BÀI tập tự LUẬN HÌNH học ôn tập HK1 11

Câu 1.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành ABCD tâm O . Gọi G là trọng tâm
của tam giác SAB và M là trung điểm của AB . Lấy E trong đoạn AD sao cho AD  3 AE .
 SAC  và  SBD  ,  SAD  và  SBC  .
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
2. Chứng minh rằng

GE P  SCD 

3. Tìm giao điểm của

 OGE 

.

và SB .

4. Tìm thiết diện của hình chóp với

 OGE  .
Lời giải

 SAC  và  SBD  ,  SAD  và  SBC  .
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
AC � SAC 
O � SAC 
* Theo giả thiết, O �AC mà
nên
.
BD � SBD 

O � SBD 
Tương tự, O �BD mà
nên
.
SAC
SBD

 và 
 có điểm chung thứ nhất là S , điểm chung thứ 2 là O nên
Hai mặt phẳng
giao tuyến của chúng là SO .
 SAD 

 SBC 

có điểm chung thứ nhất là S và có 2 đường thẳng AD ,
BC lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà AD P BC  giao tuyến của hai mặt phẳng là đường
thẳng đi qua S và song song với AD .
* Hai mặt phẳng

và

GE P  SCD 
2. Chứng minh rằng
.
 ABCD  kẻ EF P DC và trong mặt phẳng  SBC  kẻ FH P SC .
Trong mặt phẳng
BF AE 1
BH BF 1 SH 2






Ta có: BC AD 3  BS BC 3  SB 3 .
SG SH 2


Gọi K là trung điểm cạnh AB thì SK SB 3  HG P AB  HG P EF  4 điểm G , H ,
E , F đồng phẳng.
 GHFE  có FH P SC và EF P DC nên  GHFE  P  SDC   GE P  SCD  .
Mặt phẳng
Trang 1/11


3. Tìm giao điểm của
Trong mặt phẳng

 OGE 

 ABCD 

và SB .

kéo dài EO cắt BC tại P .

Gọi L là trọng tâm tam giác SCD ; M , I lần lượt là trung điểm cạnh SC , CD .
Dễ thấy GL P KI  GL P ED  G , L , E , D đồng phẳng.
Mặt phẳng
ED .

 GLDE 

cắt mặt phẳng

Trong mặt phẳng

 GLDE  , GE

Trong mặt phẳng

 SBC 

 SBC 

theo giao tuyến Mt đi qua M và song song với

cắt Mt tại N .

 OGE  và SB .
nối N , P cắt SB tại Q thì Q là giao điểm của

 OGE  .
4. Tìm thiết diện của hình chóp với
 SAB  nối Q , G cắt SA tại R .
Trong mặt phẳng
 OGE  là tứ giác EPQR .
Thiết diện của hình chóp với
Câu 2.

Trong khơng gian cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O . Các điểm M
là trung điểm của BC . Điểm P thuộc cạnh SA sao cho AP  2 PS .
1. Tìm giao tuyến của

 SAD 

và

 SBC 

 SBD  . Chứng minh: SC //  DMP 
2. Tìm giao điểm của PM và
3. Mặt phẳng



đi qua P và song song với các đường thẳng AD và SB . Tìm thiết diện của

hình chóp cắt bởi mặt phẳng
Lời giải

   . Thiết diện là hình gì?

Trang 2/11


1.
S � SAD  � SBC 

�

�
��  SAD  � SBC   Sx // AD // BC
�
�

AD � SAD  SB � SBC 
,
AD // BC

 SAM  �PM
2. +) Chọn
 ABCD  gọi J  BD �AM
Trên
J �AM � SAM  �
�
�� J � SAM  � SBD 
J �BD � SBD  �

S � SAM  � SBD 
Lại có
� SJ   SAM  � SBD 
Trên

 SAM  gọi

N  SJ �PM

N �PM

�

�� N  PM � SBD 
N �SJ � SBD  �
Ta có:
 ABCD  gọi E  MD �AC
+) Trên

Xét ACD có E là giao của hai đường trung tuyến CO và DM nên E là trọng tâm ACD

2
2 1
1
CE 1
� CE  CO  � AC  AC �

3
3 2
3
AC 3
SP CE 1

 � PE // SC
Xét SAC có: SA CA 3
Ta có:

PE � DMP  SC � DMP  PE // SC � SC //  DMP 
,

3.
P � SAD  �  

AD � SAD 
AD //   

P � SAB  �  
SB � SAB  SB //   

�
�
��  SAD  �    PQ // AD
�
�

 Q �SD 

�
�
��  SAB  �    PF // SB
�
�

 F �AB 
Trang 3/11


F � ABCD  �  
AD � ABCD 
SB //   

�
�

��  ABCD  �    FK // AD
�
�

 K �CD 

 SCD  �    QK
Do đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng



là tứ giác PQKF .

Xét tứ giác PQKF có PQ // FK (vì cùng song song với AD ) nên PQKF là hình thang.
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
Câu 3.



là hình thang PQKF .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang có cạnh đáy lớn AB . Điểm M nằm trên
cạnh SA ( M không trùng với S , A ), điểm N nằm trên cạnh BC ( N không trùng với B, C ).



đi qua M đồng thời song song với SD và BC .
SAB 
MCD 
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 

và 
.
Mặt phẳng

SBD 
2. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và 
.


3.Tìm thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi   .
Lời giải

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

 SAB 

và

 MCD  .

�M � MCD  � SAB 
�
CD � MCD  , AB � SAB 
�
�AB // CD
�  MCD  � SAB   ME // AB // CD,  E �SB 
Ta có �
.
SBD 
2. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và 

.

Trang 4/11


Ta có

S � SAN  � SBD 

Trong mặt phẳng

(1).

 ABCD  ,

gọi AN �BD  I .

�
�I �AN , AN � SAN 
��
�I �BD, BD � SBD  � I � SAN  � SBD  (2).

Từ (1) và (2)

 SAN  � SBD   SI .

Trong mặt phẳng

 SAN  ,

gọi MN �SI  K .

�K �MN
��
�K �SI , SI � SBD  � K  MN � SBD  .
Vậy

K  MN � SBD 

.


3. Tìm thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi   .
�M �   � SAD 
�
�
SD � SAD  , SD //    �    � SAD   MP // SD,  P �AD 
Ta có �
(3).
�
�P �   � ABCD 
�
BC � ABCD  , BC //    �    � ABCD   PQ // BC ,  Q �AB 
Lại có �
(4).

�
Q �   � SAB 
�
�

M �   � SAB  �    � SAB   QM
Mặt khác �
(5).

Từ (3), (4) và (5) có thiết diện của hình chóp S . ABCD khi cắt bởi mặt phẳng   là tam giác
MPQ .
Câu 4.

Cho 4 điểm O, A, B, C không đồng phẳng. Trên các đường thẳng OA, OC lần lượt lấy các
điểm M , K khác O sao cho đường thẳng AC cắt MK tại J .
1. Tìm giao tuyến của

 KMB  và  ABC  .

2. Trên đường thẳng OB lấy điểm N sao cho BC cắt NK tại I , AB cắt MN tại H . Chứng
minh rằng I , J , K thẳng hàng.
Lời giải

Trang 5/11


J  MK �AC � J � KMB  � ABC 
1. Ta có:
.
BJ   KMB  � ABC 
Vậy
.
I  NK �BC � I � MNK  � ABC 
2. Ta có:
J  MK �AC � J � MNK  � ABC 

H  MN �AB � H � MNK  � ABC 

� I , J , K thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng  MNK  và  ABC  .
Vậy I , J , K thẳng hàng.
Câu 5.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi H , I , K , L lần lượt là
trung điểm của SA, SC , OB, SD .
1. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng
2. Chứng minh

OL / /  HIK 

 SAC 

và

 SBD  ;  HIK 

và

 SBD  .

.

 HIK  .
3. Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD khi cắt bởi mặt phẳng
Lời giải

1. +) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

S � SAB  � SCD 
Ta có
(1).

 SAC 

và

 SBD  .

Trang 6/11


O �BD, BD � SBD  � O � SBD 
�
�
�
O �AC , AC � SAC  � O � SAC  � O � SAC  � SBD 
Lại có �
(2).
Từ (1) và (2) suy ra

 SAB  � SCD   SO .

+) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

 HIK 

và

 SBD  .

�
�K � HIK 
�
K �BD, BD � SBD  � K � SBD  � K � HIK  � SBD 
Ta có �
(3).
Trong mặt phẳng

 SAC  , gọi

SO �HI  J .

�J �SO, SO � SBD  � J � SBD 
�
�
J �IK , IK � HIK  � J � HIK  � J � SBD  � HIK 
Ta có �
(4).
Từ (3) và (4) suy ra
2. Chứng minh

 HIK  � SBD   KJ .

OL / /  HIK 

.

Ta có O là trung điểm của BD; L là trung điểm của SD � OL / / SB (5).

Lại có HI là đường trung bình của SAC � J là trung điểm của SO.
Mặt khác K là trung điểm của OB .

� KJ / / SB (6).
Từ (5) và (6) suy ra

OL / / KJ ; KJ � HIK  � OL / /  HIK 

(đpcm).

 HIK  .
3. Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD khi cắt bởi mặt phẳng
Trong mặt phẳng

Ta có

 SBD  ,

gọi KJ �SD  P .

�K � HIK  � ABCD 
�
�HI � HIK  ; AC � ABCD  �  HIK  � ABCD   d
�HI / / AC
�

( d đi qua K , d / / HI / / AC ).

Gọi d cắt AB, BC lần lượt tại M , N .
Ta có

 HIK  � ABCD   MN

 HIK  � SBC   NI

 HIK  � SCD   IP

Trang 7/11


 HIK  � SDA  PH
 HIK  � SAB   HM

 HIK  là ngũ giác MNIPH .
Vậy thiết diện của hình chóp S . ABCD khi cắt bởi mặt phẳng
Câu 6.

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB . Gọi M , N là hai điểm
trên đoạn SB , SD sao cho MN khơng song song với BD .

1. Tìm giao tuyến của

 SAC 

và

 SBD  .

 CMN  .
2. Tìm giao điểm của SA và

Lời giải

1. Tìm giao tuyến của

 SAC 

và

 SBD  .

gS � SAC  � SBD  (1)

g Trong mp  ABCD  , gọi O  AC �BD
�
O �AC � SAC 
�
��
� O � SAC  � SBD 
O �BD � SBD 
�
Từ

(2)

 1 ,  2  �  SAC  � SBD   SO

 CMN  .
2. Tìm giao điểm của SA và
gC � SAC  � CMN  (3)

g Trong mp  SBD  , gọi E  SO �MN
�
�E �SO � SAC 
��
� E � SAC  � CMN 
�E �MN � CMN 

(4)
Trang 8/11


Từ

 3 ,  4  �  SAC  � CMN   CE

g Trong mp  SAC  , gọi I  SA �CE
�I �SA
��
� I  SA � CMN 
�I �CE � CMN 
Câu 7.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của SA , CD . Gọi E là giao điểm của AD và BN .
1. Tìm giao tuyến của
2. Chứng minh:

 SAB 

và

 SCD  ;  SAC 

 OMN  //  SBC  , từ đó suy ra

và

 SBD  .

SB //  OMN 

.

BMN 
3. Từ giao điểm F của SD và 
. Chứng minh: SF  2 FD .
GF //  SAB 
4. Gọi G là giao điểm của AN và BD . Chứng minh
.
Lời giải

SAB 
SCD   SAC 
SBD 
1. Tìm giao tuyến của 
và 
;
và 
.
SAB 

SCD 
+) Giao tuyến của 
và 

Ta có S là điểm chung thứ nhất.

Vì

�AB � SAB 
�
CD � SCD 
�
�AB //CD
�  SAB  � SCD   a
�

+) Giao tuyến của

 SAC 

và

là đường thẳng đi qua S và song song với AB, CD .

 SBD 

Ta có S là điểm chung thứ nhất.

Trang 9/11

O �AC � SAC  � O � SAC 
�
�
�O
�
O �BD � SBD  � O � SBD 
�
Vì
là điểm chung thứ 2.
Suy ra

 SAC  � SBD   SO .

2. Chứng minh:

 OMN  //  SBC  , từ đó suy ra





SB //  OMN 

.

�
OM � SBC
�
�

OM //SC
� OM // SBC
�
�
SC � SBC
Ta có �
(1).

















�
ON � SBC
�
�
ON //BC
� ON // SBC

�
�
BC � SBC
Ta lại có �

Từ (1) và (2) suy ra




(2).

 OMN  //  SBC  �  SBC  �SB //  OMN  .

BMN 
3. Từ giao điểm F của SD và 
. Chứng minh: SF  2 FD .
Trong tam giác ABE , vì N là trung điểm của CD và AB //DN
Nên D là trung điểm của BE .
Suy ra F là trọng tâm của tam giác SAE � SF  2FD .
GF //  SAB 
4. Gọi G là giao điểm của AN và BD . Chứng minh
.

Ta có G là trọng tâm của tam giác ACD � DG  2GO , mà

DO 

1
DB

2

1
� DG  DB
3
.

1
�
DG  DB
�
�
3
� GF //SB
�
�DF  1 DS
3
Trong tam giác SBD có �
.

GF //SB
�
� GF //  SAB 
�
SB � SAB 
�
Ta có
.
Câu 8.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.Gọi G là trọng tâm tam giác SAB
.Lấy điểm M thuộc cạnh AD sao cho AD  3 AM .
1. Tìm giao tuyến của

 SAB  và  GCD  .

 SGM  .
2. Tìm giao điểm I của CD và
MG / /  SCD 
3. Chứng minh:
.
Lời giải
Trang 10/11


1. Tìm giao tuyến của

 SAB  và  GCD  .

G �( SAB ) �(GCD)
�
�
�AB �( SAB), CD �(GCD)
�AB / / CD ( gt )
�
� ( SAB) �(GCD)  Gx ', Gx '/ / AB / / CD.

 SGM  .
2. Tìm giao điểm I của CD và
Gọi N là trung điểm của AB.

� G �SN � MN �( SGM )
Trong

 ABCD  , gọi  I   MN �CD �  I   CD �( SGM )

3. Chứng minh:

MG / /  SCD 

G là trọng tâm của SAB

�

.

NG 1
 (1)
NS 3 .

Gọi P là trung điểm của CD.
� MD / / NP
IM MD 2
�


IN
NP 3
NM 1
�
 (2)

NI
3
NG NM
(1), (2) �

NS
NI
� MG / / SI
.
�MG �( SCD )
�
�SI �( SCD )
�MG / / SI (cmt )
�
Ta có: � MG / /( SCD ) .
Trang 11/11