Nghiên cứu một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy học phương trình và bất phương trình ở lớp đầu cấp trung học phổ thông trong những năm gần đây

1
Bộ giáo dục và đào tạo

Tr-ờng đại học vinh

Lê thị thúy

Nghiên cứu một số vấn đề về nội dung và ph-ơng pháp
dạy học ph-ơng trình và bất ph-ơng trình
ở lớp đầu cấp trung học phổ thông
trong những năm gần đây

Chuyên ngành:
lí luận và ph-ơng pháp dạy học bộ môn toán

60.14.10

MÃ số:

Luận văn thạc sĩ giáo dục học

Vinh, 2009


2

Mở đầu
1. Lí DO CHọN Đề TàI
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung -ơng Đảng
Cộng sản Việt Nam, Khóa VII (1993) đà chỉ rõ: ... Mục tiêu giáo dục - đào
tạo phải h-ớng vào đào tạo những con ng-ời lao động tự chủ, sáng tạo, có

năng lực giải quyết những vấn đề th-ờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực
thực hiện mục tiêu lớn của đất n-ớc là dân giàu, n-ớc mạnh, xà hội công
bằng, dân chủ, văn minh .
Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung -ơng Đảng Cộng
sản Việt Nam, Khóa VIII (1997) tiếp tục khẳng định: Phải đổi mới
ph-ơng pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện
thành nếp t- duy sáng tạo của ng-ời học. Từng b-ớc áp dụng các ph-ơng
pháp tiên tiến và ph-ơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều
kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho HS, nhất là sinh viên đại học ..
Các quan điểm trên đây đà đ-ợc pháp chế hoá trong Luật Giáo dục.
Điều 28.2 đà viết: Ph-ơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của
từng lớp học, môn học; bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, khả năng làm việc
theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến
tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thó häc tËp cho häc sinh ….”.
Nh- vËy, quan ®iĨm chung về đổi mới ph-ơng pháp dạy học đà đ-ợc
khẳng định. Cốt lõi của việc đổi mới ph-ơng pháp dạy học môn Toán hiện
nay ở tr-ờng THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động và sáng tạo,
chống thãi quen häc tËp thơ ®éng. Do ®ã, viƯc thiÕt kế những nội dung dạy
học cụ thể, nhằm quan tâm thích đáng tới các hoạt động của học sinh, tạo môi
tr-ờng để học sinh đ-ợc hoạt động tích cực là rất cần thiết.
1.2. Chủ đề Ph-ơng trình và Bất ph-ơng trình có vị trí quan trọng trong
ch-ơng trình môn Toán lớp 10 THPT; kiến thức và kỹ năng về chủ đề này
đóng vai trò nền tảng, xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp và có mặt nhiều
trong các kì thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; những kiến thøc vỊ Ph-¬ng


3
trình và Bất ph-ơng trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc
hầu hết các chủ đề kiến thức trong môn Toán bậc THPT.

1.3. Đáp ứng xu thế hội nhập thế giới, việc đổi mới Ch-ơng trình và
SGK các bậc học nói chung, bậc học phổ thông nói riêng cũng là một trong
những yêu cầu cần thiết. Từ những thập niên cuối của thế kỉ XX, nhiều quốc
gia đà chuẩn bị và triển khai cải cách giáo dục, tập trung vào giáo dục phổ
thông mà trọng điểm là cải cách ch-ơng trình và SGK. Ch-ơng trình của các
n-ớc đều h-ớng tới mục tiêu nâng cao chất l-ợng giáo dục, trực tiếp góp phần
cải thiện chất l-ợng nguồn nhân lực, nâng cao chất l-ợng sống của con ng-ời;
khắc phục tình trạng học tập nặng nề, căng thẳng gây mất hứng thú và niềm
tin đối với việc học tập của học sinh; . . .
Cùng với trào l-u đó, ch-ơng trình giáo dục, SGK phổ thông của Việt
Nam luôn đ-ợc cải cách, chỉnh lí. Quá trình cải cách đ-ợc tiến hành qua
nhiều lần, do đó dẫn đến sự thay đổi về nội dung, ph-ơng pháp trình bày.
Ch-ơng trình, SGK môn Toán những năm gần đây đà trải qua các lần
thay đổi nh-: Cải cách giáo dục, Thí điểm phân ban (lần thứ nhất), Chỉnh lí
hợp nhất năm 2000, Thí điểm phân ban lần gần đây và Ch-ơng trình hiện
hành. Nhìn chung, nội dung ch-ơng trình hiện hành đà đ-ợc tinh giản, tập
trung vào các kiến thức kĩ năng cơ bản và thiết thực, hình thức tổ chức dạy
học khá đa dạng. Tuy nhiên, đâu đó còn tồn tại những chỗ bất hợp lí về nội
dung và cách trình bày, thậm chí ch-a thật chuẩn xác.
Giữa các cuốn sách có sự khác nhau về nội dung và mức độ. Mặc dầu
các tác giả SGK đà cố gắng bộc lộ quan điểm để giáo viên hiểu dụng ý và dễ
sử dụng, nh-ng không phải mọi sự trình bày đà hoàn toàn thoả đáng, tồn tại
những vấn đề cần phải bàn thêm.
Vì ch-ơng trình và SGK liên tục có sự thay đổi, cho nên, ở nhiều chỗ
ngay bản thân giáo viên vẫn còn tồn tại những v-ớng mắc, thậm chí có những
kiến thức ch-a hẳn mọi giáo viên đà hiểu chắc chắn, chứ ch-a nói là dạy cho
học sinh hiểu sâu nh- thế nào.
1.4. Trong lĩnh vực Ph-ơng pháp dạy học môn Toán, các đề tài nghiên
cứu một cách cụ thể về ch-ơng trình và SGK để có những nhận xét và b×nh

4
luận; những đề xuất và kiến nghị về nội dung và ph-ơng pháp giảng dạy là
còn khá hiếm.
Vì những lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn
là: Nghiên cứu một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy học
Ph-ơng trình và Bất ph-ơng trình ở lớp đầu cấp Trung học phổ thông
trong những năm gần đây
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu để tìm hiểu, làm sáng tỏ một số thay đổi và điều chỉnh trong
cách trình bày kiến thức thuộc chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình ở các
SGK Đại số 10 những năm gần đây và hiện tại. Từ đó, đ-a ra những đánh giá và
nhận định về những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy các kiến thức này,
và trên cơ sở đó, đề xuất những cải tiến về nội dung và ph-ơng pháp dạy học
một cách phù hợp.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu tiến hành phân tích, so sánh và đối chiếu cách trình bày chủ đề
Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình trong các Sách giáo khoa Đại số lớp 10 (những
năm gần đây và hiện tại), thì có thể làm sáng tỏ những -u điểm và tồn tại trong
từng cuốn sách, từ đó đ-a ra ph-ơng án điều chỉnh về nội dung và lựa chọn
PPDH nhằm góp phần nâng cao chất l-ợng dạy học Toán ở lớp đầu cấp
tr-ờng Trung học phổ thông.
4. Ph-ơng pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lí luận:
- Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà n-ớc; các chủ tr-ơng và
chính sách của Bộ Giáo dục và Đào tạo có liên quan đến nhiệm vụ dạy học
Toán ở tr-ờng THPT.
- Nghiên cứu các tài liệu về lí luận dạy học bộ môn Toán có liên quan
đến đề tài.
- Nghiên cứu ch-ơng trình và nội dung SGK, sách bài tập, sách giáo

viên, tài liệu h-ớng dẫn giảng dạy, sách tham khảo về chủ đề Ph-ơng trình và
Bất ph-ơng trình ở lớp 10 THPT để rút ra các kết luận cần thiết.
4.2. Tìm hiểu, điều tra thực tiễn:


5
Quan sát, dự giờ, tổng kết kinh nghiệm dạy học chủ đề Ph-ơng trình
và Bất ph-ơng trình ở lớp 10 THPT.
4.3. Thực nghiệm s- phạm:
Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở tr-ờng THPT để b-ớc đầu
kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. So sánh, đối chiếu sách giáo khoa, sách giáo viên, tài liệu h-ớng
dẫn giảng dạy về chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình trong ch-ơng trình
Đại số 10 những năm gần đây và hiện tại để từ đó đ-a ra những bình luận cần
thiết.
5.2. Qua sự đối chiếu, so sánh đó, tìm ra những -u, nh-ợc điểm của
từng cách trình bày, những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học chủ đề
Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình thuộc ch-ơng trình Đại số 10 THPT.
5.3. Nghiên cứu, đề xuất những cải tiến về nội dung và ph-ơng pháp
dạy học chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình theo h-ớng phát huy tính tích
cực của học sinh, tăng c-ờng hoạt động cđa ng-êi häc.
5.4. Thùc nghiƯm s- ph¹m nh»m kiĨm chøng tính khả thi và hiệu quả
của những kiến nghị, đề xuất.
6. cấu trúc luận văn
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Giả thuyết khoa học
4. Ph-ơng pháp nghiên cứu

5. Nhiệm vụ nghiên cứu


6
Ch-ơng 1. Nghiên cứu nội dung, cách thức trình bày chủ đề Ph-ơng
trình, Bất ph-ơng trình ở các Sách giáo khoa Đại số 10 trong những năm
gần đây
1.1. Trong Sách giáo khoa Cải cách giáo dục ở những năm trong thập
niên 90.
1.2. Trong Sách giáo khoa Chỉnh lí hợp nhất năm 2000.
1.3. Trong Sách giáo khoa hiện hành.
1.4. Nhận định rút ra từ những sự đối chiếu và so sánh.
1.5. Kết luận Ch-ơng 1.
Ch-ơng 2. Một số vấn đề về nội dung và ph-ơng pháp dạy học chủ
đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình ở lớp 10
2.1. Một số quan điểm chung.
2.2. Những vấn đề cụ thể.
2.3. Sử dụng ph-ơng pháp dạy học.
2.4. Kết luận Ch-ơng 2.
Ch-ơng 3. Thực nghiệm s- phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm.
Kết luận
Tài liệu tham khảo


7
Ch-ơng 1

Nghiên cứu nội dung, cách thức trình bày chủ đề
Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình ở các Sách giáo
khoa Đại số 10 trong những năm gần đây
1.1. Trong Sách giáo khoa Cải cách giáo dục ở những năm trong
thập niên 90
1.1.1. Sách giáo khoa Đại số 10 d-ới sự Chủ biên của Ngô Thúc Lanh
(Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội)
Nội dung chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày trong
hai ch-ơng: Ch-ơng II - Ph-ơng trình và Ch-ơng III - Bất ph-ơng trình.
Chương Phương trình nhằm chính xác hoá khái niệm Ph-ơng trình
mà HS đà biết qua SGK Đại số 8, đồng thời nó giới thiệu cách giải và biện
luận các ph-ơng trình một ẩn bậc nhất và bậc hai, các hệ hai ph-ơng trình bậc
nhất hai ẩn, cách giải các hệ nhiều ph-ơng trình bậc nhất nhiều ẩn và một số
ph-ơng trình quy về bậc nhất, bậc hai.
ở các lớp d-ới HS đà biết cách giải các ph-ơng trình bậc nhất và bậc
hai, chủ yếu với hệ số bằng số; đà biết cách giải các hệ hai ph-ơng trình bậc
nhất hai ẩn với hệ số bằng số bằng các ph-ơng pháp thông th-ờng.
Ch-ơng trình Đại số 10 yêu cầu HS phải hiểu sâu sắc về ph-ơng trình,
biết cách giải và biện luận các ph-ơng trình một ẩn bậc nhất và bậc hai, các
hệ hai ph-ơng trình bËc nhÊt hai Èn cã tham sè.
Víi néi dung trªn, Chương Phương trình bao gồm bốn bài (Đ) sau:
Đ1. Các định nghĩa và định lí tổng quát
Đ2. Ph-ơng trình bậc nhất một ẩn
Đ3. Ph-ơng trình bậc nhất nhiều ẩn
Đ4. Ph-ơng trình bậc hai
SGK đà trình bày khái niệm ph-ơng trình theo quan điểm hàm số:
Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số có tập xác định theo thứ tự Df vµ
Dg. KÝ hiƯu D = Df  Dg. Ta hÃy tìm tất cả các số thực a D sao cho ta cã

8
đẳng thức số f(a) = g(a). Khi đó ta nói đẳng thức f(x) = g(x) (1) là một
ph-ơng trình một ẩn). D = Df Dg là tập xác định, x là ẩn, a là một nghiệm
của ph-ơng trình [22, tr. 47].
Nh- vậy, để hiểu sâu sắc về ph-ơng trình, HS cần nắm vững ý nghĩa
của dấu đẳng thức trong cách kí hiệu ph-ơng trình, cần phân biệt dấu đó với
dấu đẳng thức trong các đẳng thức số hoặc các hằng đẳng thức.
Các tác giả không đề cập đến khái niệm Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng
mà chỉ đề cập đến khái niệm Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D qua định
nghĩa:Cho hai ph-ơng trình: f1(x) = g1(x) (1) với tập xác định D1.
f2(x) = g2(x) (2) với tập xác định D2
và cho tập hợp D D1 D 2 .
Hai ph-ơng trình (1) và (2) đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng trên D, nếu
chúng có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) T D [22, tr. 50].
Nh- vậy, theo định nghĩa trên, hai ph-ơng trình

x 1x 2 

1
1
(1) vµ x  1x  2 = 0 (2)

x 1 x 1

là t-ơng đ-ơng trên tập D = R\ 1 vì trên D chúng có cùng tập nghiệm là 2,
nh-ng chúng không t-ơng đ-ơng trên R vì trên R số 1 là nghiệm của (2)
nh-ng không là nghiệm của (1).
Hai ph-ơng trình x 1 0 và x

1

1
đều có cùng tập hợp
1
x
x

nghiệm là 1 nh-ng chúng chỉ t-ơng đ-ơng trên tập D = R\ 0 .
Các phép biến đổi t-ơng đ-ơng trên D đ-ợc phát biểu qua hai định lí:
Định lí 1.Cho ph-ơng trình f(x) = g(x) (I) với tập xác định D = Df
Dg. Giả sử h(x) là một hàm số có tập xác định Dh D. Khi đó ph-ơng trình
f(x) + h(x) = g(x) + h(x) t-ơng đ-ơng trên D với ph-ơng trình (I)
Định lí 2.Cho ph-ơng trình f(x) = g(x) (I) với tập xác định D=Df Dg.
Giả sử h(x) là một hàm số có tập xác định Dh D và khác 0 trên D. Khi đó
ph-ơng trình f(x)h(x) = g(x)h(x) t-ơng đ-ơng trên D với ph-ơng trình (I) [22,
tr. 51-52].


9
Hai định lí đ-ợc chứng minh dựa vào tính chất cơ bản của đẳng thức số.
Khái niệm ph-ơng trình hệ quả và phép biến đổi dẫn tới ph-ơng trình
hệ quả không đ-ợc đề cập trong phần lí thuyết mà đ-a vào bài tập.
Các ph-ơng trình quy về bậc nhất, bậc hai đ-ợc giới thiệu ở đây gồm:
ph-ơng trình tích, ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu thức, ph-ơng trình chứa ẩn
d-ới dấu căn thức bậc hai, ph-ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
ph-ơng trình trùng ph-ơng.
SGK không đề cập đến lí thuyết tổng quát về hệ ph-ơng trình nh- đối
với ph-ơng trình mà chỉ trình bày các khái niệm nghiệm, hệ vô định, hệ vô
nghiệm đối với hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn.
ở lớp 9 HS đà đ-ợc học t-ơng đối kĩ về việc giải một hệ ph-ơng trình
bậc nhất hai ẩn với hệ số bằng số, HS đà biết sử dụng các ph-ơng pháp thế,

ph-ơng pháp cộng, ph-ơng pháp đồ thị. Vì vậy điều trọng tâm là mọi HS đều
phải nắm và vận dụng đ-ợc quy tắc thực hành để giải và biện luận một hệ hai
ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức.
SGK định nghĩa:Ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c
trong đó a, b, c là những số thực đà cho, x và y là ẩn [22, tr. 62].
Nếu theo định nghĩa này thì ph-ơng trình dạng 0x + 0y = c lµ mét

 ax  by c
ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn, Từ đó hệ ph-ơng trình ,
trong
,
,
a
x

b
y

c

tr-ờng hợp a = b = 0 hoặc a= b= 0 đ-ợc xem là hệ ph-ơng trình bậc nhất hai
ẩn. Quy tắc thực hành để giải và biện luận một hệ hai ph-ơng trình bậc nhất
hai ẩn đ-ợc trình bày nh- sau:
1) Tính định thức D.
2) Nếu D 0 thì áp dụng công thức Crame để tìm các giá trị của
nghiệm duy nhất.
3) Nếu D = 0 thì thay mỗi giá trị của tham biến làm cho D = 0 vào hệ
đà cho và lần l-ợt giải từng hệ t-ơng ứng [22, tr. 68].

10
0.x 0.y c
áp dụng quy tắc này khi giải hệ ph-ơng trình
nhiều HS
,
0.x

0.y

c


th-ờng tính ngay định thức D khi bắt đầu lời giải, đây là một sai lầm khá phổ
biến của HS trong các bài toán biện luận hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn.
Ngoài ra SGK còn giới thiệu hệ đối xứng loại một qua hai ví dụ.
Ch-ơng Bất ph-ơng trình nhằm mục đích định nghĩa và nghiên cứu các
tính chất của bất đẳng thức, chính xác hoá khái niệm bất ph-ơng trình và
trình bày ph-ơng pháp giải các bất ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai. ở các
lớp d-ới HS đà biết thứ tự trong tập hợp số nguyên Z và trong tập hợp số hữu
tỉ Q nh-ng thứ tự trong tập hợp số thực R thì không đ-ợc giới thiệu.
Với nội dung trên Chương Bất phương trình đ-ợc phân bố gồm bốn
bài: Đ1. Bất đẳng thức
Đ2. Bất ph-ơng trình
Đ3. Bất ph-ơng trình bậc nhất
Đ4. Bất ph-ơng trình bậc hai
Để đ-a ra định nghĩa của Bất đẳng thức, SGK đà xuất phát từ sự kiện:
Tập hợp các số thực R bao gồm các số d-ơng, các số âm và số 0; tổng và tích
các số d-ơng là d-ơng, nếu a là số d-ơng thì - a là số âm và ng-ợc lại. Quan
hệ Bất đẳng thức giữa các số thực đ-ợc định nghĩa qua tập hợp các số thực
d-ơng: Số thực a đ-ợc gọi là lớn hơn số thực b, kí hiệu là a > b, nếu hiệu a b là d-ơng. Khi đó ta cịng viÕt b < a vµ nãi: b nhá hơn a.

Các điều kiện a > b và b < a đ-ợc gọi là bất đẳng thức
Trong bất đẳng thức a > b (hoặc a < b) a gọi là vế trái, b là vế phải
Tiếp theo SGK trình bày khái niệm bất đẳng thức cùng chiều, bất đẳng
thức trái chiều và các bất đẳng thức a b, a b .
Căn cứ vào định nghĩa trên thì hai vế của bất đẳng thức là các số thực
nh-ng thực tế có những bất đẳng thức hai vế là các biĨu thøc chøa biÕn.
SGK ®-a ra 10 tÝnh chÊt cđa Bất đẳng thức, các tính chất đ-ợc chứng
minh chủ yếu là áp dụng định nghĩa; SGK còn trình bày 4 bất đẳng thức
thông dụng và các chứng minh trong đó có bất đẳng thức Côsi với hai số


11
không âm và bất đẳng thức Bunhiacôpki đối với bốn số thực, đồng thời nhấn
mạnh đến những ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Côsi có liên quan đến
chu vi và diện tích của hình vuông và hình chữ nhật.
Để định nghĩa Bất ph-ơng trình SGK vẫn giữ quan điểm hàm số nhđối với ph-ơng trình:Xét hai hàm số f(x) và g(x) trên tập xác định chung D =
Df Dg. của chúng. Ta hÃy tìm tất cả các sè thùc x0 D sao cho f(x0) > g(x0)
(hc f(x0) < g(x0)). Khi đó ta có bất ph-ơng trình f(x) > g(x) hoặc (f(x)<
g(x)" [22, tr. 103].
Hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D đ-ợc định nghĩa t-ơng tự nhhai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D.
Các định lí cơ bản về sự biến đổi t-ơng đ-ơng các bất ph-ơng trình
cũng t-ơng tự nh- các định lí t-ơng ứng về sự biến đổi t-ơng đ-ơng các
ph-ơng trình; khi ta nhân hai vế của một bất ph-ơng trình với một hàm số thì
hàm số đó ngoài điều kiện phải xác định và khác 0 trên D, còn phải giữ
nguyên một dấu trên D, nếu là dấu d-ơng thì không đổi chiều, nếu là dấu âm
thì phải đổi chiều của bất ph-ơng trình. Rất nhiều HS th-ờng quên điều này
dẫn tới mắc sai lầm khi giải bất ph-ơng trình.
Cách giải bất ph-ơng trình bậc nhất một ẩn đà đ-ợc đ-a vào ch-ơng
trình Đại số 8; đến lớp 10 HS phải nắm đ-ợc cách giải và biện luận các bất
ph-ơng trình bậc nhất một ẩn d-ới dạng tổng quát, bất ph-ơng trình bậc nhất

hai ẩn, hệ bất ph-ơng trình bậc nhất, nắm vững định lí về dấu của nhị thức
bậc nhất và những ứng dụng của nó.
SGK đà đ-a ra qui tắc thực tiễn của ph-ơng pháp khoảng và áp dụng
qui tắc đó vào việc giải các bất ph-ơng trình hữu tỉ.
Việc giải hệ bất ph-ơng trình bậc nhất đ-ợc áp dụng vào thực tế qua
giải bài toán qui hoạch tuyến tính.
Để giải bất ph-ơng trình bậc hai một ẩn phải áp dụng các kết quả thu
đ-ợc trong việc xét dấu của tam thức bậc hai; SGK đà đ-a ra cách giải tổng
quát, HS chỉ cần nắm vững để áp dụng vào các tr-ờng hợp cụ thể.
Để giải bài toán so sánh một số với hai nghiệm của ph-ơng trình bậc
hai cần vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, sau khi trình bày


12
nội dung định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai SGK đà tổng kết thành qui
tắc và đ-a ra ba vÝ dơ trong ®ã cã hai vÝ dơ chứa tham số. Các bài tập về tam
thức bậc hai chủ yếu đi sâu vào các bài tập chứa tham số.
1.1.2. Sách giáo khoa d-ới sự Chủ biên của Phan Đức Chính
Chủ đề Ph-ơng trình và Bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày trong 2
ch-ơng: Ch-ơng II. Ph-ơng trình - Hệ ph-ơng trình và Ch-ơng III. Bất đẳng
thức - Bất ph-ơng trình.
Chương Phương trình - Hệ phương trình gồm 7 bài (Đ) sau:
Đ1. Ph-ơng trình
Đ2. Phép giải và biện luận ph-ơng trình dạng ax + b = 0
Đ3. Phép giải và biện luận ph-ơng trình dạng ax2 + bx + c = 0
Đ4. Các hệ thức Viét và ứng dụng
Đ5. Hệ ph-ơng trình
Đ6. Hệ ph-ơng trình bậc nhất
Đ7. Hệ ph-ơng trình bậc hai
Chương Bất đẳng thức - Bất ph-ơng trình gồm 8 bài (Đ) sau:

Đ1. Bất đẳng thức
Đ2. Chứng minh bất đẳng thức
Đ3. Bất ph-ơng trình
Đ4. Bất ph-ơng trình bậc nhất chứa một ẩn
Đ5. Bất ph-ơng trình bậc hai chứa một ẩn
Đ6. Hệ bất ph-ơng trình
Đ7. Định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
Đ8. Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa căn bậc hai
Nh- vậy, tuy có sự trình bày khác nhau nh-ng về mặt nội dung kiến
thức chủ đề này ở hai cuốn sách không có sự khác biệt nhiều.
SGK trình bày định nghĩa tổng quát của ph-ơng trình thông qua khái
niệm đẳng thức Xem các đẳng thức (có thể ®óng hay sai) sau ®©y:
x
 x0
x 1
xyz  2 z 2  3

1
2


13
Các đẳng thức trên chứa một hay nhiều biến: x, y, z, ... Nếu phải tìm
giá trị của các biến để đẳng thức đ-ợc nghiệm đúng, thì ta nói ta có một
ph-ơng trình, khi đó mỗi biến đ-ợc gọi là một ẩn số. Tập hợp giá trị của các
ẩn làm cho các biểu thức ở hai vế của ph-ơng trình có nghĩa đ-ợc gọi là miền
xác định của ph-ơng trình ấy [2, tr. 43].
Nh- vậy khác với SGK của Ngô Thúc Lanh ở đây chỉ xét đến tr-ờng
hợp hai vế ph-ơng trình là các biểu thức, một tr-ờng hợp riêng của hàm số,
cụm từ tập xác định trong [22] đ-ợc thay bằng miền xác định.

SGK định nghià hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng nh- sau:
Hai ph-ơng trình đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng với nhau, nếu chúng có
cùng tập hợp nghiệm [2, tr. 45].
Khái niệm hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên tập D không đ-ợc đề cập
đến; Căn cứ định nghĩa trên thì hai ph-ơng trình

x 1x 2

1
1
(1) và x  1x  2  0 (2)

x 1 x 1

là không t-ơng đ-ơng, vì tập nghiệm của chúng không bằng nhau. Tuy nhiên
theo định nghĩa trong SGK do Ngô Thúc Lanh Chủ biên thì hai ph-ơng trình
này lại t-ơng đ-ơng trên tập D = R\ 1 .
Các phép biến đổi t-ơng đ-ơng đ-ợc trình bày trong ba định lí (không
chứng minh). SGK chỉ xét các phép biến đổi không làm thay đổi miền xác
định của ph-ơng trình.
Định lí 1. Nếu thực hiện các phép biến đổi đồng nhất ở từng vế của một
ph-ơng trình, mà không làm thay đổi miền xác định của ph-ơng trình, thì ta
đ-ợc một trình mới t-ơng đ-ơng
Định lí 2. Nếu cộng hay trừ vào hai vế của ph-ơng trình cùng một số
hoặc cùng một biểu thức mà không làm thay đổi miền xác định của ph-ơng
trình, thì ta đ-ợc một ph-ơng trình mới t-ơng đ-ơng
Định lí 3. Nếu nhân hoặc chia hai vế của một ph-ơng trình với cùng
một số khác 0, hoặc với cùng một biểu thứccó giá trị khác 0 trên miền xác
định của ph-ơng trình, và không làm thay đổi miền xác định ấy, thì ta đ-ợc
một ph-ơng trình mới t-ơng ®-¬ng” [2, tr. 45].

14
Có thể thấy rằng, điều kiệnkhông làm thay đổi miền xác định của
ph-ơng trình là điều kiện đủ nh-ng không phải là điều kiện cần. Nói
cách khác, nếu có điều kiện ấy thì các ph-ơng trình trong các Định lý là
t-ơng đ-ơng, còn nếu không có điều kiện ấy thì các ph-ơng trình có thể
t-ơng đ-ơng mà cũng có thể không t-ơng đ-ơng.
Ví dụ. Các ph-ơng trình x 2 0 (1) và x 2

1
1
(2) là t-ơng

x 1 x 1

đ-ơng, dù rằng phép biến đổi từ (1) sang (2) đà làm thay đổi miền xác định
của (1). Nh-ng ph-ơng trình (1) lại không t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình
x2

1
1
(3).

x2 x2

Tr-ớc khi trình bày khái niệm ph-ơng trình hệ quả SGK đ-a ra ba ví dụ
giúp HS ý thức đ-ợc những khả năng diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến
đổi ph-ơng trình.
Đối với các ph-ơng trình ax + b = 0, ax2 + bx + c = 0 trong tr-ờng hợp

a 0, SGK không định nghĩa các khái niệm ph-ơng trình bậc nhất, ph-ơng
trình bậc hai một ẩn.
Khi nghiên cứu về hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn SGK nhắc lại
ph-ơng pháp thế, ph-ơng pháp cộng đại số nh-ng không nêu định nghĩa và
đoán nhận đồ thị phép giải hệ này.
SGK do Ngô Thúc Lanh Chủ biên thì lí thuyết tổng quát về hệ ph-ơng
trình không đ-ợc trình bày một cách đầy đủ. ở đây các khái niệm liên quan
đến hệ ph-ơng trình đ-ợc trình bày đầy đủ trong Đ5. Ngoài việc nghiên cứu
các hệ ph-ơng trình bậc nhất SGK còn đề cập đến một số hệ ph-ơng trình bậc
hai nh-: hệ đối xứng loại một, hệ đối xứng loại hai, hệ có vế trái đẳng cấp
bậc hai và một số tr-ờng hợp mà khi giải cần xem xét đặc thù của hệ.
Về bất đẳng thức SGK định nghĩa: Giả sử A và B là hai biểu thức
bằng số (tr-ờng hợp đặc biệt A, B có thể là những số).
Mệnh đề: A lớn hơn B, kí hiệu d-ới dạng A > B đ-ợc gọi là một bất
đẳng thức; A, B đ-ợc gọi là các vế của bất đẳng thức ấy. Ng-ời ta cũng kí
hiệu mệnh đề trên d-ới dạng B < A, đọc là: B nhỏ h¬n A”


15
Nh- bất cứ mệnh đề nào trong toán học, bất đẳng thức A >B có thể
đúng hay sai. Vì vậy ng-ời ta qui -ớc: Khi nói về một bất đẳng thức mà không
chỉ rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng [2, tr. 79].
Theo sự trình bày trong SGK thì các bất đẳng thức a > b, a < b đ-ợc gọi
là bất đẳng thức ngặt. Các bất đẳng thức a b, a b gọi là bất đẳng thức suy
rộng; Bất đẳng thức liên quan tới giá trị tuyệt đối đựơc đ-a vào bài tập; Bất
đẳng thức Côsi với hai số không âm đ-ợc chứng minh bằng ph-ơng pháp đại
số và bằng ph-ơng pháp hình học.
Nh- vậy khái niệm bất đẳng thức đ-ợc định nghĩa bằng cách dùng
mệnh đề. Tuy nhiên, kiến thức về mệnh đề ch-a đ-ợc đề cập đến trong
ch-ơng trình Đại số 10, điều này sẽ gây khó khăn trong việc dạy và học bất

đẳng thức.
Lí thuyết tổng quát về bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày t-ơng tự nh- đối
với ph-ơng trình bao gồm định nghĩa, bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, bất
ph-ơng trình hệ quả. SGK định nghĩa bất ph-ơng trình nh- sau:
Xem các bất đẳng thức (có thể ®óng hay sai ) sau ®©y:
2x  x  3

1

1
2
 2
x 1 x  2
mx 2  2  x 3m

2
(3)

Nếu phải tìm cácgiá trị của x để bất đẳng thức đ-ợc nghiệm đúng, thì
ta nói ta có một bất ph-ơng trình, x đ-ợc gọi là ẩn số. Tập hợp các giá trị
của x làm cho các biểu thức ở hai vế của bất ph-ơng trình có nghĩa đ-ợc gọi
là miền xác định của bất ph-ơng trình ấy [2, tr. 94].
Căn cứ vào định nghĩa trên thì bất ph-ơng trình là một tr-ờng hợp riêng
của bất đẳng thức, các dÊu “<, >, ,  ” trong kÝ hiÖu bÊt phương trình chỉ có
tính chất hình thức. Các định lí cơ bản về sự biến đổi t-ơng đ-ơng các bất
ph-ơng trình cũng t-ơng tự nh- các định lí t-ơng ứng về sự biến đổi t-ơng
đ-ơng các ph-ơng trình đ-ợc trình bày trong ba định lí (không chứng minh),
SGK chỉ xét các phép biến đổi không làm thay đổi miền xác định của bất
ph-ơng trình.

16
Về bất ph-ơng trình bậc nhất chứa một ẩn SGK định nghĩa: Một bất
ph-ơng trình bậc nhất chứa một ẩn có dạng ax b 0 , hoặc ax  b  0 , hc
ax  b  0 , hc ax + b  0” [2, tr. 98].

Theo định nghĩa này trong tr-ờng hợp a = 0 vẫn đ-ợc xem là bất
ph-ơng trình bậc nhất một ẩn.
Ngoài việc chứng minh định lí dấu của nhị thức bậc nhất vµ dÊu cđa
tam thøc bËc hai b»ng suy diƠn SGK còn nêu minh hoạ hình học các định lí
bằng những hình ảnh trực quan. Điều này giúp HS dễ nhớ, dễ học, khắc sâu
kiến thức.
Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai đ-ợc phân bố thành một bài
riêng nên việc áp dụng định lí vào giải toán đ-ợc nghiên cứu kĩ qua sáu ví dụ.
SGK do Ngô Thúc Lanh Chủ biên không trình bày đại c-ơng về hệ bất
ph-ơng trình và chỉ nghiên cứu các hệ bất ph-ơng trình bậc nhất. ở đây lí
thuyết về hệ bất ph-ơng trình một ẩn đ-ợc trình bày trong Đ6, các tác giả còn
trình bày cách giải hệ gồm một bất ph-ơng trình bậc nhất và một bất ph-ơng
trình bậc hai một Èn qua c¸c vÝ dơ.
ViƯc xÐt dÊu c¸c biĨu thøc đ-ợc thực hiện bằng cách lập bảng, ph-ơng
pháp khoảng không đ-ợc giới thiệu.
Các ph-ơng trình, bất ph-ơng trình qui về bậc nhất và bậc hai ở đây chỉ
đề cập đến ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa ẩn d-ới dấu căn thức bậc hai.
Các ph-ơng trình, bất ph-ơng trình tích; ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa
ẩn ở mẫu thức; ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt
đối; bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn; hệ bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn
không đ-ợc trình bày.
1.1.3. Sách giáo khoa d-ới sự Chủ biên của Trần Văn Hạo (Hội
giảng dạy Toán thành phố Hồ Chí Minh)
Sự phân bố chủ đề này có khác với các SGK [2] và [22]; Tác giả trình

bày tất cả các vấn đề về bậc nhất trong ch-ơng II, ch-ơng III trình bày các
vấn đề về bậc hai. Cụ thể:
Ch-ơng II. Ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình, bất ph-ơng trình và hệ bất
ph-ơng trình bậc nhất,


17
Ch-ơng III. Ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình và bất ph-ơng trình bậc hai,
Các nội dung kiến thức ở hai ch-ơng cơ bản nh- hai SGK đà nêu.
Đại c-ơng về ph-ơng trình, bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày t-ơng tự
nh- trong SGK do Phan Đức Chính Chủ biên đó là khái niệm Ph-ơng trình
đ-ợc định nghĩa thông qua khái niệm đẳng thức, khái niệm Bất ph-ơng trình
đ-ợc định nghĩa thông qua khái niệm bất đẳng thức:đẳng thức f(x)=g(x)
trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức theo x, đ-ợc gọi là ph-ơng trình một
ẩn số, x đ-ợc gọi là ẩn số.
Giải ph-ơng trình f(x)=g(x) (1) là tìm tập hợp các giá trị x0 của x để
đẳng thức f(x0)=g(x0) đúng. Tập hợp các giá trị này đ-ợc gọi là tập hợp các
nghiệm của ph-ơng trình (1). Mỗi phần tử của tập hợp nghiệm này gọi là một
nghiệm của ph-ơng trình (1) [9, tr. 29].
Bất ph-ơng trình một ẩn số là bất đẳng thức có một trong các dạng
sau đây:
f(x) > g(x); f(x )< g(x); f(x)  g(x); f(x )  g(x)” [9, tr. 58].
Sau đó là các khái niệm ph-ơng trình và bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng,
ph-ơng trình và bất ph-ơng trình hệ quả.
Khác với [22] và [2], ở đây khái niệm tập xác định của ph-ơng trình và
bất ph-ơng trình không đ-ợc đề cập đến. Điểm khác tiếp theo là việc trình
bày phép biến đổi t-ơng đ-ơng th-ờng dùng trong giải ph-ơng trình:
Hai ph-ơng trình f(x) + h(x) = g(x) + h(x) (1) và f(x) = g(x) (2) là
t-ơng đ-ơng với điều kiện h(x) có miền xác định chứa các nghiệm của
ph-ơng trình (2) (*)

Hai ph-ơng trình f(x)=g(x) (1) và f(x)+h(x)=g(x)+h(x) (2) là t-ơng
đ-ơng với nhau nếu h(x) khác 0 với mọi x và có miền xác định R chứa giao
của hai miền xác định của f(x) và g(x) [9, tr. 31].
SGK không đ-a ví dụ minh hoạ cho các phát biểu trên.
Mệnh đề (*) nói chung không có tác dụng trong việc giải ph-ơng trình,
bởi chúng ta ch-a thể xác định đ-ợc các giá trị nghiệm của ph-ơng trình f(x)


18
= g(x), ®Ĩ cã thĨ kiĨm tra ®iỊu kiƯn “h(x) có miền xác định chứa các nghiệm
của ph-ơng trình (2)
Về ph-ơng trình bậc nhất một ẩn và hai ẩn, hệ hai ph-ơng trình bậc
nhất hai ẩn và giải các ph-ơng trình qui về bậc nhất có nội dung t-ơng tự nhtrong SGK do Ngô Thúc Lanh Chủ biên, ngoài ra còn thêm mục giải bài toán
bằng cách lập ph-ơng trình.
Khác với các SGK [2] và [22] hệ nhiều ph-ơng trình bậc nhất có nhiều
hơn hai ẩn không đ-ợc đề cập đến.
Bất đẳng thức đ-ợc định nghĩa: Bất đẳng thức là hệ thức có một trong
các dạng: A>B, Abiến số hoặc các số.
Các bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai
SGK còn trình bày khái niệm bất đẳng thức t-ơng đ-ơng, bất đẳng thức
hệ quả: Bất đẳng thức R và S gọi là t-ơng đ-ơng (ta viết R S) nếu R đúng
thì S đúng và đảo lại nếu S đúng thì R đúng.
Bất đẳng thức S gọi là hệ quả của bất đẳng thức R (ta viết R S) nếu R
đúng thì S đúng [ 9, tr. 40].
Các định lí cơ bản về sự biến đổi t-ơng đ-ơng các bất ph-ơng trình
không đ-ợc đề cập đến, SGK ghi chú: Khi giải một bất ph-ơng trình, bằng
cách sử dụng tính chất của bất đẳng thức t-ơng đ-ơng, ta thay bất ph-ơng
trình này lần l-ợt bởi các bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với nó [9, tr. 59].
Thực tế khi giải bất ph-ơng trình ta chỉ sử dụng một số phép t-ơng

đ-ơng trong khi đó tính chất của bất đẳng thức thì nhiều. Vì vậy nếu SGK
phát biểu thành các định lí nh- các SGK khác đà trình bày thì rất thuận lợi
cho HS trong quá trình giải toán.
Ngoài việc trình bày các tính chất cơ bản của bất đẳng thức cùng các
chứng minh, bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm, bất đẳng thức
Bunhiacôpki, bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối SGK còn trình bày bất
đẳng thức Côsi với 4 số không âm, bất đẳng thức Becnuli và hai ph-ơng pháp
th-ờng dùng ®Ĩ chøng minh bÊt ®¼ng thøc.


19
Ph-ơng pháp khoảng đ-ợc minh hoạ qua một ví dụ, cơ sở lí thuyết của
ph-ơng pháp này không đ-ợc trình bày nh- trong [22].
Trong SGK của Ngô Thúc Lanh (1998) bất ph-ơng trình bậc nhất hai
ẩn x và y chỉ là các bất ph-ơng trình có một trong các dạng: ax  by  c  0
ax  by  c 0 , a và b không đồng thời bằng 0, thì ở đây ngoài hai dạng trên

còn thêm hai d¹ng: ax  by  c  0 , ax  by  c  0 trong ®ã a, b, c là những số
thực đà cho.
Sau định nghĩa tổng quát về hệ ph-ơng trình bậc hai hai ẩn, SGK trình
bày cách giải các hệ đối xứng loại một và hệ ph-ơng trình đẳng cấp bậc hai,
hệ đối xứng loại hai không đ-ợc đề cập đến.
Định lý về dấu tam thức bậc hai vừa đ-ợc chứng minh bằng suy diễn,
vừa đ-ợc biểu diễn hình học nh- trong SGK do Phan Đức Chính Chủ biên .
Trong việc so sánh một số với hai nghiệm của ph-ơng trình bậc hai các
tác giả chỉ nêu và chứng minh định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, không
trình bày hệ quả của định lí.
Nh- vậy, trong cùng một thời điểm nh-ng các SGK lại có sự khác nhau
về l-ợng kiến thức, cách trình bày và thứ tự các kiến thức; điều này cũng dễ
hiểu vì mỗi nhóm tác giả có một quan điểm riêng khi viết SGK.

1.2. Trong Sách giáo khoa Chỉnh lí hợp nhất năm 2000
Trong đợt chỉnh lí hợp nhất ba bộ sách Toán thành một bộ sách dùng
chung cho cả n-ớc, theo tinh thần giảm tải mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đà đề
ra SGK Đại số 10 đà bỏ các bất đẳng thức Bunhiacôpki, bất đẳng thức
Becnuli, giảm bớt các bài tập biện luận theo tham số (đặc biệt đối với ph-ơng
trình và bất ph-ơng trình bậc hai), các bài tập về ph-ơng trình chứa căn phức
tạp. Tăng c-ờng các bài tập áp dụng lí thuyết, rèn luyện kĩ năng. Điểm mới
của Đại số 10 (Chỉnh lý hợp nhất) so với Đại số 10 (CCGD) là đ-a thêm nội
dung Mệnh đề và suy luận toán học ở đầu năm học, điều đó đà đ-ợc lý giải
nh- sau: Một trong những thiếu sót của ch-ơng trình CCGD năm 1989 là
thiếu khái niệm mệnh đề và các suy luận toán học. Trong ch-ơng trình môn
Toán ở các lớp d-ới đà sử dụng th-ờng xuyên các khái niệm định lí, định lí
đảo, đôi lúc cũng đà sử dụng phép chứng minh b»ng ph¶n chøng, cịng nh- sư


20
dụng các phép biến đổi t-ơng đ-ơng, sử dụng kí hiệu mà ch-a có lần nào
đ-ợc trình bày một cách rõ ràng. Đến đầu cấp phổ thông trung học, ch-ơng
trình môn Toán muốn chính xác hoá các khái niệm đó, cũng nh- trình bày
một cách chặt chẽ các khái niệm ph-ơng trình, bất ph-ơng trình. Muốn làm
đ-ợc điều này không thể không đ-a vào ch-ơng trình các yếu tố sơ đẳng của
lôgic toán, cụ thể là lôgic mệnh đề và vị từ (mà ta gọi là mệnh đề chứa biến)
[6, tr. 14].
Chủ đề Ph-ơng trình - Bất ph-ơng trình đ-ợc phân bố t-ơng tự trong
sách của Trần Văn Hạo (1990): Ch-ơng III trình bày tất cả các vấn đề về bậc
nhất; ch-ơng IV trình bày các vấn đề về bậc hai. Tài liệu h-ớng dẫn giảng
dạy 10 viết: Nh- thế ta có thể sử dụng các kết quả về bất ph-ơng trình bậc
nhất khi biện luận các tr-ờng các tr-ờng hợp đơn giản của ph-ơng trình bậc
hai [6, tr. 35].
Nội dung của mỗi ch-ơng nói chung không có gì thay đổi ngoại trừ

cách trình bày một số vấn đề có đơn giản hơn nh- lí thuyết về Ph-ơng trình,
bất ph-ơng trình, bất đẳng thức.
Sau khi có khái niệm mệnh đề, mệnh đề chứa biến ở Đ1 ch-ơng I SGK
định nghĩa ph-ơng trình thông qua mệnh đề chứa biến:
Cho hai hàm sè y = f(x) vµ y = g(x) cã tËp xác định lần l-ợt là Df và
Dg. Đặt D = Df Dg.
Mệnh đề chứa biến x D có dạng f(x) = g(x) (1) đ-ợc gọi là ph-ơng
trình một ẩn, x gäi lµ Èn sè. D= Df  Dg gäi là tập xác định (hay miền xác
định) của ph-ơng trình (1) [10, tr. 48].
Các khái niệm Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, ph-ơng trình hệ quả
đ-ợc định nghĩa t-ơng tự trong sách của Trần Văn Hạo(1990), sách của Phan
Đức Chính (1999): Hai ph-ơng trình đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng khi chúng có
tập tập nghiệm bằng nhau (có thể rỗng)
Một phương trình gọi là hệ quả của một phương trình cho trước nếu
tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của ph-ơng trình ®· cho” [10, tr. 48-50].


21
Khi trình bày khái niệm Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D, SGK Đại
số 10, Chỉnh lý hợp nhất năm 2000, ấn hành tháng 6/2000 [10, tr. 49], viết:
Trong trường hợp hai phương trình có cùng tập xác định D và có tập nghiệm
bằng nhau, ta nói hai ph-ơng trình đó t-ơng đ-ơng trên D.
Tài liệu h-ớng dẫn giảng dạy Toán 10 viết: Cần chú ý rằng khi định
nghĩa hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng ta không đề cập đến việc tập xác định
của chúng có trùng nhau hay không. Còn nếu chúng có cùng một tập xác
định là D thì ta nói hai ph-ơng trình đó t-ơng đ-ơng trên D [6, tr. 35].
ThÕ nh-ng qua lêi gi¶i nhiỊu vÝ dơ mẫu trong sách (chẳng hạn Ví dụ 1 tr.
84, Ví dụ 2 tr.123, ...) đà cho thấy: hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D
không nhất thiết chúng có cùng tập xác định là D!.
Còn SGK Đại số 10, Chỉnh lý hợp nhất năm 2000, tái bản lần thứ nhất,

ấn hành tháng 4/2001 cũng định nghĩa khái niệm hai ph-ơng trình t-ơng
đ-ơng trên D nh- trong [10], chỉ khác ở chỗ: thay cụm từ có cùng tập xác
định D bởi cùng xác định trên D.
Nếu tác giả của SGK quan niệm hai cụm từ hai ph-ơng trình có cùng tập
xác định D và hai ph-ơng trình cùng xác định trên D là một, thì [10] với [11]
hoàn toàn giống nhau, và đều mắc phải sự thiếu nhất quán nh- trong các ví
dụ nêu trên. Còn nếu tác giả của SGK phân biệt hai cụm từ này, thì nh- vậy
có nghĩa là, cụm từ hai ph-ơng trình cùng xác định trên D đ-ợc dùng trong
[11] đà đ-ợc hiểu theo nghĩa: tập xác định của mỗi ph-ơng trình đều chứa D,
và khi đó định nghĩa trong [11] trở thành: Trong trường hợp hai phương
trình đều có tập xác định chứa D và có tập nghiệm bằng nhau, ta nói hai
phương trình đó tương đương trên D (*).
Tác giả Nguyễn Văn Thuận nhận xét Theo quan điểm của Lôgic học
thì (*) không thể xem là một định nghĩa. Thật vậy: nếu ta xét hai ph-ơng trình
(1) và (2) với tập xác định lần l-ợt là D1 và D2 , với tập nghiệm lần l-ợt là N1
và N2, còn D là tập bị chứa trong D1 lẫn D2, thế thì N1 và N2 đâu có chịu sự
chi phối gì của D (mà chỉ chịu sự chi phèi N1  X1 , N2  X2 th«i), viÖc N1 =


22
N2 chẳng nói lên một điều gì liên quan tới D, nói cách khác trong (*) không
phản ánh lên đ-ợc cái đặc tr-ng của D [36, tr. 97].
Sau hai định lí về phép biến đổi t-ơng đ-ơng SGK còn trình bày một
phép biến đổi hệ quả đó là: Bình ph-ơng hai vế của một ph-ơng trình cho
tr-ớc ta đ-ợc một ph-ơng trình mới là hệ quả của ph-ơng trình đà cho
Một điều khác so với các SGK [22], [9] là khái niệm ph-ơng trình bậc
nhất hai ẩn x,y chỉ đề cập đến các ph-ơng trình mà hệ số của x và y không
đồng thời bằng 0. Dẫn đến định nghĩa hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn cũng
có sự thay đổi: Hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng
ax  by  c

 ,
,
,
a x  b y c

5
6

trong đó (5) và (6) là những ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn, x và y đ-ợc gọi là
ẩn số (a và b không đồng thời bằng 0, a và b không đồng thời bằng 0)
Để trình bày khái niệm bất đẳng thức SGK nhắc lại khái niệm số thực
âm, số thực d-ơng đà biết ở lớp d-ới. Khái niệm bất đẳng thức đ-ợc định
nghĩa bằng cách dùng mệnh đề:
Định nghĩa 1.Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, kí hiệu a>b, nếu a-b
là một số d-ơng, tức là a b > 0. Khi đó ta cịng kÝ hiƯu b a >b  a–b>0
NÕu a>b hc a=b, ta viÕt a  b . Ta cã a  b  a  b  0
Định nghĩa 2.Các mệnh đề a b , “a  b”, “a < b” ,” a  b” đ-ợc gọi
là các bất đẳng thức
Các khái niệm bất đẳng thức t-ơng đ-ơng, bất đẳng thức hệ quả đ-ợc
định nghĩa t-ơng tự trong SGK của Trần Văn Hạo (1990).
Nh- vậy t-ơng tự SGK của Ngô Thúc Lanh (1998) ở đây các tác giả
chỉ trình bày khái niệm bất đẳng thức có hai vế là các số thực, ch-a xét đến
tr-ờng hợp hai vế là các biểu thức chứa biến, ph-ơng pháp hình học chứng
minh bất đẳng thức Côsi với hai số không âm không đ-ợc giới thiệu;
T-ơng tự khái niệm ph-ơng trình, SGK định nghĩa bất ph-ơng trình
một ẩn là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) > g(x) trong ®ã f(x) vµ g(x) lµ hai


23

hàm số đà cho. Khái niệm Hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng đ-ợc định nghĩa
t-ơng tự nh- khái niệm Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, khái niệm hai bất
ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D không đ-ợc đề cập đến. Tuy nhiên ở đây có
sự thiếu nhất quán nh- đối với ph-ơng trình đó là lời giải nhiều ví dụ mẫu
(chẳng hạn VÝ dô 2 tr. 85, VÝ dô 3 tr. 86, ...) đà cho thấy: hai bất ph-ơng trình
chỉ cùng tập nghiệm khi xét trên D
Các định lí cơ bản về sự biến đổi t-ơng đ-ơng các bất ph-ơng trình
đ-ợc trình bày t-ơng tự trong SGK của Ngô Thúc Lanh (1998); Kết luận về
dấu của nhị thức bậc nhất đ-ợc thể hiện bằng bảng xét dấu; Ph-ơng pháp
khoảng không đ-ợc đề cập đến.
Về hệ ph-ơng trình bậc hai SGK chỉ đề cập đến hệ đối xứng loại I.
Định lý về dấu tam thức bậc hai đ-ợc chứng minh bằng suy diễn,
không có hình vẽ minh hoạ, do yêu cầu giảm tải nên các bài tập chủ yếu bằng
số, những bài tập phải biện luận đều có hệ số của x2 lớn hơn 0.
Lí thuyết về Định lí đảo về dấu tam thức bậc hai ở đây không có sự
thay đổi về nội dung và cách trình bày, tuy nhiên về bài tập SGK không đề
cập đến các bài so sánh nghiệm phức tạp, chẳng hạn bỏ hẳn các bài tập dẫn
tới phải lập bảng xét dấu các đại l-ợng a, , f (), f ( ) ...
1.3. Trong S¸ch gi¸o khoa hiện hành
Trong lần phân ban thí điểm hiện nay, tồn tại hai bộ SGK Đại số 10 :
- SGK Đại số 10 Nâng cao của nhóm tác giả do Đoàn Quỳnh Tổng Chủ
biên, Nguyễn Huy Đoan Chủ biên là bộ sách dùng cho ban Ban Khoa học tự nhiên.
- SGK Đại số 10 của nhóm tác giả do Trần Văn Hạo Tổng chủ biên, Vũ
Tuấn Chủ biên là bộ sách dùng cho ban Ban Cơ bản (còn gọi là theo ch-ơng trình
chuẩn)
Hai bộ sách này đ-ợc sử dụng bắt đầu từ năm học 2006 - 2007.
Nếu nh- các SGK tr-ớc đây còn mang tính hàn lâm: thông báo kiến
thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ, đ-a ra nhiều các bài toán khó
nên còn thiếu tính s- phạm, SGK ch-a thể hiện đ-ợc ph-ơng pháp dạy học
tích cực thì ở lần thay sách này SGK mới đ-ợc biên soạn theo tinh thần: Sát

thực- trực quan - nhẹ nhàng - đổi mới [9, tr. 30]. Các bài học đ-ợc thiÕt kÕ


24
sát với thực tiễn giảng dạy, chú trọng các ví dụ và bài tập sát với thực tiễn đời
sống và gắn với các môn khoa học khác. Sách chú trọng việc tiếp cận kiến
thức bằng ph-ơng pháp trực quan nhằm giảm tính hàn lâm và đơn giản hoá
những vấn đề phức tạp. Hầu hết các khái niệm đều đ-ợc hình thành trên cơ sở
dẫn dắt từ những ví dụ và mô tả khái niệm, hạn chế các ví dụ và bài tập phức
tạp. Chẳng hạn, không yêu cầu giải các ph-ơng trình, bất ph-ơng trình vô tỉ
và hệ ph-ơng trình bậc hai có chứa tham số. Đặc biệt bỏ định lí đảo về dấu
cuả tam thức bậc hai. Sách không trình bày chi tiết lại các kiến thức HS đÃ
học ở lớp d-ới, số l-ợng bài tập vừa phải. Để giúp HS làm quen với cách
kiểm tra trắc nghiệm khách quan, cuối mỗi ch-ơng của SGK đều có bài tập
loại này. Cấu trúc cả hai bộ SGK đều có trang mở đầu ở mỗi ch-ơng, giới
thiệu nội dung nội dung và yêu cầu chủ yếu của ch-ơng; có các Bài đọc
thêm và Em có biết nhằm kích thích HS hứng thú trong học Toán. Các
hoạt động xen kẽ trong từng phần của bài học là gợi ý giúp GV có những ý
t-ởng trong đổi mới ph-ơng pháp dạy học, tạo điều kiện tăng c-ờng tính chủ
động của HS trong giờ học. sách còn có những bài h-ớng dẫn sử dụng máy
tính điện tử cho từng chủ đề. ở cuối mỗi cuốn sách có thêm bảng tra cứu các
thuật ngữ trong SGK và bảng trả lời đáp số các bài tập, nhằm giúp HS tự học
tốt hơn. Các kênh hình đ-ợc sử dụng góp phần làm cho sách đ-ợc trình bày
đẹp hơn, hấp dẫn hơn.
Hầu hết các kiến thức thuộc Chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình
đ-ợc đề cập đến ở hai cuốn sách là nh- nhau. Tuy nhiên mức độ yêu cầu của
các ban là khác nhau: So với SGK Đại số 10 theo Ch-ơng trình Chuẩn, SGK
Đại số 10 Nâng cao thể hiện yêu cầu cao đối với mức độ hiểu biết các kiến
thức đ-ợc đề cập, cũng nh- mức độ vận dụng các kiến thức đó.
1.3.1. Sách giáo khoa Đại số 10 theo Ch-ơng trình Chuẩn

Ch-ơng trình Đại số 10 gồm sáu ch-ơng, 53 tiết. Trong đó chủ đề
Ph-ơng trình và bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày trong 2 ch-ơng: Ch-ơng III.
Ph-ơng trình-Hệ ph-ơng trình (9 tiết) và ch-ơng IV. Bất đẳng thức, Bất
ph-ơng trình (15 tiết).


25
Chương Phương trình - Hệ phương trình nhằm hình thành cho HS
khái niệm ph-ơng trình một cách chính xác theo quan điểm của mệnh đề
chứa biến và những khái niệm liên quan nh- điều kiện của ph-ơng trình,
ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, ph-ơng trình hệ quả. Ôn tập và rèn luyện cho HS
cách giải và biện luận các ph-ơng trình dạng ax + b = 0, ax2 + bx + c = 0, các
ph-ơng trình qui về bậc nhất, bậc hai ẩn, hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn và
ba ẩn.
SGK định nghĩa: Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x)
= g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế
trái, g(x) là vế phải của ph-ơng trình (1) [4, tr. 53].
Nh- vậy cùng định nghĩa ph-ơng trình thông qua mệnh đề chứa biến
nh-ng trong SGK của Trần Văn Hạo (2000), của Nguyễn Huy Đoan (2006) thì
f(x) và g(x) là các hàm số của x; SGK không nêu khái niệm tập xác định của
ph-ơng trình mà nêu điều kiện của ph-ơng trình. Về điều này SGV Đại số 10
theo ch-ơng trình chuẩn viết:Việc gắn mỗi ph-ơng trình với một tập xác định
đôi khi rất phiền phức, thậm chí có những ph-ơng trình việc giải điều kiện để
tìm ra tập xác định còn phức tạp hơn việc tìm nghiệm của ph-ơng trình đó.
Hơn nữa đối với những ph-ơng trình dạng ax  b  0 hc ax 2  bx c 0 không
có điều kiện nào đối với ẩn x (nên không phải viết gì cả) trong khi nếu viết
tập xác định ta vẫn phải ghi D=R. Cuối cùng, việc thực hiện các phép biến
đổi t-ơng đ-ơng trên tập xác định D đôi khi khá rắc rối. Vì vậy SGK thiên về
xu h-ớng mở, nghĩa là sau khi viết điều kiện có thể không cần giải để xác
định tập các số thoả mÃn điều kiện. Đến ph-ơng trình cuối khi giải đ-ợc

nghiệm, ta phải loại bỏ nghiệm ngoại lai bằng cách kiểm tra điều kiện và
thay vào ph-ơng trình kiểm tra nghiệm [13, tr. 36].
Tuy nhiên, ph-ơng pháp kiểm tra nghiệm sẽ gặp không ít khó khăn nếu
nghiệm là số cồng kềnh và khó thử bởi ph-ơng trình chứa phép toán logarit,
khai căn.
SGK Đại số 10, ấn hành tháng 2/2008 viết: Khi giải ph-ơng trình (1)
ta cần l-u ý tíi ®iỊu kiƯn cđa Èn sè x ®Ĩ f(x) vµ g(x) cã nghÜa (tøc lµ mäi