Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán Quốc gia năm 2021-2022 - Trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2021 - 2022
Ngày thi thứ nhất: thứ ba 28/9/2021
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
---------------------------------------------------Bài 1. (5,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 7n 1 chia hết cho n 2 n  1 .
2

Bài 2. (5,0 điểm)
Cho n là số ngun dương. Tính bộ số có thứ tự  a0 , a1 ,..., an  với ai  0, 1, 2, 3, 4, 5 với mọi i  0, 1, 2,.., n
thỏa mãn điều kiện n  a0  3a1  32 a2  ...  3n an .
Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường trịn O đường kính AK . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC và D là trung điểm cung nhỏ BC của O. Lấy P thuộc trung trực AI sao cho PI  OI và H
là hình chiếu của P lên IK . Lấy L trên IK sao cho AH  DL và Q trên AD sao cho QL  IK . Chứng minh
rằng IA  2 IQ.
Bài 4. (5,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

3

a4
b4
c4
3 2 2
3 2 2
 3.
b2 a 2  ab  b2 
c b  bc  c 2 
a c  ca  a 2 

----------------------------HẾT----------------------------


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2021 - 2022
Ngày thi thứ hai: thứ tư 29/9/2021
Thời gian làm bài: 210 phút, không kể thời gian phát đề
---------------------------------------------------Bài 5. (7,0 điểm)
a) Tìm tất cả các hàm số f : *  * , thỏa mãn:
n3  mf 2 m chia hết cho f n  f m với mọi số nguyên dương m, n.

b) Tìm số nguyên dương k sao cho tồn tại số nguyên dương m, n thỏa mãn
n3  kmf 2 m chia hết cho f n  f m.

Bài 6. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn. Một đường tròn  K  qua B, C cắt CA, AB tại E , F . Gọi L là giao điểm của AK và

BC , H là giao điểm của BE và CF . Đường thẳng AH cắt đường thẳng EF tại G; gọi M , N lần lượt là giao
điểm của GL với BE , CF . Chứng minh FM cắt EN tại một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC .
Bài 7. (7,0 điểm)


a1  1, a2  5
.
Cho dãy số an  thỏa mãn 



an1  6an  an1 , n  2

a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy an  đều được biểu diễn dưới dạng tổng hai số chính phương.
b) Tìm số dư khi chia a337 cho 337.
c) Đặt un  a1  2a2  ...  nan . Tìm số dư khi chia u337 cho 2022.
----------------------------HẾT----------------------------