Đồ án thi cuối khóa môn địa thống kê

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KỸ THUẬT ĐỊA CHẤT VÀ DẦU KHÍ
---------------o0o---------------

ĐỒ ÁN THI CUỐI KHĨA
MƠN ĐỊA THỐNG KÊ

GVHD: TS. Tạ Quốc Dũng

TP. Hồ Chí Minh, 2021


MỤC LỤC
CHƯƠNG I: REVIEW CÁC BÀI BÁO..................................................................................................5
Bài báo 1: Combined geostatistics and bayesian updating optimize drilling in shale-gas plays......5
(Kết hợp địa thống kê và bayesian để tối ưu giếng khoan trong shale gas play)..............................5
1.1

Đặt vấn đề:...................................................................................................................................5

1.2

Phương pháp:...............................................................................................................................5

1.3

Kết quả:........................................................................................................................................8

1.4

Kết luận:.......................................................................................................................................9

Bài báo 2: Optimal well placement in presence of multiple geostatistical realizations....................6
(Tối ưu hóa vị trí giếng khoan dựa trên nhiều cách tính tốn địa thống kê)....................................6
2.1

Đặt vấn đề:...................................................................................................................................6

2.2

Giải pháp:.....................................................................................................................................6

2.3

Ứng dụng thực tế:.........................................................................................................................7

2.4

Kết luận:.......................................................................................................................................8

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH TÍNH TỐN......................................................................................9
I.

Mơ hình hàm ngẫu nhiên:....................................................................................................................9

II. Yêu cầu về tính ổn định:.......................................................................................................................9
2.1

Định nghĩa tính ổn định:..............................................................................................................9

2.2

Ý nghĩa giả thiết ổn định............................................................................................................10

2.3

Ví dụ và giải pháp về vấn đề ổn định........................................................................................10

2.4

Hàm cấu trúc Variogram -γ(h)...................................................................................................12

2.5

Các tính chất của hàm cấu trúc – Variogram.............................................................................13

2.6

Các mơ hình của Variogram.......................................................................................................14

III.

Covariance –C(h)...........................................................................................................................19

3.1

Định nghĩa..................................................................................................................................19

3.2

Tính chất.....................................................................................................................................19

3.3

Các mơ hình của Covariance.....................................................................................................20

IV.

Kriging............................................................................................................................................20

4.1.

Kriging.......................................................................................................................................20

4.1

Simple Kriging (SK)..................................................................................................................21

4.2

Ordinary Kriging (OK)..............................................................................................................23

4.3

CoKriging...................................................................................................................................24
2


4.4

Universal Kriging.......................................................................................................................27

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG TÍNH TỐN............................................................................................28
I.

Dữ liệu giếng:.....................................................................................................................................28

II.

Phân tích số liệu trên Excel:..........................................................................................................42

III.

Đồ thị phân phối độ rỗng và độ thấm, tương quan độ rỗng và độ thấm:......................................45

IV.

Đồ thị Variogram độ rỗng, độ thấm và Cross Variate:..................................................................47

V.

Lựa chọn mô hình Cokriging phù hợp với bộ dữ liệu:......................................................................50

CHƯƠNG IV: KẾT LUẬN.................................................................................................................55
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................................................56


DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 1. Khu vực khảo sát.................................................................................................................................6
Hình 2: Đồ thị phân bố xác suất COS..............................................................................................................7

Hình 3: Trình bày các giá trị COS quan sát được từ vùng Test từ 837 giếng được khoan. Tác giả dùng đồ
thị này để đối chiếu với kết quả từ phương pháp Bayesian-Kringing............................................................7
Hình 4: Giá trị COS tại các giếng khoan.........................................................................................................8
Hình 5: Kết quả thu được k..............................................................................................................................8
Hình 6: Ví dụ của một trường hợp vị trí các giếng được tối ưu hóa. Các điểm màu đỏ tại cánh phải là vị trí
các giếng bơm ép, các điểm màu đen là vị trí các giếng khai thác và các điểm màu vàng là các vị trí tối
ưu......................................................................................................................................................................7
Hình 7: Biểu đồ phân tán đã làm mịn cho 234 dữ liệu độ rỗng/ độ thấm.....................................................10
Hình 8: Dữ liệu ổn định và khơng ổn định....................................................................................................11
Hình 9: Chia nhỏ khi vực nghiên cứu để tính Variogram..............................................................................11
Hình 10: Chi khu vực lớn thành 4 khu vực nhỏ theo 4 hướng khác nhau....................................................12
Hình 11: Biểu đồ Variogram..........................................................................................................................14
Hình 12: Biểu đồ Variogram với Sill.............................................................................................................16
Hình 13: Mơ hình Variogram kết hợp giữa mơ hình cầu và Nugget-effected..............................................18
Hình 14: Covariance và Variogram................................................................................................................20
Hình 15: Nhập dữ liệu vào GS+.....................................................................................................................42
Hình 16: Đồ thị Q-Q cho độ rỗng..................................................................................................................42
Hình 17: Đồ thị Q-Q cho độ thấm.................................................................................................................43
Hình 18: Đồ thị Q-Q cho độ thấm khi chuyển sang ln..................................................................................43
Hình 19: Đồ thị Q-Q giữa độ rỗng và ln độ thấm..........................................................................................44
Hình 20: Đồ thị P-P căn bậc 2 độ rỗng và ln độ thấm...................................................................................45
Hình 21: Đồ thị phân phối độ rỗng................................................................................................................45
Hình 22: Đồ thị phân phối độ thấm...............................................................................................................46
Hình 23: Đồ thị tương quan độ rỗng và độ thấm...........................................................................................46
Hình 24: Hướng chính theo tọa độ của độ rỗng............................................................................................47
Hình 25: Variogram độ rỗng...........................................................................................................................47
Hình 26: Bán kính hướng chính và phụ theo độ rỗng...................................................................................48
Hình 27: Hướng chính theo tọa độ của độ thấm............................................................................................48
Hình 28: Variogram độ thấm..........................................................................................................................49
Hình 29: Bán kính hướng chính phụ độ thấm...............................................................................................49

Hình 30: Cross Variogram..............................................................................................................................50
Hình 31: Tương quan giá trị thực và ước tính theo Simple Cokriging với Variogram Isotropic.................50
Hình 32: Tương quan giá trị thực và ước tính theo Ordinary Cokriging......................................................51
Hình 33: Tương quan giá trị thực và ước tính Standardized Ordinary Cokriging với Variogram Isotropic51
Hình 34: Tương quan giá trị thực và ước tính theo Simple Cokriging với Variogram Anisotropic............51
Hình 35: Tương quan giá trị thực và ước tính theo Ordinary Cokriging với Variogram Anisotropic.........52
Hình 36:Tương quan giá trị thực và ước tính theo Standardized Ordinary với Variogram Anisotropic......52
Hình 37: Nội suy Cokriging Map 3D............................................................................................................53
Hình 38: Nội suy Cokriging Map 2D............................................................................................................53
Hình 39: Phân bố tướng đá theo tọa độ vẽ trên MS Excel............................................................................54
Hình 40: Bảng dữ liệu nội suy Cokriging từ dữ liệu 289 giếng....................................................................54

4


CHƯƠNG I: REVIEW CÁC BÀI BÁO
Bài báo 1: Combined geostatistics and bayesian updating optimize drilling in shalegas plays
(Kết hợp địa thống kê và bayesian để tối ưu giếng khoan trong shale gas play)
1.1 Đặt vấn đề:
Phát triển một chương trình khoan trong Shale Gas Plays là một thách thức. Việc yêu
cầu số lượng lớn giếng, ngay cả khi với nhiều giếng khai thác hiệu quả kinh tế vẫn không
chắc chắn. Với số lượng giếng ít nhấtvà để tập trung vào vùng có tiềm năng nhất, vì thế
bài báo sẽ trình bày phương pháp để nâng cao hiệu quả kinh tế cho vùng shale gas plays.
1.2 Phương pháp:
Sử dụng mơ hình xác suất thơng qua Chance Of Success (COS)
Mục đích chính bài báo
 Thiết lập và định lượng sự phụ thuộc khơng gian giữa các giếng với nhau
 Trình bày phương pháp COS
 Chứng minh phương pháp thông qua việc phân tích dữ liệu vùng Barnett shale
Dữ liệu giếng:

Khu vực khảo sát nằm ở phía đơng Mississippian Barnett Shale ở bồn trũng Fort
Worth bang Texas (hình 1.1). Nghiên cứu trong khu vực rộng 2100 km 2. 2901 giếng
ngang được phân tích, trong đó 2064 giếng nằm ở vũng Training. Khu vực này được chia
làm 2, vùng phía nam là vùng Training, vùng phía bắc là vùng Test. Các dữ liệu được
nghiên cứu ở vùng Training sẽ được áp dụng vào vùng Test.


Hình 1.
Khu
vực
khảo sát

Phương pháp cập nhật COS khi giếng mới được khoan
 Bước 1: Trước tiên các dữ liệu của shale, probability density function (PDF) cho
COS được nhập cho cell
 Bước 2: Vào một thời điểm nào đó, thơng tin giếng mới sẽ đến dưới hình thức
thành cơng hay thất bại của shale. Quy luật Bayes được áp dụng để cập nhật vào
cell, nơi mà giếng được khoan. Điều này dẫn đến các PDF mới trong các cell với
thông tin giếng mới. Trong các cell khơng có giếng mới thì PDF không đổi
 Bước 3: Do sự phụ thuộc không gian trong plays, người ta mong đợi các cells
không được cập nhật trong bước 2 và ở gần các cells có sự thay đổi đang kể PDF
bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi này. Trong bước này sự phụ thuộc khơng gian được
tính đến và IK được sử dụng để cập nhật các shale mà không được cập nhật trong
bước 2.
Sau khi hoàn thành các bước 2, 3, tất cả các shale được cập nhật và phân bố
posterior được có sẵn. Nếu thơng tin mới đến sau, thì posterior này được sử dụng như
trước bước 2 3 được lặp lại.
Áp dụng minh họa cho Barnett shale
Thông tin trước khi khoan, Xác định COS trên cơ sở của tất cả các giếng trong vùng
training được giả định COS cho vùng Test. Tỷ lệ các giếng được khoan trong năm 2011

với lợi nhuận rịng dương với giá khí 4 USD/Mscf là 62.5%. Do đó 62.5 được xem như

6


COS. Nguyên tắc maximum entropy được sử dụng để phát triển phân bố xác suất COS
(hình 2). Phân bố xác suất này được chỉ định cho mỗi cell.

Hình 2: Đồ thị phân bố xác suất COS
Variogram for ordinary IK
10 chỉ số COS được định nghĩa như (bảng). Các dữ liệu từ vùng Training được sử
dụng để phát triển Variogram cho mỗi chỉ số COS dựa vào dữ liệu thực

Hình 3: Trình bày các giá trị COS quan sát được từ vùng Test từ 837 giếng được
khoan. Tác giả dùng đồ thị này để đối chiếu với kết quả từ phương pháp BayesianKringing.


Hình 4: Giá trị COS tại các giếng khoan
1.3

Kết quả:

Hình 5: Kết quả thu được
8


1.4

Kết luận:

Mối tương quan giữa các giếng rất quan trọng. Việc phân tích dữ liệu
Barneet Shale cho thấy rằng mặc dù có sự đa dạng về hiệu quả của giếng trong
khu vực nhưng nó vẫn phụ thuộc đáng kể vào các giếng lân cận. Và sự phụ thuộc
này có thể được khám phá bằng tiêu chuẩn kỹ thuật địa thống kê để dự đoán hiệu
suất của các giếng.


Bài báo 2: Optimal well placement in presence of multiple geostatistical realizations
(Tối ưu hóa vị trí giếng khoan dựa trên nhiều cách tính tốn địa thống kê)
Clayton V. Deutsch, Trung tâm tính tốn Địa thống kê, Khoa Kỹ thuật Xây dựng & Môi
trường Đại học Alberta
2.1 Đặt vấn đề:
Việc xác định vị trí và thời gian khoan các giếng khai thác và bơm ép đóng vai trị
đặc biệt quan trọng trong kế hoạch phát triển mỏ với mục tiêu là tăng tối đa khoảng thời
gian khai thác cân bằng, tỷ lệ thu hồi dầu và các chỉ số kinh tế chủ chốt cùng với giảm tần
suất bơm ép nước. Tuy nhiên, việc xác định vị trí giếng sẽ rất khó khăn với một mơ hình
cấu trúc vỉa và các tính chất địa vật lý duy nhất.
Trên thực tế, người ta thường dựa trên kinh nghiệm của người kỹ sư và mơ phỏng
dịng chảy để thực hiện các u cầu đó. Nhưng nếu có q nhiều trường hợp địa thống kê
thì việc xử lý sẽ trở nên rất phức tạp. Việc xác định vị trí giếng khoan được tối ưu bằng
cách thiết lập một cơ sở dữ liệu tính tốn nhanh cho một kế hoạch giếng và thơng số vỉa.
Sau đó số liệu cần được hiệu chỉnh với một vài kết quả mơ phỏng dịng chảy. Khi đó, việc
tối ưu hóa vị trí giếng khoan có thể được thực hiện đồng thời với nhiều trường hợp địa
thống kê.
2.2 Giải pháp:
Việc thiết lập một chuỗi các trường hợp và xác suất xảy ra của chúng trở thành
một trong những khía cạnh quan trọng nhất để phát triển mơ hình địa thống kê. Ta có n L
mơ hình địa thống kê của vỉa với các xác suất tương ứng pl, l=1, …,nL.
Các ý tưởng cơ bản:
 Chạy một số mơ phỏng dịng chảy với các cấu hình giếng khác nhau và các mơ

hình địa chất khác nhau. Việc tối ưu hóa sẽ dễ dàng hơn với nhiếu mơ phỏng dịng
chảy hơn; 20 mơ hình khác nhau sẽ đưa ra một điểm ban đầu. Các mơ hình khác
nhau sẽ giới hạn các kết quả dự đốn. Bảng tổng hợp các biểu hiện dịng chảy khác
nhau được tính từ mỗi mơ phỏng dịng chảy và mỗi giếng.
 Đưa ra các phép đo chất lượng vỉa tĩnh để nắm được các giếng cục bộ của vỉa
 Tính các phép đo tĩnh trên các mơ hình được dùng để mơ phỏng dịng chảy ở bước
1. Hiệu chỉnh các phép đo vỉa tĩnh cho các biểu hiện dòng chảy khác nhau sử dụng
các công cụ thống kê cổ điển đa dạng. Kết quả là số liệu vỉa tĩnh cho việc mơ
phỏng dịng chảy được tối ưu nhanh chóng.
 Tối ưu hóa một chuỗi vị trí các giếng làm tăng tối đa các phép đo hiệu chỉnh cho tất
cả các trường hợp đồng thời có xét đến xác suất xảy ra của chúng. Việc tối ưu này


có thể được lặp lại để xét đến sự thay đổi trong số giếng, và cấu hình ban đầu, khi
có các hệ số khác nhau.
 Xác nhận kết quả bằng cách chạy mơ phỏng dịng chảy của cấu hình giếng tối ưu
và các biện pháp thay thế phù hợp được đề xuất bởi kỹ sư công nghệ mỏ trước và
sau khi thực hiện tối ưu.
2.3 Ứng dụng thực tế:

Hình 6: Ví dụ của một trường hợp vị trí các giếng được tối ưu hóa. Các điểm màu
đỏ tại cánh phải là vị trí các giếng bơm ép, các điểm màu đen là vị trí các giếng
khai thác và các điểm màu vàng là các vị trí tối ưu.
Hình trên cho thấy một ví dụ của việc tối ưu hóa vị trí các giếng khoan. Các điểm
màu đỏ tại cánh phải là vị trí các giếng bơm ép, các điểm màu đen là vị trí các giếng
khai thác và các điểm màu vàng là các vị trí tối ưu. Các giếng khai thác có độ sâu vừa
(middip) ở vị trí trung tâm được đóng băng (khơng xét đến tác động của chúng với các
giếng xung quanh). Nhìn chung, ta có thể thấy các giếng được di chuyển lên vị trí updip
và khoảng cách giữa chúng trở nên đều hơn. Việc tối ưu hóa giúp tăng 3.85% chất lượng
tổng cộng của vỉa. Mơ phỏng dịng chảy cũng được thực hiện với các vị trí giếng tối ưu

và cho thấy một sự cải thiện bằng một nửa con số đó. Sự tăng lên khiêm tốn này giúp
tạo ra một hiệu quả kinh tế rất lớn. Đặc trưng quan trọng của phép tiếp cận này tới việc
tối ưu hóa vị trí giếng khoan đó là việc xét đến nhiều khía cạnh và trường hợp địa chất.
Bên cạnh đó, việc tối ưu này giúp xác định một kế hoạch giếng vừa tối ưu qua các
trường hợp và qua các mục tiêu trái ngược nhau như trành các vị trí có tính chất vỉa thấp
trong khi tối đa hóa lượng dầu thu hồi.


2.4 Kết luận:
Lợi ích chính của việc tối ưu hóa vị trí giếng khoan thơng qua địa thống kê là khả
năng tối ưu hóa qua một chuỗi các trường hợp địa thống kê khác nhau và có thể lặp lại
các tính tốn này khi có những dữ liệu mới.
Kết quả của việc tối ưu này có thể được đưa vào các trường hợp phức tạp mà khó có thể
lập trình trong một thuật tốn tối ưu, thơng qua nhiều trường hợp chắc chắn sẽ xác định
được vị trí các giếng khoan một cách chính xác.

8


CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH TÍNH TỐN
I. Mơ hình hàm ngẫu nhiên:
Mục đích của địa thống kê là để ước tính giá trị tại vị trí khơng có thơng tin bằng việc
sử dụng các dữ liệu lấy mẫu để xây dựng các mơ hình dự đốn và sử dụng những mơ
hình này để dự đoán các giá trị tại những vị trí khơng có mẫu. Nếu có thể phát triển
hồn tồn một mơ hình xác định dựa trên sự phát triển của vỉa, có thể dự đốn chắc chắn
mọi đặc tính vỉa tại mọi vị trí. Tuy nhiên, điều này khơng thể thực hiện được, bởi mơ
hình nào cũng có sai số. Để phản ánh sự không chắc chắn này, cần xem các giá trị lấy
mẫu như một biến ngẫu nhiên.
Để ước tính giá trị, cần xử lý dữ liệu lấy mẫu như những biến ngẫu nhiên do không
thể biết một con đường chính xác để đi đến giá trị lấy mẫu này. Thiếu bộ kiến thức đầy

đủ liên quan đến sự có mặt của một giá trị xác định của một biến tại một vị trí xác định
chính là lý do cho việc xem giá trị của tại các vị trí được lấy mẫu như những biến ngẫu
nhiên. Để tính toán bộ dữ liệu này, cần phải xử lý những vị trí lấy mẫu và khơng lấy
mẫu bằng mơ hình hàm ngẫu nhiên.
II. Yêu cầu về tính ổn định:
2.1 Định nghĩa tính ổn định:
Phân tích dữ liệu khơng gian là một cơng việc làm giảm mơ hình khơng gian trong sự
biến đổi địa chất sao cho rõ ràng và hữu ích cho việc tổng hợp. Để giải quyết sự biến
đổi của dữ liệu địa chất, giả thiết ổn định cho các cơ chế địa chất được đề xuất.
Theo giả định về tính ổn định, về mặt định tính, yêu cầu mơ hình được đề xuất dựa
trên dữ liệu lấy mẫu có thể trình bày đầy đủ ứng xử của một tập hợp. Muốn suy luận
một tập hợp trên nền tảng dữ liệu lấy mẫu, trong bất kỳ trường hợp kĩ thuật suy luận –
thống kê nào, cũng không thể chứng minh hay bác bỏ giả định này mà phải cần nó để ra
quyết định liên quan đến những thơng tin có thể sử dụng để mơ tả khu vực quan tâm.
Một hàm ngẫu nhiên được gọi là ổn định khi quy luật khơng gian, thống kê của nó là
bất biến.
Một hàm ngẫu nhiên được gọi là ổn định bậc hai (Second-order Stationary) khi:
 Kỳ vọng của hàm ngẫu nhiên tồn tại và khơng phụ thuộc vào vectơ vị trí tọa độ
 Cho mỗi cặp biến ngẫu nhiên Z{x} và Z{x+h}, hiệp phương sai (Covariance) tồn
tại và chỉ phụ thuộc vào khoảng cách thay đổi.


2.2 Ý nghĩa giả thiết ổn định
Cho phép kết luận quy luật không gian bên dưới mô tả hàm ngẫu nhiên chỉ bằng việc
ước tính giá trị trung bình và phương sai của một biến ngẫu nhiên và hiệp phương sai
của hai biến ngẫu nhiên khác nhau khoảng cách.
Với giả thiết ổn định được thiết lập và phân chia dữ liệu phù hợp, các nhà địa chất dễ
dàng xác định được các lớp địa chất cả về phương thẳng đứng lẫn phương ngang.
Trong thực tế, giả thiết này thiết lập một thỏa hiệp giữa quy mô biến đổi địa chất tĩnh
và lượng dữ liệu sẵn có để ước tính thơng số của hàm ngẫu nhiên.

2.3 Ví dụ và giải pháp về vấn đề ổn định
Quyết định ổn định có thể được xem lại một khi phân tích dữ liệu và mơ hình địa
thống kê đã bắt đầu. Ví dụ, có thể chú ý một biểu đồ phân bố tần suất độ rỗng có hai
mode (hai đỉnh sóng) bên trong các tướng đã chọn. Điều đó khơng có nghĩa là khơng ổn
định (non-stationary). Khi đó, nên quay lại dữ liệu và xem xét phân chia dữ liệu thành
hai lớp khác biệt về đặc tính địa chất và thống kê.

Hình 7: Biểu đồ phân tán đã làm mịn cho 234 dữ liệu độ rỗng/ độ thấm
Ví dụ ở hình cho thấy dữ liệu được gọi là ổn định khi đặc tính của nó khơng phụ
thuộc vào khoảng cách (trị trung bình khơng đổi).

10


Hình 8: Dữ liệu ổn định và khơng ổn định

Hình 9: Chia nhỏ khi vực nghiên cứu để tính Variogram
Khi xét một khu vực rộng lớn với nhiều hướng khác nhau, sẽ có nhiều mode, như vậy
sẽ khơng được xem là ổn định. Giải pháp được đưa ra là chia nhỏ khu vực lớn thành
nhiều khu vực nhỏ nhằm đồng nhất dữ liệu về mặt thống kê, khi đó, trong những khu
vực nhỏ sẽ thu được bộ dữ liệu ổn định (một trị trung bình và một mode) và với mỗi
khu vưc nhỏ sẽ sử dụng một mơ hình variogram khác nhau.


Hình 10: Chi khu vực lớn thành 4 khu vực nhỏ theo 4 hướng khác nhau
2.4 Hàm cấu trúc Variogram -γ(h)
Khi xét đến những đặc tính khơng gian của đối tượng nghiên cứu, lý thuyết toán
cơ bản được dùng là "lý thuyết biến số vùng". Biến số đó biến đổi một cách liên tục từ
điểm quan sát này đến điểm quan sát khác song rất khó mơ hình hố bằng một hàm
thơng thường. Giả sử ta có dãy mẫu (điểm đo) trong các điểm đo xi của ơ mạng hình

vng và đo được biến số Z(xi) tương ứng; nếu biến số này thuộc kiểu ổn định (dừng)
thì có thể xác định được giá trị trung bình và nhận được biến số quy tâm Z'(x) bằng
cách trừ các biến số vùng cho giá trị trung bình. Lấy trung bình bình phương biến số
Z(x)
n

D(Z x ) 

�(Z
i 1

xi

 Z x )2

n

[3]

D(Zx) - tương ứng với phương sai mẫu của biến khu vực Z(x).
Dễ nhận thấy rằng, giá trị trong một điểm quan sát nào đó có liên quan đến giá trị
tổng các điểm khác phân bố cách nhau một khoảng cách nhất định. Đồng thời ảnh
hưởng của những mẫu ở khoảng cách xa ít ảnh hưởng hơn những mẫu có khoảng cách
gần nhau. Hơn nữa cũng có thể xảy ra trường hợp mức độ ảnh hưởng của mẫu còn phụ
thuộc vào phương vị khơng gian của vị trí lấy mẫu (khi có tính dị hướng). Để phán ánh
sự phụ thuộc này, người ta thường dùng véctơ khoảng cách h có phương vị xác định.
Mức độ phụ thuộc giữa các điểm đo (lấy mẫu) nằm trên một khoảng cách h i và theo
một hướng xác định nào đó được phản ánh bằng momen tương quan và có thể biểu
diễn bằng đồ thị.
12

Giả sử:

Var | Z x1  Z x 2 | 2 | Z x1  Z x 2 |

[3]

2 | Z x1  Z x 2 |

là hàm của số gia Z(x1) - Z(x2), đã được Matheron gọi là biểu đồ
phương sai hay Variogram hoặc hàm cấu trúc.
Định nghĩa
Variogram được sử dụng hầu hết trong kỹ thuật địa thống kê để mô tả mối quan hệ
không gian. Variogram được định nghĩa như là một nửa kỳ vọng toán học của biến ngẫu

[ Z  Z x  h ]2 , nghĩa là:
nhiên x

 

1
E[ Z x  Z x  h ]
2
.

Variogram thực nghiệm được xác định:
1 N ( h)
 ( h) 
[ Z x  Z x  h ]2

�
2 N (h) i 1

[3]

N(h) - số lượng cặp điểm nghiên cứu.
2.5 Các tính chất của hàm cấu trúc – Variogram
 Giá trị variogram bằng không khi khoảng cách bằng không:
1 N (h )
 (0) 
[ Z x  Z x ]2  0
�
2 N (h) i 1

[3]

 γ(h) = γ(-h), là hàm đối xứng


lim

|h| ��

 ( h)
0
| h2 |

vậy γ(h) tăng chậm hơn so với |h2|.

 γ(h) > 0

 Nếu covariance tồn tại thì variogram tồn tại, ngược lại, nếu variogram tồn tại thì
chưa chắc tồn tại covariance.


Hình 11: Biểu đồ Variogram
Các variogram có những khái niệm sau:
1. Variogram tăng lên từ gốc, tại đó giá trị (h) khá nhỏ.
2. Variogram sau đó ổn định dần ở trị số (h)~ C0, lúc này (h) không tăng (nằm
ngang) và gọi là trần (sill); h = a.
3. Khi vượt quá giới hạn h > a thì giá trị nghiên cứu biến đổi hồn tồn ngẫu nhiên
và khơng có mối quan hệ tương quan lẫn nhau.
4. Giá trị (h=0) có thể khác khơng, variogram lúc đó thể hiện hiện tượng được gọi
là hiệu ứng tự sinh (nugget effect).
5. Khoảng cách h = a để (h) tiệm cận đến trần gọi là bán kính ảnh hưởng.
2.6 Các mơ hình của Variogram
Trong phần này sẽ nói về các phương pháp được sử dụng để mơ phỏng các mơ hình
variogram. Ước lượng variogram chỉ cho phép chúng ta biết các giá trị variogram tại một
khoảng cách lag nhất định. Mục đích chính trong ước lượng variogram là để sử dụng
thơng tin đó để xác định các giá trị biến tại khu vực mẫu chưa biết.
Các variogram thực nghiệm thường là đường zigzag dao động kề đường cong lý
thuyết. Do đó có thể áp dụng các phương pháp khác nhau để mô phỏng về dạng đường
cong lý thuyết.
- Các yêu cầu trong mô phỏng:Trong mô phỏng ước lượng varigram, chúng ta
phải xem xét hay yêu cầu.

14


Thứ nhất, sử dụng ít nhất các thơng số và và mơ hình để mơ phỏng variogram.
Chúng ta cần biết các đặc điểm về bản chất được quan sát từ ước lượng variogram và

quan trọng là biết các đặc điểm không gian của các variogram được ước lượng.
Yêu cầu thứ hai là điều kiện xác định rõ ràng. Bất cứ mơ hình nào được sử dụng để
mơ phỏng variogram hay covariance nên có điều kiện yêu cầu rõ ràng và phù hợp.
Christoakos đã đưa ra một tiêu chuẩn cho phép để đáp ứng các điều kiện xác định. Có vài
mơ hình được kiểm tra cho các điều kiện xác định. Nếu chắc chắn mơ hình phù hợp với
các u cầu của điều kiện xác định thì bất cứ kết hợp mơ hình tuyến tình nào cũng có thể
được chấp nhận. Ví dụ, nếu chúng ta có:
N

 (h)  � i  i (h)
i 1
N

C( h)  �aiCi (h)

[3]

i 1

C(h) và (h) là các mơ hình được chấp nhận nếu các mơ hình C i(h) và i(h) phù hợp
với u cầu của các điều kiện xác định.
- Các mơ hình variogram có ngưỡng (sill): Trong phần này chúng ta sẽ nói đến 4
mơ hình hầu hết được sử dụng trong mơ phỏng để xác định variogram.
-Mơ hình ảnh hưởng bởi Nugget: là mơ hình đơn giản nhất. Trong thực tế, nó được
viết như sau:

 (h)  0 khi h  0
 (h)  Co khi h  0

[3]

Trong đó, Co là giá trị sill. Mơ hình được xác định bằng khơng khi khoảng cách các
lag bằng khơng. Khi có ảnh hưởng của nugget thì variogram tăng đột ngột đến giá trị Co
cho bất cứ khoảng cách lag nào lớn hơn không.
Ảnh hưởng của nugget chỉ ra sự thiếu thông tin trong các mối quan hệ không gian.
Nếu các thành phần variogram được xem xét bởi ảnh hưởng của nugget sạch (purenugget) thì nó nói lên khơng có lượng thơng tin là phù hợp về mối quan hệ không gian
cho các biến đó. Nguyên nhân, có hai lý do: thứ nhất, khoảng cách ngắn nhất giữa các
cặp điểm có thể lớn hơn range của variogram, vì thế chúng ta khơng có các cặp dữ liệu
cho mối tương quan đó. Thứ hai, sai số phép đo có thể cho ta thêm thơng tin không chắn
chắc và được phản ảnh bới giá trị nugget. Trong Hình 12 thể hiện mơ hình ảnh hưởng bởi
nugget với các mơ hình khác. Ảnh hưởng nugget là đường màu đen nằm ngang cũng
chính là sill Co.


-Mơ hình cầu: là mơ hình hầu hết được sử dụng nhiều để thể hiện variogram có
ngưỡng. Phương trình mơ hình variogram dạng cầu:

�
3 �h � 1 �h ��
 (h)  Co � � � � �� khi h �a
212:
2�
a�
�a �
�
�
Hình
Biểu
đồ
Variogram

với Sill
 (h)  Co
khi h  a
3

[3]

Trong đó a là range của mơ hình. Covariance của mơ hình cầu:
3
� 3 �h � 1 �h �
�
C(h)  Co �
1  � � � ��khi h �a
� 2 �a � 2 �a ��
C(h)  0
khi h  a

[3]

Mơ hình cầu được xác định với range a và sill Co. Mơ hình variogram đạt đến sill
tại khoảng cách lag là a. Hình 12 thể hiện mơ hình cầu có hệ số góc lớn nhất tại gốc.
Chính vì thế, nếu variogram tăng nhanh theo range thì mơ hình cầu là lựa chọn tốt nhất
để thử và xác định mơ hình.
-Mơ hình mũ. Phương trình mơ hình mũ được viết như sau:
�
�
�3h �
 (h)  Co �
1  exp � �
� khi h �0

�a �
�
�

16

[3]


Trong đó, a là range hiệu dụng của variogram, tương ứng với covariance:
� �3h �
�
C( h)  Co �
exp � �
� khi h �0
� �a �
�

[3]

Đối với mơ hình cầu, variogram sẽ đạt tiệm cận giá trị sill vì thế, trong thực tế range
được xác định bằng 95% giá trị sill tại khoảng cách lag. Hình 12 cho chúng ta cùng 1
range hệ số góc tại gốc thì mơ hình mũ nhỏ hơn mơ hình cầu.
-Mơ hình Gaussian: phương trình variogram cho mơ hình Gaussian được viết:
�
�
�3h 2 �
 (h)  Co �
1  exp � 2 �
� khi h �0

�a �
�
�

[3]

Trong đó, a là range của mơ hình Gaussiance và covariance tương ứng là:
� �3h 2 �
�
C( h)  Co �
exp � 2 �
� khi h �0
� �a �
�

[3]

Đối với mơ hình Gaussian, hệ số góc tại gốc là khơng, chỉ ra sự thay đổi tính chất
rất nhỏ của hàm variogram theo khoảng cách và range hiệu dụng của mơ hình bằng 95%
sill. Như Hình 12 thể hiện variogram thay đổi dần dần tại gốc và đường cong dạng S
trước khi đạt giá trị sill.
-Các mơ hình kết hợp: Sử dụng bất kỳ trong bốn mơ hình trên, chúng ta có thể tạo
mơ hình variogram bằng cách kết hợp các mơ hình trên. Hầu hết, mơ hình ảnh hưởng bởi
nugget trở thành một phần tự do trong mơ hình variogram kết hợp. Ví dụ, chúng ta viết
mơ hình variogram kết hợp:
3
�
3 �h � 1 �h ��
C(h)  Co  C1 � � � � �� khi h �0
2 �a � 2 �a ��

�

[3]

Trong đó, Co là giá trị sill của nugget, C1 là giá trị sill của mơ hình cầu. Hình 13 bắt
đầu với variogram có giá trị sill là Co thì nó chắc chắn thiết thơng tin về mối quan hệ
khơng gian. Do đó, variogram cuối cùng đạt giá trị sill là Co + C 1 tổng sill của hai mơ
hình.


Hình 13: Mơ hình Variogram kết hợp giữa mơ hình cầu và Nugget-effected
Các mơ hình variogram khơng sill: Các mơ hình khơng sill được sử dụng để mơ
phỏng variogram mà nó tiếp tục tăng khi lag tăng. Các variogram đó cũng tăng đến sill
nhưng trong khu vực thích hợp nó vượt qua sill khi khoảng cách lag tiếp tục tăng. Trong
hai mơ hình đầu tiên thường được sử dụng để mơ phỏng các loại variogram. Mơ hình thứ
ba phổ biến trong cơng nghiệp mỏ và hầu như ít sử dụng để mơ tả variogram của các tính
chất vỉa dầu khí.
- Mơ hình Fractional Gaussian Noise fGn. Mơ hình fGnđược giới thiệu đầu tiên bởi
Hewett, ông sử dụng dữ liệu giếng khoan để đưa ra mơ hình. Có phương trình như sau:
2H
� �h
1
�
h
2 H 2
 ( h)  Cs
2  �  1�  2
�
2


�
� �

2H

2H
�h
� �
 �  1� �
�
� �

[3]

Trong đó Cs là thơng số tỉ lệ là một giá trị khác với sill. H là hệ số mũ gián đoạn
năm giữa 0 và một giá trị giới hạn mà nó phải phù hợp với điều kiện xác định. δ hệ số
trung bình. Ví dụ, nếu δ = 3ft nếu dữ liệu log có độ phân giải là 3ft và δ = 1ft nếu dữ liệu
mẫu lõi có giá trị trên khoảng 1 ft.
- Mơ hình Fractional Brownian Motion f Bm: Mơ hình fBmđược xét để nắm rõ các tính
chất tự nhiên của đối tượng[1]. Phương trình variogram của mơ hình fBm là:

 ( h)  Cs h 2 H

[3]

Trong đó Cs là hệ số tỷ lệ. h là khoảng cách lag và H là hệ số mũ gián đoạn và có
giá trị từ 0 đến 1. Giữa fBmvà fGncó mối quan hệ lẫn nhau như sau:
f Bm  �
fGn

[3]

18


Giá trị H càng lớn thì mơ hình càng mượt hơn
- Mơ hình Log: Phương trình variogram cho mơ hình log:

 ( h)  Co log( h)

khi h  0

[3]

Mô hình log là một trong những mơ hình đầu tiên được sử dụng vào các ứng dụng
địa thống kê. Nó vẫn là mơ hình phổ biến trong kỹ thuật hầm mỏ. Mơ hình log thuận lợi
cho xác định các thơng số mơ hình bằng cách vẽ variogram xác định với khoảng lag trong
thang chia log. Nhưng mơ hình log hầu như khơng sử dụng để mơ tả tính liên tục khơng
gian của tính chất vỉa.
III. Covariance –C(h)
3.1 Định nghĩa
Nếu hai biến ngẫu nhiên Z(x) và Z(x+h) cách nhau một đoạn h có phương sai;
chúng cũng có một covariance và được diễn đạt: [10]
C(h)  E   Z (u)  m  Z (u  h)  m   

1
 Z (u)  m  Z (u  h)  m dv
�
�
v�

v

[3]

Trong đó, m là kỳ vọng tốn học của hàm và C(h) thực nghiệm được tính:
C(h) 

1 N ( h)
� Z (u )  m  Z (u  h)  m
N (h) i 1

[3]

2

� 1 N(h)
�
1 N ( h)

Z (u ).Z (u  h)  �
Z (u i ) �
�
�
N (h) i 1
N (h ) i 1
�
�

2

� 1 N(h)
�
�N (h) �Z (ui ) �
i 1
�
Trong đó, N(h) số cặp điểm có khoảng cách h và n là số điểm mẫu. �
là trung bình cộng của dữ liệu mẫu.
3.2 Tính chất
 C(h=0) � 0
 C(h) = C(-h), là hàm đối xứng
 |C(h)| �C(h=0) nghĩa là: C(h=0) �C(h) �- C(h=0)
 C(h) được xác định là một hàm số dương

�� C (X , X
a

i

j

i

j

)b �0

.


 Một tổ hợp tuyến tính của các covariance với hệ số dương sẽ là một covariance:

N

C (h)  �ai Ci (h) khi a i  0
i 1

 Tích của hai covariance là một covariance
3.3 Các mơ hình của Covariance


Mơ hình lũy thừa
C ( h)  Co .e



3 h
a

với h > 0, 0 < α <2

[3]

Nếu ta có α = 2 thì trở thành mơ hình Gause.


Mơ hình cầu
� �
h
h3 �
�C 1  1.5  0.5  3 �khi 0 �h �a
C ( h)  � �

a
a �
�
�0
khi
h �a
�



[3]

Mơ hình với hiệu ứng tự sinh:
C khi h  0
�
C ( h)  � o
�0 khi h > 0

[3]

Như đã đề cập, covariance tồn tại thì variogram tồn tại. Hai biểu đồ cấu trúc có
quan hệ tương quan γ(h) = C(0) - C(h) (Hình 14)

Hình 14: Covariance và Variogram

IV. Kriging
IV.1.

Kriging

Kriging là phương pháp nội suy tối ưu, chưa biết trước giá trị trung bình, chủ yếu
dựa vào giả thuyết hàm ngẫu nhiên, với việc quan sát sự tương quang giá trị của các
20


điểm xung quanh đến điểm cần xác định. Kriging nội suy dựa trên quy luật BLUE –
Best Linear Unbiased Estimator.
Phương trình cơ bản của Kriging:
n

Z o (u )  mo  �i  Zi (ui )  mi 

[3]

i 1

Mục đích là xác định trọng số

i

và tối thiểu sự variance để phương trình Kriging

2

E
khơng lệch thì sai số
là tối thiểu và giá trị kỳ vọng của giữa giá trị xác định Z o và

giá trị không biết hay giá trị thực là bằng không :

 E2  Var  Z o (u )  Z i (ui )

và

E  Z o (u )  Z i (ui )  0

[3]

Trong đó, Zi chia thành hai thành phần là giá trị dư R i và giá trị theo hướng (trend)
mi, Zi = Ri + mi, thành phần Ri cho bằng 0 và covariance của nó:

E  Ri   0

[3]

Cov(R i , Ri  h )  E  Ri .Ri  h   CR ( h)

[3]

Hàm covariance giá trị dư được xác định từ mơ hình semivariogram:

CR (h)  CR (0)   ( h)  Sill   ( h)

[3]

Tùy thuộc vào ứng dụng khác nhau sẽ sử dụng cho mục đích ước tính khác nhau.
 Simple Kriging: Đơn giản nhất nhưng không cần thiết cho hầu hết thực tiễn.
 Ordinary Kriging: Thủ tục Kriging phổ biến nhất, linh hoạt hơn Simple Kriging và
cho phép các biến thay đổi cục bộ.
 CoKriging: Cho phép ước tính một biến dựa trên thông tin không gian của các

biến khác liên quan. Thủ tục này đặc biệt hữu ích khi có một biến được lấy mẫu rộng rãi
và một biến được lấy mẫu thưa thớt và chúng có tương quan khơng gian.
 Universal Kriging: Dùng khi dữ liệu mẫu biểu hiện theo một phương và giả thiết
ổn định có thể khơng hợp lệ.

4.1 Simple Kriging (SK)