Chuyen de Nguyen ham Tich phan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề :. NGUYÊN HAØM -TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA. I. ÑÒNH NGHÓA NGUYEÂN HAØM : * Ñònh nghóa : Haøm soá F(x) goïi laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân K neáu : F’(x) = f(x) , xK * Ñònh lyù : Nếu F(x) laø một nguyeân haøm cuûa f(x) treân K thì F(x) + C (C là hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. . Nhaän xeùt : Neáu haøm soá f(x) coù 1 nguyeân haøm laø F(x) thì noù coù voâ soá nguyeân haøm, taát caû caùc nguyeân haøm f(x)dx đều có dạng F(x) + C và còn gọi là họ các nguyên hàm của hàm số f(x), ký hiệu : . f(x)dx F(x)  C. Vaäy : F(x) laø 1 nguyeân haøm cuûa f(x) thì : II. SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HAØM : Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. III. CAÙC TÍNH CHAÁT :  f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx .  k.f(x)dx k f(x)dx .  (k  0). IV. Baûng tính nguyeân haøm cô baûn:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Baûng 1. Baûng 2. Haøm soá f(x) a ( haèng soá) x (   1 ). Hoï nguyeân haøm F(x)+C ax + C x 1 C  1. Haøm soá f(x). 1 x ax. ln x  C. 1 ax  b A ax  b. Hoï nguyeân haøm F(x)+C. (ax  b) (   1 ). ex. ax C ln a ex  C. sinx. -cosx + C. sin(ax+b). cosx. sinx + C. cos(ax+b). 1 cos2 x. tanx + C. 1 cos (ax  b). 1 sin 2 x. -cotx + C. 1 sin (ax  b). u' ( x ) u( x ). ln u( x )  C. tanx.  ln cos x  C. cotx. ln sin x  C. eax b. 2. 2. 1 2. x a. 2. 1 a. (ax  b) 1 C  1. 1 ln ax  b  C a 1 A ax b . C A ln a 1 ax b e C a 1  cos(ax  b)  C a 1 sin(ax  b)  C a 1 tan(ax  b)  C a . 1 cot(ax  b)  C a 1 x a ln C 2a x  a. Phöông phaùp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ bản.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Phân tích hàm số đã cho thành tổng, hiệu của các hàm số có công thức trong bảng nguyên hàm cơ baûn.  Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức, chia đa thức ... và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 1 x 2 1 f ( x)  2 f ( x)   2 f x    2  x  1 x x x 4 1) 2) 3) . 2x  1 x 1 4) 1 f ( x)  x  x  1 7) ex f ( x)  1  2e x 10). x3  x 1 x 5) 2 x 1 f ( x)  x  x  1 8) cos x f ( x)  1  3sin x 11). 2 13) f ( x) cos x 2x  5 f(x)  2 x  4x  3 16). 3 14) f ( x ) cos x. f ( x) . Ví dụ: Tính 1 I1  2 dx x 4 1). f ( x) . 2x  9 I 2  2 dx x  3x  2 2). Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số Định lí cơ bản:. x4 f  x  1  x2 6) 9). f ( x) . 1 x  3x  2 2. x cos x x sin x  cos x 12) 1 f ( x)  x 1  x 15). 2x 2  5x  3 I  3 dx x  x2  2x 3). f ( x) . dx I 4  x e 2 4).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> f  u(x) u'(x)dx Cách thực hiện: Tính  bằng pp đổi biến số u  u(x)  du  u'(x)dx Bước 1: Đặt (Vi phân của u) Bước 2: Tính. f  u(x) u'(x)dx f(u)du F(u)  C F  u(x)  C. Ví dụ: Tính 1). sin x I  2 dx cos x 2). I x cos  3  x 2  dx. Kỹ thuật: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân Nhắc lại : Vi phân u u  x  Cho hàm số thì vi phân của hàm số là du u '( x)dx Ví duï: Tính 1.. 5 cos x sin xdx. ln x dx  x 5). tan x. 1  ln x dx x.  dx 2. cos x.  3.. e tan x  2 dx 6) cos x.  7) x ln x. dx. Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Định lí cơ bản:. 4). cos x.e dx.  8) sin x. 3sin x. dx dx.  9) cos. 4. x.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Dạng thu gọn:. udv uv  vdu Các bước thực hiện: ¿u=u(x )  ⇒ ¿ dv=v ' ( x)dx Bước 1: Đặt (Chọn u sao cho tính du đơn giản, ¿ du=u ' (x )dx  ¿ v =v (x ) chọn dv sao cho dể tìm v) udv uv  vdu Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng từng phần :  vdu Bước 3: Tính  Ví dụ: Tính I   x  1 sin xdx 1) 1  I  ln xdx 4) 4 . 2). I 2  x  2  e2x dx. 5). I  x 2  1 ln xdx. 3). I3 x ln xdx. 6). I 6 ex cos xdx. I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VAØ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân thì: b.  a; b . Giả sử. F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x). b. f ( x)dx  F( x) a F(b)  F(a) a. 2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân:. . . ( Công thức NewTon - Leipniz). a. f ( x )dx 0. Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì : b. a. a. b. a. f ( x )dx  f ( x )dx. Tính chaát 2:. b. .  a; b Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên. thì:. cdx c(b  a) a. b.  . f ( x )dx 0 f ( x )  0 vaø thì a  a; b vaø f ( x ) g( x ) x   a;b thì Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân  a; b Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân b. b. a. a. f ( x )dx g( x )dx . Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân.  a; b vaø m  f ( x ) M ( m,M laø hai haèng soá). thì. b. m(b  a) f ( x )dx M (b  a) a. . Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân.  a; b. b. b. b. a. a. a. thì.  f ( x ) g( x ) dx f ( x )dx g( x )dx . Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân b. b. a. a.  a; b. vaø k laø moät haèng soá thì. k. f ( x )dx k.f ( x )dx . Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân.  a; b. vaø c laø moät haèng soá thì. b. c. b. a. a. c. f ( x )dx f ( x )dx  f ( x )dx . Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân.  a; b. cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là. b. b. b. a. a. a. f ( x )dx f (t)dt f (u)du ... Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau:.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1. 1). x dx 3  (2x  1) 0. 1. . 2). 0. 1. 5). 2x  5 dx 2  x  4x  4 0. 3. 6). 9). 1. 0. x.  6. 3. 7). (sin. 4) 0 6. 8). 0. 1. 0. e. 11) 12) 0. x. 1 dx 1. 4x  11 dx  5x  6. 2.  2. x  cos x)dx. 6.  2. 4 cos 2xdx. 10). 1. x 1  xdx. 3). x dx 2  x  2x  1 0.  4. 1  sin 2x dx  cos2 x 0. x dx 2x  1. 4sin 3 x dx  1  cos x 0 cos 4 x −sin 4 x (¿)dx. .. 12). π 4. ¿ 0. π 4. 2x dx  cos 1+ 2sin 2 x. 13). 14). 0. π 2. 3x dx  sin 2 cos 3 x +1. 15). 0. π 2. x dx  cos 5− 2 sin x 0. 0. 4 dx x +2 x − 3 −2 2 1  x2 dx 3  x  x 1 17). . 2. Baøi 2: 3. 1). 2 x  1dx. 3 2. x 1 2. 4) Baøi 3:. 2. . 1  2dx x2. 5. 4. 2). x.  3x  2dx. 3). 1 3. 5). 2. ( x  2 . x  2 )dx. 3. 2. 2. x.  4dx 6). 0. |x 2 − x| dx 0. 1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) A sin x  B thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2. f ' (1) 2. vaø. 2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức :. f(x)dx 4 0. 2. [a 0. 2.  (4  4a)x  4x3 ]dx 12. 16).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : b. 1) DAÏNG 1:Tính I =. f[u(x)].u (x)dx '. a. baèng caùch ñaët t = u(x). u (b ). b. f  u( x) .u '( x)dx   f (t )dt a. Công thức đổi biến số dạng 1: Cách thực hiện:. u(a). Bước 1: Đặt. t=u(x )⇒ dt=u' (x )dx ¿ x=b ⇒ ¿ x=a Bước 2: Đổi cận : ¿ t=u(b)  ¿ t=u(a) Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được b. u (b). I = f [ u(x ) ] . u '( x )dx=  f (t) dt a. (tiếp tục tính tích phân mới). u (a). Tính caùc tích phaân sau:  2. cos. 1). 3. x sin 2 xdx. 0. e. . 5). 1.  2. 1  ln x dx x. π 2. dx  sin 2 x2 2 0 √ cos x+ 4 sin x. 2). cos. xdx 3). 0. e. 2. 1  ln x dx x 1 6) 2 x+ sin x dx  sin√1+3 cos x. 12). 1. 4. x. dx. 3 6. 8). π 2. 10).  (e sin x+cos x) cos xdx. 11). 0. 2. 1.  3. 6. 0. 2sin x dx  1− 1+ sin 2 x. x 2s in2x  3sin x dx dx   1  x 6 cos x  2 0 0 13) 14). 17). 5. 4). 1. cos. 0.  3. sin 2 x  6 dx  cos x. 1.  4. x)3dx. 0. 0. π 4. 2. 7) 0. π 2. 9). sin 2x(1  sin x (1  x ) dx. . e.  √1+3 lnx x ln x dx. 5.  2. e. 18). x 1. 3  2 ln x dx 1  2 ln x.  3. 1. 15). ex dx  e x  e1 x 0. 16).   cos x 4. tan x 1  cos 2 x. dx.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> b. 2) DAÏNG 2: Tính I =. f(x)dx a. baèng caùch ñaët x = (t). b. . I f ( x)dx f   (t )  '(t )dt a. Công thức đổi biến số dạng 2:. . Cách thực hiện: Bước 1: Đặt. x=ϕ (t)⇒ dx=ϕ ' (t)dt ¿ x=b  ⇒ ¿ x=a   t  b   t  a Bước 2: Đổi cận : ¿ t=β (Giải pt tìm  ; Giải pt tìm  )  ¿ t=α Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được b. β. (tiếp tục tính tích phân mới). I = f ( x)dx= f [ ϕ (t) ] ϕ ' (t) dt a. α. Tính caùc tích phaân sau: 1. 1). 2  1  x dx. 1. 2). 0. 2 2. 1. 4). 1 dx 2  x  x 1 0 1. 7). . 3. 5). x4 .  0. x2 1 x.  2. dx.  x  4. 3. 8). 1. 1 dx  1  x2 0. 3sin 0. 2. 2. 3). 0. 2. dx. dx x  cos 2 x. . 6). x. 4  x2 2. dx. 4  x 2 dx. 1. 3 2. 9). 1.  3  x  0. 2. 3  x 2 dx.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN: Tính caùc tích phaân sau: 8. 1) 4). x 3. 2. 1 x 1 2. dx. 2 3 x x  1dx 0. 7. 2).  0. x 3. 1 x. 2 √3. 5). 3.  √5. 2. 7 3. dx. dx x √ x 2 +4. 3). x 1.  3x  1 dx 0. 3. 1. 6).  dx 1+ √1+3 x 0.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN : Công thức tích phân từng phần: b. b. b.  u(x ). v ' (x) dx=[ u( x). v (x ) ]a − v (x) . u' ( x)dx a. Hay:. a. b. b. b a.  udv=[ u. v ] − vdu a. a. Cách thực hiện: ¿u=u(x )  ⇒ ¿ dv=v ' ( x)dx ¿ du=u ' (x )dx  ¿ v =v (x ). Bước 1: Đặt. b. Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :. b. b.  udv=[ u. v ]a − vdu a. a. b b. Bước 3: Tính [ u. v ]a. vaø.  vdu a. Tính caùc tích phaân sau:  2. 1).  x  1 s in2xdx 0.  2. 2). ln x dx 5  5) 1 x. 9). x(2 cos. 0. 6) 2. 2 ln  x  x  dx. 3) 2. e. 2 x cos xdx. 7). 0. 1. x  1)dx 10). 0. (x  1) e 2. 2x. 2. xdx. 14).  x ln (1+ x )dx 0. ln x. x 1. 3. dx. x sin x cos. 2. xdx. 0. 1. (x ln x) dx 2. 1.  ln√ xx dx 1. 12).  ( x −2)e2 x dx 0. π 2. e. 2. 4). 8). 1. e. 11). 2. . x ln. dx. 0. 1. 13). 3.  2. 2.  4. 2  2x  1 cos xdx. 15).  (x+ cos3 x) sin xdx. 16). 0. 2.  (2 x +7)ln ( x +1)dx 0. e. 17). x 1. 1 3. ln 2 xdx. 18). ln  x  1.  x  2  0. 2. ln 8. dx 19). . ln 3. xe x.  2. x. e 1. dx 20). 1  sin x. x. 1  cos x e dx 0.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: (H ): ( C1 ): x=f ( y ) (C 2): x =g ( y ) Δ1 : y=a Δ2 : y=b ¿{{{ (H ): ( C1 ): y =f (x ) (C 2): y=g( x ) Δ 1 : x=a Δ 2 : x=b ¿{{{. y. x a (H ). O a. x b (C1 ) : y  f ( x). (C 2 ) : y  g ( x) x. b. y. (C 2 ) : x  g ( y ). b a. y b (H ). y a x. O. (C1 ) : x  f ( y ). b. yC. yC. 1. 2. xC. 2. xC. 1. S= [ f (x) − g (x) ] dx a. b. S= [ f ( y )− g ( y ) ] dy a. Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau:  3x  1  y  x  1  y 0 2 x 0 y x   x  y 2 1) (H1):  2) (H2): . 3) (H3) :. 2 y x  2x  2 y  x  4x.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  y  x2  4  H 6  :  1  y 6  x 3  6). ¿ (C) : y=e x (d): y=2 5) (H5): ( Δ): x =1 ¿{{ ¿. ¿ (C): y=√ x (d ): y =2− x 4) (H4): (Ox) ¿{{ ¿. V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. Công thức:. y x a. O. a. x b (C ) : y  f ( x). y 0. b. 2. V =π  [ f (x ) ] dx a. b. x. y b x 0. y b (C ) : x  f ( y ) y a. a. x. O. b. 2. V =π  [ f ( y) ] dy a. Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = x2 + x - 5 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y  x; y 2  x; y 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy 2 2 Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y 4  x ; y  x  2 ..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. ------------------------------Heát-------------------------------.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>