Định lý phổ thông trong c đại số và một vài ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
——————
—————–

——————–
——————

VÕ THỊ MINH TÂM

ĐỊNH LÝ PHỔ TRONG C ∗-ĐẠI SỐ
VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
——————
—————–

——————–
——————

VÕ THỊ MINH TÂM

ĐỊNH LÝ PHỔ TRONG C ∗-ĐẠI SỐ
VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS.TS. ĐINH HUY HOÀNG

VINH - 2009


MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. Đại số Banach và lý thuyết phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Định nghĩa và ví dụ về đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Phổ và giải thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Không gian các đồng cấu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. Định lý phổ và một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 C ∗ -đại số và Định lý Gelfand - Naimark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Định lý phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Một vài ứng dụng của Định lý phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

1

LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết phổ trong đại số Banach là hướng nghiên cứu quan trọng của
giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích và nhiều lĩnh vực khác
của tốn học. Nó cho chúng ta hiểu rõ hơn cấu trúc chính đại số đó và mơ tả
tường minh hơn cấu trúc của không gian các ideal cực đại cũng như sự tồn
tại hay không các đồng cấu phức trên đại số Banach.
Định lý phổ trong đại số Banach là một kết quả quan trọng trong giải tích
hàm. Trong [4] người ta đã trình bày Định lý phổ và một số ứng dụng của
nó trong đại số L(H) các tốn tử tuyến tính liên tục từ khơng gian Hilbert
H vào chính nó. Một vấn đề được đặt ra ở đây là các kết quả tương tự như
trong đại số L(H) có cịn đúng cho C ∗ -đại số nữa hay khơng? Mục đích của
luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để tìm hiểu về đại số Banach, lý
thuyết phổ và giải quyết vấn đề đã đặt ra. Với mục đích đó luận văn được
viết thành hai chương.
Chương 1. Đại số Banach và lý thuyết phổ
Chương này nhằm trình bày một số khái niệm và tính chất của đại số
Banach, phổ trong đại số Banach và các đồng cấu phức trong luận văn.
Đầu tiên, chúng tơi trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về không
gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, ánh xạ tuyến tính
liên tục,... Sau đó, chúng tơi trình bày định nghĩa về đại số Banach, đại số
con, đưa ra các ví dụ về đại số Banach và trình bày định nghĩa, các tính chất
của phổ và giải thức trong đại số Banach.
Phần cuối của chương này, trình bày các tính chất của khơng gian các đồng
cấu phức và phép biến đổi Gelfand.
2


Chương 2. Định lý phổ và một vài ứng dụng

Chương này trình bày Định lý phổ và một vài ứng dụng của nó trong
C ∗ -đại số.
Đầu tiên, chúng tơi trình bày một số khái niệm và tính chất của C ∗ -đại số
cùng với Định lý Gelfand - Naimark mà chúng được ứng dụng trong các mục
sau.
Tiếp theo, chúng tơi trình bày và chứng minh Định lý phổ trong đại số
Banach. Sau đó, chúng tơi đưa ra và chứng minh một số ứng dụng của Định
lý phổ trong C ∗ -đại số, chúng được thể hiện trong các Định lý 2.3.1, Định lý
2.3.4, Định lý 2.3.10, Mệnh đề 2.3.11, Định lý 2.3.12,...
Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của
thầy giáo PGS.TS. Đinh Huy Hoàng cùng với sự giúp đỡ, động viên của các
thầy giáo, cơ giáo trong Tổ Giải tích, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa đào
tạo Sau đại học, bạn bè, gia đình. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đối
với sự chỉ bảo, dìu dắt, động viên của các thầy cơ cùng các bạn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạn
chế, thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy,
cơ giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2009
Tác giả

3


CHƯƠNG 1

ĐẠI SỐ BANACH VÀ LÝ THUYẾT PHỔ
1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả đã có trong
tài liệu tham khảo mà chúng cần dùng trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. Giả sử E là khơng gian tuyến tính trên trường K (C

hoặc R). Hàm . : E→R cho bởi x → x được gọi là một chuẩn trên E nếu
thỏa mãn
(1) x ≥ 0,

x ∈ E và x = 0 khi và chỉ khi x = 0,

(2) λx = |λ|. x ,

∀x ∈ E và ∀λ ∈ K,

(3) x + y ≤ x + y ,

∀x, y ∈ E.

Khơng gian tuyến tính E cùng với một chuẩn trên nó được gọi là khơng gian
định chuẩn. Khi đó ta viết (E, . ) hay đơn giản là E.
Nếu E là khơng gian định chuẩn thì cơng thức d(x, y) = x−y ,

x, y ∈ E

là một mêtric trên E. Ta gọi d là mêtric sinh bởi chuẩn.
Không gian mêtric E được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản (dãy Cauchy)
{xn } ⊂ E đều hội tụ.
1.1.2 Định nghĩa. Không gian định chuẩn E được gọi là không gian
Banach nếu E là không gian đầy đủ đối với mêtric sinh bởi chuẩn.
1.1.3 Định nghĩa. Tập con F của không gian định chuẩn E gọi là không
gian con của E nếu F là khơng gian tuyến tính con của E và trên F ta xét
chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên E.

4

1.1.4 Định lý. Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn và f : E→F là
ánh xạ tuyến tính. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương
(1) f liên tục,
(2) f bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số k sao cho f (x) ≤ k. x ,

∀x ∈ E.

Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn, ta ký hiệu
L(E, F ) = {ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F }.
L(E, F ) là khơng gian tuyến tính với phép cộng hai hàm và phép nhân vô
hướng với một hàm thông thường.
Đặt
f = inf {k : f (x) ≤ k x ,

x ∈ E}.

(1)

1.1.5 Mệnh đề. Với mỗi f ∈ L(E, F ) ta có
f = sup
x=0

f (x)
= sup f (x) = sup f (x)
x
x ≤1
x =1

và công thức (1) xác định một chuẩn trên L(E, F ).
1.1.6 Định lý. Nếu E là khơng gian định chuẩn, F là khơng gian Banach
thì L(E, F ) là không gian Banach.
1.1.7 Định nghĩa. Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn. Ánh xạ
f : E→F được gọi là ánh xạ đẳng cấu nếu f là song ánh, tuyến tính, f và
f −1 liên tục.
Ánh xạ f được gọi là đẳng cự nếu f tuyến tính và f (x) = x ,

∀x ∈ E.

Hai không gian định chuẩn được gọi là đẳng cấu (đẳng cự) nếu giữa chúng
tồn tại một ánh xạ đẳng cấu (tương ứng đẳng cự).
1.1.8 Định nghĩa. Giả sử E là không gian định chuẩn. Ta viết E ∗ thay
cho L(E, K) và gọi E ∗ là không gian liên hợp của E.
5


Ta gọi tôpô yếu nhất trong tất cả các tôpô trên E mà đối với chúng mỗi
f ∈ E ∗ liên tục là tôpô yếu trên E.
Với mỗi x ∈ E, ta xác định hàm x : E ∗ →C với x(f ) = f (x),

∀f ∈ E ∗ .

Khi đó x là ánh xạ tuyến tính.
Ta gọi tơpơ yếu nhất trong tất cả các tôpô trên E ∗ mà đối với chúng mỗi
x ∈ E liên tục là tôpô yếu∗ và được ký hiệu là σ(E ∗ , E).
1.1.9 Định lý (Alaoglu). Hình cầu đơn vị đóng B ∗ = {f ∈ E ∗ : f ≤ 1}
trong E ∗ là Hausdorff và compact đối với tôpô yếu∗ σ(E ∗ , E).
1.1.10 Định nghĩa. Giả sử E là không gian tuyến tính trên trường K (R
hoặc C). Ánh xạ ϕ : E × E→K

(x, y) → ϕ(x, y) được gọi là một tích vơ hướng nếu
(1) ϕ(x, x) ≥ 0,

∀x ∈ E, ϕ(x, x) = 0 ⇔ x = 0

(2) ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y),

x1 , x2 , y ∈ E

(3) ϕ(x, y1 + y2 ) = ϕ(x, y1 ) + ϕ(x, y2 ),

x, y1 , y2 ∈ E

(4) ϕ(αx, y) = αϕ(x, y),

∀α ∈ K, ∀x, y ∈ E

(5) ϕ(x, αy) = αϕ(x, y),

α ∈ K, ∀x, y ∈ E

(6) ϕ(x, y) = ϕ(y, x),

∀x, y ∈ E.

Không gian tuyến tính E cùng với một tích vơ hướng trên nó được gọi là một
không gian tiền Hilbert. Ký hiệu (E, ϕ) hay E.
Nếu ϕ là tích vơ hướng trên E thì ta viết (x|y) thay cho ϕ(x, y).
1.1.11 Bổ đề. Giả sử E là khơng gian tiền Hilbert. Khi đó ta có bất đẳng
thức sau được gọi là bất đẳng thức Cauchy - Schwartz

|(x|y)|2 ≤ (x|x).(y|y),

6

∀x, y ∈ E


và
(x + y|x + y) ≤

(x|x) +

(y|y),

∀x, y ∈ E

được gọi là bất đẳng thức Minkowski.
1.1.12 Mệnh đề. Nếu E là khơng gian tiền Hilbert thì cơng thức
x =

(x|x),

∀x ∈ E

(2)

xác định một chuẩn trên E.
1.1.13 Nhận xét. Không gian tiền Hilbert với chuẩn xác định với công
thức (2) là không gian định chuẩn và chuẩn xác định bởi (2) được gọi là chuẩn
sinh bởi tích vơ hướng.

1.1.14 Định nghĩa. Nếu không gian tiền Hilbert là không gian Banach
đối với chuẩn sinh bởi tích vơ hướng thì nó được gọi là khơng gian Hilbert.
1.1.15 Ví dụ. (1) Cơng thức
n

xj yj , ∀x = (xj )nj=1 , y = (yj )nj=1 ∈ Rn ,

(x|y) :=
j=1

là tích vơ hướng trên Rn . Với tích vơ hướng này Rn là khơng gian Hilbert.
(2) Công thức
n

xj yj , ∀x = (xj )nj=1 , y = (yj )nj=1 ∈ Cn ,

(x|y) :=
j=1

là tích vơ hướng trên Cn . Với tích vơ hướng này Cn là không gian Hilbert.
∞

(3)

2

|xn |2 < ∞} là không gian Hilbert với tích vơ

= {(xn ) ⊆ R :
n=1

hướng

∞

xn yn , ∀x = (xn ), y = (yn ) ∈

(x|y) =
n=1

7

2.


Chuẩn sinh bởi tích vơ hướng trên

2

∞

|xn

x =

2

là
1
2

,

∀x = (xn ) ∈

2.

n=1

1.2 ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ VỀ ĐẠI SỐ BANACH
1.2.1 Định nghĩa. Một không gian vectơ A trên trường số C được trang
bị thêm một phép nhân trong thỏa mãn các điều kiện
(1) x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z ∈ A,
(2) (x + y)z = xz + yz,

x(y + z) = xy + xz,

(3) α(xy) = (αx)y = x(αy),

∀x, y, z ∈ A,

∀x, y ∈ A và α ∈ C,

được gọi là một đại số phức hay nói gọn là đại số.
Một đại số phức A thỏa mãn thêm điều kiện
(4) A là một không gian Banach với chuẩn . thỏa mãn
xy ≤ x . y ,

∀x, y ∈ A

được gọi là đại số Banach.
Nếu tồn tại phần tử e trong đại số Banach A sao cho xe = ex = x với mọi
x ∈ A và e = 1 thì A được gọi là đại số Banach có đơn vị.
Trong luận văn này, các đại số được xét ln giả thiết là đại số Banach có
đơn vị ta nói gọn là đại số Banach.
1.2.3 Nhận xét. Phần tử đơn vị của một đại số Banach là duy nhất. Một
đại số bất kỳ thỏa mãn điều kiện (1) - (4) bao giờ cũng có thể nhúng vào một
đại số Banach.
Phép nhân trong của đại số Banach là liên tục, liên tục trái, liên tục phải.
1.2.4 Định nghĩa. Giả sử A là một đại số. Không gian con B của A khép
kín đối với phép tốn nhân trong của A được gọi là một đại số con của A.
8


Nếu B là một đại số con đóng của đại số Banach A thì B cũng là một đại
số Banach.
1.2.5 Mệnh đề. Nếu B là đại số con của đại số Banach A thì B cũng là
đại số con của A.
Chứng minh. Vì B là đại số con của A nên B là khơng gian tuyến tính con
của A. Do đó B là khơng gian tuyến tính con A. Lấy bất kỳ x, y ∈ B. Suy
ra tồn tại các dãy {xn }, {yn } ⊂ B sao cho xn →x, yn →y. Điều này kéo theo
xn yn →xy, với {xn yn } ⊂ B. Vậy, xy ∈ B. Do đó B là đại số con của A.
1.2.6 Định lý (Stone - Weierstrass) ([1]). Cho X là một không gian compact và A là một đại số con của C(X) thỏa mãn các tính chất
(1) Chứa các hằng số và phân biệt các điểm của X,
(2) f ∈ A thì f ∈ A.
Khi đó A trù mật trong C(X).
1.2.7 Định nghĩa. Giả sử A và B là hai đại số Banach và Φ : A→B, Φ
được gọi là một đồng cấu nếu Φ là ánh xạ tuyến tính và nhân tính tức là
Φ(xy) = Φ(x).Φ(y), ∀x, y ∈ A.
Ánh xạ Φ : A→C được gọi là đồng cấu phức nếu Φ là một đồng cấu và Φ = 0.

Hai đại số Banach được gọi là đẳng cấu nếu giữa chúng tồn tại một song
ánh, đồng cấu và liên tục hai chiều.
Hai đại số Banach được gọi là đẳng cự nếu giữa chúng tồn tại một ánh xạ
đẳng cự.
1.2.8 Ví dụ. (1) Giả sử X là một không gian Hausdorff, compact và C(X)
là tập tất cả các hàm nhận giá trị phức, liên tục trên X. Khi đó với phép

9


cộng hai hàm và phép nhân vô hướng với một hàm thơng thường, C(X) là
khơng gian tuyến tính trên C. Với chuẩn
f = sup{|f (x)| : x ∈ X}, ∀f ∈ C(X),
C(X) là không gian Banach.
Trên C(X), ta xác định thêm phép nhân trong bằng cách đặt tương ứng
(f, g) ∈ C(X) × C(X) với hàm f g được cho bởi
(f g)(x) = f (x).g(x),

∀x ∈ X.

Khi đó, với mọi f, g, h ∈ C(X) ta có
(i) [f (gh)](x) = f (x).(gh)(x) = f (x).g(x).h(x)
= (f g)(x).h(x) = [(f g)h](x), ∀x ∈ X.
Vậy
f (gh) = (f g)h.
(ii) [(f + g)h](x) = (f + g)(x).h(x) = (f (x) + g(x)).h(x)
= f (x).h(x) + g(x).h(x)
= (f h)(x) + (gh)(x) = [f h + gh](x), ∀x ∈ X.
Vậy
(f + g)h = f h + gh.

Tương tự ta có
g(g + h) = f g + f h.
(iii) [α(f g)](x) = α.(f g)(x) = αf (x).g(x) = (αf )(x).g(x)
= [(αf )g](x),

∀x ∈ X, α ∈ K.

Tương tự ta có
[α(f g)](x) = [f.(αg)](x),
10

x ∈ X.


Vậy
α(f g) = (αf )g = f (αg).
(iv) f g = sup{|(f g)(x)| : x ∈ X} = sup{|f (x).g(x)| : x ∈ X}
= sup{|f (x)|.|g(x)| : x ∈ X} ≤ sup |f (x)|. sup |g(x)| = f . g .
x∈X

x∈X

Vậy
fg ≤ f . g .
Do đó, C(X) là đại số Banach giao hốn, có đơn vị. Đơn vị trong C(X) là
hàm đồng nhất bằng 1.
(2) Giả sử H là không gian Hilbert và L(H) là không gian tất cả các ánh
xạ tuyến tính liên tục từ H vào H. Khi đó với phép cộng hai hàm và phép
nhân vơ hướng với một hàm thông thường, L(H) là không gian Banach với
chuẩn

f = sup

f (x) , f ∈ L(H).

x ≤1

Trên L(H) xác định phép nhân hai phần tử trong L(H) chính là phép hợp
thành của hai ánh xạ. Khi đó L(H) là đại số Banach giao hốn, có đơn vị.
Đơn vị trong L(H) là hàm đồng nhất trên H.
1.3 PHỔ VÀ GIẢI THỨC
Trong mục này, ta luôn giả thiết A là một đại số Banach giao hốn có đơn
vị e.
1.3.1 Định nghĩa. Giả sử f ∈ A. Nếu tồn tại g ∈ A sao cho f g = e thì
ta nói f khả nghịch và viết f −1 thay cho g.
Với mỗi λ ∈ C ta viết λ thay cho λe. Đặt
σ(f ) = {λ ∈ C : λ − f không khả nghịch}
11


và
S(f ) = C\σ(f ) = {λ ∈ C : λ − f khả nghịch}.
Ta gọi σ(f ), S(f ) lần lượt là phổ, giải thức của f .
1.3.2 Định nghĩa. Giả sử D là tập mở trong C và ϕ : D→A. Hàm ϕ
được gọi là giải tích tại λ0 ∈ D nếu tồn tại lân cận U của λ0 sao cho
∞

(λ − λ0 )n fn ,

ϕ(λ) =

λ ∈ U, trong đó fn ∈ A,

∀n.

n=1

Hàm ϕ được gọi là giải tích trên D nếu nó giải tích tại mọi điểm của D.
1.3.3 Định lý ([1]). Giả sử f ∈ A. Khi đó
(1) σ(f ) là tập compact khác rỗng,
(2) Hàm ϕ : S(f )→A xác định với ϕ(λ) = (λ − f )−1 giải tích trên S(f ).
1.3.4 Nhận xét. Nếu λ là giá trị riêng của f ∈ A thì λ ∈ σ(f ).
Thật vậy, do λ là giá trị riêng của f ∈ A thì ánh xạ λ − f không đơn
ánh. Suy ra λ − f khơng song ánh. Do đó, λ − f khơng khả nghịch. Khi đó
λ ∈ σ(f ).
1.3.5 Hệ quả ([5]). Với mỗi f ∈ A ta có
(1) σ(f ) ⊂ B[0; f ] = {λ ∈ C : |λ| ≤ f },
(2) Nếu λ0 ∈ S(f ) thì d(λ0 , σ(f )) = inf{|λ0 − λ| : λ ∈ σ(f )} ≥

1
(λ0 −f )−1

.

1.3.6 Định lý (Gelfand - Mazur) ([5]). Nếu đại số Banach A có các phần
tử khác khơng là khả nghịch thì nó đẳng cấu, đẳng cự với trường các số phức C.
Chứng minh. Đặt
B = {λe : λ ∈ C}.
Dễ dàng kiểm tra B là một đại số con của A và ánh xạ T : B→C với
T (λe) = λ, ∀λ ∈ C là ánh xạ đẳng cấu, đẳng cự. Do đó để hồn thành chứng
12

minh Định lý ta chỉ cần chứng tỏ A = B. Giả sử f ∈ A. Khi đó, theo Định
lý 1.3.3 ắt tồn tại λ ∈ σ(f ), do đó λ − f khơng khả nghịch. Vì A có các phần
tử khác không là khả nghịch nên λ − f = 0, tức là f = λe. Vậy A = B.
1.4 KHÔNG GIAN CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC
1.4.1 Định nghĩa. Giả sử A là đại số Banach, J ⊂ A. Khi đó
(1) J được gọi là ideal của A nếu J là khơng gian tuyến tính con của A và
JA ⊂ J. Ký hiệu J

A.

(2) Ideal J của A được gọi là ideal cực đại nếu J = A và nếu J là một
ideal của A mà J ⊂ J thì J = J hoặc J = A.
Tập tất cả các ideal cực đại của A được gọi là không gian các ideal cực đại
của A và được ký hiệu là MA .
1.4.2 Bổ đề ([5]). Mỗi ideal thực sự của A đều được chứa trong một ideal
cực đại của A. Ideal J của A là cực đại khi và chỉ khi A/J là một trường.
1.4.3 Định lý ([5]). Giả sử A là đại số Banach. Khi đó
(1) Nếu J là ideal của A thì J cũng là ideal của A,
(2) Mọi ideal cực đại của A đều đóng,
(3) Nếu J là ideal cực đại trong A thì A/J đẳng cấu, đẳng cự với C.
Chứng minh. (1) Để chứng minh J là ideal của A ta chứng minh J là đại
số con của A và JA ⊂ J. Thật vậy, theo giả thiết J là ideal của A, A là đại
số Banach và J là đại số con của A nên từ Mệnh đề 1.2.5 ta có J là đại số
con của A. Với x ∈ J, y ∈ A luôn tồn tại dãy {xn } ⊂ J để xn →x. Do J là
ideal của A nên {xn y} ⊂ J.
Xét xn y − xy = (xn − x)y →0. Suy ra xn y→xy. Do đó xy ∈ J. Khi đó
JA ⊂ J. Vậy, J nghịch. Khi đó
(x∗ )−1 = (x−1 )∗ .

(5) λ ∈ σ(x) khi và chỉ khi λ ∈ σ(x∗ ).
Chứng minh. (1) Từ các tính chất của phép đối hợp, ta có
(x + x∗ )∗ = x∗ + x∗∗ = x∗ + x = x + x∗ .
22


Do đó, (x + x∗ ) tự liên hợp
[i(x − x∗ )]∗ = −i(x − x∗ )∗ = −i(x∗ − x∗∗ = −i(x − x∗ ).
Do đó i(x − x∗ ) tự liên hợp.
(xx∗)∗ = x∗∗ .x∗ = x.x∗ .
Do đó xx∗ tự liên hợp.
(2) Do (1) ta có u =

x+x∗
2 ,v

=

i(x∗ −x)
2

là các phần tử tự liên hợp. Hơn nữa

x = u + iv. Ta cần chứng minh rằng biểu diễn đó là duy nhất.
Giả sử x = u + iv với u , v là tự liên hợp. Khi đó u − u + i(v − v) = 0, tức
là u − u = i(v − v). Đặt w = v − v. Khi đó vì u, u , v, v là tự liên hợp nên
w = v − v và iw = u − u là tự liên hợp. Do đó iw = (iw)∗ = −iw∗ = −iw.
Suy ra w = 0. Vì thế v = v , u = u .
(3) Ta có e∗ = e.e∗ . Nhờ (1) ta suy ra phần tử ee∗ là tự liên hợp. Do đó e∗
là tự liên hợp mà (e∗ )∗ = e∗∗ = e. Vậy e là tự liên hợp.

(4) Giả sử x ∈ A là phần tử khả nghịch. Khi đó ta có xx−1 = e khi và chỉ khi
(xx−1 )∗ = e khi và chỉ khi (x−1 )∗ .x∗ = e∗ = e. Từ đó ta có (x∗ )−1 = (x−1 )∗ .
(5) Vì λ ∈ σ(x) khi và chỉ khi λe − x không khả nghịch khi và chỉ khi
(λe − x)∗ không khả nghịch. Suy ra (λe − x∗ ) không khả nghịch. Từ đó suy
ra λ ∈ σ(x) khi và chỉ khi λ ∈ σ(x∗ ).
2.1.4 Định nghĩa ([4]). Đại số Banach A với phép đối hợp x → x∗ thỏa
mãn điều kiện x∗ x = x

2

với mỗi x ∈ A được gọi là C ∗ -đại số.

2.1.5 Mệnh đề ([4]). (1) Nếu A là C ∗ -đại số thì x∗ = x với mỗi
x ∈ A.
(2) Nếu A là C ∗ -đại số giao hốn thì x2 = x
23

2

với mỗi x ∈ A.


Chứng minh. (1) Vì A là C ∗ -đại số nên x∗ x = x
ra x

2

2

với mỗi x ∈ A. Suy

= x∗ x ≤ x∗ . x . Do đó
x ≤ x∗

(1)

Vì A là C ∗ -đại số nên ta cũng có xx∗ = x∗ 2 . Từ đó suy ra x∗

2

=

xx∗ ≤ x . x∗ . Do đó x∗ ≤ x . Kết hợp với (1) ta có x∗ = x , với
mọi x ∈ A.
(2) Vì A là C ∗ -đại số nên
x2

2

= (x2 )∗ x2 = (x∗ x)∗ (x∗ x) = x∗ x

với mỗi x ∈ A. Suy ra x2 = x

2

2

= x

4

với mọi x ∈ A.

2.1.6 Định nghĩa. (1) Giả sử A là đại số Banach có đơn vị e, a ∈ A. Ta
gọi đại số con đóng nhỏ nhất của A chứa a và e là đại số con sinh bởi a.
(2) Giả sử A là C ∗ -đại số, a ∈ A. Ta ký hiệu C ∗ (a) là C ∗ -đại số con của A
sinh bởi a, nghĩa là C ∗ (a) là C ∗ -đại số con đóng nhỏ nhất của A chứa a và e.
2.1.7 Nhận xét. Nếu A là C ∗ -đại số với phép đối hợp a → a∗ và a ∈ A
thì a∗ ∈ C ∗ (a).
Thật vậy, vì C ∗ (a) là C ∗ -đại số nên có phép đối hợp C ∗ (a)→C ∗ (a) với
a → a∗ . Do đó a∗ ∈ C ∗ (a).
2.1.8 Mệnh đề ([4]). Nếu a là phần tử chuẩn tắc của C ∗ -đại số có đơn
vị A thì C ∗ (a) giao hoán và tập tất cả các đa thức của hai biến a, a∗ trù mật
trong C ∗ (a).
Chứng minh. Ký hiệu P là tập tất cả các đa thức của hai biến a và a∗ . Vì
a chuẩn tắc nên aa∗ = a∗ a. Từ đó suy ra P là C ∗ -đại số con của A. Hơn nữa
24


e ∈ P nên P cũng là một đại số con của A. Giả sử x ∈ P. Khi đó, tồn tại
dãy (xn ) ⊂ P sao cho xn →x. Do đó
x∗n − x∗ = (xn − x)∗ = xn − x →0 khi n→∞.
Điều này chứng tỏ x∗n →x∗ . Vì P là C ∗ -đại số con của A. Từ a và e ∈ P suy
ra P ⊃ C ∗ (a). Mặt khác, hiển nhiên P ⊂ C ∗ (a). Do đó P ⊂ C ∗ (a). Vậy
P = C ∗ (a).
Vì aa∗ = a∗ a nên P giao hốn. Kết hợp với tính liên tục của phép nhân
suy ra P giao hoán tức là C ∗ (a) giao hoán.
2.1.9 Định lý ([4]). Giả sử A là C ∗ -đại số. Nếu a ∈ A là tự liên hợp thì
σ(a) ⊂ R.
Chứng minh. Giả sử λ ∈ σ(a), khi đó theo Định lý 2.1.3 ta có λ ∈ σ(a∗ ).

Do a là tự liên hợp nên a = a∗ . Do đó λ ∈ σ(a) khi và chỉ khi λ ∈ σ(a).
Đặt λ = x + iy ∈ σ(a). Ta cần chứng minh y = 0. Giả sử y > 0 (tương tự đối
với y < 0).
Ta có x + iy ∈ σ(a) suy ra (x + iy)e − a khơng khả nghịch. Do đó
(x + (y + n)i)e − (a + nie)
không khả nghịch, tức là x+(y +n)i ∈ σ(a+nie). Vì λ ∈ σ(a) nên λ ≤ a .
Do đó
|x + (y + n)i| ≤ a + nie
Từ (1) và (2) ta được
x2 + y 2 + 2yn + n2 ≤ a + nie

2

= (a + nie)∗ (a + nie)
= (a − nie)(a + nie)
≤ a2 + n 2 .

25

(2)


Do đó 0 < 2yn ≤ a2 − (x2 + y 2 ) với mọi n ∈ N . Điều này là khơng thể
được. Từ đó suy ra y = 0.
2.1.10 Định lý (Định lý Gelfand - Naimark) ([5]). Giả sử A là C ∗ -đại
số giao hốn. Khi đó phép biến đổi Gelfand là đẳng cấu, đẳng cự giữa A và
C(MA ) thỏa mãn
f∗ = f,

f ∈ A.

Chứng minh. Vì A là C ∗ -đại số giao hốn nên theo Mệnh đề 2.1.5 ta có
f2 = f

2,

với mọi f ∈ A. Do đó theo Bổ đề 1.4.15 thì phép biến đổi

Gelfand Γ : A→A là phép đẳng cự từ A lên đại số con A của C(MA ). Từ tính
đẳng cự của Γ suy ra A đóng trong C(MA ).
Với mỗi f ∈ A, đặt
1
g = (f + f ∗ ),
2

h=

1
(f − f ∗ ).
2i

Khi đó f = g + ih, g = g ∗ , h = h∗ . Vì thế f ∗ = g ∗ − ih∗ .
Do đó
f ∗ = g ∗ − ih∗ = g − ih.
Mặt khác g = g ∗ , h = h∗ nên theo Định lý 2.1.9 ta có σ(g) ⊂ R, σ(h) ⊂ R.
Kết hợp với Định lý 1.4.11 ta có g(MA ) = σ(g) ⊂ R, h(MA ) = σ(h) ⊂ R. Do
đó
f = g + ih = g − ih = g − i h = f ∗ .
Như vậy f = f ∗ ∈ A, với mọi f ∈ A. Điều này chứng tỏ A khép kín với
phép lấy biên hợp phức (nếu f ∈ A thì f ∈ A). Mặt khác, theo Định lý

1.4.10 A chứa các hằng và tách các điểm của MA . Do đó theo Định lý Stone

26


- Weierstrass A trù mật trong C(MA ). Vì A đóng nên A = C(MA ). Vậy Γ là
đẳng cấu, đẳng cự giữa A và C(MA ).
2.1.11 Mệnh đề ([4]). Giả sử A là C ∗ -đại số có đơn vị e và a ∈ A là phần
tử khả nghịch. Khi đó a−1 ∈ C ∗ (a).
Chứng minh. Đầu tiên, giả sử a = a∗ . Ký hiệu B là C ∗ -đại số sinh bởi a
và a−1 . Khi đó, B giao hốn. Do đó theo Định lý 2.1.10 ta có phép biến đổi
Gelfand Λ là đẳng cấu, đẳng cự từ B lên C(MB ). Do a là tự liên hợp nên
theo Định lý 2.1.9, K = σB (a) ⊂ R, ở đây σB (a) ký hiệu phổ của a xét trong
đại số B. Từ a−1 ∈ B suy ra 0 ∈
/ K. Do đó hàm h(λ) =

1
λ

liên tục trên K.

Theo Định lý Weierstrass, tồn tại dãy đa thức {pn } sao cho pn ⇒ h trên K.
Chú ý rằng nếu p(x) = α0 + α1 x + · · · + αn xn (αj ∈ C, j = 0, n) là một đa
thức của biến x thì p(a) = α0 e + α1 a + · · · + αn an là một đa thức của biến a.
Với mọi Φ ∈ MA ta có
Φ(p(a)) = α0 + α1 .Φ(a) + · · · + αn Φ(an )
= α0 + α1 .Φ(a) + · · · + αn (Φ(a))n
= p(Φ(a)).
Do đó với mỗi Φ ∈ MA , ta có
(Γ(pn (a)))(Φ) − (Γ(a−1 ))(Φ) = Φ(pn (a)) − Φ(a−1 )

= pn (Φ(a)) − (Φ(a))−1 = pn (Φ(a)) − h(Φ(a)).

(1)

Vì Φ ∈ MA ⊂ MB nên Φ(a) = (Γ(a))(Φ) ⊂ σB (a), tức là Φ(a) ∈ K. Mặt
khác, vì pn ⇒ h trên K nên từ (1) suy ra
Γ(pn (a) − a−1 )→0 khi n→∞.
Do Γ đẳng cự suy ra pn (a) − a−1 →0, tức là pn (a)→a−1 trong A. Vì a ∈ C ∗ (a)
nên pn (a) ∈ C ∗ (a), ∀n. Mặt khác, C ∗ (a) đóng nên a−1 ∈ C ∗ (a).
27


Trong trường hợp tổng quát, nếu a−1 tồn tại trong A thì aa∗ tự liên hợp
và (aa∗ )−1 ∈ A. Ta có a−1 = a∗ (aa∗ )−1 và aa∗ ∈ C ∗ (aa∗ ) ⊂ C ∗ (a). Do đó,
(aa∗ )−1 ∈ C ∗ (aa∗ ) ⊂ C ∗ (a).
Mặt khác, do a∗ ∈ C ∗ (a) nên a−1 = a∗ (aa∗ ) ∈ C ∗ (a).
2.1.12 Hệ quả ([4]). Giả sử A là C ∗ -đại số có đơn vị e và B là C ∗ -đại
số con của A chứa e. Khi đó với mọi b ∈ B thì b khả nghịch trong A. Do đó
σB (b) = σA (b), ∀b ∈ B trong đó σB (b), σA (b) thứ tự là phổ của b trong B,
trong A.
Chứng minh. Giả sử b ∈ B.
Nếu b khả nghịch trong B thì tồn tại b−1 ∈ B ⊂ A. Suy ra b−1 ∈ A.
Nếu b khả nghịch trong A thì tồn tại b−1 ∈ A. Ta cần chứng minh b−1 ∈ B.
Do b ∈ B, e ∈ B và B là C ∗ -đại số suy ra C ∗ (b) ⊂ B. Từ đó theo Mệnh đề
2.1.11, b−1 ∈ C ∗ ⊂ B.
Bây giờ, giả sử b ∈ B và λ ∈ C. Khi đó (λ − b) ∈ B. Do đó, theo kết quả
vừa chứng minh thì (λ − b) khả nghịch trong B khi và chỉ khi (λ − b) khả
nghịch trong A. Từ đó suy ra σB (b) = σA (b).
2.1.13 Ví dụ. (1) Giả sử X là không gian Hausdorff compact, C(X) là
tập tất cả các hàm nhận giá trị trong C, liên tục trên X. Ta đã biết C(X) là

đại số Banach có đơn vị với chuẩn sup. Với mỗi f ∈ C(X) đặt f ∗ = f , trong đó
f (x) = f (x), x ∈ X.
Khi đó ánh xạ f → f ∗ , f ∈ C(X) là phép đối hợp trên C(X).
Với mỗi f ∈ C(X) ta có
f ∗ f = sup |f (x)f (x)| = sup |f (x)|2 =
x∈X

x∈X

sup |f (x)|
x∈X

Vậy, C(X) là C ∗ -đại số có đơn vị.
28

2

= f

2

.


(2) Giả sử H là không gian Hilbert phức. Ta đã biết L(H) là đại số Banach
các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H với chuẩn của ánh xạ tuyến tính
liên tục. Với mỗi f ∈ L(H), ký hiệu f ∗ là ánh xạ liên hợp của f . Khi đó,
từ các tính chất của ánh xạ liên hợp trong không gian Hilbert suy ra ánh xạ
f →f ∗ , với mọi f ∈ L(H) là phép đối hợp trên L(H).
Với mỗi f ∈ L(H) ta có f = f ∗ . Do đó

f ∗f ≤ f ∗ . f = f

2

.

(1)

Mặt khác với mọi x ∈ H, theo Định nghĩa của ánh xạ liên hợp và bất đẳng
thức Cauchy - Schwartz ta có
f (x)

2

= (f (x)|f (x)) = (x|f ∗ f (x)) ≤ x . f ∗ f (x)
= x 2. f ∗f .

Do đó
f (x) ≤
Kết hợp với (1) ta có f ∗ f = f

f ∗f . x ,

∀x ∈ H.

2.

Vậy L(H) là C ∗ -đại số.
2.2 ĐỊNH LÝ PHỔ
2.2.1 Định lý phổ ([4]). Giả sử a là một phần tử chuẩn tắc của C ∗ -đại

số có đơn vị, A = C ∗ (a) và Γ là phép biến đổi Gelfand của A. Khi đó
(a) Γ(a) là phép đồng phơi từ MA lên σ(a),
(b) Với mỗi f ∈ C(σ(a)) tồn tại duy nhất af ∈ A sao cho Γ(af ) = f (Γ(a)),
(c) Ánh xạ ρ : C(σ(a)) → A
f → af = Γ−1 (f ◦ Γ(a))

29


là đẳng cấu, đẳng cự và ρ(1) = e, ρ(id) = a, trong đó 1 là phần tử đơn vị của
C(σ(a)) còn id là ánh xạ đồng nhất trên σ(a).
Chứng minh. (a) Ta viết a thay cho Γ(a). Theo định nghĩa của phép biến
đổi Gelfand ta có a : MA → C với
a(Φ) = Φ(a), Φ ∈ MA .
Do đó, theo Định lý 1.4.11
a(MA ) = {a(Φ) : Φ ∈ MA } = σ(a).
Nói cách khác a(Φ)→ σ(a) là một toàn ánh.
Giả sử Φ1 , Φ2 , ∈ MA sao cho a(Φ1 ) = a(Φ2 ). Vì C ∗ (a) là C ∗ -đại số giao
hốn có đơn vị e nên theo Định lý Gelfand - Naimark thì a∗ = a. Do đó ta có
Φ1 (a∗ ) = a∗ (Φ1 ) = a(Φ1 ) = a(Φ2 ) = a∗ (Φ2 ) = Φ2 (a∗ ).
Như vậy Φ1 (a) = Φ2 (a) và Φ1 (a∗ ) = Φ2 (a∗ ). Từ đó và tính đồng cấu của
Φ1 , Φ2 suy ra Φ1 và Φ2 bằng nhau trên tập P(a, a∗ ) tất cả các đa thức của a
và a∗ . Mặt khác P(a, a∗ ) trù mật trong A (Mệnh đề 2.1.8) và Φ1 , Φ2 liên tục
nên Φ1 = Φ2 . Do đó a là một đơn ánh.
Vì a : MA →σ(a) là song ánh liên tục và MA là khơng gian compact cịn
σ(a) là T2 -khơng gian nên a là một ánh xạ đồng phôi.
(b) Với mỗi f ∈ C(σ(a)) thì f ◦ a ∈ C(MA ). Vì A là C ∗ đại số giao
hoán nên theo chứng minh của Định lý Gelfand - Naimark, phép biến đổi
Gelfand Γ : A→A là ánh xạ đẳng cấu, đẳng cự và C(MA ) = A. Do đó, từ
f ◦ a ∈ C(MA ) suy ra tồn tại duy nhất af ∈ A sao cho

af = Γ−1 (f ◦ a),
30


tức là
af = Γ(af ) = f ◦ a = f ◦ Γ(a).
(c) Theo chứng minh trong (b) ta xác định được ánh xạ ρ : C(σ(a))→A
bởi công thức ρ(f ) = Γ−1 (f ◦ a) = af , f ∈ C(σ(a)). Từ Γ là một đồng cấu
suy ra Γ−1 cũng là một đồng cấu, do đó ρ là đồng cấu.
Với mỗi b ∈ A, ta xác định f ∈ C(σ(a)) bởi công thức
f (λ) = b((a)−1 (λ)), λ ∈ σ(a).
Vì a là ánh xạ đồng phơi từ MA lên σ(a) và b liên tục nên f ∈ C(σ(a)). Mặt
khác f ◦ a = b nên ρ(f ) = b. Do đó, ρ là một tồn ánh.
Với mỗi f ∈ C(σ(a)) ta có
ρ(f ∗ ) = Γ−1 (f ∗ ◦ a) = Γ−1 (f ◦ a).
Mặt khác, theo Định lý Gelfand - Naimark ta có
Γ((Γ−1 (f ◦ a))∗ ) = Γ(Γ−1 (f ◦ a)) = f ◦ a = f ◦ a.
Do đó,
ρ(f ∗ ) = Γ−1 (f ◦ a) = (Γ−1 (f ◦ a))∗ = (ρ(f ))∗ .
Như vậy, ρ là đồng cấu.
Bây giờ, với mỗi f ∈ C(σ(a)) vì Γ đẳng cự và σ(a) = a(MA ) nên
ρ(f ) = Γ−1 (f ◦ a) = f ◦ a = sup |f (a(Φ)|
Φ∈MA

= sup |f (λ)| = f .
λ∈σ(a)

Như vậy, ρ là ánh xạ đẳng cự. Do đó ρ là đẳng cấu, đẳng cự.
Cuối cùng, với 1 ∈ C(σ(a)) ta có a1 = 1 ◦ a. Do đó ta có Φ(a1 ) = a1 (Φ) =
1(a(Φ)) = 1 với mọi Φ ∈ MA . Từ đó suy ra a1 = e ∈ A.

31


Vì aid = id ◦ a nên
aid (Φ) = id(a(Φ)) = a(Φ),

∀Φ ∈ MA .

Do đó aid = a. Vậy ρ(id) = aid = a.
2.2.2 Định lý (Định lý ánh xạ phổ) ([4]). Giả sử a là phần tử chuẩn tắc
của C ∗ -đại số A và f ∈ C(σ(a)). Khi đó f (σ(a)) = σ(f (a)), trong đó ta viết
f (a) thay cho ρ(f ) với ρ : C(σ(a))→ C ∗ (a) là đẳng cấu nói trong Định lý phổ.
Chứng minh. Theo Định lý phổ thì ρ là đẳng cấu giữa C(σ(a)) và C ∗ (a),
vì thế có thể đồng nhất mỗi g ∈ C(σ(a)) với phần tử ρ(g) := g(a) ∈ C ∗ (a).
Từ đó suy ra rằng với mỗi λ0 ∈ C thì f (a) − λ0 khả nghịch trong A khi và
chỉ khi f − λ0 khả nghịch trong C(σ(a)). Mặt khác, f − λ0 khả nghịch trong
C(σ(a)) khi và chỉ khi f (λ) = λ0 với mọi λ ∈ σ(a). Thật vậy, nếu f (λ) = λ0
với mọi λ ∈ σ(a) thì hàm
g(λ) =

1
,
f (λ) − λ0

λ ∈ σ(a)

là phần tử thuộc C(σ(a)) và g ◦ (f − λ0 ) = (f − λ0 ) ◦ g = 1, tức là f − λ0 khả
nghịch trong C(σ(a)).
Ngược lại, nếu tồn tại λ1 ∈ σ(a) sao cho f (λ1 ) = λ0 thì với mọi g ∈ C(σ(a))
đều có (g(f − λ0 ))(λ1 ) = 0, do đó (f − λ0 ) khơng khả nghịch trong C(σ(a)).

Như vậy f (a) − λ0 khả nghịch trong A khi và chỉ khi f (λ) = λ0 với mọi
λ ∈ σ(a). Từ đó suy ra f (σ(a)) = σ(f (a)).
2.3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PHỔ
Định lý 2.1.9 khẳng định rằng trong C ∗ -đại số, nếu a tự liên hợp thì
σ(a) ⊂ R. Câu hỏi được đặt ra ở đây là điều ngược lại có đúng không? Định
lý sau đây trả lời câu hỏi này.
32