DS10 Tu duy thuat giai phuong trnh Chu Huong Ly

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (890.2 KB, 115 trang )

(1)0. Lêi c¶m ¬n T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o trong tæ Ph-¬ng pháp dạy học toán, khoa Toán, tr-ờng Đại học Vinh đã giúp đỡ và có những ý kiến đóng góp quý báu trong quá trình s-u tầm t- liệu, soạn thảo đề c-ơng và hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn. Đặc biệt, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Chu Trọng Thanh, ng-ời đã trực tiếp h-ớng dẫn, chỉ bảo tận tình trong quá trình làm luận văn, để tác giả hoàn thành tốt luận văn thạc sỹ của mình.. Vinh, ngµy 20 th¸ng 12 n¨m 2007 T¸c gi¶. Chu H-¬ng Ly. www.vnmath.com.

(2) 1. Më ®Çu 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất n-ớc vµ b¾t kÞp sù ph¸t triÓn cña x· héi trong ®iÒu kiÖn bïng næ th«ng tin, ngµnh giáo dục và đào tạo phải đổi mới ph-ơng pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo những con ng-ời có đầy đủ phẩm chất của ng-ời lao động trong nền sản xuất tự động hóa nh-: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ t×m gi¶i ph¸p tèi -u khi gi¶i quyÕt c«ng viÖc. Những định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học đã đ-ợc thể hiện trong c¸c NghÞ quyÕt héi nghÞ nh-: NghÞ quyÕt héi nghÞ lÇn thø IV BCH trung -¬ng §¶ng Céng s¶n ViÖt Nam (khãa IV, 1993) nªu râ: Môc tiªu gi¸o dục đào tạo phải h-ớng vào việc đào tạo những con ng-ời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề th-ờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của đất n-ớc. Về ph-ơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BCH TW Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra:"Phải đổi mới ph-ơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành nÕp t- duy s¸ng t¹o cña ng-êi häc. Tõng b-íc ¸p dông nh÷ng ph-¬ng ph¸p tiên tiến và ph-ơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thêi gian tù häc, tù nghiªn cøu". Điều 24, luật giáo dục (1998) quy định:" Ph-ơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, t- duy sáng tạo của học sinh,..., båi d-ìng ph-¬ng ph¸p tù häc, rÌn luyÖn kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho häc sinh". Muốn đạt đ-ợc điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong qu¸ tr×nh d¹y häc lµ ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh. www.vnmath.com.

(3) 2. 1.2. Hiện nay ở tr-ờng phổ thông đã tiến hành giáo dục tin học. Tin học đ-ợc dạy t-ờng minh nh- một nội dung và sử dụng máy tính điện tử nhcông cụ dạy học. Do đó vấn đề phát triển phát triển t- duy thuật giải trong môn toán giữ một vị trí quan trọng trong giáo dục tin học. Khẳng định này đ-ợc thể hiện rõ trong mục đích giáo dục tin học: "Làm cho tất cả mọi học sinh tốt nghiệp trung học đều nắm đ-ợc những yếu tố cơ bản của tin học với t- c¸ch lµ thµnh tè cña v¨n hãa phæ th«ng". "Gãp phÇn h×nh thµnh ë häc sinh nh÷ng lo¹i h×nh t- duy liªn hÖ mËt thiÕt víi viÖc sö dông c«ng nghÖ th«ng tin nh- t- duy thuËt gi¶i, t- duy ®iÒu khiÓn,..", "Gãp phÇn h×nh thµnh ë häc sinh những phẩm chất của ng-ời lao động trong nền sản xuất tự động hóa nh-: tÝnh kû luËt, tÝnh kÕ ho¹h hãa, tÝnh phª ph¸n vµ thãi quen tù kiÓm tra,..". 1.3. Phát triển t- duy thuật giải là mục đích của việc dạy học toán ở tr-êng phæ th«ng v×: * T- duy thuật giải tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyÖn c¸c kü n¨ng To¸n häc. * T- duy thuËt gi¶i ph¸t triÓn sÏ thóc ®Èy sù ph¸t triÓn c¸c thao t¸c trÝ tuÖ (nh-: ph©n tÝch, tæng hîp, so s¸nh, trõu t-îng hãa, kh¸i qu¸t hãa,...) còng nh- những phẩm chất trí tuệ (nh- : tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo). * T- duy thuật giải giúp học sinh hình dung đ-ợc quá trình tự động hóa diễn ra trong những lĩnh vực khác nhau của con ng-ời, trong đó có lĩnh vực xử lý thông tin. Điều này làm cho học sinh thích nghi với xã hội tự động hãa, gãp phÇn lµm gi¶m ng¨n c¸ch gi÷a nhµ tr-êng vµ x· héi. 1.4. Ph¸t triÓn t- duy thuËt to¸n trong m«n to¸n cã ý nghÜa vÒ nhiÒu mặt và môn toán chứa đựng khả năng to lớn về phát triển t- duy thuật giải, thế nh-ng, t- duy thuật giải ch-a đ-ợc chú ý phát triển đúng mức ở nhà tr-ờng phổ thông. Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các công trình đó có thể kể tới luận án phó tiến sỹ của D-ơng V-ơng Minh: "Ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh trong khi d¹y häc c¸c hÖ thống số ở tr-ờng phổ thông" (1998). Luận án này đã xem xét việc phát triển www.vnmath.com.

(4) 3. t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh trong khi d¹y c¸c hÖ thèng sè chø ch-a ®i s©u vµo viÖc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh trong khi d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh. LuËn v¨n cña th¹c sü NguyÔn ThÞ Thanh B×nh: "Gãp phÇn ph¸t triÓn tduy thuËt gi¶i cña häc sinh Trung häc phæ th«ng th«ng qua d¹y häc néi dung l-ợng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển t- duy thuật giải cho học sinh trong khi d¹y néi dung l-îng gi¸c 11. 1.5. Néi dung ph-¬ng tr×nh lµ néi dung quan träng vµ khã ë ch-¬ng trình toán trung học phổ thông với nhiều biến đổi phức tạp, nhiều dạng toán, nhiÒu quy tr×nh vËn dông kü n¨ng tÝnh to¸n nhiÒu bµi to¸n cã tiÒm n¨ng cã thÓ chuyÓn vÒ mét thuËt gi¶i. §ã lµ ®iÒu kiÖn thuËn lîi nh»m ph¸t triÓn tduy thuËt gi¶i cho häc sinh. Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài "Góp phần phát triển t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh trung häc phæ th«ng th«ng qua d¹y häc mét sè néi dung ph-ơng trình" làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề ra một số biện pháp phát triển t- duy thuËt gi¶i trong qu¸ tr×nh d¹y häc mét sè néi dung ph-¬ng tr×nh nh»m gãp phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc To¸n ë tr-êng phæ th«ng. 3. Gi¶ thuyÕt khoa häc NÕu trong qu¸ tr×nh d¹y häc To¸n trung häc phæ th«ng nãi chung, d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh, bÊt ph-¬ng tr×nh nãi riªng, gi¸o viªn thùc hiÖn theo mét quy tr×nh d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i th× sÏ gãp phÇn n©ng cao chÊt l-îng d¹y häc to¸n ë tr-êng phæ th«ng. 4. NhiÖm vô nghiªn cøu Để đạt đ-ợc mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hái khoa häc sau: 4.1. T- duy thuËt gi¶i lµ g× vµ v× sao nã cÇn ®-îc ph¸t triÓn ë häc sinh trong m«n To¸n? www.vnmath.com.

(5) 4. 4.2. TiÕn hµnh ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh trong m«n to¸n dựa trên những t- t-ởng chủ đạo nào? 4.3. Cã thÓ x©y dùng quy tr×nh d¹y häc ph-¬ng tr×nh theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i ®-îc kh«ng? 4.4. Để phát triển t- duy thuật giải cho học sinh cần có những định h-íng s- ph¹m nµo? 4.5. Cã thÓ ®-a ra thuËt gi¶i gi¶i mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh nh»m tËp luyện hoạt động t- duy thuật giải cho học sinh đ-ợc không? 4.6. KÕt qu¶ thùc nghiÖm nh- thÕ nµo? 5. Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu 5.1. Nghiªn cøu lý luËn * Nghiên cứu các văn kiện Đảng và nhà n-ớc, của Bộ giáo dục đào tạo có liên quan đến việc dạy và học Toán ở tr-ờng phổ thông. * Các sách báo, tạp chí có liên quan đến nội dung đề tài. * Các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài (các luận văn, luận án, chuyên đề...) 5.2. Nghiªn cøu thùc tiÔn * Dự giờ, quan sát giờ dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc nãi chung, d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh nãi riªng. * Tæ chøc thùc nghiÖm kiÓm chøng th«ng qua c¸c líp häc thùc nghiÖm và đối chứng trên cùng một lớp đối t-ợng. 6. §ãng gãp cña luËn v¨n 6.1. LuËn v¨n gãp phÇn lµm s¸ng tá néi dung kh¸i niÖm t- duy thuËt gi¶i vµ vai trß vÞ trÝ cña viÖc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i trong d¹y häc to¸n. 6.2. X©y dùng ®-îc c¸c quy tr×nh d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh. 6.3. Xác định đ-ợc một số định h-ớng s- phạm phát triển t- duy thuật gi¶i cho häc sinh. www.vnmath.com.

(6) 5. 6.4. Khai th¸c ®-îc mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh cã thÓ gióp häc sinh x©y dùng ®-îc thuËt gi¶i. 6.5. LuËn v¨n cã thÓ dïng lµm tµi liÖu tham kh¶o cho gi¸o viªn to¸n trung häc phæ th«ng. 7. CÊu tróc luËn v¨n LuËn v¨n ngoµi phÇn më ®Çu, kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o gåm cã 3 ch-¬ng. Ch-ơng 1. T- duy thuật giải và vấn đề phát triển t- duy thuật giải cho häc sinh phæ th«ng. 1.1. C¬ së lý luËn. 1.2. Kh¸i niÖm thuËt to¸n. 1.3. Kh¸i niÖm t- duy thuËt gi¶i. 1.4. Vấn đề phát triển t- duy thuật giải trong dạy học Toán. Ch-ơng 2. Một số định h-ớng s- phạm góp phần phát triển t- duy thuật gi¶i cho häc sinh trung häc phæ th«ng khi d¹y mét sè néi dung ph-¬ng tr×nh. 2.1. C¸c nguyªn t¾c d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i. 2.2. Một số định h-ớng phát triển t- duy thuật giải thông qua dạy học néi dung ph-¬ng tr×nh. 2.3. H-íng dÉn häc sinh x©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh.. www.vnmath.com.

(7) 6. www.vnmath.com. Ch-¬ng 1 T- duy thuật giải và vấn đề phát triển t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh th«ng qua m«n To¸n 1.1. C¬ së lý luËn 1.1.1. Quan điểm hoạt động trong ph-ơng pháp dạy học Chóng ta biÕt r»ng qu¸ tr×nh d¹y häc lµ mét qu¸ tr×nh ®iÒu khiÓn ho¹t động giao l-u của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn häc tËp lµ mét qu¸ tr×nh xö lý th«ng tin. Qu¸ tr×nh nµy cã c¸c chøc n¨ng: ®-a thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đ-a thông tin ra và điều phối. Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình. Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh häc tËp mét c¸ch tù gi¸c, tÝch cùc. Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện. Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ. Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức ph-ơng pháp. Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện đ-ợc ở một mức độ nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó cần phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học. Trên cơ sở việc phân tích trên về ph-ơng pháp dạy học theo quan điểm hoạt động. Luận văn đ-ợc nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý häc. Néi dung cña quan ®iÓm nµy ®-îc thÓ hiÖn mét c¸ch tãm t¾t qua nh÷ng t- t-ởng chủ đạo sau: www.vnmath.com.

(8) 7. * Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động t-ơng thích với nội dung và mục đích dạy học. * H-ớng đích và gợi động cơ cho các hoạt động. * Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức ph-ơng pháp, nhph-ơng tiện và kết quả của hoạt động. * Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học. 1.1.2. Mét sè quan ®iÓm kh¸c Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học để nghiên cøu nh-ng còng dùa vµo quan ®iÓm cña lý thuyÕt t×nh huèng vµ lý thuyÕt kiÕn t¹o bëi v× c¸c quan ®iÓm d¹y häc cña c¸c lý thuyÕt nµy cã sù giao thoa với quan điểm của lý thuyết hoạt động. Theo lý thuyết tình huống thì học là sự thích ứng (bao gồm đồng hóa và điều tiết) đối với một môi tr-ờng sản sinh ra nh÷ng m©u thuÉn, nh÷ng khã kh¨n, nh÷ng sù mÊt c©n b»ng. Một tình huống th-ờng liên hệ với những quy trình hành động. Một yếu tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy trình giải quyết vấn đề của học sinh. Do đó trong quá trình dạy học ta cÇn so¹n th¶o ra t×nh huèng t-¬ng øng víi tri thøc cÇn d¹y (t×nh huèng cho tri thức đó một nghĩa đúng). Sau đó ủy thác tình huống này cho học sinh. Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự t-ơng tác với môi tr-ờng. Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của ng-ời học. Do đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi sự thích ứng của học sinh, qua đó học sinh kiến tạo đ-ợc kiến thức, đồng thời ph¸t triÓn ®-îc trÝ tuÖ vµ nh©n c¸ch cña m×nh. Nh- vËy, nÕu ph©n tÝch râ quan ®iÓm d¹y häc theo lý thuyÕt t×nh huèng vµ lý thuyÕt kiÕn t¹o sÏ gãp phÇn ph¸t triÓn ph-¬ng ph¸p d¹y häc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh. 1.2. Kh¸i niÖm thuËt to¸n. www.vnmath.com.

(9) 8. Kh¸i niÖm t- duy thuËt gi¶i liªn hÖ chÆt chÏ víi kh¸i niÖm thuËt to¸n. Do đó tr-ớc khi đ-a ra khái niệm t- duy thuật giải ta hãy nghiên cứu khái niÖm thuËt to¸n. 1.2.1. Nghiªn cøu kh¸i niÖm thuËt to¸n a. Kh¸i niÖm bµi to¸n Trong tin học, ng-ời ta quan niệm bài toán là một việc nào đó ta muốn m¸y tÝnh thùc hiÖn. Nh÷ng viÖc nh- ®-a mét dßng ch÷ ra mµn h×nh, gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai, qu¶n lý c¸n bé cña mét c¬ quan... lµ nh÷ng vÝ dô vÒ bµi to¸n. Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đ-a vào máy thông tin gì (Input) và lấy ra thông tin gì (Output). Do đó để phát biểu mét bµi to¸n, ta cÇn ph¶i tr×nh bµy râ Input vµ Output cña bµi to¸n vµ mèi quan hÖ gi÷a Input vµ Output. VÝ dô 1: Bµi to¸n t×m -íc chung lín nhÊt cña hai sè nguyªn d-¬ng. Input: Hai sè nguyªn d-¬ng M vµ N. Output: -íc chung lín nhÊt cña M vµ N. VÝ dô 2: Bµi to¸n t×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc 2: ax2 + bx + c = 0 (a  0) Input: C¸c sè thùc a, b, c. (a  0) Output: TÊt c¶ c¸c sè thùc x tháa m·n: ax2 + bx + c = 0 ë ®©y Output cã thÓ lµ mét hoÆc hai sè thùc hoÆc c©u tr¶ lêi kh«ng cã sè thùc nµo nh- vËy. Qua c¸c vÝ dô trªn, ta thÊy c¸c bµi to¸n ®-îc cÊu t¹o bëi hai thµnh phÇn c¬ b¶n: Input: Các thông tin đã có. Output: C¸c th«ng tin cÇn t×m tõ Input. b. Kh¸i niÖm thuËt to¸n ViÖc cho mét bµi to¸n lµ m« t¶ râ Input cho tr-íc vµ Output cÇn t×m. Vấn đề là làm thế nào để tìm ra Output. www.vnmath.com.

(10) 9. ViÖc chØ ra t-êng minh mét c¸ch t×m Output cña bµi to¸n ®-îc gäi lµ một thuật toán (algorithm) giải bài toán đó. Có nhiều định nghĩa khác nhau về thuật toán. Dựa vào sự phân tích trên ta có thể định nghĩa thuật toán nh- sau: Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác đ-ợc sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy, tõ Input cña bµi to¸n, ta nhËn ®-îc Output cÇn t×m. VÝ dô: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét d·y sè nguyªn. + Xác định bài toán. + Input: Sè nguyªn d-¬ng N vµ d·y N sè nguyªn a1, a2, ...an. + Output: Gi¸ trÞ lín nhÊt Max cña d·y sè. * ý t-ëng: - Khëi t¹o gi¸ trÞ Max = a1. - Lần l-ợt với i từ 2 đến N, so sánh giá trị số hạng a i với gi¸ trÞ Max, nÕu ai > Max th× Max nhËn gi¸ trÞ míi lµ ai. * ThuËt to¸n: ThuËt to¸n gi¶i bµi to¸n nµy cã thÓ ®-îc m« t¶ theo c¸ch liÖt kª nh- sau: B-íc 1: NhËp N vµ d·y a1, a2, ...,an. B-íc 2: Max = ai ; i: = 2 B-íc 3: NÕu i > N th× ®-a ra gi¸ trÞ Max råi kÕt thóc. B-íc 4: + B-íc 4.1. NÕu ai > Max th× Max: = ai + B-íc 4.2. NÕu i: = i + 1 råi quay l¹i b-íc 3. Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau: * TÝnh dõng: ThuËt to¸n ph¶i kÕt thóc sau mét sè h÷u h¹n lÇn thùc hiÖn c¸c thao t¸c. * Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để đ-ợc thực hiện tiếp theo. * Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận đ-ợc Output cÇn t×m. Ví dụ: Với thuật toán tìm Max đã xét: www.vnmath.com.

(11) 10. * Tính dừng: Vì giá trị của i mỗi lần tăng lên một đơn vị nên sau N lần thì i > N, khi đó kết quả của phép so sánh ở b-ớc 3 xác định việc đ-a ra gi¸ trÞ Max råi kÕt thóc. * Tính xác định: Thứ tự thực hiện các b-ớc của thuật toán đ-ợc mặc định là tuần tự nên sau b-ớc 1 là b-ớc 2, sau b-ớc 2 là b-ớc 3. Kết quả các b-ớc so sánh trong b-ớc 3 và b-ớc 4 đều xác định duy nhất b-ớc tiếp theo cÇn thùc hiÖn. * Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy sè vµ thùc hiÖn Max: = ai nÕu ai > Max nªn sau khi so s¸nh hÕt N sè h¹ng cña d·y th× Max lµ gi¸ trÞ lín nhÊt. Ví dụ: Tính tổng các số nguyên d-ơng lẻ trong khoảng từ 1 đến n. - Xác định bài toán: + Input: N lµ sè nguyªn d-¬ng lÎ. + Output: Tổng các số nguyên d-ơng lẻ từ 1 đến n. * Thuật toán tính tổng các số nguyên d-ơng lẻ từ 1 đến N nh- sau: B-íc 1: Hái gi¸ trÞ cña N. B-íc 2: S: = 0 B-íc 3: i = 1. B-íc 4: NÕu i = N+1 th× sang b-íc 8, ng-îc l¹i sang b-íc 5. B-íc 5: Céng thªm i vµo S. B-íc 6: Céng thªm 2 vµo i. B-íc 7: Quay l¹i b-íc 4. B-íc 8: Tæng cÇn t×m chÝnh lµ S. Ta chú ý đến b-ớc 4. ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của i v-ît qu¸ N. Thay v× viÕt "nÕu i lín h¬n N" th× ta viÕt ®iÒu kiÖn "i = N+1" không phải lúc nào cũng đạt đ-ợc. Vì ban đầu i là một số lẻ, sau mỗi b-ớc i lại đ-ợc tăng thêm 2 đơn vị nên i luôn luôn là số lẻ. Nếu N là số chẵn thì N + 1 là số lẻ nên sau một số b-ớc nhất định, i sẽ bằng N + 1. Tuy nhiên, nếu N là sè lÎ th× N + 1 lµ sè ch½n, do i lµ sè lÎ nªn dï cã qua bao nhiªu b-íc ®i ch¨ng. www.vnmath.com.

(12) 11. nữa, i vẫn khác N + 1. Trong tr-ờng hợp đó, thuật toán trên bị quẩn (hay vi ph¹m tÝnh dõng). Tính "đúng" là một tính chất khá hiển nhiên nh-ng là tính chất khó đạt tới nhất. Thật vậy, khi giải quyết một số vấn đề bài toán, ta luôn mong muốn lời giải của mình sẽ cho kết quả đúng nh-ng không phải lúc nào cũng đạt đ-ợc. Mọi học sinh khi làm bài kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp số đúng, nh-ng trên thực tế, trong lớp chỉ có một số học sinh nhất định là có khả năng đ-a ra lời giải đúng. 1.2.2. Các đặc tr-ng của thuật toán 1. Tính đơn trị Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trÞ, nghÜa lµ hai phÇn tö thuéc cïng mét c¬ cÊu, thùc hiÖn cïng mét thao t¸c trên cùng một đối t-ợng thì phải cho cùng kết quả. Ví dụ: Quy trình 4 b-ớc để giải một bài toán. B-íc 1. T×m hiÓu néi dung bµi to¸n. B-íc 2. T×m ®-êng lèi gi¶i to¸n. B-íc 3. Thùc hiÖn ch-¬ng tr×nh gi¶i to¸n. B-íc 4. KiÓm tra kÕt qu¶ vµ nghiªn cøu lêi gi¶i. Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm. Chẳng hạn b-ớc 1, b-ớc 2, b-ớc 3, b-ớc 4 không đ-ợc xác định vì ng-ời ta cã thÓ hiÓu vµ lµm theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Từ tính đơn trị, ta cũng thấy đ-ợc tính hình thức hóa của thuật toán. Bất kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kÕt qu¶ chø kh«ng cÇn ph¶i hiÓu ý nghÜa cña nh÷ng thao t¸c nµy. TÝnh chÊt này hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thùc hiÖn thuËt gi¶i, lµm mét sè c«ng viÖc thay thÕ cho con ng-êi. 2. TÝnh hiÖu qu¶ Tính hiệu quả của thuật toán đ-ợc đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn nh-: khèi l-îng tÝnh to¸n, kh«ng gian vµ thêi gian khi thuËt to¸n ®-îc thùc www.vnmath.com.

(13) 12. hiện. Tính hiệu quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn đề - bài toán trên thực tế. Có rất nhiều ph-ơng pháp để đánh giá tính hiệu quả của thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán là một tiªu chuÈn ®-îc dïng réng r·i. 3. TÝnh tæng qu¸t ThuËt to¸n cã tÝnh tæng qu¸t lµ thuËt to¸n ph¶i ¸p dông ®-îc cho mäi tr-êng hîp cña bµi to¸n chø kh«ng ph¶i chØ ¸p dông ®-îc cho mét sè tr-êng hợp riêng lẻ nào đó. Chẳng hạn thuật toán giải ph-ơng trình bậc hai sau đây bằng Delta đảm bảo đ-ợc tính chất này vì nó luôn luôn giải đ-ợc với mọi giá trị số thực a, b, c bất kỳ. Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo ®-îc tÝnh tæng qu¸t. Trong thùc tÕ, cã lóc ng-êi ta chØ x©y dùng thuËt to¸n cho một dạng đặc tr-ng của bài toán mà thôi. VÝ dô: ThuËt to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) 1. Cho biÕt gi¸ trÞ ba hÖ sè a, b, c. 2. NÕu a = 0 th×: 2.1. Yêu cầu bài toán không đảm bảo. 2.2. KÕt thóc thuËt to¸n. 3. NÕu a  0 th×: 3.1. TÝnh gi¸ trÞ  = b2 - 4ac 3.2. NÕu  > 0 th×: 3.2.1. Ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2. 3.2.2. Gi¸ trÞ cña hai nghiÖm tÝnh theo c«ng thøc: x1 . b  , 2a. x2 . b  2a. 3.2.3. KÕt thóc thuËt to¸n. 3.3. NÕu  = 0. 3.3.1. Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x0 3.3.2. Gi¸ trÞ cña nghiÖm kÐp lµ x0   www.vnmath.com. b 2a.

(14) 13. 3.3.3. KÕt thóc thuËt to¸n. 3.4. NÕu  < 0 th×: 3.4.1. Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. 3.4.2. KÕt thóc thuËt to¸n. 1.2.3. C¸c ph-¬ng ph¸p biÓu diÔn thuËt to¸n Khi chøng minh hoÆc gi¶i mét bµi to¸n trong to¸n häc, ta th-êng dïng nh÷ng ng«n ng÷ to¸n häc nh-: "ta cã", "®iÒu ph¶i chøng minh","gi¶ thiÕt",... vµ sö dông c¸c phÐp suy luËn to¸n häc nh- phÐp kÐo theo, phÐp t-¬ng ®-¬ng,... ThuËt to¸n lµ mét ph-¬ng ph¸p thÓ hiÖn lêi gi¶i mét bµi to¸n nªn còng phải tuân theo một số quy tắc nhất định. Để có thể truyền đạt thuật toán cho ng-êi kh¸c hay chuyÓn thuËt to¸n thµnh ch-¬ng tr×nh m¸y tÝnh, ta ph¶i cã ph-¬ng ph¸p biÓu diÔn thuËt to¸n. Cã 4 ph-¬ng ph¸p biÓu diÔn thuËt to¸n. 1. Ng«n ng÷ tù nhiªn vµ ng«n ng÷ to¸n häc. 2. Dùng l-u đồ - sơ đồ khối. 3. Dïng ng«n ng÷ pháng tr×nh. 4. Dïng ng«n ng÷ lËp tr×nh. 1. Ng«n ng÷ tù nhiªn vµ ng«n ng÷ to¸n häc. Trong c¸ch biÓu diÔn thuËt to¸n theo ng«n ng÷ tù nhiªn vµ ng«n ng÷ toán học, ng-ời ta sử dụng ngôn ngữ th-ờng ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các b-ớc của thuật toán. Các thuật toán ở mục 1 đều đ-ợc viết d-ới d¹ng ng«n ng÷ tù nhiªn vµ ng«n ng÷ to¸n häc. Ph-¬ng ph¸p biÓu diÔn nµy không yêu cầu ng-ời viết thuật toán cũng nh- ng-ời đọc thuật toán phải nắm c¸c quy t¾c. Tuy vËy, c¸ch biÓu diÔn nµy th-êng dµi dßng, kh«ng thÓ hiÖn râ cấu trúc thuật toán, đôi lúc gây hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho ng-ời đọc. Ta xÐt thªm vÝ dô sau: VÝ dô 1: ThuËt to¸n xÐt dÊu c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (víi gi¶ thiÕt abc  0) B-ớc 1: Xác định các hệ số a, b, c. www.vnmath.com.

(15) 14. B-íc 2: KiÓm tra ®iÒu kiÖn ac < 0. + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang b-ớc 3. + NÕu ®iÒu kiÖn sai th× chuyÓn sang b-íc 4. B-íc 3: KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. ChuyÓn sang b-íc 14. B-íc 4: TÝnh  = b2 - 4ac. B-íc 5: KiÓm tra ®iÒu kiÖn  > 0. + NÕu ®iÒu kiÖn sai th× chuyÓn sang b-íc 9. + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang b-ớc 6. B-íc 6: KiÓm tra ®iÒu kiÖn ab > 0. + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang b-ớc 7. + NÕu ®iÒu kiÖn sai th× chuyÓn sang b-íc 8. B-íc 7: KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm d-¬ng. ChuyÓn sang b-íc 14. B-íc 8: KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ©m. ChuyÓn sang b-íc 14. B-íc 9: kiÓm tra ®iÒu kiÖn  = 0 + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang b-ớc 10. + NÕu ®iÒu kiÖn sai th× chuyÓn sang b-íc 13. B-íc 10. KiÓm tra ®iÒu kiÖn ab > 0. + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang b-ớc 11. + NÕu ®iÒu kiÖn sai th× chuyÓn sang b-íc 12. B-íc 12. KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d-¬ng. ChuyÓn sang b-íc 14. B-íc 12. KÕt luËn: ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp ©m. ChuyÓn sang b-íc 14. B-íc 13: KÕt luËn: ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. B-íc 14: KÕt thóc. www.vnmath.com.

(16) 15. 2. L-u đồ - Sơ đồ khối. L-u đồ hay sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật toán. Biểu diễn thuật toán bằng l-u đồ sẽ giúp ng-ời đọc theo dõi đ-ợc sự ph©n cÊp c¸c tr-êng hîp vµ qu¸ tr×nh xö lý cña thuËt to¸n. Ph-¬ng ph¸p l-u đồ th-ờng đ-ợc dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi ®-îc qu¸ tr×nh xö lý. Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động. * Thao t¸c lùa chän. Thao t¸c lùa chän ®-îc biÓu diÔn b»ng mét h×nh thoi, bªn trong chøa biÓu thøc ®iÒu kiÖn: =0. a=b. * Thao t¸c xö lý ®-îc biÓu diÔn b»ng mét h×nh ch÷ nhËt, bªn trong chøa néi dung xö lý. T¨ng i lªn 1. Chän 1 hép bÊt kú. * §-êng ®i. Trong ngôn ngữ l-u đồ, do thể hiện các b-ớc bằng hình vẽ và có thể đặt các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên ta phải có ph-ơng pháp để hiện trình tự thùc hiÖn c¸c thao t¸c.. B-íc 1. B-íc 2. B-íc 3. www.vnmath.com.

(17) 16. Hai b-íc kÕ tiÕp nhau ®-îc nèi b»ng mét mòi tªn chØ h-íng thùc hiÖn. Tõ thao t¸c chän lùa cã thÓ cã hai h-íng ®i, mét h-íng øng víi ®iÒu kiện đúng, một h-ớng ứng với điều kiện sai.. S. >0 §. =0. Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt * §iÓm cuèi. §iÓm cuèi lµ ®iÓm khëi ®Çu vµ kÕt thóc cña thuËt to¸n, ®-îc biÓu diÔn nh- sau: B¾t ®Çu. KÕt thóc. (Cã thÓ thay ch÷ b¾t ®Çu bëi Star/Begin). (Cã thÓ thay ch÷ kÕt thóc bëi End). Ngoµi ra cßn cã ®iÓm nèi, ®iÓm nèi sang trang dïng cho thuËt to¸n cã l-u đồ lớn.. www.vnmath.com.

(18) 17. Ví dụ: L-u đồ thuật toán giải ph-ơng trình bậc hai.. B¾t ®Çu. Hái gi¸ trÞ a, b , c  = b2 - 4ac  0. § Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 , x 2. x1, 2 . b  2a. S. 0. S. § Cã nghiÖm kÐp xo. V« nghiÖm. x=-b/2a. KÕt thóc. L-u đồ mô tả thuật toán một cách trực quan nh-ng lại rất cồng kềnh khi phải mô tả những thuật toán phức tạp. Một ph-ơng pháp khác để biểu diÔn thuËt to¸n kh¾c phôc nh-îc ®iÓm Êy lµ ng«n ng÷ pháng tr×nh. www.vnmath.com.

(19) 18. 3. Ng«n ng÷ pháng tr×nh Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các tr-ờng hîp cña thuËt to¸n nh-ng l¹i cång kÒnh. §Ó m« t¶ thuËt to¸n nhá ta ph¶i dùng một không gian rất lớn. Hơn nữa, l-u đồ chỉ phân biệt hai thao tác là rẽ nh¸nh (lùa chän cã ®iÒu kiÖn) vµ xö lý mµ trong trùc tÕ, c¸c thuËt to¸n cßn cã c¸c lÆp. BiÓu diÔn thuËt to¸n b»ng ng«n ng÷ pháng tr×nh lµ c¸ch biÓu diÔn sù vay m-ợn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C, C++,...) để thể hiện thuật toán. Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với mọi ng-ời, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ch-a quá sa đà vào nh÷ng quy -íc chi tiÕt. MÆt kh¸c, nã còng dÔ chuyÓn sang nh÷ng ng«n ng÷ cho máy tính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa. VÝ dô: BiÓu diÔn thuËt to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai b»ng ng«n ng÷ pháng tr×nh. Begin. If Delta > 0 then begin. x1 = (-b-sqrt(delta))/(2*a) x2 = (-b + sqrt (delta))/(2*a). inra: ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ x1, x2. End. Else. If Delta = 0 then. Inra: ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp lµ x  . b 2*a. Else (tr-êng hîp Delta < 0) Inra: ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. End. Trên đây, ta đã chỉ ra 3 cách để biểu diễn một thuật toán. Trong tr-ờng hîp thuËt to¸n viÕt b»ng ng«n ng÷ m¸y tÝnh, ta cã mét ch-¬ng tr×nh. www.vnmath.com.

(20) 19. 4. Ng«n ng÷ lËp tr×nh. Cã nhiÒu ng«n ng÷ lËp tr×nh nh- Pascal, Basic, C, C++,.... Sau ®©y lµ vÝ dụ dùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán giải ph-ơng trình bËc hai: VÝ dô. T×m nghiÖm thùc cña ph-¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0, (a  0) Input: C¸c hÖ sè a, b, c nhËp tõ bµn phÝm. Outpt: Đ-a ra màn hình các nghiệm thực hoặc thông báo ‚Phương tr×nh v« nghiÖm‛. ThuËt to¸n: ThuËt to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai b»ng ng«n ng÷ lËp tr×nh Pascal. Program Giai-pt bËc hai; Uses Crt; Var a , b, c : real; , x1, x2 : real; Begin Clrscr; Write (‘a, b, c: ’); Readln (a, b, c) ; =b*b–4*a*c; if  < 0 then Writeln (‘Phương trình vô nghiệm’) Else Begin x1 = ( - b – sqrt (  ))/(2 * a); x1 = ( - b + sqrt (  ))/(2 * a); Witeln ( ‘x1 =’, x1 : 8:3 , ‘x2 = ’ , x2 : 8:3); End; Readln End. www.vnmath.com.

(21) 20. 1.2.4. §é phøc t¹p cña thuËt to¸n Trong thùc tÕ cã nhiÒu thuËt to¸n, vÒ mÆt lý thuyÕt lµ kÕt thóc sau h÷u hạn b-ớc, tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó v-ợt quá khả năng làm việc của chúng ta. Do đó để đánh giá tính hiệu quả của một thuật toán, chúng ta phải chú ý đến độ phức tạp của các thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán có thể đo bằng không gian, tức là dung l-ợng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực hiÖn thuËt to¸n; vµ b»ng thêi gian, tøc lµ thêi gian m¸y tÝnh lµm viÖc. Trong luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức tạp thời gian. Độ phức tạp của thuật toán chính là cơ sở để phân loại bài toán gi¶i ®-îc hay kh«ng gi¶i ®-îc. 1.3. Kh¸i niÖm t- duy thuËt gi¶i 1.3.1. Kh¸i niÖm thuËt gi¶i Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài toán, ng-ời ta đã đ-a ra nhận xét sau: + Có nhiều bài toán cho đến nay vẫn ch-a tìm ra một cách giải theo kiÓu thuËt to¸n vµ còng kh«ng biÕt cã tån t¹i thuËt to¸n hay kh«ng. + Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nh-ng không chấp nhận đ-ợc vì thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn hoặc các điều kiện cho thuật toán đó khó đáp ứng. + Cã nh÷ng bµi to¸n ®-îc gi¶i theo nh÷ng c¸ch gi¶i vi ph¹m thuËt to¸n nh-ng vÉn chÊp nhËn ®-îc. Từ những nhận định trên, ng-ời ta thấy rằng cần phải có những đổi mới cho khái niệm thuật toán. Ng-ời ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật toán: tính xác định và tính đúng đắn. Việc mở rộng tính xác định đối với thuật toán đ-ợc thể hiện qua các thuật giải đệ quy và ngẫu nhiên. Tính đúng của thuật toán không còn bắt buộc đối với một số cách giải bài toán, nhất là cách giải gần đúng. Trong thực tế, có nhiều tr-ờng hợp ng-ời ta chấp nhận c¸c c¸ch gi¶i th-êng cho kÕt qu¶ tèt (nh-ng kh«ng ph¶i lóc nµo còng tèt) www.vnmath.com.

(22) 21. nh-ng Ýt phøc t¹p vµ hiÖu qu¶. Ch¼ng h¹n, nÕu gi¶i mét bµi to¸n b»ng thuËt toán tối -u đòi hỏi máy tính thực hiện trong vòng nhiều năm thì chúng ta có thÓ chÊp nhËn mét gi¶i ph¸p gÇn tèi -u mµ chØ cÇn m¸y tÝnh ch¹y trong vµi ngµy hoÆc vµi giê. Các cách giải chấp nhận đ-ợc nh-ng không hoàn toàn đáp ứng đầy đủ c¸c tiªu chuÈn cña thuËt to¸n th-êng ®-îc gäi lµ c¸c thuËt gi¶i. Kh¸i niÖm mở rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếm ph-ơng pháp để giải quyết các bài toán đ-ợc đặt ra. Ngoài việc mở rộng tính đúng của thuật toán, thuật giải có tất cả các tính chất khác của thuật toán. Nó cũng có các hình thức biểu diễn phong phú nh- thuật toán. Tuy nhiên, đối với một cơ cấu nhất định chỉ t-ơng ứng với một hình thức biểu diễn nhất định. §Æc biÖt trong d¹y häc cÇn chó ý lùa chän ph-¬ng tiÖn biÓu diÔn phï hîp víi trình độ và kiến thức hiện có của học sinh. Sự hiểu biết về thuật giải, các tính chất và ph-ơng tiện biểu diễn nó phản ánh trình độ văn hóa thuật giải. Ngôn ng÷ lËp tr×nh lµ b-íc ph¸t triÓn cao cña v¨n hãa thuËt gi¶i. 1.3.2. Kh¸i niÖm t- duy thuËt gi¶i T- duy to¸n häc lµ h×nh thøc biÓu lé cña t- duy biÖn chøng trong qu¸ tr×nh con ng-êi nhËn thøc khoa häc to¸n häc hay th«ng qua h×nh thøc ¸p dông to¸n häc vµo c¸c khoa häc kh¸c. Nh- vËy, t- duy to¸n häc lµ t- duy biÖn chøng. T- duy thuËt gi¶i lµ mét lo¹i h×nh thøc t- duy to¸n häc. Nã lµ ph-¬ng thức t- duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau: T1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với mét thuËt gi¶i. T2: Ph©n tÝch mét qu¸ tr×nh thµnh nh÷ng thao t¸c ®-îc thùc hiÖn theo những trình tự xác định. T3: Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối t-ợng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối t-ợng. T4: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động. www.vnmath.com.

(23) 22. T5: Phát hiện thuật giải tối -u để giải quyết bài toán. Trong đó, (T1) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (T2 - T5 ) thể hiện n¨ng lùc x©y dùng thuËt gi¶i. Khái niệm t- duy thuật giải đ-ợc xác định nh- trên là hoàn toàn phù hîp víi nh÷ng kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ h×nh thµnh v¨n hãa thuËt gi¶i. Trong [38] tác giả Monakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gåm: - HiÓu b¶n chÊt cña thuËt gi¶i vµ nh÷ng tÝnh chÊt cña nã; hiÓu b¶n chÊt ng«n ng÷ lµ ph-¬ng tiÖn biÓu diÔn thuËt gi¶i. - N¾m v÷ng c¸c ph-¬ng ph¸p vµ c¸c ph-¬ng tiÖn biÓu diÔn thuËt gi¶i. - HiÓu tÝnh chÊt thuËt gi¶i cña c¸c ph-¬ng ph¸p to¸n häc vµ c¸c øng dông cña chóng; n¾m v÷ng c¸c thuËt gi¶i cña gi¸o tr×nh to¸n phæ th«ng. - HiÓu nh÷ng c¬ së s¬ cÊp vÒ lËp tr×nh cho m¸y tÝnh ®iÖn tö. Nh- vËy, ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i lµ mét ®iÒu kiÖn cÇn thiÕt gãp phÇn h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn v¨n hãa thuËt gi¶i cho häc sinh. Từ khái niệm về t- duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh trong d¹y häc to¸n, gi¸o viªn ph¶i tæ chøc, ®iÒu khiÓn các hoạt động t- duy thuật giải. Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển t- duy thuật giải cho học sinh. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô vÒ ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i trong m«n to¸n khi d¹y néi dung ph-¬ng tr×nh ë tr-êng phæ th«ng. 1.3.3. Mét sè vÝ dô d¹y häc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i khi d¹y néi dung ph-¬ng tr×nh VÝ dô 1. ë ch-¬ng tr×nh to¸n líp 9, ngay sau khi d¹y xong quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai: ax2 +bx +c = 0, (a  0), gi¸o viªn cã thÓ cho häc sinh nªu c¸c b-íc gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai nh- sau: B-ớc 1: Xác định các hệ số a, b, c. B-íc 2: TÝnh biÖt thøc.  = b2- 4ac. www.vnmath.com.

(24) 23 B-íc 3: XÐt dÊu  + NÕu  < 0 th× ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. + NÕu  = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1= x2 = . b 2a.  b   x1  2a  + NÕu  > 0 th× ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm  b   x2  2a  B-íc 4: Tr¶ lêi. Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T2) và (T4) cña t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh. Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau. Bµi tËp: ¸p dông quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai, h·y gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. 2x2 - 3x + 5 = 0 b. - 4x2 + 20x - 25 = 0 c.. 3 2 x  4x  6  0 2. Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T1). Do đó cần h-ớng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các b-ớc đã nêu trong quy t¾c. Cã thÓ dïng mét phÇn b¶ng tr×nh bµy quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh, phÇn b¶ng cßn l¹i tr×nh bµy lêi gi¶i phï hîp víi tõng quy t¾c. TiÕn hành nhất quán nh- vậy trong một thời gian nhất định sẽ hình thành ở học sinh quy tắc giải ph-ơng trình bậc hai, đồng thời phát triển ở các em năng lực thùc hiÖn thuËt gi¶i. VÝ dô 2. Khi dạy luyện tập giải ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx ta có thÓ ®-a ra cho häc sinh thªm bµi tËp sau: Bµi tËp 1. www.vnmath.com.

(25) 24. 2 2 Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin x  3 sin x cos x  2 cos x  1. Đứng tr-ớc bài toán này học sinh phải biết các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc, từ đó áp dụng các công thức này để biến đổi. Ta có thể h-íng dÉn häc sinh gi¶i bµi to¸n nµy theo c¸c b-íc sau: B-íc 1. TÝnh sin2x, cos2x theo cos2x.. sin 2 x  vµ. 1  cos 2 x , 2. cos 2 x . 1  cos 2 x 2. sinxcosx theo sin2x. 1 sinxcosx= sin 2 x 2. B-ớc 2. Biến đổi đ-a ph-ơng trình về ph-ơng trình bậc nhất đối với sin 2x vµ cos2x d¹ng: Asin2x + Bcos2x = C B-íc 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: Asin2x + Bcos2x = C Bµi tËp 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè:. y. sin x  2 cos x  1 sin x  cos x  2. Víi bµi to¸n nµy, häc sinh ph¶i n¾m ®-îc s¬ l-îc kh¸i niÖm gi¸ trÞ lín nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Biết cách tìm điều kiện để hàm số có nghĩa và cách tìm điều kiện để ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx, cosx có nghiệm. Ta cã thÓ h-íng dÉn häc sinh gi¶i bµi to¸n trªn theo c¸c b-íc sau: B-ớc 1. Tìm tập xác định của hàm số. B-ớc 2. Thực hiện phép quy đồng và biến đổi đ-a biểu thức về dạng asinx + bcosx = c. B-ớc 3. Tìm điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm: a2 + b2  c2 B-ớc 4. Đ-a ra bất đẳng thức: m  y  M . Từ đó kết luận Maxy, Miny. Một điều cần l-u ý là khi phân tích bài toán để học sinh định h-ớng ph-¬ng ph¸p gi¶i, chóng ta cÇn cè g¾ng ph©n tÝch lµm næi lªn nh÷ng tri thøc ph-ơng pháp tiến hành hoạt động này. Sự phân tích trên đây có ý làm nổi bật tri thøc ph-¬ng ph¸p: quy l¹ vÒ quen. VÝ dô 3. www.vnmath.com.

(26) 25. D¹y häc sinh quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh: ax + b = 0. §Ó h×nh thµnh quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh: ax + b = 0, gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi tËp sau: Bµi tËp 1: a. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: 5x - 2 = 0;. -2x + 3 = 0;. 0x + 3 = 0;. 0x - 0 = 0. b. X©y dùng vµ ph¸t biÓu quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t ax + b = 0 víi a, b bÊt kú. H-ớng dẫn: Lọai bài toán này nhằm mục đích chính là cho học sinh tập luyện hoạt động (T3). Mục đích này thể hiện ở câu (b), nh-ng câu (a) là b-ớc chuẩn bị, là cơ sở để giải câu (b). Häc sinh sÏ kh«ng khã kh¨n l¾m khi gi¶i c©u (a), nh-ng sÏ gÆp lóng túng khi giải câu (b). Khi đó tùy thuộc diễn biến tình hình học sinh mà đặt ra nh÷ng c©u hái gîi ý nh- sau: + VÒ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: ax + b = 0 cã thÓ chia thµnh mÊy tr-ờng hợp, đó là những tr-ờng hợp nào? (Cã 3 tr-êng hîp: cã 1 nghiÖm duy nhÊt, v« sè nghiÖm vµ v« nghiÖm). + Điều kiện nào quyết định đến số nghiệm của ph-ơng trình trong từng tr-êng hîp? (Cã nghiÖm duy nhÊt khi a  0, v« sè nghiÖm khi a = 0 vµ b = 0, v« nghiÖm khi a = 0, b  0) + H·y nªu c¸c b-íc gi¶i ph-¬ng tr×nh: ax + b = 0 mét c¸ch tØ mØ? B-ớc 1: xác định a, b. B-íc 2. NÕu a  0 th× ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x  . b a. NÕu a = 0, b  0 th× ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. NÕu a = 0, b = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. Dạy học khái quát hóa nh- trên đã dựa trên cơ sở xét đầy đủ các tr-êng hîp riªng (nghiÖm duy nhÊt, v« sè nghiÖm, v« nghiÖm). Mét ph-¬ng www.vnmath.com.

(27) 26. án khác để dạy hoạt động này là trên cơ sở xuất phát từ một tr-ờng hợp riêng. Tr-êng hîp riªng nµy cÇn lùa chän sao cho häc sinh dÔ m¾c sai lÇm khi kh¸i quát hóa từ đó. Lúc học sinh mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai lầm là một tình huống s- phạm tốt để lĩnh hội và phát triển tri thức. Theo ph-ơng án đó thì có thể hình thành quy tắc giải ph-ơng trình ax + b = 0 th«ng qua bµi tËp sau: Bµi tËp 2: a. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: 4x - 3 = 0;. - 2x - 3 = 0;. 6x + 0 = 0.. b. X©y dùng vµ ph¸t biÓu quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t: ax + b = 0 (a, b bÊt kú). Ví dụ 4 (Luyện tập hoạt động T4). Để luyện khả năng mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động, cã thÓ cho häc sinh gi¶i nh÷ng bµi tËp cã d¹ng: "BiÖn luËn theo m sè nghiÖm của ph-ơng trình: x 2  3x  2  m ". Ngoài mục đích luyện tập hoạt động (T4), bài toán còn tập luyện hoạt động trực quan cho học sinh. Do đó, học sinh phải biết dùng ngôn ngữ của mình một cách hợp lý để mô tả quá trình biÖn luËn sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh trªn theo m. Qu¸ tr×nh nµy cã thÓ m« t¶ nh- sau: 2 + B-íc 1. Ta xem sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: x  3x  2  m lµ sè. giao điểm của hai đồ thị: y  x 2  3x  2 (C). vµ y = m. (d). + B-ớc 2. Vẽ đồ thị (C) 2 * Vẽ đồ thị (C1) y  x  3x  2. x  1 * Giữ nguyên phần đồ thị (Cn) của (C1) ứng với  x  2 www.vnmath.com.

(28) 27. * Lấy đối xứng qua Ox phần còn lại của (C1) đ-ợc (Cm). Khi đó đồ thị (C) là hợp của (Cn) và (Cm). + B-ớc 3. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số giao điểm của đ-ờng thẳng (d) với đồ thị (C). * NÕu m = 0  (d) c¾t (C) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt  ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. * NÕu 0 < m < 1/4  (d) c¾t (C) t¹i 4 ®iÓm  ph-¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. * NÕu m =1/4  (d) c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm  ph-¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm. * NÕu m >1/4  (d) c¾t (C) t¹i 2 ®iÓm  ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm. VÝ dô 5: Khi dạy nội dung ph-ơng trình – bất ph-ơng trình quy về bậc hai, đối víi häc sinh kh¸ giái gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh lµm bµi tËp sau: Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0; b. x4 - 2x3 + x2 - 2x + 1 = 0; c. x4 + x3 - 4x2 + x + 1 = 0 §øng tr-íc bµi tËp nµy, häc sinh sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n bëi v× häc sinh míi chØ gÆp ph-¬ng tr×nh bËc 4 trïng ph-¬ng. Gi¸o viªn cã thÓ h-íng dẫn học sinh giải bài tập bằng các câu hỏi định h-ớng sau đối với ph-ơng tr×nh (a). + XÐt xem x = 0 cã lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng? + Hãy chia cả hai vế của ph-ơng trình cho x2 ≠ 0. Nêu đặc điểm của ph-¬ng tr×nh míi nhËn ®-îc? Ta mong đợi học sinh trả lời: 2 (a)  2 x  3x  16 . 3 2  0 x x2. 1   1   2 x 2  2   3 x    16  0 x x   . www.vnmath.com.

(29) 28. 2. 1  2 1   Ph-ơng trình mới có đặc điểm.  x  2    x    2 x x   . + §Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh ta lµm thÕ nµo? Ta mong đợi học sinh trả lời. Đặt t  x . 1 1  x2  2  t 2  2 x x. Cuèi cïng gi¸o viªn cho häc sinh tiÕp tôc gi¶i ph-¬ng tr×nh vµ c¸c ph-¬ng tr×nh cßn l¹i. khi häc sinh gi¶i xong gi¸o viªn cã thÓ nªu c©u hái nh»m gióp häc sinh gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t nh- sau: + Hãy nêu đặc điểm các hệ số trong mỗi ph-ơng trình? Ta mong học sinh trả lời: ph-ơng trình (a) các hệ số đối xứng qua hệ số (-16), ph-ơng trình (b) các hệ số đối xứng qua hệ số (1), ph-ơng trình (c) các hệ số đối xứng qua hệ số (- 4). + Từ đặc điểm đó hãy nêu ph-ơng trình dạng tổng quát? Ta mong đợi học sinh trả lời: Ph-¬ng tr×nh d¹ng tæng qu¸t: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, víi a ≠ 0. + Tõ c¸ch gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh (a), (b), (c) h·y nªu thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh trªn? Ta mong đợi học sinh trả lời: B-íc 1: NhËn xÐt x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. B-ớc 2: Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho x2 ≠ 0 và biến đổi ph-ơng tr×nh vÒ d¹ng.. ax 2  bx  c . b a 1   2  0  a x 2  2 x x x . B-íc 3: §Æt t  x . 1     b x    c  0 x  . 1 1  x2  2  t 2  2 x x. B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: at2 + bt - 2a + c = 0, ®-îc nghiÖm t0. B-íc 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x . 1  t0 x. B-íc 6: Tr¶ lêi.. www.vnmath.com.

(30) 29. Thông qua dạy học sinh giải bài tập trên chúng ta đã tập luyện cho học sinh hoạt động (T3), (T2) và (T4) của t- duy thuật giải. Để củng cố các hoạt động này, giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau: Bµi tËp 2. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. x4 + 3x3 - 6x2 - 3x + 1 = 0;. b. 2x4 + x3 + 11x2 - x + 2 = 0.. Bài tập 3. Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải bài toán đó. Ví dụ 6. (Tập luyện hoạt động T5) Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin2x + 2tanx = 3. H-ớng dẫn: Bài toán này yêu cầu học sinh tập luyện hoạt động (T5). Tr-íc khi c¸c em gi¶i, cÇn h-íng dÉn cho c¸c em thÊy tr-íc c¸ch gi¶i ch-a hợp lý, đó là:. . §iÒu kiÖn: x  ph-¬ng tr×nh. 2.  k.  sin 2 x  2. sin x 3 cos x.  sin 2 x cos x  2 sin x  3 cos x 1 sin 3x  sin x   2 sin x  3 cos x  0 2  sin 3 x  5 sin x  6 cos x  0 .  3 sin x  4 sin 3 x  5 sin x  6 cos x  0  2 sin 3 x  4 sin x  3 cos x  0. . .  sin x 2 sin 2 x  1  3sin x  cos x   0  sin x. cos 2 x  3sin x  cos x   0. . .  sin x  cos x  sin 2 x  sin x cos x  3  0  sin x  cos x sin 2 x  cos 2 x  5  0 sin x  cos x  0  sin 2 x  cos 2 x  5  0  .  sinx – cosx = 0  2 sin x . . .   0  x   k 4 4.  sin2x – cos2x + 5 = 0  Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn, nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ: x = www.vnmath.com.  4.  k.

(31) 30. Cần phải tìm ph-ơng pháp khác hợp lý hơn, với số l-ợng phép biến đổi phải thực hiện ít hơn và mỗi phép tính đều thực hiện nhanh hơn, thậm chí cã thÓ nhÈm ®-îc: Ph-¬ng tr×nh  2(tanx – 1) – ( 1 – sin2x) = 0  2( sinx – cosx) – cox(sinx – cosx)2 = 0  (sinx – cosx)(sinxcosx – cos2x -2 ) = 0  (sinx – cosx)(sin2x – cos2x – 5) = 0. sin x  cos x  0 sin 2 x  cos 2 x  5  0  NÕu häc sinh gÆp khã kh¨n th× gi¸o viªn cã thÓ gîi ý gióp häc sinh thực hiện phép biến đổi thông qua một số câu hỏi định h-ớng nh-: ? Các hệ số của ph-ơng trình có đặc điểm gì? (1 + 2 = 3) ? Thö t¸ch 3 thµnh 2 vµ 1 råi chuyÓn vÕ vµ ghÐp t-¬ng øng víi 2tanx vµ sin2x ? (2tanx - 2 + sin2x – 1 = 0) ? BiÓu thøc (1 - sin2x) cã thÓ viÕt d-íi d¹ng b×nh ph-¬ng ®-îc kh«ng? (1- sin2x = sin2x + cos2x – 2sinxcosx = (sinx- cosx)2) Những hoạt động trên đây có tác dụng gợi động cơ và hình thành tri thức ph-ơng pháp cho hoạt động (T5) trong tr-ờng hợp này. Sáu ví dụ trên đã minh họa cho việc tập luyện 5 hoạt động của t- duy thuật giải. Trong thực tế, việc tập luyện các hoạt động này sẽ không đ-ợc tách ra một cách rành mạch, khi tập luyện hoạt động này có sự tham gia của các hoạt động khác. Nói tới tập luyện hoạt động t- duy thuật giải nào đó trong khi giải một bài toán là để nhấn mạnh đến hoạt động đó mà thôi. 1.4. Vấn đề phát triển t- duy thuật giải trong dạy học Toán 1.4.1. Vai trß cña viÖc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i trong d¹y häc To¸n ë tr-êng phæ th«ng Sau khi nghiªn cøu kh¸i niÖm t- duy thuËt gi¶i vµ mét sè vÝ dô vÒ ph¸t triển t- duy thuật giải trong môn toán, chúng ta nhận thấy rằng vấn đề phát triÓn t- duy thuËt gi¶i trong m«n to¸n lµ mét viÖc cÇn thiÕt. Vai trß cña viÖc www.vnmath.com.

(32) 31. phát triển t- duy thuật giải đối với học sinh trong dạy học môn Toán là quan trọng. Cấu trúc của t- duy thuật giải gắn liền với 5 hoạt động (T1 - T5), việc phát triển các hoạt động t- duy thuật giải sẽ góp phần phát triển các hoạt động khác của toán học. Điều này cũng đã đ-ợc tác giả V-ơng D-ơng Minh nói đến trong luận án của mình. * Tiến hành các hoạt động t- duy thuật giải là một ph-ơng tiện, một điều kiện để chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng. Thật vậy, để nắm vững khái niệm toán học, học sinh phải tiến hành các hoạt động nhận dạng và thể hiện một khái niệm. Trong nhiều tr-ờng hợp, những hoạt động này diễn ra d-ới dạng những hoạt động t- duy thuật giải. Nói đến kỹ năng là phải nói đến hoạt động, kỹ năng đ-ợc hình thành và phát triển nhờ các hoạt động t- duy thuật giải. * Các hoạt động t- duy thuật giải đòi hỏi và thúc đẩy các hoạt động trí tuệ. - C¸c thao t¸c t- duy nh- ph©n tÝch vµ tæng hîp, so s¸nh, kh¸i qu¸t hóa, trừu t-ợng hóa và cụ thể hóa đ-ợc phát triển khi tiến hành các hoạt động t- duy thuËt gi¶i. - Các phẩm chất trí tuệ nh- tính linh hoạt, tính độc lập cũng đ-ợc phát triển trong các hoạt động t- duy thuật giải. - Kh¶ n¨ng t- duy logic vµ sö dông ng«n ng÷ chÝnh x¸c còng ®-îc rÌn luyện qua các hoạt động t- duy thuật giải. * Phát triển t- duy thuật giải góp phần giáo dục những đức tính tốt đẹp của ng-ời lao động mới và giáo dục thế giới quan duy vật biện chứng. ThËt vËy: - Hoạt động (T1) cho khả năng hình thành, củng cố những đức tính tốt nh- tÝnh kû luËt, ng¨n n¾p, cÈn thËn, thãi quen tù kiÓm tra. - Hoạt động (T4) rèn luyện khả năng diễn đạt chính xác. Nó cũng có thÓ cho ta nh÷ng minh ho¹ vÒ mèi quan hÖ biÖn chøng gi÷a néi dung vµ h×nh thức. Một nội dung có thể tồn tại d-ới nhiều hình thức. Nội dung quyết định hình thức và hình thức tác động trở lại nội dung. - Hoạt động (T5) góp phần hình thành ý thức tìm ph-ơng án tối -u khi gi¶i quyÕt c«ng viÖc.. www.vnmath.com.

(33) 32. - Các hoạt động (T1- T5) dẫn tới việc hiểu đúng bản chất của quá trình tự động hóa và vai trò quyết định của con ng-ời trong quá trình đó. - Một thuật giải có cấu trúc đẹp, trình bày sáng sủa, chính xác có thể xem là sản phẩm của lao động trí óc, có tác dụng giáo dục thẩm mỹ cho học sinh. * Ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i g¾n liÒn víi ph¸t triÓn t- duy s¸ng t¹o. Trong số những mục đích của giáo dục thì việc phát triển năng lực tduy sáng tạo, năng lực tự giải quyết vấn đề,...cho học sinh là những mục đích rÊt quan träng. Tuy nhiªn, c¸c n¨ng lùc trªn chØ ®-îc ph¸t triÓn nÕu liªn hÖ với một thuật giải, một quy trình nào đó quen thuộc. Tính sáng tạo "nằm ngay trong" tÝnh thuËt gi¶i. NÕu hiÓu thuËt gi¶i lµ thùc hiÖn tæ hîp c¸c thao tác (T1 - Tn) theo một trình tự logic xác định để đi đến kết quả (Tn) thì tính s¸ng t¹o thÓ hiÖn ë nh÷ng b-íc chuyÓn tiÕp (Ti - Ti+1) vµ ë viÖc tõ algorit tæng quát để lựa chọn một algorit cụ thể. Đây là mối liên hệ biện chứng thể hiện quy luật tính thống nhất trong các mặt đối lập trong tiến trình đi đến kết quả tèi -u. 1.4.2. Những t- t-ởng chủ đạo để phát triển t- duy thuật giải trong d¹y häc To¸n Ph-ơng h-ớng chung để phát triển t- duy thuật giải là tổ chức, điều khiển học sinh tập luyện các hoạt động t- duy thuật giải. Muốn vậy, tr-ớc hết gi¸o viªn cÇn ph¶i thiÕt kÕ vµ x©y dùng c¸c bµi d¹y theo mét quy tr×nh cã tính chất thuật giải đối với các tình huống điển hình trong dạy học toán. Nghĩa là phải xây dựng một hệ thống quy định nghiêm ngặt đ-ợc thể hiện theo một quá trình chặt chẽ và dẫn tới cách giải quyết đúng đắn. Trong luận án của mình, tác giả V-ơng D-ơng Minh đã đ-a ra hệ thống các t- t-ởng chủ đạo về phát triển t- duy thuật giải trong môn toán nh- sau: * Rèn luyện cho học sinh các hoạt động t- duy thuật giải trong khi và nh»m vµo thùc hiÖn nh÷ng yªu cÇu to¸n häc. * Gợi động cơ và h-ớng đích cho các hoạt động t- duy thuật giải bao gồm: - Gợi động cơ và h-ớng đích mở đầu các hoạt động t- duy thuật giải. - Gợi động cơ và h-ớng đích trong khi tiến hành các hoạt động t- duy thuËt gi¶i. www.vnmath.com.

(34) 33. - Gợi động cơ kết thúc hoạt động t- duy thuật giải. * TruyÒn thô cho häc sinh nh÷ng tri thøc ph-¬ng ph¸p vÒ t- duy thuËt giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động t- duy thuật giải. * Phân bậc các hoạt động. Những t- t-ởng chủ đạo trên đã quán triệt những yêu cầu đầu tiên của việc khai thác hoạt động trong nội dung dạy học toán. Thật vậy, các hoạt động t- duy thuật giải nhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học có nghĩa là các hoạt động này phải t-ơng thích với nội dung đó. Các hoạt động t- duy thuËt gi¶i xuÊt hiÖn tr-íc hÕt nh- ph-¬ng tiÖn chiÕm lÜnh tri thøc vµ rÌn luyÖn kỹ năng. Sau đó, do có vai trò quan trọng trong học tập và đời sống đã trở thành mục đích dạy học. Vì vậy, các hoạt động t- duy thuật giải mang hai chức năng. Chức năng ph-ơng tiện và chức năng mục đích. Tiến hành các hoạt động t- duy thuật giải trong khi và nhằm vào thực hiện các yêu cầu toán häc chÝnh lµ nh»m phèi hîp hai chøc n¨ng nµy. Những t- t-ởng chủ đạo này còn mang ý nghĩa nền tảng cho việc phát triÓn t- duy thuËt gi¶i trong m«n to¸n. Trong d¹y häc to¸n, kh«ng cã nh÷ng hoạt động t- duy thuật giải chỉ nhằm một mục đích duy nhất là phát triển tduy thuật giải mà chỉ có những hoạt động t- duy thuật giải đ-ợc tíên hành trong khi tiến hành các hoạt động toán học. Đồng thời các hoạt động t- duy thuËt gi¶i ph¶i nh»m vµo c¸c yªu cÇu to¸n häc. HiÖu qu¶ tËp luyÖn c¸c ho¹t động t- duy thuật giải thể hiện bằng hiệu quả thực hiện những yêu cầu toán học. Trên tinh thần các t- t-ởng chủ đạo đó, luận văn sẽ đ-a ra một số định h-íng nh»m gãp phÇn ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc mét sè néi dung ph-¬ng tr×nh trong ch-¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng. 1.5. KÕt luËn ch-¬ng 1 Luận văn đã nêu đ-ợc quan điểm chủ đạo để phát triển t- duy thuật giải cho học sinh đó là quan điểm hoạt động. Luận văn đã đ-a ra đ-ợc khái niệm thuật toán và các đặc tr-ng của thuËt to¸n. Dùa trªn kh¸i niÖm thuËt to¸n vµ quan ®iÓm d¹y häc theo lý thuyết hoạt động, luận văn đã đ-a ra khái niệm t- duy thuật giải. www.vnmath.com.

(35) 34. LuËn v¨n còng ®-a ra ®-îc mét sè vÝ dô d¹y häc ph¸t triÓn t- duy thuật giải trong khi dạy học một số nội dung ph-ơng trình và nêu lên vấn đề cÇn ph¶i ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh nh- thÕ nµo còng nh- vai trß cña viÖc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh.. Ch-¬ng 2 Một số định h-ớng góp phần phát triển t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh th«ng qua d¹y häc mét sè néi dung ph-¬ng tr×nh 2.1. Mét sè nguyªn t¾c d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh Để dạy học theo h-ớng phát triển t- duy thuật giải đảm bảo chất l-ợng và đạt hiệu quả cần phải dựa trên một số nguyên tắc sau: Nguyªn t¾c 1. D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i ph¶i đáp ứng đ-ợc mục đích của việc dạy, học toán ở nhà tr-ờng phổ thông. Mục đích của việc dạy học toán trong nhà tr-ờng phổ thông là: giúp häc sinh lÜnh héi vµ ph¸t triÓn mét hÖ thèng kiÕn thøc, kü n¨ng, thãi quen cÇn thiÕt cho cuéc sèng, cho häc tËp; H×nh thµnh vµ ph¸t triÓn c¸c phÈm chÊt tduy (t- duy logic, t- duy thuËt gi¶i, t- duy trõu t-îng...) cÇn thiÕt cña mét con ng-ời có học vấn trong xã hội hiện đại; Góp phần quan trọng trong việc h×nh thµnh thÕ giíi quan khoa häc to¸n häc, hiÓu ®-îc nguån gèc thùc tiÔn cña to¸n häc vµ vai trß cña nã trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn v¨n hãa v¨n minh nh©n lo¹i còng nh- nh÷ng tiÕn bé cña khoa häc kü thuËt. Để đạt đ-ợc những mục đích to lớn đó, những năm gần đay, ngành giáo dục đào tạo liên tục đổi mới ch-ơng trình sách giáo khoa, ph-ơng pháp dạy học. Do đó, dạy học theo h-ớng phát triển t- duy thuật giải là một trong những ph-ơng pháp dạy học đáp ứng đ-ợc mong muốn đó. Nguyªn t¾c 2. D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i ph¶i dựa trên định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học hiện nay. www.vnmath.com.

(36) 35. Định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho ng-ời học đ-ợc học tập trong hoạt động và bằng hoạt động: tự giác, tích cực, sáng tạo ("hoạt động hóa ng-ời học"). Phù hợp với định h-ớng đổi mới đó có thÓ tr×nh bµy mét sè xu h-íng d¹y häc kh«ng truyÒn thèng nh-: d¹y häc gi¶i quyết vấn đề, dạy học dựa vào lý thuyết tình huống, dạy học theo thuyết kiến t¹o, d¹y häc ch-¬ng tr×nh hãa, d¹y häc víi c«ng cô m¸y tÝnh ®iÖn tö, d¹y häc theo lý thuyết hoạt động... V× vËy, d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i ph¶i dùa trªn định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học hiện nay. Nguyªn t¾c 3. D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i ph¶i đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát triển tối -u ch-ơng trình sách giáo khoa hiÖn hµnh. Ch-¬ng tr×nh vµ s¸ch gi¸o khoa m«n to¸n ®-îc x©y dùng trªn c¬ së kÕ thõa nh÷ng kinh nghiÖm tiªn tiÕn ë trong vµ ngoµi n-íc theo mét hÖ thèng quan điểm nhất quán về ph-ơng diện toán học cũng nh- về ph-ơng diện sphạm, đã thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và ®-îc ®iÒu chØnh néi dung còng nh- ch-¬ng tr×nh nhiÒu lÇn sao cho phï hîp víi thùc tiÔn gi¸o dôc ë n-íc ta mµ gÇn ®©y lµ s¸ch gi¸o khoa chØnh lý hîp nhÊt n¨m 2000 vµ s¸ch gi¸o khoa ph©n ban n¨m 2006. Dạy học theo h-ớng phát triển t- duy thuật giải của học sinh phải đảm b¶o sù t«n träng, kÕ thõa vµ ph¸t triÓn mét c¸ch tèi -u ch-¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa hiÖn hµnh. Cô thÓ lµ: + Khai thác triệt để sách giáo khoa để tìm những phần có thể thông qua đó bồi d-ỡng các hoạt động t- duy thuật giải (T1 - T5). + Khai thác các dạng toán trong sách giáo khoa để xây dựng các thuật gi¶i cho c¸c d¹ng to¸n tæng qu¸t. Nguyªn t¾c 4. D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i ph¶i góp phần đắc lực hình thành nhân cách con ng-ời ở thời đại mới. www.vnmath.com.

(37) 36. Xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi con ng-ời phải năng động, tự chủ, sáng tạo, kỷ luật, biết tôn trọng pháp luật và các quy tắc của xã hội. Do đó, d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i gãp phÇn quan träng trong viÖc ph¸t triÓn nh©n c¸ch ng-êi häc. Cïng víi viÖc t¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh kiÕn t¹o nh÷ng tri thøc vµ rÌn luyÖn kü n¨ng to¸n häc, d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cßn cã t¸c dông gãp phÇn ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ chung nh- ph©n tÝch, tæng hîp, trõu t-îng ho¸, kh¸i qu¸t ho¸... vµ nh÷ng phẩm chất của ng-ời lao động mới.nh-: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tÝnh phª ph¸n, tÝnh s¸ng t¹o, båi d-ìng ãc thÈm mü cho häc sinh. Nguyªn t¾c 5. D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i ph¶i ph¸t huy tÝnh tÝnh cùc nhËn thøc cña häc sinh phï hîp víi thùc tiÔn hoµn c¶nh, m«i tr-êng gi¸o dôc vµ thùc tiÔn häc sinh. Quá trình dạy học chỉ thực sự đạt hiệu quả khi quá trình dạy học bảo đảm sự thống nhất giữa tính vừa sức với yêu cầu phát triển có thể đ-ợc thực hiÖn dùa trªn lý thuyÕt vÒ vïng ph¸t triÓn gÇn nhÊt cña V-g«txki. Tính vừa sức để học sinh có thể chiếm lĩnh đ-ợc tri thức, rèn luyện đ-ợc kỹ năng, kỹ xảo nh-ng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của học sinh. Hơn nữa, trong quá trình dạy học, nh÷ng yªu cÇu ph¶i h-íng vµo vïng ph¸t triÓn gÇn nhÊt, tøc lµ ph¶i phï hîp với trình độ mà học sinh đã đạt tới ở thời điểm đó, không thoát ly cách xa trình độ này, nh-ng họ vẫn còn phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu v-ơn lên thì mới thực hiện đ-ợc nhiệm vụ đặt ra. Nguyªn t¾c 6. D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i ph¶i kÕt hîp chÆt chÏ rÌn luyÖn cho häc sinh tÝnh tæ chøc, tÝnh trËt tù víi tÝnh linh ho¹t vµ s¸ng t¹o. Để đào tạo những con ng-ời có đầy đủ các phẩm chất của ng-ời lao động mới đòi hỏi trong quá trình dạy học theo h-ớng phát triển t- duy thuật giải bên cạnh việc cho học sinh tập luyện tốt các hoạt động t- duy thuật giải cÇn lµm cho häc sinh biÕt c¸ch t×m tßi, s¸ng t¹o th«ng qua viÖc khai th¸c øng dụng của một số nội dung kiến thức hay những bài tập đòi hỏi tính linh hoạt, tÝnh tÝch cùc trong t- duy cña häc sinh. www.vnmath.com.

(38) 37. 2.2. Một số định h-ớng s- phạm góp phần phát triển t- duy thuật gi¶i cho häc sinh th«ng qua d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh Trên cơ sở hệ thống các nguyên tắc dạy học theo h-ớng phát triển tduy thuật giải đã nêu ở trên và đặc điểm của nội dung ph-ơng trình, chúng tôi đề ra một số định h-ớng s- phạm nhằm góp phần phát triển t- duy thuật gi¶i cho häc sinh nh- sau. 2.2.1. X©y dùng quy tr×nh d¹y häc ph-¬ng tr×nh theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i Theo quan điểm hoạt động trong dạy học đã đ-ợc trình bày ở ch-ơng 1, viÖc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i chÝnh lµ viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh thùc hiện tốt các hoạt động t- duy thuật giải. Để làm đ-ợc việc đó, tr-ớc hết việc d¹y cña gi¸o viÖn ph¶i cã tÝnh chÊt thuËt gi¶i vµ ®-îc tiÕn hµnh theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i. Quy trình dạy học là một algorit dạy học rất đặc biệt: chủ thể phải thực hiện nghiêm ngặt từng thao tác và sau một số hữu hạn b-ớc sẽ đạt đ-ợc kết qu¶ mong muèn. Song kh«ng thÓ xem quy tr×nh d¹y häc lµ mét cÊu tróc cøng nhắc, nghiêm ngặt nh- một thuật toán mà phải tính đến cả thái độ, tình cảm, nh©n c¸ch cña häc sinh, c¶ nh÷ng khã kh¨n, ch-íng ng¹i trong qu¸ tr×nh d¹y häc, mang tÝnh nghÖ thuËt vµ s¸ng t¹o rÊt cao trong qu¸ t×nh truyÒn thô tri thøc. Sau ®©y chóng t«i x©y dùng hai quy tr×nh d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh, bÊt ph-¬ng tr×nh theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh trong hai giai ®o¹n: chiÕm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh vµ rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i ph-¬ng tr×nh. 2.2.1.1. Quy tr×nh d¹y häc chiÕm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh Quy tr×nh gåm 5 b-íc nh- sau. B-íc 1. Lµm n¶y sinh nhu cÇu nhËn thøc tri thøc ph-¬ng tr×nh. Trong b-ớc này giáo viên có thể tiến hành bằng 2 cách: Nêu vấn đề hoặc cho học sinh làm một số ví dụ và phản ví dụ để từ đó phát hiện ra vấn đề. www.vnmath.com.

(39) 38. B-ớc 2 Tổ chức h-ớng dẫn học sinh hành động tác động vào đối t-ợng nh»m ph¸t hiÖn ra dÊu hiÖu b¶n chÊt, cÊu tróc l«gic cña kiÕn thøc míi. Trong b-íc nµy, gi¸o viªn ®-a ra c¸c ph-¬ng tiÖn trùc quan, vÝ dô vµ bµi tËp yªu cÇu häc sinh quan s¸t, ph©n tÝch, tæng hîp, so s¸nh, trõu t-îng hãa t×m ra dÊu hiệu bản chất của vấn đề. Từ đó khái quát hóa thành khái niệm, định lý, công thøc... B-ớc 3. Gợi động cơ để học sinh phát biểu lại khái niệm, định lý, công thøc nªu ë b-íc 2 d-íi d¹ng mét thuËt gi¶i. Trong b-íc nµy, gi¸o viªn ph¶i nêu các câu hỏi thích hợp làm nổi bật các thao tác có trong khái niệm, định lý, c«ng thøc... B-íc 4. Tæ chøc h-íng dÉn häc sinh nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn thuËt gi¶i võa nªu vµo c¸c t×nh huèng cô thÓ. Trong b-íc nµy, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh làm các bài tập đòi hỏi phát triển các thao tác t- duy thuật giải (T1, T2, T3, T4) B-ớc 5. Tập luyện các hoạt động t- duy thuật giải thông qua các bài toán không theo thuật giải đã biết. Trong b-ớc này, giáo viên có thể đ-a ra mét sè bµi to¸n gi¶i ®-îc b»ng 2 c¸ch: theo thuËt gi¶i vµ kh«ng theo thuËt gi¶i nh-ng kh«ng theo thuËt gi¶i th× lêi gi¶i gän h¬n. ViÖc lµm nµy cã t¸c dông rÌn luyÖn ph¸t hiÖn thuËt gi¶i tèi -u (thø 5). Từ quy trình dạy học nêu trên, chúng tôi xây dựng 5 biện pháp sphạm thích hợp sau đây để vận dụng vào quy trình đó theo h-ớng phát triển t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh. BiÖn ph¸p s- ph¹m 1. X©y dùng vµ tËn dông c¸c ph-¬ng tiÖn trùc quan thÝch hîp trong qu¸ trình dạy học chiếm lĩnh tri thức ph-ơng trình. Phát hiện các hoạt động tduy thuật giải t-ơng thích với nội dung và mục đích dạy học. BiÖn ph¸p s- ph¹m 2. X©y dùng, s¾p xÕp, bæ sung vµ khai th¸c c¸c vÝ dô, ph¶n vÝ dô theo h-íng thuËt to¸n hãa trong qu¸ tr×nh d¹y häc chiÕm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh. www.vnmath.com.

(40) 39. BiÖn ph¸p s- ph¹m 3. Tìm các hình thức gợi động cơ thích hợp với các hoạt động t- duy thuật giải đã phát hiện. BiÖn ph¸p s- ph¹m 4. Xây dựng, sắp xếp và sử dụng một cách thích hợp các bài tập ở mức độ đơn giản để học sinh vận dụng thành thạo các thao tác có trong thuật giải. Xác định các tri thức ph-ơng pháp và cách truyền thụ chúng khi tập luyện các hoạt động t- duy thuật giải. BiÖn ph¸p s- ph¹m 5. X©y dùng vµ sö dông c¸c bµi tËp cã nhiÒu c¸ch gi¶i, c¸c bµi tËp vµ tËn dụng khai thác các tình huống dễ mắc sai lầm để học sinh tự kiểm tra, tự phát hiÖn, kh¾c phôc c¸c khã kh¨n, ch-íng ng¹i, söa ch÷a c¸c sai lÇm th-êng gÆp vµ ®-a ra c¸c thuËt gi¶i tèi -u. Chú ý: để thực hiện quy trình dạy học theo h-ớng phát triển t- duy thuật giait đã nêu trong quá trình dạy học chiếm lĩnh tri thức ph-ơng trình có thÓ sö dông 5 biÖn ph¸p s- ph¹m trªn víi nh÷ng l-u ý sau: a. Lùa chän biÖn ph¸p s- ph¹m thÝch hîp, phï hîp víi tri thøc ph-¬ng tr×nh cÇn truyÒn thô khi thùc hiÖn quy tr×nh d¹y häc chiÕm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh. b. Sö dông linh ho¹t hÖ thèng c¸c biÖn ph¸p s- ph¹m thÝch hîp khi thùc hiÖn quy tr×nh d¹y häc chiÕm lÜnh tri thøc. c. Kết hợp nhuần nhuyễn theo thứ tự từ thấp lên cao các biện pháp sphạm thích hợp để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức l-ợng giác d-ới sự tổ chức h-ớng dẫn của giáo viên, qua đó khuyến khích các hoạt động t- duy thuật gi¶i ph¸t triÓn. VÝ dô 1. D¹y bµi ‚Ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n‛ (tiÕt 1) I. Môc tiªu bµi häc. 1. KiÕn thøc: Häc sinh biÕt ®-îc ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m vµ c¸ch gi¶i. 2. Kü n¨ng: Gi¶i thµnh th¹o ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n. www.vnmath.com.

(41) 40. II. Tæ chøc giê d¹y. Sau khi nªu mét sè ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n. §Ó gîi nhu cÇu nhËn thøc gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n, gi¸o viªn ®-a ra c¸c c©u hái. ? Hãy nêu các b-ớc để xác định giá trị l-ợng giác của các cung (góc) l-îng gi¸c cã sè ®o ? Chẳng hạn đối với sin, học sinh trả lời nh- sau: B-íc 1. BiÓu diÔn cung (gãc) cã sè ®o  lªn ®-êng trßn l-îng gi¸c. Gi¶ sö ®iÓm ngän cña cung lµ M. B-íc 2. H¹ MK vu«ng gãc víi trôc sin. B-ớc 3. Tính độ dài đoạn OK. B-íc 4. Tr¶ lêi: sin = OK nÕu K thuéc kho¶ng d-¬ng trªn trôc sin. sin = - OK nÕu K thuéc kho¶ng ©m trªn trôc sin. sin = 0 nÕu K  O. NhËn xÐt: sin   1;1 . Sin B M’. M K. o. A’. α A. Cos. B’. Gi¸o viªn tiÕp tôc ®-a ra c©u hái thø hai. ? Xác định các giá trị   R để: sin = -1; sin = 0; sin = 1; sin =. 1 ; sin =2. www.vnmath.com. 2 ; sin = 3.

(42) 41. + sin = -1  M  B      + sin = 1  M  B   .  2.  2.  k 2 , k  Z.  k 2 , k  Z. + sin = 0  M  A hoÆc M  A    k , k  Z + sin =. 1 1 : Trªn OB lÊy ®iÓm K: OK = . Qua K kÎ ®-êng th¼ng 2 2. vu«ng gãc víi OB c¾t (O) t¹i M, M’ . s® AM .  6.  k 2 . s® AM     k 2 6.      k 2  1 6  ;k  Z VËy sin =  2      k 2  6 sin    2      kh«ng tån t¹i v×  2 , 3   1;1 sin   3   Sau khi gi¶i 2 bµi to¸n ng-îc nhau, gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh nêu chi tiết các b-ớc để giải ph-ơng trình: sinx = m. B-ớc 1: Kiểm tra m  1 . Nếu đúng chuyển sang b-ớc 2; nếu sai trả lời ph-¬ng tr×nh sinx = m v« nghiÖm, chuyÓn sang b-íc 4. B-íc 2. §Æt sin = m,   R B-íc 3. Tr¶ lêi ph-¬ng tr×nh sinx = m cã c¸c nghiÖm lµ:.  x    k 2  x      k 2 , k  Z  B-íc 4. KÕt thóc.. Sin B M’. M K. www.vnmath.com A’. o B’. α A. Cos.

(43) 42. Để rèn luyện cho học sinh thực hiện hoạt động (T1), giáo viên yêu cầu häc sinh gi¶i c¸c bµi tËp sau: Bµi tËp 1. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. sinx =. 0 b. sin x  30  . 2 2. c. sin (2x + 1) =. 4 5.  . d. sin x . 3 2. . 5  2 2. Trong qu¸ tr×nh h-íng dÉn häc sinh gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh trªn, bªn cạnh việc tập luyện cho học sinh hoạt động (T1), còn có tác dụng gợi động cơ giúp học sinh phát hiện một số đặc tr-ng trong việc giải ph-ơng trình l-ơng gi¸c c¬ b¶n: sinx = m + Ph-ơng trình l-ợng giác sinx = m có tập xác định là R đ-ợc hiểu là hàm mệnh đề ‚số trị của hàm số y = sinx bằng m đã cho‛. + Gi¶i ph-¬ng tr×nh sinx = m lµ t×m tÊt c¶ c¸c sè thùc x lµm cho mÖnh đề sinx = m là đúng, do đó việc giải ph-ơng trình dẫn đến việc tìm các số thùc x sao cho sinx = m (trõ mét sè tr-êng hîp bµi to¸n cã yªu cÇu cô thÓ th× x cã thÓ lµ gãc). + Gi¶i ph-¬ng tr×nh sinx = m t-¬ng ®-¬ng víi viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx = sin ( cho tr-íc). §Ó häc sinh n¾m v÷ng thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh sinx = m vµ ph¸t triển các hoạt động khác của t- duy thuật giải, giáo viên đ-a ra bài tập: Bµi tËp 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin sin x  . 2 2. §øng tr-íc bµi to¸n nµy häc sinh cã thÓ sÏ gÆp lóng tóng kh«ng biÕt bắt đầu nh- thế nào vì nó ch-a có dạng quen thuộc để thực hiện thuật giải.. www.vnmath.com.

(44) 43. Lúc này, giáo viên phải nêu câu hỏi gợi động cơ thích hợp để học sinh phân tÝch bµi to¸n vµ ®-a vÒ d¹ng quen thuéc, ch¼ng h¹n: + H·y xem X = sinx, gi¶i ph-¬ng tr×nh sin X =. 2 2. + Mục đích của việc giải ph-ơng trình này là gì? Hãy biến đổi để đ-a vÒ ph-¬ng tr×nh sinx = m. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin sin x   §Æt X = sinx  sin X . 2 2. 2 2.     X   k 2  sin x   k 2   4 4     X     k 2 sin x  3  k 2   4 4.   1 sin x   4  sin x  3 2   4 2. . vµ (2) lµ 2 ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n. Nh- vËy, trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi to¸n nµy häc sinh ®-îc tiÕp cËn víi dạng ph-ơng trình mới, gần giống với ph-ơng trình cơ bản, đó là ph-ơng tr×nh d¹ng sinf(x) = m. Sau khi gi¶i bµi tËp nµy gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh nêu thuật giải để giải dạng ph-ơng trình l-ợng giác nêu trên. §Ó kÕt thóc bµi d¹y, gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh tr¶ lêi c©u hái: T-¬ng tù nh- c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh sinx = m, h·y nªu thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n: cosx = m.. www.vnmath.com.

(45) 44. Giáo viên gợi ý để học sinh tự xây dựng đ-ợc thuật giải theo h-ớng trên vừa giúp học sinh nắm vững thuật giải đồng thời qua đó tập luyện cho học sinh các hoạt động T1, T2, T3, T4 của t- duy thuật giải đ-ợc phát triển. Ví dụ 2. Dạy bài: ‚Một số ph-ơng trình l-ợng giác đơn giản‛ (Tiết 1, s¸ch gi¸o khoa §¹i sè - Gi¶i tÝch 11, n©ng cao, 2006). I . Mục đích - yêu cầu. Biết đ-ợc dạng và cách giải ph-ơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số l-ợng giác, ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx. II. Tæ chøc d¹y häc. Sau khi nêu dạng của ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx, để gîi nhu cÇu t×m c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh, gi¸o viªn cho häc sinh lµm vÝ dô sau: Ví dụ 1. Biến đổi thành tích các biểu thức sau: a, sinx + cosx b.. 3 sin x  cos x. c.. 3sinx + 4 cosx.. * Để biến đổi biểu thức (a) thành tích, giáo viên có thể ra câu hỏi: + §-a biÓu thøc vÒ tæng cña hai sin ( hoÆc hai cos)?.    x . 2 . §-a vÒ tæng cña hai sin: sin x  sin . + áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, hãy biến đổi thành tích?.        sin x  sin  x   2 sin cos x    2 cos x   4 4 4 2   .    sin x  cos x  2 sin x   . 4  Gi¸o viªn cã thÓ hái tiÕp: + Cã thÓ ®-a biÓu thøc vÒ d¹ng c«ng thøc céng ®-îc kh«ng ? Nếu học sinh còn gặp khó khăn thì giáo viên có thể gợi ý để học sinh biến đổi nh- sau: Ta nh©n vµ chia cho. 2 vµo biÓu thøc. (víi www.vnmath.com. 2  12  12 ).

(46) 45. 1  1  2 sin x  cos x  2  2 . Ta để ý:. BiÓu thøc ®-îc viÕt:.     . 1 2 1 2.  cos  sin.  4.  4.      2  sin x. cos  cos x. sin   2 sin x   4 4 4  . Giáo viên yêu cầu học sinh làm t-ơng tự đối với các biểu thức còn lại theo c¸ch 2: b..  3  1    3 sin x  cos x  2 sin x  cos x   2 sin x. cos  cos x. sin  2 6 6   2 .    3 sin x  cos x  2 sin x   6  2. . Ta nh©n vµ chia cho. 42  32 = 5 vµo biÓu thøc 5. 3 4   sin x  cos x  5 5 . 4  5  cos  Ta xem  3   sin   5. ( cho tr-íc).. BiÓu thøc ®-îc viÕt: 5  sin x cos s  cos x sin    5sin  x    Giáo viên yêu cầu học sinh nêu nhận xét về cách biến đổi thành tích các biểu thức đã cho: áp dụng cách biến đổi thứ 2, ta có thể biến đổi thành tÝch biÓu thøc d¹ng tæng qu¸t: asinx + bcosx nh- sau: Nh©n vµ chia biÓu thøc cho. a2  b2. www.vnmath.com.

(47) 46.   a b a 2  b 2  sin x  cos x  2 2 a2  b2  a b .  a Cã:  2 2  a b. 2.   b     2 2   a b. 2.   1  . a   cos   2 2  a b Ta xem  b   sin   a 2  b 2. BiÓu thøc cã d¹ng:. a 2  b 2 sin x   . Qua ví dụ này chúng ta tập luyện cho học sinh hoạt động (T3) và (T5) của t- duy thuật giải. Các hoạt động này làm cơ sở để học sinh dần dần phát hiÖn thuËt gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c. Gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n sau: VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. sinx + cosx =1.. b.. 3 sin x  cos x  2. c. 4sinx + 3cosx = 5.. ¸p dông vÝ dô 1..   Ph-¬ng tr×nh (a)  2 sin x    1 4 .  2   sin  x    , ®©y lµ ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n. 4 2   x  k 2   x    k 2 2 .    2 sin x   2 Ph-¬ng tr×nh (b) 6   2   sin x    1  x   k 2 6 3  Ph-¬ng tr×nh gi¸o dôc.  5 sin x     5. www.vnmath.com.

(48) 47. .  sin x     1  x . 2.    k 2. Sau khi gi¶i hai bµi to¸n trªn gi¸o viªn nªu c©u hái: + Víi ®iÒu kiÖn nµo cña a, b th× ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c cã nghiÖm? 2 2 (Ph-¬ng tr×nh  a  b sin x     c.  sin x     Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm . c a2  b2 c a b 2.  1  a2  b2  c2. 2. + Gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh nªu chi tiÕt c¸c b-íc gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c (a,b  0) B-íc 1. KiÓm tra c¸c hÖ sè a, b, c. 2 2 2 NÕu a  b  c th× chuyÓn sang b-íc 2. NÕu sai tr¶ lêi ph-¬ng. tr×nh v« nghiÖm, chuyÓn sang b-íc 5. a2  b2. B-íc 2. Chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh cho. a   cos   2 2  a b B-íc 3. §Æt  b   sin   a 2  b 2 B-íc 4. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin x    . c a2  b2. B-íc 5. Tr¶ lêi. Để rèn luyện cho học sinh hoạt động (T1), giáo viên yêu cầu học sinh gi¶i c¸c bµi to¸n sau: VÝ dô 3. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. 3cosx + 4sinx = - 5. b. 2sin2x - 2cos2x =. c. 2sin3x + 5 cos3x = - 3. d.. www.vnmath.com. 2. 5 sinx + 2cosx = 4..

(49) 48. §Ó häc sinh cñng cè thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c vµ truyÒn thô tri thøc ph-¬ng ph¸p quy l¹ vÒ quen, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi to¸n: VÝ dô 4. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. 5sin2x - 6cos2x = 13 b. 2sin2x - 5 sinxcosx - cos2x = -2. Tr-íc khi kÕt thóc bµi d¹y, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh nh¾c l¹i thuËt toán giải ph-ơng trình asinx + bcosx = c. Sau đó giao công việc về nhà nhằm củng cố thuật giải và phát triển hoạt động quy lạ về quen. Chúng tôi đã trình bày chi tiết 2 ví dụ sử dụng quy trình dạy học chiếm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh nh»m ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh. Chóng t«i nhËn thÊy r»ng cßn cã nhiÒu néi dung vÒ ph-¬ng tr×nh cã thÓ sö dông quy tr×nh trªn vµo d¹y häc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh mét cách có hiệu quả nh-: dạy học ph-ơng trình đã có thuật giải; ph-ơng trình bậc nhất một ẩn, ph-ơng trình bậc hai một ẩn, ph-ơng trình l-ợng giác đối xứng đối với sinx và cosx; ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx; ph-¬ng tr×nh mò vµ logarit... Nh- vËy, chóng ta cã thÓ xem quy tr×nh d¹y häc chiÕm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh nh- lµ mét biÖn ph¸p ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh. 2.2.1.2. Quy tr×nh d¹y häc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i ph-¬ng tr×nh Qu¸ tr×nh d¹y gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph-¬ng tr×nh cho chóng ta rÊt nhiÒu cơ hội để phát triển t- duy thuật giải của học sinh. a. C¸c d¹ng ph-¬ng tr×nh Trong ch-¬ng tr×nh To¸n ë tr-êng phæ th«ng, bµi tËp vÒ ph-¬ng tr×nh gåm 2 d¹ng c¬ b¶n sau: - Dạng bài tập giải ph-ơng trình dựa vào các thuật giải đã biết.. www.vnmath.com.

(50) 49. - D¹ng bµi tËp nh»m h×nh thµnh kiÕn thøc míi (th«ng qua gi¶i bµi tËp gióp häc sinh cã thÓ tiÕp thu nh÷ng kiÕn thøc ch-a biÕt, cã thÓ lµ nh÷ng tÝnh chÊt, quy t¾c...). V× néi dung ph-¬ng tr×nh ë tr-êng phæ th«ng lµ néi dung lín, xuyªn suèt qu¸ tr×nh häc tËp cña häc sinh nªn bµi tËp vÒ ph-¬ng tr×nh rÊt ®a d¹ng vµ phong phó. Trong luËn v¨n nµy, chóng t«i kh«ng nghiªn cøu tÊt c¶ c¸c d¹ng to¸n vÒ ph-¬ng tr×nh mµ chØ nghiªn cøu mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n nhất (việc giải các ph-ơng trình này đòi hỏi học sinh phải nắm vững thuật giải của một số ph-ơng trình và một số phép biến đổi t-ơng đ-ơng một cách linh ho¹t). Chóng ta cã thÓ nh×n mét c¸ch tæng quan vÒ ph-¬ng tr×nh ë ch-¬ng trình toán phổ thông qua sơ đồ sau:. 1. 3. PT kh«ng chøa tham sè. PT cã chøa tham sè 2. Gi¶i vµ biÖn luËn PT. Đk để PT cã nghiÖm. 4. Bl sè nghiÖm cña PT trªn mét kho¶ng. Đk để hai PT t-¬ng ®-¬ng. Trong đó: (1): C¸c ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n: - Ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn: ax + b = 0 (a  0) - Ph-¬ng tr×nh bËc hai mét Èn: ax2 + bx + c = 0 ( a  0) - Ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n: sinx = m; cosx = m; tanx = m; cotx = m vµ ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c th-êng gÆp. - Ph-¬ng tr×nh mò: ax = at ; ax = c. www.vnmath.com.

(51) 50. - Ph-¬ng tr×nh logarit: logax = logat; logax = c. Các ph-ơng trình cơ bản đóng một vai trò rất quan trọng trong ch-ơng trình bởi vì việc giải bất kỳ một ph-ơng trình nào cũng dẫn đến việc giải một trong c¸c ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n. (2): Ph-ơng trình ‚gần cơ bản‛. Chẳng hạn đối với ph-ơng trình l-ợng giác th× ph-¬ng tr×nh ‚gÇn c¬ b¶n‛ lµ c¸c ph-¬ng tr×nh cã d¹ng:. sin f x   m ; cos f x   m ; tan f x   m ;. cot f x   m. sin f(x) = sin g(x); cos f(x) = cos g(x); tan f(x) = tan g(x); cot f(x) = cot g(x) §èi víi ph-¬ng tr×nh mò: af(x) = ag(x); af(x) = c. §èi víi ph-¬ng tr×nh logarit: logaf(x) = logag(x); logaf(x) = c. (3). Ph-¬ng tr×nh quy vÒ ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n. Lµ c¸c ph-¬ng tr×nh khi gi¶i, ta giải bằng phép đặt ẩn phụ (đại số hóa ph-ơng trình l-ợng giác) hoặc sử dụng phép biến đổi t-ơng đ-ơng. Chẳng hạn: + Ph-¬ng tr×nh trïng ph-¬ng: ax4 + bx2 + c = 0, (a  0) Để giải ph-ơng trình ta đặt y = x2, với điều kiện y  0. Ta đ-a về ph-ơng trình bậc hai đối với y. ay2 + by + c = 0. + Ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx, cosx; ph-ơng trình l-ợng giác đối xứng đối với sinx và cosx, chứa ẩn ở mẫu, ph-ơng trình chứa c¨n thøc… Đối với dạng ph-ơng trình giải đ-ợc bằng cách đặt ẩn phụ để đ-a về ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n, gi¸o viªn cÇn lµm cho häc sinh lu«n ý thøc kiÓm tra điều kiện đối với ẩn mới. Vì khi đặt ẩn phụ có thể thu hẹp hoặc mở rộng tập xác định của ph-ơng trình mới, nghiệm tìm đ-ợc phải đối chiếu với điều kiện xem có thỏa mãn hay không. Dạng toán này đòi hỏi học sinh phải có sự tích lũy vốn kiến thức nhất định.. www.vnmath.com.

(52) 51. Do đó trong quá trình dạy giải bài tập giáo viên h-ớng dẫn cho học sinh nhận dạng ph-ơng trình để có thể đặt ẩn phụ một cách thích hợp để đ-a đến cách giải tối -u hơn. 2 2 VÝ dô 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: log 3 x  log 3 x  1  3  0. Cã nhiÒu häc sinh lµm nh- sau: 2 §Æt t = log 3 x , ®iÒu kiÖn: t  0.. Ph-¬ng tr×nh  t  t  1  3  0.  t 1  3  t. Cách đặt này đ-a đến giải một ph-ơng trình vô tỷ, nếu không nắm v÷ng d¹ng ph-¬ng tr×nh nµy häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm. Ch¼ng h¹n: Häc sinh cã thÓ gi¶i tiÕp ph-¬ng tr×nh: Ph-¬ng tr×nh  t  1  3  t . 2. Nếu giáo viên yêu cầu học sinh: Bằng cách thêm bớt hãy biến đổi biểu thøc ngoµi dÊu c¨n gièng biÓu thøc trong dÊu c¨n? 2 2 Ph-¬ng tr×nh  log 3 x  1  log 3 x  1  4  0. Gi¸o viªn yªu cÇu tiÕp: §Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh ta lµm thÕ nµo? Đến đây học sinh sẽ đặt ẩn phụ: t =. log 32 x  1 , ®iÒu kiÖn t  1.. 2 Ph-¬ng tr×nh  t  t  4  0. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc d¹ng to¸n (3), gi¸o viªn cÇn h-íng dÉn häc sinh nắm đặc điểm nhận dạng của ph-ơng trình để ứng với mỗi dạng toán đó häc sinh n¾m ®-îc ph-¬ng ph¸p gi¶i. Qu¸ tr×nh nµy rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn năng lực nhận dạng, thể hiện của học sinh, đồng thời phát triển t- duy thuật gi¶i vµ t- duy s¸ng t¹o cña häc sinh. VÝ dô khi d¹y vÒ ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c, gi¸o viªn ®-a ra mét sè dạng ph-ơng trình có thể đại số hóa nh-: - Ph-¬ng tr×nh d¹ng: F(sinx, cosx, tanx, cotx) = 0. - Ph-¬ng tr×nh d¹ng: R(sinx, cosx,...) www.vnmath.com.

(53) 52. (Trong đó R là hữu tỷ đối với sinx, cosx, tanx, cotx). - Ph-¬ng tr×nh d¹ng: R(sinx, cosx, tanx, cotx, sin2x, cos2x, tan2x, cot2x,...) = 0 - Ph-ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx, tanx và cotx. - Ph-¬ng tr×nh d¹ng: asinx + bcosx = c. Dạng ph-ơng trình có thể biến đổi về dạng tích. Ph-ơng pháp đ-a ph-ơng trình về dạng tích quy về việc giải các ph-ơng trình đã biết thuật giải víi l-u ý r»ng: ph-¬ng tr×nh f1(x).f2(x)...fn(x) = 0 t-¬ng ®-¬ng víi gi¶i tËp hợp các ph-ơng trình: f1(x) = 0; f2(x) = 0; ... ; fn(x) = 0 (xét trên tập xác định ban ®Çu). NÕu ký hiÖu T1, T2,...Tn theo thø tù lµ tËp nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh đã nêu thì tập nghiệm của ph-ơng trình là T = T1  T2  ...  Tn . Tuy nhiên, những ph-ơng trình giải bằng ph-ơng pháp này đòi hỏi kỹ thuật biến đổi và kinh nghiệm nhận dạng để định h-ớng cách giải: tiến hành gi¶i b»ng c¸ch ®-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch lµ tæng hîp mét chuçi c¸c ho¹t động nhận dạng và thể hiện. Cho nên trong quá trình dạy học giáo viên cần h×nh thµnh cho häc sinh kü n¨ng nhËn d¹ng c¸c ph-¬ng tr×nh cã thÓ ®-a vÒ d¹ng tÝch. a. Ph-ơng trình: asinx + bsin2x + csin3x = 0. Cả 3 số hạng đều chứa nh©n tö sinx, ph©n tÝch ®-îc thµnh tÝch cña sinx víi mét biÓu thøc bËc hai cña cosx. b. Các ph-ơng trình có thể sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc để đ-a ph-ơng trình về dạng tích. Chẳng hạn, nếu trong ph-ơng trình có chứa các số hạng cos f(x); cos g(x) thì có thể biến đổi:. cos f x   cos g x   2 cos. f x   g x  f x   g x  . cos 2 2. Vµ ph-¬ng tr×nh sÏ ®-îc ®-a vÒ d¹ng tÝch nÕu c¸c sè h¹ng cßn l¹i chøa thõa sè cos. f x   g x  f x   g x  hoÆc cos 2 2. c. Ph-¬ng tr×nh chøa nh÷ng biÓu thøc cã thõa sè chung nh-: www.vnmath.com.

(54) 53. F(x). BiÓu thøc chøa thõa sè f(x). sinx. sin 2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x,.... cosx. sin2x, cos3x, tan2x, cotx, cot3x,.... 1+cosx 1-cosx. cos 2. x 2 x 2 , cot , sin 2 x , tan x ,... 2 2. sin 2. x 2 2 2 x , tan , sin x , tan x ,... 2 2. 1 + sinx.  x   x  cos 2    , sin 2    ,  4 2  4 2. sinx + cosx. cos2x, cot2x, 1 + sin2x, 1 + tanx, 1 + cosx, tanx- cosx,.... cosx - sinx. cos2x, cot2x, 1- sin 2x, 1 - tanx, 1- cotx, tanx - cotx,.... cos 2 x , cot 2 x ,.... Dạng ph-ơng trình có các hệ số đặc biệt đôi khi các mối liên hệ số học đơn giản giữa các hệ số lại chứa đựng chìa khóa giải bài toán. Khai thác đặc điểm này một cách triệt để sẽ phát triển t- duy thuật giải của học sinh lớp các bài toán dạng này. Chẳng hạn, nếu chú ý đặc điểm các hệ số trong ph-ơng trình thì sẽ biến đổi đ-a ph-ơng trình về dạng tích. a. sin2x + 2tanx = 3 b. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx. c. 2(tanx- sinx) + 3(cotx - cosx) + 5 = 0. (4). Ph-¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc. Nh÷ng ph-¬ng tr×nh nµy th-êng kh«ng thÓ ¸p dông ph-¬ng ph¸p gi¶i truyÒn thèng mµ ph¶i biÕt vËn dông khéo léo ph-ơng pháp đánh giá các số hạng có trong ph-ơng trình, sử dụng tính chất đơn điệu, tính bị chặn, sử dụng đồ thị... để giải. Trªn ®©y chóng t«i ®-a ra mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh th-êng gÆp ë ch-ơng trình toán phổ thông. Các dạng ph-ơng trình này chung quy lại đều cã thÓ ®-a vÒ gi¶i b»ng hai ph-¬ng ph¸p c¬ b¶n: ph-¬ng ph¸p algorit (thuËt giải) và ph-ơng pháp orictic (tìm kiếm, sáng tạo...), đều phải vận dụng t- duy sáng tạo và t- duy thuật giải theo từng cấp độ của một bài toán cụ thể. Vì www.vnmath.com.

(55) 54. vËy, qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i to¸n nãi chung, d¹y häc gi¶i ph-¬ng tr×nh nãi riêng là điều kiện thuận lợi để phát triển t- duy thuật giải cho học sinh. 2. . Quy tr×nh d¹y häc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i ph-¬ng tr×nh Trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i ph-¬ng tr×nh, t- duy thuËt gi¶i ®-îc vËn dụng theo các cấp độ sau: Cấp độ 1: Những quy tắc, ph-ơng pháp có tính chất thuật toán: giải các ph-ơng trình đã có thuật giải. Cấp độ 2: Những quy tắc, ph-ơng pháp có tính chất phi thuật toán: tiến tr×nh gi¶i mét bµi to¸n (th«ng th-êng qua 4 b-íc); gi¶i to¸n b»ng ph-¬ng ph¸p lËp tr×nh,... Cấp độ 3: Những quy tắc, ph-ơng pháp có tính chất tìm đoán: quy lạ vÒ quen, kh¸i qu¸t hãa, trõu t-îng hãa, ph-¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i c¸c bµi to¸n,... ‚Tính chất tìm đoán‛ ở đây chỉ là gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán đảm bảo chắc chắn thành công. ở cấp độ này đòi hỏi t- duy toán học của học sinh hoạt động tích cực, đặc biệt là t- duy sáng t¹o. Th«ng qua mß mÉm, dù ®o¸n ph-¬ng ph¸p gi¶i mµ rÌn luyÖn t- duy s¸ng t¹o cña häc sinh: tÝnh mÒm dÎo, tÝnh linh ho¹t, kh¶ n¨ng biÕt ®iÒu chØnh ph-¬ng h-íng vµ ph-¬ng ph¸p khi cÇn thiÕt. Tõ nh÷ng nhËn xÐt vÒ vai trß cña t- duy thuËt gi¶i trong gi¶i to¸n ph-¬ng tr×nh, chóng t«i ®-a ra quy tr×nh d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i gåm c¸c b-íc nh- sau: B-íc 1. TËp luyÖn cho häc sinh thãi quen ph©n tÝch bµi to¸n, nhËn d¹ng ph-¬ng tr×nh. Nếu ph-ơng trình cần giải là một trong những ph-ơng trình đã có thuật gi¶i th× tiÕn hµnh thùc hiÖn theo thuËt gi¶i (T1). Ng-îc l¹i ta chuyÓn sang b-íc 2.. www.vnmath.com.

(56) 55. B-ớc 2. Rèn luyện cho học sinh biến đổi ph-ơng trình về dạng quen thuộc. Trong b-ớc này, giáo viên cần gợi động cơ, h-ớng đích, lôi cuốn học sinh tích cực tìm tòi những ph-ơng pháp biến đổi ph-ơng trình về dạng quen thuộc. Đây là khâu quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt động giải ph-ơng trình. Giáo viên cần h-ớng dẫn để học sinh huy động kiến thức tổng hợp để tìm ph-ơng pháp biến đổi thích hợp. B-íc 3. Cho häc sinh tiÕn hµnh gi¶i ph-¬ng tr×nh nhËn ®-îc. Sau khi đã biến đổi đ-a ph-ơng trình về dạng quen thuộc, học sinh phải vạch ra ch-ơng trình giải rồi thực hiện ch-ơng trình đó. Bài giải phải đảm bảo yêu cầu: không có sai lầm (lời giải không nên sai sót về kiến thức to¸n häc, vÒ ph-¬ng ph¸p suy luËn, kü n¨ng tÝnh to¸n, vÒ ký hiÖu vµ ng«n ngữ diễn đạt); lập luận có căn cứ chính xác (trong từng b-ớc biến đổi ph-ơng trình đều có cơ sở lý luận); lời giải đầy đủ (xem xét đầy đủ các khả năng, kh«ng bá sãt mét tr-êng hîp nµo). B-íc 4. KiÓm tra lêi gi¶i, kÕt qu¶. Giải ph-ơng trình là một hoạt động toán học tổng hợp bao gồm nhiều hoạt động, nhiều khâu: hiểu và vận dụng đ-ợc khái niệm có liên quan, nắm vững định lý, công thức biến đổi đồng nhất, biến đổi t-ơng đ-ơng, biến đổi hÖ qña ph-¬ng tr×nh; lËp luËn vµ thÓ hiÖn c¸c thao t¸c t- duy logic, ph©n chia tr-ờng hợp, tính toán cụ thể và cách diễn đạt, thể hiện lời giải d-ới dạng văn bản,... ứng với mỗi hoạt động, mỗi khâu. Trong quá trình tìm tòi lời giải và trình bày lời giải học sinh có thể mắc sai lầm. Do đó giáo viên cần l-ờng tr-ớc để chỉ ra những sai lầm học sinh th-ờng mắc phải, đồng thời phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó và đề ra biện pháp khắc phục. B-íc 5. RÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng nghiªn cøu lêi gi¶i. Nghiªn cøu - khai th¸c - ph©n tÝch vµ t×n tßi lêi gi¶i khoa häc nhÊt sÏ gióp häc sinh cã thãi quen tËp d-ît nghiªn cøu khoa häc, n¾m ®-îc b¶n chÊt vấn đề trong giải toán. Hoạt động này có ý nghĩa rất quan trọng, nó góp phần phát triển hoạt động (T5) (phát hiện thuật giải tối -u). www.vnmath.com.

(57) 56. B-íc 6. H-íng dÉn häc sinh t×m c¸c bµi to¸n liªn quan, më réng bµi to¸n b»ng t-¬ng tù hãa, kh¸i qu¸t hãa. Trong b-íc nµy, gi¸o viªn cÇn ph¸t triÓn kh¶ n¨ng suy ®o¸n vµ rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t- duy cho häc sinh. Muèn vËy, gi¸o viªn cÇn chó ý cho häc sinh lµm quen vµ cã ý thøc sö dông nh÷ng quy t¾c suy ®o¸n, t-¬ng tù hãa, kh¸i qu¸t hãa, ph©n tÝch, tæng hîp vµ so s¸nh. Gi¸o viªn cÇn tËp d-ît cho học sinh các thao tác t-ơng tự đơn giải, biết so sánh một bài toán với những bài toán t-ơng tự, tìm ra đặc điểm chung về hình thức, nội dung hoặc ph-ơng pháp một số dạng ph-ơng trình đơn giản, từ đó xây dựng thuật giải gi¶i mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t. VÝ dô 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh.. 3x 1 4   2 0 x2 x2 x 4 B-íc 1. §©y lµ ph-¬ng tr×nh chøc Èn ë mÉu vµ ch-a cã thuËt gi¶i. B-ớc 2. Tìm tập xác định của ph-ơng trình: D = R\  2;2 Quy đồng mẫu thức với mẫu thức chung: x2 - 4, ta đ-a về:. 3 x x  2    x  2   4 0 x2  2 3x 2  5 x  2   0  3x 2  5 x  2  0 2 x 4 1  x   3 B-íc 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 3x2 - 5x - 2 = 0   x  2. Đối chiếu với tập xác định. Vậy ph-ơng trình có nghiệm x  . 1 3. B-íc 4. Häc sinh cã thÓ m¾c nh÷ng sai lÇm sau: + Khi giải học sinh có thể quên không tìm tập xác định của ph-ơng trình, dẫn đến khi trả lời ph-ơng trình có nghiệm x   www.vnmath.com. 1 vµ x =2. 3.

(58) 57. + Khi gi¶i t×m ®-îc x  . 1 và x = 2 nh-ng không đối chiếu với điều 3. kiện để chọn nghiệm thích hợp. + Trong quá trình quy đồng mẫu thức và biến đổi học sinh có thể sai lÇm do kh«ng n¾m v÷ng phÐp to¸n céng trõ hai ph©n thøc kh«ng cïng mÉu vµ thùc hiÖn phÐp tÝnh ch-a ®-îc chÝnh x¸c. B-ớc 5. Tr-ớc khi giải, cho học sinh nhận xét đặc điểm nhận dạng của ph-¬ng tr×nh (ph-¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, ph-¬ng tr×nh chøa c¸c ph©n thøc kh«ng cïng mÉu). Từ đặc điểm của ph-ơng trình, ta thấy để giải ph-ơng trình tr-ớc tiên cần tìm tập xác định của ph-ơng trình, sau đó tìm mẫu thức chung, thực hiện phép quy đồng mẫu thức, biến đổi đ-a ph-ơng trình về ph-ơng trình cơ bản. Tiến hành giải ph-ơng trình thu đ-ợc, tìm nghiệm thuộc tập xác định của ph-¬ng tr×nh. B-íc 6. §©y lµ ph-¬ng tr×nh thuéc d¹ng (3) (ph-¬ng tr×nh quy vÒ ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n). D¹ng ph-¬ng tr×nh nµy g©y cho häc sinh rÊt nhiÒu khã kh¨n trong qu¸ tr×nh gi¶i. CÇn cho häc sinh n¾m v÷ng tuÇn tù c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng nµy. VÝ dô 2. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: Sinx + sin 2x + sin 3x = 0 B-ớc 1. Đây là ph-ơng trình ch-a có thuật giải. Ta cần biến đổi để đ-a về ph-ơng trình đã có thuật giải. B-ớc 2. áp dụng các công thức l-ợng giác để biến đổi đ-a ph-ơng tr×nh vÒ d¹ng (3) (ph-¬ng tr×nh d¹ng tÝch) theo c¸c c¸ch sau: Cách 1. Nhóm sin3x với sinx, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để xuất hiện thừa số chung sin2x, từ đó đ-a về ph-ơng trình dạng tích. Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng tÝch quy vÒ gi¶i ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n. C¸ch 2. Lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung sinx b»ng c¸ch sö dông c«ng thức nhân đôi, nhân ba. Chuyển về giải ph-ơng trình cơ bản. www.vnmath.com.

(59) 58. B-íc 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh theo 2 c¸ch nh- sau: C¸ch 1.. sinx + sin 2x + sin3x = 0.  (sin3x + sinx) + sin2x = 0  2sin2xcosx + sin2x = 0  sin2x(2cosx + 1) = 0. sin 2 x  0 sin 2 x  0   2 cos x   1 cos x   1 2 2   C¸ch 2. sinx + sin 2x + sin3x = 0  sinx + 2sinxcosx + 3sinx - 4sin3x = 0  sinx(4 + 2cosx - 4sin2x) = 0  sinx(4cos2x + 2cosx) = 0  2sinxcosx(2cosx + 1) = 0  sin2x(2cosx + 1) = 0. sin 2 x  0 sin 2 x  0   1  2 cos x  1  0 cos x    2  Gi¶i ra ta ®-îc: x  k.  2. vµ x  . 2  k 2 , k  Z  3. B-ớc 4. Học sinh có thể mắc phải sai lầm trong biến đổi (do nhớ sai công thức) hoặc không lấy đ-ợc tập nghiệm đúng nếu nh- học sinh biến đổi ph-¬ng tr×nh thµnh: sinx (4cos2x + 2cosx) = 0.  sin x  0 sin x  0    cos x  0 2 4 cos x  2 cos x  0   1 cos x   2 . www.vnmath.com.

(60) 59.   x  k     x   k  2  2 x    k 2 , k  Z  3  NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: x  k ; x  k.  2. vµ x  . 2  k 2 3. B-íc 5. Trong 2 c¸ch gi¶i trªn, c¸ch 1 ng¾n gän h¬n nh-ng kh«ng ¸p dụng đ-ợc cho bài toán tổng quát. Còn cách 2 có thể áp dụng để xây dựng thuËt gi¶i cho bµi to¸n tæng qu¸t (xem môc 2.3, ch-¬ng 2). B-ớc 6. Một số bài toán liên quan đến bài toán trên. Bµi to¸n 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 Bµi to¸n 2. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bsin2x + csin3x = 0, (a, b, c  R) Bµi to¸n 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + sin2x + ... + sinnx = 0 Bµi to¸n 4. Gi¶i ph-¬ng tr×nh:. a1 sin x  a2 sin 2 x  ...  an sin nx  0, n  N * Bµi to¸n 5. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:. cos x  cos 2 x  cos 3x  0 cos x  cos 2 x  cos 3x  cos 4 x  0   ....................................................... cos x  cos 2 x  ...  cos nx  0 Bµi to¸n 6. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cosx + cos2x = sinx + sin2x Bµi to¸n 7: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + sin2x + ... + sinnx = cosx + cos2x + ... + cosnx. VÝ dô 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + cosx = 1.. www.vnmath.com.

(61) 60. Đây là ph-ơng trình l-ợng giác đã có thuật giải, học sinh có thể xây dùng mét ch-¬ng tr×nh gi¶i b»ng c¸ch lùa chän c¸c ph-¬ng ph¸p vµ c«ng cô (kiến thức l-ợng giác) phù hợp để giải. Häc sinh cã thÓ gi¶i bµi to¸n nµy theo 10 c¸ch sau: Cách 1. Sử dụng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ. Đặt t = tan C¸ch 2. Xem 1  tan. x 2.  , ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh: 4. sin x  tan. . 4. cos x  1  sin x . . . C¸ch 3. Dïng gãc phô: sin  . 1 2. 2  4 2. 1. ; cos  . 2. C¸ch 4. Sö dông kiÕn thøc c¬ b¶n: sin2 x + cos2x = 1, råi ®-a vÒ ph-ơng trình bậc hai đối với sinx và cosx. Cách 5. áp dụng công thức nhân đôi:. x x sin x  2 sin cos , 2 2. cos x  2 cos 2. x 1 2. Cách 6. Biến đổi đại số: Bình ph-ơng hai vế rồi đ-a ph-ơng trình về d¹ng tÝch: sinx.cosx = 0 Cách 7. Đ-a về giải hệ ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx.. sin x  cos x  1  sin x. cos x  0 C¸ch 8. Sö dông ph-¬ng ph¸p h×nh häc: dïng ®-êng trßn l-îng gi¸c. Cách 9. Sử dụng ph-ơng pháp đồ thị hàm số. Cách 10. Sử dụng ph-ơng pháp đánh giá.. sin 2 x  sin x  2 cos x  cos x Tõ c¸c c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + cosx = 1, ta cã thÓ gi¶i ®-îc c¸c ph-¬ng tr×nh sau: www.vnmath.com.

(62) 61 Bµi tËp 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c (a, b, c  R, ab  0) Bµi tËp 2. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a. sin3x + cos3x = 1 b. sin4x + cos4x = 1 c. sin6x + cos6x = 1 ........................... d. sin2007x + cos2007x = 1 Bµi tËp 3. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a. sinnx + cosnx = 1, (n  N * ) b. sin2nx + cos2nx = 1, (m, n  Z * ) Bµi tËp 4. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. a sin x  b cos x  c  0 b. a sin x  b cos x  c  0 Sö dông quy tr×nh d¹y häc nªu trªn trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i ph-ơng trình giúp học sinh định h-ớng đ-ợc ph-ơng pháp giải khi đứng tr-ớc một bài toán và việc thực hiện đúng quy trình khi giải toán góp phần phát triển các hoạt động t- duy thuật giải. 2.2.2. Tổ chức luyện tập cho học sinh giải các ph-ơng trình đã biết thuËt gi¶i Trong ch-¬ng tr×nh to¸n trung häc phæ th«ng, häc sinh ®-îc giíi thiÖu mét sè ph-¬ng tr×nh vµ c¸ch gi¶i chóng. Tuy nhiªn trong s¸ch gi¸o khoa ch-a nêu cách giải các dạng ph-ơng trình đó d-ới dạng một thuật giải. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày chi tiết các thuật giải đó và đ-a ra một số bài tập cụ thể để học sinh nắm vững cách giải các ph-ơng trình này nhằm thực hiện tốt b-ớc 1 trong quy trình dạy học giải ph-ơng trình, đó chính là hoạt động thực hiện thuật giải (T1). Giáo viên cần cho học sinh hiểu rõ vấn đề: nhớ và vËn dông thµnh th¹o c¸c quy tr×nh, thuËt to¸n cã s½n lµ mét viÖc lµm cÇn thiÕt nh-ng ch-a đủ. Trong học tập phải có thói quen không nên dễ dàng chấp nhận những điều đã có sẵn mà cần phải luôn có ý thức và niềm say mê huy www.vnmath.com.

(63) 62. động tích cực vốn tri thức và năng lực của bản thân để tìm ra những ph-ơng pháp khác nhau hoặc ph-ơng pháp tối -u hơn khi đứng tr-ớc vấn đề cần gi¶i quyÕt. 1. Ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn: ax + b = 0 (a  0) 2. Ph-¬ng tr×nh bËc hai mét Èn: ax2 + bx + c = 0 (a  0) VÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. 2x2 - 5x + 4 = 0. b. 4x2 -12x + 9 = 0. c. x2 - 3x + 5 = 0. d. 5x2 - 4x - 9 = 0. Đây là các ph-ơng trình đơn giản, học sinh dễ dàng giải các ph-ơng tr×nh nµy theo thuËt gi¶i. 3. Ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n. (Xem vÝ dô 3, biÖn ph¸p 1) 4. Ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số l-ợng giác. ThuËt gi¶i 4.1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh f(sinx) = 0 hoÆc f(cosx) = 0. B-ớc 1. đặt sin x = t, (cosx = t).  1  t  1  t  ti B-íc 2. Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t:   f t   0 B-íc 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx = ti, (cosx= ti) VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a. 2cosx -. 3 =0. b. 2. c. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0. 3 sinx - 3 = 0. d. – sin2x + sinx + 2 = 0. Các ph-ơng trình này nhằm tập luyện cho học sinh hoạt động giải toán theo thuật giải đã nêu. ThuËt gi¶i 4.2. Gi¶i ph-¬ng tr×nh f(tanx) = 0 vµ f(cotx) = 0 B-íc 1. §Æt tanx = t, (cotx = t) B-íc 2. Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t: f(t) = 0  t = ti B-íc 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: tanx = ti, (cotx = ti) VÝ dô 3. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a.. 3 tan 3x  3  0. b.. . . 3 tan 2 x  1  3 tan x  1  0. c. cot2x – 3 cotx – 10 = 0. www.vnmath.com.

(64) 63. VÝ dô 4. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau:  cos2x – 6cosx + 5 = 0. 1  2sin 2 x  3 2 sin x  sin 2 x b. 1 2sin x cos x  1. c. 1 . sin x  3tan 2 x  0 3 cos x. C¸c ph-¬ng tr×nh nµy ch-a thÓ ¸p dông ®-îc thuËt gi¶i ngay. §Ó gi¶i ph-ơng trình đòi hỏi học sinh phải vận dụng công thức l-ợng giác phù hợp để đ-a ph-ơng trình về ph-ơng trình đã có thuật giải. Gi¶i: Ph-¬ng tr×nh (a): cos2x – 6cosx + 5 = 0  cos2x – 3cosx + 2 = 0 B-íc 1: §Æt cosx = t.  1  t  1  1  t  1   B-íc 2: (a)   2  t  1  t 1 t  3 t  2  0  t  2  B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cosx = 1  x = k 2 Ph-¬ng tr×nh (b) : §iÒu kiÖn: 2sinxcosx – 1  0.  sin 2 x  1  x .  4.  k , k  Z. (b)  1  2sin 2 x  3 2 sin x  sin 2 x  sin 2 x 1.  2 sin 2 x  3 2 sin x  2  0 B-íc 1: §Æt sinx= t.  1  t  1. 2  t  2 2  2t  3 2t  2  0   x  4  m2 2  B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin x  2  x  3  m2 , m  Z  4 B-íc 2: (b)  . www.vnmath.com.

(65) 64. §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn hä nghiÖm x  VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x .  4.  m2 kh«ng tho¶ m·n.. 3  m2 4. cos x  0  x  Ph-¬ng tr×nh gi¸o dôc: §iÒu kiÖn: (c)  1 .  2.  k , k  Z. sin x  3tan 2 x  0 2 cos x.cos x.  1  tan x 1  tan 2 x   3tan 2 x  0.  tan 3 x  3 tan 2 x  3 tan x  1  0. . .  tan x  1 tan 2 x  2 tan x  1  0 tan x  1  0  2 tan x  2 tan x  1  0  Ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx. asinx + bcosx = c, (a, b, c  R, ab  0) Sách giáo khoa chỉnh lý năm 2000 đề cập đến 3 cách giải. Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao nêu một cách giải. Sau đây chúng tôi đ-a ra thuËt gi¶i chi tiÕt. ThuËt gi¶i 5.1: B-íc 1: KiÓm tra: a2 + b2  c2 NÕu sai, kÕt luËn ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. ChuyÓn sang b-íc 5. Nếu đúng, chuyển sang b-ớc 2. B-íc 2: Chia c¶ hai vÕ cho. a2  b2. www.vnmath.com.

(66) 65. B-íc 3: §Æt. a  cos    a2  b2   b sin    a2  b2. B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh sin x    . c a2  b2. B-íc 5: KÕt thóc. VÝ dô 4: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. 3sinx + 4cosx = 5. b. 2sin2x – 2cos2x = 2. c. 5cos2x – 12sin2x = 13. ¸p dông thuËt gi¶i chi tiÕt ë trªn, häc sinh dÔ dµng gi¶i ®-îc c¸c ph-¬ng tr×nh nµy. VÝ dô 5. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau:. a. sin 2 x  sin 2 x . 1 ; 2. b. 5sin2x – 6cos2x = 13;. c. sin 2 x  sin 2 x  2cos 2 x . 1 2. C¸c ph-¬ng tr×nh nµy häc sinh kh«ng thÓ ¸p dông ngay thuËt gi¶i mµ phải biến đổi bằng cách áp dụng công thức hạ bậc:. cos 2 x . 1  cos 2 x ; 2. sin 2 x . 1  cos 2 x 2.  Ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. asin2x + bsinxcosx + cos2x = 0, (a, b, c  R) Trong s¸ch gi¸o khoa nªu hai c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy. Tõ h-íng dÉn häc sinh gi¶i ph-¬ng tr×nh 5c. Chóng t«i ®-a ra thuËt gi¶i: ThuËt gi¶i 6.1. B-ớc 1: Biến đổi:. sin 2 x . 1  cos 2 x ; 2. cos 2 x . 1 1  cos 2 x ; sin x cos x  sin 2 x 2 2. www.vnmath.com.

(67) 66. B-íc 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:. b ca ac sin 2 x  cos 2 x  2 2 2. B-íc 3: Thùc hiÖn thuËt gi¶i 5.1. VÝ dô 6: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a. 3sin2x + 8sinxcosx +( 8 3 - 9)cos2x = 0 b. 4sin2x + 3 3 sin2x – 2cos2x = 4 c. 3sin22x – sin2xcos2x – 4cos22x = 2. 7. Ph-ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (a, b, c  R) ThuËt gi¶i 7.1. B-íc 1: §Æt t = sinx + cosx.  2  t  2   t 2 1 sin x cos x  2  B-ớc 2: Đ-a về ph-ơng trình đại số: bt2 + 2at – (b + 2c) = 0, (*) với. . . 2 t  2 .. B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh (*), t×m nghiÖm t0 B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + cosx = t0 VÝ dô 7. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 3 = 0 b. 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0 VÝ dô 8. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 b. sin3x + cos3x = 1 c. sin3x + cos3x = sin2x + sinx + cosx 2.2.3. Sö dông hîp lý h×nh thøc d¹y häc ph©n hãa. www.vnmath.com.

(68) 67. Sö dông hîp lý h×nh thøc d¹y häc ph©n ho¸ (néi t¹i) nh»m kÝch thÝch mỗi học sinh học tập với sự nỗ lực trí tuệ phù hợp với trình độ và năng lực nhËn thøc cña b¶n th©n. D¹y häc ph©n ho¸ xuÊt ph¸t tõ sù biÖn chøng cña thèng nhÊt vµ ph©n hoá, từ yêu cầu đảm bảo thực hiện tốt các mục tiêu dạy học đối với tất cả mọi học sinh là đào tạo con ng-ời lao động tự chủ, năng động, sáng tạo, tạo điều kiện cho mỗi thành viên hoạt động trong một lĩnh vực phù hợp với năng lực c¸ nh©n, khai th¸c tiÒm n¨ng, t¹o ®iÒu kiÖn tèi -u cho sù ph¸t triÓn n¨ng lùc cña hä. Ph©n ho¸ néi t¹i (cßn gäi lµ ph©n ho¸ trong), tøc lµ dïng nh÷ng biÖn ph¸p ph©n ho¸ thÝch hîp trong mét líp häc thèng nhÊt víi cïng mét kÕ ho¹ch häc tËp, cïng mét ch-¬ng tr×nh vµ s¸ch gi¸o khoa. Để việc dạy học phân hoá theo h-ớng phát triển t- duy thuật giải đạt hiệu quả cao đòi hỏi phải xác định đ-ợc mức độ tập luyện sát sao với trình độ học sinh. Muốn vậy cần phải thực hiện phân bậc hoạt động t- duy thuật giải. Sự phân bậc hoạt động dựa vào các căn cứ sau: Ph©n bËc theo b×nh diÖn nhËn thøc Đặc tính cụ thể hay trừu t-ợng của đối t-ợng là một căn cứ để phân bậc hoạt động t- duy thuật giải. Bậc thấp: Tiến hành hoạt động trên những đối t-ợng cụ thể. VÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a. x2 – x – 6 = 0;. b. 2x2 – 3x + 5 = 0;. c. 4x2 + 12x + 9. =0 Bậc cao: Tiến hành hoạt động t- duy thuật giải trên đối t-ợng trừu t-îng h¬n. VÝ dô 2. Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè chøa tham sè. Ch¼ng h¹n: Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh sau theo tham sè m: mx2 – 2(m + 3)x + m + 1 = 0 (*). www.vnmath.com.

(69) 68. Gi¶i: HÖ sè a = m, nªn ta xÐt hai tr-êng hîp: + Tr-ờng hợp 1. Nếu m = 0. Khi đó ph-ơng trình có dạng: 6x + 1 = 0. x. 1 6. + Tr-êng hîp 2. NÕu m  0. Ta cã :   m  3  mm  1  5m  9 2. * NÕu    0  5m  9  0  m  . 9  ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. 5. 9  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. 5 5 * NÕu   0  5m  9  0  m    ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 9 * NÕu    0  5m  9  0  m  .  m  3  5m  9  x1  m   m  3  5m  9  x2  m  KÕt luËn: + m = 0  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x . 1 6. + m   9  ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm.. 5. 9  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. 5 m  0  +  9  ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. m    5 + m. Phân bậc theo nội dung của hoạt động t- duy thuật giải. www.vnmath.com.

(70) 69. Các hoạt động t- duy thuật giải có thể đ-ợc phân bậc dựa trên nội dung của hoạt động. Nội dung của hoạt đọng là những tri thức liên quan tới hoạt động và những điều kiện khác của hoạt động. BËc thÊp: M« t¶ thuËt gi¶i b»ng ng«n ng÷ to¸n häc: Chẳng hạn trong sách giáo khoa đại số 10 (năm 2000) đã nêu thuật gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 vµ : ax + b = 0. Sách giáo khoa đại số - Giải tích 11 nêu thuật giải giải các ph-ơng trình: ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n, ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ ph-¬ng tr×nh bậc hai đối với một hàm số l-ợng giác: ph-ơng trình asinx + bcosx = c; asin2x + bsinxcosx + c.cos2x = 0; a (sinx+cosx) + bsinxcosx = c; ph-¬ng tr×nh mò c¬ b¶n; ph-¬ng tr×nh logarit c¬ b¶n. Bậc cao: Mô tả thuật giải bằng ngôn ngữ sơ đồ khối hoặc ngôn ngữ pháng tr×nh.. B¾t ®Çu. NhËp c¸c hÖ sè a, b, c, ,  R; k Z www.vnmath.com a<>0 b<>0. HÖ sè a, b kh«ng tho¶ m·n gi¶ thiÕt.

(71) 70. www.vnmath.com. BËc cao h¬n n÷a: M« t¶ thuËt gi¶i b»ng ng«n ng÷ lËp tr×nh. 2.2.3.3. Phân bậc theo sự phức hợp của hoạt động t- duy thuật giải. www.vnmath.com.

(72) 71. Sự phức hợp của hoạt động cũng là một căn cứ để phân bậc các hoạt động t- duy thuật giải.  BËc thÊp: X©y dùng mét thuËt gi¶i. BËc cao: X©y dùng thuËt gi¶i tèi -u h¬n. VÝ dô 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + cosx = 1. Có thể giải ph-ơng trình này theo thuật giải đã có ở sách giáo khoa. Tuy nhiên, ta cần h-ớng dẫn học sinh tìm thuật giải tối -u hơn để giải ph-¬ng tr×nh nµy nh- sau: B-íc 1. §¸nh gi¸:. sin x  sin 2 x (1). cos x  cos 2 x (2) B-íc 2. thùc hiÖn céng hai vÕ (1) vµ (2) ta cã:. sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x Hay sinx + cosx  1..  x  k 2 DÊu ‚=‛ x°y ra    x    l 2 , k , l  Z . 2  Chúng ta cần cho học sinh so sánh thuật giải này với thuật giải đã biết ë s¸ch gi¸o khoa khi ¸p dông vµo gi¶i ph-¬ng tr×nh. ThuËt gi¶i trªn tèi -u hơn ở chỗ ngắn gọn và đặc biệt là có thể áp dụng cho bài toán tổng quát giải ph-¬ng tr×nh: sinnx + cosnx = 1 C¸ch gi¶i: B-íc 1. NhËp n; B-íc 2. NÕu n < 2 th×: B-íc 2.1. NhËn xÐt: sinn x  sin2 x (1) cosn x  cos2x (2) B-ớc 2.2. Thực hiện cộng theo hai vế bất đẳng thức (1), (2). Ta đ-ợc:. sin n x  cos n x  1..  x  k 2. www.vnmath.com . .  x    l 2 , k , l  Z  2 .

(73) 72. Bước 2.3. Dấu ‚=‛ x°y ra Ng-îc l¹i. B-íc 3. NÕu n  2 th×: B-íc 3.1. NhËn xÐt: sinn x  sin2 x (1) cosn x  cos2x (2) B-ớc 3.2. Thực hiện cộng theo hai vế bất đẳng thức (1), (2). Ta đ-ợc:. sin n x  cos n x  1.  x  k 2 Bước 3.3. Dấu ‚=‛ x°y ra    x    l 2 , k , l  Z  2  Ng-îc l¹i: x  k.  2. , k  Z . Có thể phân bậc sự phức hợp của hoạt động t- duy thuật giải theo căn cứ: b. BËc thÊp: BiÕt c¸ch lµm trªn mét lo¹t tr-êng hîp t-¬ng tù víi tr-êng hợp đã làm. BËc cao: Kh¸i qu¸t ho¸ c¸ch lµm trªn c¸c tr-êng hîp cô thÓ thµnh c¸ch lµm cho tr-êng hîp tæng qu¸t. VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh:. a.. 2x  3  x  3. b.. 2 x 2  3x  1  x  1. c. x  2 x  5  4. Tõ c¸ch gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh trªn, ta ®-a ra thuËt gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t nh- sau: B-ớc 1. Biến đổi ph-ơng trình thành dạng:. f x   g x  B-íc 2. §Æt ®iÒu kiÖn g x   0 B-íc 3. Khö c¨n thøc b»ng c¸ch b×nh ph-¬ng hai vÕ. www.vnmath.com.

(74) 73 2 B-íc 4. Gi¶i ph-¬ng tr×nh f x   g x . B-íc 5. T×m nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b-íc 2 B-íc 6. Tr¶ lêi. 2.2.3.4. Phân bậc theo chất l-ợng của hoạt động t- duy thuật giải Sự phân bậc các hoạt động t- duy thuật giải còn dựa trên chất l-ợng của hoạt động.  Bậc thấp: Biết tiến hành hoạt động t- duy thuật giải. Bậc cao: Có kỹ năng tiến hành hoạt động t- duy thuật giải. Bậc cao hơn nữa: Có kỹ xảo tiến hành hoạt động t- duy thuật giải. C¸ch kh¸c. b. Bậc thấp: Tiến hành hoạt động t- duy thuật giải với sự giúp đỡ của gi¸o viªn. Bậc cao: Độc lập tiến hành hoạt động t- duy thuật giải. Bảng sau đây cho biết mỗi hoạt động t- duy thuật giải th-ờng đ-ợc phân bậc theo kh¶ n¨ng nµo. Hoạt động t- duy. Kh¶ n¨ng ph©n bËc. thuËt gi¶i T1. 3.1; 3.4. T2. 3.1; 3.3a; 3.4a; 3.4b. T3. 3.1; 3.3b; 3.4a; 3.4b. T4. 3.1; 3.2; 3.4a; 3.4b. T5. 3.1; 3.3a; 3.4a; 3.4b. Sự phân bậc các hoạt động t- duy thuật giải giúp cho giáo viên nắm bắt đ-ợc tình hình hoạt động toán học của học sinh trong quá trình dạy học giải toán ph-ơng trình. Trên cơ sở nhận thức của học sinh để giáo viên lựa chọn các hoạt động phát triển t- duy thuật giải phù hợp với trình độ nhận thøc cña häc sinh. Rèn luyện kỹ năng biến đổi ph-ơng trình cho học sinh www.vnmath.com.

(75) 74. Biến đổi ph-ơng trình đã cho về ph-ơng trình đã có thuật giải là việc rất quan trọng. Hầu hết các ph-ơng trình đều cho ở dạng phức tạp, gây khó khăn cho học sinh trong quá trình giải. Do đó để giải ph-ơng trình đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi ph-ơng trình. Kỹ năng biến đổi ph-ơng trình đ-ợc hiểu là khả năng thực hiện các phép biến đổi cơ sở để đ-a ph-ơng trình về dạng đơn giản nhất một cách có định h-ớng. Chúng ta có thể chia việc rèn luyện kỹ năng biến đổi ph-ơng trình theo hai cấp độ. Kỹ năng biến đổi các tri thức liên quan đến việc giải ph-ơng trình Ví dụ 1. Sau khi dạy xong các phép biến đổi t-ơng đ-ơng hai ph-ơng trình, giáo viên có thể ra bài tập để học sinh tập luyện và nắm vững các phép biến đổi t-ơng đ-ơng. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau:. a. x  x  2  2  x  2 b. x . 1 2x 1  x 1 x 1. §ång thêi tËp luyÖn cho häc sinh ph¸t hiÖn c¸c sai lÇm khi ¸p dông. VÝ dô 2. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x x 2x   2x  3 2 x  2 x  1x  3. Ta cho häc sinh kiÓm tra lêi gi¶i sau, yªu cÇu häc sinh t×m sai lÇm cña lêi gi¶i vµ c¸ch kh¾c phôc sai lÇm. Lêi gi¶i..  x  1 Điều kiện xác định:  2 1x  3 1 Ph-¬ng tr×nh    2x  3 2x  1 x  1x  3.  x  1  x  3  4 www.vnmath.com.

(76) 75  2x – 2 = 4  x =3.. VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 3. Ví dụ 3. Khi dạy về công thức l-ợng giác, phần công thức biến đổi tích thµnh tæng, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh lµm c¸c bµi tËp. 1.TÝnh: a. sin. 5  sin 24 24. b. cos. 7 5 sin 12 12. 2. Biến đổi thành tổng các biểu thức: a. A = cos5x.cos3x. b. B = 4sinx.sin2x.sin3x. Bài tập (1) giúp học sinh tập luyện hoạt động thứ nhất của t- duy thuật giải. Bài tập (2) tập luyện hoạt động quy lạ về quen, giúp học sinh củng cố ®-îc kiÕn thøc mét c¸ch bÒn v÷ng. Trong quá trình dạy học các công thức liên quan đến đến việc giải ph-ơng trình, cần chú ý đến hoạt động nhận dạng và thể hiện công thức nh»m kh¾c phôc t×nh tr¹ng häc mét c¸ch m¸y mãc, thuéc vÑt c«ng thøc mµ không hiểu đúng bản chất của công thức. Chẳng hạn khi học công thức: 2 2   2 1 sin sin 2cos cos   ,1ta®-a ra c«ng thøc sin 2  cos 2 vµ hái häc sinh b»ng 2 2   1 2  cos 2  bao nhiªu, th× häc sinh cã thÓ tr¶ lêi: sin 2 2 2 Hay khi dạy công thức nhân đôi: sin2a = 2sinacosa nh-ng học sinh lại kh«ng biÕt biÓu diÔn sin a theo sin. a a vµ cos 2 2. §Ó kh¾c phôc ®iÒu nµy, gi¸o viªn cÇn cho häc sinh tËp luyÖn c¸c ho¹t động nhận dạng và thể hiện công thức theo hai chiều xuôi và ng-ợc. Giáo viªn cã thÓ cho häc sinh: (1). NhËn xÐt vµ rót ra dÊu hiÖu b¶n chÊt cña c«ng thøc. (2). §èi chiÕu chÝnh x¸c, ch¾c ch¾n mäi chi tiÕt cña c«ng thøc. (3). Biến đổi và tập sử dụng thành thạo đồng nhất thức. www.vnmath.com.

(77) 76. VÝ dô. Gi¸o viªn h-íng dÉn häc sinh chiÕm lÜnh c«ng thøc: sin2x + cos2x = 1 theo các hoạt động sau. Các công thức nào cho d-ới đây là đúng? a. cos22x + sin22x = 1 2 b. sin. 2 c. cos. x x 1  cos 2  2 2 2.  2.  sin 2.  2. 1. d. sin2(a-b)+ cos2(a-b) =1. (§óng) (Sai) (Sai) (§óng). e. cos2x + sin2x = 1. (Sai). g. sin4x – cos4x = 1. (Sai). Ta căn cứ vào hoạt động (1) để nhận biết (a) và (d). Hoạt động (2) nhận đ-ợc (b), (c), (e) và hoạt động (3) nhận đ-ợc (g). Từ hoạt động (2), giáo viên yêu cầu học sinh rút ra 4 dấu hiệu để nhận biÕt c«ng thøc lµ: * Trong c«ng thøc ph¶i cã hai hµm sè sin vµ cos. * C¸c hµm sin vµ cos cña cïng mét gãc (hoÆc cïng mét cung) * Sè mò lµ 2. * Tæng b»ng 1. §Ó t¨ng c-êng kh¶ n¨ng nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn c«ng thøc, gi¸o viªn yêu cầu học sinh: Số ‚1‛ có thể được viết dưới dạng công thức lượng giác n¯o? 1 = sin2x + cos2x cos2x = 1 – sin2x sin2x = 1 – cos2x Nh- vậy, việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi các tri thức liên quan đến ph-ơng trình một mặt phát triển các hoạt động của t- duy thuật giải (sử dụng đúng phép biến đổi t-ơng đ-ơng, vận dụng thành thạo công thức chính là phát triển hoạt động (T1) của t- duy thuật giải), đồng thời có kỹ năng biến đổi thì học sinh mới hiểu và thực hiện tốt các dạng ph-ơng trình đã có. www.vnmath.com.

(78) 77. thuật giải cũng nh- xây dựng thuật giải để giải các dạng ph-ơng trình ch-a cã thuËt gi¶i. Ví dụ 3. Nếu trong quá trình dạy học công thức biến đổi tổng thành tích, giáo viên cho học sinh vận dụng để biến đổi: sinx + cosx thành.     sin x  cos x  2 cos x    2 sin x   4 4   và tập luyện cho học sinh nắm vững công thức nhân đôi, công thức hạ bậc... th× sÏ t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho viÖc thùc hiÖn c¸c thuËt gi¶i 5, 6, 7 (môc 2.2.2.) VÝ dô 4. Gi¶i ph-¬ng tr×nh.. sin 4 x  cos 4 x . 3  cos 6 x 4. B-íc 1. H¹ bËc vÕ tr¸i:. sin 2 2 x sin x  cos x  1  2 sin x cos x  1  2 4. 4. 2. 2. B-íc 2. TiÕp tôc h¹ bËc vÕ tr¸i ta cã:. sin 2 2 x 1  cos 4 x 1  1 2 4 B-íc 3. §-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng:. 1. 1  cos 4 x 3  cos 6 x  4 4.  cos6x + cos4x = 0 B-íc 4. §-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch. 2cos5x.cosx = 0 B-ớc 5. Giải các ph-ơng trình cơ bản đặc biệt..    x   k  cos 5 x  0 10 5   cos x  0   x    l  2 Rèn luyện kỹ năng biến đổi ph-ơng trình Kh«ng ph¶i ph-¬ng tr×nh nµo còng cã thÓ nh×n ra ngay ®-îc cÇn sö dụng phép biến đổi hay công thức nào để biến đổi mang lại kết quả. Do đó, www.vnmath.com.

(79) 78. rèn luyện kỹ năng biến đổi ph-ơng trình chính là rèn luyện cách nhìn nhận ph-ơng trình d-ới nhiều góc độ khác nhau. Một số cách biến đổi ph-ơng trình th-ờng áp dụng. Biến đổi ph-ơng trình từ dạng phức tạp thành dạng đơn giản hơn. Đặc biệt hoá để dự đoán kết quả bài toán. Rèn luyện kỹ năng biến đổi ph-ơng trình vừa là mục đích của dạy học nội dung ph-¬ng tr×nh võa gãp phÇn ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh. TruyÒn thô cho häc sinh nh÷ng tri thøc ph-¬ng ph¸p vÒ t- duy thuËt giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động thông qua dạy häc gi¶i ph-¬ng tr×nh Trong khi d¹y häc sinh x©y dùng thuËt gi¶i cô thÓ cho mét d¹ng ph-ơng trình nào đó, giáo viên cần phải truyền thụ cho học sinh những kinh nghiÖm vµ nghÖ thuËt trong ph-¬ng ph¸p suy nghÜ, gióp häc sinh tù x©y dùng ®-îc thuËt gi¶i trong nh÷ng t×nh huèng míi. Qu¸ tr×nh x©y dùng mét thuËt gi¶i còng lµ qu¸ tr×nh gi¶i mét bµi to¸n ch-a cã thuËt gi¶i. V× vËy, nh÷ng tri thøc ph-¬ng ph¸p vÒ t- duy thuËt gi¶i ph¶i lµ bé phËn hîp thµnh tri thøc ph-¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n nãi chung vµ phải phản ánh đ-ợc nét đặc thù riêng biệt của quá trình này. Sau đây là nh÷ng tri thøc ph-¬ng ph¸p cÇn truyÒn thô cho häc sinh: + Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc thù, dấu hiÖu riªng biÖt cña bµi to¸n. + Phân tích bài toán để thấy rõ giả thiết và kết luận của bài toán. + Ph©n tÝch bµi to¸n thµnh tõng bé phËn hoÆc thµnh nh÷ng bµi to¸n đơn giản hơn. + Mß mÉm vµ dù ®o¸n b»ng c¸ch ph©n chia thµnh c¸c tr-êng hîp. Xem xÐt c¸c tr-êng hîp (kÕt hîp víi suy luËn) b»ng c¸ch xÐt c¸c tr-êng hîp đặc biệt, t-ơng tự, khái quát.... + Quy l¹ vÒ quen. + KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i, t×m c¸ch gi¶i hîp lý h¬n b»ng c¸ch khắc phục điều ch-a hợp lý của lời giải cũ hoặc thay đổi cách nhìn đối với www.vnmath.com.

(80) 79. bài toán; sử dụng kết quả hay cách giải bài toán cho bài toán khác; đề xuất bµi to¸n míi. T×m hiÓu bµi to¸n mét c¸ch tæng hîp Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc điểm, dấu hiÖu riªng biÖt cña bµi to¸n. VÝ dô 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh. x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24. Míi nh×n ta thÊy ph-¬ng tr×nh cã d¹ng kh«ng b×nh th-êng. Tuy nhiªn, nếu để ý kỹ hơn ta thấy ph-ơng trình có đặc điểm đặc biệt là: VÕ tr¸i = x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 3) Từ đặc điểm này ta đặt: t = x2 + 3x, với điều kiện t  . 9 4. th× ph-¬ng tr×nh ®-a vÒ d¹ng: t( t2 + 3) = 24 Hay. t2 + 3t - 24 = 0 VÝ dô 2. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x. x.  7  48    7  48   14    . Tho¹t nh×n th× cã lÏ ai còng ho¶ng sî v× tr-íc m¾t chóng ta lµ mét ph-¬ng tr×nh mò v« tû víi c¬ sè phøc t¹p. Nh-ng nÕu ta xem xÐt kü hai c¬ sè thì thấy chúng có mối liên hệ đặc biệt:  7  48 . 7  48   1   . Từ đặc điểm này, ta thấy có thể biểu diễn 7  48 . 1 7  48. vµ ta ®-a. x. 1 ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng t   14 víi t =  7  48  , t > 0. hay t2 - 14t + 1 = 0.   t Nh- vËy, mét sè ph-¬ng tr×nh chóng ta sÏ t×m ®-îc thuËt gi¶i nÕu xem. xét kỹ để phát hiện ra những đặc điểm riêng biệt của chúng. Ph©n tÝch gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn cña bµi to¸n Trong mét sè bµi to¸n th× gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn bao giê còng cã mèi liªn hÖ víi nhau. ë mét sè bµi to¸n mèi liªn hÖ Êy dÔ dµng thÊy ®-îc nh-ng còng www.vnmath.com.

(81) 80. cã nhiÒu bµi to¸n míi nh×n qua khã cã thÓ thÊy d-îc mèi liªn hÖ Êy. V× vËy, việc phân tích bài toán để thấy ró giả thiết và kết luận để từ đó tìm ra mối liªn hÖ gi÷a chóng sÏ gãp phÇn x©y dùng thuËt gi¶i. VÝ dô: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 + 5x + 2 = 0 cã 2 nghiÖm x1, x2. Kh«ng gi¶i ph-¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = x13 + x23. Ph©n tÝch: Ta thÊy biÓu thøc M chøa hai nghiÖm x1, x2 cña ph-¬ng trình đã cho. Để tính giá trị của biểu thức M ta cần phải tính giá trị cụ thể 2 nghiÖm x1, x2. Nh-ng yªu cÇu bµi to¸n lµ kh«ng gi¶i ph-¬ng tr×nh cã nghÜa lµ kh«ng ®-îc tÝnh cô thÓ x1, x2 b»ng bao nhiªu th× ta còng ph¶i tÝnh ®-îc gi¸ trÞ cña biÓu thøc M. Ta để ý đến đặc điểm của biểu thức M dẫn đến chúng ta biến đổi biểu thøc M nh- sau: M =(x1 + x2)(x12 - x1x2 + x22). MÆt kh¸c theo gi¶ thiÕt x1, x2 lµ 2 nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh nªn:.  x1  x 2  5   x1 x 2  2. .. Điều này gợi ý cho ta biến đổi biểu thức M về chỉ chứa (x1+ x2) và (x1.x2). Từ đó, ta tiếp tục biến đổi M   x1  x2   x1  x2   3x1 x2  2. . . Tõ sù ph©n tÝch trªn, ta ®-a ra thuËt gi¶i tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M nh- sau: B-ớc 1: Biến đổi biểu thức M về chỉ chứa tổng (x1 + x2) và tính x1.x2: M = (x1 + x2)(x12 - x1x2 + x22) = (x1 + x2)[(x1 + x2)2 - 3x1x2] B-íc 2: TÝnh tæng (x1 + x2) vµ x1.x2 theo Viet:.  x1  x 2  5  .  x1 x 2  2 B-íc 3: Thay vµo biÓu thøc M vµ rót gän. Ph©n tÝch bµi to¸n thµnh tõng bé phËn §èi víi nh÷ng ph-¬ng tr×nh phøc t¹p (chøa c¨n thøc, chøa dÊu gi¸ trÞ tuyệt đối, chứa nhiều hàm số l-ợng giác, số mũ lớn...) th-ờng gây rất nhiều khã kh¨n cho häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶i. V× vËy, trong qu¸ tr×nh d¹y häc www.vnmath.com.

(82) 81. giải ph-ơng trình, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh cách đơn giản hoá bài toán hoặc phân chia thành các bài toán riêng lẻ để dễ tìm cách giải. VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh:. cos 3x  sin 3x   5 sin x    cos 2 x  3 1  2 sin 2 x   Khi gặp bài toán này, cách giải học sinh th-ờng dùng là quy đồng mất mẫu hai vế. Với cách làm này dẫn đến học sinh cùng một lúc thực hiện nhiều phép biến đổi và áp dụng nhiều công thức l-ợng giác. Cách làm này đ-a học sinh gặp nhiều khó khăn và dễ mắc sai lầm trong biến đổi. Giáo viên có thể tách thành nhiều bài toán nhỏ từ bài toán này để với mỗi bài toán đó học sinh thực hiện ít phép tính, phép biến đổi đơn giản, áp dụng ít công thức và cuối cùng đ-a ra biểu thức đơn giản. Với định h-ớng đó, giáo viên yêu cầu học sinh gi¶i lÇn l-ît nh- sau: B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn:. 1 1  2 sin 2 x  0  sin 2 x   2 B-íc 2: Rót gän biÓu thøc:. sin x . cos 3x  sin 3x sin x  2 sin 2 x sin x  cos 3x  sin 3x  1  2 sin 2 x 1  2 sin 2 x. . sin x  cos x  cos3 x  cos3 x  sin 3 x 1  2sin 2 x. . 2sin 2 x cos x  cos x cos x 1  2sin 2 x    cos x 1  2sin 2 x 1  2sin 2 x. B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 5cosx = cos2x + 3  2cos2x – 5cosx + 2 = 0. cos x  2  cos x  1 2  Víi cosx =2 ( lo¹i) Víi cos x . 1   x    k 2 , k  Z  2 3 1 sin 2 x   2 www.vnmath.com.

(83) 82. + §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn:. . T×m nghiÖm thÝch hîp.. VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ: x  .  3.  k 2 , k  Z . RÌn luyÖn n¨ng lùc ph¸n ®o¸n Mß mÉm vµ dù ®o¸n c¸ch gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch ph©n chia thµnh c¸c tr-ờng hợp, hoặc xét tr-ờng hợp đặc biệt, t-ơng tự, khái quát,... VÝ dô 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin2nx + cos2m x = 1 , (m, n  N ) *. Ta xét một số tr-ờng hợp đặc biệt của n và m. + NÕu m = n = 1. Ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: sin2x + cos2x =1. VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi x. + NÕu m = n = 2. Ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: sin4x + cos4x = 1. Ta cã nhËn xÐt:. sin4x  sin2x cos4x  cos2x.  sin4x + cos4x  sin2x + cos2x = 1.. DÊu ‚ = ‛ x°y ra. sin 2 x  0  2  x  k cos x  1    xk  2  x   l 2 sin x  1 2   cos 2 x  0 . + Ta xÐt c¸c tr-êng hîp tæng qu¸t: m = n > 2, ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: sin2nx + cos2mx = 1. LËp luËn t-¬ng tù, ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x  k.  2. Từ đó ta có thể khái quát cho tr-ờng hợp tổng quát m, n bất kỳ với m, n N*. RÌn luyÖn n¨ng lùc “quy l¹ vÒ quen“ Phần lớn các ph-ơng trình đều không có dạng có thể sử dụng các thuật giải quen thuộc ngay mà đòi hỏi ng-ời giải phải biết phân tích, biến đổi, biết nhận ra một số đặc điểm đặc biệt của ph-ơng trình để có thể đ-a ph-ơng www.vnmath.com.

(84) 83. trình về ph-ơng trình đã biết thuật giải. Đối với các ph-ơng trình dạng này, trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh kü n¨ng huy động các thuật giải đã biết. Để đạt đ-ợc mục đích này, ph-ơng pháp quen thuéc hay sö dông lµ x©y dùng hÖ thèng bµi to¸n gèc cho tõng d¹ng ph-¬ng trình. (Vấn đề này sẽ đ-ợc đề cập kỹ hơn ở mục 2.3 của ch-ơng). Sau đây là một số ví dụ minh hoạ đơn giản: VÝ dô 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x 2  3x  12  x 2  3x (1). §©y lµ ph-¬ng tr×nh ch-a cã thuËt gi¶i nh-ng chóng ta cã thÓ chuyÓn về ph-ơng trình đã có thuật giải nh- sau: (1)  x 2  3x  12  x 2  3x  12  12 §Æt t = x 2  3x  12, ®iÒu kiÖn: t > 0. Ph-ơng trình có dạng: t2 – t - 12 = 0. (Đây là ph-ơng trình đã có thuật giải).. t1  3  t 2  4 Víi t = - 3 (lo¹i) Víi t = 4 . x 2  3x  12  4. x  1  x 2  3x  4  0    x  4 VÝ dô 2. Gi¶i ph-¬ng tr×nh;. sin x  2 sin 5x  cos x. (2). Míi nh×n, ta thÊy ph-¬ng tr×nh ch-a cã d¹ng quen thuéc nµo, nh-ng chóng ta cã thÓ ®-a nã vÒ d¹ng quen thuéc nÕu trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn cho häc sinh tËp luyÖn tèt c¸c yªu cÇu cña biÖn ph¸p 4. Gi¸o viªn lµm nh- thế chính là đã truyền cho học sinh tri thức ph-ơng pháp quy lạ về quen. Theo định h-ớng đó, chúng ta đ-a ph-ơng trình về dạng:. sinx + cosx = 2 sin5x www.vnmath.com.

(85) 84.    sin x    sin 5 x (Quy vÒ ph-¬ng tr×nh d¹ng gÇn c¬ b¶n: sinx = sin) 4 .    x   k  16 2  x    k   8 3 VÝ dô 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 52x+1- 3x+1 = 52x + 3x (3) §©y còng lµ mét ph-¬ng tr×nh kh«ng cã d¹ng quen thuéc. Tuy nhiªn chóng ta cã thÓ ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh d¹ng quen thuéc. (3).  5.52x - 3.3x = 52x + 3x  4.52x = 4.3x  25x = 3x x.  25     1 (Quy vÒ ph-¬ng tr×nh d¹ng: ax = c)  x = 0.  3 . KiÓm tra kÕt qu¶ vµ ph¸t hiÖn thuËt gi¶i tèi -u KiÓm tra l¹i kÕt qu¶, t×m c¸ch gi¶i hîp lý h¬n b»ng c¸ch kh¾c phôc chỗ ch-a hợp lý của lời giải cũ hoặc thay đổi cách nhìn đối với bài toán. Sử dụng kết quả hay cách giải bài toán này cho bài toán khác, đề xuất bài toán mới. Việc nhận ra và khắc phục chỗ ch-a hợp lý của một lời giải để tìm ra cách giải hợp lý hơn sẽ góp phần phát triển hoạt động (T5) của t- duy thuật giải (hoạt động tìm thuật giải tối -u). VÝ dô 1. Sau khi d¹y thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c. Gi¸o viªn cã thÓ nªu c©u hái. ? Víi ®iÒu kiÖn nµo cña a, b, c, th× ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm? c c Ph-¬ng tr×nh sin x     cã nghiÖm  1 2 2 2 a  b2 a b.   a2  b2  c  a2  b2. www.vnmath.com.

(86) 85 Tõ ®iÒu kiÖn nªu trªn, ta cã:  a 2  b 2  a sin x  b cos x  a 2  b 2 . Gi¸o viªn cã thÓ cho häc sinh nh×n nhËn bµi to¸n:. asinx + bcosx = c. d-ới góc độ khác nh-: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = asinx + bcosx. Giáo viên còn có thể h-ớng dẫn học sinh áp dụng bài toán trên để giải bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: y = Asin2x + Bsinxcosx + Ccos2x Nh- vậy đề xuất bài toán mới từ một bài toán đã có thuật giải là một cách để nắm vững thuật giải, biết biến đổi linh hoạt trong khi thực hiện thuật giải. Do đó, ngay sau khi dạy một thuật giải nào đó (có thể là một quy tắc, mét c«ng thøc...), gi¸o viªn cã thÓ ra cho häc sinh mét sè bµi to¸n míi ®-îc suy ra từ thuật giải đã biết hoặc h-ớng dẫn học sinh đề xuất bài toán mới. việc làm này sẽ là một biện pháp tốt để phát triển t- duy thuật giải cho học sinh. VÝ dô 2. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cos2x + cos22x + cos23x =1. §øng tr-íc bµi to¸n nµy, häc sinh cã thÓ gi¶i nh- sau: 1  cos 2 x 1  cos 4 x 1  cos 6 x   1 2 2 2.  1 + cos2x + cos4x + cos6x = 0  2cos2x + 2cos5xcosx = 0  cosx (cos5x + cosx) = 0  2cosxcos2x.cos3x = 0     x  2 k  1  4   x  2l  1   6. §èi víi häc sinh, c¸ch gi¶i trªn lµ phï hîp víi nhËn thøc cña hä khi đứng tr-ớc bài toán này. Tuy nhiên, giáo viên có thể h-ớng dẫn học sinh tìm cách giải tối -u hơn và có thể áp dụng để giải cho bài toán tổng quát hơn nh- sau: www.vnmath.com.

(87) 86. Sau khi biến đổi đ-a ph-ơng trình về dạng: 1 + cos2x + cos4x + cos6x = 0. Giáo viên gợi động cơ để học sinh hoạt động biến đổi ph-ong trình thµnh d¹ng tÝch theo c¸ch sau: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  0 ta ®-îc: 2sinx + 2 cos2xsinx + 2cos4xsinx + 2cos6xsinx = 0.  2sinx + sin3x – sinx + sin5x – sin3x + sin7x – sin5x = 0  sinx + sin7x = 0. Tõ c¸ch gi¶i nµy, häc sinh cã thÓ x©y dùng thuËt gi¶i cho bµi to¸n tæng qu¸t h¬n (xem thuËt gi¶i 9, môc 2.3). . X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i ph-¬ng tr×nh, cã nh÷ng ph-¬ng tr×nh thuộc dạng ph-ơng trình đã có thuật giải. Nh-ng đa số ph-ơng trình chúng ta gÆp ch-a cã ngay thuËt gi¶i. §Ó gi¶i nh÷ng d¹ng ph-¬ng tr×nh nµy, chóng ta phải biến đổi để đ-a về ph-ơng trình đã có thuật giải. Đối với những ph-ơng tr×nh nµy cã thÓ h-íng dÉn häc sinh c¸ch suy nghÜ, c¸ch t×m tßi lêi gi¶i vµ h-ớng đến xây dựng thuật toán cho bài toán đó nếu có thể. Theo A.N. Kolmogrov (X« viÕt b¸ch khoa to¯n th tËp 2) th×: ‚Trong mọi tr-ờng hợp có thể đ-ợc, việc đi tìm các algôrit giải là một mục đích thực sự của toán học‛. Do đó, việc phát hiện ra v¯ xây dựng các algôrit l¯ một trong những vấn đề quan trọng nhất của việc tìm các algôrit ngày càng tổng quát để giải lớp các bài toán ngày càng rộng theo một cách thống nhất. Trong khu«n khæ cña luËn v¨n, dï rÊt muèn cã mét thuËt gi¶i tæng quát để giải mọi ph-ơng trình nh-ng điều đó là ảo t-ởng. Vì vậy chúng tôi chỉ đề xuất h-ớng xây dựng một số quy trình có tính chất thuật giải cho một sè d¹ng to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh. Th«ng qua viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh biÕt cách xây dựng và vận dụng các quy trình đó thì t- duy thuật giải của các em sÏ ®-îc ph¸t triÓn. Sau ®©y, chóng t«i ®-a ra thuËt gi¶i mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh th-êng gÆp ë ch-¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng. www.vnmath.com.

(88) 87. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai Khi d¹y néi dung Ph-¬ng tr×nh, bÊt ph-¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai, d¹ng ph-¬ng tr×nh chøa c¨n thøc bËc hai lµ d¹ng ph-¬ng tr×nh g©y cho häc sinh rÊt nhiều khó khăn. Tuy nhiên sách giáo khoa đã nêu hai ph-ơng pháp khử căn là bình ph-ơng hai vế và đặt ẩn phụ. Cách nói của sách giáo khoa mang tính chung chung, ch-a h-íng dÉn cho häc sinh cô thÓ d¹ng ph-¬ng tr×nh nµo th× bình ph-ơng hai vế, dạng ph-ơng trình nào thì đặt ẩn phụ. Trong qúa trình dạy, giáo viên có thể cho học sinh nhận dạng từng loại và từ đó h-ớng dẫn học sinh tìm thuật giải cho dạng ph-ơng trình đó. Chẳng hạn: VÝ dô 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh:. 2 x 2  3x  1  x  1 Gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy nh- sau: B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: x – 1  0  x  1. B-íc 2: B×nh ph-¬ng hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh: 2x2 – 3x + 1 = (x – 1)2 B-ớc 3: Biến đổi ph-ơng trình về dạng: x2 – x = 0 x  0 B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x2 – x = 0   x  1. B-íc 5: §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn: x = 1 lµ nghiÖm. B-íc 6: KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 1. T-¬ng tù, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi tËp sau: VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau:. a. x  2 x  5  4. b. c.. 2 x2  6 x  1  x  2  0.  x  3. x2  4  x2  9. Gi¸o viªn h-íng dÉn häc sinh gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh trªn: www.vnmath.com.

(89) 88. (a)  2 x  5  x  4 (b)  2 x2  6 x  1  x  2 (c)   x  3. . x  3  0 x2  4  x  3  0   2  x  4  x  3. . Tõ h-íng dÉn gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh trªn, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a ra thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng:. f x   g x  .. ThuËt gi¶i 1: B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: g(x)  0. B-íc 2: B×nh ph-¬ng hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh: f(x) = g2(x) B-ớc 3: Biến đổi ph-ơng trình về dạng: h(x) = 0 B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: h(x) = 0 B-íc 5: T×m nghiÖm tho¶ m·n b-íc 1. B-íc 6: KÕt luËn. Víi thuËt gi¶i 1, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a ra thuËt gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t h¬n, d¹ng:. f x   g x   hx  nÕu f(x), g(x),. h(x) lµ c¸c biÓu thøc bËc nhÊt. ThuËt gi¶i 2..  f x   0  B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn:  g  x   0 h  x   0  B-íc 2: B×nh ph-¬ng hai vÕ:. f x   g x   2 f x .g x   h 2 x  B-ớc 3: Biến đổi ph-ơng trình về dạng:. k  x   R x  B-íc 4: ¸p dông thuËt gi¶i 1. VÝ dô 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh:. a.. x2  4 x  2 www.vnmath.com.

(90) 89. b.. x  4  1 x  1 2x. c.. x  2  x 1  x. VÝ dô 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:. x 2  6x  9  4 x2  6x  6 Gi¸o viªn huíng dÉn gi¶i theo tr×nh tù sau: B-íc 1. §Æt ®iÒu kiÖn: x  3  3. x – 6x + 6  0   2.  x  3  3. 2 B-íc 2. §Æt Èn phô: t  x  6 x  6 , ( t  0). B-íc 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: t2 – 4t + 3 = 0. t  1  t  3 B-íc 4: §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn cña t ë b-íc 2: t = 1 vµ t = 3 tho¶ m·n. B-íc 5: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: + +. x 2  6x  6  1. x  6x  6  3 2. x  1 x  5.  x 2  6x  5  0  . x  3  2 3    x  6x  3  0  x  3  2 3 2. B-íc 6: T×m nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b-íc 1. x = 1, x = 5, x =3  2 3 tho¶ m·n. B-íc 7: KÕt luËn: VËy ph-¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm: x = 1, x = 5, x =3  2 3 Gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n sau: VÝ dô 5: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau:. a.. x 2  2 x  2 x 2  4 x  3. b..  x  1 x  2  x2  3x  4 www.vnmath.com.

(91) 90. c. x  3x  1  4x  3. x 1 5 x 3. Tõ c¸c vÝ dô nµy, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a ra thuËt gi¶i cho ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t d¹ng: Af(x) + B. f x  + C = 0. ThuËt gi¶i 3: B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: f(x)  0 B-íc 2: §Æt Èn phô: t =. f x  , (t  0). B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: At2 + Bt + C = 0 B-íc 4: T×m nghiÖm thÝch hîp t0 tho¶ m·n b-íc 2. B-íc 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:. f x   t 0  f(x) = t02. B-íc 6: T×m nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b-íc 1. B-íc 7: Tr¶ lêi. Nh- vËy, nÕu trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i ph-¬ng tr×nh, gi¸o viªn cã thể h-ớng dẫn học sinh nhận dạng ph-ơng trình để từ đó học sinh tìm ra thuật giải ph-ơng trình. Đây là biện pháp tốt để rèn luyện và phát triển t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh. Khi d¹y häc sinh gi¶i ph-¬ng tr×nh - bÊt ph-¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai th× mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu g©y cho häc sinh gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n. §èi víi nh÷ng ph-¬ng tr×nh d¹ng nµy, chóng ta cÇn cho häc sinh theo một trình tự và trên các ví dụ t-ơng tự. Trên cơ sở đó cho học sinh nhận dạng của ph-ơng trình và quy trình giải ph-ơng trình, từ đó rút ra thuật giải cho d¹ng ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t. Ch¼ng h¹n: VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:. 2x 7x  2 1 3x  x  2 3x  5 x  2 2. Gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh gi¶i ph-¬ng tr×nh nh- sau: B-ớc 1: Tìm tập xác định của ph-ơng trình..  x  1 §iÒu kiÖn: 3x +5x+2 ≠ 0   2  x   3 2. www.vnmath.com.

(92) 91. B-íc 2: NhËn xÐt x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh, chia c¶ hai vÕ cho x ≠ 0 ta ®-îc.. 2 2 3x  1  x. . 7 2 3x  5  x. B-íc 3: §Æt t  3x . 2 x. B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:. 1. 2 7   1 víi t ≠ 1 vµ t ≠ -5. t 1 t  5. t  11 2  t  9 t  22  0  Ph-¬ng tr×nh t  2  B-íc 5: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh. 2  11  97  11  x  x 6. + 3x . 2  2  3x 2  2 x  2  0, ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. x  11  97 B-íc 6: Tr¶ lêi, ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x  6 VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: + 3x . a.. 4x 3x  2  1; 4 x  8 x  7 4 x  10 x  7 2. b.. 3x 7x  2  4 x  3x  1 x  x  1 2. Tõ hai vÝ dô trªn ta h-íng dÉn häc sinh ®-a ra bµi to¸n tæng qu¸t vµ thuật giải cho bài toán đó nh- sau: ThuËt gi¶i 4. ThuËt gi¶i ph-¬ng tr×nh:. mx nx   p, víi p ≠ 0 ax 2  bx  d ax 2  cx  d. B-ớc 1: Tìm tập xác định của ph-ơng trình. B-íc 2: NhËn xÐt x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm, chia c¶ hai vÕ cho x ≠ 0 ta ®-îc.. m d ax  b  x. . n d ax  c  x. p. www.vnmath.com.

(93) 92. m n d  p , ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: t  b t  c x m n B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: t  b  t  c  p t×m nghiÖm t0. B-íc 3: §Æt t  ax . d  t0 x B-íc 6: §èi chiÕu nghiÖm x0 víi ®iÒu kiÖn ë B-íc 1.. B-íc 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: ax  B-íc 7: Tr¶ lêi.. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c Khi d¹y néi dung: c¸c ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c th-êng gÆp, häc sinh đã biết thuật giải ph-ơng trình: asinx + bcosx = c. Giáo viên có thể yêu cầu häc sinh gi¶i bµi to¸n sau: VÝ dô 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 3sinx + 4cosx = 4sin3x – 3cos3x. §©y lµ ph-¬ng tr×nh ch-a cã thuËt gi¶i. Tuy nhiªn gi¸o viªn h-íng dÉn häc sinh quy vÒ gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng quen thuéc nh- sau: Ta thÊy: 32 + 42 = 42 + (-3)2 = 25, nªn chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng t×nh cho 32  4 2  4 2   3 ta ®-îc: 2. 3 4 4 3 sin x  cos x  sin 3x  cos 3x 5 5 5 5 2. 2. 2. 2.  3  4  4  3 NhËn thÊy:              1 5  5  5  5. 3  cos    5  §Æt sin   4  5. vµ. 4  cos    5  sin    3  5. Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta ®-îc:. sin x cos   cos x sin   sin 3x cos   cos 3x sin  sinx     sinx    (§©y lµ ph-¬ng tr×nh gÇn c¬ b¶n). www.vnmath.com.

(94) 93. Víi c¸ch gi¶i vÝ dô trªn, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a ra thuËt to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t h¬n sau: asin(kx) + bcos(kx) = csin(mx) + dcos(mx) ThuËt to¸n 5: B-íc 1: KiÓm tra ®iÒu kiÖn: a2 + b2 = c2 + d2 B-íc 2: Chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh cho:. a2  b2  c2  d 2. c  cos    c2  d 2  vµ  d sin    c2  d 2. a  cos    a2  b2  B-íc 3: §Æt  b sin    a2  b2. B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin(kx + ) = sin(mx + ) VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a. cosxcos2x =. 1 4. b. cosx.cos2x.cos4x =. 1 8. Gi¶i: §øng tr-íc ph-¬ng tr×nh: cosxcos2x = (a). 1 , häc sinh cã thÓ gi¶i nh- sau: 4.  2cosxcos2x = 2  cos3x + cosx – 2 =0  4cos3x – 2cosx – 2 = 0. §Æt t = cosx, t  1 4t3 – 2t -2 = 0  (t – 1)(4t2 + 4t + 2) = 0. t  1  0  2 4t  4t  2  0 Víi t – 1 = 0  t = 1. www.vnmath.com.

(95) 94 Víi 4t2 + 4t + 2 = 0  ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. Víi t = 1  cosx = 1  x  k 2 Cách giải này phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Tuy nhiên, nếu áp dụng cách giải này để giải ph-ơng trình (b) thì học sinh sẽ gặp rất nhiÒu khã kh¨n. Chóng ta cã thÓ h-íng dÉn häc sinh c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh (a) đơn giản hơn, từ đó có thể áp dụng cho ph-ơng trình (b). + NÕu sinx = 0, ph-¬ng tr×nh (a) v« nghiÖm. + Nh©n c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  0, ta ®-îc:   2sinxcosx.cos2x =. 1 sinx. 2.  2sin2xcos2x = sinx.  sin4x = sinx Đây là ph-ơng trình đã có thuật giải, học sinh dễ dàng áp dụng thuật giải để giải ph-ơng trình. Lµm t-¬ng tù nh- trªn, häc sinh dÔ dµng gi¶i ®-îc ph-¬ng tr×nh (b). Từ đó chúng ta có thể h-ớng dẫn học sinh đ-a ra thuật giải giải ph-ơng trình tæng qu¸t: cosx.cos2x.cos4x....cos2n-1x =. 1 2n. ThuËt gi¶i 6: B-íc 1: NhËn xÐt sinx = 0 kh«ng tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh. B-íc 2: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  0. B-ớc 3: Biến đổi ph-ơng trình về dạng:. 1 1 n sin 2 x  sin x 2n 2n B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin2nx = sinx B-íc 5: Tr¶ lêi.. www.vnmath.com.

(96) 95. ở phần tr-ớc, chúng ta đã biết thuật giải ph-ơng trình: sinx + sin2x + sin3x = 0. Dùa vµo thuËt gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a ra thuËt gi¶i cho bµi to¸n tæng qu¸t. ThuËt gi¶i 7: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bsin2x + csin3x = 0 nh- sau: B-íc 1: BiÓu diÔn sin2x, sin 3x qua sinx. B-ớc 2: Biến đổi ph-ơng trình về dạng tích. sinx(4c.cos2x + 2b.cosx + a – c ) = 0 B-íc 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n. + sinx = 0 (1) + 4c.cos2x + 2b.cosx + a – c ) = 0 (2) B-íc 4: LÊy hîp cña hai hä nghiÖm (1) vµ (2) Chúng ta đã h-ớng dẫn cho học sinh đ-a ra thuật giải ph-ơng trình trên. Thế nh-ng chúng ta không thể áp dụng thuật giải này để giải ph-ơng trình: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0. Bëi v× khi ta t¨ng sè h¹ng cña ph-ơng trình lên thì việc biến đổi ph-ơng trình về dạng tích càng phức tạp và càng không thể thực hiện đ-ợc khi ph-ơng trình ở dạng tổng quát. Điều đó cã nghÜa lµ khi n > 3, chóng ta cÇn t×m thuËt gi¶i phï hîp cho ph-¬ng tr×nh: n.  sin ix = 0 i 1. §Ó x©y dùng thuËt gi¶i cho ph-¬ng tr×nh nµy, chóng ta cã thÓ h-íng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n sau: Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc sau: A = sinx + sin2x + sin3x + ... + sinnx Rót gän biÓu thøc A thùc chÊt lµ tÝnh tæng cña A. V× biÓu thøc A chøa n số hạng nên chúng ta không thể biến đổi thông th-ờng mà ta phải đ-a ra một quy luật hoặc biến đổi để các số hạng của tổng có thể khử đ-ợc lẫn. www.vnmath.com.

(97) 96. nhau. B»ng kü thuËt nh©n vµ chia cho 2sin. x  0, chúng ta biến đổi biểu thức 2. A nh- sau:. A=. x x x   2 sin x sin  2 sin 2 x sin  ...  2 sin nx sin   x 2 2 2 2 sin  2 1. sin. n  1x sin nx 2. 2. x sin 2. 0, x  k 2  n  1x nx  sin sin VËy A =  2 2 , x  k 2  x sin  2 . Tõ kÕt qu¶ bµi to¸n trªn, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a ra ®-îc thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh sau: ThuËt gi¶i 8: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + sin2x + sin3x+ ... + sinnx = 0. B-íc 1: XÐt sin. x = 0  x = k2 cã lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng 2. Víi x = k2  sinnx = 0  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x = k2 B-íc 2: Víi sin. x  0  x  k2 2. Biến đổi ph-ơng trình về dạng:. sin. n  1x sin nx 2. sin B-íc 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: nx k 2  sin 0 x 2 n  sin. 2. x 2.  n  1 x  0  x  2k. 2 n 1 B-íc 4: KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm lµ:. 2k k 2 vµ x  n 1 n B»ng c¸ch lµm t-¬ng tù, ta tÝnh ®-îc tæng: x=. www.vnmath.com. =0.

(98) 97 n, x  k 2  nx  sin cos n  1x * cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx =  2 2 , x  k 2  x sin  2 . n  1, x  k 2  n  1x nx  sin cos , x  k 2 * 1 + cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx =  2 2  x sin  2 . Vµ h-íng dÉn häc sinh t×m ®-îc thuËt gi¶i gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: * cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx = 0. * sinx + sin2x + sin3x +... + sinnx = cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx * 1 + cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx = 0 Dùa vµo tæng thø 3, gi¸o viªn h-íng dÉn häc sinh nªu c¸c b-íc gi¶i ph-¬ng tr×nh: 1 + cos2x + cos4x + cos6x = 0, (1) nh- sau: B-íc 1: NhËn xÐt: sinx = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) B-íc 2: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  0, ta ®-îc:   2sinx + 2cos2xsinx + 2cos4xsinx + 2cos6xsinx = 0  2sinx = sin3x – sinx + sin5x – sin3x + sin7x – sin5x = 0  sinx + sin7x = 0  2sin4xcos3x = 0 B-íc 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: * sin4x = 0  x  k. x =k0   cos3x.  4. B-íc 4: §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ë b-íc 2: Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = k vµ x =.  víi k  4m, m  Z 4. . 6. k. . 3. www.vnmath.com.  4.

(99) 98. Tõ c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh (1), chóng ta x©y dùng thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t h¬n nh- sau: ThuËt gi¶i 9. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cos2x + cos22x + ... + cos2nx =. n 1 2. B-ớc 1: Hạ bậc đối với từng hạng tử: cos2ix =. 1  cos 2ix 2. Ph-¬ng tr×nh t-¬ng ®-¬ng víi:. 1  cos 2 x 1  cos 4 x 1  cos 2nx n  1   ...   2 2 2 2 B-ớc 2: Biến đổi ph-ơng trình về dạng: 1 + cos2x + cos4x + ... + cos2nx = 0 B-íc 3: NhËn xÐt: sinx = 0 th× ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. B-ớc 4: Nhân hai vế của ph-ơng trình với 2sinx  0. Biến đổi thu đ-ợc ph-¬ng tr×nh: sinx + sin(2n + 1)x = 0 B-íc 5: §-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch: sin(n + 1)x cosnx = 0 B-íc 6: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: + sin(n + 1) = 0 + cosnx = 0. B-íc 7: §èi chiÕu nghiÖm víi ®iÒu kiÖn ë b-íc 4. B-íc 8: KÕt luËn. §Ó rÌn luyÖn kü n¨ng ¸p dông thuËt gi¶i vµ x©y dùng thuËt gi¶i, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi to¸n sau: 1. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a.. cos2x + cos22x =. 1 2. b. cos2x + cos22x + cos23x = 1 c. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =. 3 2. www.vnmath.com.

(100) 99. 2. H·y x©y dùng thuËt gi¶i gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a. sin2x + sin22x + ... + sin2nx =. n 2. b.sin2x + sin22x + ... + sin2(n + 1)x = cos2x + cos22x + cos22nx. 3. C¸c ph-¬ng tr×nh sau cã thÓ gi¶i theo thuËt gi¶i trªn hay kh«ng. a. cos2x + cos22x + cos23x = 0 b. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3. 2.3.3. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh mò Trong c¸c t×nh huèng d¹y häc th× d¹y häc gi¶i ph-¬ng tr×nh lµ t×nh huống tốt nhất để phát triển t- duy thuật giải của học sinh. Thông qua hệ thèng bµi tËp t-¬ng tù, häc sinh cã thÓ kh¸i qu¸t ho¸ thµnh thuËt gi¶i tæng quát cho dạng ph-ơng trình đó, đồng thời rèn luyện các hoạt động thành phÇn cña t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh. VÝ dô: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: x. x. a.  2  3    2  3   4    . . b. 5  2 6. . tan x. .  52 6. . tan x.  10. Từ đặc điểm của ph-ơng trình và cách giải các ph-ơng trình trên, chóng ta ®-a ra thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh nh- sau: ThuËt gi¶i 10. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: A.af(x) + C.bf(x) = B B-íc 1: KiÓm tra: ab = 1. B-íc 2: §Æt t = af(x), t > 0. B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: At +. C t. = B hay: At2 – Bt + C = 0. B-íc 4: T×m nghiÖm t0 tho¶ m·n b-íc 2. B-íc 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: af(x) = t0 B-íc 6: KÕt luËn. Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau:. www.vnmath.com.

(101) 100. x. x. a.  7  48    7  48   14 . . . . x. . . . . x. b. 5  21  7 5  21  2 x3 2.4. KÕt luËn ch-¬ng 2 Trong ch-ơng này chúng tôi đã đ-a ra các nguyên tắc dạy học theo h-ớng phát triển t- duy thuật giải và dựa trên hệ thống các nguyên tắc đó đề ra 5 định h-ớng phát triển t- duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học néi dung ph-¬ng tr×nh. Để phát triển t- duy thuật giải cho học sinh đạt hiệu quả cao đòi hỏi ng-êi gi¸o viªn ph¶i cã kü n¨ng s- ph¹m, cã nghÖ thuËt biÕn qu¸ tr×nh d¹y học nói chung thành một hệ thống làm việc định hình, có tổ chức, kiểm soát chặt chẽ các hoạt động Toán học của học sinh mang tính thuật giải cũng nhxây dựng thuật giải. Một trong những yếu tố hình thành và phát triển t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh cã hiÖu qu¶ lµ trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn ph¶i x©y dùng ®-îc c¸c quy tr×nh d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i, cho học sinh hoạt động tích cực trong các tình huống dạy học đó. Nh- vËy, viÖc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc m«n To¸n nãi chung vµ d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh nãi riªng lµ hết sức quan trọng. Nó giúp chúng ta đạt đ-ợc mục đích của giáo dục và yêu cầu của xã hội đặt ra.. www.vnmath.com.

(102) 101. Ch-¬ng 3 Thùc nghiÖm s- ph¹m. 3.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm s- phạm nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của việc sử dụng các định h-ớng phát triển t- duy thuật giải cho học sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh. (§Æc biÖt lµ c¸c quy tr×nh d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i). 3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 3.2.1. Tæ chøc thùc nghiÖm Thùc nghiÖm s- ph¹m ®-îc tiÕn hµnh t¹i tr-êng trung häc phæ th«ng DiÔn Ch©u 3, huyÖn DiÔn Ch©u. Líp thùc nghiÖm: 11A3. Lớp đối chứng: 11A4. Cả hai lớp này đều học theo Ban khoa học tự nhiên. Thời gian thực nghiệm đ-ợc tiến hành từ 15 tháng 9 đến 20 tháng 10 n¨m 2007. Gi¸o viªn d¹y líp thùc nghiÖm: ThÇy NguyÔn V¨n Dòng. www.vnmath.com.

(103) 102. Gi¸o viªn d¹y líp thùc nghiÖm: ThÇy NguyÔn §¨ng Qu¶ng. Đ-ợc sự đồng ý của Ban giám hiệu tr-ờng Trung học phổ thông Diễn Châu 3, chúng tôi đã tìm hiểu kết quả học tập của các lớp khối 11 của tr-ờng và nhận thấy trình độ chung về môn Toán của hai lớp 11A3 và 11A4 là t-ơng đ-ơng nhau. Trên cơ sở đó, chúng tôi đ-ợc thực nghiệm tại lớp 11A3 và lấy lớp 11A4 làm đối chứng. Ban gi¸m hiÖu nhµ tr-êng, c¸c thÇy (c«) trong tæ to¸n, thÇy tæ tr-ëng và các thầy dạy hai lớp 11A3, 11A4 chấp nhận đề xuất này và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi tiến hành thực nghiệm. Việc dạy thực nghiệm và đối chứng thực hiện đúng kế hoạch giảng dạy của nhà tr-ờng. 3.2.2. Néi dung thùc nghiÖm Thùc nghiÖm ®-îc tiÕn hµnh trong bµi 2 vµ bµi 3. Ch-¬ng1: Hµm sè l-îng gi¸c vµ ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c (S¸ch §¹i sè & Gi¶i tÝch 11, N©ng cao). Sau khi d¹y thùc nghiÖm, chóng t«i cho häc sinh lµm bµi kiÓm tra. Sau đây là nội dung đề kiểm tra. §Ò kiÓm tra thùc nghiÖm: (Thêi gian 60 phót). C©u 1: (4 ®iÓm). H·y nªu c¸c b-íc gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau.  2sin2x - 3cosx = 2. b. sin x  sin 2. x 1 5  2 2. C©u 2: (3 ®iÓm). Gi¶i ph-¬ng tr×nh. Sin2x + sin22x + sin23x =. 3 2. C©u 3: (3 ®iÓm).. cos 7 x 4 b. Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải cho bài toán đó. a. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cosx.cos2x.cos4x = 3.2.3. ý định s- phạm của đề kiểm tra. www.vnmath.com.

(104) 103. Đề kiểm tra đ-ợc ra với dụng ý kiểm tra tímh hiệu quả của các định h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cho häc sinh vµ sù thÓ hiÖn t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh trong gi¶i to¸n. Câu 1 nhằm kiểm tra kỹ năng vận dụng các thuật giải đã biết đồng thời kiểm tra kỹ năng thực hiện các hoạt động (T1), (T2) và (T4) của học sinh. Tuy nhiên, học sinh phải biết biến đổi ph-ơng trình về ph-ơng trình đã biết thuật giải. Câu 2 nhằm mục đích kiểm tra kỹ năng biến đổi ph-ơng trình, kỹ năng quy l¹ vÒ quen. Câu 3 nhằm kiểm tra kỹ năng thực hiện các hoạt động (T3), (T4) và (T5) cña häc sinh. 3.3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 3.3.1. Đáp án đề kiểm tra C©u 1a. B-íc1: BiÓu diÔn sin2x theo cos2x. sin2x = 1 - cos2x B-ớc 2: Biến đổi ph-ơng trình về dạng. cosx(2cosx + 3) = 0 B-íc 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n. + cosx = 0  x  + cos x  .  2.  k. 3  ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2. B-íc 4: Tr¶ lêi. Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x  C©u 1b..   k 2. . B-íc 1: BiÓu diÔn x   k theo cosx. 2 x 1  cos x sin 2  2 2 B-ớc 2: Biến đổi ph-ơng trình về dạng.. 2 sin x  cos x  5 www.vnmath.com.

(105) 104. B-íc 3: KiÓm tra c¸c hÖ sè a, b, c. C¸c hÖ sè a, b, c tho¶ m·n a2 + b2 ≥ c2. B-íc 4: Chia c¶ hai vÕ cho 2 5. sin x . 1 5. 5. cos x  1. 2  cos x   5  B-íc 5: §Æt sin x   1  5. B-íc 6: Gi¶i ph-¬ng tr×nh. sin x     1  x  B-íc 7: Tr¶ lêi. Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm. x  C©u 2. sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x .  2.  2.    k 2.    k 2. 3 2.  (1- 2sin2x) + (1- 2sin22x) + (1- 2sin23x) = 0  cos2x + cos4x + cos6x = 0  2cos4x.cos2x + cos4x = 0  cos4x(2cos2x + 1) = 0.    cos 4 x  0 x  8  k 4   cos 2 x   1    x     l 2   3 KÕt luËn: ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x .  8. k.  4. vµ x  . C©u 3a.. cos 7 x 4  2(cos3x + cosx)cos4x = cos7x.  C¸ch 1: cosx.cos2x.cos4x =.  2cos3x.cos4x + 2cosx.cos4x = cos7x  cos7x + cosx + 2cosx.cos4x = cos7x www.vnmath.com.  3.  l.

(106) 105  cosx(2cos4x + 1) = 0.   cos x  0  x  2  k   cos 4 x   1   x     l  2   6 2  C¸ch 2: NhËn xÐt. sinx = 0 th× ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. Nh©n c¶ hai vÕ ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  0, ta ®-îc. 8sinx.cosx.cos2x.cos4x = 2sinx.cos7x  4sin2x.co2x.co4x = 2sinx.cos7x  2sin4x.cos4x = 2sinx.cos7x  sin8x = sin8x – sin6x  sin6x = 0  x  m. . 6. §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn sinx  0  m 6k. Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x  m.  6. víi m  6k. C©u 3b. Bµi to¸n tæng qu¸t.. . . cos 2 n  1 x Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cosx.cos2x.cos4x...cos2 x = 2 n 1 ThuËt gi¶i: n-1. B-íc 1: NhËn xÐt. sinx = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh. B-íc 2: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  0, ta ®-îc. 2nsinx.cosx.cos2x.cos4x...cos2n-1x = 2sinx.cos(2n-1)x  sin(2n-2)x = 0 B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh. sin(2n-2)x = 0 B-íc 4: §èi chiÕu nghiÖm t×m ®-îc víi ®iÒu kiÖn ë B-íc 2. B-íc 5: Tr¶ lêi. 3.3.2. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm www.vnmath.com.

(107) 106. KÕt qu¶ lµm bµi kiÓm tra cña häc sinh líp thùc nghiÖm (TN) vµ häc sinh lớp đối chứng (ĐC) đ-ợc thống kê thông qua bảng sau: §iÓm 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Tæng sè HS. TN. 0. 0. 0. 0. 1. 12. 16. 10. 5. 3. 1. 48. §C. 0. 0. 0. 2. 4. 18. 14. 8. 2. 0. 0. 48. Líp. Líp TN: YÕu (2,1%); Trung b×nh (58,3%); Kh¸ (31,3%); Giái (8,3%). Líp §C: YÕu (12,5%); Trung b×nh (66,7%); Kh¸ (20,8%); Giái (0%). NhËn xÐt. KÕt qu¶ thèng kª ë b¶ng cho ta thÊy sè häc sinh líp thùc nghiệm làm bài kiểm tra tốt hơn hẳn học sinh lớp đối chứng. Sự hơn hẳn đó lµ hîp lý v× nh÷ng lý do sau: Thứ nhất: nội dung bài kiểm tra phản ánh đầy đủ các yêu cầu dạy học theo quy định của ch-ơng trình. Thø hai: C¸c ph-¬ng tr×nh ®-îc ra theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i. Thứ ba: Học sinh đã đ-ợc làm quen với các dạng bài tập nêu trong các đề kiểm tra. Việc làm quen với các dạng bài tập mới không hề làm giảm kỹ n¨ng gi¶i to¸n mµ tr¸i l¹i cñng cè ph¸t triÓn kü n¨ng nµy cïng víi c¸c thµnh tè cña t- duy thuËt gi¶i. Thø t-: Bªn c¹nh thùc hiÖn c¸c yªu cÇu to¸n häc, häc sinh líp thùc nghiÖm cßn ®-îc khuyÕn khÝch ph¸t triÓn c¸c yÕu tè cña t- duy thuËt gi¶i. Häc sinh ®-îc häc gi¶i to¸n theo mét quy tr×nh hîp lý...v.v... 3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm Qu¸ tr×nh thùc nghiÖm cïng víi nh÷ng kÕt qu¶ thu ®-îc tõ thùc nghiệm cho thấy mục đích của thực nghiệm đã đ-ợc hoàn thành, tính khả thi và hiệu quả của việc dạy học theo h-ớng phát triển t- duy thuật giải đã đ-ợc khẳng định. Điều đó góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu quả dạy häc néi dung ph-¬ng tr×nh trong m«n to¸n ë tr-êng phæ th«ng. www.vnmath.com.

(108) 107. KÕt luËn C¸c kÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n lµ: 1. Gãp phÇn lµm s¸ng tá néi dung kh¸i niÖm t- duy thuËt gi¶i vµ vai trß, vÞ trÝ cña viÖc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i trong d¹y häc to¸n. 2. Xác định đ-ợc các nguyên tắc dạy học theo h-ớng phát triển t- duy thuËt gi¶i. 3. Xác định đ-ợc một số định h-ớng dạy học theo h-ớng phát triển tduy thuật giải thông qua dạy học nội dung ph-ơng trình. 4. Xây dựng đ-ợc một số thuật giải để giải một số dạng ph-ơng trình. 5. Đã tổ chức thực nghiệm s- phạm để minh hoạ tính khả thi và hiệu qu¶ cña c¸c nguyªn t¾c d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i còng nh- các định h-ớng dạy học theo h-ớng phát triển t- duy thuật giải. Nh- vậy có thể khẳng định mục đích nghiên cứu đã đ-ợc thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành và giả thiết khoa học đã nêu trong phần më ®Çu lµ chÊp nhËn ®-îc. www.vnmath.com.

(109) 108. Tµi liÖu tham kh¶o. 1. NguyÔn ThÞ Thanh B×nh (2002), Gãp phÇn ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh THPT th«ng qua d¹y häc néi dung l-îng gi¸c, LuËn v¨n th¹c sü gi¸o dôc häc. 2. NguyÔn VÜnh CËn, Lª Thèng NhÊt, Phan Thanh Quang (2002), Sai lÇm phæ biÕn khi gi¶i to¸n, NXB gi¸o dôc. 3. Phan §øc ChÝnh, Ph¹m TÊn D-¬ng, Lª §×nh ThÞnh (1988) TuyÓn tËp c¸c bµi to¸n s¬ cÊp (tËp 2), NXBGD. 4. Phan §øc ChÝnh, Vò D-¬ng Thôy, §µo Tam, Lª Thèng NhÊt (1999), C¸c bµi gi¶ng luyÖn thi m«n to¸n, TËp 1, 2, NXB Gi¸o dôc. 5. Hoµng Chóng (1978), Ph-¬ng ph¸p d¹y häc to¸n häc, NXBGD. 6. Doãn Minh C-ờng (1997), Nhận dạng trong hoạt động dạy học giải ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c, NCGD sè 10/1997. 7. Do·n Minh C-êng (1997), VÒ c¸c sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i bµi tËp ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c, NCGD. www.vnmath.com.

(110) 109. 8. Ng« ViÕt DiÔn (2000), Ph-¬ng ph¸p chän läc gi¶i to¸n hµm sè mò vµ l«garit, NXB§HQG. 9. Lª M¹nh Dòng (12/2001), Nãi chuyÖn víi b¹n trÎ yªu to¸n, Tin häc vµ nhµ tr-êng. 10. Hå Sü §µm, Hå CÈm Hµ, TrÇn §ç Hïng, NguyÔn Xu©n My, NguyÔn §øc NghÜa, NguyÔn Thanh Tïng, Ng« ¸nh TuyÕt (2006), Tin häc 10, NXBGD. 11. Hå Sü §µm, Hå CÈm Hµ, TrÇn §ç Hïng, NguyÔn §øc NghÜa, NguyÔn Thanh Tïng, Ng« ¸nh TuyÕt (2006), Tin häc 11, NXBGD. 12. NguyÔn §øc §ång (2000), TuyÓn tËp 599 bµi to¸n l-îng gi¸c chän läc, NXB H¶i Phßng. 13. Ph¹m Gia §øc, NguyÔn M¹nh C¶ng, Bïi Huy Ngäc, Vò D-¬ng Thôy (2001), Ph-¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n, TËp 1,2, NXBGD. 14. TrÞnh Thanh H¶i (8/2000), Hç trî h×nh häc 10 b»ng gi¶i bµi tËp th«ng qua ng«n ng÷ lËp tr×nh Pascal, NCGD. 15. TrÇn V¨n H¹o, Cam Duy LÔ (2000), §¹i sè 10, NXBGD. 16. TrÇn V¨n H¹o, Cam Duy LÔ, Ng« Thóc Lanh, Ng« Xu©n S¬n, Vò TuÊn (2000), §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, NXBGD. 17. TrÇn V¨n H¹o, Cam Duy LÔ, Ng« Thóc Lanh, Ng« Xu©n S¬n, Vò TuÊn (2000), Bµi tËp §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, NXBGD. 18. NguyÔn Th¸i Hße (1998), RÌn luyÖn t- duy qua viÖc gi¶i bµi tËp to¸n, NXBGD. 18. NguyÔn Xu©n Huy (1988), ThuËt to¸n, NXB thèng kª. 20. NguyÔn Xu©n Huy (4/1992), ThuËt to¸n vµ m¸y turing, THTT. 21. Hoµng KiÕm (2001), Gi¶i mét bµi to¸n trªn m¸y tÝnh nh- thÕ nµo (T1), NXBGD. 22. NguyÔn B¸ Kim, Lª Kh¾c Thµnh (1993), D¹y häc mét sè yÕu tè cña to¸n häc tÝnh to¸n vµ tin häc (dïng cho líp 10 THPT), H. GD. 23. NguyÔn B¸ Kim (2006), Ph-¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n, NXB§HSP. www.vnmath.com.

(111) 110. 24. NguyÔn B¸ Kim (1999), LËp tr×nh gi¶i to¸n THPT (Tµi liÖu båi d-ìng th-êng xuyªn chu kú 1997-2000), H. GD. 25. Nguyễn Bá Kim (1999), Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, NXBGD. 26. NguyÔn B¸ Kim, Vò D-¬ng Thôy (2000), Ph-¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n (TËp 1), NXBGD. 27. NguyÔn B¸ Kim (2001), Gi¸o tr×nh gi¸o dôc tin häc, NXBGD. 28. Phan Huy Kh¶i (1997), To¸n n©ng cao cho häc sinh, §¹i sè 10, NXB §HQG Hµ Néi. 29. Hµ Huy Kho¸i (1997), NhËp m«n sè häc thuËt to¸n, H. KHKT. 30. TrÇn V¨n Kû (1996), Ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n l-îng gi¸c, NXBTPHCM. 31. NguyÔn V¨n Léc (1997), Quy tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n b»ng ph-¬ng ph¸p vect¬, NXBGD. 32. Tr-¬ng Quang Linh (2001), Ph-¬ng ph¸p míi gi¶i to¸n l-îng gi¸c, NXBGD. 33. §ç Xu©n L«i (2000), CÊu tróc d÷ liÖu vµ gi¶i thuËt, NXBGD. 34. V-¬ng D-¬ng Minh (20/1990), Nh÷ng yÕu tè néi dung vµ ph-¬ng ph¸p ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i trong d¹y häc to¸n ë tr-êng phæ th«ng, T¹p chÝ th«ng tin KHGD, ViÖn KHGD. 35. V-ơng D-ơng Minh (1/1991), TDTG và quan điểm hoạt động, Thông báo khoa häc, §HSP 1 Hµ Néi. 36. V-¬ng D-¬ng Minh, Oukchiªng (11/1998), Ph¸t triÓn TDTG trong m«n to¸n, NCGD. 37. V-¬ng D-¬ng Minh (1996), Ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i cña häc sinh trong khi d¹y häc c¸c hÖ thèng sè ë tr-êng phæ th«ng, LuËn ¸n PTS khoa häc s- ph¹m - t©m lý. 38. V. M. M«nakhèp (1978), H×nh thµnh v¨n hãa thuËt gi¶i cho häc sinh trong khi d¹y häc m«n to¸n, NXB ‚Tia s¸ng‛, MOSKAVA. www.vnmath.com.

(112) 111. 39. Phan Träng Ngä (2005), D¹y häc vµ ph-¬ng ph¸p d¹y häc trong nhµ tr-êng, NXB§HSP. 40. Qu¸ch TuÊn Ngäc (1993), Ng«n ng÷ lËp tr×nh Pascal, Tr-êng §HBKHN. H. 41. G.Polia (1968), To¸n häc vµ nh÷ng suy luËn cã lý, NXBGD. 42. G.Polia (1975), Gi¶i mét bµi to¸n nh- thÕ nµo, NXBGD. 43. G.Polia (1975), S¸ng t¹o to¸n häc, NXBGD. 44. NguyÔn §¹o Ph-¬ng, Phan Huy Kh¶i, Lª Thèng NhÊt (1999), C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n l-îng gi¸c, NXB Hµ Néi. 45. TrÇn Ph-¬ng, NguyÔn §øc TÊn (2004), Sai lÇm th-êng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i to¸n, NXB Hµ Néi. 46. NguyÔn V¨n Quý, NguyÔn TiÕn Dòng, NguyÔn ViÖt Hµ (1998), Gi¶i to¸n trªn m¸y vi tÝnh, NXB §µ N½ng. 47. §oµn Quúnh, NguyÔn Huy §oan, NguyÔn Xu©n Liªm, §Æng Hïng Th¾ng, TrÇn V¨n Vu«ng (2006), §¹i sè 10 n©ng cao, NXBGD. 48. §oµn Quúnh, NguyÔn Huy §oan, NguyÔn Xu©n Liªm, §Æng Hïng Th¾ng, TrÇn V¨n Vu«ng (2006), §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 n©ng cao, NXBGD. 49. Lê Văn Tiến (12/2000), Vai trò của giải gần đúng các ph-ơng trình trong d¹y häc to¸n ë tr-êng phæ th«ng, NCGD. 50. NguyÔn C¶nh Toµn (1997), Ph-¬ng ph¸p luËn duy vËt biÖn chøng trong viÖc häc, d¹y, nghiªn cøu to¸n häc, NXB§HQG Hµ Néi. 51. Nguyễn Cảnh Toàn (10/1995), Thế nào là hiện đại trong dạy và học toán, NCGD. 52. Nguyễn Cảnh Toàn (1998), Những vấn đề chiến l-ợc trong thời kỳ CNH HĐH, H. GD. 53. NguyÔn ThÞ H-¬ng Trang (7/1998), Gi¶i bµi tËp l-îng gi¸c theo h-íng ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o cña häc sinh PTTH, NCGD. www.vnmath.com.

(113) 112. 54. Nguyễn Thị H-ơng Trang (1/2000), Một số vấn đề rèn luyện năng lực gi¶i to¸n cho häc sinh THPT, NCGD. 55. NguyÔn ThÞ H-¬ng Trang (11/2001), Mèi liªn hÖ gi÷a t- duy s¸ng t¹o vµ t- duy thuËt to¸n trong d¹y häc gi¶i to¸n THPT, NCGD. 56. Trần Thúc Trình (1998), T- duy và hoạt động toán học, Viện KHGD. 57. Đào Văn Trung (2001), Làm thế nào để học tốt môn toán phổ thông, NXB§HQG Hµ Néi. 58. Ngô Việt Trung (4/1992), Sử dụng máy tính để giải quyết các vấn đề số häc, THTT sè 184. 59. §inh H¶i TruyÒn (1998), H×nh Thµnh vµ ph¸t triÓn TDTG cña häc sinh th«ng qua d¹y häc c¸c ph©n m«n to¸n, LuËn v¨n th¹c sü khoa häc gi¸o dôc.. Môc lôc Trang Më ®Çu. 1. 1. Lý do chọn đề tài. 1. 2. Mục đích nghiên cứu. 3. 3. Gi¶ thuyÕt khoa häc. 3. 4. NhiÖm vô nghiªn cøu. 3. 5. Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu. 4. 6. §ãng gãp cña luËn v¨n. 4. 7. CÊu tróc luËn v¨n. 5. Ch-ơng 1: T- duy thuật giải và vấn đề phát triển t- duy thuật giải. 6. cho häc sinh th«ng qua m«n To¸n 1.1. C¬ së lý luËn. 6. 1.1.1. Quan điểm hoạt động trong ph-ơng pháp dạy học. 6. 1.1.2. Mét sè quan ®iÓm kh¸c. 7. www.vnmath.com.

(114) 113. 1.2. Kh¸i niÖm thuËt to¸n. 7. 1.2.1. Nghiªn cøu kh¸i niÖm thuËt to¸n. 8. 1.2.2. Các đặc tr-ng của thuật toán. 11. 1.2.3. C¸c ph-¬ng ph¸p biÓu diÔn thuËt to¸n. 13. 1.2.4. §é phøc t¹p cña thuËt to¸n. 19. 1.3. Kh¸i niÖm t- duy thuËt gi¶i. 20. 1.3.1. Kh¸i niÖm thuËt gi¶i. 20. 1.3.2. Kh¸i niÖm t- duy thuËt gi¶i. 21. 1.3.3. Mét sè vÝ dô d¹y häc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i khi d¹y néi. 22. dung ph-¬ng tr×nh 1.4. Vấn đề phát triển t- duy thuật giải trong dạy học Toán. 30. 1.4.1. Vai trß cña viÖc ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i trong d¹y häc To¸n ë. 30. tr-êng phæ th«ng 1.4.2. Những t- t-ởng chủ đạo để phát triển t- duy thuật giải trong dạy. 32. häc To¸n 1.5. KÕt luËn ch-¬ng 1. 33. Ch-ơng 2: Một số định h-ớng góp phần phát triển t- duy thuật. 34. gi¶i cho häc sinh th«ng qua d¹y häc mét sè néi dung ph-¬ng tr×nh 2.1. Mét sè nguyªn t¾c d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- duy thuËt gi¶i. 34. cho häc sinh 2.2. Một số định h-ớng s- phạm góp phần phát triển t- duy thuật giải. 36. cho häc sinh th«ng qua d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh 2.2.1. X©y dùng quy tr×nh d¹y häc ph-¬ng tr×nh theo h-íng ph¸t triÓn. 37. t- duy thuËt gi¶i 2.2.2. Tổ chức luyện tập cho học sinh giải các ph-ơng trình đã biết. 61. thuËt gi¶i 2.2.3. Sö dông hîp lý h×nh thøc d¹y häc ph©n ho¸. 66. 2.2.4. Rèn luyện kỹ năng biến đổi ph-ơng trình cho học sinh. 73. 2.2.5. TruyÒn thô cho häc sinh nh÷ng tri thøc ph-¬ng ph¸p vÒ t- duy. 77. thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển các hoạt động thông qua dạy www.vnmath.com.

(115) 114. häc gi¶i ph-¬ng tr×nh 2.3. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh. 85. 2.3.1. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai. 86. 2.3.2. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c. 91. 2.3.3. X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh mò. 97. 2.4. KÕt luËn ch-¬ng 2. 98. Ch-¬ng 3: Thùc nghiÖm s- ph¹m. 100. 3.1. Mục đích thực nghiệm. 100. 3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm. 100. 3.3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm. 101. 3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm. 105. KÕt luËn. 106. Tµi liÖu tham kh¶o. 107. www.vnmath.com.

(116)

DS10 Tu duy thuat giai phuong trnh Chu Huong Ly

Trích đoạn

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về