Toán tử compact trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
——————
—————–

——————–
——————

NGUYỄN THỊ MINH NGỌC

TỐN TỬ COMPACT
TRONG KHƠNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
——————
—————–

——————–
——————

NGUYỄN THỊ MINH NGỌC

TỐN TỬ COMPACT
TRONG KHƠNG GIAN HILBERT

Chun ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS.TS. ĐINH HUY HOÀNG

VINH - 2009


MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. Tốn tử compact giữa các khơng gian định chuẩn . . . . . 4
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Toán tử compact giữa các không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Phổ của toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. Toán tử compact giữa các không gian Hilbert . . . . . . . . 22
2.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Toán tử compact trên không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn
đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.3 Biểu diễn Schmidt và toán tử Hilbert - Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

1

LỜI NĨI ĐẦU
Giải tích hàm đóng vai trị quan trọng trong giải tích và nhiều lĩnh vực
khác của Tốn học. Một trong những hướng nghiên cứu chính của giải tích
hàm là lý thuyết toán tử. Lý thuyết toán tử giúp cho việc nghiên cứu sâu hơn
các không gian định chuẩn, đặc biệt là khơng gian Hilbert. Theo đó, việc mở
rộng kết quả của ánh xạ (toán tử) compact cũng được phát triển một bước
và đã đưa ra cho chúng ta nhiều kết quả thú vị. Mục đích của chúng tơi là
tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của tốn tử compact trong khơng gian
định chuẩn nói chung và trong khơng gian Hilbert nói riêng. Trong đó chú
trọng tới phổ của các toán tử compact và mối quan hệ giữa toán tử compact,
toán tử Hilbert - Schmidt và toán tử hạch trong khơng gian Hilbert.
Với mục đích đó luận văn được trình bày thành hai chương
Chương 1. Tốn tử compact giữa các không gian định chuẩn
Phần đầu của chương này dành cho việc hệ thống lại một số kiến thức cơ
bản cần dùng trong luận văn.
Trong phần tiếp theo, chúng tơi trình bày các khái niệm và tính chất cơ
bản của tốn tử compact trong khơng gian định chuẩn.
Sau đó, chúng tơi trình bày một số đặc trưng của phổ của các tốn tử
compact trong khơng gian Banach.
Chương 2. Tốn tử compact giữa các không gian Hilbert
Đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về không
gian Hilbert mà chúng cần dùng về sau.
Sau đó chúng tơi trình bày một số tính chất của tốn tử compact trên
khơng gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn đếm được. Các kết quả ở đây chủ yếu
được các tài liệu tham khảo đưa ra dưới dạng bài tập.
Phần cuối của chương này dành cho việc trình bày biểu diễn Schmidt của
tốn tử compact, tính chất và mối quan hệ của các toán tử compact, Hilbert
- Schmidt và tốn tử hạch giữa các khơng gian Hilbert.

Các kết quả trình bày trong luận văn chủ yếu là đã có trong các tài liệu
2


tham khảo. Chúng tơi tổng hợp, trình bày lại, chứng minh chi tiết một số kết
quả trong các tài liệu không chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt như: Mệnh
đề 2.3.8, Nhận xét 1.2.2, Hệ quả 1.2.7, Mệnh đề 1.2.13, Mệnh đề 1.2.15, Hệ
quả 2.3.5. Chứng minh một số kết quả mà chúng là các bài tập trong các tài
liệu tham khảo như Bổ đề 2.2.1, Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Định lý 2.2.4.
Bên cạnh đó chúng tơi cũng đưa ra và chứng minh Nhận xét 2.3.11, Định lý
2.3.12 và Định lý 2.3.17.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự
hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Đinh Huy Hồng. Nhân dịp này
tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy giáo hướng
dẫn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy giáo,
cơ giáo trong khoa Tốn, khoa đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh và
các bạn bè, đồng nghiệp, và gia đình đã quan tâm giúp đỡ chỉ bảo tôi trong
suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và
thời gian nên luận văn chắc chắn khơng tránh khỏi có những thiếu sót. Tác
giả rất mong nhận được những góp ý chỉ bảo của thầy giáo, cô giáo, bạn bè
và các đồng nghiệp để từ đó có thể bổ sung, sửa chữa và hoàn thành luận văn
tốt nhất.
Vinh, tháng 12 năm 2009
Tác giả

3

CHƯƠNG 1

TỐN TỬ COMPACT
GIỮA CÁC KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Trong phần này, ta đưa ra các khái niệm, các tính chất cơ bản cùng với
các cơng thức sử dụng trong tồn bộ luận văn. Các khái niệm, các tính chất
cơ bản đã được trình bày trong các tài liệu tham khảo của luận văn.
Trong suốt luận văn, ký hiệu K là trường vô hướng (K = R hoặc K = C),
(xn )n hoặc (xn ) là dãy có số hạng tổng quát là xn , từ "ánh xạ" và "toán tử"
là cùng một nghĩa.
1.1.1 Định nghĩa. (i) Giả sử E là một K-không gian vectơ. Một chuẩn
trên E là một hàm x → x từ E vào R thỏa mãn các điều kiện sau với mọi
x, y thuộc E, mọi λ thuộc K.
(1) x ≥ 0, x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;
(2) λx = |λ| x ;
(3) x + y ≤ x + y .
(ii) Không gian tuyến tính E cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không
gian định chuẩn.
1.1.2 Định nghĩa. Không gian định chuẩn E được gọi là không gian
Banach nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ.
1.1.3 Định lý. Giả sử f là một ánh xạ tuyến tính từ khơng gian định chuẩn
E vào khơng gian định chuẩn F. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
(a) f là liên tục đều;
(b) f là liên tục;
(c) f liên tục tại điểm 0 ∈ E;
(d) f bị chặn, tức là tồn tại số k > 0 sao cho f (x) ≤ k x với mọi x ∈ E.
4

1.1.4 Mệnh đề. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn trên cùng
một trường K. Ký hiệu L(E, F ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục
từ E vào F. L(E,F) là khơng gian vectơ con của K-không gian vectơ L(E, F )
tất cả các ánh xạ tuyến tính từ E vào F. Với mỗi f ∈ L(E, F ), đặt
f = inf{k : f (x) ≤ k x

với mọi x ∈ E}.

(1)

1.1.5 Bổ đề. 1) Nếu f ∈ L(E, F ) thì
f = sup
x∈E
x=0

f (x)
= sup
x
x∈E

x ≤1

f (x) = sup

f (x) .

x∈E
x =1

2) Công thức (1) xác định một chuẩn trên L(E,F).

1.1.6 Chú ý. (i) Từ công thức (1) ở Mệnh đề 1.1.4, mọi f ∈ L(E, F ) có
f (x) ≤ f . x ,

∀x ∈ E.

(ii) Nếu f là ánh xạ tuyến tính từ E vào F và k là hằng số thỏa mãn
f (x) ≤ k x ,

∀x ∈ E

thì f là liên tục và f ≤ k.
Ta viết E ∗ thay cho L(E, K).
1.1.7 Định lý. Nếu F là khơng gian Banach thì khơng gian L(E,F) là
Banach.
1.1.8 Định nghĩa. Không gian con thực sự H của không gian định chuẩn
E được gọi là siêu phẳng trong E nếu F là một khơng gian con của E chứa
H thì hoặc F = H hoặc F = E.
1.1.9 Định lý. H là siêu phẳng của E nếu và chỉ nếu H = f −1 (0) với một
phiếm hàm tuyến tính nào đó f ∈ E ∗ = L(E, K), f = 0. Phiếm hàm f gọi
là phương trình của siêu phẳng H. Nếu g là một phương trình khác của H thì
tồn tại α ∈ K sao cho g = αf .
5


1.1.10 Định lý (Riesz). Một không gian định chuẩn E là compact địa
phương nếu và chỉ nếu nó có chiều hữu hạn.
1.1.11 Định nghĩa. Một tập con A của không gian định chuẩn E được
gọi là toàn vẹn nếu tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A trù mật
trong E, có nghĩa là nếu ký hiệu spanA = {x ∈ E : ∃a1 , . . . , an ∈ A, n ∈ N
n

αi ai } thì spanA = E. Ta nói rằng dãy (an ) ⊂ E là toàn vẹn nếu

với x =
i=1

tập các phần tử của dãy là toàn vẹn.
1.1.12 Định nghĩa. Giả sử E là một không gian định chuẩn trên trường
K. E ∗ = L(E, K) là không gian liên hợp của E.
(i) Tôpô yếu nhất trên E để các ánh xạ f ∈ E ∗ liên tục được gọi là tôpô
yếu trên E.
Lấy điểm x ∈ E. Để ánh xạ f liên tục tại x điều kiện cần và đủ là các tập
dạng ∪(f, x, ε) = {y ∈ E : |f (y) − f (x)| < ε} là tập mở. Gọi σ là tơpơ yếu
trên E thì σ là tơpơ sinh bởi họ các tập nói trên, tức là tơpơ bao gồm tất cả
các hợp tùy ý của các giao hữu hạn của các tập đã chỉ ra. Một cách cụ thể
W ∈ σ nếu và chỉ nếu mọi x ∈ W tồn tại hữu hạn hàm f1 , . . . , fn ∈ E ∗ và
ε > 0 sao cho U (f1 , f2 , . . . , fn , x, ε) ⊂ W , ở đây
h

∪(fi , x, ε) = {y ∈ E : sup |fi (y) − fi (x)| < ε}.

U (f1 , f2 , . . . , fn , x, ε) =

1≤i≤n

i=1

w

(ii) Dãy (xn ) ∈ E được gọi là hội tụ yếu đến x ∈ E, ký hiệu là xn −→ x,

nếu mọi lân cận yếu U của x tồn tại n0 sao cho xn ∈ U với mọi n ≤ n0 . Nói
w

cách khác xn −→ x nếu mọi f1 , f2 , . . . , fp ∈ E ∗ ,

ε > 0 tồn tại số n0 sao cho

xn ∈ U (f1 , f2 , . . . , fp , x, ε) với mọi n ≥ n0 .
1.1.13 Bổ đề. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến
x ∈ E nếu và chỉ nếu f (xn )→f (x) với mọi f ∈ E ∗ .
1.1.14 Mệnh đề. Nếu E, F là hai không gian định chuẩn và f ∈ L(E, F )
thì f là ánh xạ liên tục yếu.
6


1.1.15 Định nghĩa. Giả sử E là không gian Banach trên K. Ký hiệu
L(E) = L(E, E) là không gian Banach các toán tử liên tục trong E với chuẩn
của ánh xạ tuyến tính liên tục. L(E) khơng chỉ là khơng gian Banach mà cịn
là đại số với phép nhân là phép hợp thành thỏa mãn
g.f ≤ g

f ,

g, f ∈ L(E).

Đại số như vậy gọi là đại số Banach. Đại số này có phần tử đơn vị là tốn tử
đồng nhất 1E .
Phần tử f ∈ L(E) gọi là khả nghịch nếu tồn tại g ∈ L(E) sao cho gf =
f g = 1E .
Tập G(E) các phần tử khả nghịch của L(E) là tập các tự đẳng cấu của E.

1.1.16 Định nghĩa. Giả sử D là tập mở trong trường K và f : D→E là
hàm trên D với giá trị trong không gian Banach E trên trường K. Hàm f gọi
là giải tích trên D nếu với mọi λ0 ∈ D tồn tại r > 0 sao cho
∞

an (λ − λ0 )n với mọi λ mà |λ − λ0 | < r, an ∈ E.

f (λ) =
n=0

Rõ ràng nếu f : D→E là giải tích thì µ.f : D→K là giải tích với mọi µ ∈ E ∗ .
1.1.17 Định nghĩa. Giả sử E là không gian Banach và f ∈ L(E). Ta nói
λ ∈ K là giá trị chính quy của f nếu λ − f khả nghịch, ở đây viết λ − f thay
cho λ1E − f .
Trong trường hợp ngược lại ta nói λ là giá trị phổ của f .
Ký hiệu S(f ) và σ(f ) lần lượt là tập tất cả các giá trị chính quy và phổ
của f .
1.1.18 Định lý. Giả sử E là không gian Banach trên trường K. Khi đó
phổ σ(f ) của mọi f ∈ L(E) là tập compact và hàm R(f ) : λ → (λ − f )−1 là
giải tích trên S(f). Ngồi ra nếu K = C thì σ(f ) = ∅.

7


1.1.19 Hệ quả. Nếu f ∈ L(E) thì
(i) σ(f ) ⊂ {λ : |λ| ≤ f }
(ii) d(λ, σ(f )) ≥

1
(λ−f )−1

,với λ ∈ S(f ), trong đó d(λ, σ(f )) = inf{|λ − z| :

z ∈ σ(f )}.
1.1.20 Định nghĩa. Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn và A ∈
L(E, F ). Ta xác định ánh xạ A : F ∗ →E ∗ bởi công thức (A (f )(x)) = f (A(x))
với mọi f ∈ F ∗ và với mọi x ∈ E. Ánh xạ A được gọi là ánh xạ đối ngẫu hay
liên hợp của A.
Ta chứng minh được A là tuyến tính liên tục và A

= A .

1.1.21 Mệnh đề. Cho E là không gian Banach, A ∈ L(E). Khi đó σ(A) =
σ(A ).
1.1.22 Mệnh đề. Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn
E và x ∈ E với δ = d(x, M ) = inf{ x − y : y ∈ M }, khi đó tồn tại f ∈ E ∗
thỏa mãn f = 1, f (x) = δ và f

M

= 0.

1.2 TỐN TỬ COMPACT GIỮA CÁC KHƠNG GIAN ĐỊNH
CHUẨN
Mục này sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất của ánh xạ compact
giữa các khơng gian định chuẩn.
1.2.1 Định nghĩa. Giả sử E và F là các khơng gian định chuẩn. Ánh xạ
(tốn tử) tuyến tính f : E→F được gọi là toán tử compact nếu ảnh f (B) của
hình cầu đơn vị đóng B trong E là compact tương đối trong F , nghĩa là f (B)
là tập compact.

1.2.2 Nhận xét. Mọi toán tử compact đều liên tục.
Chứng minh. Vì f là tốn tử compact nên f (B) là tập compact. Do đó
f (B) bị chặn, tức là tồn tại hằng số k sao cho
8


y ≤ k, ∀y ∈ f (B).
Từ đó suy ra
f (x) ≤ k,

∀x ∈ E, x = 1.

Với mọi x ∈ E mà x = 0 từ bất đẳng thức trên ta có
x
x

f (x) = x . f

≤ k. x .

Kết hợp với f (0) = 0 ta có
f (x) ≤ k x ,

∀x ∈ E.

Do đó f liên tục.
1.2.3 Định lý. Nếu f là tốn tử tuyến tính liên tục từ không gian định
chuẩn E vào không gian định chuẩn F thì các mệnh đề sau đây là tương
đương
(i) f compact;

(ii) Nếu A là tập hợp bị chặn trong E thì f (A) là tập compact tương đối
trong F;
(iii) Nếu (xn ) là dãy bị chặn trong E thì tồn tại dãy con (xnk ) để dãy
(f (xnk )) hội tụ trong F.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử f là ánh xạ compact. Giả sử A là tập bị
chặn trong E. Ta cần chứng minh f (A) compact tương đối. Thật vậy, từ giả
thiết do A là tập bị chặn nên tồn tại n ∈ N sao cho A ⊂ B[0, n] = nB[0, 1].
Vì f (A) ⊂ nf (B) và nf (B) compact tương đối nên f (A) compact tương đối.
(ii) ⇒ (iii). Giả sử (ii) được thỏa mãn và (xn ) là dãy bị chặn trong E. Ta
cần chứng minh tồn tại dãy con (xnk ) để dãy (f (xnk )) hội tụ trong F . Thật
vậy, đặt A = {xn : n = 1, 2, . . . }. Vì (xn ) là dãy bị chặn nên A bị chặn. Do
đó f (A) là tập compact tương đối.
9


Mặt khác, (f (xn )) ⊂ f (A) compact tương đối suy ra tồn tại (f (xnk )) là
dãy con của (f (xn )) để (f (xnk )) hội tụ. Hiển nhiên (xnk ) là dãy con của (xn ).
(iii) ⇒ (i). Giả sử (iii) được thỏa mãn, nghĩa là, nếu (xn ) là dãy bị chặn
trong E, tồn tại dãy con (xnk ) để (f (xnk )) hội tụ trong F . Ta cần chứng
minh f compact. Thật vậy, lấy tùy ý dãy (yn ) ⊂ f (B) và lấy dãy (xn ) ⊂ B
để f (xn ) = yn với mọi n. Vì dãy (xn ) bị chặn nên tồn tại dãy con (xnk ) để
(f (xnk )) hội tụ. Vậy f (B) compact tương đối.
1.2.4 Mệnh đề. Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn. K(E,F) là
tập tất cả các ánh xạ compact từ E vào F. Khi đó, với phép cộng hai hàm và
phép nhân vô hướng với một hàm thông thường, K(E,F) là khơng gian tuyến
tính trên trường K.
Chứng minh. Giả sử f và g là hai hàm trong K(E, F ). Ta cần chứng minh
f + g compact và αf compact với mọi α ∈ K. Thật vậy, giả sử (xn ) là dãy bị
chặn trong E. Vì (xn ) là dãy bị chặn và f là ánh xạ compact nên theo Định
lý 1.2.3 tồn tại dãy con (xnk ) của (xn ) để (f (xnk )) hội tụ. Do (xnk ) bị chặn,

g là ánh xạ compact nên tồn tại dãy con (xnkl ) của (xnk ) để (g(xnkl )) hội tụ.
Khi đó (xnkl ) là dãy con của (xn ). Vì (f (xnk )) hội tụ và (f (xnkl )) là dãy con
của (f (xnk )) nên (f (xnkl )) hội tụ. Từ đó suy ra
((f + g)(xnk )) = (f (xnkl ) + g(xnkl )) = (f (xnkl )) + (g(xnkl ))
hội tụ. Do đó f + g là ánh xạ compact.
Với mọi α ∈ K, với mọi f ∈ K(E, F ) ta có (xn ) bị chặn trong E thì tồn
tại dãy con (xnk ) để (f (xnk )) hội tụ. Từ đó suy ra ((αf )(xnk )) = (αf (xnk )) =
α(f (xnk )) hội tụ. Do đó αf là ánh xạ compact.
1.2.5 Mệnh đề. Giả sử f : E→F là tốn tử tuyến tính liên tục giữa hai
khơng gian Banach E và F. Khi đó
(i) Nếu f compact thì f chuyển mọi dãy hội tụ yếu trong E thành dãy hội
tụ (mạnh) trong F;
10


(ii) Nếu E phản xạ và f chuyển mọi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ thì f
compact.
Chứng minh. (i) Giả sử f : E→F compact và (xn ) ⊂ E hội tụ yếu tới x.
Do f liên tục yếu, (f (xn )) hội tụ yếu tới f (x). Nếu f (xn ) → f (x) thì tồn tại
ε > 0 và dãy con (xnk ) sao cho
f (xnk ) − f (x) ≥ ε,

k ≥ 1.

Do f compact, có thể coi (f (xnk )) hội tụ tới y. Mặt khác vì (f (xnk )) hội
tụ yếu tới f (x) nên f (x) = y. Vì vậy khi k đủ lớn ta có f (xnk ) − f (x) < ε.
Trái với điều f (xnk ) − f (x) ≥ ε với mọi k ≥ 1. Do đó (f (xn )) hội tụ tới
f (x).
(ii) Suy từ Định lý 1.2.3 và Định lý về tính compact yếu của hình cầu đơn
vị đóng trong E.

g

f

h

1.2.6 Định lý. Giả sử G −→ E −→ F −→ H là một dãy các khơng
gian định chuẩn và các ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó nếu f compact thì
h ◦ f ◦ g compact.
Chứng minh. Gọi B là hình cầu đơn vị trong G. Vì g liên tục nên g(B) bị
chặn trong E. Do f compact nên theo Định lý 1.2.3, f (g(B)) compact tương
đối trong F . Cuối cùng vì h liên tục nên h ◦ f ◦ g(B) compact tương đối trong
H. Vậy h ◦ f ◦ g compact.
1.2.7 Hệ quả. Nếu E là không gian định chuẩn và f ∈ L(E) là tốn tử
compact thì g ◦ f và f ◦ g là compact với mọi g ∈ L(E).
Chứng minh. Với h là ánh xạ đồng nhất iE từ E lên E; áp dụng Định
g

f

i

E
lý 1.2.6, ta có E −→ E −→ E −→
E, iE , g, f ∈ L(E), f compact. Do đó

iE ◦ f ◦ g = f ◦ g là compact.
i

f

g

E
Tương tự E −→
E −→ E −→ E, g, f, iE ∈ L(E), f compact. Do đó

g.f.iE = gf là compact.
11


1.2.8 Định lý. Nếu E là không gian định chuẩn và F là khơng gian Banach
thì K(E, F ) là khơng gian con đóng của L(E, F ).
Chứng minh. Dễ thấy K(E, F ) là không gian con của L(E, F ). Điều này
được suy ra từ Mệnh đề 1.2.4. Bây giờ ta sẽ chứng minh K(E, F ) đóng trong
L(E, F ).
Giả sử (fn ) ⊂ K(E, F ), fn →f ∈ L(E, F ), nghĩa là fn − f →0 khi n→∞.
Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N, với mọi n ≥ n0 ta có
ε
fn − f < .
3
Đặc biệt
ε
fn0 − f < ,
3
tức là
ε
sup fn0 (x) − f (x) < , B = B[0, 1] ⊂ E.
3
x∈B

(1)

Ta cần chứng minh f ∈ K(E, F ) tức là chứng minh f (B) compact tương
đối. Vì f (B) ⊂ F đầy đủ nên để chứng minh f (B) compact tương đối ta
cần chứng minh f (B) hồn tồn bị chặn. Vì fn0 là ánh xạ compact nên
fn0 (B) compact tương đối trong F đầy đủ (2). Do đó fn0 (B) hồn tồn
bị chặn. Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại các điểm x1 , . . . , xn ∈ B sao cho
n

n

B(fn0 (xj ), ε). Ta chứng minh f (B) ⊂

fn0 (B) ⊂
j=i

B(f (xj ), ε). Thật vậy,
j=i

với mọi x ∈ B (với mọi y = f (x) ∈ f (B)) thì fn0 (x) ∈ fn0 (B), theo (2) tồn
tại j0 ∈ {1, . . . , n} sao cho fn0 (x) ∈ B fn0 (xj0 ), 3ε suy ra
ε
fn0 (x) − fn0 (xj0 ) < .
3
Ta có
f (x) − f (xj0 )
= f (x) − fn0 (x) + fn0 (x) − fn0 (xj0 ) + fn0 (xj0 ) − f (xj0 )
≤ f (x) − fn0 (x) + fn0 (x) − fn0 (xj0 ) + fn0 (xj0 − f (xj0 ))
<ε,

12


n

nên f (x) ∈ B(f (xj0 ), ε), suy ra f (B) ⊂

B(f (xj ), ε). Do đó f (B) là tập bị
j=1

chặn trong F . Từ F đầy đủ suy ra f (B) compact tương đối hay f là ánh xạ
compact.
Vậy, K(E, F ) đóng trong L(E, F ).
1.2.9 Hệ quả. Nếu F là khơng gian Banach thì K(E, F ) Banach.
Chứng minh. Theo Định lý 1.1.7, L(E, F ) là không gian Banach, lại theo
Định lý 1.2.8, K(E, F ) là khơng gian con đóng của L(E, F ), ta có K(E, F )
là Banach khi F là không gian Banach.
1.2.10 Định lý. Giả sử f : E→F là tốn tử compact giữa các khơng gian
Banach. Khi đó R(f ) là không gian con khả ly của F, trong đó ta viết f (E)
thay cho R(f ).
Chứng minh. Giả sử BE = B[0, 1] = {x ∈ E :

x

≤ 1}. Vì f (BE )

compact nên khả ly. Do đó f (nBE ) = nf (BE ) khả ly với mọi n ≥ 1. Vì vậy
∞

f (E) =

f (nBE ) là khả ly.
n=1

1.2.11 Định nghĩa. Tốn tử tuyến tính f : E→F giữa các không gian
vectơ gọi là hữu hạn chiều nếu f (E) là không gian con hữu hạn chiều của F .
Nếu E, F là không gian định chuẩn thì f ∈ L(E, F ) được gọi là tốn tử
hữu hạn chiều nếu f (E) là khơng gian con hữu hạn chiều của F .
1.2.12 Định lý. Giả sử f : E→F là tốn tử tuyến tính liên tục giữa các
khơng gian Banach. Khi đó f là hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu f có thể viết
dưới dạng

n

f (x) =

fj (x)yj ,
j=1

ở đây fj ∈ E ∗ và yj ∈ F với j = 1, n.
Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên.
13

x ∈ E,


Điều kiện cần. Giả sử f : E→F là toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn
chiều. Ta cần chứng minh f có thể viết dưới dạng
n

f (x) =

fj (x)yj ,

x ∈ E,

j=1

thật vậy, giả sử (yj )nj=1 là cơ sở của f (E). Như vậy mọi y ∈ f (E) viết được
n

duy nhất dưới dạng y =

gj (y)yj , ở đây gj là dạng tuyến tính trên f (E).
j=1

Suy ra gj là liên tục. Khi đó gj có thể mở rộng tới dạng tuyến tính liên
tục hj trên F . Khi đó fj = f (hj ), j = 1, 2, . . . , ta có
n

f (x) =

n

gj (f (x)yj ) =
j=1
n

=

hj (f (x)yj )
j=1
n

f hj (x)yj =
j=1

x ∈ E.

fj (x)yj ,
j=1

1.2.13 Mệnh đề. Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn, f ∈ L(E, F ).
Khi đó, nếu E hoặc F là khơng gian hữu hạn chiều thì f là ánh xạ compact.
Chứng minh. (i) Giả sử E là không gian hữu hạn chiều, F là không gian
định chuẩn và f ∈ L(E, F ). Ta cần chứng minh f là ánh xạ compact.
Thật vậy, gọi B = B[0, 1] là hình cầu đơn vị đóng trong E. Vì B = B[0, 1]
nên B là tập đóng và bị chặn. Mặt khác, B ⊂ E mà E là không gian hữu hạn
chiều nên B compact. Vì f liên tục nên f (B) compact. Do đó f (B) đóng. Từ
đó suy ra f (B) = f (B)-compact.
Vậy f là ánh xạ compact.
(ii) Giả sử F là không gian hữu hạn chiều, E là không gian định chuẩn và
f ∈ L(E, F ). Ta cần chứng minh f là ánh xạ compact tức là chứng minh f (B)
compact. Thật vậy, vì f liên tục nên tồn tại hằng số α sao cho f (x) ≤ α x ,
với mọi x ∈ E. Do đó với x ∈ B ta có f (x) ≤ α x ≤ α. Do đó f (B) bị
chặn. Suy ra f (B) bị chặn. Hiển nhiên f (B) là tập đóng. Như vậy f (B) đóng
và bị chặn ⊂ F -khơng gian hữu hạn chiều nên f (B) compact.
14

Vậy f là ánh xạ compact.
1.2.14 Hệ quả. Mọi ánh xạ hữu hạn chiều giữa các không gian định chuẩn
đều là ánh xạ compact.
1.2.15 Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn vơ hạn chiều thì ánh
xạ đồng nhất i : E→E là tuyến tính liên tục nhưng khơng compact.
Chứng minh. (i) Chứng minh i tuyến tính. Thật vậy, với mọi α, β ∈ K với
mọi x, y ∈ E, ta có
i(αx + βy) = αx + βy = αi(x) + βi(y).
(ii) Chứng minh i liên tục. Thật vậy, để chứng minh i liên tục ta cần chứng
minh tồn tại hằng số k sao cho i(x) ≤ k x . Ta có i(x) = x nên i liên
tục và i ≤ 1.
(iii) Chứng minh i không compact. Thật vậy, giả sử i compact. Gọi B =
B[0, 1] là hình cầu đơn vị đóng trong E suy ra i(B) = B = B[0, 1] = B[0, 1].
Do i compact nên i(B) compact. Khi đó B[0, 1] compact nên tại điểm 0 ∈ E
có một lân cận B[0, 1] là tập compact. Do đó với mọi x ∈ E tồn tại một lân
cận của x là x + B[0, 1] và x + B[0, 1] compact. Từ đó suy ra E là khơng gian
compact địa phương. Theo Định lý Riesz thì E hữu hạn chiều. Điều này mâu
thuẫn với giả thiết E vô hạn chiều. Vậy i không compact.
1.3 PHỔ CỦA TỐN TỬ COMPACT
Trong mục này ta sẽ trình bày một số đặc trưng của phổ của các toán tử
compact.
1.3.1 Định lý. Giả sử E là không gian Banach, A ∈ L(E) là toán tử
compact và λ ∈ K, λ = 0. Khi đó Nλ = ker(A − λ) và Rλ = R(A − λ) lần
lượt là các không gian con hữu hạn chiều và khơng gian con đóng của E với
đối chiều hữu hạn, trong đó ta viết R(A − λ) thay cho (A − λ)(E).
15


Chứng minh. (i) Đầu tiên chứng tỏ dimNλ < +∞. Ký hiệu Bλ là hình
cầu đơn vị của Nλ . Bởi vì A(Bλ ) = λBλ và A là compact, do λ = 0, Bλ là

compact tương đối trong Nλ . Do Định lý Riesz 1.1.10, dimNλ < +∞.
(ii) Bởi (i), Nλ có cơ sở e1 , . . . , en . Do Định lý Hahn - Banach tồn tại
f1 , . . . , fn ∈ E ∗ sao cho
fi (ej ) = δij .
n

Như vậy dạng x →
E lên Nλ . Hiển nhiên

fj (x)ej xác định ánh xạ tuyến tính liên tục P từ
j=1
P2

= P . Và do đó E = M ⊕ R(P ) = M ⊕ Nλ với

M = kerP . Để chứng minh Rλ là đóng, ta chỉ cần kiểm lại (A − λ)(M ) là
đóng. Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ tồn tại r > 0 sao cho
Ay − λy ≥ r y

với mọi y ∈ M,

(*)

trong đó ta viết Ay thay cho A(y).
Thật vậy, giả sử (yn ) ⊂ M và ((A − λ)yn ) hội tụ tới y ∈ E. Do
(A − λ)yn − (A − λ)ym = (A − λ)(yn − ym )
≥ r yn − ym ,

∀n, m ≥ 1,

nên dãy (yn ) là Cauchy. Và vì vậy (yn ) hội tụ tới x ∈ M . Ta có
y = lim (A − λ)yn = (A − λ)x ∈ (A − λ)(M ).
n→∞

Giả sử mọi r > 0 đều không thỏa mãn (∗). Như vậy với mọi n ≥ 1 ta tìm
được yn ∈ M, y = 1 sao cho
(A − λ)yn ≤

1
.
n

Do đó (A−λ)yn →0 khi n→∞. Vì (yn ) bị chặn nên tồn tại dãy con (zn ) ⊂ (yn )
sao cho Azn →z0 , khi n→∞.
Mặt khác do λ = 0 và
lim [A(zn ) − λzn ] = 0,

n→∞

16


dãy (zn ) hội tụ tới y0 =

z0
λ

∈ M.

Suy ra

Ay0 − λy0 = lim (Azn − λzn ) = 0,
n→∞

và do đó y0 ∈ M ∩ Nλ = {0}. Ta gặp mâu thuẫn vì
y0 = lim zn = 1 = 0.
n→∞

Tính đóng của M và vì vậy thì của Rλ được chứng minh.
Để kết thúc chứng minh định lý ta chứng minh Rλ có đối chiều hữu hạn.
Thật vậy, điều này suy từ (i) và từ các hệ thức
(E\Rλ ) ∼
= Rλ0 = N (A − λ)
và từ tính compact của A .
1.3.2 Định nghĩa. Giả sử A ∈ L(E) với E là không gian Banach, số
λ ∈ K gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại x ∈ E, x = 0 sao cho Ax = λx.
Phần tử x như vậy gọi là vectơ riêng của A.
1.3.3 Nhận xét. (i). Mọi giá trị riêng của A là giá trị phổ của nó và nếu
dimE < +∞ thì khẳng định ngược lại là đúng.
(ii) Khi dimE = +∞ thì 0 ∈ σ(A) đối với mọi tốn tử compact A ∈ L(E).
Tuy nhiên 0 không là giá trị riêng của A. Khi đó λ ∈
/ σ(A).
1.3.4 Định lý. Giả sử E là không gian Banach, A ∈ L(E) là tốn tử
compact và λ = 0 khơng là giá trị riêng của A. Khi đó λ ∈
/ σ(A).
Chứng minh. Giả sử λ = 0 không là giá trị riêng của A nhưng λ ∈ σ(A).
Khi đó Aλ = A − λ là song ánh tuyến tính liên tục từ E lên R(Aλ ) mà nó là
khơng gian con đóng của E, bởi Định lý 1.3.1. Từ Định lý ánh xạ mở Banach
suy ra Aλ : E→R(Aλ ) là đẳng cấu. Với mọi n ≥ 0 đặt Xn = R(Anλ ) ta có
Xn+1 ⊆ Xn ,
17

∀n ≥ 0.


Hơn nữa
Xn+1 = Xn ,

∀n ≥ 0.

Thật vậy, hiển nhiên X1 = X0 = E, vì λ ∈ σ(A).
Giả sử Xn+1 = Xn ,

∀0 ≤ n ≤ m, nhưng Xm+2 = Xm+1 . Chọn x ∈

Xm \Xm+1 . Do Xm+2 = Xm+1 nên tồn tại y ∈ Xm+1 sao cho Aλ y = Aλ x.
Vậy thì Aλ (x − y) = 0. Do Aλ là đơn ánh, x = y ∈ Xm+1 . Điều này trái với
giả thiết x ∈
/ Xm+1 .
Mặt khác, do Aλ là đẳng cấu giữa E và R(Aλ ) suy ra Xn = R(Anλ ) là
không gian con đóng của E với mọi n ≥ 0. Từ Mệnh đề 1.1.22 với mọi n ≥ 0
tồn tại f ∈ E ∗ sao cho
f

Xn+1

= 0 và

f

Xn

= 1.

Như vậy tồn tại xn ∈ Xn sao cho
1
xn và f (xn ) ≥ .
2
Suy ra
xn − x ≥ |f (xn − x)| ≥

1
với mọi x ∈ Xn+1 .
2

Bởi vì
Axn − Axm = λxn + Aλ xn − λxm − Aλ xm ,
và
Aλ xn − λxm − Aλ xm ∈ Xn+1 ,
ta có
|λ|
, ∀0 ≤ n ≤ m.
2
Và do đó dãy (Axn ) khơng có dãy con hội tụ, trái với tính compact của
Axn − Axm ≥

A.
1.3.5 Hệ quả. Nếu A ∈ L(E) là toán tử compact và nếu λ ∈ σ(A), λ = 0,
thì λ là giá trị riêng của A.
18

Chứng minh. Suy từ Định lý 1.3.4.
1.3.6 Định lý. Phổ σ(A) của mọi toán tử compact A ∈ L(E), với E là
khơng gian Banach, chỉ có một số hữu hạn hay đếm được giá trị khác nhau.
Trong trường hợp sau σ(A) có duy nhất điểm tụ là 0.
Chứng minh. Chỉ cần chứng tỏ với mọi r > 0 tập {λ ∈ σ(A) : |λ| ≥ r}
là hữu hạn. Nếu không tồn tại r > 0 và dãy (λn ) ⊂ σ(A) sao cho |λn | ≥
r, ∀n ≥ 1 và λn = λm , ∀n = m.
Theo Hệ quả 1.3.5, mỗi λn là một giá trị riêng của A. Vậy với mọi n ≥ 1
tồn tại xn ∈ E, x = 1 sao cho Axn = λn xn . Vì λn = λm với n = m, dãy các
vectơ riêng (xn ) là độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử sự độc lập tuyến tính
n+1

αj xj = 0. Khi đó

của x1 , . . . , xn đã được chứng minh và giả sử
j=1
n+1

n+1

αj xj = 0.

λj αj xj = A
j=1

j=1

Bằng cách nhân hai vế của đẳng thức đầu tiên với λn+1 rồi trừ đi đẳng thức
thứ hai ta được

n+1

(λn+1 − λj )αj xj = 0.
j=1

Do x1 , . . . , xn độc lập tuyến tính và λn+1 − λj = 0 với 1 ≤ j ≤ n, ta phải
có αj = 0, 1 ≤ j ≤ n. Suy ra αn+1 xn = 0, vì xn = 0 ta có αn+1 = 0. Với mọi
n ≥ 1, ký hiệu Xn là không gian sinh bởi x1 , . . . , xn . Do dãy (xn ) độc lập
tuyến tính ta có
Xn = Xm ,

∀n = m.

Theo Mệnh đề 1.1.22 với mọi n ≥ 1 tồn tại f ∈ E ∗ , f
Như vậy tồn tại yn+1 ∈ Xn+1 sao cho
1
yn+1 ≤ 1, f (yn+1 ) ≥ .
2
19

xn

= 0, f

xn+1

= 1.


Suy ra

yn+1 − x ≥ |f (yn+1 − x)| ≥

1
với mọi x ∈ Xn .
2

Viết
yn+1 = α1 x1 + · · · + αn xn + αn+1 xn+1 .
Do (A − λn+1 )xn+1 = 0 nên (A − λn+1 )yn+1 ∈ Xn . Giả sử n > m tùy ý. Vì
ym ∈ Xm nên Aym ∈ Xm ⊂ Xn−1 và do đó x = (A − λn )yn − Aym ∈ Xn−1 .
Mặt khác
Ayn − Aym = λn yn + (A − λn )yn − Aym
= λn y n + x
= |λn | yn +

1
r
x
≥ |λn | > .
λn
2
2

Điều này chứng tỏ dãy (Ayn ) khơng có thể có một dãy con hội tụ. Tuy
nhiên vì (yn ) bị chặn và A compact, dãy (Ayn ) bắt buộc phải có một dãy con
hội tụ. Ta gặp mâu thuẫn và định lý được chứng minh.
1.3.7 Mệnh đề ([4]). Giả sử E là khơng gian Banach có chiều vơ hạn và
A ∈ K(E). Khi đó
(1) 0 ∈ σ(A); σ(A) ⊂ [m, M ] với m = inf {(Ax|x) :

x

= 1}, M =

sup{(Ax|x) : x = 1};
(2) Mỗi λ ∈ σ(A)\{0} là giá trị riêng của A và tương ứng không gian riêng
Eλ có chiều hữu hạn;
(3) Có dãy hội tụ về khơng (λn )n∈N trong K sao cho σ(A) = {0} ∪ {λn :
n ∈ N};
(4) Với mọi λ ∈ K\{0} ta có dimN (λI − A) = codimR(λI − A); đặc biệt
có giả thuyết Fredholm sau
λI − A là tồn ánh nếu và chỉ nếu λI − A là đơn ánh.
1.3.8 Bổ đề ([4]). Giả sử E là không gian Banach có chiều vơ hạn và
A ∈ K(E). Khi đó, với mỗi λ ∈ σ(A)\{0} tồn tại các không gian con bù tôpô
20


Nλ và Rλ của E, các ánh xạ từ (λI − A) vào chính nó thỏa mãn các điều
kiện sau
(1) (λI − A)

Rλ

là một phép đẳng cấu của Rλ .

(2) Tồn tại n = nλ ∈ N sao cho (λI − A)n

Nλ

≡ 0 (có nghĩa là, (λI − A)

là lũy linh).
(3) {0} = N (λI − A) ⊂ Nλ và dimNλ < ∞.
Thêm nữa, σ(A) là đóng và 0 ∈ σ(A) và σ(A) ⊂ {λ ∈ K : |λ| ≤ A }.

21

Nλ


CHƯƠNG 2

TỐN TỬ COMPACT
GIỮA CÁC KHƠNG GIAN HILBERT
2.1 KHƠNG GIAN HILBERT
Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian
Hilbert mà chúng cần dùng về sau.
2.1.1 Định nghĩa. Một tích vơ hướng trên một không gian vectơ E trên
trường K là ánh xạ (.|.) : E × E→K với các tính chất sau
(1) (λx + νy|z) = λ(x|z) + ν(y|z) với mọi λ, ν ∈ K, x, y ∈ E;
(2) (x|y) = (y|x) với mọi x, y ∈ E;
(3) (x|x) ≥ 0 với mọi x ∈ E và (x|x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Hàm (.|.) thỏa mãn tính chất (1), (2) và
(3’) (x|x) ≥ 0 với mọi x ∈ E;
được gọi là một nửa tích vơ hướng trên E.
2.1.2 Bổ đề ([4]). Nếu E là K-không gian vectơ và (.|.) là nửa tích vơ
(x|x) với x ∈ E. Khi đó

hướng trên E, thì ta định nghĩa x :=
(1) x + y

2

= x

(2) |(x|y)| ≤ x
(3)

2

+ 2Re(x|y) + y

2

với mọi x, y ∈ E;

y với mọi x, y ∈ E;

: E→R+ là nửa chuẩn trên E;

(4) Nếu (.|.) là tích vơ hướng, thì

là một chuẩn trên E với mỗi y ∈

E, φ(y) := (.|y) là một dạng tuyến tính liên tục trên E.
2.1.3 Định nghĩa. Một không gian vectơ E trên trường K cùng với một
tích vơ hướng xác định trên nó được gọi là một khơng gian tiền Hilbert. Trên
E xác định một chuẩn x =

(x|x), chuẩn này được gọi là chuẩn sinh bởi

tích vơ hướng trên E.

22


Một không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn sinh bởi tích vơ hướng được
gọi là một khơng gian Hilbert.
2.1.4 Chú ý. Nếu (.|.) là tích vơ hướng trên E thì
(1) (x|y1 + y2 ) = (x|y1 ) + (x|y2 );
(2) (x|λy) = λ(x|y);
với mọi x, y, y1 , y2 ∈ E, mọi λ ∈ K.
2.1.5 Bổ đề. ([4]) Trên mọi không gian tiền Hilbert, các mệnh đề sau
luôn đúng với mọi x, y ∈ E
(1) x + y

2

+ x−y

(2) (x|y) = 14 ( x + y

2

2

2

= 2( x

+ y 2 ) (đẳng thức hình bình hành).

− x − y 2 ) + 4i ( x + iy

1
(x|y) = ( x + y
4

2

2

− x − iy 2 ), nếu K = C

− x − y 2 ) nếu K = R

2.1.6 Bổ đề ([4]) (Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz). Nếu E là một khơng
gian tiền Hilbert thì |(x|y)| ≤ x . y , với mọi x, y ∈ E.
2.1.7 Định lý (Pythagore). Nếu x và y là hai vectơ trực giao trong khơng
gian tiền Hilbert thì

x+y

2

= x

2

+ y 2.

2.1.8. Định nghĩa. (i). Giả sử A ⊂ không gian tiền Hilbert E. A được
gọi là hệ trực giao nếu 0 ∈
/ A và với mọi x, y ∈ A mà x = y thì x⊥y;
(ii) Giả sử M ⊂ khơng gian tiền Hilbert. Đặt
M ⊥ = {x ∈ E : x⊥M },
gọi M ⊥ là phần bù trực giao của M .
2.1.9 Định lý (Riesz). Nếu E là một không gian tiền Hilbert thì ánh xạ
x→(x|a) với a ∈ E là phiếm hàm tuyến tính liên tục, có chuẩn là a . Ngược
lại, nếu E là khơng gian Hilbert thì mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên
E tồn tại duy nhất a ∈ E sao cho f (x) = (x|a) với mọi x ∈ E.
23