 2  27. 2 2  AB x h Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A B C D  là V  BB .S ABCD  3 xh..  x 2  h 2  27 81 81   3.  Áp dụng BĐT Côsi, ta có 3 xh  3   Vmax  . 2 2 2  2   x  h  0 27 3 6 Dấu "  " xảy ra    x2  x . Chọn B.  2  x  h 2  27 2 2 Câu 137. Giả sử a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là. a2  b2  c 2. Tổng diện tích các mặt là 2 ab  bc  ca ..  2 ab  bc  ca   36  ab  bc  ca  18   Theo giả thiết ta có  .  2 2 2 2 2 2    a b c  6 a  b  c  36   .

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Ta cần tìm giá trị lớn nhất của V  abc .  Ta có a  b  c   a 2  b 2  c 2  2 ab  bc  ca   72  a  b  c  6 2. 2. . . . 2. .  4 18  a 6 2  a   0  a  4 2.   Khi đó V  abc  a 18  a b  c   a 18  a 6 2  a   a 3  6 2a 2  18a   3 2  Xét hàm số f a   a  6 2a  18a với a  0;4 2  , ta được   Ta có b  c   4bc  6 2  a 2. . .  max f  x   f  2   f 4 2   8  0;4 2  . 2.. Chọn C. 3.  a  b  c  Nhận xét. Nếu sử dụng V  abc     16 2 thì sai vì dấu ''  '' không xảy ra.   3 Câu hỏi tương tự. Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả ác cạnh bằng 32 và độ dài đường chéo bằng 2 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho. ĐS: Vmax  16. Câu 138*. Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương bằng a  b  c . ● Hình hộp chữ nhật có: V  abc và S tp  2 ab  ac  bc  . ● Hình lập phương có: V '  a  b  c  và S ' tp  6 a  b  c  . 2. 3. 2. Suy ra S . a  b  c  S1 .  3. S2 ab  bc  ca 3. Ta có a  b  c   32abc  3. a  b  c  a3. 3. b c  b c  bc  32 2     1  32  .  .     a a  a a a.  b   3 x   x  y  1 a 3 Đặt  .    x  y  1  32 xy  xy    c 32  y   a  2. Khi đó S  3..  x  y  1. x  y  xy. 2.  3..  x  y  1 t2 t  x  y 11 .    S  96. 3 3 t  32t  32  x  y  1. xy. 32. Ta có  x  y  1  32 xy  8  x  y  3. 2.   t 3  8 t 1   t 3  8t 2  16t  8  0  2  t  3 5 . 2. Xét hàm f t  . 1 t2 trên đoạn  2;3  5  , ta được max f t   f 4   . 3     10 t  32t  32  2;3 5 . Chọn D..  1    Câu 139*. Do G là trọng tâm ABC   SG  SA  SB  SC 3           SG SB SC 1 SA 1  SA  SB  SC     .SI   SM  SN  SP   SI   SM  SN  SP .   SI SN SP SN SP 3  SM 6  SM 1  SA SB SC  SA SB SC Do I , M , N , P đồng phẳng nên       6. 1 6  SM SN SP  SM SN SP. . Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có. .

<span class='text_page_counter'>(15)</span>  1  SA SB SC 2 1 1  2 2 2         SB SC   SA   SM 2 SN 2 SP 2   SM SN SP  36 18 . Chọn C. Suy ra T  2  2 2 7 SA  SB  SC Cách trắc nghiệm. Do đúng với mọi hình chóp nên ta sẽ chọn trường hợp đặc biệt SA, SB, SC đôi một vuông góc và tọa độ hóa như sau: S  O 0;0;0 , A 1;0;0 ,. 1 2  1 1 1  I  ; ;  . B 0;2;0 và C 0;0;3 . Suy ra G  ; ;1   3 3   6 3 2  Khi đó mặt phẳng   cắt SA, SB, SC lần lượt tại M a;0;0, N 0; b;0, P 0;0; c . x y z 1 1 1    1 và T  2  2  2 . a b c a b c  1 1 1  1 1 1 1 1 1 Vì I  ; ;         : .  .  .  1 .  6 3 2  6 a 3 b 2 c     :. 2.  1 1 1 1 1 1  1 1 11 1 1 18 Ta có 12   .  .  .    2  2  2 . 2  2  2   T  .   6 a 3 b 2 c   6    7 3 2 a b c SK Câu 140*. Gọi a  0  a  1. SC Vì mặt phẳng   di động đi qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K , Q nên ta có đẳng thức. SA SC SB SD    SM SK SN SQ. SQ 1 3 SD 2a  2       . a 2 SQ SD 2  a S. N. M Q. P. D. A B Ta có. VS . MNKQ VS . ABCD. C. 1  SM SN SK SM SK SQ  1  4 a 2  2a 1   . .  . .  .        2  SA SB SC SA SC SD  2  3 a  2  3 a  2. Xét hàm f a  . 2a 1 1  . trên đoạn 0;1 , ta được max f a   f 1  . Chọn B. 0;1 3 a 2 3.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>