Bài giảng điện tử môn Giải tích 2

Bài giảng giải tích II
Bài giảng giải tích II
Giáo viên: Vũ Thị Thùy
Giáo viên: Vũ Thị Thùy


Khoa: Khoa học cơ bản
Khoa: Khoa học cơ bản


         

       

       
Giáo trình Gi i tích 2ả    ! "  
 #$$
   %  
# &  '"  Toán h c cao c p 2ọ ấ "
(%) "#$$
 &  '"  Toán h c cao c p 3ọ ấ "
(%) "#$$
  " Gi i tích II & III, ả *% 
 *  #$$+   
MÔN GIẢI TÍCH II

MÔN GIẢI TÍCH II
Chương
I
1.1 Tích phân kép
1.2 Tích phân đường

2.1 Khái niệm mở
đầu
2.2 Phương trình vi
phân cấp I
2.3 Phương trình vi
phân cấp II
Chương
II
Chương
III
3.1 Chuỗi số
3.2 Chuỗi lũy thừa
Chương I –
Chương I –
TÍCH PHÂN KÉP
TÍCH PHÂN KÉP
VÀ
VÀ
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
ThS. VŨ THỊ THÙY

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
∫∫
=
D
dxdyyxfI ),(
TÍCH PHÂN KÉP
Cách tính

a/ Nếu D xác định bởi
a x b
c y d
≤ ≤


≤ ≤

( , )
b d
a c
I f x y dy dx
 
⇒ =
 
 
∫ ∫
( , )
b d
a c
dx f x y dy=
∫ ∫
1/ Trong hệ tọa độ vuông góc
y
x
O
D
a
b
c

d

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
∫∫
=
D
dxdyyxfI ),(
TÍCH PHÂN KÉP
Cách tính
Định lý Fubini
b/ Nếu D xác định bởi



≤≤
≤≤
)()(
21
xfyxf
bxa
)(
1
xf
)(
2
xf
a
b
D

∫ ∫








=⇒
b
a
xf
xf
dxdyyxfI
)(
)(
2
1
),(
∫∫
=
)(
)(
2
1
),(
yf
xf
b

a
dyyxfdx
y
x
O

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
D
TÍCH PHÂN KÉP
c/ Nếu D xác định bởi



≤≤
≤≤
)()(
21
ygxyg
dyc
d
c
)(
1
yg
)(
2
yg
∫∫
=⇒

)(
)(
2
1
),(
yg
yg
d
c
dxyxfdyI
Ví dụ 1:
Tính
( )
D
I x y dxdy= +
∫∫
, với D là miền phẳng xác định bởi



−=
=
xy
xy
D
2
:
2
-2
1

O
x
y
O
x
y

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG



−≤≤
≤≤−
xyx
x
D
2
12
:
2
TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này, miền D có thể được biểu diễn lại là
2
1 2
2
( )
x
x
I dx x y dy

−
−
⇒ = +
∫ ∫
2
2
1
2
2
2
x
x
y
xy dx
−
−
 
= +
 
 
∫
1
2 2 2
2 3
2
(2 ) ( )
2
2 2
x x
x x x dx

−
 
−
= − + − −
 
 
∫
3.95=
Ví dụ 2
Tính
D
I xydxdy=
∫∫
, với D là tam giác OAB
trong đó
)0,0(O )1,1(A
)0,2(B

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN KÉP
Cách 1 ( nhìn theo phương đứng )
1
1
thì lúc này



≤≤
≤≤

?0
20
:
y
x
D
nên ta tách D thành
21
DDD =



≤≤
≤≤
xy
x
D
0
10
:
1
1
D
2
D
và



−≤≤

≤≤
xy
x
D
20
21
:
2
1 2
D D
I xydxdy xydxdy⇒ = +
∫∫ ∫∫
O
A
B
x
y

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
1 2 2
0 0 1 0
x x
I dx xydy dx xydy
−
= +
∫ ∫ ∫ ∫
TÍCH PHÂN KÉP
Hay ta có
Cách 2

( nhìn theo phương ngang )
1
1
Lúc này, ta có



−≤≤
≤≤
yxy
y
D
2
10
:
2
1
0
y
y
I dy xydx
−
⇒ =
∫ ∫
1
2
0
2
2
y

x y
dy
y
−
 
=
 
 
∫
O
A
B
y
x

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
M
TÍCH PHÂN KÉP
2/ Trong hệ tọa độ cực

r
ϕ
),(
ϕ
r
là tọa độ cực của M
với
ϕ
cosrx =

ϕ
sinry =
Ví dụ
3
Từ phương trình
ϕ
sin=r
ta tìm ngược lại miền D
Do
ϕ
sin=r
ϕ
sin
2
rr =⇒
yryx ==+⇒
ϕ
sin
22
4
1
2
1
2
2
=







−+⇒ yx
O x
y

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG



≤≤
≤≤
)()(
:
21
21
ϕϕ
ϕϕϕ
rrr
D
TÍCH PHÂN KÉP
Như vậy,
1
ϕ
2
ϕ
12
ϕϕ
−

∫∫
=⇒
D
dxdyyxfI ),(
∫∫
=
)(
)(
2
1
2
1
)sin,cos(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
r
r
rdrrrfd
Ví dụ 4
Tính
∫∫
+=
D
dxdyyxI
22
Lưu ý
Ta áp dụng công thức này khi D có dạng hình tròn

, hay
một phần hình tròn
, với



≥≥
≤+
xyy
yx
D
;0
4
:
22
O
x
y

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG



=
=
ϕ
ϕ
sin
cos

ry
rx
TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này, ta có
Dùng PP đổi biến:





≤≤
≤≤
⇒
20
4
:
r
D
πϕ
π
∫∫
=⇒
2
0
2
4/
rdrrdI
π
π
ϕ

∫∫
=
2
0
2
4/
drrd
π
π
ϕ






−=
43
8
π
π
π
2=
O
x
y
-2
2

Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN KÉP
Ví dụ 5
Tính
, với





≥
≥
≤+≤
0
3
41
:
22
x
xy
yx
D
1
2
Lúc này, miền D tương đương với






≤≤
≤≤
21
23
:
r
D
π
ϕ
π
∫∫
+=⇒
2
1
2
2
3
)sin3cos2( drrdI
ϕϕϕ
π
π
∫∫
+=
D
dxdyyxI )32(
x
y
O

Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
∫∫
=
D
xydxdyI
TÍCH PHÂN KÉP
Ví dụ 6 Tính , với



−≤
≤+
xy
xyx
D
22
:
Lúc này, ta có miền D





≤≤
−≤≤−
ϕ
π
ϕ
π
cos0

42
:
r
D
∫∫
−
−
=⇒
ϕ
π
π
ϕϕϕ
cos
0
4
2
)sin)(cos( rdrrrdI
∫ ∫
−
−








=
4

2
cos
0
3
sincos
π
π
ϕ
ϕϕϕ
ddrr
O
x
y

Trường ĐH SAO ĐỎ



−≤
≤+≤
xy
yyxy 42
22
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉP
a/ Tính diện tích miền phẳng
D
D
S dxdy=
∫∫
Ví dụ 7 Tính diện tích miền phẳng bị giới hạn bởi

Dùng pp tọa độ cực, ta có
∫∫
=
D
D
dxdyS
∫∫
=
ϕ
ϕ
π
π
ϕ
sin4
sin2
4
3
rdrd
∫






=
π
π
ϕ
ϕ

ϕ
4
3
sin4
sin2
2
2
d
r
∫
=
π
π
ϕϕ
4
3
2
sin6 d
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
O
x
y

Trường ĐH SAO ĐỎ
f
b/ Thể tích vật thể
( , )
D
V f x y dxdy=
∫∫

, với điều kiện liên tục trên D
Dyxyxf ∈∀≥ ),(;0),(
Hay cụ thể hơn
Xét vật thể
Ω
+ có hình chiếu vuông góc xuống
Oxy
bằng
D
Dprj
Oxy
=Ω
+ mặt trên
là
),(
2
yxzz =
+ mặt dưới là
),(
1
yxzz =
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉP

Trường ĐH SAO ĐỎ
[ ]
∫∫
−=
Ω
D

dxdyyxzyxzV ),(),(
12
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này
Ví dụ 8
Tính thể tích vật thể bị giới hạn bởi



=
=++
2
4
22
z
zyx
2=z
+ mặt trên
22
4 yxz −−=
+ mặt dưới
2=z
2
22
≤+=Ω yxprj
Oxy
∫∫
≤+
Ω
−−−=⇒

2
22
22
)24(
yx
dxdyyxV
∫∫
−=
2
0
2
2
0
)2( rdrrd
π
ϕ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
O
x
y
z

Trường ĐH SAO ĐỎ
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
( ) ( )
( , ) ( , )
AB BA
f x y ds f x y ds=
∫ ∫
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

Cách tính
: theo nguyên tắc
Việc tính tích phân đường loại 1 được đưa về quá trình
tính một tích phân xác định, theo biến số của pt đường
cong lấy tích phân
Lưu ý
Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào hướng của
đường cong lấy tích phân
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1



≤≤
=
=
βα
t
tyy
txx
;
)(
)(
Lưu ý
: khi đưa tích phân đường về tích phân xác định thì
cận dưới của tích phân xác định luôn bé hơn cận trên
a/ Trường hợp (AB) có pt tham số

2 2
( )
( , ) [ ( ), ( )] ( '( )) ( '( ))
AB
I f x y ds f x t y t x t y t dt
β
α
= = +
∫ ∫
thì
Ví dụ 9
Tính
( )AB
I xyds=
∫
, với (AB) là đoạn thẳng nối
)2,1(A )4,3(B
với

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
A
B
Phương trình tham số của AB
+ có VTCP
)2,2(),( =−−=
ABAB
yyxxAB
+ qua A(1,2)

là phương trình



+=
+=
ty
tx
22
21
có giới hạn tại 2 đầu mút A(1,2) và B(3,4)
+ tại A(1,2)



+=
+=
t
t
222
211
thì
0=⇒ t
+ tại B(3,4)



+=
+=
t

t
224
213
thì
1=⇒ t
O
x
y
1 3
2
4

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
10 ≤≤ t
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
Như vậy,



+=
+=
ty
tx
22
21
Ngoài ra, do




=
=
⇒
2)('
2)('
ty
tx
Suy ra
1
2 2
( ) 0
(1 2 )(2 2 ) 2 2
AB
I xyds t t dt= = + + +
∫ ∫
∫
+++=
1
0
2
)4422(22 dtttt
1
0
32
3
2
2
3
24







++=
tt
t
3
238
=

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
2
( )
( , ) ( , ( )) 1 ( '( ))
b
AB a
I f x y ds f x y x y x dx= = +
∫ ∫
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1



≤≤
=
bxa
xyy )(
b/ Trường hợp (AB) có pt

, khi đó



≤≤
=
dyc
yxx )(
c/ Trường hợp (AB) có pt
2
( )
( , ) ( ( ), ) 1 ( '( ))
d
AB c
I f x y ds f x y y x y dy= = +
∫ ∫
thì

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
( )AB
P xds=
∫
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
Ví dụ 10
Tính
, với (AB) là parabol




+=
)5,2();1,0(
1
2
BA
xy
)1,0(A
)5,2(B
Ta có
1
2
+= xy
xxy 2)(' =⇒
và lúc này
20 ≤≤ x
, nên
∫
+=
2
0
2
)2(1 dxxxP
12
11717 −
=
O x
y

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG






≤≤
=
=
=
βα
t
tzz
tyy
txx
;
)(
)(
)(
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
d/ Trường hợp (AB) có là đường cong trong không gian
(Oxyz), và
hàm số lấy tích phân là f(x,y,z)
Giả sử (AB) có pt tham số
Khi đó,
∫
++=
β
α
dttztytxtztytxf
222

))('())('())('())(),(),((
( )
( , , )
AB
I f x y z ds=
∫