03Ung dung dao ham de giai toan THPTsua ngay 27122012 NVXa

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (11.01 MB, 93 trang )

(1)N. V. XÁ ----. ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG.

(2) TÀI LIỆU THAM KHẢO. [01] Bộ Giáo dục và đào tạo, Sách Giáo khoa, Sách Giáo viên, Sách bài tập, Tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức – kĩ năng Toán 10, 11, 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011.. [02] Phan ðức Chính (chủ biên), Các bài giảng luyện thi môn Toán, tập ba, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001.. [03] Nguyễn Thuỷ Thanh, Phương pháp giải các dạng toán cơ bản THPT, tập hai: Giải tích, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011.. [04] Các ñề thi Tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh ðại học, Cao ñẳng, thi Học sinh giỏi các năm.. [05] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam..

(3) MỤC LỤC Trang. Tài liệu tham khảo. 1. Mục lục. 2. 1. KHÁI NIỆM ðẠO HÀM. 3. 1.1. ðịnh nghĩa ñạo hàm .................................................................. 3. 1.2. Các tính chất của ñạo hàm ....................................................... 4. 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ðẠO HÀM. 7. 2.1. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính tổng và tìm hệ số của ña thức ........ 7. 2.2. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn .......................................... 9. 2.3. Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số .............................................................................................. 11. 2.4. Ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính ñơn ñiệu của hàm số ................ 15. 2.5. Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số .......................... 17. 2.6. Ứng dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ........................................... 20. 2.7. Ứng dụng ñạo hàm ñể khảo sát hàm số ..................................... 26. 2.8. Ứng dụng ñạo hàm ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ................................................................................ 3. MỘT SỐ ðỀ TỰ LUYỆN. 39 49.

(4) 1. KHÁI NIỆM ðẠO HÀM 1.1.. ðịnh nghĩa ñạo hàm. Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh trên tập D và ñiểm x 0 ∈ D. Giả sử tồn tại khoảng (a; b) sao cho x 0 ∈ (a; b) ⊂ D. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn f (x) − f (x 0 ) = A thì số A ñược gọi là ñạo hàm của hàm số f(x) tại ñiểm x0 x − x0 x→x0 lim. f (x) − f (x 0 ) . ðạo hàm x − x0 x→x0. và kí hiệu là f '(x 0 ) hoặc y '(x 0 ), khi ñó f '(x 0 ) = lim. của hàm số tại ñiểm x0 (nếu có) là một hằng số. Hàm số có ñạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0. Khi giải toán cần lưu ý f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) = A ⇔ lim+ = lim− = A. x − x0 x − x0 x − x0 x→x0 x→x0 x→x0. f '(x0 ) = A ⇔ lim. Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm tại mọi ñiểm thuộc khoảng K thì ta nói f(x) có ñạo hàm trên K và hàm số f '(x), x ∈ K, ñược gọi là (hàm) ñạo hàm của f(x) trên K. ðạo hàm của hàm số (nếu có) trên một khảng (có thể mở rộng trên một tập) là một hàm số. ðạo hàm cấp cao f (k) (x) = (f (k −1) (x)) '.. VD1. Cho hàm số f(x) có ñạo hàm trên ℝ và thoả mãn. f ( 2x ) = 4 ( cosx ) .f ( x ) – 2x,∀x ∈ ℝ. Tính f '(0) bằng ñịnh nghĩa. f(x) − f(0) x→0 x − 0. HD. Từ ñề bài nhận thấy f ( 0) = 4.f ( 0) ⇒f(0) = 0. Ta có f '(0) = lim. 4 ( cosx ) .f ( x ) – 2x  f (x)  f (2x) = lim = lim  2cos x. − 1 = 2f '(0) − 1. Do ñó 2x x x →0 2x x →0 x →0  . = lim. f '(0) = 1. 3. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(5) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 4. VD2. Cho hàm số f (x) = x(x − 1)(x + 2)(x − 3)...(x + 2012)(x − 2013). Tính f '(0) . f (x) − f (0) = lim (x −1)(x + 2)...(x − 2013) = −(2013!). x→0 x − 0 x→0. HD. Ta có f '(0) = lim. VD3. Tìm hàm số f(x) khả vi trên ℝ và f (x) − f (y) = f '(x + y).(x − y), ∀x, y ∈ ℝ. HD. Từ ñẳng thức ñề bài cho y = 0 thu ñựợc f (x) − f (0) = f '(x).x, ∀x ∈ ℝ, hay f (x) − f (0) , ∀x ∈ ℝ \ {0} . Vì f khả vi trên ℝ nên f liên tục trên ℝ , suy ra x f '(x) liên tục tại mọi x ≠ 0. Mặt khác, do f(x) có ñạo hàm tại x = 0 nên f (x) − f (0) lim f '(x) = lim = f '(0) tức là f '(x) liên tục tại x = 0. Như vậy f '(x) x →0 x →0 x liên tục trên ℝ . Vì f có ñạo hàm và ñạo hàm liên tục trên ℝ nên f (y) − f (x) f '(x) = lim = lim f '(x + y) = f '(2x), ∀x ∈ ℝ. Bằng qui nạp ta suy ra y→ x y→x y−x x f '(x) = f '(2n x), ∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ *. Hay f '( n ) = f '(x), ∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ *. Do f '(x) 2 x x 1 n liên tục trên ℝ và lim ( ) = 0 nên f '(x) = lim f '( n ) = f '( lim n ) = n →+∞ 2 n →+∞ n →+∞ 2 2 = f '(0) = a, ∀x ∈ ℝ. Dẫn tới f (x) = ax + b, ∀x ∈ ℝ. Thử lại thấy hàm số f (x) = ax + b, ∀x ∈ ℝ (a, b là các hằng số tuỳ ý) là hàm số cần tìm. f '(x) =. 1.2.. Các tính chất của ñạo hàm (những công thức này ñược giả sử là hai. vế ñều có nghĩa) 1) (c ) ' = 0; ( x ) ' = 1; ( x n ) ' = n .x n − 1 ; ( n x ) =. 1 n. n. x. n −1. .. 2 ) (sin x ) ' = c o s x ; (co s x ) ' = − sin x ; (tan x ) ' = 1 + ta n 2 x = (c o t x ) ' = − 1 − c o t 2 x = −. 1 sin 2 x. 1 co s 2 x. ;. .. 1 . x . ln a 4 ) ( u + v − w ) ' = u ' + v ' − w '; ( k .u ) ' = k .u '; ( u v ) ' = u ' v + u v '; u u ' v − uv ' ( )' = ; ( u ( v ( x ))) ' = u '( v ).v '( x ). v v2. 3) (a x ) ' = a x . ln a ; (lo g a | x |) ' =. VD4. Tính ñạo hàm. a)y = (ax + b) n .. 4. b)y =. 1 . sin x. c)y = n ax + b.. d)y =. ax + b . cx + d. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(6) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 5. HD. a) y ' = an(ax + b)n −1. b) y = − c). (sin x ) ' sin 2 x. (n u )' =. d) y ' =. =−. u' n. n u. n −1. ad − bc (cx + d) 2. cos x 2 x sin 2 x. . Do ñó y ' =. . a. n (ax + b) n. n −1. .. .. VD5. Tìm tập xác ñịnh và tính ñạo hàm của hàm số x.  1 a) f (x) = 1 +  .  x. b) g(x) = log x (2x − 1).. HD. a) Ta nhớ lại ñiều kiện ñể biểu thức a b có nghĩa: - Nếu b ∈ ℕ * thì a b khi a có nghĩa. - Nếu b ∈ ℤ, b ≤ 0, thì a b có nghĩa khi a ≠ 0. - Nếu b ∈ ℝ \ ℤ thì a b có nghĩa khi a > 0. Do ñó ñể tìm tập xác ñịnh của f(x) ta xét các trường hợp sau ñây:. x ∈ ℕ * ⇔ x ∈ ℕ *. *TH1:  x ≠ 0.  x ∈ ℤ, x ≤ 0  *TH2:  1 ⇔ x ∈ ℤ, x ≤ −2. 1 + ≠ 0  x x ∈ ℝ \ ℤ x ∈ ℝ \ ℤ  *TH3:  1 ⇔ . x > 0 ∨ x < − 1 1 + > 0   x x.  1 Kết hợp lại ta thấy 1 +  có nghĩa khi x > 0 hoặc x < −1 . Vậy tập xác ñịnh  x của hàm số f(x) là tập D1 = (−∞; −1) ∪ (0; +∞). Với x ∈ D1 thì 1 +. 5. 1 1 > 0 và ln f (x) = x ln 1 +  . Lấy ñạo hàm hai vế ñẳng x  x. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(7) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 6. x.   1 1   1 f '(x)  1 1 = ln 1+  − ⇒ f '(x) =  ln 1+  − thức này, ta ñược .1+  . f(x)  x  x +1   x  x +1   x  Chú ý: Ta không ñược áp dụng công thức (a x )' = a x .ln a và (xα )' = α .xα −1 ñể tính f '(x) vì muốn áp dụng hai công thức này thì a , α phải là hằng số. ðể tính ñạo hàm của hàm số có dạng f (x) = ( u(x) ). v(x). ta thường lấy logarit hai vế,. ñược ln f (x) = v(x) ln u(x) , ñến ñây lấy ñạo hàm hai vế ta có.  f '(x) u '(x) u '(x)  = v '(x) ln u(x) + v(x). ⇒ f '(x) = f (x). v '(x) ln u(x) + v(x). . f (x) u(x) u(x)   b) ðiều kiện ñể log a b có nghĩa là a > 0,a ≠ 1, b > 0. Do ñó g(x) = logx (2x − 1). 1   x > 0, x ≠ 1  x > ⇔ có nghĩa khi  2.  2x − 1 > 0  x ≠ 1 Ta có g(x) = log x (2x − 1) = Chú ý:. 1  Tập xác ñịnh: D2 =  ; +∞  \ {1} . 2 . ln(2x − 1) 2x ln x − (2x − 1) ln(2x − 1) nên g '(x) = . ln x x(2x − 1) ln 2 x. ln u  u 'v ln v − uv 'ln u . ' = uv ln 2 v  ln v . ( log v u ) ' = . Bài tập. 1. Dùng ñịnh nghĩa tính ñạo hàm của hàm số tại x 0 = 0.  2 1 x sin neáu x ≠ 0 b)g(x) =  . x 0 neáu x = 0 . 1 − cos x neáu x ≠ 0  a)f(x) =  x . 0 neáu x = 0  2. Tính ñạo hàm của hàm số. 1)y =. 3. x . 1− x. 2)y = (x + 1) 1 + x + x 2 .. 4)y = sin3 4x − cos5 2x.. 5)y =. 7)y = 3sin2 x.cos2x.. 8)y =. 10)y =. x 1 + 2x − x2. 13)y = 1 + x + x 5 . 6. .. 3)y = x.sin(2 − x).. 1 + sin x − cos x . 1 − sin x + cos x. 11)y =. 1− x . 1+ x 2x 2 (1 + x2 )3. 14)y = cot x.. 6)y = tan 4 x − cot 4x. 9)y =. .. 1 − s inx . 1 + cos x. 1 1 1 12)y = ( − ). 2 2+x 4−x 15)y = (x + 1)2 (x − 2)3 (x + 3)4 .. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(8) 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ðẠO HÀM 2.1.. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính tổng và tìm hệ số của ña thức. Nhờ ñạo hàm ta có thể tính ñược một số tổng (hoặc chứng minh ñẳng thức) mà các số hạng thường có dạng (k+1)xkak. ðối với ña thức f (x) = a 0 + a1x + ... + a n x n ta dễ thấy a k =. f (k) (0) , trong ñó k!. qui ước ñạo hàm cấp 0 của hàm số f(x) là chính hàm số f(x); và a 0 + a1 + ... + a n = f (1), a 0 − a1 + a 2 − a 3 + ... + (−1)n a n = f (−1).. VD6. Cho ña thức f(x) = (1 + x – x12)2011+ (1 – x + x11)2012 . 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong ña thức. 2. Tính tổng tất cả các hệ số bậc lẻ trong ña thức. 3. Tính tổng các hệ số bậc lớn hơn hay bằng 2 trong ña thức. HD. 1. Ta có f '(x) = 2011(1+ x − x12 )2010.(1−12x11) + 2012(1 − x + x11)2011.(−1 +11x10 ). ðể cho tiện ta kí hiệu f (x) = a 0 + a1x + ... + a n x n (với n = 12×2011 = 24132). Hệ số của số hạng chứa x trong ña thức f(x) là a1 =. f '(0) = 2011 − 2012 = −1. 1!. a 0 + a1 + ... + a n = f (1) = 2, a 0 − a1 + a 2 − a 3 + ... + (−1)n a n = f (−1) = 0 nên f (1) − f (−1) = 1. tổng các hệ số bậc lẻ của f(x) là a1 + a 3 + ... + a 24131 = 2 3. Ta có a0 = f(0) = 2, vậy a2 + a3 + ... + an = (a0 + a1 + ... + an ) − a0 − a1 = 2 − 2 − (−1) = 1.. 2. Do. VD7. Chứng minh C1n + 22 Cn2 + ... + n 2Cnn = n(n + 1)2n − 2 , ∀n ∈ ℕ, n ≥ 2. HD. Ta có (1 + x)n =. n. n. n. k =1. k =1. ∑ Cnk xk ⇒ n(1+ x)n−1 = ∑ Cnkkxk−1 ⇒ nx(1+ x)n−1 = ∑ Cknkxk. k =0. ⇒ n(1 + x)n −1 + n(n − 1)x(1 + x)n − 2 =. cùng này sẽ thu ñược. n. ∑ Cnk k 2 x k −1,. thay x = 1 vào ñẳng thức cuối. k =1 1 2 2 Cn + 2 Cn + ... + n 2Cnn = n(n + 1)2n − 2 , ∀n ∈ ℕ, n ≥ 2.. Nhận xét. Ta cũng có n 2C0n + (n − 1) 2 C1n + ... + 22 Cnn − 2 + 12 Cnn −1 = n(n + 1)2n − 2 , ∀n ∈ ℕ, n ≥ 2.. Bài tập.. (. 3. Cho f (x) = 1 – x + x 2. ). 2011. (. ). 2012 + 1 + x3 = a 0 + a1x + ... + a 6030 x 6030 . Tính. tổng A = a1 − 2a 2 + 3a 3 + ... + 6029a 6029 − 6030a 6030 . 7. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(9) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 8. 4. Giả sử (1 + x)n = a 0 + a1x + ... + a n x n , n ∈ ℕ *. Biết rằng tồn tại số nguyên a k −1 a k a k +1 = = . 2 9 24 Tính tổng 2.1.a 2 + 3.2.a 3 + 4.3.a 4 + ... + n.(n − 1).a n .. dương k (1 ≤ k ≤ n) sao cho. 5. a) Chứng minh rằng C1n + 2Cn2 + 3C3n + ... + nCnn < (n!.n), ∀n ∈ ℕ, n > 2. b) Chứng minh rằng nC0n − (n − 1)C1n + ... + (−1)n − 2 Cnn − 2 + (−1)n −1 Cnn −1 = 0, ∀∈ ℕ *. 6. Cho y = a0x + a1x3 + a 2x5 + ... + a n x2n +1 + ... thoả mãn (1− x2)y'− xy =1, ∀x ∈(−1;1). Tìm các hệ số a 0 , a1,..., a n . 7. Cho số nguyên dương n ≥ 3 thoả mãn ñẳng thức A3n + C3n = 35(n − 1)(n − 2). Tính các tổng sau ñây S1 = C1n + 2Cn2 + ... + nCnn ; S2 = 22Cn2 − 32 C3n +... + (−1)n n2Cnn ; S3 = 1+ 2x + 3x2 + ... + nxn−1; S4 = sinx + sin2x + ... + sinnx; S5 = cosx + 2cos2x + ... + ncosnx; S6 = C0n + 2C1n +... + (n +1)Cnn.. 8. Chứng minh rằng n2n C0n + (n − 1)2n −1C1n + ... + 2Cnn −1 = 2n.3n −1, ∀n ∈ ℕ *. 2 2 3 2n 2n +1 9. Tìm n ∈ ℕ * biết C12n +1 − 2.2.C2n +1 + 3.2 C2n +1 − ... + (2n + 1)2 C2n +1 = 2005.. 10.. Cho. khai. triển. a a a a 0 + 1 + 2 ... + n = 4096. 2 2 2 2n. (1 + 2x)n = a 0 + a1x + ... + a n x n , n ∈ ℕ *.. Gọi. ak. là. số. lớn. nhất. Biết. trong. rằng. các. số. n. a 0 , a1, ..., a n , (a k = max{a i ,i = 0, n}). Tính tổng S = a 0 + (∑ i.a i ) − ka k i =1. (Tức là S = a 0 + a1 + 2a 2 + 3a 3 + ... + (k − 1)a k −1 + (k + 1)a k +1 + ... + na n ). 11. Cho khai triển (1 − 2x)n = a0 + a1x + ... + a n x n , n ∈ℕ *. Biết rằng a0 + a1 + a2 = 71. Tính tổng S = 12 a1 + 22 a 2 + 32 a 3 + 42 a 4 + (52 − 1)a 5 + 62 a 6 + ... + n 2a n . 12. Cho C0n + C1n + Cn2 = 211. Tính tổng S =. 12 C0n A11. +. 22 C1n A12. +. 32 C2n A13. + ... +. (n + 1)2 Cnn. 13. Tìm số nguyên dương n thoả mãn C1n + 3Cn2 + 32 C3n + ... + 3n −1Cnn =. A1n +1. .. 2200 − 1 . 3. 14. Chứng minh rằng 1 1 0 99 1 198 100 1 199 100.C100 .( )99 − 101.C1100 .( )100 + ... − 199.C100 .( ) + 200.C100 .( ) = 0. 2 2 2 2 1 1 1 1 2011 15. Cho 2 + 2 + 2 + ... + 2 = , n ∈ ℕ, n ≥ 2. Tính tổng tất cả các hệ số A 2 A3 A 4 A n 2012 bậc lớn hơn 2 của ña thức f (x) = (1– 2x).(x2 + 1)n.. 16. Tính tổng S = C2n − 2C3n + 3C4n − 4C5n + ... + (−1)n (n − 1)Cnn . 5 −1 17. Tìm n ∈ ℕ * so cho C12n + 3C32n + 5C2n + ... + (2n − 1)C2n 2n = 2560.. 18. Tính tổng S = C2n + 2C3n + 3C4n + 4C5n + ... + (n − 1)Cnn .. 8. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(10) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 2.2.. 9. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn. Dựa vào ñịnh nghĩa ñạo hàm của hàm số tại một ñiểm và các tính chất của ñạo hàm ta có thể tính ñược một số gới hạn ở dạng vô ñịnh. 0 f (x) có dạng lim , f (0) = 0, ta vận dụng trực tiếp ñịnh 0 x→x0 x f (x) nghĩa ñạo hàm của hàm số tại một ñiểm, thu ñược lim = f '(0). x→x0 x. ðể tính giới hạn. Nếu các hàm f(x) và g(x) có ñạo hàm trên một lân cận của ñiểm x0 và f(x0) =. f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) lim x − x0 x − x0 f '(x0 ) f(x) x→x0 = g(x0) = 0, g '(x 0 ) ≠ 0 thì lim = lim = = , g(x) − g(x0 ) g'(x0 ) x→x0 g(x) x→x0 g(x) − g(x0 ) lim x − x0 x − x0 x→x0 0 ∞ (dạng vô ñịnh ). Các dạng vô ñịnh , 0.∞, ∞-∞, 1∞ , 00... ta biến ñổi về dạng 0 ∞ 0 ñể áp dụng tính chất trên. 0. VD8. Tính giới hạn 1. 1 − x + x 2 − 3 1 − x + x3 1)A = lim ; 2)B= lim ( 1 + x 2 + 3 1 + x3 ); 3)C = lim(1 + sin x) x . x→1 x→−∞ x→0 tan(x − 1). HD. 1) Xét f (x) = 1 − x + x 2 − 3 1 − x + x 3 , g(x) = tan(x − 1) trên một lân cận của ñiểm x0 = 1. Nhận thấy 2x − 1. f '(x) =. 3x 2 − 1. −. , g '(x) = 1 + tan 2 (x − 1),. f(1) = g(1) = 0,. 2 1 − x + x 2 33 (1 − x + x 3 )2 1 f '(1) = − , g '(1) = 1 ≠ 0, nên 6 f (x) f (x) − 0 f (x) − f (1) f (x) − f (1) lim f (x) f '(1) 1 A = lim = lim x − 1 = lim x −1 = lim x − 1 = x→1 x − 1 = =− . g(x) g(x) − 0 g(x) − g(1) g(x) − g(1) x→1 g(x) x→1 x→1 x→1 g'(1) 6 lim x→1 x −1 x −1 x −1 x −1 1 1 1 3 2)B= lim ( 1 + x 2 + 1 + x 3 ) = lim x(− 1 + ( )2 + 3 1 + ( )3 ). ðặt t = thì x →−∞ x →−∞ x x x t → 0 khi x → −∞. Ta có B= lim. t →0. f '(t) =. B= lim. t →0. 9. t2. −. t 1+ t2. ,. 3. 1 + t3 − 1 + t 2 . Xét f (t) = 3 1 + t 3 − 1 + t 2 , có t. f(0). =. 0,. f '(0) = 0,. 3. (1 + t 3 ) 2. 3. 1 + t3 − 1 + t 2 f (t) f (t) − 0 f (t) − f (0) = lim = lim = lim = f '(0) = 0. t →0 t t →0 t − 0 t →0 t t−0. nên. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(11) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 10. 3) Ta luôn có thể chọn ñược một lân cận của ñiểm x0 = 0 sao cho trên lân cận ñó 1 + sinx > 0. ðặt M =. 1 (1 + sin x) x ,. N = ln(M) =. ln(1 + sin x) . Xét hàm x. co s x , f(0) = 0, f '(0) = 1. Như 1 + sin x ln(1 + sin x) f (x) f (x) − f (0) lim N = lim = lim = lim = f '(0) = 1. Suy x →0 x →0 x →0 x x →0 x x−0. f (x) = ln(1 + sin x),. C=. 1 lim (1 + sin x) x x →0. f '(x) =. có. = lim M = lim e = e N. x →0. lim N. x →0. x →0. = e = e. Vậy C = 1. 1 lim (1 + sin x) x x →0. vậy ra = e.. Bài tập. 19. Tính các giới hạn sau ñây. ex + sin2x − cos3x 1− 1+ 2x2 3x + 4 − x −2 x +3 −2x 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x→0 ln1 + 4x − tan5x x→0 1 − cosx x→0 1− 2x +1 x→1 sin(1− x) n 1+ ax.m1+ bx −1 x.2x −1 sin3x ; 6) lim (a,b ≠ 0;m,n ∈ℕ*); 7) lim ; π 1− 2cosx x x→1 x −1 x→0 x→. 5) lim. 3. π 1 cos( cosx) ln(cosx) sinx x−a 2 8) lim ;9) lim ( ) (a ≠ kπ ); 10) lim ; 11) lim (sinx)tan x ; π x→0 x2 x→a sina x→0 sin(tanx) x→ 2 (x 2 +2005) 9 1 − 5x - 2005 13) lim ; x x →0. 1 1 12) lim (cos + sin ) x ; x x x →±∞.   3 1 1  ; 15) lim x + x + 2 ; 14) lim  − x → 0  3x(1 + 1 + 4x ) 2x( 3 (1 + 6x) 2 + 3 1 + 6x + 1)  x →−1 sin(x + 1)   x − x 2 + 2x. 16) lim. x →+∞ x − 3 x 3 + 3x n n. 19) lim. x −a. x →a x m − a m. esin 2x − esin x x − sin 2011x ; 18) lim ; sin x x →0 x →0 x + sin 2012x. ;17) lim. sin ax 21) lim (b ≠ 0); x → 0 sin bx. 22) lim.  1 1  24) lim  − ; x → 0  sin 2 x x 2 . 25) lim. 27) lim x2e− x ; x →+∞. 10. n 1 + ax − 1 (b ≠ 0); x → 0 m 1 + bx − 1. (a ∈ ℝ; m, n ∈ ℕ*);. 20) lim 3. 1 − 3x − 1 + 2x . tan x x →0. ln x ; x → 0 cot x. 28) lim. x→0. sin x − x x3. ;. 23) lim. x − sin x. x → 0 x 2 − tan x. ;. 26) lim (1 − cos x)cot x; x →0. 29) lim+ x ln x; x →0. 1 30) lim x sin . x x →±∞. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(12) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 2.3.. 11. Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số. Nếu hàm số y = f(x) (C) có ñạo hàm tại x = x0 thì tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M(x0; f(x0)) có phương trình là y = f '(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ); f '(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M(x0; f(x0)). Nếu tiếp tuyến của (C) y = f(x) có hệ số góc k thì hoành ñộ tiếp ñiểm thoả mãn PT k = f '(x). ðường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = f(x) khi hệ ax + b = f (x) , và nghiệm x0 của hệ này chính là a = f '(x). phương trình sau có nghiệm  hoành ñộ tiếp ñiểm.. Cho d1 : y = ax + b, d 2 : y = kx + m. Khi ñó d1 / /d 2 ⇔ a = k, b ≠ m; còn d1 ⊥ d 2 ⇔ a.k = −1. VD9. Cho (C) : y = x3 − 3x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết a) Tiếp ñiểm có tung ñộ là nghiệm của phương trình 3y − xy'+ 5x + 16 = 0. b) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng 9x − y − 15 = 0. 2 c) Tiếp tuyến ñi qua ñiểm A( ; −1). 3 HD. a) Ta có y' = 3x2 − 3. Do ñó phương trình 3y − xy'+11x +16 = 0 trở thành 3(x3 − 3x + 1) − x(3x2 − 3) + 5x + 16 = 0 ⇔ x = 19. Nghĩa là tung ñộ tiếp ñiểm. y 0 = 19. Hoành ñộ x 0 của tiếp ñiểm thỏa mãn x30 − 3x 0 + 1 = 19 ⇔ x 0 = 3. Vậy tiếp ñiểm là ñiểm M 0 (3;19). Hệ số góc của tiếp tuyến k = y'(3) = 24. Tiếp tuyến của (C) tại M 0 có phương trình y = 24(x − 3) + 19 ⇔ y = 24x − 53. b) ðường thẳng 9x − y − 15 = 0 viết lại thành y = 9x − 15. Gọi d : y = ax + b là tiếp tuyến cần tìm thì a = 9,b ≠ −15. Vì d tiếp xúc với (C) nên hệ phương trình 3  x − 3x + 1 = 9x + b phải có nghiệm . Từ phương trình thứ hai của hệ tìm ra x  2 3x − 3 = 9 rồi thế lên phương trình ñầu của hệ, ta thu ñược b = −15 hoặc b = 17. ðối chiếu với ñiều kiện của b ta lấy b = 17. Vậy tiếp tuyến cần tìm là d : y = 9x + 17. 2 c) ðường thẳng ñi qua A, có hệ số góc k, có phương trình ∆ : y = k(x − ) −1 là 3  3 2 x − 3x + 1 = k(x − ) − 1 tiếp tuyến của (C) khi hệ  có nghiệm. Tìm ra 3 2 3x − 3 = k  k = −3,k = 0. Các tiếp tuyến cần tìm là ∆1 : y = −3x + 1 và ∆ 2 : y = −1. 11. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(13) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 12.  x 2 + ax + b khi x ≤ 2 VD10. Tìm a, b ñể hàm số y =  có ñạo hàm tại  x 3 − x 2 − 8x + 10 khi x > 2. ñiểm x0 = 2 và khi ñó hãy viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x0 = 2. HD. ðể hàm số có ñạo hàm tại ñiểm x0 = 2 thì trước hết nó phải liên tục tại ñiểm này. Ta phải có y(2) = lim + y(x) = lim − y(x) ⇔ y(2) = lim + (x 3 − x 2 − 8x + 10) = lim − (x 2 + ax + b) x →2. x →2. x →2. x →2. ⇔ 4 + 2a + b = −2 ⇔ b = −2a − 6. x2 + ax − 2a − 6 khi x ≤ 2 Lúc này ta viết lại y =  . Hàm số này có ñạo hàm tại ñiểm 3 2 x − x − 8x +10 khi x > 2 y(x) − y(2) y(x) − y(2) (x 3 − x 2 − 8x + 10) − (−2) = lim − ⇔ lim + = x−2 x−2 x−2 x →2 x →2 x →2. x0 = 2 thì lim +. (x2 + ax − 2a − 6) − (−2) ⇔ 0 = a + 4 ⇔ a = −4 ⇒ b = 2. Vậy với a = –4, b = 2 thì x −2 x→2 hàm số ñã cho có ñạo hàm tại ñiểm x0 = 2 và y '(2) = 0. Khi ñó tiếp tuyến cần tìm là y = 0.(x − 2) + (−2) ⇔ y = −2. = lim−. VD11. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x4 – 2x2 biết tiếp tuyến ñi qua tâm ñường tròn nội tiếp tam giác có ba ñỉnh là ba ñiểm cực trị của (C). HD. Dễ thấy (C) có ba ñiểm cực trị là A(–1;–1), B(1;–1), O(0;0). Gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác OAB thì I(0; m) với –1 < m < 0. Các ñường thẳng OA, OB, AB lần lượt có phương trình x – y = 0, x + y = 0, y + 1 = 0. Ta có d(I, OA) = d(I, OB) = d(I, AB) ⇔. m 2. = m + 1 ⇔ m = 2 − 2 (do − 1 < m < 0). Vậy. I(0; 2 − 2). ðường thẳng ñi qua I có hệ số góc a có phương trình y = ax + 2 − 2 (d) (tiếp tuyến của ñồ thị hàm số là ñường thẳng có hệ số góc).. ðường thẳng (d) là tiếp tuyến của ñồ thị (C) khi hệ phương trình  x 4 − 2x 2 = ax + 2 − 2 (1)  3 (2) 4x − 4x = a. có. nghiệm.. Thế. (2). vào. (1). 4. giá. trị. ta. ñược. 3x 4 − 6x 2 + 2 − 2 = 0. ⇔x=±. a=±. 3±3 2 . 3. 4 3+3 2 3. bài toán y = ±. 12. Tương. ứng. ta. tìm. ñược. của. a. là. 3± 3+3 2 . Do ñó tìm ñược 4 tiếp tiếp thoả mãn yêu cầu 3. 4 3+3 2 3. 3± 3+3 2 .x + 2 − 2. 3. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(14) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 13. Bài tập. x 2 − 2x + 4 20. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = biết tiếp x − 2. tuyến vuông góc với ñường thẳng x – 3y + 2 = 0. 21. Cho y =. x+2 (C). a) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ 2x + 3. ñộ một tam giác cân. b) Viết PTTT của (C) tại các ñiểm có toạ ñộ nguyên của (C). 3 2. c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua ñiểm I(− ; −2). 17. Tìm m ñể tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C): y = x3 – 3mx2 + 4m3 là một ñường thẳng tạo với hai trục toạ ñộ tam giác có diện tích bằng. 25 . 6. 1 3. 18. Viết PTTT của ñồ thị (C): y = x 3 − x 2 a) Biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(3; 0). b) Biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 9x + 12y – 2 = 0. 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị y = x3 – 3x2 + 3 (C) và tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm M(–1;1). 20. Gọi A, B là các giao ñiểm của ñường thẳng y = x + m với ñồ thị y=. −x + 1 (C) và k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A, B. Tìm 2x − 1. m ñể tổng k1 + k2 ñạt giá trị lớn nhất. 21. a) Tìm trên trục Oy những ñiểm mà từ ñó kẻ ñược 2 tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y = x4 sao cho 2 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. b) Tìm trên ñường thẳng y = 6 những ñiểm có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y = 2x 3 − 9x 2 + 12x + 1 sao cho 2 trong số 3 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. 22. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = 2x4 – 2(m + 4)x3 + (8m + 7)x2 – 2(3m+2)x+3 tiếp xúc với trục Ox. 23. Viết PTTT của ñồ thị (C) : y = 3 24. a) Viết PTTT của y = tiếp tuyến là lớn nhất. b) Viết PTTT của y =. x −1 tại giao ñiểm của (C) với trục tung. x +1. x (C) biết khoảng cách từ tâm ñối xứng của (C) tới x −1. 4x − 3 (C) biết tiếp tuyến ñi qua gốc tọa ñộ. x −1. c) Chứng minh ñồ thị y =. x 2 − 3x + 1 x2 +1. (C) cắt Ox tại hai ñiểm phân biệt A, B.. Tính cosin của góc tạo bởi hai tiếp tuyến của (C) tại A và tại B. d) Giả sử A, B, C là ba ñiểm thẳng hàng trên ñồ thị y = x 3 − 3x + 2(T). Các tiếp tuyến của (T) tại A, B, C lần lượt cắt (T) tại các ñiểm A’, B’, C’ tương ứng khác A, B, C. Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng .. 13. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(15) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 14.  x 3 khi x ≤ 1 25. Tìm a, b ñể hàm số f (x) =  có ñạo hàm tại x0 = 1, khi ñó ax 2 + b khi x > 1. hãy viết PTTT của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x0 = 1. 26. Viết PTTT của (P) : y = x 2 − 2x + 3 biết a) Tiếp ñiểm có hoành ñộ x 0 = 1. b) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng 4x – 2y + 5 =0. c) Tiếp tuyến vuông góc với ñường phân giác của góc phần tư thứ nhất. 4x − 3 27. Cho (C)y = và ñiểm I(1;4). x −1 a) Chứng minh không có tiến tuyến nào của (C) ñi qua I. b) Chứng minh tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M bất kì luôn cắt hai ñường thẳng ∆ : x = 1 và ∆ ' : y = 4 tại A, B tạo thành một tam giác vuông có diện tích không ñổi và M là trung ñiểm của AB. Viết phương trình tiếp tuyến trong trường hợp tam giác ñó có chu vi nhỏ nhất. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong trường hợp khoảng cách từ I tới tiếp tuyến là lớn nhất. d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại N sao cho tiếp tuyến ñó vuông góc với IN. e) Chứng minh rằng mọi ñường thẳng d ñi qua I và cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt P, Q thì các tiếp tuyến của (C) tại P và tại Q song song với nhau. f) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến ñó tạo với trục hoành một góc 450. 28. Cho (C)y = 1 − x − x 2 .. 1 a) Viết PTTT của (C) biết tiếp ñiểm có tung ñộ y 0 = . 2 b) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng x + 2y = 0.. x3 29. Tìm các giá trị của a sao cho có tiếp tuyến của (C) y = − 2x 2 + 3x + 2 có 3 hệ số góc bằng a. 30. Tìm m ñể mọi tiếp tuyến của (C)y = −x3 + mx2 − mx + m 2 ñều có hệ số góc âm. 31. Tìm m ñể tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C)y = x3 + 3mx2 + m là ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ. 32. Cho (C)y = x3 + x2 + x + 1. a) CMR không có tiếp tuyến nào của (C) song song với Ox. b) Tìm trên (C) hai ñiểm mà tiếp tuyến của (C) tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau. c) Tìm k ñể trên (C) có ít nhất một ñiểm mà tiếp tuyến của (C) tại ñiểm ñó vuông góc với ñường thẳng y = kx. d) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng y = x + 1.. 14. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(16) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 2.4.. 15. Ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính ñơn ñiệu của hàm số. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên ñoạn [a; b] và ñồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì hàm số này ñồng biến (tương ứng nghịch biến) trên ñoạn [a; b]. Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên khoảng K và phương trình f '(x) = 0 có hữu hạn nghiệm trên K thì: + f(x) ñồng biến trên K ⇔ f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ K. + f(x) nghịch biến trên K ⇔ f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ K. Lưu ý: nếu thay khoảng K bởi một nửa khoảng hoặc một ñoạn thì kết luận trên vẫn ñúng, nhưng nếu thay K bởi một tập bất kì thì kết luận ñó không ñúng nữa. 1 3. VD12. Tìm m ñể hàm số y = x 3 − mx 2 + x − 2m3 a. ðồng biến trên ℝ. b. ðồng biến trên khoảng (0; +∞). c. Khoảng nghịch biến của hàm số có ñộ dài lớn hơn 2 3. HD. a) Hàm số ñồng biến trên ℝ ⇔ y' = x2 − 2mx + 1 ≥ 0 (∀x ∈ ℝ) ⇔ ∆ ' = m2 −1 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 1.. b) Hàm số ñồng biến trên khoảng (0; +∞) ⇔ y ' = x 2 − 2mx + 1 ≥ 0 (∀x > 0) x2 +1 x2 +1 2x 2 − 2 với x > 0, có f '(x) = , (∀x > 0) . Xét hàm số f (x) = 2x 2x 4x 2 f '(x) = 0 ⇔ x = ±1, với x > 0 thì f '(x) = 0 ⇔ x = 1. Trên khoảng (0; +∞) dấu của 2 f '(x) là dấu của 2x – 2. Từ ñó ta có bảng biến thiên của f(x) như sau ⇔m≤. x. 0. f '(x). –. 1 0. +∞. +∞. + +∞. f(x) 1 Suy ra m ≤. x2 +1 (∀x > 0) ⇔ m ≤ 1. Vậy m ≤ 1 là các giá trị cần tìm. 2x. c) ðể hàm số có khoảng nghịch biến thì trước hết y’ phải có hai nghiệm phân biệt, tức là ∆ ' > 0. Khi ñó gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y’ (x1< x2) thì hàm số có khoảng nghịch biến là (x1 ; x2). ðộ dài khoảng này (khoảng cách giữa 2 nghiệm của một phương trình bậc hai) là x1 − x 2 =. 4∆ ' ∆ . Vậy ñể khoảng nghịch = a a. biến của hàm số ñã cho có ñộ dài lớn hơn 2 3 ta cần ñiều kiện ñối với tam thức y ' = x 2 − 2mx + 1 là ∆ ' > 0  2 m > 2  m − 1 > 0 ⇔ ⇔ m2 − 1 > 3 ⇔  .  4∆ '  m < −2  a >2 3 2 m 2 − 1 > 2 3  15. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(17) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 16. VD13. Chứng minh hàm số y =. 1 nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh nhưng x. trên tập xác ñịnh thì nó không ñồng biến và cũng không nghịch biến. HD. Hàm số có tập xác ñịnh D = ℝ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). ðạo hàm y' = −. 1 x. 2. < 0, ∀x ∈ D. Vì y ' = −. khoảng (−∞; 0) , vì y ' = −. 1 x2. 1 x2. < 0, ∀x ∈ (−∞; 0) nên hàm số nghịch biến trên. < 0, ∀x ∈ (0; +∞) nên hàm số nghịch biến trên. khoảng (0; +∞). Ta chọn x1 = –1 thì y1 = – 1, x2 = 1 thì y2 = 1, ta thấy x1 < x 2 , y1 < y 2 nên hàm số không nghịch biến trên D. Tương tự nếu chọn giá trị x1 = 2 thì y1 =. 1 1 , x2 = 3 thì y2 = , do x1 < x 2 , y1 > y 2 nên hàm số không 2 3. ñồng biến trên D. Vậy hàm số ñã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh (−∞; 0), (0; +∞), nhưng nó không ñồng biến và cũng không nghịch biến trên tập xác ñịnh D = ℝ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Bài tập. 33. Xác ñịnh các khoảng ñơn ñiệu của hàm số 1 3 3 2 x x 2 + 3x + 3 x − x ; 2)y = ; 3)y = − x 4 + 2x 2 ; 4)y = . 4 2 2−x x +1 1 34. Tìm m ñể hàm số: a) y = x 3 + mx 2 + (m + 6)x − 1 ñồng biến trên ℝ. 3 m 3 1 b) y = x − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + ñồng biến trên nửa khoảng [ 2; +∞ ) . 3 3 1)y =. c) y = −3x 3 − mx 2 − x + 2 nghịch biến trên ℝ. d) y = 3x +. m ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh x −1. 1 e) y = x3 + (m − 1)x2 + (m + 3)x − 4 ñồng biến trên  0;3 . 3 35. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x3 + mx + 2 cắt trục Ox tại ñúng một ñiểm. 36. Lập bảng biến thiên của hàm số a)y = x − sin 2 x; b)y = 4x 2 + 1 − 2x; c)y =. 2x 2 + 3x . x +1. 37. Cho y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx. a) Tùy theo m hay lập bảng biến thiên của hàm số. b) Tìm m ñể tồn tại khoảng có ñộ dài bằng 1 mà hàm số nghịch biến trên khoảng ñó.. x2 + mx − 5 3−x a) Nghịch biến trên từng khoảng xác ñịnh. b) ðồng biến trên khoảng (−2;2). 38. Tìm m ñể hàm số y =. 16. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(18) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 2.5.. 17. Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b), ñiểm x0 ∈ (a; b), và có ñạo hàm trên các khoảng (a; x0), (x0; b). Ta có: + Nếu f '(x) > 0, ∀x ∈ (a; x 0 ); f '(x) < 0, ∀∈ (x 0 ; b) thì f(x) ñạt cực ñại bằng f(x0) tại ñiểm x = x0. + Nếu f '(x) < 0, ∀x ∈ (a; x 0 );f '(x) > 0, ∀∈ (x 0 ; b) thì f(x) ñạt cực tiểu bằng f(x0) tại ñiểm x = x0. Chú ý: – Nếu hàm số ñạt cực trị tại x0 thì f '(x 0 ) = 0 hoặc f '(x 0 ) không xác ñịnh. – Nếu f '(x) không ñổi dấu trên (a; b) thì f(x) không có cực trị trên (a; b). – Nếu x0 là ñiểm cực trị của hàm số y = f(x) (C) thì f(x0) ñược gọi là (giá trị) cực trị của hàm số, và M(x0; f(x0)) ñược gọi là ñiểm cực trị của ñồ thị (C). Giả sử hàm số f(x) có ñạo hàm ñến cấp 2 trên khoảng (a; b) và ñiểm x0 ∈ (a; b). Ta có: + Nếu f '(x 0 ) = 0; f "(x 0 ) < 0 thì f(x) ñạt cực ñại bằng f(x0) tại ñiểm x = x0. + Nếu f '(x 0 ) = 0; f "(x 0 ) > 0 thì f(x) ñạt cực tiểu bằng f(x0) tại ñiểm x = x0. Chú ý: Nếu f '(x 0 ) = f "(x 0 ) = 0 thì chưa thể kết luận ñược hàm số có ñạt cực trị tại x0 hay không (chẳng hạn với f(x) = x3 thì f '(x 0 ) = f "(x 0 ) = 0 và hàm số không ñạt cực trị tại x = 0, với f(x) = x4 thì f '(x 0 ) = f "(x 0 ) = 0 và hàm số ñạt cực tiểu tại x = 0, với f(x) = –x4 thì f '(x 0 ) = f "(x 0 ) = 0 và hàm số ñạt cực ñại tại x = 0). VD14. Cho hàm số y = x3 – 2x2 + mx +1. a) Tìm m ñể hàm số ñại cực tiểu tại x = 1. b) Tìm m ñể hàm số có hai ñiểm cực trị dương. c) Tìm m ñể hàm số có hai cực trị có tích nhỏ hơn. 31 . 27. HD. a) Ta có y ' = 3x 2 − 4x + m, y" = 6x − 4, và y"(1) = 2 > 0 nên hàm số ñã cho ñạt cực tiểu tại x = 1 khi y '(1) = 0 ⇔ m = 1. Vậy với m = 1 thì hàm số có ñiểm cực tiểu x = 1. b) Hàm số ñã cho có 2 ñiểm cực trị dương khi phương trình 3x 2 − 4x + m = 0 có ∆ ' = 4 − 3m > 0 4  2 nghiệm dương phân biệt, tức là  4 ⇔ 0 < m < . Vậy với m 3 S = 3 > 0; P = 3 > 0 4 0 < m < thì hàm số có hai ñiểm cực trị dương. 3 31 c) Hàm số ñã cho có hai cực trị có tích nhỏ hơn khi phương trình 27 31 3x 2 − 4x + m = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và y(x1).y(x2) < . Trước 27. 17. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(19) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 18. 4 3. hết, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi ∆ ' > 0 ⇔ m < . Theo 4 m x1 + x2 = , x1x 2 = . Lúc này ta có 3 3 1 2 2m 8 11 2m 8 11 y ( x1) = x13 – 2x12 + mx1 +1 = (3x12 − 4x1 + m)( x1 − ) + ( − )x1 + = ( − )x1 + 3 9 3 9 9 3 9 9 2m 8 11 31 (do 3x12 − 4x1 + m = 0). Tương tự y(x2) = ( − )x2 + . Do ñó y ( x1 ) .y ( x2 ) < ⇔ 3 9 9 27 2m 8 11 2m 8 11 31 2m 8 11 2m 8 121 31 (( − )x1 + )(( − )x2 + ) < ⇔ ( − )2 x1x2 + ( − )(x1 + x2 ) + < 3 9 9 3 9 9 27 3 9 9 3 9 81 27 2m 8 2 m 11 2m 8 4 121 31 ⇔( − ) + ( − ) + < ⇔ 3m3 − 8m 2 + 22m − 17 < 0 3 9 3 9 3 9 3 81 27 4 ⇔ m < 1 (thoả mãn m < ). Vậy m < 1 là các giá trị cần tìm. 3. ñịnh. lí. Viet. thì. Bài tập. 39. Tìm m ñể hàm số ñạt cực tiểu tại x = 0: a) y = m.x 6 + 2mx 4 ; b)y = x3 − mx 2 + (m + 1)x; c)y = x 4 + mx3; d)y = −x3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1)x − m2.. 40. Tìm m ñể hàm số y = x3 – (m+2)x +m ñạt cực ñại tại x = 1. 41. Tìm m ñể hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1 cách ñều ñiểm O. 1 4. 42. Tìm m ñể ñồ thị (C) y = x 4 − (3m + 1)x 2 + 2(m + 1) có 3 ñiểm cực trị là 3 ñỉnh một tam giác ñều. 43. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ñồ thị 1 m 1 y = x 3 − x 2 + biết rằng tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ bằng –1 là 3 2 3. một ñường thẳng song song với d: 5x – y = 0. 44. Tìm m ñể hàm số y =. x 2 + mx + 1 a)Có hai ñiểm cực trị trái dấu. b)Có hai x+m. cực trị trái dấu. 45. Tìm m ñể các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 ñối xứng với nhau qua ñường thẳng y = x. 46. Tìm m ñể hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x có hai ñiểm cực trị dương. 47. Tìm m ñể ñường thẳng y = x + m2 – m ñi qua trung ñiểm của ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số y = x3 – 6x2 + 9x. 48. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m có 3 ñiểm cực trị A, B, C (A là ñiểm cực trị nằm trên Oy) sao cho OA = BC. 49. Chứng minh ñồ thị hàm số sau luôn có hai ñiểm cực trị và viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñó:. 1 3 x 2 − m(m + 1)x + m3 + 1 2 a)y = x − mx − x + m; b)y = . 3 x−m 1 4. 1 2. 50. a) Tìm m ñể hàm số f (x) = x 4 + ax 2 + 2x − 3 có 1 ñiểm cực trị.. 18. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(20) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. b) Chứng minh hàm số y = ñó là ñiểm cực tiểu.. 19. x 2 − 3x + 1 2. x +1. (C) có duy nhất một ñiểm cực trị và. 51. Tìm a, b, c, d ñể y = ax3 + bx2 + cx + d ñạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0, ñạt cực ñại bằng 1 tại x = 1. 52. Tìm a, b, c ñể hàm số y = x3 + ax2 + bx + c ñạt cực tiểu bằng – 3 tại x = 1, và ñồ thị của nó cắt trục Oy tại ñiểm có tung ñộ bằng 2. 53. Cho hàm số y = 2x 3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 (C). a) Chứng minh với mọi m ñồ thị hàm số ñã cho luôn có hai ñiểm cực trị có khoảng cách không ñổi. c) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2xCð – xCT = – 5. d) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2yCT + yCð = 16. e) Chứng minh ñường thẳng nối hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số ñã cho có phương không ñổi. 54. Lập bảng biến thiên và xác ñịnh các ñiểm cực trị của hàm số x2 − x + 1 2 4 a)y = 2x − x ; c)y = x + 3x 2 + 6; b)y = ; x2 + x + 1 16 3 d)y = x3 − 3x − 2; e)y = x2 − ; f)y = x 4 − x. x. x2 + mx − 2 55.Tìm m ñể hàm số y = có cực trị. mx − 1. 56. Tìm m ñể hàm số y = x3 − 2x2 − mx + 2 có ñiểm cực ñại nhỏ hơn 2.. 57. Tìm m ñể hàm số y = x3 − (m − 3)x 2 + (4m − 1)x − m có hai ñiểm cực trị x1,x2 thỏa mãn x1 < −2 < x 2 .. 1 π 58. Tìm a ñể hàm số y = asin x + sin 3x ñạt cực trị tại x 0 = . 3 3 59. Tùy theo m tìm quỹ tích trung ñiểm ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số y = x3 + 3mx2 + mx + m. 60. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + m 2 có 3 ñiểm cực trị là 3 ñỉnh một tam giác vuông. 61. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3m 3 có hai ñiểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. 62. Cho hai số thực a, b thỏa mãn a + b > 4. Chứng minh rằng trong hai số a, b có ít nhất một số không phải là ñiểm cực trị của hàm số 1 y = x 3 − (m 2 + 2m)x 2 + (m 4 + 4m3 + 5m 2 + 2m)x + 2013. 3. 19. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(21) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 2.6.. 20. Ứng dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bảng biến thiên của hàm số có thể giúp ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc chứng minh bất ñẳng thức. ðể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên ñoạn [a; b] ta có thể làm theo sơ ñồ sau: – Tính f '(x) , tìm các giá trị x1, x 2 ,... ∈ [a; b] mà tại ñó f '(x) = 0 hoặc không xác ñịnh. – Tính f (x1), f (x 2 ),..., f (a), f (b) và kết luận max f(x) = max{f(x1),f(x2),...,f(a),f(b)}, min f(x) = min{f(x1),f(x2),...,f(a),f(b)}. x∈[a;b]. x∈[ a;b]. VD15. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 6x + 10 − 4x 2 . . 10 10  4x 3 ; ,y' = 0 ⇔ x = nên  , y' = 6 − 2 2  2 10 − 4x2. HD. Vì y = 6x + 10 − 4x2 , ∀x ∈D = − .  10 10 3  max y = max y( ), y(− ), y( ) = max 3 10, −3 10,10 = 10; min y = −3 10. 2 2  x∈D x∈D  2. {. }. VD16. a) Cho a, b không ñồng thời bằng 0, chứng minh y 2x b) Cho hai số dương x, y. Chứng minh rằng e + y <. ab3 4. a + 3b. 4. +. a 3b. 1 ≤ . 2 3a + b 4. 4. x+y . x. HD. a) Xét hàm số f(x) = x4 – 4xb3 + 3b4 với x ∈ ℝ. Có f '(x) = 4x 3 − 4b3 , f '(x) = 0 ⇔ x = b, f '(x) > 0 ⇔ x > b, f '(x) < 0 ⇔ x < b. Bảng biến thiên của f(x) : x. −∞. f '(x). b 0. –. +∞. +. +∞. +∞. f(x) 0 Suy. ra. f ( x ) = x 4 – 4xb3 + 3b4 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.. a 4 – 4ab3 + 3b 4 ≥ 0 ⇔. ab3 4. a + 3b. tương ứng, ta ñược 20. ab 4. ≤. 4. 3a + b 3. a + 3b. 4. +. ñó. ta. ñược. 1 (do a, b không ñồng thời bằng 0 nên a4 + 4. a 3b. 4. 3b > 0). Tương tự ta có. 4. Từ. 4. ≤. 1 . Cộng hai bất ñẳng thức này, vế với vế 4. a 3b. 1 ≤ . Dấu “=” xảy ra khi a = b. 2 3a + b 4. 4. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(22) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. b) Với x, y dương ta có e. 21. y 2x + y. <. y x+y 2x y (1) ⇔ 2 < ( + 1) ln(1 + ). ðặt t = 1 + x y x x. x 1 = . Bất ñẳng thức cần chứng minh trở thành y t −1 (t + 1) ln t − 2t + 2 > 0 (2), với t > 1. Ta xét hàm số f (t) = (t + 1) ln t − 2t + 2, t ln t − t + 1 . ðặt g(t) = t ln t − t + 1 ⇒ g'(t) = ln t. Và từ ∀t ∈ [1; +∞) . Có f '(t) = t. thì t > 1 và. t g '(t). 1 0. +∞. + +∞. g(t) 0 suy ra f '(t) > 0, ∀t > 1, f '(1) = 0. Do ñó f(t) ñồng biến trên nửa khoảng [1; +∞ ) . Dẫn tới f(t) > f(1) hay (t + 1) ln t − 2t + 2 > 0 với mọi t > 1. Tức là (2) ñược chứng minh. Vậy (1) ñược chứng minh. VD17. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x 2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x 5 + y5 + z5 . HD. Vì x + y + z = 0,x2 + y2 + z2 = 1 nên y + z = −x, y2 + z2 = 1 − x2 ,yz = x2 −. 1 2. 5 5 và P = x5 + y5 + z5 = x5 + (y + z) (y2 + z2 )2 − y2z2 − yz(y2 + z2 ) = x3 − x.   2 4 1 6 6 ≤x≤ . Ta xét hàm số Vì y2 + z2 ≥ 4yz nên 1 − x2 ≥ 4(x2 − ) ⇔ − 2 3 3  6 6 5 5 15 5 6 f(x) = x3 − x, ∀x ∈ D =  − ;  , f '(x) = x2 − , f '(x) = 0 ⇔ x = ± , 2 4 2 4 6  3 3 . 6 6 5 6 6 6 5 6 ) = f( ) = − ,f( ) = f(− ) = . Vậy max P = max f(x) = 3 6 36 3 6 36 x∈D  5 6 5 6  5 6  5 6 5 6  5 6 = max − ; = , min P = min f(x) = min ; .  − =− 36 36 36 36 36 36 x ∈ D    . và f(−. Ta thấy P ñạt giá trị lớn nhất khi trong ba số x, y, z có hai số bằng − một số bằng. 6 và 6. 6 , và P ñạt giá trị nhỏ nhất khi trong ba số x, y, z có hai số bằng 3. 6 6 và một số bằng − . Việc tính toán chi tiết xin dành cho bạn ñọc. 6 3 21. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(23) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 22. VD18. Cho x, y, z ∈ 1;4  , x ≥ y,x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P=. x y z + + . 2x + 3y y + z z + x. HD. Trước hết ta xét hàm số f(z) =. f '(z) =. x (z + x)2. −. y (z + y)2 z. =. x y z với z ∈ 1;x  . Có + + 2x + 3y y + z z + x. (x − y)(z2 − xy) (x + z)2 (y + z)2. . Nếu 1 ≤ y < x ≤ 4 thì ta có xy 0. 1. f '(z). -. f(z). x. +. f( xy ). hay f(z) ≥ f( xy ), ∀z ∈ 1;x  . Còn nếu x = y thì f '(z) ≡ 0 nên f(z) là hàm hằng, tức là luôn có f(z) = f( xy). Như thế, trong cả hai trường hợp, ta ñều có. f(z) ≥ f( xy) =. x 2y + ,∀z ∈1;x. Vì 1≤ y ≤ x ≤ 4 nên x = t2y với 1 ≤ t ≤ 2. 2x + 3y y + xy. Do ñó P = f(z) ≥ f( xy) =. t2. 2 = g(t), ∀z ∈ 1;x  , ∀t ∈ 1;2 . Hàm g(t) 2t 2 + 3 t + 1 +. nghịch biến trên 1;2  vì g'(t) = Do ñó P ≥ g(t) ≥ g(2) =. −2(t 3 (4t − 3) + 3t(2t − 1) + 9) 2. 2. 2. (2t + 3) (t + 1). < 0, ∀t ∈ 1;2  .. 34 34 , ∀t ∈ 1;2  . Vậy min P = , ñạt ñược khi 33 33. z = xy,t = 2 hay x = 4, y = 1, z = 2. VD19. Với mọi ∆ ABC nhọn, chứng minh rằng 9cos A + 6(cos B + cosC) ≤ 11. HD. ðặt M = 9 cos A + 6(cos B + cos C) , do vai trò của cosB và cosC như nhau nên ta biến ñổi. M = 9cosA + 6(cosB + cosC) = 9cosA +13.cos. B+ C B− C .cos = 2 2. A A B−C A A B− C + 12.sin .cos ≤ −18sin 2 + 12sin + 9 (do 0 < cos ≤1, 2 2 2 2 2 2 A A 2 sin > 0 ). ðặt t = sin ⇒ t ∈ (0; ), ta xét hàm số f (t) = −18t 2 + 12t + 9 2 2 2 1 2 trên khoảng (0; ), nhận thấy f '(t) = −36t + 12, f '(t) = 0 ⇔ t = . Bảng biến 2 3 thiên của f(t): = 9 − 18sin 2. 22. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(24) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. t. 23. 2 2. 1 3. 0. f '(t). +. 0 11. -. f(t). 6 2. 9 Từ ñó suy ra −18t 2 +12t + 9 ≤ 11(∀t ∈ (0;. 2 A A )) ⇒ −18sin2 +12sin + 9 ≤ 11 ⇒ M ≤ 11. 2 2 2. B−C A 1 = 1, sin = 2 2 3 1 π 1 1 1 ⇔ A = arcsin , B = C = − arcsin (tức là ∆ ABC cân tại A và có sinA = ). 3 3 2 2 3. Vậy 9cos A + 6(cos B + cosC) ≤ 11. Dấu “=” xảy ra khi cos. VD20. Với a, b là hai số thực dương thỏa mãn a e(a + b) , hãy so sánh hai số a b và ba .. ln x 1 − ln x ,f '(x) = 0 ⇔ x = e. với x > 0. Có f '(x) = x x2 Bảng biến thiên của hàm f(x):. HD. Xét hàm số f (x) =. x 0 f '(x) f(x). −∞. +. +∞. e 0 1 e. -. −∞. Ta có ab + e 2 > e(a + b) ⇔ (a − e)(b − e) > 0. Như vậy a, b sẽ cùng lớn hơn số e hoặc cùng nhỏ hơn số e. Ta xét các trường hợp sau ñây: ln a ln b - Nếu 0 < a f(b) hay > ⇔ a b > ba . a b VD21. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a 2 + b 2 + c2 = 3, tìm giá trị nhỏ 1 1 1 3 nhất của biểu thức P = + + + (a + b + c). a b c 2. 1 3x x 2 − HD. Xét hàm số f (x) = + trên khoảng 0; 3 . Có x 2 4 (x − 1). ( x(2 − x) + 2 ) ( x(2 − x) + 2 ) > 0, vì thế f '(x) = , với x ∈ 0; 3 thì 2x 2 2x 2 f '(x) cùng dấu với (x − 1) trên khoảng ñang xét. Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):. (. (. 23. ). ). Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(25) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. x 0 f '(x) +∞. 24. 1 0. -. 3. +. 22 3 − 9 12. f(x). 9 4. 1 3x x 2 9 + − ≥ , ∀x ∈ 0; 3 . Vì a, b, c > 0 và x 2 4 4 a 2 + b2 + c2 = 3 nên a, b,c ∈ 0; 3 . Lần lượt thay x bởi a, b, c từ bất ñẳng. (. Từ ñó suy ra f (x) =. (. ). ). thức trên, ta thu ñược 1 3a a 2 9  + ≥ +  a 2 4 4 1 3b b 2 9  1 1 1 3 27 1 2 15 + ≥ +  ⇒ P = + + + (a + b + c) ≥ + (a + b 2 + c 2 ) = b 2 4 4 a b c 2 4 4 2 1 3c c 2 9  (do a 2 + b 2 + c2 = 3). + ≥ +  c 2 4 4  15 Kết luận: minP = , ñạt ñược khi a = b = c = 1. 2 Bài tập. 63. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x. 64. Chứng minh rằng a) a4 + b4 ≥ ab3 + a3b với mọi a, b.. b) x.ex + 1 + 1 ≥ 0 với mọi x;. x2 d) cos x ≥ 1 − , ∀x ∈ ℝ. 2. c) (a x + b x ) y < (a y + b y ) x , ∀a, b > 0, x > y > 0.. e)3 ≤ 2. sin x. +2. cos x. 2+ 2 ≤ 2 2 , ∀x ∈ ℝ.. g) cos x + cos y ≤ 1 + cos(xy), ∀x, y ∈ ℝ, x 2 + y 2 ≤ π.  π 2 h)esin x > 1 + ln(1 + x), ∀x ∈  0;  . i)a2 ln b − b2 ln a > ln a − ln b, ∀0 < a b ≥ e.. j). 1 1 1 3( 3 − 1) + + ≤ với mọi tam giác nhọn ABC có các 1 + tanA 1 + tan B 1 + tan C 2. π . 4 π A B C k) + tan + tan + tan > sin A + sin B + sin C, với mọi ∆ABC . 2 2 2 2. góc ñều lớn hơn. l) 2(sin A + sin B + sin C) + tan A.tan B.tan C > 3π , ∀∆ABC nhoïn. 24. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(26) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 65. So sánh hai số. 2012. 25. 2012 và. 2013. 2013.. 66. Cho a > 0, b > 0, 2(a 2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của. P = 4(. a3. b3. a2. b2. + ) − 9( + ). b3 a3 b2 a 2 67. Cho a + b + c = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a −b. b −c. c −a. − 6a 2 + 6b 2 + 6c2 . 1 68. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = − x; x ∈ (−∞;0). 2x 2 69. Một hình nón có thiết diện ñi qua trục là một tam giác cân có cạnh ñáy là 2a P=3. +3. +3. và góc ở ñỉnh là 300. Một hình trụ nội tiếp trong hình nón ñó, tức là trục của hình trụ nằm trên trục của hình nón, một ñáy của hình trụ nằm trên ñáy của hình nón, ñường tròn ñáy còn lại của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón. Gọi h là chiều cao của hình trụ. Tính h theo a ñể thể tích của hình trụ là lớn nhất. 70. Tìm m ñể phương trình 2x 4 − 2mx 2 + m 2 − 3m − 3 = 0 có 4 nghiệm. Giả sử. x1,x2 ,x3 ,x 4 là 4 nghiệm của phương trình ñó. Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x1x2 x3x 4 . 71. Tìm m ñể phương trình x3 + 3mx 2 − 3x − 3m + 2 = 0 có 3 nghiệm. Giả sử. x1,x2 ,x3 là 3 nghiệm của phương trình ñó. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x12 + x22 + x32 . 72. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. a)y = a + x + b − x + (a + x)(b − x) với a + b > 0, a và b là hằng số.. b)y =. 4x + 3 1+ x. 2. . c)y = x2 + x − 6 + (3 + x)(2 − x).. e) y = ln(6x) +. 1 ln(1 − x 2 ). 2. d) y = sin2x + cosx - cos2x.. f) y = 3cos2 x + 2sin 2x.. 73. Cho tứ diện ñều ABCD cạnh a, gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Một mặt phẳng (α) thay ñổi nhưng luôn ñi qua IJ và cắt các ñoạn thẳng AB, AC, DB, DC. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (α) . 25. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(27) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 2.7.. 26. Ứng dụng ñạo hàm ñể khảo sát hàm số. Sơ ñồ khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 1) Tìm tập xác ñịnh. 2) Xét sự biến thiên – Tính y’, giải phương trình y’ = 0, xét dấu y’. – Kết luận về sự biến thiên và cực trị. – Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực. Tìm tiệm cận (nếu có). – Lập bảng biến thiên. 3) Vẽ ñồ thị. Một số lưu ý –. Hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) có tập xác ñịnh D = R, ñồ thị. b b ; f( − )) làm tâm ñối xứng. 3a 3a Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có tập xác ñịnh D = R, ñồ thị cắt Oy tại. cắt Oy tại A(0; d), nhận ñiểm I( − –. B(0; c), nhận Oy làm trục ñối xứng. ax + b d (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) có tập xác ñịnh D = R\{– }, không – Hàm số y = cx + d c a d có cực trị, ñồ thị có tiệm cận ngang y = , tiệm cận ñứng x = – , và giao ñiểm c c d a I(– ; ) của hai ñường tiệm cận chính là tâm ñối xứng của ñồ thị. c c VD22. Cho Cho hàm số y = x3 + (m + 2)x + m + 7. 1) Tìm m ñể hàm số có ñiểm cực tiểu x = 1. 2) Với m vừa tìm ñược, hãy khảo sát và vẽ ñồ thị của hàm số. 3) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 – 3x = 2k. HD. Cho 1) y’ = 3x2 + m + 2; y’’ = 6x. Hàm số ñạt cực tiểu tại x = 1 khi  y '(1) = 0 m + 5 = 0 ⇔ ⇔ m = – 5. Vậy với m = – 5 thì hàm số ñã cho có   y ''(1) > 0  6>0 ñiểm cực tiểu x = 1. 2) Khi m = – 5 thì hàm số trở thành y = x3 – 3x +2. * TXð D = R. * Sự biến thiên: y’ = 3x2 – 3; y’ = 0 ⇔ x = ± 1. +) y’ > 0 ⇔ x∈(– ∞ ; – 1) ∪ (1; + ∞ ) nên hàm số ñồng biến trên các khoảng (– ∞ ; – 1), (1; + ∞ ). +) y’ < 0 ⇔ x∈(– 1; 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– 1; 1). Hàm số ñạt cực ñại tại x = –1, yCð = y( – 1) = 4. Hàm số ñạt cực tiểu tại x = 1, yCT = y(1) = 0. 26. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(28) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 27. Giới hạn lim y = lim x (1 − 3. x →+∞. x →+∞. 3 2 + 3 ) = +∞, lim y = −∞ . 2 x →−∞ x x. Bảng biến thiên x y’ y. –∞. –1 + 0 – 4. –∞. 1 +∞ 0 + +∞ 0. * ðồ thị – ðồ thị hàm số có ñiểm cực ñại (– 1; 4), ñiểm cực tiểu (1; 0), tâm ñối xứng (0; 2). – ðồ thị cắt Ox tại (1; 0), (– 2; 0), cắt Oy tại (0; 2), ñi qua ñiểm (2; 4). 3) x3 – 3x = 2k ⇔ x3 – 3x +2 = 2k +2. Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số ñiểm chung của ñồ thị (C) y = x3 – 3x +2 và ñường thẳng (d) y = 2k + 2 (nằm ngang). Từ ñồ thị ta thấy  2k + 2 > 4.  k >1. – Với  thì (C) và (d) có 1 ñiểm chung nên phương trình ⇔  2k + 2 < 0  k < −1 ñã cho có 1 nghiệm. 2k + 2 = 4. – Với  ⇔ k = ±1 thì (C) và (d) có 2 ñiểm chung nên phương trình ñã  2k + 2 = 0 cho có 2 nghiệm. – Với 0 < 2k + 2 < 4 ⇔ −1 < k < 1 thì (C) và (d) có 3 ñiểm chung nên phương trình ñã cho có 3 nghiệm. VD23. 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y =. 1 4 3 x − x2 − . 2 2. 2) Từ ñồ thị, giải bất phương trình 1 4 3 x − x 2 − ≤ 0. 2 2. HD. 1) Học sinh tự làm. 2) Nghiệm của BPT − 3 ≤ x ≤ 3 .. VD24. 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số y =. 4x + 1 2x − 3. .. 2) Viết PT tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 14x + y – 9 = 0. 3 HD. 1)* TXð: D = R\{ }. 2 27. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(29) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. *Sự biến thiên: y’=. 28. −14 ∀x∈D. (2x − 3) 2. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 3 3 xác ñịnh (– ∞ ; ), ( ; + ∞ ). Hàm số 2 2 không có cực trị. Giới. hạn:. 4+ 1 x = 2, x →±∞ 2− 3 x. lim y = lim. x →±∞. 4x + 1 4x + 1 = +∞, lim = −∞, 3 3 x→( )+ 2x − 3 x→( )− 2x − 3 lim 2. 2. ñồ thị có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm 3 cận ñứng x = . 2 Bảng biến thiên *ðồ thị: x. 3 2. –∞. y’. –. +∞ +∞. 2. –. y –∞. 2. 1 – ðồ thị cắt Ox tại ñiểm (– ; 0), cắt 4 1 Oy tại ñiểm (0; – ). ðồ thị ñi qua các 3 3 ñiểm (–1; ), (–2; 1), (1; 5), (2; 9). 5 – ðồ thị có tâm ñối xứng là giao ñiểm 3 I( ; 2) của hai ñường tiệm cận. 2. 2) Vì tiếp tuyến song song với ñường thẳng 14x + y – 9 = 0 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = – 14. Vậy tiếp ñiểm có tọa ñộ là nghiệm của hệ phương trình 4x + 1  (2x − 3)2 = 1  y = 2x − 3 x = 2  x = 1  . ⇔ ⇔ ∨  4x 1 + 14 − y 9 y 5 = = − y =    −14 =  2x − 3  (2x − 3) 2  +) Tiếp tuyến của (C) tại ñiểm (2; 9) có phương trình y = –14(x – 2) + 9 ⇔ y = – 14x + 37. +) Tiếp tuyến của (C) tại ñiểm (1; –5) có phương trình y = –14(x – 1) – 5 ⇔ y = – 14x + 9. Nhưng ñường thẳng này lại trùng với ñường thẳng ñã cho 14x + y – 9 = 0 nên bị loại. Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của bài toán là y = – 14x + 37. Bài tập. 74. Khảo sát và vẽ ñồ thị của hàm số 2x − 1 a)y = ; b)y = x 3 − 3x 2 ; c)y = − x 4 − x 2 + 6. x −1 28. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(30) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 29. 75. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y =. 1 3 x − x2 . b) Viết PTTT của (C) 3. bíêt tiếp tuyến ñi qua A(3;0). 76. Cho (C) y = x3 − 3mx2 + 4m3. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 1. b) Tìm m ñể hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số ñối xứng với nhau qua ñường thẳng y = x. 77. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = – x3 + 3x2 và biện luận theo m số nghiệm của phương trình – x 3 + 3x2 − m = 0. 78. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = 2x3 + 3x2 – 1 và biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x 3 + 3x2 + log m = 0. 79. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 6x2 + 9x − 1. b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(2;1) và có hệ số góc m. Tìm m ñể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt. 80. Cho (C) y =. 1 3 x − mx2 + (2m − 1)x − m + 2. 3. a) Tìm ñiểm cố ñịnh. mà (C) luôn ñi qua với mọi m. b) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 2. c) Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị có hoành ñộ dương. 81. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = −x 3 + 3x2 + 1. b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(–1;5) và có hệ số góc m. Tìm m ñể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt. 82. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = −x 3 + mx + m khi m = 3. b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) ñã cho tiếp xúc với trục hoành. 83. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2 và viết PTTT của ñồ thị biết x + 2. 9 2 8 84. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x 3 – x2 − 4x + (C) và viết 3 3 PTTT của ñồ thị biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 4x + y = 0.. tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng y = −. b) Tìm m ñể (d) y = mx +. 8 cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt. 3. 85. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x 3 − 3x − 1 và viết PTTT của ñồ thị biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng y = 9x − 1. 86. Cho (C) y = x 3 − (2m + 1)x2 + (m − 1)x + m + 1. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 1. b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ cùng dấu. 87. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 3x2 + 2 và viết PTTT của (C) bíêt tiếp tuyến ñi qua A(2;–7). 88. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x3 – 3x2 và biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3 - 3x2 + 1 − 2m = 0.. 29. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(31) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 30. 89. Cho (C) y = x 3 − mx2 + x + 1. a) Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu. b) Tìm m ñể HS ñồng biến trên (1; 2). c) Khảo sát và vẽ ñồ thị HS khi m = – 2. 90. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = – x3 + 3x2 – 4 và biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3 - 3x2 + 5 − m = 0. b) Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc lớn nhất. Viết PPTT ñó. 91. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 3x2 + 4. b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(1;2) và có hệ số góc m. Tìm m ñể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt A, M, N sao cho A là trung ñiểm của MN. 92. a) Khảo sát, vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x3 − (2m − 1)x2 + (2 − m)x + 2 khi m = 2. b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) ñã cho có 2 ñiểm cực trị có hoành ñộ dương. 93. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 3x + 2. b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(3;10) và có hệ số góc m. Tìm m ñể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt. c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3 − 3x = m3 − 3m. 94. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 3mx2 + 9x + 1 khi m = 2. b) Tìm m ñể ñồ thị (C) ñã cho có ñiểm uốn thuộc ñường thẳng y = x + 1. 95. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y =. 1 3 m 2 1 x − x + khi m = 2. 3 2 3. b) Cho M ∈ (C), x M = −1. Tìm m ñể tiếp tuyến của (C) tại M song song với ñường thẳng 5x – y = 0. 96. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = 4x3 − 6x2 + 1 và viết PTTT của (C) kẻ từ ñiểm A(–1;–9). 97. a) Khảo sát, vẽ ñồ thị HS (C) y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 khi m = 1. b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) có hai ñiểm cực trị cách ñều gốc toạ ñộ O. 98. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y =. 1 3 x − 2x2 + 3x và chứng minh tiếp 3. tuyến của (C) tại ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. Viết PTTT ñó. 99. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 3x2 + m khi m = 2. b) Tìm m ñể trên ñồ thị hàm số (C) ñã cho tồn tại hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua toạ ñộ O. 100. a) Khảo sát, vẽ ñồ thị hàm số (C) y = 2x3 − 9x2 + 12x − 4 và viết PTTT của ñồ thị (C) tại tâm ñối xứng của (C). b) Tìm m ñể phương trình 2 | x |3 −9x2 + 12 | x |= m có 6 nghiệm phân biệt. 101. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 )x + m 3 − m 2 khi m = 1.. b) Tìm k ñể phương trình −x 3 + 3x2 + k3 − 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. c) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại và cực tiểu, viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñó.. 30. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(32) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 31. 102. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y =. 1 3 3 2 x − x + 5 và tìm m ñể PT 4 2. x 3 − 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt.. 103. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m khi m = 1. b) Tìm k ñể phương trình sin3 x − 2 sin2 x = k có nghiệm. c) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2, x3 thoả mãn x12 + x22 + x23 < 4.. d) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2, x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. 104. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 + mx + 2 khi m = – 3. b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại ñúng 1 ñiểm. 1 3. 105. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x3 − mx2 − x + m +. 2 khi m = 0. 3. b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2, x3 thoả mãn x12 + x22 + x23 > 15.. 106. a) Tìm m ñể M(–1;2) là ñiểm uốn. của ñồ thị hàm số. (C) y = mx 3 + 3mx2 + 4 . Với m vừa tìm ñược hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho. b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt. 107. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 3mx2 + (m2 + 2m − 3)x + 4 khi m = 1. b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) có hai ñiểm cực trị nằm ở hai phía trục tung. 108. a) Khảo sát, vẽ ñồ thị HS (C) y = x 3 − mx2 + (2m + 1)x − m − 2 khi m = 0. b) Tìm ñiểm cố ñịnh mà (C) luôn ñi qua với mọi m. c) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương. 109. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 7m + 2)x − 2m(m + 2) khi m = 0.. b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu; viết PT ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñó. c) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x ≥ 1. 110. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = − x 3 + mx2 − 4 khi m = 0. b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu; tìm toạ ñộ hai ñiểm cực trị ñó và tìm quĩ tích trung ñiểm I của ñoạn thẳng nối ñiểm cực ñại với ñiểm cực tiểu. 111. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x 3 − 3x (C) và trên ñường thẳng y = 2 những ñiểm có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới (C). 112. a) Khảo sát, vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 3x + 1 và viết PTTT của (C) kẻ 2 3. từ ñiểm A(− ; 3). b) Tìm m ñể phương trình x 3 − 3x + 6 − 2−m = 0 có 3 nghiệm phân biệt.. 31. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(33) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 32. 113. a) Chứng minh rằng ñồ thị (C) y = (m + 1)x 3 − (2m + 1)x − m + 1 luôn ñi qua ba ñiểm cố ñịnh thẳng hàng bất chấp mọi giá trị của tham số m. b) Tìm m ñể ñồ thị (C) có tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng ñi qua ba ñiểm cố ñịnh nói trên. 114. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 3mx + 3m − 2 khi m = 1. b) Chứng minh tiếp tuyến của (C) tại tâm ñối xứng của (C) là ñường thẳng luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. 115. a) Tìm m ñể hàm số (C) y = x 3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x + m ñạt cực tiểu tại x = 2. Với m vừa tìm ñược hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. b) Viết PTTT của ñồ thị hàm số ở câu a biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(0;6). 116. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 + 3x2 + mx + 1 khi m = 3 b) Chứng minh (C) luôn cắt (C ') y = x 3 + 2x2 + 7 tại hai ñiểm phân biệt A, B. Tìm quĩ tích trung ñiểm I của ñoạn AB. c) Tìm m ñể (C) cắt ñường thẳng y = 1 tại 3 ñiểm phân biệt D, E, F(0;1) sao cho tiếp tuyến của (C) tại D và E vuông góc với nhau. 117. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 + (m − 1)x2 − m khi m = 4. b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt. 1 3. 118. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = − x 3 + x2 + 3x −. 11 . 3. b) Tìm trên ñồ thị (C) cặp hai ñiểm M, N ñối xứng với nhau qua Oy. 119. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 + (1 − 2m)x2 + (2 − m)x + m + 2 khi m = 2.. b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu, và xCT > 1. 120. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = 3x − x 3 và tìm m ñể PT. sin x. cos2 x + 2 sin x − m = 0 có nghiệm. 121. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 3x. b) Tìm m ñể ñường thẳng y = mx + m + 2 cắt (C) tại ba ñiểm phân biệt A, B, I(–1;2) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B vuông góc với nhau. c) Biện luân theo k số nghiệm của phương trình x 3 − 3x = 2k. 122. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − 6x2 + 9x và biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x |3 −6x2 + 9 | x | −3 + m = 0. 123. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x 3 − (2m + 1)x 2 − (m 2 − 3m − 1)x + 2m3 − 2m2 cắt ñường phân giác của góc phần tư thứ nhất tại ba ñiểm phân biệt có tung ñộ lập thành cấp số nhân. 3 2. 1 3. 124. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x 3 − mx2 + m 3 khi m = 1. b) Tìm m ñể ñiểm cực ñại và cực tiểu của (C) ñối xứng với nhau qua ñường thẳng y = x.. 32. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(34) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 33. c) Tìm m ñể ñường thẳng y = x cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt M, N, P theo thứ tự, và MN = NP. 125. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số. y = 2x 3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 ứng với m = 1. Khi ñó hãy tìm trên ñường thẳng y = 6 những ñiểm có thể kẻ tới ñồ thị (C) 3 tiếp tuyến trong ñó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. b) Chứng minh với mọi m ñồ thị HS ñã cho luôn có hai ñiểm cực trị và hình chiếu của hai ñiểm cực trị ñó trên Ox là hai ñiểm có khoảng cách không ñổi. c) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2xCð – xCT = – 5. d) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2yCT + yCð = 16. e) Chứng minh ñường thẳng nối hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số ñã cho có phương không ñổi. f) Tìm quĩ tích tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số ñã cho. 1 3. 126. Tìm m ñể hàm số y = (m + 1)x3 − (2m − 1)x 2 + 3(2m − 1)x + 1 a) Nghịch biến trên ℝ. b) Nghịch trên khoảng (−∞; −1). c) ðồng biến trên khoảng (1; +∞). d) ðồng biến trên ñoạn [−1;1]. 1 3 a) Có cực trị trên khoảng (−∞;1). b) Có cực trị trên khoảng (1; +∞). c) Có hai cực trị x1, x 2 thoả mãn x1 < 1 < x 2 .. 127. Tìm m ñể hàm số y = x 3 − mx 2 + (m 2 − m + 1)x + 1. d) Có hai cực trị x1, x 2 thoả mãn 1 < x1 < x 2 . e) Có hai cực trị x1, x 2 thoả mãn x1 < x 2 < 1. 128. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x 4 − x 2 + 1 (C). b) Tìm những ñiểm thuộc trục Oy mà từ ñó có thể kẻ ñược ñúng 3 tiếp tuyến tới ñồ thị (C). c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 4 − x 2 + 2m = 0. d) Tính diện tích tam giác có 3 ñỉnh là 3 ñiểm cực trị của ñồ thị (C). 129. Cho y = x 4 − (m2 + 10)x2 + 9 (C). a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 0. b) Chứng minh với m ≠ 0 ñồ thị hàm số luôn cắt Ox ở 4 ñiểm phân biệt, trong ñó có 2 ñiểm có hoành ñộ thuộc khoảng (-3; 3), và có 2 ñiểm có hoành ñộ nằm ngoài khoảng (-3;3). 130. Cho y = − x 4 + 2mx 2 (C). a) Khi m = 1, hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, viết PTTT của ñồ thị hàm số biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A( 2; 0). b) Tìm m ñể hàm số có 3 ñiểm cực trị. 131. Cho y = x 4 − 4x 2 +m (C). a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 3. b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt, trong ñó hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox có diện tích phần bên trên Ox và phần bên dưới Ox bằng nhau. 132. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = − x 4 + 5x 2 − 4. b) Tìm m ñể phương trình x 4 − 5x 2 − m2 + m 3 = 0 có 4 nghiệm phân biệt. 133. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x 4 − 5x 2 + 4.. 33. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(35) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 34. b) Tìm m ñể parabol y = x 2 + m 2 tiếp xúc với ñồ thị hàm số ñã cho. Khi ñó hãy tìm toạ ñộ tiếp ñiểm. c) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x 4 − 5x 2 + 4 = k. 134. Cho y = x 4 − 2x 2 + 2 - m (C). a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 0. b) Tìm m ñể (C) và Ox có ñúng 2 ñiểm chung. 1 2. 135. Cho y = mx 4 + (m − 1)x 2 + 1 - 2m (C). a) Khi m = , khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số biết tiếp tuyến ñi qua gốc toạ ñộ O. b) Tìm m ñể hàm số chỉ có một ñiểm cực trị. 1 4. 9 4. 136. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x 4 − 2x 2 − . b) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị HS tại giao ñiểm của ñồ thị với Ox. c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 4 − 8x 2 − 9 = 2m. 137. Cho y = x 4 + mx 2 - (m + 1) (C). a) Khi m = 1, khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. b) Tìm các ñiểm cố ñịnh mà ñồ thị hàm số luôn ñi qua với mọi m. c) Gọi A là ñiểm cố ñịnh có hoành ñộ dương mà ñồ thị (C) luôn ñi qua. Tìm m ñể tiếp tuyến của (C) tại A là ñường thẳng song song với (d) : y = 2x. 138. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + m có 3 ñiểm cực trị A, B, C sao cho A ∈ Oy , OA = BC. 1 4. 139. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x 4 − (3m + 1)x 2 + 2(m + 1) có 3 ñiểm cực trị là 3 ñỉnh một tam giác ñều. 140. Tìm m ñể hàm số y = x 4 + mx 2 ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 0. 141. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y =. x+2 (C) , viết phương trình tiếp x−2. tuyến của ñồ thị biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(-6; 5). b) Tìm trên ñồ thị hàm số những ñiểm cách ñều hai trục toạ ñộ. c) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. x +2 x −2. .. 142. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y =. x (C) , viết phương trình tiếp 1+ x. tuyến của ñồ thị biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1. b) Gọi I là giao ñiểm hai ñường tiệm cận của (C). Chứng minh I là tâm ñối xứng của (C). Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua I. a+b a+b c) Chứng minh rằng ≤ , ∀a, b ∈ ℝ. 1+ a + b 1+ a + b 143. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y =. x+2 (C) , viết phương trình tiếp x −3. tuyến của ñồ thị biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 15x + 12y + 8 = 0. b) Tìm những ñiểm trên (C) mà cách ñều hai ñường tiệm cận của (C).. 34. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(36) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. c) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. 35. x+2 . x −3. d) Tìm 2 ñiểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) mà ñộ dài AB nhỏ nhất.. −2x − 4 (C). x +1 b) Biện luận theo m số giao ñiểm của (C) và d : y = x + m. Trong trường hợp. 144. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y =. (C) cắt d tại hai ñiểm phân biệt A, B, hãy tìm quĩ tích trung ñiểm của ñoạn AB. c) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. −2 x − 4 x +1. .. d) Tìm 2 ñiểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) mà ñộ dài MN nhỏ nhất. 145. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y =. 3(x + 1) (C). x−2. b) Tìm trên (C) những ñiểm có toạ ñộ nguyên. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm O. d) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. 3(x + 1) . x−2. 146. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y =. 3x + 1 (C). x −3. b) Tìm một hàm số mà ñồ thị (C’) của nó ñối xứng với ñồ thị (C) qua ñường thẳng x + y – 3 = 0. c) Gọi M là ñiểm tuỳ ý trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai ñường tiệm cận của (C) ở A, B. Chứng minh M là trung ñiểm của AB và tam giác tại bởi tiếp tuyến nói trên với hai ñường tiệm cận của (C) có diện tích không ñổi. 147. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y =. x+2 (C). x −1. b) Cho A(0; a). Tìm a ñể từ A kẻ ñựơc 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp ñiểm tương ứng nằm về 2 phía Ox. c) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. x+2 . x −1. mx − 1 (C). a) Với m = 0 hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. x − 2m + 1 −1 b) Vẽ ñồ thị (C ') : y = c) Tìm quĩ tích tâm ñối xứng của (C). . x +1 x+2 149. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = (C). x. 148. Cho y =. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ ñộ một tam giác cân. Khi ñó hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến ñó và hai ñường tiệm cận của (C). c) Gọi I là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ I tới tiếp tuyến ñó là lớn nhất. (2m − 1)x − m 2 150. Cho y = (C). a) Với m = - 1 hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm x −1. số. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số với các trục toạ ñộ.. 35. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(37) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 36. b) Tìm m ñể (C) tiếp xúc với ñường thẳng y = x. 151. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. x . x−2. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai ñường tiệm cận của (C) một tam giác có chu vi lớn nhất, và khi ñó tính chu vi, diện tích của tam giác nói trên. 152. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 2x − 1 . x −1. b) Gọi I là tâm ñối xứng của (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M sao cho tiếp tuyến ñó vuông góc với IM. 153. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. x+3 . x −1. b) Gọi I là tâm ñối xứng của (C). Gọi M là ñiểm tuỳ ý trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai ñường tiệm cận của (C) ở A, B. Chứng minh M cách ñều 3 x +3 . x −1 x +3 . 154. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = x+2 1 b) Chứng minh với mọi m ñường thẳng d : y = x − m luôn cắt (C) ở 2 ñiểm 2. ñiểm I, A, B.. c) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. phân biệt A, B. Tìm m ñể ñộ dài AB nhỏ nhất. c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = 1 +. 1 . x+2. 155. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. x +1 . x −1. b) Chứng minh ∆ : y = x là một trục ñối xứng của (C). c) Tìm m ñể d : y = 2x + m cắt (C) ở 2 ñiểm A, B mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ I(1; 1) tới tiếp tuyến là lớn nhất. e) Tìm M ∈ (C) sao cho ñoạn IM nhỏ nhất. 156. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. x −1 . x +1. b) Lấy tuỳ ý M ∈ (C) . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ M tới hai ñường tiệm cận của (C). c) Tìm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (C) và ñộ dài AB nhỏ nhất. 157. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 2x − 1 . x +1. b) Viết PTTT của (C) tại những ñiểm có toạ ñộ nguyên thuộc (C). c) Gọi I là tâm ñối xứng của (C). Tìm M ∈ (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM. x . x +1 b) Tìm M ∈ (C) ñể khoảng cách từ M tới ∆ : 3x + 4y = 0 bằng 1.. 158. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 36. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(38) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 37. 159. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 2x . x +1. b) Tìm M ∈ (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ ñộ một tam giác có diện tích bằng 0,25. 160. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. x+2 . 2x + 3. b) Viết PTTT của (C) tại những ñiểm có toạ ñộ nguyên thuộc (C). c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có AB = OA. 2 . 161. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 2x + 1 . x +1. b) Tìm m ñể ∆ : 2x + y = m cắt (C) ở A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 . c) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. 2 x +1 x +1. .. −x + 1 . 2x − 1 b) Chứng minh với mọi m ñường thẳng ∆ : y = x + m luôn cắt (C) ở A, B phân biệt. Gọi k1, k 2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A, B. Tìm m ñể. 162. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. tổng k1 + k 2 lớn nhất. c) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. −x + 1 . 2 x −1. 163. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 2x + 1 . x +1. b) Tìm m ñể ∆ : y = mx + 2m + 1 cắt (C) ở A, B sao cho khoảng cách từ A và B tới Ox bằng nhau. 164. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. x . x −1. b) Tìm m ñể ∆ : y = − x + m cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A, B và tìm quĩ tích trung ñiểm của ñoạn thẳng AB. 165. Cho (C) : y =. ax + b (a + b ≠ 0). a) Tìm a, b ñể (C) cắt Oy tại A(0; -1) và x −1. tiếp tuyến của (C) tại A có hệ số góc bằng – 3. b) Với a, b vừa tìm ñược hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho. 166. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 2x + 1 . Viết phương trình tiếp x−2. tuyến của (C) biết tiếp tuyến ñó song song với ñường thẳng 5x + y = 22. b) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua ñiểm I(2; 2). c) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. x + x +1 x−2. .. 167. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 2x − 1 . x −1. b) Tìm m ñể d : y = −2x + m − 1 cắt (C) tại A, B sao cho AB = 2. 37. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(39) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. c) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. 38. x + x −1 x −2. .. 168. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 2x − 1 . x +1. b) Tìm M ∈ (C) ñể tiếp tuyến của (C) tại M và ñường thẳng IM có tích hai hệ số góc bằng – 9, với I là tâm ñối xứng của (C). c) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. 2 x −1 x +1. .. 169. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 1− x . 2x + 1. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A (với A là giao ñiểm của Ox với một ñường tiệm cận nào ñó của (C)). c) Tìm những ñiểm nguyên của ñồ thị (C). 170. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 2x + 1 . x −1. b) Chứng minh giao ñiểm I của hai ñường tiệm cận là tâm ñối xứng của (C). c) Tìm A ∈ (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt tiệm cận ñứng của (C) ở B và IA2 + IB2 + AB2 = 24 .. x+m (C). a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 1. x −1 b) Gọi I là tâm ñối xứng của (C), A ∈ (C) và x A = 2, ñường thẳng qua A và. 171. Cho y =. vuông góc với IA cắt ñồ (C) thị tại ñiểm thứ hai B. Tìm m ∈ ℤ ñể IB = 172. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y =. 2x + 1 . x −1. 730 . 3. b) Chứng minh giao ñiểm I của hai ñường tiệm cận là tâm ñối xứng của (C). c) Tìm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho ∆IAB cân ở I và có diện tích bằng 4. 2x + 1 . x −1 (m + 1)x + m 173. Cho y = (C). a) Khi m = 1 hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, x+m. d) Vẽ ñồ thị (C ') : y =. tìm trên ñồ thị những ñiểm có tổng khoảng cách tới hai ñường tiệm cận là nhỏ nhất. b) Tìm m ñể tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ x 0 = m cắt hai ñường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích bằng diện tích của tam giác tạo bởi tiếp tuyến ñó với hai trục toạ ñộ. 174. a) Tìm m ñể hai ñường tiệm cận của (H) : y =. 2x + m cùng với hai trục tọa mx − 1. ñộ tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 8. b) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số với m < 0 vừa tìm ñược ở trên. 38. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(40) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 2.8.. 39. Ứng dụng ñạo hàm ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. Nếu f(x) là hàm số ñồng biến hoặc là hàm hằng trên D, g(x) là hàm nghịch biến hoặc là hàm hằng trên D thì phương trình f(x) = g(x) có không quá 1 nghiệm trên D (f (x) ≡/ g(x)). Nếu f(x) là hàm ñơn ñiệu trên D thì f(a) = f(b) ⇔ a = b (a, b ∈ D). Nếu f(x) ñồng biến trên D thì f (a) > f (b) ⇔ a > b (a, b ∈ D). Nếu f(x) nghịch biến trên D thì f (a) > f (b) ⇔ a < b (a, b ∈ D). Nếu a = min f (x), A = max f (x) thì bất phương trình m ≥ f (x) có nghiệm trên x∈D. x∈D. D khi m ≥ a, và bất phương trình này nghiệm ñúng với mọi x ∈ D khi m ≥ A. Rất nhiều bài toán ñược giải quyết dựa vào bảng biến thiên của hàm số. VD25.Gải phương trình. 3sin13 x − 3cos13 x + sin 3 x + sin 3 (. π 3π − x) + 3cos 2x + 3 2 sin(x − ) = 0. 2 4. HD. Ta biến ñổi phương trình thành. 3sin13 x + sin 3 x − 3sin 2 x + 3sin x = 3cos13 x + cos3 x − 3cos 2 x + 3cos x (1). Hàm f (t) = 3t13 + t 3 − 3t 2 + 3t có f '(t) = 39t12 + 3(t − 1)2 > 0, ∀t ∈ ℝ, nên ñồng biến trên ℝ. Ta có (1) ⇔ f (sin x) = f (cos x) ⇔ sin x = cos x ⇔ x =. π 4. + kπ , k ∈ ℤ.. VD26. Tìm m ñể hệ sau ñây có nghiệm  4x + 3y + 2. x + y + 1 = 2 3x 2 + 5xy + 2y 2 + 2. 3x + 2y (1)  .  37  x + y + x − y ≥ m3 − 3m 2 + 3m + (2) 12 . HD.. Ta. ñặt.  u = 3x + 2y ≥ 0   v = x + y ≥ 0. thì. hệ. ñã. cho. ñược. viết. thành.  u 2 + v2 + 2v + 1 = 2uv + 2u u 2 + v2 + 2v + 1 = 2uv + 2u (do u, v ≥ 0)   ⇔  37 2 2 3 2 37 v + 2u 2 − 5v2 ≥ m3 − 3m2 + 3m + v + 2u − 5v ≥ m − 3m + 3m +  12  12 u = v + 1  2 ⇔ 37 . Ta xét hàm số f (v) = −3v + 5v + 2 2 3 2 −3v + 5v + 2 ≥ m − 3m + 3m + 12. với v ≥ 0, có f '(v) = −6v + 5, và có bảng biến thiên. 39. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(41) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 40. 5 6. 0. v f '(v). +. +∞. 0. –. 49 12. f(v) 5 −∞. Từ bảng biến thiên và hệ cuối cùng ta thấy hệ ñã cho có nghiệm khi 37 49 m3 − 3m 2 + 3m + ≤ ⇔ (m − 1)3 ≤ 0 ⇔ m ≤ 1. Vậy hệ ñã cho có nghiệm 12 12 khi m ≤ 1. VD27. Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình  2x 3 − (y + 2)x 2 + xy = m .  2  x + x − y = 1 − 2m 4 3  2x3 − (y + 2)x 2 + xy = m m = −x + 2x − x HD.  ⇔ 2x 2 − 2x + 1 . 2  2 x + x − y = 1 − 2m y = x + x + 2m − 1. Xét. f '(x) =. f(x) =. số. hàm 5. 4. −x4 + 2x3 − x 2. 2x − 2x +1. 3. −4x + 10x − 12x − 8x 2 − 1 (2x 2 − 2x + 1)2. =. ñịnh. xác. trên. ℝ,. ñạo. có. hàm. (2x − 1)(4x 2 − 4x + 2 − 2 3)(−8x 2 + 8x − 4 − 4 3) (2x 2 − 2x + 1)2. ,. và có bảng biến thiên x. 1− 2 3 −1 2. −∞. f '(x). +. 0. 1+ 2 3 −1 2. 1 2. –. 0. 2− 3 2. +. 0. +∞. –. 2− 3 2. f(x) −. 5 8. −∞. −∞. Nhận thấy số nghiệm của hệ phương trình ban ñầu bằng số nghiệm của phương trình m = f(x). Căn cứ vào bảng biến thiên trên ta có kết luận: 2− 3 . 2 2− 3 5 hoặc m < − . – Hệ phương trình ñã cho có 2 nghiệm khi m = 2 8. – Hệ phương trình ñã cho vô nghiệm khi m >. 40. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(42) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 41. 5 8. – Hệ phương trình ñã cho có 3 nghiệm khi m = − . 5 8. – Hệ phương trình ñã cho có 4 nghiệm khi − < m <. 2− 3 . 2. VD28. Giải bất phương trình a) x + 12 + log52 (3 + x) ≥ 7 − 3 x + 4; b)x5 + 4x 2x −1 > 2(2x2 + 1) 2x −1 − x.. HD. a) x + 12 + log52 (3 + x) ≥ 7 − 3 x + 4 ⇔ x + 12 + log52 (3 + x) − 7 + 3 x + 4 ≥ 0 (1). Xét hàm số f (x) = x + 12 + log52 (3 + x ) − 7 + 3 x + 4 với tập xác ñịnh D = [ 0; +∞ ) . Hàm số liên tục trên D và có ñạo hàm là log5 (3 + x ) 1 1 f '(x) = + + > 0, ∀x ∈ (0; +∞), nên f(x) 2 x + 12 33 (x + 4)2 x (3 + x ) ln 5 ñồng biến trên D. Hơn nữa f(4) = 0 nên (1) ⇔ f (x) ≥ f (4) ⇔ x ≥ 4. Vậy bất phương trình ñã cho có nghiệm x ≥ 4 .. b) x5 + 4x 2x − 1 > 2(2x 2 + 1) 2x − 1 − x ⇔ x5 + x > ( 2x − 1)5 + 2x − 1 ⇔ ⇔ f (x) > f ( 2x − 1) (với hàm f(x) = x5 + x ñồng biến trên ℝ) 1  x ≥ ⇔ x > 2x − 1 ⇔  2 . Vậy bất phương trình ñã cho có tập nghiệm  x ≠ 1 1  S =  ;1 ∪ (1; +∞ ) . 2  VD29. Giải hệ phương trình 2 x − 2 y = (y − x)(xy + 2) a)  ; 2 2  x + y = 2.  x + y + 1 + 1 = 4(x + y)2 + 3(x + y)  b)  ; 3 − = 2x y   2 y x   tan x − tan y = (1 + x + y ) − (1 + x + y ) c)  ; 1− y 1 − x 3 +5 = 2(1 + 9 − 10x + y)  x 3 − 3x 2 − 9x + 22 = y3 + 3y 2 − 9y  d)  . 1 2 2 x + y − x + y =  2. 41. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(43) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 42. 2x − 2 y = (y − x)(xy + x 2 + y2 ) 2 x + x 3 = 2 y + y3 (1) HD. a) Hệ ⇔  ⇔ . Xét hàm (2)  x 2 + y2 = 2  x 2 + y 2 = 2 f (x) = 2 x + x 3 có ñạo hàm f (x) = 2 x ln 2 + 3x 2 > 0, ∀x ∈ ℝ, nên f(x) ñồng biến trên ℝ. Như vậy (1) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y, thế vào (2) ta ñược x2 = 1. Do ñó x = y = ±1. Vậy hệ ñã cho có 2 nghiệm (1; 1), (–1; –1).. b) ðặt t = x + y thì phương trình ñầu tiên của hệ phương trình ñã cho trở thành. t + 1 + 1 = 4t 2 + 3t ⇔ 4t 2 + 3t − t + 1 − 1 = 0 (3). Sau ñó ta xét hàm số. f (t) = 4t 2 + 3t − t + 1 − 1, có f '(t) = 8t +. 9t + 9 − 3t 2 3t 2 + 3t. > 0, ∀t ∈ (0; +∞), nên. 1 1 1 1 f(t) ñồng biến trên [0; +∞). Lại có f ( ) = 0 nên (3) ⇔f(t) = f( ) ⇔t = ⇔x + y = . 2 2 2 2 2 1    x = 3  x + y = 2 Suy ra hệ phương trình ñã cho tương ñương với  . Vậ y ⇔ 3 1  2x − y = y = − 2 6   2 3. 1 6. hệ phương trình ñã cho có nghiệm ( ; − ).. 3 từ phương trình thứ hai rồi thế vào 2 c ủa h ệ, sau ñó xét hàm số. Nhận xét. Cũng có thể rút y = 2x − phương. trình. thứ. nhất. f (x) = 72x 2 − 72x + 16 + 3 4x − 2 − 12x − 2.. π π   x + y ≥ 0, x ≤ 1, y ≤ 1 x ≠ + kπ, y ≠ + mπ; k,m ∈ ℤ ⇔ (*). c) ðiều kiện:  2 2 − + ≥ 9 10x y 0  x + y ≥ 0, x ≤ 1, y ≤ 1,9 − 10x + y ≥ 0 Từ ñiều kiện này, dễ thấy nếu x < −1 thì x + y < 0 (mâu thuẫn), do ñó x ≥ −1, π π tương tự y ≥ −1. Vậy ta có x, y ∈[−1;1] ⊂ (− ; ). 2 2 Hàm số f (t) = tan t có f '(t) = 1 + tan t > 0 nên f(t) ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh. Suy ra f(t) ñồng biến trên ñoạn [−1;1]. Ta cũng lưu ý thêm rằng 1 + x + y ≥ 1. Như vậy: - Với −1 ≤ x < y ≤ 1 và thoả mãn ñiều kiện (*) thì tan x − tan y < 0, còn (1 + x + y) y − (1 + x + y)x ≥ 0 nên phương trình ñầu của hệ ñã cho không nghiệm ñúng. - Với −1 ≤ y < x ≤ 1 và thoả mãn ñiều kiện (*) thì tan x − tan y > 0, còn (1 + x + y) y − (1 + x + y)x ≤ 0 nên phương trình ñầu của hệ ñã cho không nghiệm ñúng. 42. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(44) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 43. - Với x = y ∈ [−1;1] và thoả mãn ñiều kiện (*) thì phương trình ñầu của hệ ñã cho nghiệm ñúng. Vậy phương trình ñầu của hệ ñã cho tương ñương với x = y. Hệ phương trình ñã cho tương ñương với  x = y ∈ [0;1]  x = y ∈ [0;1] . Ta ñặt ⇔  1− x  1− x 1− x 1− x 3 5 2(1 9 9x ) 3 5 2 6 1 x (4) + = + − + = + −  . t = 1 − x thì 0 ≤ t ≤ 1 và phương trình (4) trở thành 3t + 5t = 6t + 2 (5). Bây giờ xét. hàm. số. g(t) = 3t + 5t − 6t − 2. trên. ño ạ n. [0;. 1],. ta. có. g '(t) = 3t ln 3 + 5t ln 5 − 6, g ''(t) = 3t ln 2 3 + 5t ln 2 5 > 0. Suy ra hàm g '(t) ñồng biến trên [0;1]. Lại có g '(0) = ln 3 + ln 5 − 6 < 0, g '(1) = 3ln 3 + 5 ln 5 − 6 > 0, g '(t) liên tục, nên tồn tại duy nhất t 0 ∈ (0;1) sao cho g '(t 0 ) = 0. Hơn nữa g '(t) < 0, ∀t ∈ (0; t 0 ); g '(t) > 0, ∀t ∈ (t 0 ;1). Lập bảng biến thiên ta suy ra ñược g(t) ≤ 0, ∀t ∈ [0;1], dấu “=” chỉ xảy ra khi t = 0 hoặc t = 1. Do ñó (5) có nghiệm t = 0, t = 1. Tức là (4) có hai nghiệm x = 0, x = 1. Thử lại ta thấy các cặp giá trị x = y = 0, x = y = 1 thoả mãn hệ phương trình ñã cho. Vậy hệ phương trình ñã cho có hai nghiệm: (0; 0), (1; 1).. (x − 1)3 − 12(x − 1) = (y + 1)3 − 12(y + 1) (6)  d) Biến ñổi ⇔  . Từ phương trình 1 2 1 2 − + + = (x ) (y ) 1 (7)   2 2 1 1 3 1 3 3 1 3 (7) suy ra −1 ≤ x − ≤ 1, −1 ≤ y + ≤ 1 nên − ≤ x −1 ≤ < , − < − ≤ y + 1 ≤ . 2 2 2 2 2 2 2 2  3 3 Xét hàm số f(t) = t 3 − 12t trên  − ;  , có f '(t) = 3(t 2 − 4) < 0 nên f(t)  2 2 nghịch biến. Do ñó (1) ⇔ f(x − 1) = f(y + 1) ⇔ x − 1 = y + 1 ⇔ y = x − 2 (8).. 1 3 1 3 Thế (8) vào (7) thu ñược (x − )2 + (x − )2 = 1 ⇔ x = hoặc x = . Thay 2 2 2 2 1 3 3 1 vào (8) ta ñược nghiệm của hệ ( ; − ), ( ; − ). 2 2 2 2. VD30. Giải hệ phương trình (17 − 3x) 5 − x + (3y − 14) 4 − y = 0 (1) .  2  2 2x + y + 5 + 3 3x + 2y + 11 = x + 6x + 13 (2) HD..  x ≤ 5; y ≤ 4  * ðiều kiện: (3)  2x + y + 5 ≥ 0 . 3x + 2y + 11 ≥ 0  43. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(45) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 44. * Từ phương trình (1) của hệ ta có [3(5 − x) + 2] 5 − x = [3(4 − y) + 2] 4 − y hay f (5 − x) = f (4 − y) với f (t) = (3t + 2) t. Dễ thấy hàm f(t) liên tục trên nửa 3t + 2 > 0, ∀t ∈ (0; +∞), nên f(t) ñồng biến trên khoảng [ 0;+∞ ) và f '(t) = 3 t + 2 t [ 0; +∞ ) . Khi ñó (1) ⇔ f (5 − x) = f (4 − y) ⇔ 5 − x = 4 − y ⇔ y = x − 1 (4). * Thế (4) vào (2) ta ñược 2 3x + 4 + 3 5x + 9 = x 2 + 6x + 13 6x 15x ⇔ 2( 3x + 4 − 2) + 3( 5x + 9 − 3) = x2 + 6x ⇔ + = x2 + 6x 3x + 4 + 2 5x + 9 + 9 6 15 ⇔ + − x − 6 = 0 (5) hoặc x = 0. 3x + 4 + 2 5x + 9 + 9 * Với x = 0 thì y = -1 (thoả mãn hệ ñiều kiện (3)). 6 15 + − x −6 * ðể giải phương trình (5) ta xét hàm số g(x) = 3x + 4 + 2 5x + 9 + 9  4  liên tục trên ñoạn  − ;5 và có  3  4 −9 −75 g '(x) = + − 1 < 0, ∀x ∈ ( − ;5), 3 3x + 4( 3x + 4 + 2) 2 5x + 9( 5x + 9 + 9) 2.  4  nên g(x) nghịch biến trên  − ;5 . Do ñó (5) có không quá một nghiệm. Lại  3  có g(-1) = 0. Nên (5) có nghiệm duy nhất x = -1, suy ra y = - 2 (thoả mãn (3)). * Vậy hệ phương trình ñã cho có hai nghiệm ( 0; −1) ; ( −1; −2 ) . VD31. Giải hệ phương trình  5x 2 + 2xy + 2y 2 + 2x 2 + 2xy + 5y 2 = 3(x + y) (1)  .   2x + y + 1 + 2 3 7x + 12y + 8 = 2xy + y + 5 (2) HD. ðiều kiện: 2x + y + 1 ≥ 0 (*). Có 5x2 + 2xy + 2y2 = (4x2 + 4xy + y2 ) + (x2 − 2xy + y2 ) = (2x + y)2 + (x − y)2 ≥ (2x + y)2.. Suy ra. 5x 2 + 2xy + 2y 2 ≥ 2x + y ≥ 2x + y. Tương tự chứng minh ñược rằng. 2x2 + 2xy + 5y2 ≥ x + 2y ≥ x + 2y. Nên. 5x2 + 2xy + 2y2 + 2x2 + 2xy +5y2 ≥ 3(x + y).. x = y  Dấu “=” ở bất ñẳng thức này xảy ra khi  2x + y ≥ 0 ⇔ x = y ≥ 0. Nghĩa là  x + 2y ≥ 0  (1) ⇔ x = y ≥ 0 (thỏa mãn ñiều kiện (*)). Thế y = x vào (2) ta ñược 3x + 1 + 2 3 19x + 8 = 2x 2 + x + 5. (x ≥ 0). ⇔ 3x + 1 − 1 + 2( 3 19x + 8 − 2) = 2x 2 + x 44. (x ≥ 0). Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(46) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 45.   3 38  (x ≥ 0) (3). ⇔x + − 2x − 1 = 0  3x + 1 + 1 3 (19x + 8) 2 + 2 3 19x + 8 + 4    3 38 + − 2x − 1 với x ∈ [ 0; +∞ ) . Xét f (x) = 3x + 1 + 1 3 (19x + 8)2 + 2 3 19x + 8 + 4. Vì f '(x) =. −9 2 3x + 1( 3x + 1 + 1)2.   38 2  −38. 3 +  3 19x + 8 33 (19x + 8)2    − 2 < 0, ∀x ≥ 0, + 2.  3 (19x + 8)2 + 23 19x + 8 + 4      nên f(x) nghịch biến trên nửa khoảng [ 0; +∞ ) . Lại có f(1) = 0. Do ñó phương trình f(x) = 0 có nghiêm duy nhất không âm x = 1. Dẫn tới với x ≥ 0 thì x = 0 (3) ⇔  . Vậy hệ phương trình ñã cho có hai nghiệm (0;0), (1;1). x = 1. (. ). x x VD32. Giải phương trình 33 + 3x = log3 2 x + x + 2 x + 32 + x (1).. HD. ðiều kiện: 2 x + x > 0. ðặt 3x = u > 0, 2 x + x = v > 0. Ta có x = log 3 u x x nên từ 2 + x = v ta có 2 = v − x = v − log3 u. Phương trình (1) trở thành. 3u + u = log3 v + v − log3 u + 3v ⇔ 3u + u + log3 u = 3v + v + log3 v (2). Xét hàm số f (t ) = 3t + t + log3 t với t ∈ ( 0; +∞ ) . Dễ thấy hàm f(t) ñồng biến trên khoảng. ( 0; +∞ ). nên. từ. (2). ta. có. 3x = 2x + x ⇔ 3x − 3x = 2x − 2x (3).. f (u ) = f (v) ⇔ u = v G ọi. x0 là x0. 3x0 − 3x0 = 2 x0 − 2 x0 (4). Ta xét hàm g (t ) = t. nghiệm. và. thu c ủa. (3). ñược thì. − tx0 biến t. Hàm này liên tục. trên ñoạn [ 2;3] , khả vi trên khoảng ( 2;3) , và có g (2) = g (3) (do có (4)). Theo. (. ). ñịnh lí Rôn, tồn tại α ∈ ( 2;3) sao cho g '(α ) = 0 hay x0 α x0 −1 − 1 = 0 ⇔ x0 = 1 hoặc x0 = 0. Thử lại thấy x = 1, x = 0 ñều thỏa mãn phương trình (1). Vậy (1) có hai nghiệm x = 1, x = 0 .. Ghi chú: Lời giải các ví dụ 30, 31 , 32 là của bạn Khổng Văn Thịnh, học sinh lớp 12A13, trường THPT Yên Phong số 2 – huyện Yên Phong – tỉnh Bắc Ninh, năm học 2012 – 2013.. VD33. Giải phương trình 3 a) x 3 − 3x 2 + 2x − 3 + 2 3x 2 − 12x + 9 = 0 (1). b) (2x − 1).2x − 3x + 1 = 0 (2). 45. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(47) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 46. HD. a) Ta biến ñổi (1) ⇔ ( x − 2)3 + 3x2 − 10 x + 5 − 23 2( x − 2) − 3x2 + 10 x − 5 = 0. 3. 3. ðặt v = −3x 2 + 12 x − 9 = 3 2( x − 2) − 3x 2 + 10 x − 5 = 2u − 3 x 2 + 10 x − 5. và. u3 + 3x2 −10x + 5 − 2v = 0 u = x − 2 thu ñược  . Trừ vế cho vế hai phương trình v3 + 3x2 −10x + 5 − 2u = 0  v 2 3v2  3 3 + 2 = 0 ⇔ u = v. trong hệ trên, ta có u − v + 2(u − v) = 0 ⇔ ( u − v)  u +  + 4  2   3 Dẫn tới (1) ⇔ x − 2 = −3 x 2 + 12 x − 9 ⇔ x3 − 3x 2 = −1 (3).. Xét hàm f ( x) = x3 − 3 x 2 , f '( x) = 3 x 2 − 6 x = 3 x( x − 2). Nếu x ≥ 3 thì f '( x) > 0 ⇒ f ( x) ≥ f (3) = 0 > −1, ∀x ≥ 3. Nếu x ≤ −1 thì f '( x) > 0 ⇒ f ( x) ≤ f (−1) = −4 < −1, ∀x ≤ −1. Như vậy các giá trị x ≥ 3 , x ≤ −1 ñều không phải là nghiệm của (1). Bây giờ ta xét −1 < x < 3, ñặt x = 1 + 2cos t , với t ∈ ( 0; π ) . Thế vào (3) ta có. 1 2π π ⇔t =± +k , k ∈ ℤ. Nhưng 2 9 3 π 5π 7π π 5π t ∈ ( 0; π ) nên ta lấy t = , , . Và tìm ñược x = 1 + 2cos , x = 1 + 2cos , 9 9 9 9 9. (1 + 2cos t )3 − 3 (1 + 2cos t )2 = −1 ⇔ cos 3t = π. x = 1 + 2cos 7 . ðây là 3 nghiệm của (1). 9. 1 3x − 1 b) ðiều kiện: x ≠ . Biến ñổi (2) ⇔ 2x = (4). Xét các hàm f(x) = 2x , 2 2x − 1 1  3x − 1 −1 g(x) = , có f '(x) = 2x.ln2 > 0,∀∈ ℝ, g'(x) = < 0,∀x ∈ D = ℝ \  , 2x − 1 2  (2x − 1)2  1 nên f(x) ñồng biến trên ℝ còn g(x) nghịch biến trên từng khoảng  −∞;  và 2  1   ; +∞  . Vì thế trên mỗi khoảng nói trên, phương trình (4) có không quá 1 2  nghiệm, tức là (4) có không quá 2 nghiệm trên toàn bộ tập xác ñịnh. Mặt khác ta kiểm tra thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của (4). Chứng tỏ (4) chỉ có 2 nghiệm là x = 0, x = 1. Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x = 0, x = 1. VD34. Chứng minh rằng phương trình x 5 − x 2 − 2x − 1 = 0 (1) có nghiệm duy nhất. HD. Từ phương trình ta có x 5 = (x + 1) 2 , vì (x + 1)2 ≥ 0 nên x 5 ≥ 0 hay x ≥ 0. Với x ≥ 0 thì x + 1 ≥ 1 nên x 5 = (x + 1)2 ≥ 1 ⇒ x ≥ 1. Do ñó tất cả những giá trị x < 1 ñều không là nghiệm của phương trình (1). Bây giờ ta chỉ cần xét (1) với. 46. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(48) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. những. x ≥ 1.. ðặt. 47. f (x) = x 5 − x 2 − 2x − 1,. nhận. và. thấy. rằng. f '(x) = 5x4 − 2x − 2 = 2x(x3 −1) + 2(x4 −1) + x4 > 0, ∀x ≥ 1, nên hàm f(x) ñồng biến trên [1; +∞ ) . Hơn nữa f(x) liên tục trên tập ñó và có f (1) = −3 < 0, f (2) = 23 > 0. nên (1) có nghiệm duy nhất x 0 trên nửa khoảng [1; +∞ ) . Và 1 < x 0 < 2. (Ta có thể tính ra ñược giá trị xấp xỉ của nghiệm của phương trình (1) như sau, nhờ máy tính, x 0 ≈ 1, 425 299 577 684 700 360 202 847 887 756...)..  x + y − xy = 3 . VD35. Tìm m ñể hệ sau có nghiệm  x 1 y 1 m + + + ≥  HD. ðặt t = xy thì t ≥ 0 và từ phương trình ñầu của hệ ta có x + y = t + 3. Vì. x + y ≥ 2 xy nên t + 3 ≥ 2t hay t ≤ 3. Do ñó t ∈ [ 0;3]. Mặt khác, ta có. (. x +1 + y +1. ). 2. = x + y + 2 + 2 xy + x + y + 1 = t + 5 + 2 t 2 + t + 4 = f (t).. Xét hàm f(t) trên ñoạn [ 0;3] , có f '(t) = 1 + suy ra. 2t + 1 t +t+4 2. f (t) ≤ f (3) = 16, ∀t ∈ [ 0;3]. Dẫn tới. (. > 0 nên f(t) ñồng biến,. x +1 + y +1. ). 2. ≤ 16. hay. x + 1 + y + 1 ≤ 4. Dấu “=” xảy ra khi t = 3 hay x = y = 3. Vậy hệ ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ 4. Chú ý: Do 9 = f (0) ≤ f (t) ≤ f (3) = 16, ∀t ∈ [ 0;3] , nên 3 ≤ x + 1 + y + 1 ≤ 4,.  x + y − xy = 3 suy ra hệ phương trình  có nghiệm khi 3 ≤ m ≤ 4. Còn hệ + + + = x 1 y 1 m   x + y − xy = 3 có nghiệm khi m > 3.  x + 1 + y + 1 < m . Bài tập..  1+ x + 4 − y = m , 175. Tìm m ñể cả hai hệ phương trình   1+ y + 4 − x = m cùng có nghiệm..  2 + x + 3 − y = m   2 + y + 3 − x = m. 176. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình e x − e y = (log y − log x)(xy + 1) 2 2 1)  ; x 2 + y2 = 1. 47. 19  y ( 3x + 4 − 5 − x ).2 = 2( − 3x + 8) 2)  ; x  y + log 2 x = 1. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(49) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 48. 2  y2 −x2 x + 2010 = 2009 3)  ; y2 + 2010  3log3(x + 2y + 6) =1+ 2log2(x + y + 2). 5). 1 3. 2x2 − 2x + 3. −. 1 3 2. 2. x + x +1.  2 y−1 x + x − 2x + 2 =1+ 3 4)  ; 2 x 1 − y + y − 2y + 2 =1+ 3. − x + 3x − 2 = 0; 6)log2012(. x4 + x2 + 2x + 5. ) = x2 + 2x − 3; x + 2x + 4x + 2 4. 2. 7)sin11 x − cos2011 x = cos11 x − sin2011 x; 8)log3(x +1) ≥ log2 x; 9)e x − x ≤ 3 x + 2 − e2 x ; 10)(5x − 6)2 −. 1 1 ; 11)2x + 3x + 4x = 6x + 3; 12)ex − e−x = 2.ln(x + 1+ x2 ); = x2 − 5x − 7 x −1. ex = y + y2 +1 (4x2 +1)x + (y − 3) 5 − 2y = 0  . 13)tanx − tan 1− x =1− x 2; 14)  ; 15)  2 2 2 y 4x + y + 2 3− 4x = 7 e = x + x +1 2. 177. Tìm m ñể phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm. a)(x3 +3x2 +1) ≤ m( x − x −1)2013; b)log(x3 + x2 −2m) = log(1−2x); c) x3 −2x x −1 = m; 4 d)2x+2 1+x −2 1+x+ 1−x+m = 1−x − 1+x +m−x; e)3 x −1+m x +1 = 2 x2 −1;. f) x2 +mx +2 = 2x +1; g)m(1+ 5)x +(m+2)( 5 −1)x = (2m+1)2x; h)6sinx −4sin3 x +m= 0; 2 2 3x y−2y −m= 0 i)  ; 2 2 3y x −2x −m= 0.  x + y = 4, x ≥ 9 x + y =3, x ≥ 2 x + y− xy =3 j) ; k) ; l) ; 2 2 + + + ≤ + + + = x 7 y 7 m x 1 y 1 m + + + = x 3 y 5 m   . m) x2 + x −1− x2 −x +1 = m; n)sinx + 1−sin2x = m−cosx. 178. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, phương trình x 2n +1 + 2011x + 2012 = 0 luôn có nghiệm duy nhất. 179. a) Tìm m ñể bất phương trình x(4x 2 + m) ≤ 1 nghiệm ñúng với mọi x ∈ [0;1].. b) Tìm m ñể bất phương trình 4log5 (5x) − 6log5 x ≤ m.3log5 (25x mọi x > 1.. 2. ). nghiệm ñúng với. 180. a)Chứng minh với m ≠ 0 phương trình x 4 − (m 2 + 10)x 2 + 9 = 0 luôn có 4 nghiệm phân biệt, trong ñó có 2 nghiệm thuộc khoảng (-3; 3), 2 nghiệm còn lại nằm ngoài ñoạn [-3; 3]. b) Chứng minh phương trình x − 5 x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất. c) Chứng minh phương trình (x + 1) x = x x +1 có nghiệm dương duy nhất. d) Chứng minh với mọi a > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất. e x − e y = ln(1 + x) − ln(1 + y) .   y − x = a. 48. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(50) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 49. 3. MỘT SỐ ðỀ TỰ LUYỆN ( ðỀ DỰ BỊ 2002-2009). ðỀ 01 Câu 1 (2 i!m). x 2 mx (1) (m là tham s'). 1" x 1. Kh(o sát và v) &* th# hàm s' (1) khi m ! 0 . 2. Tìm m &% hàm s' (1) có c"c &+i và c"c ti%u. V,i giá tr# nào c-a m thì kho(ng cách gi.a hai &i%m c"c tr# c-a &* th# hàm s' (1) b/ng 10.. Cho hàm's y !. Câu 2 (2 i!m). 1. Gi(i ph01ng trình 16 log 27 x2 x " 3log 3 x x 2 ! 0. 2 sin x cos x 1 ! a (2) (a là tham s'). sin x " 2 cos x 3 1 a) Gi(i ph01ng trình khi a ! . 3 b) Tìm a &% ph01ng trình (2) có nghi2m.. 2. Cho ph01ng trình. Câu 3 (3 i!m ). 1. Trong m3t ph4ng v,i h2 t5a &6 Oxy cho &0$ng th4ng d : x " y 1 ! 0 và &0$ng tròn # C $ : x 2 y 2 2 x " 4 y ! 0. Tìm t5a &6 &i%m M thu6c &0$ng th4ng d mà qua &ó ta k7 &08c hai &0$ng th4ng ti9p xúc v,i # C $ t+i A và B sao cho AMB ! 600 . %2 x " 2 y " z 1 ! 0 2. Trong không gian v,i h2 t5a &6 Oxyz cho &0$ng th4ng d : & và m3t c:u 'x 2 y " 2z " 4 ! 0 # S $ : x 2 y 2 z 2 4 x " 6 y m ! 0. Tìm m &% &0$ng th4ng d c;t # S $ t+i hai &i%m M , N sao cho kho(ng cách gi.a hai &i%m &ó b/ng 8. 3. Tính th% tích kh'i t< di2n ABCD ,. bi9t. AB ! a, AC ! b, AD ! c. BAC ! CAD ! DAB ! 600 . Câu 4 (2 i!m).. ( 2. 1. Tính tích phân I ! ) 6 1 " cos3 x .sin x.cos5 xdx 0. 3. 2. Tính gi,i h+n L ! lim x *0. 3x 2 " 1 2 x2 1 . 1 " cos x. Câu 5 (1 i!m). Gi( s= a, b, c, d là b'n s' nguyên thay &>i th?a mãn 1 + a , b , c , d + 50. Ch<ng minh b@t &4ng th<c. 49. a b. c b 2 b 50 a và tìm giá tr# nh? nh@t c-a bi%u th<c S ! d 50b b. c . d. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh. và.

(51) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 50. ðỀ 02. Câu 1 (2 điểm). 3 Cho hàm số y = ( x − m ) − 3 x (m là tham số).. 1. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0. 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 1. 3. Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm ⎧ x − 1 3 − 3x − k < 0 ⎪ ⎨1 1 3 2 ⎪ log 2 x + log 2 ( x − 1) ≤ 1. 3 ⎩2 Câu 2 (2 điểm). 1. Giải bất phương trình x + 12 ≥ x − 3 + 2 x + 1. x⎞ ⎛ 2. Giải phương trình tgx + cos x − cos 2 x = sin x ⎜1 + tgxtg ⎟ . 2⎠ ⎝ Câu 3 (3 điểm). 1. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ). và ( SBC ) bằng 600 . Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng ⎧ x − az − a = 0 ⎧ax + 3 y − 3 = 0 và d 2 : ⎨ d1 : ⎨ ⎩ y − z +1 = 0 ⎩ x + 3z − 6 = 0 a) Tìm a để hai đường thẳng d1 và d 2 chéo nhau.. b) Với a = 2 , viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d 2 và song song với d1 . Tính khoảng cách giữa d1 và d 2 khi a = 2. Câu 4 (2 điểm). n 1. Giả sử n là số nguyên dương và (1 + x ) = a0 + a1 x + ... + an x n . Biết rằng tồn tại số k. nguyên dương (1 ≤ k ≤ n − 1) sao cho 0. (. ak −1 ak ak +1 , hãy tính n . = = 2 9 24. ). 2. Tính tích phân I = ∫ x e 2 x + 3 x + 1 dx . −1. Câu 5 (1 điểm). Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC . Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là A B C 1 A− B B−C C−A cos 2 + cos 2 + cos 2 − 2 = cos cos cos . 2 2 2 4 2 2 2. 50. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(52) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 51. ðỀ 03. Câu 1 (3 điểm). Cho hàm số y =. 1 3 1 x + mx 2 − 2 x − 2m − (1) (m là tham số). 3 3. 1 1. Cho m = . 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (1).. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : y = 4 x + 2. ⎛ 5⎞ 2. Tìm m thuộc khoảng ⎜ 0; ⎟ sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các ⎝ 6⎠ đường thẳng x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4. Câu 2 (2 điểm). ⎧⎪ x − 4 y + 3 = 0 1. Giải hệ phương trình ⎨ ⎪⎩ log 4 x − log 2 y = 0. ( 2 − sin 2 2 x ) sin 3x . 2. Giải phương trình tg 4 x + 1 = cos 4 x. Câu 3 (2 điểm). 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SA = a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ⎧2 x + y + z + 1 = 0 ∆:⎨ và mặt phẳng ( P ) : 4 x − 2 y + z − 1 = 0. ⎩x + y + z + 2 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng ( P ) .. Câu 4 (2 điểm). x +1 + 3 x −1 . x →0 x 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn. 1. Tính giới hạn I = lim. ( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0 và ( C2 ) : x 2 + y 2 − 6 x + 8 y + 16 = 0. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( C1 ) và ( C2 ) . Câu 5 (1 điểm). 5 Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 1 biểu thức sau S = + . x 4y. 51. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(53) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 52. ðỀ 04. Câu 1 (2,5 điểm). x2 − 2 x + m Cho hàm số y = (1) (m là tham số). x−2 1. Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( −1;0 ) .. 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 . 3. Tìm a để phương trình sau có nghiệm 91+. 1− x 2. − ( a + 2 ) 31+. 1− x 2. + 2a + 1 = 0.. Câu 2 (2 điểm). 1. Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình An3 + 2Cnn − 2 ≤ 9n ( Ank và Cnk lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử). 1 1 8 2. Giải phương trình log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x ) . 2 4 Câu 3 (1,5 điểm). sin 4 x + cos 4 x 1 1 = cot g 2 x − . 5sin 2 x 2 8sin 2 x 2. Tính diện tích tam giác ABC , biết rằng b.sin C ( b.cos C + c.cos B ) = 20.. 1. Giải phương trình. ( b, c lần lượt là độ dài các cạnh AC , AB của tam giác ABC ). Câu 4 (3 điểm). 1. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi α, β, γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng ( ABC ) với các mặt phẳng ( OBC ) , ( OCA ) , ( OAB ) . Chứng minh rằng cos α + cos β + cos γ ≤ 3. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + 3 = 0 và hai điểm A ( −1; −3; −2 ) , B ( −5;7;12 ) .. a) Tìm tọa độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phẳng ( P ) . b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5 (1 điểm). ln 3. Tính tích phân I =. ∫ 0. 52. e x dx. (e. x. + 1). 3. .. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(54) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 53. ðỀ 05. Câu 1 (2 điểm). 1 3 x − 2 x 2 + 3 x (1). 3 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành.. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =. Câu 2 (2 điểm).. 1 = sin x. 8cos 2 x 3 2 ⎧ ⎪log x ( x + 2 x − 3x − 5 y ) = 3 . 2. Giải hệ phương trình ⎨ 3 2 ⎪⎩log y ( y + 2 y − 3 y − 5 x ) = 3. 1. Giải phương trình. Câu 3 (3 điểm). 1. Cho hình tứ diện đều ABCD , cạnh a = 6 2 . Hãy xác định độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC . x2 y 2 = 1 và đường thẳng 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : + 9 4 d m : mx − y − 1 = 0.. a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đường thẳng d m luôn cắt elip ( E ) tại hai điểm phân biệt. b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( E ) , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm N (1; −3) .. Câu 4 (1 điểm). Gọi a1 , a2 ,..., a11 là các hệ số trong khai triển sau. ( x + 1) . ( x + 2 ) = x11 + a1 x10 + a2 x9 + ... + a11. 10. Hãy tính hệ số a5 . Câu 5 (2 điểm).. 1. Tính giới hạn L = lim x →1. x6 − 6 x + 5. ( x − 1). 2. .. 3 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh 2 BC , CA, AB và ha , hb , hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Chứng minh rằng ⎛ 1 1 1 ⎞⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ + + ⎟ ⎜ + + ⎟ ≥ 3. ⎝ a b c ⎠ ⎝ ha hb hc ⎠. 2. Cho tam giác ABC có diện tích bằng. 53. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(55) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 54. ðỀ 06. Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + m − 1 (1) (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 8. 2. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Câu 2 (2 điểm). 1. Giải bất phương trình log 1 ( 4 x + 4 ) ≥ log 1 ( 22 x+1 − 3.2 x ) . 2. 2. 2. Xác định m để phương trình 2 sin 4 x + cos 4 x + cos 4 x + 2sin 2 x − m = 0. (. ). ⎡ π⎤ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn ⎢ 0; ⎥ . ⎣ 2⎦. Câu 3 (2 điểm). 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( SBC ) theo a ,. biết rằng SA =. a 6 . 2 1. 2. Tính tích phân I = ∫ 0. x 3 dx . x2 + 1. Câu 4 (2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 − 10 x = 0, ( C2 ) : x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 20 = 0. 1. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của ( C1 ) , ( C2 ) và có tâm nằm trên đường thẳng d : x + 6 y − 6 = 0. 2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) . Câu 5 (2 điểm). 1. Giải phương trình x + 4 + x − 4 = 2 x − 12 + 2 x 2 − 16. 2. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.. 54. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(56) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 55. ðỀ 07 Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số y =. x 2 + ( 2m + 1) x + m2 + m + 4. (1) ( m là tham số). 2 ( x + m) 1) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 . Câu 2 (2 điểm). 1) Giải phương trình: cos 2 x + cos x 2tg 2 x − 1 = 2.. (. ). 2) Giải bất phương trình: 15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1. Câu 3 (3 điểm). 1. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a, BC = b . Hai mặt phẳng ( BCD ) và ( ABC ) vuông góc n = 900 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với nhau và góc BDC theo a và b. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng ⎧3 x − z + 1 = 0 x y +1 z = và d2 : ⎨ d1 : = 1 2 1 ⎩2 y + y − 1 = 0 a) Chứng minh rằng d1 , d2 chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1 , d2 và song song x −4 y −7 z−3 với đường thẳng ∆ : . = = −2 1 4 Câu 4 (2 điểm). 1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 ? 1. 2. Tính tích phân I = ∫ x 3 1 − x 2 dx. 0. Câu 5 (1 điểm). Tính các góc của tam giác ABC biết rằng. ⎧4 p ( p − a ) ≤ bc ⎪ ⎨ A B C 2 3 −3 ⎪sin sin sin = 2 2 8 ⎩ 2 a+b+c trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = . 2. 55. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(57) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 56. ðỀ 08 Câu I (2 điểm) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =. 2x2 − 4x − 3 . 2 ( x − 1). 2. Tìm m để phương trình 2 x 2 − 4 x − 3 + 2m x − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.. Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình 3 − tgx ( tgx + 2sin x ) + 6 cos x = 0.. ⎧⎪log y xy = log x y 2. Giải hệ phương trình ⎨ x y ⎪⎩2 + 2 = 3. Câu III (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol và điểm I ( 0; 2 ) . Tìm tọa độ hai điểm JJJG JJG M , N thuộc ( P ) sao cho IM = 4 IN .. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD với A ( 2;3; 2 ) , B ( 6; −1; −2 ) , C ( −1; −4;3) , D (1; 6; −5 ) . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Tìm tọa độ điểm M. thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. 3. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và góc n = 1200 , cạnh bên BB ' = a . Gọi I là trung điểm của CC ' . Chứng minh rằng, tam giác BAC. AB ' I vuông ở A . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB ' I ) .. Câu IV (2 điểm) 1. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau ? π 4. x dx. 1 + cos 2 x 0. 2. Tính tích phân I = ∫. Câu V (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = sin 5 x + 3 cos x.. 56. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(58) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 57. ðỀ 09. Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số y = ( x − 1) x 2 + mx + m. (. ). (1) (m là tham số).. 1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 4 . Câu 2 (2 điểm). 1. Giải phương trình 3cos 4 x − 8cos 6 x + 2 cos 2 x + 3 = 0. 2. Tìm m để phương trình. (. 4 log 2 x. ). 2. − log 1 x + m = 0 2. có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .. Câu 3 (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x − 7 y + 10 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ : 2 x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A ( 4; 2 ) . 2. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tìm điểm M thuộc cạnh AA ' sao cho mặt phẳng ( BD ' M ) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất. 3. Trong. (. không. ). gian. với. (. hệ. ). tọa. độ. Oxyz cho. tứ. diện. OABC. với. A 0; 0; a 3 , B ( a; 0; 0 ) , C 0; a 3; 0 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách. giữa hai đường thẳng AB và OM . Câu 4 (2 điểm).. (. 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 6 + 4 1 − x 2 ln 5. 2. Tính tích phân I =. ∫. ln 2. e 2 x dx ex −1. ). 3. trên đoạn [ −1;1] .. .. Câu 5 (1 điểm). Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thỏa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ?. 57. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(59) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 58. ðỀ 10 Câu 1 (2 điểm).. 2x −1 (1). x −1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (1).. Cho hàm số y =. 2. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của ( C ) . Tìm điểm M thuộc ( C ) sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại M vuông góc với đường thẳng IM .. Câu 2 (2 điểm). 1. Giải phương trình. ( 2 − 3 ) cos x − 2sin. 2. ⎛ x π⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ 2 4 ⎠ = 1.. 2 cos x − 1 2. Giải bất phương trình log 1 x + 2 log 1 ( x − 1) + log 2 6 ≤ 0. 2. 4. Câu 3 (3 điểm).. x2 y 2 = 1 và các điểm 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : + 4 1 M ( −2;3) , N ( 5; n ) . Viết phương trình các đường thẳng d1 , d 2 qua M và tiếp xúc với ( E ) . Tìm n để trong số các tiếp tuyến của ( E ) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d1 hoặc d2 .. 2. Cho hình chóp đều S . ABC , cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với đáy một góc bằng ϕ. (0. 0. < ϕ < 900 ) . Tính thể tích khối chóp S . ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng. ( SBC ) . 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm I ( 0;0;1) , K ( 3;0;0 ) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I , K và tạo với mặt phẳng Oxy một góc bằng 300 . Câu 4 (2 điểm). 1. Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? a 2. Cho hàm số f ( x ) = + bxe x . Tìm a, b biết rằng 3 ( x + 1) f ' ( 0 ) = −22 và. 1. ∫ f ( x ) dx = 5. 0. Câu 5 (1 điểm). x2 Chứng minh rằng e + cos x ≥ 2 + x − , ∀x ∈ \. 2 x. 58. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(60) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 59. ðỀ 11. Câu 1 (2 điểm). x 2 + 5 x + m2 + 6 (1) (m là tham số). x+3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) .. Cho hàm số y =. Câu 2 (2 điểm).. 2. Cho hàm số. cos 2 x ( cos x − 1). = 2 (1 + sin x ) . sin x + cos x f ( x ) = x log x 2 ( x > 0, x ≠ 1) . Tính. 1. Giải phương trình. f ' ( x ) và giải bất phương trình. f ' ( x ) ≤ 0.. Câu 3 (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (1;0 ) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là x − 2 y + 1 = 0 và 3x + y − 1 = 0. Tính diện tích tam giác ABC . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z − m 2 − 3m = 0 ( m là tham số) và mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = 9. Tìm m để mặt phẳng ( P ) tiếp 2. 2. 2. xúc với mặt cầu ( S ) . Với m vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của ( P ) và ( S ) . 3. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = 2a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC . Chứng minh rằng, tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a . Câu 4 (2 điểm). 1. Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau 1. 2. Tính tích phân I = ∫ x3e x dx . 2. 0. Câu 5 (1 điểm). Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Q = sin 2 A + sin 2 B − sin 2 C .. 59. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(61) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 60. ðỀ 12. Câu 1 (2 điểm). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = 2 x3 − 3x 2 − 1. 2. Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm M ( 0; −1) và có hệ số góc bằng k . Tìm k để đường thẳng dk cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt. Câu 2 (2 điểm). 2 cos 4 x . sin 2 x 2. Giải phương trình log 5 5x − 4 = 1 − x.. 1. Giải phương trình cot gx = tgx +. (. ). Câu 3 (3 điểm). 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 2;1;1) , B ( 0; −1;3) và đường thẳng ⎧3x − 2 y − 11 = 0 d :⎨ ⎩ y + 3 z − 8 = 0. a) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với. AB . Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) . Chứng minh rằng d vuông góc với IK . b) Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng có phương trình x + y − z + 1 = 0. 2. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) và tam giác ABC vuông tại A , AD = a, AC = b, AB = c . Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng 2S ≥ abc ( a + b + c ) . Câu 4 (2 điểm). 1. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: Cn2Cnn − 2 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 = 100 ( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử). e. 2. Tính tích phân I = ∫ 1. x2 + 1 ln xdx. x. Câu 5 (1 điểm). Xác định dạng của tam giác ABC , biết rằng ( p − a ) sin 2 A + ( p − b ) sin 2 B = c sin A sin B trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p =. 60. a+b+c . 2. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(62) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 61. ðỀ 13 Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số y = x 4 − 2m2 x 2 +1 (1) ( m là tham số). 1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1 . 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Câu 2 (2 điểm).. (. ). 1. Giải phương trình 4 sin 3 x + cos3 x = cos x + 3sin x .. (. ). 2. Giải bất phương trình log π ⎡log 2 x + 2 x 2 − x ⎤ < 0. ⎥⎦ ⎣⎢ 4 Câu 3 (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d : x − y + 1 − 2 = 0 và điểm A ( −1;1) . Viết phương trình đường tròn đi qua A , qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d . 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD. A1 B1C1C1 có A trùng. (. ). với gốc toạ độ O , B (1; 0; 0 ) , D ( 0;1; 0 ) , A1 0; 0; 2 . a) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm A1 , B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B1 D1 trên mặt phẳng ( P ) . b) Gọi ( Q ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C . Tính diện tích thiết diện của hình chóp A1. ABCD với mặt phẳng ( Q ) . Câu 4 (2 điểm). 1. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường y = x sin x ( 0 ≤ x ≤ π ) . 2. Cho tập A gồm n phần tử, n ≥ 7 . Tìm n , biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A . Câu 5 (1 điểm). ⎧ x − my = 2 − 4m Gọi ( x; y ) là nghiệm của hệ phương trình ⎨ ( m là tham số). Tìm giá trị lớn ⎩mx + y = 3m + 1 nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 − 2 x, khi m thay đổi.. 61. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(63) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 62. ðỀ 14 Câu 1 (2 điểm). 1 (1) có đồ thị ( C ) . x 1. Khảo sát hàm số (1).. Cho hàm số y = x +. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm M ( −1;7 ) . Câu 2 (2 điểm).. 1 − sin x + 1 − cos x = 1.. 1. Giải phương trình. 2. Giải bất phương trình 2.x. 1 log 2 x 2. ≥2. 3 log 2 x 2. .. Câu 3 (3 điểm). 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho điểm A ( 0; 2 ) và đường thẳng d : x − 2 y + 2 = 0. Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2 BC. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ. (. ) (. nhật, AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Biết A − 2; −1; 0 , B. ). 2; −1; 0 , S ( 0; 0;3). a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB , song song với hai đường thẳng AD, SC. b) Gọi ( P ) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC . Tính diện tích thiết diện của hình chóp S . ABCD với mặt phẳng ( P ) . Câu 4 (2 điểm). 2. 1. Tính tích phân I = ∫ 0. x4 − x + 1 dx . x2 + 4. 2. Cho tập A gồm n phần tử, n > 4 . Tìm n , biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần tử là số lẻ. Câu 5 (1 điểm). Chứng minh rằng phương trình x x +1 = ( x + 1) có một nghiệm dương duy nhất. x. 62. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(64) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 63. ðỀ 15. Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số y = x3 − 2mx 2 + m2 x − 2 (1) (m là tham số). 1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 1. Câu 2 (2 điểm).. π⎞ 1 1 ⎛ 1. Giải phương trình 2 2 cos ⎜ x + ⎟ + = . 4 ⎠ sin x cos x ⎝ 2 x −1 + 6 x − 11 2. Giải bất phương trình > 4. x−2. Câu 3 (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I ( −2;0 ) và hai đường thẳng. d1 : 2 x − y + 5 = 0, d 2 : x + y − 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt tại JJG JJG A, B sao cho IA = 2.IB. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ( 4; 2; 2 ) , B ( 0;0;7 ) và đường thẳng x − 3 y − 6 z −1 . = = −2 2 1 Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB thuộc cùng một mặt phẳng. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A . 3. Cho hình chóp S . ABC có SA = 3a và vuông góc với đáy ABC , tam giác ABC có AB = BC = 2a, góc ở B bằng 1200 . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( SBC ) . d:. Câu 4 (2 điểm).. 3. 1. Tính tích phân I =. dx. ∫ x+x . 3. 1. 2. Biết rằng ( 2 + x ). 100. = a0 + a1 x + ... + a100 x100 . Chứng minh rằng, a2 < a3 . Với giá trị nào của. k thì ak < ak +1 ( 0 ≤ k ≤ 99 ) ?. Câu 5 (1 điểm). x2 Cho hàm số f ( x) = ex − sin x + . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) và chứng minh rằng phương 2 trình f ( x) = 3 có đúng hai nghiệm.. 63. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(65) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 64. ðỀ 16. Câu 1 (2 điểm). x 2 − 2mx + 2 (1) (m là tham số). x −1 1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B . Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng d : 2 x − y − 10 = 0.. Cho hàm số y =. Câu II (2 điểm). 1. Giải phương trình sin 4 x sin 7 x = cos 3 x cos 6 x. 2. Giải bất phương trình log3 x > log x 3. Câu 3 (3 điểm). x2 y 2 = 1. Viết phương trình các tiếp 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : + 8 4 tuyến của ( E ) song song với đường thẳng d : x + 2 y − 1 = 0.. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 2;0;0 ) và M (1;1;1) . a) Tìm tọa độ điểm O ' đối xứng với O qua đường thẳng AM . b) Gọi ( P ) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua đường thẳng AM , cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại các điểm B, C . Giả sử B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , b > 0, c > 0. Chứng minh rằng b + c =. bc . 2. Xác định b, c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.. Câu 4 (2 điểm).. π 2. 1. Tính tích phân I = ∫ ecos x sin 2 xdx. 0. 2. Giả sử (1 + 2 x ) = a0 + a1 x + ... + an x n . Biết rằng a0 + a1 + a2 + ... + an = 729. Tìm n và số lớn n. nhất trong các số a0 , a1 , a2 ,..., an . Câu 5 (1 điểm). Cho tam giác ABC thỏa mãn A ≤ 900 và sin A = 2sin B sin Ctg. thức S =. 64. 1 − sin sin B. A . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2. A 2.. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(66) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 65. ðỀ 17. Câu 1 (2 điểm). x2 + x + 4 (1) có đồ thị ( C ) . x +1 1. Khảo sát hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng. Cho hàm số y =. d : x − 3 y + 3 = 0. Câu 2 (2 điểm). 1. Giải phương trình: 2 sin x cos 2 x + sin 2 x cos x = sin 4 x cos x. 2 2 ⎪⎧ x + y = y + x 2. Giải hệ phương trình ⎨ x + y x −1 ⎪⎩2 − 2 = x − y. Câu 3 (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A . Biết A ( −1; 4 ) , ⎛7 ⎞ B (1; −4 ) , đường thẳng BC đi qua điểm K ⎜ ; 2 ⎟ . Tìm tọa độ đỉnh C . ⎝3 ⎠ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 2; 2;0 ) , C ( 0;0; 2 ) .. a) Tìm tọa độ điểm O ' đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng ( ABC ) . b) Cho điểm S di chuyển trên trục Oz , gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng SA. Chứng minh rằng diện tích tam giác OBH nhỏ hơn 4. Câu 4 (2 điểm).. π2. 1. Tính tích phân I =. ∫. x sin xdx.. 0. n. 1⎞ ⎛ 2. Biết rằng trong khai triển nhị thức Niutơn của ⎜ x + ⎟ tổng các hệ số của hai số hạng đầu x⎠ ⎝ tiên bằng 24, tính tổng các hệ số của các số hạng chứa x k với k > 0 và chứng minh rằng tổng này là một số chính phương.. Câu 5 (1 điểm).. ⎛ ⎝. 5⎞ 3⎠ Chứng minh rằng với mọi m ≥ 0 , phương trình luôn có nghiệm. Cho phương trình x 2 + ⎜ m 2 − ⎟ x 2 + 4 + 2 − m3 = 0.. 65. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(67) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 66. ðỀ 18. Câu 1 (2 điểm). x (1) có đồ thị ( C ) . x +1 1. Khảo sát hàm số (1). 2. Tìm trên ( C ) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : 3x + 4 y = 0. Cho hàm số y =. bằng 1. Câu 2 (2 điểm). 1. Giải phương trình sin x + sin 2 x = 3 ( cos x + cos 2 x ) . 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( x + 1) 1 − x 2 . Câu 3 (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A ( 2;3) và hai đường thẳng:. d1 : x + y + 5 = 0 d 2 : x + 2 y − 7 = 0.. Tìm tọa độ các điểm B trên d1 và C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm là G ( 2; 0 ) . 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a. Trên các nửa đường thẳng Ax, By vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng ( ABCD ) , lần lượt lấy các điểm M , N sao cho tam giác MNC vuông tại M . Đặt AM = m, BN = n. Chứng minh rằng, m ( n − m ) = a 2 và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang ABNM . 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 0;1;1) và đường thẳng ⎧x + y = 0 . d :⎨ ⎩2 x − z − 2 = 0 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và vuông góc với đường thẳng d . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc B ' của điểm B (1;1; 2 ) trên mặt phẳng ( P ) . Câu 4 (2 điểm). ln 8. 1. Tính tích phân I =. ∫e. 2x. e x + 1dx.. ln 3. 2. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: gồm đúng 4 chữ số đôi một khác nhau; là số chẵn; nhở hơn 2158 ? Câu 5 (1 điểm).. ⎧⎪ x 2 − 5 x + 4 ≤ 0. Xác định m để hệ sau có nghiệm: ⎨. 2 ⎪⎩3x − mx x + 16 = 0.. 66. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(68) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 67. ðỀ 19 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I. (2,0 ñiểm) Cho hàm số y = − x3 − 3x2 + mx + 4, trong ñó m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho, với m = 0. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số ñã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞). Câu II. (2,0 ñiểm) 1. Giải phương trình:. 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0. 2. Giải phương trình: log 2 (x + 2) + log 4 (x − 5)2 + log 1 8 = 0. Câu III. (1,0 ñiểm). 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y =. e x + 1 , trục hoành và hai ñường thẳng x = ln3, x = ln8.. Câu VI. (1,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Câu V. (1,0 ñiểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =. I.. x 2 (y + z) y 2 (z + x) z 2 (x + y) + + yz zx xz. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm). Thí sinh chỉ ñược chọn làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa. (2,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm ñiểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ ñược hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến ñó bằng 600.  x = 1 + 2t  2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm M(2 ; 1 ; 0) và ñường thẳng d có phương trình:  y = −1 + t z = − t  Viết phương trình tham số của ñường thẳng ñi qua ñiểm M, cắt và vuông góc với ñường thẳng d.. Câu VIIa. (1,0 ñiểm) Tìm hệ số của x2 trong khai triển thành ña thức của biểu thức P = (x2 + x – 1) 6. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb. (2,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm ñiểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ ñược hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến ñó bằng 600. 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm M(2 ; 1 ; 0) và ñường thẳng d có phương trình: x −1 y +1 z . = = 2 1 −1 Viết phương trình chính tắc của ñường thẳng ñi qua ñiểm M, cắt và vuông góc với ñường thẳng d. Câu VIIb. (1,0 ñiểm) Tìm hệ số của x3 trong khai triển thành ña thức của biểu thức P = (x2 + x – 1)5 67. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(69) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 68. ðỀ 20 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 ñiểm) Câu I (2.0 ñiểm). Cho hàm số y =. 3x + 6 (1). x +1. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng d : 3 x + 4 y − 21 = 0 . Câu II (2.0 ñiểm) 2 sin 2 x .c osx+ 3sin2x.cosx-sin4x = 0. 1. Giải phương trình 2 sin x + 3 2. Giải phương trình. 3 log2 ( x + 5) + log2 2 | x −1|= 1 + log16 ( x2 − 3x + 2)4 . 2. Câu III (1.0 ñiểm). e3 x − 1 + 2 x 2 I = lim . x →0 2 cos x − 2 2. Tính giới hạn. Câu IV (1.0 ñiểm) Cho lăng trụ ñứng ABC. A1 B1C1 , có ñáy A1B1C1 là tam giác vuông tại B1 . Gọi K là hình chiếu vuông góc của A1 lên AC1 . Biết góc giữa ñường thẳng. A1K với mặt phẳng (C1 AB1 ) bằng 300 và. A1B1 = a, A1C1 = 5a . Tính thể tích lăng trụ ABC. A1B1C1 theo a . CâuV (1.0 ñiểm) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1 . 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . P= + ( x + y )( y + z ) ( x + z )( y + z ) PHẦN RIÊNG (3.0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược chọn một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2.0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (3; 2) và ñường cao CH : 2 x − y − 6 = 0 . Tìm tọa ñộ ñiểm C . Biết các ñiểm A, B lần lượt nằm trên trục Ox và Oy. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 3 = 0 và ñiểm M (1; −2) . Hãy viết phương trình ñường thẳng ñi qua M và cắt (C ) tại hai ñiểm P , Q sao cho tiếp tuyến của ñường tròn (C ) tại P và Q vuông góc với nhau. Câu VII.a (1.0 ñiểm) 2 n Tìm hệ số của x 4 trong khai triển thành ña thức của (1+ x − 3x ) . Biết An1 + A 2n +A 3n = 156 . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2.0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hình vuông ABCD , có ñỉnh A(1; 4) và các ñỉnh B, D thuộc ñường thẳng d : x − 2 y + 2 = 0 . Tìm tọa ñộ ñỉnh B . 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho Elip(E) có tiêu ñiểm F1 (−3; 0), F2 (3;0) . Đường thẳng (d) ñi qua F1 cắt (E) tại hai ñiểm M và N . Tính chu vi tam giác F2 MN . Biết diện tích tứ giác A1B1 A2 B2 bằng 40 (trong ñó A1 A2 , B1 B2 lần lượt là trục lớn và trục nhỏ của Elip(E)). Câu VII.b (1.0 ñiểm) x2 − 6 x + 9 Cho hàm số y = . Tìm các giá trị tham số m ñể hàm số nghịch biến trên khoảng (3;5) . x+m 68. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(70) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 69. ðỀ 21 x (C ) x −1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.. C©u 01:. Cho hµm sè: y =. 2. LËp ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn d cña (C) sao cho d vµ hai tiÖm cËn cña (C) c¾t nhau t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n. C©u 02: 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (1 − tgx )(1 + sin 2x ) = 1 + tgx . ⎧2 x − y − m = 0 cã nghiÖm duy nhÊt. 2. Tìm m để hệ ph−ơng trình: ⎨ x + xy = 1 ⎩. C©u 03:. Cho mÆt ph¼ng (P ) : x − 2 y + 2z − 1 = 0 vµ c¸c ®−êng th¼ng: d1 :. x −1 y − 3 z x −5 y z+5 = & d2 : = = = 2 2 6 4 −5 −3. 1. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa d1 vµ vu«ng gãc víi (P). 2. T×m c¸c ®iÓm M thuéc d1, N thuéc d2 sao cho MN song song víi (P) vµ c¸ch (P) mét kho¶ng b»ng 2. C©u 04:. π 2. 1. TÝnh: ∫ x 2 cos xdx . 0. 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log 2. 2x −1 = 1 + x − 2x . x. C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban) 1. Tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n mµ mçi sè gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau. 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(2;1), B(2; − 1) và các đ−ờng thẳng: d 1 : (m − 1)x + (m − 2 )y + 2 − m = 0 & d 2 : (2 − m )x + (m − 1)y + 3m − 5 = 0. Chøng minh d1 vµ d2 lu«n c¾t nhau. Gäi P lµ giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng, t×m m sao cho PA + PB lín nhÊt.. C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 3 x +1 − 7.2 2 x + 7.2 x − 2 = 0 . 2. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chøng minh BM ⊥ B1C vµ tÝnh d (BM, B1C ) .. 69. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(71) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 70. ðỀ 22 − x +1 C©u 01: Cho hµm sè: y = (C ) 2x + 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Lập ph−ơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng và trôc Ox. C©u 02: π⎞ ⎛ 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 2 sin ⎜ x − ⎟ cos x = 1 . 12 ⎠ ⎝. 2. Tìm m để ph−ơng trình:. x − 3 − 2 x − 4 + x − 6 x − 4 + 5 = m có đúng 2 nghiệm.. x − 3 y + 2 z +1 vµ mÆt ph¼ng (P ) : x + y + z + 2 = 0 = = 2 1 −1 1. T×m giao ®iÓm cña d vµ (P).. C©u 03:. Cho ®−êng th¼ng: d :. 2. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng Δ thuéc (P) sao cho Δ ⊥ d vµ d (M, Δ ) = 42 . C©u 04: x (x − 1) ∫0 x 2 − 4 dx . 1. 1. TÝnh:. 2. Cho a, b lµ c¸c sè d−¬ng tho¶ m·n ab + a + b = 3 . Chøng minh: 3 3a 3b ab + + ≤ a 2 + b2 + b +1 a +1 a + b 2. C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban) 1. Chøng minh r»ng víi mäi n nguyªn d−¬ng ch½n lu«n cã:. nC 0n − (n − 1)C1n + (n − 2)C 2n − ........ + 2C nn −2 − C nn −1 = 0 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) . Lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A. T×m B, C sao cho diÖn tÝch tam gi¸c ABC lín nhÊt. C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) 1 1 2 1. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: log 1 2 x 2 − 3x + 1 + log 2 (x − 1) ≥ . 2 2 2. 2. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a , AA1 = a 2 . Gäi M, N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AA1 vµ BC1. Chøng minh MN lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña c¸c ®−êng th¼ng AA1 vµ BC1. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp MA1BC1. 70. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(72) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 71. ðỀ 23 m (C m ) 2−x 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 . 2. Tìm m để đồ thị (C m ) có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với (C m ) tại A cắt trục Oy. C©u 01:. Cho hµm sè: y = − x + 1 +. t¹i B mµ tam gi¸c OAB vu«ng c©n. C©u 02: sin 2 x cos 2 x 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: + = tgx − cot gx cos x sin x 2. Tìm m để ph−ơng trình: C©u 03:. 4. x 4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.. Trong kh«ng gian Oxyz cho c¸c ®iÓm A(2; 0; 0 ), M (0; − 3; 6 ) .. 1. Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (P ) : x + 2 y − 9 = 0 tiÕp xóc víi mÆt cÇu t©m M b¸n kÝnh MO. Tìm toạ độ tiếp điểm? 2. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa A, M vµ c¾t c¸c trôc Oy, Oz t¹i c¸c ®iÓm t−¬ng øng B, C sao cho VOABC = 3 . C©u 04: 1. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: y = x 2 ; y = 2 − x 2 . 2 xy ⎧ x + = x2 + y ⎪ 2 3 x − 2x + 9 ⎪ 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎨ 2 xy ⎪y + = y2 + x 2 3 ⎪⎩ y − 2y + 9. C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban) 1. T×m hÖ sè cña x 8 trong khai triÓn (x 2 + 2 ) biÕt A 3n − 8C 2n + C1n = 49 . n. 2. Cho ®−êng trßn (C ) : x 2 + y 2 − 2x + 4 y + 2 = 0 . ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C′) t©m M (5;1) biÕt (C′) c¾t ®−êng trßn (C ) t¹i c¸c ®iÓm A, B sao cho AB = 3 .. C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (2 − log 3 x )log 9 x 3 −. 4 = 1. 1 − log 3 x. 2. Trong mÆt ph¼ng (P) cho nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB = 2R vµ ®iÓm C thuéc nöa ®−êng tròn đó sao cho AC = R . Trên đ−ờng thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho. ∠(SAB, SBC) = 60 o . Gäi H, K lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña A trªn SB, SC. Chøng minh r»ng. tam gi¸c AHK vu«ng vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABC.. 71. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(73) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 72. ðỀ 24. C©u 01:. Cho hµm sè: y = −2 x 3 + 6 x 2 − 5. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Lập ph−ơng trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đó qua điểm A(− 1; − 13) . C©u 02:. 3x ⎛ x π⎞ ⎛ 5x π ⎞ 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin ⎜ − ⎟ − cos⎜ − ⎟ = 2 cos 2 ⎝2 4⎠ ⎝ 2 4⎠. 2. Tìm m để ph−ơng trình: C©u 03:. 4. x 2 + 1 − x = m cã nghiÖm.. Trong kh«ng gian Oxyz cho c¸c ®iÓm A(− 3; 5; − 5), B(5; − 3; 7 ) vµ mÆt ph¼ng. (P ) : x + y + z = 0 . 1. T×m giao ®iÓm I cña ®−êng th¼ng AB vµ mÆt ph¼ng (P). 2. T×m ®iÓm M thuéc (P) sao cho MA 2 + MB 2 nhá nhÊt. C©u 04: 1. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: y = 0; y =. x (1 − x ) . x2 +1. y ⎧ x ⎪e = 2007 − y2 −1 ⎪ 2. Chøng minh r»ng hÖ: ⎨ có đúng hai nghiệm thoả mãn x > 0, y > 0 . x ⎪e y = 2007 − ⎪⎩ x 2 −1. C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban) ⎧⎪A 2x + C 3y = 22 1. T×m x , y ∈ N tho¶ m·n hÖ: ⎨ 3 2 ⎪⎩A y + C x = 66. 2. Cho đ−ờng tròn (C ) : x 2 + y 2 − 8x + 6 y + 21 = 0 và đ−ờng thẳng d : x + y − 1 = 0 . Xác định toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp (C ) biết A thuộc d. C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log 3 (x − 1) + log 2. 3. (2x − 1) = 2 .. 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chãp. Cho AB = a , SA = a 2 . Gäi H, K lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña A trªn SB, SD. Chøng minh SC ⊥ (AHK) vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp OAHK. 72. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(74) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 73. ðỀ 25 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm). x 2 + 2x + 5 . x +1 2. Dựa vào ñồ thị ( C ) , tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số y =. x 2 + 2x + 5 = (m 2 + 2m + 5)(x + 1).. Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: cos 3x cos3 x − sin 3x sin 3 x =. 2+3 2 . 8.  x 2 + 1 + y(y + x) = 4y 2. Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ R ) . 2 (x + 1)(y + x − 2) = y Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz , cho hình lăng trụ ñứng ABC.A ' B 'C ' có. A ( 0; 0; 0 ) , B ( 2; 0; 0 ) , C ( 0; 2; 0 ) , A ' ( 0; 0; 2 ) .. 1. Chứng minh A 'C vuông góc với BC '. Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ') .. 2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của ñường thẳng B 'C ' trên mặt phẳng ( ABC ') .. Câu IV (2 ñiểm) 6 1. Tính tích phân: I = ∫. dx . 2x + 1 + 4x + 1 2. 2. Cho x, y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện: x 2 + xy + y 2 ≤ 3. Chứng minh rằng: − 4 3 − 3 ≤ x 2 − xy − 3y 2 ≤ 4 3 − 3.. PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b. Câu V.a (2 ñiểm) x 2 y2 + = 1 . Viết phương trình hypebol 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho elip ( E ) : 12 2 ( H ) có hai ñường tiệm cận là y = ± 2x và có hai tiêu ñiểm là hai tiêu ñiểm của elip ( E ) .. (. 2. Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của x 2 + x 0 1 100C100  . 99. 100 1 1 − 101C100  . ). 100. , chứng minh rằng:. 198 99  1  + ⋅⋅⋅ − 199C100  . 2 2 k ( Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử).. 2. 199 100  1  + 200C100  . 2. = 0.. Câu V.b (2 ñiểm) 1. Giải bất phương trình: log x +1 ( − 2x ) > 2.. a 3 và 2 = 60o. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh A ' D ' và A ' B'. góc BAD Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng ( BDMN ) . Tính thể tích khối chóp A.BDMN.. 2. Cho hình hộp ñứng ABCD.A ' B 'C ' D ' có các cạnh AB = AD = a, AA ' =. 73. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(75) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 74. ðỀ 26. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm). (. ). x4 − 2 x2 −1 . 4 2. Viết phương trình các ñường thẳng ñi qua ñiểm A ( 0; 2 ) và tiếp xúc với ( C ) .. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số y =. Câu II (2 ñiểm) π  1. Giải phương trình: 2 sin  2x −  + 4 sin x + 1 = 0. 6  3  x − 8x = y3 + 2y 2. Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ R ) . 2 2  x − 3 = 3(y + 1) Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : 3x + 2y − z + 4 = 0 và hai ñiểm. A ( 4; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) . Gọi I là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB.. 1. Tìm tọa ñộ giao ñiểm của ñường thẳng AB với mặt phẳng ( α ) .. 2. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng ( α ) , ñồng thời K cách ñều. gốc tọa ñộ O và mặt phẳng ( α ) . Câu IV (2 ñiểm) 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol d : y = 2x + 1.. (P) : y = x2 − x + 3. và ñường thẳng. 2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn ñiều kiện: 3− x + 3− y + 3− z = 1. Chứng minh rằng:. 9x 9y 9z 3x + 3y + 3z + + ≥ . 4 3x + 3y + z 3y + 3z + x 3z + 3x + y PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b. Câu V.a (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A thuộc ñường thẳng d : x − 4y − 2 = 0 , cạnh BC song song với d , phương trình ñường cao BH : x + y + 3 = 0 và trung ñiểm của cạnh AC là M (1; 1) . Tìm tọa ñộ các ñỉnh A, B, C .. 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên ñó. Câu V.b (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: log x 2 + 2 log 2x 4 = log 2x 8. 2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với ñáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng ñáy một góc 60o. Trên cạnh SA lấy ñiểm a 3 M sao cho AM = . Mặt phẳng ( BCM ) cắt cạnh SD tại ñiểm N . Tính thể tích khối 3 chóp S.BCNM.. 74. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(76) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 75. ðỀ 27 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) x2 − x −1 . Cho hàm số y = x +1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. 2. Viết phương trình các tiếp tuyến của ñồ thị (C) ñi qua ñiểm A(0; − 5). Câu II (2 ñiểm). (. ). (. ). 1. Giải phương trình: 2 sin 2 x − 1 tg 2 2x + 3 2 cos 2 x − 1 = 0.. 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x 2 − 5x + 2. 2. Giải phương trình:. ( x ∈ ℝ).. Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñường thẳng: x = 1 + t x − 3 y −1 z  ∆1 :  y = −1 − t , ∆ 2 : = = . −1 2 1 z = 2  1. Viết phương trình mặt phẳng chứa ñường thẳng ∆1 và song song với ñường thẳng ∆ 2 . 2. Xác ñịnh ñiểm A trên ∆1 và ñiểm B trên ∆ 2 sao cho ñoạn AB có ñộ dài nhỏ nhất.. Câu IV (2 ñiểm) 1. Tính tích phân: I =. 10. dx . x −1. ∫ x−2 5. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x +. 11 + 2x. 7   4  1 + 2  , vớ i x > 0 .  x . PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B, với A(1; − 1), C(3; 5) . ðỉnh B nằm trên ñường thẳng d : 2x − y = 0. Viết phương trình các ñường thẳng AB, BC. 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ñược bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong ñó có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ ñó ñứng cạnh nhau? Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: log. x + 1 − log 1 ( 3 − x ) − log8 ( x − 1) = 0. 3. 2. 2. = 60o , SA vuông góc 2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD với mặt phẳng ( ABCD ) , SA = a . Gọi C ' là trung ñiểm của SC . Mặt phẳng ( P ) ñi qua. AC ' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B ', D '. Tính thể tích của khối chóp S.AB 'C ' D '. 75. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(77) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 76. ðỀ 28 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m ) x 2 + ( 2 − m ) x + m + 2. ( m là tham số). (1).. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 2. Tìm các giá trị của m ñể ñồ thị hàm số (1) có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu, ñồng thời hoành ñộ của ñiểm cực tiểu nhỏ hơn 1.. Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0.. ( (. ) ). ( x − y ) x 2 + y 2 = 13  2. Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ ℝ ) . 2 2 ( x + y ) x − y = 25  Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2x − y + 2z + 5 = 0 và các ñiểm. A ( 0; 0; 4 ) , B ( 2; 0; 0 ) .. 1. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của ñường thẳng AB trên mặt phẳng ( P ) . 2. Viết phương trình mặt cầu ñi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) .. Câu IV (2 ñiểm). e. 3 − 2 ln x dx. + x 1 2 ln x 1 2. Cho hai số dương x, y thay ñổi thỏa mãn ñiều kiện x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của. 1. Tính tích phân: I =. ∫. 3x 2 + 4 2 + y3 biểu thức A = . + 4x y2. PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A ( 2; 1) , ñường cao qua ñỉnh B có phương trình là x − 3y − 7 = 0 và ñường trung tuyến qua ñỉnh C có phương trình là x + y + 1 = 0. Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh B và C của tam giác. 2. Cho hai ñường thẳng song song d1 và d2. Trên ñường thẳng d1 có 10 ñiểm phân biệt, trên ñường thẳng d2 có n ñiểm phân biệt ( n ≥ 2 ). Biết rằng có 2800 tam giác có ñỉnh là các ñiểm ñã cho. Tìm n. Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 2 2 1. Giải phương trình: 9 x + x −1 − 10.3x + x −2 + 1 = 0. 2. Cho lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có A '.ABC là hình chóp tam giác ñều, cạnh ñáy AB = a, cạnh bên A ' A = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A 'BC ) . Tính tgα và thể tích của khối chóp A '.BB'C 'C.. 76. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(78) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 77. ðỀ 29. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) x3 11 + x 2 + 3x − . Cho hàm số: y = − 3 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. 2. Tìm trên ñồ thị (C) hai ñiểm phân biệt M, N ñối xứng nhau qua trục tung. Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: cos3 x + sin 3 x + 2sin 2 x = 1.  x 2 − xy + y 2 = 3 ( x − y ) (x, y ∈ ℝ ). 2. Giải hệ phương trình:  2 2 2  x + xy + y = 7 ( x − y ) Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x − 3y + 11z − 26 = 0 và hai x y − 3 z +1 x −4 y z −3 = = = = ñường thẳng d1 : , d2 : . −1 2 3 1 1 2 1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. 2. Viết phương trình ñường thẳng ∆ nằm trên (P), ñồng thời ∆ cắt cả d1 và d2. Câu IV (2 ñiểm). π 2. 1. Tính tích phân: I = ∫ (x + 1)sin2xdx. 0 x. (. ) (. ). 2. Giải phương trình: 4 − 2 x +1 + 2 2 x − 1 sin 2 x + y − 1 + 2 = 0.. PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường thẳng d : x − y + 1 − 2 = 0 và ñiểm A(−1; 1). Viết phương trình ñường tròn (C) ñi qua A, gốc tọa ñộ O và tiếp xúc với ñường thẳng d. 2. Một lớp học có 33 học sinh, trong ñó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: log 3 3x − 1 log 3 3x +1 − 3 = 6.. (. ). (. ). 2. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, gọi SH là ñường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung ñiểm I của SH ñến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.. 77. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(79) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 78. ðỀ 30 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) x +3 . Cho hàm số y = x −1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. 2. Cho ñiểm M o (x o ; yo ) thuộc ñồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại Mo cắt các tiệm cận của (C) tại các ñiểm A và B. Chứng minh Mo là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB. Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: 4sin 3 x + 4sin 2 x + 3sin2x + 6cosx = 0. 2. Giải phương trình: x + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x 2 + 8x − 7 + 1. ( x ∈ ℝ).. Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3). 1. Viết phương trình ñường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) .. 2. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B ñến ( P ) bằng khoảng cách từ C ñến ( P ) .. Câu IV (2 ñiểm). 2. 1. Tính tích phân: I = ∫ (x − 2)lnx dx. 1. ln(1 + x) − ln(1 + y) = x − y 2. Giải hệ phương trình:  2 2  x − 12xy + 20y = 0.. PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E) có ñộ dài trục lớn bằng 4 2, các ñỉnh trên trục nhỏ và các tiêu ñiểm của (E) cùng nằm trên một ñường tròn. 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số lập ñược ñều nhỏ hơn 25000?. Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1 1. Giải phương trình: 2 ( log 2 x + 1) log 4 x + log 2 = 0. 4 2. Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' có cạnh bằng a và ñiểm K thuộc cạnh CC ' sao 2 cho CK = a . Mặt phẳng (α ) ñi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương 3 thành hai khối ña diện. Tính thể tích của hai khối ña diện ñó.. 78. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(80) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 79. ðỀ 31. − x 2 + 4x − 3 C©u 01: Cho hµm sè: y = x−2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các ®−êng tiÖm cËn cña nã lµ h»ng sè. C©u 02: 1 1 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin 2 x + sin x − − = 2 cot g 2 x 2 sin x sin 2 x. (. ). [. ]. 2. Tìm m để bất ph−ơng trình: m x 2 − 2 x + 2 + 1 + x (2 − x ) ≤ 0 có nghiệm x ∈ 0;1 + 3 . C©u 03:. Trong kh«ng gian Oxyz cho 2 ®iÓm A(− 1; 3; − 2 ), B(− 3; 7; − 18) vµ mÆt ph¼ng. (P ) : 2x − y + z + 1 = 0 . 1. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa AB vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P). 2. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. C©u 04: 4. 1. TÝnh:. ∫ 1+ 0. 2x + 1 dx . 2x + 1. ⎧⎪x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪⎩ y + y 2 − 2 y + 2 = 3 x −1 + 1. C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban) 1. Trong mÆt ph¼ng Oxy, cho ®−êng trßn (C) : x 2 + y 2 = 1 . §−êng trßn (C′) t©m I(2; 2) c¾t. (C) t¹i hai ®iÓm AB sao cho AB =. 2 . ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB.. 2. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n lín h¬n 2007 mµ mçi sè gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau? C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) 1. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : (log x 8 + log 4 x 2 )log 2 2 x ≥ 0 . 2. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a; AC = 2a; AA1 = 2a 5 và ∠BAC = 120o . Gọi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh CC1. Chøng minh MB ⊥ MA1 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A tíi mÆt ph¼ng (A1BM). 79. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(81) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 80. ðỀ 32 m (C m ) x−2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 . 2. Tìm m để đồ thị (C m ) có các cực trị tại các điểm A, B sao cho đ−ờng thẳng AB đi qua gốc. C©u 01:. Cho hµm sè: y = x + m +. tọa độ. C©u 02:. (. 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 sin x + 3 cos x. ). ⎧x 4 − x 3 y + x 2 y 2 = 1 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎨ 3 2 ⎩x y − x + xy = −1 C©u 03: Trong kh«ng gian Oxyz cho c¸c ®iÓm A(2; 0; 0 ), B(0; 4; 0 ), C(2; 4; 6 ) vµ ®−êng th¼ng ⎧6 x − 3y + 2z = 0 d:⎨ ⎩6 x + 3x + 2z − 24 = 0 1. Chøng minh c¸c ®−êng th¼ng AB vµ OC chÐo nhau.. 2. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng Δ song song víi d vµ c¾t c¸c ®−êng th¼ng AB vµ OC. C©u 04: 1. Trong mÆt ph¼ng Oxy cho h×nh ph¼ng (H) giíi h¹n bëi c¸c ®−êng 4 y = x 2 ; y = x . TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi quay (H) quanh trôc Ox mét vßng. 2. Cho x, y, z lµ c¸c biÕn sè d−¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: ⎛ x y z ⎞ P = 3 4(x 3 + y 3 ) + 3 4(y 3 + z 3 ) + 3 4(z 3 + x 3 ) + 2⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ z x ⎠ ⎝y C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban). 1. Trong mÆt ph¼ng Oxy, cho tam gi¸c ABC cã träng t©m G (− 2; 0 ) . BiÕt ph−¬ng tr×nh c¸c cạnh AB và AC lần l−ợt là 4x + y + 14 = 0; 2x + 5y − 2 = 0 . Tìm toạ độ A, B, C? 2. Trªn c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA cña h×nh vu«ng ABCD lÇn l−ît cho 1, 2, 3 vµ n ®iÓm ph©n biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439. C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) 1 1 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : log 4 (x − 1) + = + log 2 x + 2 . log 2 x +1 4 2 2. Cho hình chóp S.ABC có ∠(SBC; ABC) = 60 o , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).. 80. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(82) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 81. ðỀ 33. Câu I: (2 ñiểm) x 2 + 2mx + 1 − 3m 2 (*) (m là tham số) x−m Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (*) ứng với m = 1. Tìm m ñể hàm số (*) có hai ñiểm cực trị nằm về hai phía trục tung.. Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số : y = 1. 2.. Câu II: ( 2 ñiểm).  x2 + y 2 + x + y = 4 Giải hệ phương trình :   x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 2. Tìm nghiệm trên khoảng (0; π ) của phương trình : x 3π 4sin 2 − 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 ( x − ) . 2 4 Câu III: (3 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC cân tại ñỉnh A có trọng tâm 4 1 G ( ; ) , phương trình ñường thẳng BC là x − 2 y − 4 = 0 và phương trình ñường thẳng BG 3 3 là 7 x − 4 y − 8 = 0 . Tìm tọa ñộ các ñỉnh A, B, C. 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho 3 ñiểm A(1;1;0), B(0; 2; 0), PC(0; 0; 2) . a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa ñộ O và vuông góc với BC.Tìm tọa ñộ giao ñiểm của AC với mặt phẳng (P). b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ diện OABC. 1.. Câu IV: ( 2 ñiểm) π 3. 1.. Tính tích phân:. I = ∫ sin 2 x.tan x dx . 0. 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8 ? Câu V: (1 ñiểm) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng : k. 81. k. k. n + a x + n + a y + n + a z ≥ 3k n + 1 (k, n ∈ ℕ*, k ≥ 2,a > 0).. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(83) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 82. ðỀ 34. Câu I: (2 ñiểm) 1. 2.. x2 + x +1 . x +1 Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M (- 1; 0) và tiếp xúc với ñồ thị ( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số y =. Câu II:( 2 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình :.  2 x + y + 1 − x + y = 1  3x + 2 y = 4. 2. Giải phương trình :. 2 2 cos3 ( x − ) − 3cos x − sin x = 0 . 4. π. Câu III: (3 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñường tròn (C): x2 + y2 −12 x − 4 y + 36 = 0 . Viết phương trình ñường tròn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa ñộ Ox, Oy ñồng thời tiếp xúc ngoài với ñường tròn (C). 2. Trong không gian với hệ tọa ựộ đêcac vuông góc Oxyz cho 3 ựiểm A(2;0;0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) a) Tìm tọa ñộ ñiểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu qua 4 ñiểm O, B, C, S. b) Tìm tọa ñộ ñiểm A1 ñối xứng với ñiểm A qua ñường thẳng SC. Câu IV: ( 2 ñiểm) 7. 1.. I =∫. Tính tích phân:. 0. x+2 dx . 3 x +1. 7. 2. Tìm hệ số của x trong khai triển ña thức (2 − 3x) 2 n , trong ñó n là số nguyên dương thỏa mãn: C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 = 1024. ( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử) Câu V: (1 ñiểm) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có : y 9 2 (1 + x)(1 + )(1 + ) ≥ 256 . x y. ðẳng thức xảy ra khi nào?. 82. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(84) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 83. ðỀ 35. Câu I: (2 ñiểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số y = x 4 − 6 x 2 + 5 . 2. Tìm m ñể phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : x 4 − 6 x 2 − log 2 m = 0 . Câu II: (2 ñiểm) 1..  2 x + y + 1 − x + y = 1  3x + 2 y = 4. Giải hệ phương trình :. π. 2 2 cos3 ( x − ) − 3cos x − sin x = 0 . 4. 2. Giải phương trình : Câu III: (3 ñiểm). x2 y 2 + = 1. Viết phương trình tiếp 64 9 tuyến d của (E) biết d cắt hai hai trục tọa ñộ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AO = 2BO. 1.. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho elip (E) :. 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñường thẳng d1 :. x y z = = và 1 1 2.  x = −1 − 2t  ( t là tham số ). d2 :  y = t z = 1+ t  a) Xét vị trí tương ñối của d1 và d2 . b) Tìm tọa ñộ các ñiểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho ñường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : x − y + z = 0 và ñộ dài ñọan MN bằng 2 . Câu IV: ( 2 ñiểm) e. 1. Tính tích phân:. I=. ∫x. 2. ln x d x .. 0. 2. Một ñộ văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm ñồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm ñó phải có ít nhất 3 nữ.. Câu V: (1 ñiểm) 3 . Chứng minh rằng : 4 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 .. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = Khi nào ñẳng thức xảy ra ?. 83. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(85) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 84. ðỀ 36. Câu I: (2 ñiểm) x2 + 2 x + 2 (*) x +1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số (*) . 2. Gọi I là giao ñiểm của hai tiệm cận của ( C ).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) ñi qua ñiểm I . Cho hàm số : y =. Câu II:( 2 ñiểm). 8x2 − 6 x + 1 − 4 x + 1 ≤ 0 . cos 2 x − 1 π 2. Giải phương trình : tan( + x) − 3 tan 2 x = . 2 cos 2 x 1. Giải bất phương trình :. Câu III: (3 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho hai ñường tròn : (C1 ): x2 + y2 = 9 và (C2 ): x2 + y2 −2 x − 2 y − 23 = 0 . Viết phương trình trục ñẳng phương d của hai ñường tròn (C1) và (C2). Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khỏang cách từ K ñến tâm của (C1) nhỏ hơn khỏang cách từ K ñến tâm của ( C2 ). 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho ñiểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng (P) có phương trình 2 x + 2 y − z + 1 = 0 . a) Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M1 và tính ñộ dài ñọan MM1. x-1 y-1 z-5 = = b) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) ñi qua M và chứa ñường thẳng : 2 1 -6 Câu IV: ( 2 ñiểm) π 4. 1.. Tính tích phân:. I = ∫ (tan x + esin x cos x) dx . 0. 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ? Câu V: (1 ñiểm) Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì: 1 x y − y x≤ . 4. ðẳng thức xảy ra khi nào?. 84. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(86) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 85. ðỀ 37. Câu I: (2 ñiểm) Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số y= – x3+ ( 2m + 1) x2 – m – 1 (1) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m ñể ñồ thị (Cm) tiếp xúc với ñường thẳng y = 2mx – m – 1. Câu II:( 2 ñiểm) 1. Giải bất phương trình : 2. Giải phương trình :. 2 x + 7 − 5 − x ≥ 3x − 2 3π sin x tan( − x) + =2 2 1 + cos x. Câu III: (3 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñường tròn (C): x2 + y2 −4 x − 6 y − 12 = 0 . Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng d : 2 x − y + 3 = 0 sao cho MI = 2R , trong ñó I là tâm và R là bán kính của ñường tròn (C). 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho lăng trụ ñứng OAB.O1A1B1 với A(2;0;0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) a) Tìm tọa ñộ các ñiểm A1, B1. Viết phương trình mặt cầu qua 4 ñiểm O, A, B, O1. b) Gọi M là trung ñiểm của AB.Mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với O1A và cắt OA, OA1 lần lượt tại N, K . Tính ñộ dài ñoạn KN.. Câu IV: ( 2 ñiểm) e3. 1.Tính tích phân. I =∫ 1. ln 2 x dx . x ln x + 1. 2. Tìm k ∈ {0;1; 2;.....; 2005} sao cho n phần tử). k C2005 ñạt giá trị lớn nhất. ( Cnk là số tổ hợp chập k của. Câu V: (1 ñiểm) Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm: 7 2 x + x +1 − 7 2+ x +1 + 2005 x ≤ 2005 .  2  x − (m + 2) x + 2m + 3 ≥ 0. 85. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(87) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 86. ðỀ 38. Câu I: (2 ñiểm) 1.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số y =. 2. Tìm m ñể phương trình. x 2 + 3x + 3 . x +1. x 2 + 3x + 3 = m có 4 nghiệm phân biệt . x +1. Câu II:( 2 ñiểm) 2 x − x2. 1 1. Giải bất phương trình : 9 − 2  ≤3.  3 2. Giải phương trình : sin 2 x + cos 2 x + 3sin x − cos x − 2 = 0 . x2 − 2 x. Câu III: (3 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho 2 ñiểm A(0;5), B(2; 3) . Viết phương trình ñường tròn ñi qua hai ñiểm A, B và có bán kính R = 10 . 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0;0;0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) a) Xác ñịnh tọa ñộ các ñiểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung ñiểm của BC . Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) vuông góc với nhau. b) Chứng minh rằng tỉ số khỏang cách từ ñiểm N thuộc ñường thẳng AC1 ( N ≠ A ) tới 2 mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của ñiểm N. Câu IV: ( 2 ñiểm) π 2. 1.. Tính tích phân:. I = ∫ ( 2 x − 1) cos 2 x dx . 0. 2. Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn ñẳng thức : 2 Pn + 6 An2 − Pn An2 = 12 . ( Pn là số hoán vị của n phần tử và Ank là số chỉnh hợp chập k của n phần tử) Câu V: (1 ñiểm) Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1. Chứng minh rằng: x2 y2 z2 3 + + ≥ . 1+ y 1+ z 1+ x 2. 86. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(88) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 87. ðỀ 39. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1)x + 1 (1), m là tham số thực 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −1. 2. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua điểm A(1; 2). Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình. tan x = cot x + 4 cos2 2x.. 2. Giải phương trình. √ √ (2x − 1)2 . 2x + 1 + 3 − 2x = 2. Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ½ x−3 y−3 z−3 5x − 6y − 6z + 13 = 0 d1 : = = ; d2 : x − 6y + 6z − 7 = 0 2 2 1 1. Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau. 2. Gọi I là giao điểm của d1 và d2√ . Tìm tọa độ các diểm A, B lần lượt thuộc d1 , d2 sao cho tam giác IAB 41 . cân tại I và có diện tích bằng 42 Câu IV (2 điểm) 1. Tính tích phân. I=. R3 1 2. 2. Giải phương trình. √ 3. xdx . 2x + 2 π. esin(x− 4 ) = tan x.. PHẦN RIÊNG — THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM 1 TRONG 2 CÂU : V.a HOẶC V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) 1. Cho tập hợp E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số của E. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là 3x + 4y √ + 10 = 0 và x − y + 1 = 0; điểm M (0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng 2. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) µ ¶ 2x + 3 1 1. Giải phương trình log 3 log2 ≥ 0. x+1 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là \ = α(α < 90o ) và trung điểm của EC, SC; M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho ECM H là hình chiếu vuông góc của S trên M C. Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a, α và tìm α để thể tích đó lớn nhất.. 87. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(89) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 88. ðỀ 40 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x4 − 8x2 + 7 (1), 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx − 9 tiếp xúc với đồ thị hàm số (1). Câu II (2 điểm) √ ³ ³ π´ 2 π´ = sin x − + . 1. Giải phương trình sin 2x − 4 4 2 1 3x 2. Giải bất phương trình +1> √ . 2 1−x 1 − x2 Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + 3y − 3z + 1 = 0, đường thẳng d1 : z+5 y = và 3 điểm A(4; 0; 3), B(−1; −1; 3), C(3; 2; 6). 9 1. x−3 = 2. 1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp(P ). 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) thưo 1 đường tròn có bán kính lớn nhất. Câu IV (2 điểm) π. 1. Tính tích phân. I=. R2 0. sin 2xdx . 3 + 4 sin x − cos 2x. 2. Chứng minh rằng phương trình 4x (4x2 + 1) = 1 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. PHẦN RIÊNG — THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM 1 TRONG 2 CÂU : V.a HOẶC V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton của (1+3x)2n , biết rằng A3n +2A2n = 100 (n là số nguyên dương) 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y 2 = 1. Tìm các giá trị thực của m để trên đường thẳng y = m tồn tại đúng 2 điểm mà từ mỗi điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60o . Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) 1. Giải phương trình. 3+. ¡ ¢ 1 = logx 9x − x6 . log3 x. 2. Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SM N ). Chứng minh rằng AD ⊥ SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện M BSI.. 88. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(90) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 89. ðỀ 41. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 3m(m + 2)x − 1 (1), m là tham số thực 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. 2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu. Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình 2. Giải phương trình. ³ ³ π´ π´ 1 2 sin x + − sin 2x − = . 3 6 2 √ √ √ √ 10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2.. Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1 :. x−3 y z+5 = = và 2 điểm A(5; 4; 3), B(6; 7; 2). 2 9 1. 1. Viết phương trình đường thẳng d2 qua 2 điểm A, B. Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau. 2. Tìm điểm C thuộc d1 sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Câu IV (2 điểm) 1. Tính tích phân. I=. R2 x + 1 √ dx. 4x + 1 0. 2. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức x + y + z =. yz . Chứng minh rằng 3x. √ 2 3−3 x≤ (y + z) 6. PHẦN RIÊNG — THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM 1 TRONG 2 CÂU : V.a HOẶC V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) 1. Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức. A3n + Cn3 = 35 (n ≥ 3). Tính tổng (n − 1)(n − 2). S = 22 Cn2 − 32 Cn3 + · · · + (−1)n n2 Cnn √ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB = 5, C(−1; −1), đường thẳng AB có phương trình x + 2y − 3 = 0 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y − 2 = 0. Hãy tìm tọa độ các đỉnh A và B. Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) 1. Giải phương trình. 2 log2 2x + 2 + log 12 9x − 1 = 1.. √ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh bằng a, SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.. 4. 89. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(91) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 90. ðỀ 42 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) x2 + (3m − 2)x + 1 − 2m (1), m là tham số thực Cho hàm số y = x+2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình. 3 sin x + cos 2x + sin 2x = 4 sin x cos2 ½ √. √ x − 1 − y = 8 − x3 4 (x − 1) = y. 2. Giải hệ phương trình. x . 2. Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1; 0; −1), B(2; 3; −1), C(1; 3; 1) và đường thẳng d : ½ x−y+1=0 x+y+z =4 1. Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 1. 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Câu IV (2 điểm) 1. Tính tích phân. I=. R1 0. x3 dx √ . 4 − x2. 2. Cho số nguyên n(n ≥ 2) và 2 số thực không âm x, y. Chứng minh rằng p √ n xn + y n ≥ n+1 xn+1 + y n+1 PHẦN RIÊNG — THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM 1 TRONG 2 CÂU : V.a HOẶC V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) 1. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương 2n Cn0 2n−1 Cn1 20 Cnn 3n+1 − 1 + + ... + = n+1 n 1 2 (n + 1) 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(3; 0), B(0; 4). Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với đường tròn đi qua trung điểm các cạnh của tam giác OAB. Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) 1. Giải bất phương trình. 32x+1 − 22x+1 − 5.6x ≤ 0.. 2. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.. 90. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(92) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 91. ðỀ 43. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) 3x + 1 (1). Cho hàm số y = x+1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại điểm M (−2; 5). Câu II (2 điểm) 4(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + sin 2x = 0. √ 2. Giải bất phương trình (x + 1)(x − 3) −x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2. 1. Giải phương trình. Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x − y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng d:. x−1 y−1 z = = 1 2 −2. 1. Tìm tọa độ giao điểm của d với (α); tính sin của góc giữa d và (α). 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và Oxy. Câu IV (2 điểm) µ ¶ x xe2x − √ dx. 4 − x2 0 π 2. Cho các số thực x, y thỏa mãn 0 ≤ x, y ≤ . Chứng minh rằng cos x + cos y ≤ 1 + cos(xy) 3. 1. Tính tích phân. I=. R1. PHẦN RIÊNG — THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM 1 TRONG 2 CÂU : V.a HOẶC V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) 1. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương n.2n .Cnn + (n − 1)2n−1 c1n + . . . + 2Cnn−1 = 2n.3n−1 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 4)2 + y 2 = 4 và điểm E(4; 1). Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến M A, M B đến đường tròn (C) với A, B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB qua E. Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) 1. Giải bất phương trình. 22x. 2. −4x−2. − 16.22x−x. 2. −1. − 2 ≤ 0.. 2. Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = AQ 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN . Mặt phẳng (M N P ) cắt AD tại Q. Tính tỉ số và tỉ số thể AD tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (M N P ).. 91. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(93) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT. 92. ðỀ 44 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I. Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 4 (C). 1. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. 2. Tìm m ñể ñường thẳng y = m(x + 1) cắt (C) tại ba ñiểm phân biệt M(-1;0), A, B sao cho MA = 2 MB. Câu II. Giải phương trình a. 2 3(cos x − 2)sin x + 4(cos x − 1) cos x =. 2 (2 + cos 2x). cos x. b. (13 − 4x) 2x − 3 + (4x − 3) 5 − 2x = 2 + 8 16x − 4x 2 − 15. π 2. Câu III. Tính tích phân. ∫ 0. sin x 1 + cos x 2. dx.. = 600, Câu IV. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD (SAC) ⊥ (ABCD), ASC = 900 , khoảng cách từ A tới (SBD) bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.  2 − x 2 y 4 + 2xy 2 − y 4 + 1 = 2(3 − 2 − x)y 2  . Câu V. Giải hệ phương trình   x + x − y 2 = 3 II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Chương trình Chuẩn Câu VIa. 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC có ñỉnh A(0;3), trực tâm H(0;1), trung ñiểm M(1;0) của BC. Tìm tọa ñỉnh ñỉnh B biết B có hoành ñộ âm. 2. Trong không gian Oxyz, cho (P): x – 2y + 2z + 2 = 0, A(1;-2;1). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên (Oxy) và (P). Tìm tọa ñộ các ñiểm M, N và tính ñộ dài MN. Câu VIIa. Tìm số phức z biết z(1 − 2i) = (3 + 4i)(2 − i) 2 . 2. Chương trình Nâng cao Câu VIb. 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC cân tại B có tung ñộ của B khác - 3, ñỉnh A(-3;-3) và ñường tròn nội tiếp ∆ABC có phương trình (x − 1)2 + y 2 = 9 . Viết phương trình ñường thẳng BC.. 2. Trong không gian Oxyz, cho A(-1;-2;0), B(3;1;2), C()1;0;1) và mặt phẳng (P): x – 2y + z + 5 = 0. Tìm ñiểm D trên (P) sao cho bốn ñiểm A, B, C, D ñồng phẳng và là bốn ñỉnh của một hình thang. Câu VIIa. Tìm số phức z có z = 2. Chứng minh z 2 + 1 ≤ 5.. 92. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh.

(94)

03Ung dung dao ham de giai toan THPTsua ngay 27122012 NVXa

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về