Về không gian s đóng đếm được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
——————
—————–

——————–
——————

BÙI MINH TUYỂN

VỀ KHƠNG GIAN S -ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
——————
—————–

——————–
——————

BÙI MINH TUYỂN

VỀ KHƠNG GIAN S -ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC

Chun ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRẦN VĂN ÂN

VINH - 2009


MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. Khơng gian S-đóng và khơng gian s-đóng . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Khơng gian S-đóng và khơng gian s-đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. Khơng gian S-đóng đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 Một số đặc trưng của không gian S-đóng đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Mối quan hệ giữa khơng gian S- đóng đếm được và không gian
compact yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

1


LỜI NÓI ĐẦU
Năm 1976, T. Thompson giới thiệu khái niệm khơng gian S-đóng (S-closed)

nhằm mở rộng nhiều tính chất quan trọng của không gian compact trong tôpô.
Đến năm 1984, J. R. Porter và R. G. Woods đề xuất khái niệm và nghiên
cứu không gian compact yếu (feebly compact) đồng thời đặt ra câu hỏi có
hay khơng một lớp khơng gian "nằm giữa" hai lớp khơng gian S-đóng và
compact yếu. Vấn đề này sau đó được nghiên cứu bởi các nhà toán học như:
M. Ganster, N. Ergun, K. Dlaska,...
Trong bài báo Countably S-closed spaces (1991) của K. Dlaska, N. Ergun
và M. Ganster, các tác giả đã chỉ ra rằng lớp không gian S-đóng đếm được
(countably S-closed) là nằm giữa các lớp khơng gian S-đóng và compact yếu.
Trên cơ sở một số kết quả của các nhà tốn học đó, chúng tơi tiếp tục nghiên
cứu mối quan hệ giữa khơng gian S-đóng đếm được và khơng gian compact
yếu. Từ đó, chúng tơi tìm các điều kiện để hai lớp khơng gian S-đóng đếm
được và compact yếu là trùng nhau. Ngoài ra, chúng tôi cũng nghiên cứu một
số loại không gian khác như không gian không liên thông cực trị (extremally
disconnected), không gian s-đóng (s-closed), khơng gian s-đóng đếm được
(countably s-closed), khơng gian s-compact yếu (feebly s-compact) trong mối
quan hệ tổng thể với khơng gian S-đóng đếm được.
Với nội dung nghiên cứu này, luận văn được trình bày trong hai chương
Chương 1. Khơng gian S-đóng và khơng gian s-đóng. Trong chương
này, phần đầu chúng tơi trình bày những kiến thức cơ bản cần thiết cho các
phần sau như: tập nửa mở, tập nửa đóng, tập đóng chính quy, tập mở chính
quy... Tiếp đó, chúng tơi trình bày khái niệm và các tính chất cơ bản của
khơng gian S-đóng, khơng gian s-đóng và mối quan hệ giữa chúng.
2


Chương 2. Khơng gian S-đóng đếm được. Trong chương này, chúng
tơi trình bày các khái niệm về khơng gian S-đóng đếm được, không gian
compact yếu, P -không gian, không gian km-hồn chỉnh,... Tiếp đó, chúng tơi
trình bày các đặc trưng của khơng gian S-đóng đếm được và nghiên cứu mối

quan hệ giữa khơng gian S-đóng đếm được với khơng gian compact yếu. Từ
đó, trình bày các điều kiện để lớp các khơng gian S-đóng đếm được và lớp
các khơng gian compact yếu là trùng nhau. Cuối cùng, chúng tơi trình bày
khái niệm và một số tính chất cơ bản của khơng gian s-đóng đếm được và
khơng gian s-compact yếu, ảnh của các không gian này qua một số ánh xạ.
Các kết quả chính của Luận văn được cơng bố trong tài liệu [2]. Luận
văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình và
nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS. Trần Văn Ân. Tác giả xin bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm
ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Tốn. Tác giả xin
được cảm ơn PGS.TS. Đinh Huy Hồng, PGS.TS. Tạ Quang Hải, PGS.TS.
Tạ Khắc Cư, PGS.TS. Phạm Ngọc Bội và các thầy, cơ giáo trong Tổ Giải
tích, khoa Tốn đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt
là các bạn trong lớp Cao học 15 - Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ tác giả trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi những hạn
chế, thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của
thầy, cơ giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2009
Tác giả

3


CHƯƠNG 1

KHƠNG GIAN S-ĐĨNG VÀ KHƠNG GIAN s-ĐĨNG
1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.1 Định nghĩa. Không gian tôpô là một cặp (X, τ ), trong đó X là một

tập hợp và τ là một họ những tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau
(i) ∅ ∈ τ và X ∈ τ ;
(ii) Nếu U1 ∈ τ và U2 ∈ τ thì U1 ∩ U2 ∈ τ ;
(iii) Nếu {Ui : i ∈ I} là một họ những tập con của X và Ui ∈ τ , với mọi
Ui ∈ τ .

i ∈ I thì
i∈I

Các phần tử của X gọi là các điểm của không gian tôpô, mỗi phần tử của τ
gọi là một tập mở trong không gian X. Phần bù của một tập mở gọi là tập
đóng. Họ τ gọi là một tôpô trên tập X.
1.1.2 Định nghĩa ([5]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là nửa mở (semi-open) nếu tồn tại tập mở U sao cho U ⊂ A ⊂ cl(U ).
Ký hiệu SO(X, τ ) là họ tất cả các tập nửa mở trong (X, τ ).
1.1.3 Nhận xét. (i) Nếu A là tập mở trong không gian tôpô (X, τ ) thì A
là tập nửa mở.
(ii) Nếu x ∈ X và {x} là tập nửa mở thì {x} là tập mở.
1.1.4 Mệnh đề. Hợp của một họ tùy ý các tập nửa mở là tập nửa mở.
Chứng minh. Giả sử {Ai : i ∈ I} là một họ các tập nửa mở trong không gian
tôpô (X, τ ). Khi đó, với mỗi i ∈ I, tồn tại tập mở Ui sao cho Ui ⊂ Ai ⊂ cl(Ui ).
Ui ⊂

Suy ra,
i∈I

Ai ⊂
i∈I

cl(Ui ) ⊂ cl

i∈I

i∈I

Ai là tập nửa mở.

Vậy,

Ui , trong đó

i∈I

4

Ui là tập mở.
i∈I


1.1.5 Định nghĩa ([5]). Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ).
Khi đó, hợp của tất cả các tập nửa mở nằm trong A được gọi là nửa phần
trong (semi-interior) của A và ký hiệu là sint(A).
1.1.6 Mệnh đề. Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ). Khi đó,
sint(A) là tập nửa mở lớn nhất nằm trong A.
Chứng minh. Suy từ Mệnh đề 1.1.4 và Định nghĩa 1.1.5.
1.1.7 Định nghĩa ([5]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là nửa đóng (semi-closed) nếu X\A là tập nửa mở.
Ký hiệu SC(X, τ ) là họ tất cả các tập nửa đóng trong (X, τ ).
1.1.8 Nhận xét. Nếu A là tập đóng trong khơng gian tơpơ (X, τ ) thì A
là tập nửa đóng.
1.1.9 Định nghĩa ([5]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ).

Khi đó, giao của tất cả các tập nửa đóng chứa A được gọi là bao nửa đóng
(semi-closure) của A và ký hiệu là scl(A).
1.1.10 Mệnh đề. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi
đó, scl(A) là tập nửa đóng nhỏ nhất chứa A.
Chứng minh. Giả sử {Fi : i ∈ I} là họ tất cả các tập nửa đóng chứa A. Khi
đó ta có, X\scl(A) = X\

(X\Fi ). Vì Fi là nửa đóng, với mọi i ∈ I

Fi =
i∈I

i∈I

nên X\Fi là nửa mở, với mọi i ∈ I. Nhờ Mệnh đề 1.1.4, X\scl(A) =

(X\Fi )
i∈I

là tập nửa mở. Do đó, scl(A) là tập nửa đóng. Từ định nghĩa của scl(A) ta
suy ra điều phải chứng minh.
1.1.11 Định nghĩa ([5]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là nửa chính quy (semi-regular) nếu A vừa là tập nửa đóng, vừa là tập nửa
mở.
Ký hiệu SR(X, τ ) là họ tất cả các tập nửa chính quy trong (X, τ ).
5


1.1.12 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là không gian tơpơ. Khi đó, các khẳng
định sau đây là tương đương

(i) A là tập nửa mở trong (X, τ );
(ii) sint(A) = A;
(iii) A ⊂ cl(int(A));
(iv) A ⊂ scl(sint(A)).
Chứng minh. (i) ⇔ (ii). Suy từ định nghĩa tập hợp nửa mở, tập hợp nửa
phần trong và Mệnh đề 1.1.6.
(i) ⇒ (iii). Giả sử A là tập nửa mở trong (X, τ ). Khi đó, tồn tại tập mở
U sao cho U ⊂ A ⊂ cl(U ). Vì U mở nên ta có A ⊂ cl(U ) = cl(int(U )) ⊂
cl(int(A)).
(iii) ⇒ (i). Giả sử A ⊂ cl(int(A)). Đặt int(A) = U . Ta có U là tập mở và
U ⊂ A ⊂ cl(U ). Vậy, A là tập nửa mở.
(i) ⇒ (iv). Ta có A là tập nửa mở khi và chỉ khi A = sint(A). Từ đó suy
ra, A ⊂ scl(A) = scl(sint(A)).
(iv) ⇒ (i). Giả sử A ⊂ scl(sint(A)). Đặt U = sint(A). Theo Mệnh đề
1.1.6, U là tập nửa mở và U ⊂ A ⊂ scl(U ) ⊂ cl(U ). Vì U là tập nửa mở nên
tồn tại tập mở V sao cho V ⊂ U ⊂ cl(V ). Từ đó suy ra, V ⊂ A ⊂ cl(V ). Vậy,
A là tập nửa mở.
1.1.13 Mệnh đề. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi đó
(i) X\scl(A) = sint(X\A).
(ii) X\sint(A) = scl(X\A).
Chứng minh. (i) Giả sử {Fi : i ∈ I} là họ tất cả các tập nửa đóng chứa
A. Khi đó, scl(A) =

Fi . Suy ra, X\scl(A) = X\
i∈I

Fi =
i∈I

(X\Fi ). Đặt

i∈I

Ui = X\Fi , ta có {Ui : i ∈ I} là họ tất cả các tập nửa mở trong (X, τ ) mà
Ui ⊂ X\A. Từ đó suy ra, X\scl(A) =

Ui = sint(X\A).
i∈I

6


(ii) Theo (i) ta có X\scl(A) = sint(X\A). Thay A bởi X\A ta được
X\scl(X\A) = sint(A) . Từ đó suy ra, X\sint(A) = scl(X\A).
1.1.14 Hệ quả. Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, các khẳng định
sau đây là tương đương
(i) A là tập nửa đóng trong (X, τ );
(ii) Tồn tại tập đóng F trong (X, τ ) sao cho int(F ) ⊂ A ⊂ F ;
(iii) scl(A) = A;
(iv) int(cl(A)) ⊂ A;
(v) sint(scl(A)) ⊂ A.
Chứng minh. Suy từ Định nghĩa 1.1.7, Mệnh đề 1.1.12 và Mệnh đề 1.1.13.
1.1.15 Mệnh đề ([5], [9]). Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó
(i) int(cl(A)) ⊂ scl(A), với mọi A ⊂ X.
(ii) scl(A) = A ∪ int(cl(A)), với mọi A ⊂ X.
(iii) scl(A) ∈ SR(X, τ ), với mọi A ∈ SO(X, τ ).
(iv) int(cl(A))=scl(A), với mọi A ∈ τ .
Chứng minh. (i) Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi đó,
scl(A) là tập nửa đóng. Nhờ Hệ quả 1.1.14, int(cl(scl(A))) ⊂ scl(A). Mặt
khác, vì cl(A) ⊂ cl(scl(A)) nên int(cl(A)) ⊂ int(cl(scl(A))). Từ đó suy ra,
int(cl(A)) ⊂ scl(A).

(ii) Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Nhờ khẳng định (i),
int(cl(A)) ⊂ scl(A). Suy ra A ∪ int(cl(A)) ⊂ A ∪ scl(A) = scl(A). Mặt
khác ta có, int(cl(A)) ⊂ A ∪ int(cl(A)) ⊂ cl(A), trong đó cl(A) là tập đóng.
Điều này chứng tỏ A ∪ int(cl(A)) là tập nửa đóng chứa A. Từ đó suy ra,
scl(A) ⊂ A ∪ int(cl(A)). Vậy, scl(A) = A ∪ int(cl(A)).
(iii) Giả sử A ∈ SO(X, τ ). Khi đó, tồn tại tập mở U sao cho U ⊂ A ⊂ cl(U ).
Suy ra U ⊂ scl(U ) ⊂ scl(A) ⊂ scl(cl(U )) = cl(U ). Do đó, scl(A) ∈ SO(X, τ ).

7


Mặt khác ta có, scl(A) ∈ SC(X, τ ). Vậy, scl(A) ∈ SR(X, τ ).
(iv) Giả sử A ∈ τ . Nhờ khẳng định (i) ta có int(cl(A)) ⊂ scl(A). Ta chứng
minh scl(A) ⊂ int(cl(A)). Thật vậy, giả sử x ∈
/ int(cl(A)). Khi đó ta có, x ∈
X\int(cl(A)) = cl(int(X\A)) và cl(int(X\A)) là tập nửa mở. Vì A là tập mở
nên A ⊂ int(cl(A)) và A ∩ cl(int(X\A)) ⊂ int(cl(A)) ∩ (X\int(cl(A))) = ∅.
Từ đó suy ra, x ∈
/ scl(A). Điều này kéo theo, scl(A) ⊂ int(cl(A)). Vậy,
int(cl(A)) = scl(A).
1.1.16 Mệnh đề. Giả sử A là tập con của không gian tơpơ (X, τ ) và
x ∈ X. Khi đó, x ∈ scl(A) nếu và chỉ nếu U ∩ A = ∅, với mọi tập nửa mở U
mà U chứa x.
Chứng minh. Đặt F = {y ∈ X : U ∩ A = ∅, với mọi tập nửa mở U chứa y}.
Để chứng minh Định lý, ta chứng minh rằng F = scl(A). Thật vậy, lấy bất
kỳ x ∈ scl(A). Giả sử x ∈
/ F . Khi đó, tồn tại tập nửa mở V chứa x sao cho
V ∩ A = ∅. Suy ra A ⊂ X\V . Vì X\V là tập nửa đóng nên scl(A) ⊂ X\V .
Do x ∈ V nên x ∈
/ X\V . Từ đó suy ra x ∈

/ scl(A). Điều mâu thuẫn này chứng
tỏ x ∈ F . Vậy, scl(A) ⊂ F .
Giả sử K là tập nửa đóng bất kỳ trong X sao cho K = X và A ⊂ K. Khi
đó ta có A ∩ (X\K) = ∅. Lấy bất kỳ x ∈ X mà x ∈
/ K. Vì X\K là tập nửa
mở chứa x nên x ∈
/ F . Suy ra F ⊂ K. Do đó, F bị chứa trong mọi tập nửa
đóng chứa A. Điều này kéo theo, F ⊂ scl(A). Vậy, F = scl(A).
1.1.17 Mệnh đề. Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ). Khi
đó, nếu scl({x}) ∩ A = ∅, với mọi x ∈ scl(A) thì scl(A)\A khơng chứa tập
nửa đóng khác rỗng nào.
Chứng minh. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) sao cho với
mọi x ∈ scl(A), ta có scl({x}) ∩ A = ∅. Ta chứng minh scl(A)\A khơng chứa
tập nửa đóng khác rỗng nào. Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại tập nửa đóng

8


khác rỗng F sao cho F ⊂ scl(A)\A. Lấy bất kỳ x ∈ F . Suy ra x ∈ scl(A). Vì
F là tập nửa đóng nên F = scl(F ). Từ đó ta có
scl({x}) ∩ A ⊂ scl(F ) ∩ A = F ∩ A.
Do scl({x}) ∩ A = ∅ nên suy ra F ∩ A = ∅. Điều này mâu thuẫn với F ⊂
scl(A)\A. Vậy, scl(A)\A không chứa tập nửa đóng khác rỗng nào.
1.1.18 Định nghĩa ([6]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là mở chính quy (regular open) nếu A = int(cl(A)).
Ký hiệu RO(X, τ ) là họ tất cả các tập con mở chính quy trong (X, τ ).
1.1.19 Nhận xét. Nếu A là tập mở chính quy trong khơng gian tơpơ
(X, τ ) thì A là tập mở.
1.1.20 Mệnh đề. Nếu A1 , A2 ∈ RO(X, τ ) thì A1 ∩ A2 ∈ RO(X, τ ).
Chứng minh. Giả sử A1 , A2 ∈ RO(X, τ ). Khi đó, A1 = int(cl(A1 )) và

A2 = int(cl(A2 )). Suy ra, int(cl(A1 ∩ A2 )) ⊂ int(cl(A1 ) ∩ cl(A2 )) = A1 ∩ A2 .
Do A1 ∩A2 là tập mở và A1 ∩A2 ⊂ cl(A1 ∩A2 ) nên A1 ∩A2 ⊂ int(cl(A1 ∩A2 )).
Từ đó suy ra, A1 ∩ A2 = int(cl(A1 ∩ A2 )). Vậy, A1 ∩ A2 ∈ RO(X, τ ).
1.1.21 Định nghĩa ([6]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là đóng chính quy (regular closed) nếu X\A là tập mở chính quy.
Ký hiệu RC(X, τ ) là họ tất cả các tập con đóng chính quy trong (X, τ ).
1.1.22 Mệnh đề. Tập con A của khơng gian tơpơ (X, τ ) là đóng chính
quy nếu và chỉ nếu A = cl(int(A)).
Chứng minh. Ta có A = cl(int(A)) khi và chỉ khi X\A = int(cl(X\A)).
Điều này tương đương với X\A là tập mở chính quy hay A là tập đóng chính
quy.
1.1.23 Nhận xét. Nếu A là tập đóng chính quy trong khơng gian tơpơ
(X, τ ) thì A là tập đóng.
9


1.1.24 Mệnh đề. Nếu F1 , F2 ∈ RC(X, τ ) thì F1 ∪ F2 ∈ RC(X, τ ).
Chứng minh. Giả sử F1 , F2 ∈ RC(X, τ ). Khi đó F1 = cl(int(F1 )) và F2 =
cl(int(F2 )). Suy ra, F1 ∪ F2 = cl(int(F1 ) ∪ int(F2 )) ⊂ cl(int(F1 ∪ F2 )). Mặt
khác, vì F1 ∪ F2 là tập đóng và int(F1 ∪ F2 ) ⊂ F1 ∪ F2 nên cl(int(F1 ∪ F2 )) ⊂
F1 ∪ F2 . Từ đó suy ra, F1 ∪ F2 = cl(int(F1 ∪ F2 )). Vậy, F1 ∪ F2 ∈ RC(X, τ ).
1.1.25 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là không gian tơpơ. Khi đó
(i) Nếu A ∈ RO(X, τ ) hoặc A ∈ SO(X, τ ) thì cl(A) ∈ RC(X, τ ).
(ii) Nếu A ∈ RC(X, τ ) hoặc A ∈ SC(X, τ ) thì int(A) ∈ RO(X, τ ).
Chứng minh. (i) Giả sử A ∈ RO(X, τ ). Khi đó ta có A = int(cl(A)). Suy
ra, cl(A) = cl(int(cl(A))). Điều này kéo theo, cl(A) ∈ RC(X, τ ).
Giả sử A ∈ SO(X, τ ). Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.12, A ⊂ cl(int(A)). Suy
ra, cl(A) ⊂ cl(int(A)) ⊂ cl(int(cl(A))). Mặt khác, vì int(cl(A)) ⊂ cl(A) nên
cl(int(cl(A))) ⊂ cl(A). Từ đó suy ra, cl(A) = cl(int(cl(A))). Do đó ta có,
cl(A) ∈ RC(X, τ ).

(ii) Giả sử A ∈ RC(X, τ ). Khi đó ta có A = cl(int(A)). Suy ra, int(A) =
int(cl(int(A))). Do đó, int(A) ∈ RO(X, τ ).
Bây giờ, giả sử A ∈ SC(X, τ ). Khi đó, theo Hệ quả 1.1.14, int(cl(A)) ⊂
A. Suy ra, int(cl(int(A))) ⊂ int(cl(A)) ⊂ int(A). Mặt khác, vì int(A) ⊂
cl(int(A)) nên int(A) ⊂ int(cl(int(A))). Từ đó suy ra, int(A) = int(cl(int(A))).
Do đó ta có, int(A) ∈ RO(X, τ ).
1.1.26 Hệ quả. Giả sử F là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi đó,
các khẳng định sau đây là tương đương
(i) F là tập đóng chính quy;
(ii) Tồn tại tập mở chính quy U sao cho F = cl(U );
(iii) Tồn tại tập mở U sao cho F = cl(U );
(iv) Tồn tại tập nửa mở U sao cho F = cl(U ).

10


Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử F là tập đóng chính quy trong khơng gian
tơpơ (X, τ ). Khi đó ta có F = cl(int(F )). Đặt U = int(F ). Nhờ Mệnh đề
1.1.25 (ii), U là tập mở chính quy và F = cl(U ).
(ii) ⇒ (iii). Suy từ Nhận xét 1.1.19, mỗi tập mở chính quy là tập mở.
(iii) ⇒ (iv). Suy từ Nhận xét 1.1.3, mỗi tập mở là tập nửa mở.
(iv) ⇒ (i). Giả sử tồn tại tập nửa mở U sao cho F = cl(U ). Khi đó, theo
Mệnh đề 1.1.25 (i), F là tập đóng chính quy.
1.1.27 Hệ quả. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi đó,
các khẳng định sau đây là tương đương
(i) A là tập mở chính quy;
(ii) Tồn tại tập đóng chính quy F sao cho A = int(F );
(iii) Tồn tại tập đóng F sao cho A = int(F );
(iv) Tồn tại tập nửa đóng F sao cho A = int(F ).
Chứng minh. Suy từ Hệ quả 1.1.26 và định nghĩa tập mở chính quy.

1.1.28 Định nghĩa ([4]). Tập con A của khơng gian tơpơ X được gọi là
nửa mở chính quy (regular semi-open) nếu tồn tại tập mở chính quy U sao
cho U ⊂ A ⊂ cl(U ).
1.1.29 Nhận xét. Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó
(i) Mỗi tập mở chính quy hoặc đóng chính quy trong (X, τ ) là tập nửa mở
chính quy.
(ii) Mỗi tập nửa mở chính quy trong (X, τ ) là tập nửa mở.
1.1.30 Định nghĩa ([6]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là trù mật địa phương (locally dense) nếu A ⊂ int(cl(A)).
1.1.31 Nhận xét. Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, nếu A là tập
mở chính quy hoặc A là tập mở hoặc A là tập trù mật trong (X, τ ) thì A là
trù mật địa phương.
11


1.1.32 Mệnh đề ([7]). Nếu A là tập trù mật địa phương và U là tập mở
trong không gian tôpô (X, τ ) thì A ∩ U là tập trù mật địa phương.
1.1.33 Mệnh đề ([3]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) là trù mật
địa phương nếu và chỉ nếu scl(A) = int(cl(A)).
Chứng minh. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) và scl(A) =
int(cl(A)). Khi đó, vì A ⊂ scl(A) nên A ⊂ int(cl(A)). Suy ra, A là tập trù
mật địa phương.
Ngược lại, giả sử A là tập trù mật địa phương. Khi đó, A ⊂ int(cl(A)).
Nhờ Mệnh đề 1.1.15 ta có, scl(A) = A ∪ int(cl(A)) ⊂ int(cl(A)) ⊂ scl(A).
Từ đó suy ra, scl(A) = int(cl(A)).
1.2 KHƠNG GIAN S-ĐĨNG VÀ KHƠNG GIAN s-ĐĨNG
1.2.1 Định nghĩa ([13]). Khơng gian tơpơ (X, τ ) được gọi là S-đóng (Sclosed) nếu với mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của (X, τ ) bởi các tập nửa mở, tồn tại
tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
1.2.2 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, các khẳng định
sau đây là tương đương

(i) (X, τ ) là không gian S-đóng;
(ii) Mọi phủ của (X, τ ) bởi các tập đóng chính quy có phủ con hữu hạn;
(iii) Mọi phủ U = {Vα : α ∈ ∧} của (X, τ ) bởi các tập nửa mở chính quy,
tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{cl(Vα ) : α ∈ ∧0 }.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử (X, τ ) là không gian S-đóng và {Uα : α ∈ ∧}
là một phủ của (X, τ ) bởi các tập đóng chính quy. Khi đó, vì mỗi tập đóng
chính quy là tập nửa mở nên {Uα : α ∈ ∧} là phủ của (X, τ ) bởi các tập
nửa mở. Do (X, τ ) là S-đóng nên tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho
X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Lại vì mỗi tập đóng chính quy là tập đóng nên ta
có cl(Uα ) = Uα , với mọi α ∈ ∧0 . Suy ra, X = ∪{Uα : α ∈ ∧0 }.
12


(ii) ⇒ (iii). Giả sử {Vα : α ∈ ∧} là một phủ của (X, τ ) bởi các tập
nửa mở chính quy. Khi đó, {cl(Vα ) : α ∈ ∧} là phủ của (X, τ ) bởi các
tập đóng chính quy. Nhờ (ii), tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho
X = ∪{cl(Vα ) : α ∈ ∧0 }.
(iii) ⇒ (i). Giả sử {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của (X, τ ) bởi các tập nửa mở.
Khi đó, vì bao đóng của mỗi tập nửa mở là tập đóng chính quy và mỗi tập
đóng chính quy là tập nửa mở chính quy nên ta có {cl(Uα ) : α ∈ ∧} là một
phủ của (X, τ ) bởi các tập nửa mở chính quy. Nhờ (iii), tồn tại tập con hữu
hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Vậy, (X, τ ) là S-đóng.
1.2.3. Bổ đề ([6]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A là tập con trù
mật địa phương của X. Khi đó, RC(A, τA ) = {F ∩ A : F ∈ RC(X, τ )}, trong
đó τA là tơpơ cảm sinh của tôpô τ trên A.
1.2.4 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và B là khơng gian con
S-đóng trù mật trong X. Khi đó, (X, τ ) là khơng gian S-đóng.
Chứng minh. Giả sử {Fα : α ∈ ∧} là một phủ của X bởi các tập đóng
chính quy. Khi đó nhờ Bổ đề 1.2.3, {B ∩ Fα : α ∈ ∧} là một phủ của B bởi
các tập đóng chính quy trong B. Vì B là khơng gian con S-đóng nên tồn tại

tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho B = ∪{B ∩ Fα : α ∈ ∧0 }. Từ đó suy ra
cl(B ∩ Fα ) ⊂

X = cl(B) =
α∈∧0

Fα ⊂ X.

cl(Fα ) =
α∈∧0

α∈∧0

Do đó ta có, X = ∪{Fα : α ∈ ∧0 }. Vậy, (X, τ ) là S-đóng.
1.2.5 Định nghĩa ([8]). Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không liên
thông cực trị (extremally disconnected) nếu với mọi U ∈ τ ta có cl(U ) ∈ τ .
1.2.6 Định lý ([6], [8]). Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, các
khẳng định sau đây là tương đương
(i) (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị;
13


(ii) Mỗi tập mở chính quy trong (X, τ ) là đóng và mỗi tập đóng chính quy
trong (X, τ ) là mở;
(iii) RO(X, τ ) = RC(X, τ );
(iv) Với mọi cặp U , V các tập con mở khơng giao nhau của (X, τ ) ta có
cl(U ) ∩ cl(V ) = ∅;
(v) cl(U ) = scl(U ), với mọi tập nửa mở U trong (X, τ ).
1.2.7 Mệnh đề ([6]). Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff, không liên
thông cực trị và thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Khi đó, (X, τ ) là không

gian rời rạc.
1.2.8 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị và
compact. Khi đó, (X, τ ) là khơng gian S-đóng.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị và
compact và giả sử {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của (X, τ ) bởi các tập đóng chính
quy. Khi đó, theo Định lý 1.2.6, {Uα : α ∈ ∧} là một phủ mở của (X, τ ). Nhờ
giả thiết (X, τ ) compact ta suy ra tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho
X = ∪{Uα : α ∈ ∧0 }. Vậy, (X, τ ) là S-đóng.
1.2.9 Định nghĩa ([5]). Khơng gian tôpô (X, τ ) được gọi là s-compact
(s-compact) nếu mọi phủ của X bởi các tập nửa mở có phủ con hữu hạn.
1.2.10 Nhận xét. Nếu (X, τ ) là khơng gian s-compact thì (X, τ ) là khơng
gian S-đóng.
1.2.11 Định nghĩa ([10]). Khơng gian tơpơ (X, τ ) được gọi là tựa H-đóng
(quasi-H-closed) nếu với mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của X bởi các tập mở, tồn
tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
1.2.12 Nhận xét. Nếu (X, τ ) là khơng gian compact thì (X, τ ) là tựa
H-đóng.

14


1.2.13 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là không gian S-đóng. Khi đó, (X, τ ) là
khơng gian tựa H-đóng.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là khơng gian S-đóng và {Uα : α ∈ ∧} là một
phủ của (X, τ ) bởi các tập mở. Vì mỗi tập mở là tập nửa mở nên {Uα : α ∈ ∧}
là phủ của X bởi các tập nửa mở. Nhờ giả thiết (X, τ ) là S-đóng, tồn tại tập
con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Điều này chứng tỏ
(X, τ ) là tựa H-đóng.
1.2.14 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị và
tựa H-đóng. Khi đó, (X, τ ) là khơng gian S-đóng.

Chứng minh. Giả sử {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của (X, τ ) bởi các tập nửa
mở. Khi đó theo Mệnh đề 1.1.25, {cl(Uα ) : α ∈ ∧} là phủ của (X, τ ) bởi các
tập đóng chính quy. Vì (X, τ ) là khơng gian không liên thông cực trị nên theo
Định lý 1.2.6 ta có cl(Uα ) là tập mở, với mọi α ∈ ∧. Suy ra, {cl(Uα ) : α ∈ ∧}
là phủ mở của (X, τ ). Nhờ giả thiết (X, τ ) là tựa H-đóng, tồn tại tập con hữu
hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Điều này chứng tỏ (X, τ ) là
S-đóng.
1.2.15 Định nghĩa ([5]). Khơng gian tơpơ (X, τ ) được gọi là s-đóng (sclosed) nếu với mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của (X, τ ) bởi các tập nửa mở, tồn tại
tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{scl(Uα ) : α ∈ ∧0 }.
1.2.16 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là khơng gian s-đóng. Khi đó, (X, τ ) là
khơng gian S-đóng.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là khơng gian s-đóng và {Uα : α ∈ ∧} là một
phủ của (X, τ ) bởi các tập nửa mở. Khi đó, tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của
∧ sao cho X = ∪{scl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Do scl(Uα ) ⊂ cl(Uα ) với mọi α ∈ ∧0 nên
X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Vậy, (X, τ ) là S-đóng.

15


1.2.17 Mệnh đề ([5]). Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, các khẳng
định sau đây là tương đương
(i) (X, τ ) là khơng gian s-đóng;
(ii) Mọi phủ của (X, τ ) bởi các tập nửa chính quy có phủ con hữu hạn;
(iii) Với mọi họ {Uα : α ∈ ∧} các tập nửa chính quy sao cho

Uα = ∅,
α∈∧

Uα = ∅.

tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho
α∈∧0

1.2.18 Định lý ([9]). Với mọi không gian tôpô vô hạn (Y, σ), tồn tại không
gian tôpô (X, τ ) sao cho (Y, σ) là không gian con đóng của (X, τ ) và (X, τ )
khơng là khơng gian s-đóng.
Chứng minh. Giả sử (Y, σ) là không gian tôpô vô hạn, Z là T1 -không gian Sđóng vơ hạn và Z1 = Z ×{1}, Z2 = Z ×{2}. Giả thiết rằng Y ∩(Z1 ∪Z2 ) = ∅.
Khi đó, Z1 ∩ Z2 = ∅ và Y ∩ Z1 = Y ∩ Z2 = ∅. Đặt
X = Y ∪ Z1 ∪ Z 2 ,
B1 = {A1 ⊂ Z1 : A1 = V × {1}, trong đó V là tập mở của Z},
B2 = {A2 ⊂ Z2 : A2 = V × {2}, trong đó V là tập mở của Z},
B3 = {G ⊂ X : G = U ∪ C1 ∪ C2 , với U là tập mở trong Y, Ci là tập con
của Zi sao cho Zi \Ci là hữu hạn, i = 1, 2},
B = B1 ∪ B2 ∪ B3 .
Dễ dàng kiểm tra được rằng
τ = {W ⊂ X : W =

Wi , Wi ∈ B với mọi i ∈ I}
i∈I

là một tôpô trên X. Ta có Z1 = Z × {1} ∈ B1 ⊂ τ và Z2 = Z × {2} ∈ B2 ⊂ τ .
Vì Y = X\(Z1 ∪Z2 ) nên Y là khơng gian con đóng của (X, τ ). Với mỗi i = 1, 2
ta có họ tất cả các tập đóng trong (X, τ ) chứa Zi là {Y ∪ Zi , X} và họ tất cả
các tập mở trong (X, τ ) bị chứa trong Y ∪ Zi là Bi . Do đó, clX (Zi ) = Y ∪ Zi
và intX (Y ∪ Zi ) = Zi ⊂ Y ∪ Zi , với i = 1, 2. Suy ra, Z1 và Z2 là các tập nửa
đóng trong (X, τ ). Từ đó ta có, sclX (Z1 ) = Z1 và sclX (Z2 ) = Z2 . Với mỗi
16


y ∈ Y , đặt Sy = Z1 ∪ {y}. Vì Z1 ⊂ Sy ⊂ Z1 ∪ Y = clX (Z1 ) nên Sy là tập

nửa mở trong (X, τ ), với mọi y ∈ Y . Mặt khác, X\Sy = (Y \{y}) ∪ Z2 và
Z2 ⊂ (Y \{y}) ∪ Z2 ⊂ Y ∪ Z2 = clX (Z2 ). Từ đó suy ra, X\Sy là tập nửa mở
trong (X, τ ) và do đó Sy là tập nửa đóng trong (X, τ ), với mọi y ∈ Y . Điều
này kéo theo, scl(Sy ) = Sy , với mọi y ∈ Y . Ta có, họ U = {Sy : y ∈ Y } ∪ Z2
là một phủ của (X, τ ) bởi các tập nửa mở. Giả sử (X, τ ) là s-đóng. Khi đó,
tồn tại tập con hữu hạn {y1 , y2 , . . . , yn } của Y sao cho
n

scl(Syi ) ∪ scl(Z2 ).

X=
i=1

Từ các chứng minh ở trên ta suy ra
n

X=

n

Sy i

∪ Z2 =

i=1

{yi }

∪ Z 1 ∪ Z2 .

i=1

Từ đó ta có, Y = {y1 , y2 , . . . , yn }. Điều này mâu thuẫn với giả thiết Y vô
hạn. Vậy, (X, τ ) khơng là khơng gian s-đóng.
1.2.19 Mệnh đề ([9]). Giả sử Z là T1 -khơng gian S-đóng vô hạn. Với mỗi
i = 1, 2 đặt Zi = Z × {i}, Bi = {Ai ⊂ Zi : Ai = V × {i}, trong đó V là tập
mở của Z}. Khi đó, (Z0 , τ0 ) là khơng gian S-đóng, ở đây Z0 = Z1 ∪ Z2 , τ0 =
{W ⊂ Z0 : W =

Wi , Wi ∈ B1 ∪ B2 , với mọi i ∈ I}.
i∈I

1.2.20 Hệ quả. Tồn tại một khơng gian tơpơ là S-đóng mà khơng là sđóng.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là khơng gian tôpô được xác định như trong
chứng minh Định lý 1.2.18 và (Z0 , τ0 ) là khơng gian nói trong Mệnh đề 1.2.19.
Dễ thấy τ0 là tôpô cảm sinh của τ trên Z0 . Khi đó, (X, τ ) khơng là khơng
gian s-đóng và (Z0 , τ0 ) là khơng gian con S-đóng của (X, τ ). Theo chứng
minh Định lý 1.2.18, clX (Z1 ) = Y ∪ Z1

và clX (Z2 ) = Y ∪ Z2 . Suy ra,

clX (Z0 ) = clX (Z1 ∪ Z2 ) = Y ∪ Z1 ∪ Z2 = X. Do đó, Z0 là không gian con trù
mật trong X. Nhờ Mệnh đề 1.2.4 ta có (X, τ ) là khơng gian S-đóng.
17


1.2.21 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là không gian khơng liên thơng cực trị và
S-đóng. Khi đó, (X, τ ) là khơng gian s-đóng.
Chứng minh. Giả sử {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của (X, τ ) bởi các tập
nửa mở. Vì (X, τ ) là S-đóng nên tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao

cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Do (X, τ ) là không gian không liên thông
cực trị nên theo Định lý 1.2.6, scl(Uα ) = cl(Uα ) với mọi α ∈ ∧0 . Suy ra,
X = ∪{scl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. Điều này chứng tỏ (X, τ ) là khơng gian s-đóng.
1.2.22 Định nghĩa ([14]). Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) từ không gian tôpô
(X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) được gọi là không giải được (irresolute) nếu
f −1 (U ) ∈ SO(X, τ ), với mọi U ∈ SO(Y, σ).
1.2.23 Bổ đề ([14]). Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) là ánh xạ không giải được.
Khi đó, cl(f −1 (U )) ⊂ f −1 (cl(U )), với mọi U ∈ SO(Y, σ).
1.2.24 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là khơng gian S-đóng và f : (X, τ )→(Y, σ)
là tồn ánh khơng giải được. Khi đó, (Y, σ) là khơng gian S-đóng.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là khơng gian S-đóng, f : (X, τ )→(Y, σ) là
tồn ánh khơng giải được và {Uα : α ∈ ∧} là phủ của Y bởi các tập nửa
mở trong Y . Khi đó, {f −1 (Uα ) : α ∈ ∧} là phủ của X bởi các tập nửa mở
trong X. Vì (X, τ ) là S-đóng nên tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho
cl(f −1 (Uα )). Do f là toàn ánh không giải được và Uα là nửa mở

X =
α∈∧0

nên theo Bổ đề 1.2.23 ta có cl(f −1 (Uα )) ⊂ f −1 (cl(Uα )), với mọi α ∈ ∧0 . Từ
đó ta có
f (cl(f −1 (Uα ))) ⊂

Y = f (X) =
α∈∧0

f (f −1 (cl(Uα ))) =
α∈∧0

Điều này kéo theo, Y =

cl(Uα ).
α∈∧0

cl(Uα ). Vậy, (Y, σ) là không gian S-đóng.
α∈∧0

1.2.25 Mệnh đề ([10]). Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) là ánh xạ liên tục và
mở. Khi đó, f là ánh xạ khơng giải được.
18


1.2.26 Mệnh đề ([14]). Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) là ánh xạ từ không gian
tôpô (X, τ ) vào khơng gian tơpơ (Y, σ). Khi đó, các khẳng định sau đây là
tương đương
(i) f là không giải được;
(ii) f −1 (B) ∈ SC(X, τ ), với mọi B ∈ SC(Y, σ);
(iii) f (scl(A)) ⊂ scl(f (A)), với mọi A ⊂ X;
(iv) scl(f −1 (B)) ⊂ f −1 (scl(B)), với mọi B ⊂ Y .
1.2.27 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là khơng gian s-đóng và f : (X, τ )→(Y, σ)
là tồn ánh khơng giải được. Khi đó, (Y, σ) là khơng gian s-đóng.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là khơng gian s-đóng, f : (X, τ )→(Y, σ) là tồn
ánh khơng giải được và {Uα : α ∈ ∧} là phủ của Y bởi các tập nửa chính quy
trong Y . Khi đó, {f −1 (Uα ) : α ∈ ∧} là phủ của X bởi các tập nửa mở trong
X. Theo Mệnh đề 1.1.15, {scl(f −1 (Uα )) : α ∈ ∧} là phủ của X bởi các tập
nửa chính quy. Vì (X, τ ) là s-đóng nên nhờ Mệnh đề 1.2.17, tồn tại tập con
scl(f −1 (Uα )). Do f là toàn ánh không giải

hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X =
α∈∧0

được nên theo Mệnh đề 1.2.26, scl(f −1 (Uα )) ⊂ f −1 (scl(Uα )), với mọi α ∈ ∧0 .
f (scl(f −1 (Uα ))) ⊂

Từ đó ta có, Y = f (X) =
α∈∧0

scl(Uα ) =
α∈∧0

f (f −1 (scl(Uα ))) ⊂
α∈∧0

Uα . Điều này kéo theo, Y =
α∈∧0

Uα . Vậy, (Y, σ) là khơng
α∈∧0

gian s-đóng.
1.2.28 Định nghĩa ([3]). Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) từ không gian tôpô
(X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) được gọi là ν-liên tục (ν-continuous) nếu
f −1 (U ) là tập mở trong (X, τ ), với mọi tập nửa chính quy U trong (Y, σ).
1.2.29 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là không gian compact và f : (X, τ )→(Y, σ)
là tồn ánh ν-liên tục. Khi đó, (Y, σ) là khơng gian s-đóng.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là không gian compact, f : (X, τ )→(Y, σ) là
toàn ánh ν-liên tục và {Uα : α ∈ ∧} là phủ của Y bởi các tập nửa chính
19

quy. Khi đó, {f −1 (Uα ) : α ∈ ∧} là phủ mở của X. Vì (X, τ ) là không gian
f −1 (Uα ).

compact nên tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X =
α∈∧0

Do f là tồn ánh nên ta có
f −1 (Uα )

Y = f (X) = f

f (f −1 (Uα )) =

=
α∈∧0

α∈∧0

Uα .
α∈∧0

Vậy, (Y, σ) là khơng gian s-đóng.
1.2.30 Nhận xét. Vì mỗi khơng gian s-đóng là khơng gian S-đóng nên từ
Mệnh đề 1.2.29 suy ra, nếu (X, τ ) là không gian compact và f : (X, τ )→(Y, σ)
là toàn ánh ν-liên tục thì (Y, σ) là khơng gian S-đóng.

20


CHƯƠNG 2

KHƠNG GIAN S -ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC
2.1 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA KHƠNG GIAN S-ĐĨNG ĐẾM
ĐƯỢC
2.1.1 Định nghĩa ([6]). Khơng gian tơpơ (X, τ ) được gọi là S-đóng đếm
được (countably S-closed) nếu mọi phủ đếm được của X bởi các tập đóng
chính quy có phủ con hữu hạn.
2.1.2 Nhận xét. Mọi khơng gian S-đóng là khơng gian S-đóng đếm được.
2.1.3 Định lý ([6]). Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, các khẳng
định sau đây là tương đương
(i) (X, τ ) là S-đóng đếm được;
(ii) Mọi phủ đếm được {Un : n = 1, 2, . . . } của X bởi các tập nửa mở, tồn
tại tập con hữu hạn I của N∗ sao cho X = ∪{cl(Un ) : n ∈ I};
(iii) Mọi phủ đếm được {Un : n = 1, 2, . . . } của X bởi các tập nửa mở
chính quy, tồn tại tập con hữu hạn I của N∗ sao cho X = ∪{cl(Un ) : n ∈ I};
(iv) Không tồn tại dãy tăng ngặt {An : n = 1, 2, . . . } các tập con đóng
chính quy trong X mà ∪{An : n = 1, 2, . . . } = X;
(v) Nếu {Fn : n = 1, 2, . . . } là dãy giảm các tập con đóng chính quy khác
rỗng trong X thì ∩{int(Fn ) : n = 1, 2, . . . } = ∅;
(vi) Nếu {Gn : n = 1, 2, . . . } là dãy giảm các tập con mở chính quy khác
rỗng trong X thì ∩{Gn : n = 1, 2, . . . } = ∅;
(vii) Nếu {Gn : n = 1, 2, . . . } là dãy các tập con mở chính quy trong X có
tính giao hữu hạn thì ∩{Gn : n = 1, 2, . . . } = ∅;
(viii) Nếu {Gn : n = 1, 2, . . . } là một cơ sở lọc gồm các tập con mở chính
quy trong X thì ∩{Gn : n = 1, 2, . . . } = ∅.
21


n

Ai ∪ E,

2.1.4 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ, X =
i=1

trong đó mỗi Ai là khơng gian con S-đóng đếm được, trù mật địa phương và
E ⊂ X là tập hữu hạn. Khi đó, (X, τ ) là S-đóng đếm được.
n

Chứng minh. Giả sử {Fm : m = 1, 2, . . . } là một phủ của X =

Ai ∪E
i=1

bởi các tập đóng chính quy. Khi đó, với mỗi i ∈ {1, 2, . . . , n} ta có, Ai ⊂
∪{Fm : m = 1, 2, . . . }. Suy ra, Ai = ∪{Ai ∩ Fm : m = 1, 2, . . . }. Vì Ai là trù
mật địa phương nên theo Bổ đề 1.2.3, Ai ∩ Fm là tập đóng chính quy trong
Ai với mọi m = 1, 2, . . . . Do Ai là khơng gian con S-đóng đếm được nên tồn
tại tập con hữu hạn Ii của {1, 2, . . . } sao cho Ai = ∪{Ai ∩ Fm : m ∈ Ii }. Từ
đó suy ra, Ai ⊂ ∪{Fm : m ∈ Ii }. Điều này kéo theo, ∪{Ai : i = 1, 2, . . . , n} ⊂
∪{Fm : m ∈ I}, trong đó I = ∪{Ii : i = 1, 2, . . . , n} là tập con hữu hạn của
{1, 2, . . . }. Vì E là tập con hữu hạn của X nên tồn tại tập con hữu hạn J
của {1, 2, . . . } sao cho E ⊂ ∪{Fm : m ∈ J}. Từ đó ta có
n

Ai ∪ E ⊂

X=
i=1

Fm
m∈I∪J

với I ∪ J là tập con hữu hạn của N∗ . Điều này chứng tỏ (X, τ ) là S-đóng đếm
được.
2.1.5 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô sao cho tồn tại khơng
gian con A là S-đóng đếm được trù mật trong X. Khi đó, (X, τ ) là S-đóng
đếm được.
Chứng minh. Giả sử {Fn : n = 1, 2, . . . } là một phủ của X bởi các tập
đóng chính quy. Khi đó, nhờ Bổ đề 1.2.3, {A ∩ Fn : n = 1, 2, . . . } là phủ của
A bởi các tập đóng chính quy trong A. Vì A là khơng gian con S-đóng đếm
được nên tồn tại tập con hữu hạn I của N∗ sao cho A = ∪{A ∩ Fn : n ∈ I}.
cl(A ∩ Fn ) ⊂

Từ đó suy ra X = cl(A) =
n∈I

cl(Fn ) =
n∈I

X = ∪{Fn : n ∈ I}. Vậy, (X, τ ) là S-đóng đếm được.
22

Fn . Do đó ta có,
n∈I


2.1.6 Định nghĩa ([6]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Họ U các tập
con mở khác rỗng, đôi một không giao nhau trong (X, τ ) được gọi là họ khối
(cellular family).

2.1.7 Mệnh đề ([6]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và tồn tại x0 ∈ X
sao cho tại x0 có một cơ sở lân cận mở {Un : n = 1, 2, . . . } thỏa mãn các tính
chất sau
(i) cl(Un+1 ) là tập con thực sự của Un , với mọi n ∈ {1, 2, . . . };
(ii) U1 = X;
(iii) {x0 } = ∩{Un : n = 1, 2, . . . } = ∩{cl(Un ) : n = 1, 2, . . . }.
Khi đó, (X, τ ) khơng là khơng gian S-đóng đếm được.
2.1.8 Định nghĩa ([12]). Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là compact yếu
(feebly compact) nếu với mọi phủ đếm được {Un : n = 1, 2, . . . } của X bởi
các tập mở, tồn tại tập con hữu hạn I của N∗ sao cho X = ∪{cl(Un ) : n ∈ I}.
2.1.9 Định nghĩa ([8]). (i) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Điểm x ∈ X
được gọi là điểm cô lập (isolated point) của X nếu tập một điểm {x} là mở.
(ii) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là Gδ -tập (Gδ -set) nếu
A là giao của một họ đếm được các tập mở.
2.1.10 Mệnh đề ([6]). (i) Giả sử (X, τ ) là khơng gian chính quy vơ hạn
và x0 là điểm không cô lập của X sao cho tồn tại cơ sở lân cận mở đếm được
B(x0 ) tại x0 . Khi đó, (X, τ ) khơng là khơng gian S-đóng đếm được.
(ii) Giả sử (X, τ ) là khơng gian compact yếu chính quy vơ hạn và tồn tại
x0 ∈ X sao cho {x0 } là Gδ -tập nhưng khơng mở. Khi đó, (X, τ ) khơng là
khơng gian S-đóng đếm được.
2.1.11 Mệnh đề ([6]). Giả sử (X, τ ) là khơng gian S-đóng đếm được. Khi
đó, mỗi tập mở chính quy hoặc đóng chính quy trong (X, τ ) là khơng gian con
S-đóng đếm được của (X, τ ).
23