Dùng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

G.NTH
1. Các kiến thức cần nắm

1.1. Các hệ thức cơ b¶n
+ cos 2 α + sin 2 α = 1

1
π
(α ≠ + kπ)
2
2
cos α
1
+ 1 + cotg2α =
(α ≠ kπ)
sin 2 α

+ 1 + tg2α =

kπ
)
2
1.2. C«ng thøc céng gãc
+ cos(α ± β) = cosα cosβ  sinα sinβ
+ sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
tgα ± tgβ
π
+ tg (α ± β) =
(α ; β ≠ + kπ)
1  tgα tgβ
2

cot gα. cot gβ  1
+ cotg(α ± β) =
(α; β ≠ kπ)
cot gα ± cot gβ
1.3. C«ng thøc nh©n
+ sin2α = 2 sinα cosα
+ cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α
2 tgα
π
π
+ tg2α =
(α ≠ + k )
2
4
2
1 − tg α

+ tgα . cotgα = 1 (α ≠

cot g 2 α − 1
kπ
(α ≠ )
2 cot gα
2
+ sin3α = 3sinα - 4sin3α
+ cos3α = 4cos3α - 3cosα
3tgα − tg 3α
π
π
+ tg3α =

(α ≠ + k )
3
6
3
1 − 3tg α
1.4. C«ng thøc h¹ bËc
1 + cos 2α
1 − cos 2α
+ cos2α =
+ sin2α =
2
2
π
1 − cos 2α
(α ≠ + kπ)
+ tg2α =
2
1 + cos 2
1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+
−β
cos
+ cosα + cosβ = 2cos
2
2
α +β
α β
sin
+ cosα - cosβ = - 2sin
2

2
α+β
α β
cos
+ sinα + sinβ = 2sin
2
2
α +β
α −β
sin
+ sinα - sinβ = = - 2cos
2
2

+ cotg2α =

1


G.NTH
sin(α ± β)
π
(α; β ≠ + kπ)
cos α. cos β
2
1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
+ cos.cos = [cos( + β) + cos(α − β)]
2
1

+ sinα.sinβ = [cos(α − β) + cos(α + β)]
2
1
+ sinα.cosβ = [sin(α + β) + sin( )]
2

+ tg tg =

Biểu thức đại số

Biểu thức lượng giác
tương tự

1 + x2

1 + tan2t

4x3 - 3x
2x2 - 1
2x
1− x2
2x
1+ x2
x+y
1 − xy

4cos3t - 3cost
2cos2t - 1

1

cos 2 t
4cos3t - 3cost = cos3t
2cos2t - 1 = cos2t

2 tan t
1 − tan 2 t

2 tan t
= tan2t
1 − tan 2 t

2 tan t
1 + tan 2 t

2 tan t
= sin2t
1 + tan 2 t

tan  + tan 
1 − tan  tan 

tan  + tan 
= tan(+)
1 tan tan

Công thức lượng giác

1+tan2t =

1

1
1
1 = tan2
2
2
cos
cos
...
....
......
một số phương pháp lượng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số

x2 - 1

I. Dạng 1: Sư dơng hƯ thøc sin2 + cos2 = 1

1) Phương pháp:
x = sin
a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt
với [0, 2]
y = cos α
 x = r sin 
víi α ∈ [0, 2π]
 y = r cos 

b) NÕu thÊy x2 + y2 = r2 (r > 0) thì đặt

2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = 1

Chøng minh r»ng: − 2 ≤ a(c+d) + b(c-d) ≤ 2
2


G.NTH
Giải:
c = sin v
a = sin u
và
S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
b = cos u
d = cos v

Đặt

P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv)
= sin(u+v) - cos(u+v)
π

⇔ S = 2 sin(u + v) −  ∈[− 2, 2] ⇒ − 2 ≤ S = a(c + d) + b(c − d) ≤ 2 (®pcm)
4

2

2

1 
1 
25


VD2: Cho a + b = 1. Chøng minh r»ng:  a 2 + 2  +  b 2 + 2
2
a
b

2

2

Giải:
Đặt a = cosα vµ b = sinα víi 0 ≤ α 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến ®æi.
2

2

2

1   2
1 
 2 1  2 1   2
 a + 2  +  b + 2  =  cos α +
 +  sin α + 2 
2
a  
b  
cos α  
sin α 


2

1
1
cos 4 α + sin 4 α
+ 4 + 4 = cos 4 α + sin 4 α +
+4
cos 4 α sin α
cos 4 α. sin 4 α

= cos4α + sin4α +

(

)

[(

)

1


= cos 4 α + sin 4 α 1 +
+4
4
4
 cos α. sin α 

]

1


= cos 2 α + sin 2 α − 2 cos 2 α sin 2 α 1 +
+4
4
4
 cos α. sin α 
16 
17
25
 1

 1
= 1 − sin 2 2α 1 + 4
(®pcm)
 + 4 ≥ 1 − (1 + 16) + 4 = + 4 =
2
2
 2
 sin 2α 
 2

Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện a2+b2=1
VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chøng minh r»ng:
A = a 2 − b 2 + 2 3ab − 2(1 + 2 3 )a + (4 − 2 3 )b + 4 3 − 3 ≤ 2
Giải:
Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 = 1
a 1 = sin
a = 1 + sin

Đặt 
⇒
⇒ A = sin 2 α − cos 2 α + 2 3 sin α cos α
b − 2 = cos α b = 2 + cos α

A = 3 sin 2α − cos 2α = 2

3
1
π
sin 2α − cos 2α = 2 sin( 2α − ) ≤ 2 (®pcm)
2
2
6

VD4: Cho a, b tho¶ m·n : 5a + 12b + 7 = 13
3


G.NTH
Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1
Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ 1
a 1 = R sin
Đặt
với R 0 ⇔
b + 1 = R cos α

a = R sin α + 1
⇔ (a − 1) 2 + (b + 1) 2 = R 2


b = R cos α − 1

Ta cã: 5a + 12b + 7 = 13 ⇔ 5(R sin α + 1) + 12(R cos α − 1) + 7 = 13
⇔ 5R sin α + 12R cosα = 13 ⇔ 1 = R

5
12
5

sin α + cosα = R sin α + arccos  ≤ R
13
13
13


Tõ ®ã ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ 1 ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) ≥ - 1 (đpcm)
II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị | sin α |≤ 1 ; | cos α | ≤ 1

1. Phương pháp:


x = sin khi ∈  − 2 ; 2 



 x = cos  khi  ∈ [ 0;  ]


a) NÕu thÊy |x| 1 thì đặt

x = m sin  khi  ∈  − 2 ; 2 
b) NÕu thÊy |x| ≤ m ( m ≥ 0 ) thì đặt


x = m cos khi  ∈ [ 0;  ]


2. C¸c vÝ dơ minh ho¹:
VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| 1 ; P 1.
Giải:
Đặt x = cosα víi α ∈ [0, π], khi ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p
p

p

α 
α
α
α
α
α



=  2 cos 2  +  2 sin 2  = 2 p  cos 2 p + sin 2 p  ≤ 2 p  cos 2 + sin 2  = 2 p
2 
2

2
2
2
2




(®pcm)
VD2: Chøng minh r»ng:

3−2
3+2
≤ 3x 2 + x 1 x 2
2
2

Giải:
Từ đk 1 - x2 0 |x| 1 nên
Đặt x = cosα víi 0 ≤ α ≤ π ⇒ 1 − x 2 = sinα. Khi ®ã ta cã:
P= 2 3 x 2 + 2 x 1 − x 2 = 2 3 cos 2  + 2 cos  sin  = 3 (1 + cos 2 ) + sin 2

4


G.NTH

 3

1

π

= 2 cos2α + sin 2α + 3 = 2 sin 2α +  + 3 ⇒ 3 − 2 ≤ A ≤ 3 + 2 (®pcm)
2
3

2

VD3: Chøng minh r»ng: 1 + 1 − a 2

[ (1 + a)

3

]

− (1 − a )3 ≤ 2 2 + 2 − 2a 2 (1)

Giải:
Từ đk |a| 1 nên
Đặt a=cos với α∈[0,π] ⇒ 1 − a = 2 sin
(1)⇔

1 + 2 sin

α
α
; 1 + a = 2 cos ; 1 − a 2 = sin α
2
2

α
α
α
α
α
α

cos .2 2 cos 3 − sin 3  ≤ 2 2 + 2 2 sin cos
2
2
2
2
2
2


α 
α
α 
α
α
α
α
α
α
 α
⇔  sin + cos  cos − sin  cos2 + sin cos + sin 2  ≤ 1 + sin cos
2
2 

2
2 
2
2
2
2
2
2


α 
α
α
α
α
 α
⇔  sin + cos  cos − sin  = cos 2 − sin 2 = cos α ≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm)
2
2 
2
2
2
2


) (

(

)

VD4: Chøng minh r»ng: S = 4 (1 − a 2 )3 − a 3 + 3 a 1 a 2 2
Giải:
Từ đk |a| 1 nên:
Đặt a = cos với [0, π] ⇒ 1 − a 2 = sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:
S= 4(sin 3 α − cos 3 α) + 3(cos α − sin α) = (3 sin α − 4 sin 3 α) + (4 cos 3 α − 3 cos α)
π

= sin 3α + cos 3α = 2 sin  3α +  ≤ 2 ⇒ (®pcm)
4


(

)

VD5: Chøng minh r»ng A = a 1 − b 2 + b 1 − a 2 + 3 ab − (1 − a 2 )(1 − b 2 ) 2
Giải:
Từ điều kiện: 1 - a2 0 ; 1 - b2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| 1 nên.

Đặt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈ − ; 
 2 2

Khi ®ã A = sin α cos β + cos α sin β − 3 cos(α + β) =

1
3
π

= sin(α + β) − 3 cos(α + β) = 2 sin(α + β) − cos(α + β) = 2 sin(α + β) −  ≤ 2

2
2
3

(®pcm)
VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3]
5


G.NTH
Giải:
Do a [1, 3] nên |a-2| 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cosα. Ta cã:
3
A = 4(2 + cosα)3 − 24 2 + cosα)2 + 45 2 + cosα) − 26 = 4cos α − 3cosα = cos3α ≤1
(
(

(®pcm)
VD7: Chøng minh r»ng: A =

2a − a 2 − 3a + 3 ≤ 2 ∀ a ∈[0, 2]

Gi¶i:
Do a ∈ [0, 2] nên |a-1| 1 nên ta đặt a - 1 = cosα víi α ∈ [0, π]. Ta cã:
A=

2(1 + cos α ) − (1 − cos α ) 2 − 3 (1 + cos α ) + 3 = 1 − cos 2 α − 3 cos α

1


3
π

cos α  = 2 sin  α +  ≤ 2 (®pcm)
= sin α − 3 cos α = 2 sin
2

2
3



III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg2 =

π
1
1
⇔tg2α= 2 −1 (α ≠ + kπ)
2
2
cos α
cos α

1) Ph­¬ng pháp:
a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức
thì đặt x =

1
3
với α∈ 0;  ∪ π, 

cos α
 2  2

b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức
thì đặt x =

x2 1

x 2 m2

m
  3π 
víi α∈ 0;  ∪ π, 
cos
2 2

2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chøng minh r»ng A =

a2 −1 + 3
≤ 2 ∀ a 1
a

Giải:
Do |a| 1 nên :
Đặt a =
A=

1
  3π 

víi α∈ 0;  ∪ π,  ⇒
cos α
 2  2 

a 2 − 1 = tg 2 α = tgα . Khi ®ã:

a 2 −1 + 3
π

= (tgα + 3) cosα = sin α + 3 cosα = 2 sin α +  ≤ 2 (®pcm)
a
3


5 − 12 a 2 − 1
VD2: Chøng minh r»ng: - 4 ≤ A =
≤ 9 ∀ a ≥1
a2

Gi¶i:
6


G.NTH
Do |a| 1 nên:
Đặt a =

1
3π 
víi α∈ 0;  ∪ π,  ⇒

cos α
 2  2 

a 2 − 1 = tg 2 α = tgα . Khi ®ã:

5(1+ cos2α)
5−12 a2 −1
− 6sin2α
= (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα=
2
2
a
5 13  5
12
5
 5 13 
= +  cos 2α − sin 2α  = + cos 2α + arccos 
2 2  13
13
13 
 2 2


A =

⇒-4=

5 13
5 13 
5  5 13

+ (−1) ≤ A = + cos 2α + arccos  ≤ + .1 = 9 (®pcm)
2 2
2 2
13  2 2


VD3: Chøng minh r»ng: A =

a 2 − 1 + b2 − 1
≤1
ab

∀ a ; b ≥1

Gi¶i:
Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nên .
Đặt a =

1
1
3
;b=
với 0;  ∪ π,  . Khi ®ã ta cã:
cos β
cos α
 2  2 

A = ( tgα + tgβ) cos α cos β = sin α cos β + sin β cos α = sin(α + β) ≤ 1 (®pcm)
VD4: Chøng minh r»ng: a +

a
a −1
2

≥ 2 2 a >1

Giải:
Do |a| > 1 nên:
Đặt a =
a+

1
a
1
1
1

với α∈  0;  ⇒
. Khi ®ã:
=
.
=
cos α
 2
a 2 − 1 cos α tg 2 α sin α

a
a2 −1

=

1
1
1
1
2 2
+
≥ 2.
.
=
≥ 2 2 (®pcm)
cos α sin α
cos α sin α
sin 2α

VD5: Chøng minh r»ng y x 2 − 1 + 4 y 2 − 1 + 3 ≤ xy 26 x ; y 1
Giải:
Bất đẳng thức

x2 1
+
x

Do |x|; |y| 1 nên Đặt x =

1  4 y2 − 1 3 

+  ≤ 26 (1)

x

y
y



1
1
 π
,
; y=
víi α, β∈ 0 .
cosβ
cos α
 2
7


G.NTH
Khi ®ã: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤

26

Ta cã: S ≤ sinα + cosα (4 2 + 32 )(sin 2 β + cos 2 β) = sin α + 5 cos α
≤ (12 + 52 )(sin 2  + cos 2  ) = 26 ⇒ (đpcm)
IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg2 =

1
cos 2

1. Phương pháp:

a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tg víi α ∈  − , 
 2 2
 π
b) Nếu x R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtg với ,
2 2

2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh r»ng: S =

3x
1 + x2

−

4x 3
(1 + x 2 )3

1

Giải:
1

Đặt x = tg với − ,  ⇒ 1 + x 2 =
, khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:
cos α
 2 2

S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ 1

(đpcm)

3 + 8a 2 + 12a 4
VD2: Tìm giá trị lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A =
(1 + 2a 2 ) 2

Gi¶i:
3 + 4 tg 2 α + 3tg 4

Đặt a 2 = tg víi α∈ − ,  th× ta cã: A =
(1 + tg 2 α) 2
 2 2
3 cos 4 α + 4 sin 2 α cos 2 α + 3 sin 4 α
=
= 3(sin 2 α + cos 2 α) 2 − 2 sin 2 α cos 2 α
2
2
2
(cos α + sin α)
sin 2 2α
5
1
sin 2 2α
0
⇒ = 3− ≤ A = 3−
≤ 2− =3
2
2
2
2

2
1
π
5
Víi α = 0 ⇒ a = 0 th× MaxA = 3 ; Víi α = ⇒ a =
th× MinA =
2
4
2

=3-

VD3: Chøng minh r»ng:

(a + b)(1 − ab) 1
≤ ∀ a, b ∈ R
(1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2

Gi¶i:
8


G.NTH
Đặt a = tg, b = tg. Khi đó
= cos 2 α cos 2 β.

(a + b )(1 − ab)
(tgα + tgβ)(1 − tgαtgβ)
=
2

2
(1 + a )(1 + b )
(1 + tg 2 α)(1 + tg 2β)

sin(α + β) cos α. cos β − sin α. sin β
.
cos α. cos β
cos α. cos β

1
1
sin[2(α + β)] ≤ (®pcm)
2
2
| a −b |
| b−c|
| c −a |
VD4: Chøng minh r»ng:
+
≥
∀ , b,c
a
(1+a2)( +b2) (1+b2)( +c2)
1
1
(1+c2)( +a2)
1

= sin(α + β) cos(α + β) =

Giải:
Đặt a = tg, b = tg, c = tg. Khi đó bất đẳng thức
| tg tg β |
| tg β − tg γ |
| tg γ − tg α |
⇔
+
≥
(1 + tg 2 α )(1 + tg 2 β )
(1 + tg 2 β )(1 + tg 2 γ )
(1 + tg 2 γ )(1 + tg 2 α )
⇔ cos α cos β.

sin(α − β)
sin(β − γ )
sin( γ − α)
+ cos β cos γ.
≥ cos γ cos α.
cos α. cos β
cos β. cos γ
cos γ. cos α

⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)|. BiÕn ®ỉi biĨu thøc vÕ ph¶i ta cã:
|sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤
|sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)|
≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (®pcm)
ab + cd ≤ (a + c)(b + d ) (1) ∀a , b, c, d > 0

VD5: Chøng minh r»ng:

Gi¶i:
(1) ⇔

ab
+
( a + c )( b + d )

cd
≤1⇔
( a + c )( b + d )

cd
1
ab
+
≤1
c 
b
c 
b


 1 +  1 + 
 1 +  1 + 
 a  d
a d

c
d

Đặt tg2= , tg2= víi α,β ∈  0,  ⇒ BiÕn ®ỉi bÊt ®¼ng thøc
a
b
 2

⇔

1
(1 + tg α)(1 + tg β)
2

2

+

tg2α.tg2β
(1 + tg α)(1 + tg β)
2

2

= cos2 α cos2 β + sin2 α sin2 β ≤ 1

⇔ cosα cosβ + sinα sin = cos(-) 1 đúng (đpcm)
Dấu bằng xảy ra ⇔ cos(α-β) = 1 ⇔ α=β ⇔

c d
=
a b

6a + 4 | a 2 1 |
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
a2 +1

9


G.NTH
Giải:
Đặt a = tg


. Khi đó A =
2

6 tg





+ 4 | tg 2 − 1 |
2 tg
tg 2 − 1
2
2 + 4.
2
2
= 3.
α

α
α
tg 2 + 1
1 + tg 2
tg 2 + 1
2
2
2

A = 3sin α + 4 |cosα| ≥ 3 sinα + 4.0 = 3sinα ≥ 3.(-1) = -3
Sư dơng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
A2 = (3sin + 4 |cosα|)2 ≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α) = 25 ⇒ A ≤ 5
Víi sinα = 1 ⇔ a = 1 th× MinA = - 3 ; víi

sin α | cos |
thì MaxA = 5
=
3
4

V. Dạng 5: Đổi biến số đưa về bất đẳng thức tam giác

1) Phương ph¸p:
π

x; y; z > 0
A; B; C ∈ (0; )
a) NÕu  2
th× ∃∆ABC : 
2

x + y 2 + z 2 + 2xyz = 1

x = cos A; y = cos B; z = cos C

π

x; y; z > 0
A; B; C ∈ (0; )
b) NÕu 
th× ∃∆ABC : 
2
x + y + z = xyz
x = tgA; y = tgB; z = tgC

π

A; B; C ∈ (0; 2 )

x; y, z > 0

x = cot gA; y = cot gB; z = cot gC
c) NÕu 
th× ∃∆ABC : 
A; B; C ∈ (0; π)
xy + yz + zx = 1



A
B

C
x = tg ; y = tg ; z = tg

2
2
2


2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 vµ zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
1 1 1
S = + + − 3( x + y + z)
x y z
Gi¶i:
Tõ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
Do xy + yz + zx = 1 nªn tg

α
β
γ
 π
; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0, 
2
2
2
 2

α β
β γ
γ α

tg + tg tg + tg tg
=1
2 2
2 2
2 2

10


G.NTH
β
γ
tg + tg
α β
β γ
γ
2 = 1 ⇔ tg β + γ  = cot g α
⇔ tg  tg + tg  = 1 - tg tg ⇔ 2


2
2 2
2 2 1 − tg β tg γ tg α
2
2 2
2 2
2
β γ π α
α+β+ γ π
β γ 

π α
= ⇔ α+β+ γ = π
⇔ tg +  = tg +  ⇔ + = − ⇔
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2

S=

1 1 1
α
β
γ  α
β
γ
+ + − 3( x + y + z) = cotg + cotg + cotg -3  tg + tg + tg 
2
2  2
x y z
2
2
2

α
α 
β
β 
γ

γ  α
β
γ

S =  cot g − tg  +  cot g − tg  +  cot g − tg  − 2 tg + tg + tg 
2
2 
2
2 
2
2  2
2
2

β
γ
 α
S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) - 2 tg + tg + tg 
2
2
 2

γ
α
β
S = (cotgα+cotgβ-2tg ) + (cotgβ+cotgγ-2tg ) +(cotgα+cotgβ-2tg )
2
2
2

§Ĩ ý r»ng: cotgα + cotgβ =

sin(α + β)
2 sin γ
2 sin γ
=
=
sin α. sin β 2 sin α. sin β cos(α − β) − cos(α + β)

γ
γ
4 sin cos
2 sin γ
2 sin γ
2
2 = 2 tg γ ⇒ cot gα + cot gβ − 2 tg γ ≥ 0
=
=
≥
γ
1 − cos(α + β) 1 + cos γ
2
2
2 cos 2
2

T ®ã suy ra S ≥ 0. Víi x = y = z =
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và

1

thì MinS = 0
3

x
y
z
4 xyz
+
+
=
2
2
2
2
1− x 1− y 1− z
(1 − x )(1 − y 2 )(1 − z 2 )

T×m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 + y2 + z2
Gi¶i:
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
Khi đó tg =






; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0, 
2
2

2
 2

2x
2y
2z
; tgβ =
; tgγ =
vµ đẳng thức ở giả thiết
1 x2
1 y2
1 z2

2x
2y
2z
8xyz
+
+
=
tgα+tgβ+tgγ = tgα.tgβ.tgγ
2
2
2
2
1− x 1− y 1− z
(1 − x )(1 − y 2 )(1 − z 2 )

11

G.NTH
⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔

tgα + tgβ
= - tgγ ⇔ tg(α+β) = tg(-γ)
1 − tgα.tgβ

 π
Do α, β, γ ∈  0,  nªn α + β = π - γ ⇔ α + β + γ = π. Khi ®ã ta cã:
 2

tg

α β
β γ
γ α
tg + tg tg + tg tg = 1 ⇔ xy + yz + zx = 1. Mặt khác:
2 2
2 2
2 2

(x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) =

[

]

1
( x − y) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 ≥ 0

2

⇒ S = x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx = 1. Víi x = y = z =

1
th× MinS = 1
3

 x , y, z > 0
x
y
z
9
+
+
≤
VD3: Cho 
. Chøng minh r»ng: S =
x + yz y + zx z + xy 4
x + y + z = 1

Giải:
xz

= tg ;
y
2

Đặt

yz

= tg ;
x
2

Do


0, 
 2

yz zx
zx xy
xy yz
=x+y+z=1
.
+
.
+.
.
x
y
y
z
z
x

nªn tg

xy
γ
= tg víi α, β, γ ∈
z
2

α β
β γ
γ α
tg + tg tg + tg tg
=1
2 2
2 2
2 2

α
β γ π α
π α
β γ 
β γ 
⇔ tg  +  = cotg ⇔ tg  +  = tg  −  ⇔ + = 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2

⇔

α+β+ γ π
= ⇔ α+β+ γ = π

2
2

S=

  2y
  2z
 3
x
y
z
1  2 x
+
+
= 
− 1 + 
− 1 + 
− 1  +
x + yz y + zx z + xy 2  x + yz   y + zx   z + xy  2

 
 



yz 1 − zx
xy 
 1−

1−

1  x − yz y − zx z − xy  3 1 
y
x +
z + 3
+ =
= 
+
+
+
2  x − yz y + zx z + xy  2 2  1 + yz 1 + zx 1 + xy  2



x
y
z 



=

3
1
3 1
(cos + cosβ + cosγ) + = [(cosα + cosβ).1 − (cosα cosβ − sinα + sinβ)] +
2
2 2
2

12

G.NTH
≤

1 1
((cosα + cosβ)2 +1) + 1 (sin2 α + sin2 β) − cosα cosβ + 3 = 3 + 3 = 9 (đpcm)
2 4 2 4
2 2
2



3. Các bài toán đưa ra trắc nghiệm
Trước khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của
2 lớp 11A1 và 11A2 ở trường tôi, tôi đà ra bài về nhà cho các em, cho các em
chuẩn bị trước trong thời gian 2 tuần. Với các bài tËp sau:
Bµi 1:Cho a2 + b2 = 1. CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| ≤ 13.
Bµi 2:Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5. CMR: 2a + b ≤ 10.
a; b ≥ 0
Bµi 3:Cho 
CMR: a4 + b4 ≥ a3 + b3
a + b = 2

Bµi 4:Cho a; b ; c ≥ 1

1 
1 
1 
1 

1  1 

CMR:  a −  b −  c −  ≥  a −  b −  c − 
b 
c 
a 
a 
b 
c


x; y; z > 0
Bµi 5:Cho  2
2
2
x + y + z + 2 xyz = 1

a) xyz ≤

1
8

3
4

b) xy + yz + zx ≤
c) x2 + y2 + z2 ≥

3
4

d) xy + yz + zx ≤ 2xyz +
e)

CMR:

1
2

1− x
1− y
1− z
+
+
≥ 3
1+ x
1+ y
1+ z

Bµi 6:CMR:

1
1+ a2

+

1
1 + b2

≤

2
∀ a, b ∈ (0, 1]
1 + ab

Bµi 7:CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9 (ab + bc + ca)

∀ a, b, c > 0

x , y, z > 0
x
y
z
3 3
Bµi 8:Cho 
CMR :
+
+
≥
2
2
2
2
1− x 1− y 1− z
xy + yz + zx = 1
x , y, z > 0
x
y
z
3

Bµi 9:Cho 
CMR :
+
+
≤
1+ x2
1 + y2
1 + z2 2
x + y + z = xyz

13


G.NTH

x ,
 ,y z>0
1
1
1
2
x
2
y
2
z
CMR
:
+
+

≥
+
+
Bµi 10: Cho 
xy + =
1+x2 1+y2 1+z2 1+x2 1+y2 1+z2
 +yz zx 1

14