Tai Lieu CaSiO20162017 5

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1 1 1 1 1 A    1.2.3 2.3.4 3.4.5 n  n  1  n  2 . 1 1 1 1 A     1.2.3 2.3.4 3.4.5 970200 1/ 2/ 1 1 1 1 5 5 5 5 A     A    1.3.5 3.5.7 5.7.9  2n 1  2n  3  2n  5  1.2.3 2.3.4 3.4.5 2009.2010.2011 4/ 3/ 36 36 36 36 A     1.3.5 3.5.7 5.7.9 2009.2011.2013 5/ Bài 1.2.3.2: 1  1 1  1   1  1   1  1  A  1    1    1    1  2   A  1    1    1    1    3   9   16   n  2  3   9   16   10000  1/Tính giá trị của biểu thức: Bài 1.2.3.3: Tính tổng và viết quy trình tính: 1 1 1 1 1 1 1 1 Q 1     ...  P 1    ...   2 3 4 72 2 3 71 72 3/ 1/ S = 1 + 2 + 3 + ...+ 72 2/ 4/ K = 1 + 3 + 5 + …+ 99 5/ H = 1.2 +2.3 +3.4 + …+ 49.50 6/A = 1. 2  2. 3  3. 4  ...  49. 50 Bài 1.2.3.4: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + .. .. . .. .. . .. ..+ + + + .. .. . .. .. . .. ..+ 1/ A = 2A= 2 6 12 2 6 12 9999900000 n .(n+1) Bài 1.2.3.5: Tính ( làm tròn đến 6 chữ số thập phân): 3 4 5 6 7 8 9 10 1 / A 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 P 1 1 1 1  2  3  ...  19 3 2/ M = Q với P = 3 + 32 +…+ 319 ; Q = 3 3 3 1  1  1 1  1 1  1    1     1      15  (chính xác tới 0,0001) 3/ N =  2   2 3   2 3 Bài 1.2.3.6: Cho S1 = 100 ; S2 = S1 + 152 ; S3 = S1 + S2 + 302 S4 = S1 + S2 + S3 +552 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +902 Tính S8 ; S9 ; S10 ;S20 Bài 1.2.3.7: Cho S1 = 100 ; S2 = S1 + 132 ; S3 = S1 + S2 + 212 S4 = S1 + S2 + S3 + 342 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +522 Tính S8 ; S9 ; S10 ;S30 Bài 1.2.3.8: Cho S1 = 196 ; S2 = S1 + 22 ; S3 = S1 + S2 + 92 S4 = S1 + S2 + S3 + 232 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 + 442 Tính S8 ; S9 ; S10 ;S50 4  3n Bài 1.2.3.9: Cho dãy số un = n .và Sn = u1 + u2 +…+un . a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn .b/ Hãy tính S5;S10;S15;S20. 7  7  ... 7       7  7 Bài 1.2.3.10: Cho dãy số un Với u1 = 7 ;u2= ;u n = n dấu căn a/ Viết quy trình bấm phím tính un .b/ Tính u1000 10  10  ... 10        10  10 Bài 1.2.3.11: Cho dãy số un.Tính u10000 với u1 = 10 ;u2= ;un n= dấu căn 4  5n 3 Bài 1.2.3.12: Cho dãy số un = n .và Sn = u1 + u2 +…+un .Hãy tính S5;S10;S15;S20. 3. 3. 3 15  3 15  ...  3 15        . 3 Bài 1.2.3.13: Cho dãy số un.Tính u10000 với u1 = 15 ;u2= 15  15 ;un n= dấu căn. Bài 1.2.3.14: Cho dãy số :Sn = (13+23)(13+23+33)…(13+23+33+…+n3). a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> b/ Tính Sn với n = 1,2,3,…,10. Bài 1.2.3.15: Cho dãy số :Sn = 14+(14+24)+(14+24+34)+…+(14+24+34+…+n4) a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn .b/ Tính Sn với n = 5;10;15;20. 1  1 1   1 1 1   n 1  1  3   1  3  3   1  3  3  ...  ( 1) 3  2  2 3  2 3 n Bài 1.2.3.16: Cho dãy số :Sn =  a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn .b/ Tính Sn với n = 5;7 . Bài 1.2.3.17: Với mỗi số nguyên dương n > 1.Đặt Sn= 1.2 +2.3 +3.4 + … +n.(n+1) a/Viết quy trình tính Sn S2 b/Tính S50 ; S2005 ; S20052005 c/ So sánh 2005 với S20052005 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn  1  2  2  1  2  2  1  2  2  ...  1  2  2 3 3 4 4 5 n ( n  1) 2 Bài 1.2.3.18: Cho a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn . b/ Tính S10 ; S12 và S2007 ;S2011 với 6 chữ số ở phần thập phân. 3. A(n)  n . 2. 3. 6 7  4 3  n. 4 9  4 5. 2  5  n Bài 1.2.3.19: Với mỗi số nguyên dương n .Đặt a/Tính A(2007). b/So sánh A(2008) với A(20072008). Bài 1.2.3.20: Cho S1 = 81 ; S2 = S1 + 152 ; S3 = S1 + S2 + 252 S4 = S1 + S2 + S3 +392 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +572 Tính S8 ; S9 ; S10 . Bài 1.2.3.21: Tính giá trị biểu thức : a/ A = 3 + 8 + 15 +…..+ 9800 b/ B = 1.2.3 + 3.5.7 + 5.7.9 +…+ 95.97.99 c/C=3 + 6 + 11 + 20 + 37 +…+ (2n + n) với n = 10, n = 20, n= 30 d/D = 1 + 32 + 34 + 36 +…+ 3100 e/E = 7 + 73 + 75 + 77 +…+ 799 Bài 1.2.3.22: 1  (1  2)  (1  2  3)  ...  (1  2  3  ...  2008) 1/ Tính A = 1.2008  2.2007  3.2006  ...  2007.2  2008.1 2/ Tính B = 1 - 24 + 34 - 44 + …+ 494 - 504 . 1 1 1 1 1     2! 3! 4! 50! .4/ Tính D = 40 38 36... 4 2 .5/ Tính E = 40 39 38... 3 2 . 3/ Tính C =. 6). A  2. 3. 4. 3 4. 5. 6. 5 6 n. n. ( n  1). 7. 7 8 8. ( n  1). ( n  2). 9. 9  20109. 9. Bài 1.2.3.23: Tính :. (n  2)...4 3 3 2. 8. 7. 6. 5. C  9 8 7 6 54 43 3 2. Bài 1.2.3.24: Cho Cn = a/ Viết quy trình tính Cn . b/ TínhC50 ; C100. Sin 210    Sin 210  Sin 2 20   ...   Sin210  Sin 2 20  ...Sin 2 n 0   Bài 1.2.3.25: Cho Tn = a/ Viết quy trình tính Tn b/Tính T100. Bài 1.2.3.26: Tính gần đúng (làm tròn đến 6 chữ số thập phân) : 6 5 4 3 2 1 7 3  4 5  6 7 2 3 4 5 6 7 A= Bài 1.2.3.27: Với mỗi số nguyên dương n > 1 .Đặt Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ n(n + 1) Tính S100 và S2005 . Dạng 3.3: Luỹ thừa A - Tìm số dư: Bài 3.3A.1:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a)Tìm số dư khi chia 2006 ❑10 cho 2000 . b) Tìm số dư trong phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91. Bài 3.3A.2: Tìm số dư khi chia 29455 - 3 cho 9 Bài 3.3 A.3: Tìm số dư khi chia (19971998 +19981999 + 19992000)10 cho 111 Bài 3.3 A.4: Tìm số dư khi chia 15325 - 1 cho 9 Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số dư khi chia 10! cho 11 2) Tìm số dư khi chia 17762003 cho 4000 . Bài 3.3 A.6: a) Tìm số dư khi chia 13! cho 11 b) Tìm số dư trong phép chia: 715 : 2001 Bài 3.3 A.7: Tìm số dư khi chia 570 + 750 cho 12 2100 Bài 3.3 A.8: Tìm số dư khi chia 51200 cho 41 Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có: 5120041 51200(mod 41) 32(mod 41) Mặt khác:21 2(mod 41) , 22 4(mod 41) , 23 8(mod 41) , 24 16(mod 41) , 25 32(mod 41) , 26 23(mod 41) , 27  5(mod 41)  2100 = 214.7+2 = (27)14.22  (5)14.22(mod 41) Ta có:52  25(mod 41) , 53  2(mod 41)  514 = 53.4 +2 =(53)4.52  24.52(mod 41)  31(mod 41) Nên: 2100  (5)14.22(mod 41)  31.22(mod 41)  1(mod 41)  ABC 2100 = 41q +1 (q  N) 2100 Vậy: 51200 =5120041q +1 = (5120041)q.51200 (32)q .51200(mod 41) (32)q .32(mod 41) (32)q+1 (mod 41) (q  N) Cách này không ra! Cách khác:Ta có:5120040 1(mod 41) ,51200 32(mod 41) Mà: 22 -1(mod5)  (22)48 1 (mod5)  (22)48 .2 1.2 (mod5)  297 2 (mod5)  297 .23 2.23 (mod5.23)  2100 16 (mod 40) Nên: 2100 = 40q +16 2100 Cho nên: 51200 =5120040q +16 = (5120040)q.5120016 3216(mod 41) Mà: 3216 = 280 = (240)2 1(mod 41) 2100 1(mod 41) Vậy: 51200 Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số dư khi chia (515 + 1) cho (212 +1) b) Hãy tìm số dư r . Bài 3.3 A.10: Tính phần dư của các số 70 ; 71 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; 76 ; 77 ; 78 ; 79 ; 710 ; 711 khi chia cho 13 và điền vào bảng sau: 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 710 711 Số dư Bài 3.3 A.11: a) Tìm số dư khi chia 19972008 cho 2003 b/ Tìm số dư khi chia 19972001cho 2003 c/ Tìm số dư khi chia 2100 cho 100 d/ Tìm số dư khi chia 9100 cho 100 e/ Tìm số dư khi chia 11201 cho 100 Bài 3.3 A.12: Tìm số dư khi chia 102007200708 cho 111007 B - Chứng minh chia hết: Bài 3.3B.1: 1) Chứng minh rằng: 42n+1 + 3n+2 ⋮ 13 . 2) Chứng minh rằng với bất kì số nguyên dương n thì biểu thức:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> [7.52n + 12.6n] ⋮ 19. Bài 3.3B.2: a/ Chứng minh rằng: 24n - 1 ⋮ 15 b/ Chứng minh rằng: 6969+1919 ⋮ 44 Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 18901930 + 19451975 ⋮ 7 b) 192007+132004 ⋮ 5 ⋮ 102 Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 220 ❑119 + 119 ❑69 +69 ❑220 Bài 3.3 B.5: Chứng minh rằng: a) 25n - 1 ⋮ 31 b) (n2 + n - 1)2 - 1 ⋮ 24 Bài 3.3 B.6: Chứng minh rằng: 2 ❑2 + 1 ⋮ 461 Bài 3.3 B.7: Chứng minh rằng: a) 1n + 2n + 3n +...+ mn  0 (mod m ) . b) A = n8 - n6 - n4 + n2 chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ. c) B = 9n3 + 9n2 + 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n. Bài 3.3 B.8: Chứng minh rằng: 22225555 + 55552222 ⋮ 7 Giải: Ta có:2222 3(mod7) , 5555 4(mod7) Mặt khác:22226 1(mod7) , 5555 = 5(mod6)  5555 = 6q +5 (q  N) nên 22225555 = 22226q +5 = (22226)q.22225 3(mod7) Tương tự: 55552222 4(mod7) Vậy: 22225555 + 55552222 7(mod7) 0(mod7)  đpcm Bài 3.3 B.9: Chứng minh rằng:  n  N* ta có: 2n 2n 2n a) 4  2  17 b) 2  15n  19 69. 220. 119. 5. n. n. 1. 1. 2 2 2 2 Giải:a) Với n = 1 thì: 4  2  1 4  2  1 217 k. k. 2 2 Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k  N , k 1) tức là: 4  2  17 2k 1 2k 1 Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức là: 4  2  17 k1. 2 Thật vậy: 4 2 nếu k chẵn và 4 nếu k lẻ k1 22  4 nếu k chẵn và 2 nếu k lẻ * 2k 1 2k 1 Vậy: 4  2  17 với k    đpcm Bài 3.3 B.10: CMR: 210 n1 22 n1  1923 a) 2 +3 ⋮ 7 b) 2 36  Giải: c) Ta có:2 1 (mod 37) Mà: 26 1(mod 9) nên:(26)n 1(mod 9)  (26)n .22 1.22 (mod9. 22)  26n +2 4 (mod36)  26n +2 =36q +4 (q  N) 26 n2 Nên: 2 = 236q+ 4 =(236)q.24 16 (mod 37). c) 2. 26 n2.  2137. 6 n 4. 2  21 16  21(mod 37) 0(mod 37)  dpcm Vậy: 2 Bài 3.3 B.11: Số 312 - 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79. Tìm hai số đó. Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: a/20012004 + 20032006 ⋮ 10 b/ 7 + 72 + 73+ …+72008 ⋮ 400 Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : 3n+2 - 2n+2 +3n - 2n ⋮ 10. C - Số tận cùng: 4. 3. 2. 1. Ta có: abcde a.10  b.10  c.10  d .10  e Cho nên:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> - Tìm 1 chữ số tận cùng:Ta xét đồng dư mod 101 - Tìm 2 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 102 - Tìm 3 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 103 - Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10n Bài 3.3C. 1: a/Tìm 1 chữ số tận cùng của số:9 ❑9 b/Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 14 ❑14 c/Tìm 2 ,3,4,5 chữ số tận cùng của số: 521 Bài 3.3 C. 2: Tìm chữ số tận cùng của số:2 ❑3 Bài 3.3 C. 3: Tìm chữ số tận cùng của số:14 ❑14 Giải:Ta có:14  4(mod 10) Mà: 14  - 1 (mod 5)  1413  - 1 (mod 5)  1413 .7  - 1.7 (mod 5)  1413 .7 .2  - 1.7.2 (mod 5.2)  1414  - 14 (mod 10)  6 (mod 10) Nên: 1414 =10q +6 (q  N) Vậy: 14 ❑14 = 1410q +6 = 14(5q+3).2 = (145q +3)2 Vì : q  N nên 145q +3 luôn có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 Do đó: (145q +3)2 luôn có chữ số hàng đơn vị là 6 Cách 2: Ta có:142  6 (mod 10) Nên: (142)7  67 (mod 10)  6 (mod 10)  1414 = 10 q +6 (q  N)  14 ❑14 = 1410q +6 = (142)5q .146 6. 146 (mod 10) 6. (142)3 (mod 10) 6. 63 (mod 10) 64 (mod 10) 6 (mod 10) Vậy: Chữ số tận cùng là 6. Bài 3.3 C. 4: Tìm 2,3,4,5, 6 chữ số tận cùng của số:521 HD: 521=514 .54 .53 203125 (mod 106) Bài 3.3 C. 5: Tìm 8 chữ số tận cùng của số:51995 Bài 3.3 C. 6: a) Tìm 2 chữ số tận cùng của: 9 ❑9 9 99 b)Tìm 2 chữ số tận cùng của: 11 1 1  (100) 100(1  )(1  ) 40 2 2 2 5 Giải: a) Vì 100 = 2 .5 nên: 40  Ta có: 9 1(mod 100) 2  Mặt khác: 9 1(mod 40)  (92)4  1(mod 40)  (92)4 .9  1.9(mod 40)  99 = 40q + 9 (q  N) Vậy: 9 ❑9 = 940q + 9 = (940)q.99 99 (mod 100) 89 (mod 100) KL: Hai chữ số tận cùng của 9 ❑9 là:89 b) Ta có: 9 ❑9 89 (mod 100) nên 9 ❑9 = 100k + 89 (k  N) 99  119 = 11100k + 89 = (11100)k .1189 mà 115  51(mod 100)  (115 )2  1(mod 100)  (1110 )10  1(mod 100)  11100  1(mod 100) 9. 14. 4. 14. 14. 14. 9. 9. 9. 9. 9. 99. Nên: 11. 9.  1189(mod 100)  1140.2+9(mod 100)  (1140)2.119(mod 100)  119(mod 100)  91 (mod 100).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 9. 99. KL: Hai chữ số tận cùng của 11 là: 91 Bài 3.3 C. 7: Tìm chữ số tận cùng của 21 + 35 + 49 +...+ 20048009 Bài 3.3 C. 8: Tìm số tận cùng của các số: 6713 và 21000 Bài 3.3 C. 9: Tìm hai số tận cùng của số: 21999 + 22000 + 22001 Bài 3.3 C.10: Tìm hai số tận cùng của số:2999. 2010 870. 41. 2011 190.  195 Bài 3.3 C.11: Tìm 3 số tận cùng của số: A 22 Bài 3.3 C.12: Tìm chữ số tận cùng của số:2007200820072008. 9. 99. 9 9 Bài 3.3 C.13: Tìm hai số tận cùng của số: 9  9 Bài 3.3 C.14: Tìm hai số tận cùng của số:1012 + 1023+1034+1045 . : Dãy số. Dạng 5.1: Khi biết 2 hoặc 3 số hạng đầu tiên ¿ U 0=U 1=1 Bài 5.1.1: Cho U n+ 1=√U n+ √ U n −1 ¿{ ¿ a) Tính U6 . b) Lập quy trình tính Un? ¿ U 1 =1, U 2=2 Bài 5.1.2: Cho U n+ 1=2008 U n +U n −1 ¿{ ¿ a) Tính U10 b) Lập quy trình tính Un+1? Bài 5.1.3: Cho U1 = 1 , U2 = 3,Un+2 = 3Un+1- 2Un a) Lập quy trình tính Un b) Tính U17 , U18 , U25 , U27 . Bài 5.1.4: Cho U1 = - 3 ;U2 = 4 ; Un+2 = Un + Un+1 , n = 1 ,2 , 3 ... 1) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính Un , n  3 . 2) Tính U22 ; U23 ; U24 ; U48; U49 ; U50 . 3) Tính chính xác đến 5 chữ số và điền vào bảng sau: U3 U5 U6 U1 U4 U2 U2 U3 U4 U5. U7 U6. Bài 5.1.4: Cho dãy số : u1 = 1 ; u2 = 2 ; un+1 = 3un + un-1 , n 2 ( n là số tự nhiên). 1) Hãy lập một quy trình tính un+1 . 2) Tính các giá trị của un với n = 18 ; 19 ; 20. Bài 5.1.5: Cho dãy số : u1 = 1 ; u2 = 1 ; ....; un+1 = un + un-1 ,với mọi n  2. 1) Hãy lập một quy trình bấm phím tính un+1. 2) Tính u12 , u48 , u49 và u50 . Bài 5.1.6: Cho dãy số sắp theo thứ tự với u1 = 2 ; u2 = 20 và từ u3 trở lên được tính theo công thức : un+1 = 2un + un-1 , với n  2. 1) Tính giá trị của u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7 ; u8 . 2) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un với u1 = 2 ; u2 = 20. 3) Sử dụng quy trình trên , tính giá trị của u22 ; u23 ; u24 ; u25 . Bài 5.1.7: Cho dãy số u1 = 144 ; u2 = 233 ; ...; un+1 = un + un-1 với mọi n  2. 1) Hãy lập quy trình bấm phím để tính un+1 với mọi n  2 . 2) Tính u12 ; u37 ; u38 ; u39 ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> u  Bài 5.1.8: Cho dãy số n được tạo thành theo quy tắc sau : Mỗi số sau bằng tích hai số trước cộng với 1 , bắt đầu từ u0 = u1 = 1 . 1) Lập một quy trình tính un . 2) Tính các giá trị của un , n = 2 ,3 ,...,9 . 3) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4 ? .Nếu có , cho ví dụ . Nếu không , hãy chứng minh . Bài 5.1.9: Cho dãy số u1 = 144 ; u2 = 233 ; ..; un+1 = un + un-1 với mọi n  2. 1/ Tính un với n = 3,4,5,6,7,8. 2/ Hãy lập quy trình bấm phím để tính un với mọi n  2 . 3/ Tính chính xác giá trị của un với n = 13,14,15,16,17. Bài 5.1.10: Dãy số un được xác định như sau: u0 = 1 ; u1 = 1 ; un+1 = 2un - un-1+2 , n = 1,2 , ... a/ Lập một quy trình tính un . b/ Tính các giá trị của un với n = 1,....,20. c/ Biết rằng với mỗi n 1 bao giờ cũng tìm được chỉ số k để uk=un.un+1 Ví dụ:u1.u2=3=u2 .Hãy điền chỉ số k vào các đẳng thức sau: u2.u3 = uk ; u3.u4 = uk ; u4.u5 = uk . d/ Với mỗi n 1 hãy tìm chỉ số k để uk = un.un+1 . Bài 5.1.11: Cho u1 =1 ; u2 = 2 ; u3 = 3 ; un+3 = 2un+2 - 3un+1 + 2un (n  2). a/ Lập quy trình bấm phím liên tục để tính un . b/ Áp dụng quy trình trên để tính u19 ; u20 ; u66 ; u67 ; u68. c/ Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy. Bài 5.1.12: Cho u5 = 588 ; u6= 1084 ; un+1 = 3un-2un-1 .Tính u1 ; u2 ; u25;u30 .. Dạng 5. 2: Khi biết 1 số hạng đầu tiên 4  xn Bài 5.2.1: Cho dãy số: xn+1 = 1  xn với n 1 a) Lập quy trình tính xn+1 với x1 = 1 và tính x100 b) Lập quy trình tính xn+1 với x1 = - 2 và tính x100 5  4 xn 2 2 Bài 5.2.2: Cho dãy số: x = 1  xn với n 1 n+1. Lập quy trình tính xn+1 với x1 = 0,25 và tính x100 Bài 5.2.3: Cho dãy số tự nhiên: U0; U1; ... Có: U0 = 1 và Un+1 Un-1 = k .Un (với k là số tự nhiên) a) Lập một quy trình tính Un+1 b) Cho k = 100 ; U1 = 200 . Tính U1;…..;U100 c) Biết U2000 = 2000.Tính U1 và k . xn 3  1 Bài 5.2.4: Cho dãy số xác định bởi công thức: xn+1 = 3 1) Biết x1 = 0,5 . Lập quy trình bấm phím liên tục để tính xn. 2) Tính x12 ; x51. xn 2  2 xn Bài 5.2.5: Cho dãy số : x = n+1. 1) Lập một quy trình bấm phím tính xn+1 với x1 = 1 . Sau đó tính x50 . 2) Lập một quy trình bấm phím tính xn+1 với x1 = - 1 . Sau đó tính x50 . 5 Bài 5.1.6: Cho dãy số u1 = 12 ; u2 = 1 - cosu1 ; ....; un+1 = 1- cosun . 1) Hãy lập quy trình bấm phím để tính un+1 . 2) Tính u50 ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài 5.1.7: Cho dãy số:. xn 1 . 6  xn 5 cos 1  xn với n = 1,2,3 ,....và x = 12 . Tính x50 . 1. Dạng 5.3: Không biết số hạng đầu tiên 3+ √ 5 3 − √5 Bài 5.3.1: Cho dãy số: Un = ( ) ❑n + ( ) ❑n - 2 Với n = 0, 1, 2, 3,..... 2 2 a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy? b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1? c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1? n 5 −√7 ¿ ¿ Bài 5.3.2: Cho dãy số: Un = 5+ √ 7 ¿n −¿ ¿ ¿ Với n = 0,1, 2, 3,..... a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy? b) Chứng minh rằng Un+2 = 10Un+1 - 18 Un c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un? Bài 5.3.3: Ký hiệu Sn = xn1 + x2n Trong đó x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai: x2 - 8x + 1 = 0 a) Lập công thức truy hồi tính Sn+1 theo Sn và Sn-1? b) Tính S6, S7, S8 . . n n Bài 5.3.4: Cho dãy số: Un = (4  15)  (4  15) Với n = 0,1, 2, 3,..... 1/ Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1? 2/ Tính chính xác giá trị của Un với n = 10,11,12,13,14. (13  3) n  (13  3)n 2 3 Bài 5.3.5: Cho dãy số: Un = Với n = 0,1, 2, 3,..... a) Tìm Un với n = 0,1, 2, 3,4,5,6,7,8. b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1? c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1? (6  2 7) n  (6  2 7) n 4 7 Bài 5.3.6: Cho dãy số: Un = a) Tìm Un với n = 0,1, 2, 3,4,5,6,7,8. b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1? c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1? 3  2n un  n (n 1) ; Sn= u1+ u2 + ... + un . Tính S 20 Bài 5.3.7: Cho Bài 1: Tính gần đúng giá trị của các biểu thức sau: 2 1.1) A = 1+2 √ 2− √3 3 − √3 9 2 cos 2 550.sin 3 70 0  10 cotg 2 50 0.cotg 3 650 3 cos3 480 .cotg 3 700 1.2) B = Bài 2:. Tìm tất cả các số có dạng 34 x 5 y. chia hết cho 36..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1 Bài 3:. Kí hiệu M =. 1. 7+ 5+. 1. 1 1. +. 1 3+ 2. 8+. 1. 3+. 7. 9+. 6 3 5+ 4. ; N=. 1. 5+ 7+. 1 a+. 1 b. 3.1) Tính M, cho kết quả dưới dạng phân số. Bài 4: Cho : x3 + y3 = 10,1003 và x6 + y6 = 200,2006. Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức x9 + y9. Bài 7: Xét các số thập phân vô hạn tuần hoàn : E1 = 0,29972997... với chu kì là (2997) ; E2 = 0,029972997... với chu kì là (2997) E3 = 0,0029972997... với chu kì là (2997). 3 3 3 7.1) Chứng minh rằng số T = + + là số tự nhiên. E1 E2 E3 7.2) Số các ước nguyên tố của số T là: Bài 8: Tìm x, y nguyên dương, x  1 thỏa mãn: y = √3 9+ √ x −1 + √3 9 − √ x −1 . n n Bài 9: Cho dãy số Un như sau: Un = ( 5+2 √ 6 ) + ( 5 −2 √ 6 ) với n = 1, 2, 3, ..... 9.1) Chứng minh rằng Un+2 + Un = 10Un+1 với  n = 1, 2, 3, ..... 9.2) Lập một quy trình bấm phím liên tục để tính Un+2 với n  1. (nêu rõ dùng cho loại máy nào) Bài 10: Cho tam giác ABC với đường cao AH. Biết góc ABC = 450, BH = 2,34cm, CH = 3,21cm. 10.1) Tính chu vi tam giác ABC. (chính xác đến 5 chữ số thập phân) 10.2) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. (chính xác đến 5 chữ số thập phân) 7.1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc 2: Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số là hằng số có dạng: ax n 2  bx n 1  cx n 0 (*); với n 0;1;2;... trong đĩ a 0; b, c là hằng số. Nghiệm tổng quát:  Nếu c = 0 thì phương trình (*) có dạng: x n+1 =  n x1 .. ax n 2  bx n 1 0  x n 2 . b x n 1 x n 1 a có nghiệm tổng quát. 2  Nếu phương trình (*) có phương trình đặc trưng là a + b + c = 0 có hai nghiệm 1 ,  2 thì việc tìm nghiệm dựa vào các mệnh đề sau: Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm của phương trình đặc trưng là phân biệt ( 1  2 ) khi ấy phương trình (*) có nghiệm n n tổng quát là: x n = C1  1 + C2  2 trong đó C1, C2 là những số bất kỳ gọi là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1. Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: u0 7; u1  6; un 2 3un 1  28un .. -- Giải --. 2 Phương trình đặc trưng  -3  28 = 0 có hai nghiệm 1  4;  2 7 . Vậy nghiệm tổng quát có dạng: un = C1 (-4)n + C2 7n .. Với n = 0 ta có: C1 + C2 7(x 0 ) Với n = 1 ta có: -4.C1 + 7C2  6(x1 ) C1 + C2 7  -4.C1 + 7C2  6 Giải hệ  =>. C1 5  C2 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> n n Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: un = 5.(-4) + 2.7. 1  2 . b a thì nghiệm tổng quát của phương trình (*) có. Mệnh đề 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép x = C1 1n + C2 n 1n  C1 + C2 n   1n dạng: n trong đó C1, C2 là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1. Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u 0  1; u1 2; u n2 10u n 1  25u n . -- Giải -n 2 Phương trình đặc trưng  -10  25 = 0 có hai nghiệm 1  2 5 . Vậy nghiệm tổng quát có dạng: un = (C1 + C2 n)5 . Với n = 0 ta có: C1  1. Với n = 1 ta có:. (C1 + C2 ).5 2  C2 . 7 5. 7 u n = (-1+ n)5n 5 Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: Mệnh đề 3: Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì nghiệm tổng quát của phương trình (*) có dạng:  B b 2 2 n r  A  B ;   arctg ; A  ; B  x n = r  C1 cos n  C2 sin n  A 2a 2a ; C1, C2 là hằng số tự do xác trong đó định theo điều kiện ban đầu x0, x1. 1 u 0 1; u1  ; u n 2 u n1  u n 2 Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: -- Giải -1 i 3 1,2  2 2 . Phương trình đặc trưng  -   1 = 0 có hai nghiệm phức 1 3  A  ; B  ; r 1;   2 2 3 Ta có:. n n  C2 sin 3 3 . Vậy nghiệm tổng quát có dạng: 1   1 u 0 1; u1  C1 cos  C2 sin  2 thì C1 = 1 và 3 3 2 => C2 = 0. Với n un = cos 3 . Vậy nghiệm tổng quát có dạng: Bài tập Tìm nghiệm un của các phương trình sau: a. u0 8; u1 3; un 2 12u n  u n 1 un = C1 cos. b. u0 2; u1  8; un 2  8un 1  9un 0 c. u0 1; u1 16; un 2  8u n 1  16un 0. 7.2. Phương trình sai phân phi tuyến bậc 2: 7.2.1. Mở đầu: Dạng tổng quát: F(xn+2, xn+1, xn) = 0; n = 0; 1; 2; …. Dạng chính tắc: xn+2 =f( xn+1, xn) ; n = 0; 1; 2; …. 2 2 Ví dụ: Tính giá trị dãy: u0 u1 1; un 1 u n  un  1; n 2 7.2.2. Phương pháp tuyến tính hóa: 7.2.2.1. Phương pháp biểu diễn nghiệm dưới dạng tuyến tính:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ví dụ 1: Cho dãy -- Giải --. u0 u1 1; un . u2n  1  2 ; n 3 un  2 . Tìm dạng tuyến tính của dãy đã cho?. Gọi số hạng tổng quát của dãy có dạng: u n au n  1  bu n  2  c Cho n = 1; 2; 3 ta được u3 3; u 4 11; u5 41. Thay vào (*) ta được hệ: Vậy un 4un  1  un  2. a  b  c 3  3a  b  c 11 11a  3b  c 41 . =>. (*). a 4   b  1 c 0 . Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp qui nạp để chứng minh công thức trên. 7.2.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ: u n  1u n  2 1 1 u0  ; u1  ; u n  ; n 2 2 3 3u  2u n  2 n  1 Ví dụ 2: Cho dãy . Tìm công thức tổng quát của dãy. -- Giải -Ta thấy un 0 (với mọi n) vì nếu un = 0 thì un-1 = 0 hoặc un-2 = 0 do đó u2 = 0 hoặc u1 = 0. Vô lí. 1 vn  un khi ấy v n 3vn  1  2vn  2 có phương trình đặc trưng  2  3  2 0 có nghiệm 1 1;  2 2 . Đặt 1 C1 1;C2  n v  C  C .2 1 2 2. Công thức nghiệm tổng quát: n . Với n = 0; 1 ta có: 1 u  n 1 n 1  2n 1 Vậy v n 1  2 hay 7.2.2.3. Phương pháp biến đổi tương đương: Ví dụ 3: Cho dãy -- Giải --. u0 2; u1 6  33; un 1  3u n  8u2n 1; n 2. . Tìm công thức tổng quát của dãy.. 2 2 Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có: un 1  6un 1 .u n  un 1 . 2 2 Thay n + 1 bởi n ta được: un  6un .u n  1  u n  4 1 .. Trừ từng vế của hai phương trình trên ta được:.  un1 . un  1   un 1  6un  un  1  0. un 1  3u n  8u2n  1. nên un 1  3un  9un  1  un  1 2  3  8 Suy ra u n 1  6un  u n 1 0 có phương trình đặc trưng   6  1 0 có nghiệm 1,2 Do. Công thức nghiệm tổng quát Từ các giá trị ban đầu suy ra:. Vậy số hạng tổng quát: Bài tập. un. un C1 3  8. . C1,2 . 8 . . n.  C2 3 . . 8. . n. 8  66 8. 66 3  8. . n.  8. 66 3 . . n. 8. Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:. u0 0; un 1 5u n  24u2n  1. u1 1; u n 1  Bài 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số: 7.3. Một số dạng toán thường gặp:. 8. . un 2  3  u2n.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 7.3.1. Lập công thức truy hồi từ công thức tổng quát: n. Ví dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số . -- Giải - Cách 1: Giả sử un 2 au n 1  bu n  c (*)..  3 2   3 2 . un. 2 2. n. . Lập công thức truy hồi để tính un 2 theo u n 1 , u n. Với n = 0, 1, 2, 3 ta tính được u0 0; u1 1; u2 6; u3 29; u 4 132 . a  c 6 a 6   6a  b  c 29  b  7 29a  6b  c 132  c 0 Thay vào (*) ta được hệ phương trình :  =>  Vậy un 2 6un 1  7un. Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử un 2 aun 1  bun thì bài toán sẽ giải nhanh hơn.  Cách 2:  3  2;  2 3  2 Đặt 1 khi ấy 1   2 6 vaø 1. 2 7 chứng tỏ 1 ,  2 là nghiệm của phương trình đặc trưng 2 2  2  6  7 0   2 6  7 do đó ta có: 1 61  7 và  2 6 2  7 n 2 n 1 n Suy ra: 1 61  71  2n 2 6 2n 1  7 2n. Vậy. 1n 2   2n 2 (61n 1  71n )  (6 2n 1  7 2n ) 6  1n 1   2n 1   7  1n   2n . 3 2. hay. 3 2 . n 2. n 2. 2 2.  3. . 2. . 3 2 . n 2. n 2. 2 2. 6  3  2 . . .  3 2 6   2 2 . . n 1. . n 1.  3. 2. . . n 1. 3 2  2 2.   7 3 2  . n 1. .   3 2   7   2 2  . . n.   3 2. n. n.  .   3 2 2 2. n.    . tức là un 2 6un 1  7un . 7.3.2. Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi: Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy số u0 2; u1 10 vaø un 1 10u n  u n  1 (*). Tìm công thức tổng quát un của dãy? -- Giải -2  5 2 6 Phương trình đặc trưng của phương trình (*) là:   10  1 0 có hai nghiệm 1,2 Vậy. un C11n  C2 2n C1 5  2 6. . . n.  C2 5  2 6. . . n. C1  C2 2  5  2 6 C1  5  2 6 C2 10 Với n = 0; 1 ta có hệ phương trình sau:  => un  5  2. .   6  5 2 6 n. . . C1 1  C2 1. n. Vậy số hạng tổng quát . 7.3.3. Tính số hạng thứ n của dãy khi biết công thức truy hồi: Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều sẽ dẫn đến thao tác sai, do đó ta sẽ đi tìm công thức tổng quát cho số hạng un theo n sau đó thực hiện tính. Ví dụ 3: Cho dãy số u0 2; u1 10 vaø un 1 10u n  u n  1 . Tính số hạng thứ u ? 100. -- Giải - Cách 1:.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím: 2 SHIFT STO A 10 SHIFT STO B Lặp lại các phím: 10 ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A 10 ALPHA A  ALPHA B SHIFT STO B Bây giờ muốn tính u100 ta   96 lần.  Cách 2: un  5  2 6. . n.   5 2 6. Tìm công thức tổng quát Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) (52 6 )  100  ( 5  2. n. .. 6 )  100 . Nhận xét: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chính xác hơn nhiều so với cách 1 nhưng sẽ mất thời gian để tìm ra công thức tổng quát. Do đó nếu số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta sẽ dùng cách 2..

<span class='text_page_counter'>(14)</span>