Tích có hướng và các ví dụ

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
I.Tích vô hướng hai vectơ :
1/ Đònh nghóa :






=
→→→→→→
bababa ,cos
2/ Đònh lí : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
( ) ( )
thì a nếu
222111
;;,;; zyxbzyx ==
→→
212121
zzyyxxba ++=
→→

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
0
212121
2
1
2

1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
=++⇔⊥•
++=•
++=•
→→
→
→
zzyyxxba
zyxa
zyxa
: biệt Đặc
( ) ( ) ( )
, ba b/, c aa/
: .Tìm 3;2;4c,0;3;1 b,2;-1;0 a Cho: dụ Ví
2













===
→→→→→→
→→→
cb

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
)12;6;9(3.
31.03)1(0.2./
−−−=−=






−=+−+=
→→→→
→→
ccba
baa
5010.5
104.12.33.0.,5/
2

2
==






=++==
→→→
→→→
cba
cbab
? vectơ haysố là a Tích
→→
b.
? vectơ haysố là c a thức Biểu
→→→






b.
? vectơ haysố là ba thức Biểu







→→→
c.
2

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
3/ Khoảng cách giữa hai điểm :
( ) ( ) ( )
222
ABABAB
zzyyxx −+−+−==
→
ABAB
cách khoảngthì )z;y;B(x, )z;y;A(x Nếu
BBBAAA
4/Góc giữa hai vectơ :
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2

1
212121
.
.
zyxzyx
zzyyxx
ba
b
++++
++
==
==
→→
→→
→→
a
cos
: thì z;y;xb, z;y;xa vectơ haigiữa góc là Nếu
222111
ϕ
ϕ

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
II/ Tích có hướng hai vectơ và áp dụng :
1/ Đònh nghóa :
( ) ( )
a
: độ toạ và a hiệukí, vectơmột là
b,a vectơ haicủa hướngcó Tích

. z;y;xb,z;y;xa vectơ haicho
Oxyz độ toạ hệvới gian khôngTrong
222111








=












==
→→
→→
→→
→→
22

11
22
11
22
11


;


;


,
,
yx
yx
xz
xz
zy
zy
b
b

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
( ) ( ) ( )



















===
→→→→→→→
→→→
bacbab ,,,,,a
: Tìm . 2;1;0-c,0;-1;2b,1;2;-3a vectơ baCho : dụ Ví
( )
( ) ( )
6121;
40).1(1)2()2.(1,
1;2;1
1- 0
2 1
;
0 2
1 3-

;
2 1
3- 2
,
22
=−+−+=






−=−+−+−=






−−=








−
=







→→
→→→
→→
ba
cba
ba
: có Ta

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
2/ Tính chất :
cùng phương khi và chỉ khi
→
aTC .1
→
b
→→→
=







0, ba
→→→→→→
⊥






⊥






bbaabaTC ,,,.2






=







→→→→→→
bababaTC ,sin ,.3

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
3/ Diện tích tam giác






→→
ACAB;
2
1
S
ABC
=
A
B
C
( ) ( ) ( )
2;1;0,3;0;1, CB −2;-3;1A biết ABC giác tam tích diện .Tính dụ Ví
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
62
2
1

615
2
1
,
2
1
6;1;5
4 2
3 3
;
2- 1
3- 2
;
1 4
2 3
,
1;4;2,2;3;3
222
=−+−+−=






=
−−−=









−
−
=






−=−=
→→
→→
→→
ACABS
ACAB
AC
ABC
AB : có Ta

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
4/ Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
0=







⇔
→→→→→→
cba, phẳngđồng c,b,a: lí Đònh
( ) ( ) ( )
3;2;4,2;1;0, ===
→→→
cb1;-1;1a
vectơ bacủa phẳngđồng sự.Xét dụ Ví
( )
phẳngđồng âng khoc,b,a vectơ baVậy
a : có Ta
→→→
→→→
→→
−=+−+−=






−−=









−
=






133.12).2(4).3(.,
1;2;3
1 0
1- 1
;
0 2
1 1
;
2 1
1 1
,
cba
b
? ,,
0.,
→→→
→→→
≠







cb
cb
a vectơ bavề gì luận kết thì
a Nếu

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
6/ Thể tích tứ diện
A
B
C
D
→→→






= ADACABV .,
6
1
5/ Thể tích hình hộp
→

→→






=
/
., AAADABV
A
B
C
D
A
/
B
/
C
/
D
/

Ví dụ :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm
A(1;0;1),B(-1;1;2),C(-1;1;0) ,D(2;-1;-2).
1/Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh một tứ diện.
2/Tính độ dài đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D.
3/Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB;CD.
4/Tính thể tích tứ diện ABCD và từ đó hãy suy ra độ dài đường cao
của tứ diện qua đỉnh A.

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
1.Để chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện ta cần chứng
minh A,B,C,D không đồng phẳng , tức là cần chứng minh ba vectơ
→→→
BDBCBA ,,
không đồng phẳng.
( ) ( ) ( )
( )
diện tứ thành lập DC,B,A, điểm 4 hay phẳngđồng khôngBA Vậy
BA: có Ta
→→→
→→→
→→
→→→
≠−=−+−+=






=









−−
=






−−=−=−−=
BDBC
BDBCBA
BCBA
BDBC
,,
02)4.(0)2(43.2,
0;4;2
0 0
1- 2
;
0 2-
2 1
;
2- 0
1 - 1
,
4;2;3,2;0;0,1;1;2

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
2/ Từ công thức tính diện tích tam giác ta có
A
B
C
D
K
H
DKBCS
BCD
.
2
1
=
∆
BC
2.S
DK : raSuy
BCD∆
=
( )
( )
13
2
132
2400
1306)4(
2

1
,
2
1
0;6;4
2- 3
0 0
;
3 4-
0 2
;
4- 2-
2- 0
,
2
2
2
===
=++=
=+−+−=






=
−−=









−
=






∆
→→
∆
→→
BC
2S
DK Vậy
S
BC Với
BCD
BCD
BC
BDBC
BD

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .

TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
29
4
)4()2(32
)4).(2()2.(03.0
.
,
222
=
−+−+
−−+−+
=
==






=
→→
→→
→→
BDBC
BDBC
BDBCcos cosCBD: có 3/Ta
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
Vì 0
0
≤ α ≤ 90

0
nên α bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ
→→
CDAB ,
→→
→→
→→
=






=
CDAB
CDAB
CDAB
.
,coscos
α

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
( ) ( )
( )
( ) ( )
102
10
17.6

10
cos
17223
6112
10)2.(1)2.(13).2(.
2;2;3,1;1;2
22
2
2
=
−
=
=−+−+=
=++−=
−=−+−+−=
−−=−=
→
→
→→
→→
α
CD
AB
CDAB
CDAB: có Ta

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
( ) ( ) ( )
( )

3
1
)3.(0)1)(4(1).2(
6
1
0;4;2,
3;1;1,1;1;2,1;1;2
.,
6
1
/4
=−+−−+−=
−−=






−−=−−=−=






=
→→
→→→
→→→

ABCD
V
ACAB
ADACAB
ADACAB
ABCD
V là ABCD diện tứ tích Thể

13
3
1
3.
S
3V
AH.AHS
3
1
: đó .Khi ABCD diện tứ của cao đường là AH Gọi
BCD
ABCD
BCD
13
1
===⇒=
•
∆
∆ABCD
V