Giải đề toán số 2 năm học 2021 2022

Câu 1.

Câu 2.

ĐỀ TOÁN SỐ 2 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP GIẢI TỐN TỐN HỌC
Đường cong trong hình bên là
đồ thị của hàm số nào sau đây?
2x + 5
A. y =
.
x +1
−2 x + 5
B. y =
.
−x −1
2x +1
C. y =
.
x +1
2x + 3
D. y =
.
x +1
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x3 − 3x + 2019 trên đoạn  −10;10 bằng
A. 2023 .

Câu 3.

B. 2015 .

C. 3049 .

D. 989 .
Khối lăng trụ có diện tích đáy là 6 cm và có chiều cao 3cm thì có thể tích V là
2

A. V = 18cm3 .
Câu 4.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. y = 3 x + 13 .

Câu 5.

B. y = −3 x − 5 .

D. V = 6 cm3 .

x −1
tại điểm có hồnh độ x = −3 là
x+2
C. y = −3 x + 13 .
D. y = 3 x + 5 .

Cho khối tám mặt đều có các cạnh bằng 4a . Tổng diện tích các mặt xung quanh của nó là:

(

)

A. 32 3 + 1 a 2 .
Câu 6.

C. V = 108cm3 .

B. V = 54cm 3 .

B. 4 3a 2 .

C. 32 3a 2 .

D. 2 3a 2 .

Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình bên.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. a  0, b  0, c  0 .
B. a  0, b  0, c  0 .
C. a  0, b  0, c  0 .
D. a  0, b  0, c  0 .

Câu 7.

Giá trị cực đại của hàm số y = x3 + 3x 2 + 1 bằng

Câu 8.

A. 5 .
B. 0 .
Đồ thị như hình vẽ là của đồ thị hàm số nào?

C. 2 .

D. −2 .

3
A. y = x − 3 x + 1 .
3
B. y = x − 3 x − 1 .

C. y = − x3 − 3x 2 − 1 .
D. y = − x3 + 3x 2 + 1 .
Câu 9.

Đồ thị hàm số y = x 4 − 5x 2 − 1 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

A. 2
B. 3 .
C. 4 .
Câu 10. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh?
A. C154 .

B. A154 .

C. 415 .

Câu 11. Khẳng định nào sau đây là sai về khối tứ diện đều?
A. Có tất cả 4 đỉnh.
B. Có tất cả 4 mặt và các mặt là các tam giác đều.
C. Có tất cả 6 cạnh và các cạnh bằng nhau.
D. Có tất cả 4 cạnh và các cạnh bằng nhau.

D. 1 .

D. 154 .


Câu 12. Hệ số của x 6 trong khai triển biểu thức x ( 2 x − 1) + ( 3x + 1) bằng
9

7

A. −1344 .
B. 1071 .
C. 9135 .
Câu 13. Khối chóp có thể tích là V và diện tích đáy là B thì chiều cao h là
3B
3V
V
A. h =
.
B. h =
.
C. h = .
V
B
B
Câu 14. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
1
A. tan5x = 3 .
B. cot 5x = 2 .
C. sin 5 x = .
6

D. −273 .
D. h =

V
.
3B

D. cos5x = −3 .

Câu 15. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng ( −; + ) ?
A. y =

x+5
.
x−2

B. y = − x3 + 3x 2 + 1 .

C. y = − x 4 − x 2 + 3 .

D. y = − x3 + x 2 − 5 x + 1 .

Câu 16. Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. y = 5 .

B. x = 5 .
C. x = 2 .
Câu 17. Khối lập phương có cạnh bằng 2a thì có thể tích V là
A. V = a 3 .

B. V = 8a 3 .

5x − 1
?
x+2
D. x = −2 .

8a 3
.
D. V = 4a 3 .
3
và có bảng biến thiên như sau

C. V =

Câu 18. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình f ( x ) − 2 = m có đúng hai nghiệm.
A. m−3  ( −2; +  ) .B. m ( −3; − 2 ) .
C. m −3   −2; +  ) . D. m1  ( 2; +  ) .

Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (1; +  ) .
B. ( −1; +  ) .
C. ( −; − 1) .

D. ( −1;1) .

Câu 20. Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân tại

B , AB = 2a , tam giác SAC cân tại A . Thể tích V của khối chóp S.ABC là
2a 3
8 2a 3
4 2a 3
.
B. V = 4 2a3 .
C. V =
.
D. V =
.
6
3
3
Câu 21. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, cạnh đáy bằng 2a , mỗi mặt bên có chu vi
bằng 6a . Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là
A. V =

A. V =

3a 3
.
4

B. V = 3a 3 .

C. V =

3a 3
.

3

D. V = 2 3a3 .

Câu 22. Hai đồ thị của hàm số y = − x3 + 3x 2 + 2 x − 1 và y = 3x 2 − 2 x − 1 có tất cả bao nhiêu điểm
chung?
A. 0 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( 0; + ) và thỏa mãn lim f ( x ) = 2 . Với giả thiết
x →+

đó, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.


A. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
B. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
C. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
D. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Câu 24. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD . Mặt phẳng ( SAC ) chia khối chóp đã cho thành các khối nào
sau đây?
A. Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
C. Hai khối tứ diện.

B. Hai khối chóp tứ giác.

D. Hai khối tứ diện bằng nhau.
Câu 25. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm f  ( x ) như sau
x
f ( x)

−

−1
−

0

0
+

1
−

0

Câu 26. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên
như hình vẽ bên

Số nghiệm của phương trình f ( x ) + 3 = 0 là
A. 0 .
C. 3 .

+

0

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 2 .

B. 1 .
D. 2 .

+

2
0

+

C. 3 .

x
y'

D. 1 .


+

y


1
0

2

1
0

+
+
+

3

Câu 27. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau
Số nghiệm của phương trình 3 f ( x ) − 1 = 0 là
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 1 .
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ.

 
Phương trình f ( cos x ) = m có ít nhất một nghiệm thuộc  ;  
2 
khi và chỉ khi
A. m  −3; −1) .
B. m  −1;1 .

C. m  ( −1;1 .

D. m   −1;1) .

3x + m
(với m là tham số thực) có giá trị lớn nhất trên đoạn  −2;1 bằng 2.
x−2
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 0  m  3 .
B. −3  m  0 .
C. m  −3 .
D. m  3 .
Câu 30. Một hộp đựng 15 thẻ được đánh số từ 1 đến 15 . Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân 2 số trên 2 thẻ
với nhau. Tính xác suất để tích 2 số ghi trên 2 thẻ rút được là số chẵn.
4
1
13
11
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
15
5
15
15
x+3
Câu 31. Cho hàm số y =
( C ) . Đường thẳng d : y = 2 x + m cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt M , N

x +1
và MN nhỏ nhất khi giá trị của m thuộc khoảng nào?

Câu 29. Cho hàm số y =


A. m  ( − ;0 .

3 5
B. m   ;  .
2 2

5

C. m   ; +   .
2


 3
D. m   0;  .
 2

Câu 32. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD , mỗi mặt bên có diện tích bằng 2a 2 , góc giữa mặt bên và
mặt đáy bằng 60 . Thể tích V của khối chóp đã cho là
6a 3
3a 3
4 3a 3
A. V =
.
B. V =

.
C. V =
.
D. V = 4 3a3 .
3
3
3
Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [ − 10;10] của tham số m để hàm số
3
y = − x 4 + 2 x 3 − (3m + 10) x + m 2 + 1 nghịch biến trên khoảng (0; + ) ?
2
A. 14 .
B. 13 .
C. 12 .
D. 11 .

(

Câu 34. Gọi S = a + b 2 ; c  ,

(a ,b, c  )

là tập hợp tất cả các giá trị

m

để phương

trình x + 9 − x 2 = m + x 9 − x 2 có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Tính T = a + b + c .
7

21
3
25
A. T = .
B. T = .
C. T = .
D. T =
.
2
2
2
2
Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc  −2020; 2020 sao cho đồ thị của hàm số

x2 − 2 x − 2
có đúng một đường tiệm cận đứng?
2 x3 − 6 x 2 − m
A. 4034 .
B. 4035 .
C. 4032 .
D. 4033 .
Câu 36. Cho khối lăng trụ ABC.ABC có thể tích là V , lấy điểm M trên cạnh CC sao cho
V
MC = 2CM . Gọi V1 là thể tích của khối đa diện BACM . Tỷ số 1 là
V
4
1
1
2
A. .

B. .
C. .
D. .
9
9
6
9
1 3
Câu 37. Cho hàm số y = x − mx 2 + ( m + 6 ) x + 2019 . Số giá trị nguyên của m thuộc khoảng
3
( −2020; 2020) để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị là
y=

A. 2018 .

B. 2017 .

C. 2016 .

D. 2021 .

Câu 38. Cho hàm số y = f ( x ) xác
định trên

\  −1;1 liên tục

trên mỗi khoảng xác định và
có bảng biến thiên như sau:
Tính tổng số đường tiệm cận đứng và số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) ?
A. 1.

B. 4.

C. 3.
Câu 39. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  −3;3 và
có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên
đoạn  −3;3 . Giá trị của biểu thức P = 2 M − m bằng
A. P = 6 .
C. P = 9 .

B. P = 11 .
D. P = 8

D. 2.


Câu 40. Cho khối chóp S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 . Trên cạnh SB lấy điểm M , trên cạnh SC
lấy điểm N sao cho SM = SN = 2 . Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AMN , V2 là thể tích khối
chóp S.ABC . Tỉ số
A.

V1
là
V2

3
.
5

B.

1
.
4

C.

4
.
25

D.

1
.
5

Câu 41. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên.
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình
m
f ( x) =
có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
2
A. m ( 0;1)  ( 5; +  ) . B. m  ( 0; 2 )  (10; +  ) .
C. m  2;10 .

D. m  (1;5) .

Câu 42. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD , ba cạnh chung một đỉnh của hình hộp có kích thước

1
lập thành một cấp số nhân có cơng bội q = , đường chéo BD = 42 . Thể tích của khối lăng
2
trụ ABC.ABC bằng
A. 8 2 .

B.

16 2
.
3

Câu 43. Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng

C. 16 2 .

( −100;9 )

8 2
.
3
của tham số m để hàm số
D.

y = ( m + 1) x 4 + ( m − 3) x 2 + 5m2 + 2 có đúng một điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đó là

điểm cực đại?
A. 101.

B. 99 .

C. 98 .
D. 100 .
Câu 44. Cho khối chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a , góc ABC bằng 120 , mặt
phẳng ( SAB ) vng góc với đáy, SA = SB , góc giữa SC và đáy bằng 45 . Thể tích V của
khối chóp đã cho là
A. V =

21a 3
.
4

B. V =

21a 3
.
12

C. V =

21a 3
.
24

7a3
D. V =
.
6

x + 2m
có đồ thị là ( C ) và hàm số y = f  ( x ) có đồ thị là ( C  ) . Có

x +1
bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị ( C ) và ( C  ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao

Câu 45. Cho hàm số y = f ( x ) =

cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng AB nhỏ hơn 5 2 ?
A. 10 .
B. 9 .
C. 8 .
D. 12 .
Câu 46. Cho khối chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có diện tích bằng 3 2a 2 , M là trung
điểm của BC , AM vng góc với BD tại H , SH vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) ,
khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SAC ) bằng a . Thể tích V của khối chóp đã cho là

2a 3
3a 3
.
C. V =
.
D. V = 2a 3 .
3
2
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a 3, BC = a, SA = a 3 và SA
vng góc với đáy ABCD. Tính sin  với  là góc tạo bởi đường thẳng BD và mặt phẳng
A. V = 3a 3 .

( SBC ) .

B. V =

6
10
10
2
.
B. sin  =
.
C. sin  =
.
D. sin  =
.
4
8
4
2
Câu 48. Cho khối hộp ABCD.ABCD có diện tích đáy bằng a 2 và chiều cao bằng 2a . Lấy điểm M
thuộc đoạn CD  sao cho MC = 3M D , lấy điểm N thuộc đoạn CB  sao cho CN = 2NB . Thể
tích V của khối đa diện ABC DMN là
A. sin  =

a3
a3
a3
a3
.
B. V =
.
C. V =
.

D. V =
.
6
3
4
2
Câu 49. Cho khối lăng trụ ABCD.ABCD , đáy ABCD là hình bình hành có góc BAC = 90 , góc
ACB = 30 , tam giác BCC là tam giác đều cạnh a , mặt phẳng ( ACC A ) vng góc với
A. V =

đáy. Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là

2a 3
2a 3
2a 3
.
B. V =
.
C. V =
.
8
12
24
Câu 50. Một người nơng dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 16m
và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sơng dạng hình thang cân
ABCD như hình vẽ, trong đó bờ sơng là đường thẳng DC không
phải rào và mỗi tấm là một cạnh của hình thang. Hỏi ơng ấy có
thể rào một mảnh vườn với diện tích lớn nhất bao nhiêu m 2 ?
A. V =

A. 192 3m 2 .

B. 196 3m 2 .

C. 190 3m 2 .

D. 194 3m 2 .

D. V =

2a 3
.
4


Câu 1.

GIẢI ĐỀ TOÁN SỐ 2 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP GIẢI TỐN TỐN HỌC
Đường cong trong hình bên là
đồ thị của hàm số nào sau đây?
2x + 5
A. y =
.
x +1
−2 x + 5
B. y =
.
−x −1
2x +1
C. y =

.
x +1
2x + 3
D. y =
.
x +1
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = 2 .
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm ( 0;5) . Từ đó ta chọn đáp án A

Câu 2.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x3 − 3x + 2019 trên đoạn  −10;10 bằng
A. 2023 .

B. 2015 .

C. 3049 .
Hướng dẫn giải

D. 989 .

Chọn D
Ta có y = −3x 2 − 3 .

 y = −3x 2 − 3  0,  x 

.

Do đó, hàm số nghịch biến trên đoạn  −10;10 .
Khi đó min y = y (10 ) = 989 .
 −10;10

Câu 3.

Khối lăng trụ có diện tích đáy là 6 cm 2 và có chiều cao 3cm thì có thể tích V là
A. V = 18cm3 .

B. V = 54cm 3 .

C. V = 108cm3 .

D. V = 6 cm3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
V = S d .h = 6.3 = 18 cm 3 .
Câu 4.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. y = 3 x + 13 .

B. y = −3 x − 5 .

x −1
tại điểm có hoành độ x = −3 là
x+2
C. y = −3 x + 13 .
D. y = 3 x + 5 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: x = −3  y = 4 ; y =

3

( x + 2)

2

 y ( −3) = 3 .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3 ( x + 3) + 4  y = 3x + 13 .
Câu 5.

Cho khối tám mặt đều có các cạnh bằng 4a . Tổng diện tích các mặt xung quanh của nó là:

(

)

A. 32 3 + 1 a 2 .

B. 4 3a 2 .

C. 32 3a 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn C

Do khối tám mặt đều có tám mặt là tám tam giác đều bằng nhau.

D. 2 3a 2 .


( 4a )
Nên tổng diện tích xung quanh của khối tám mặt đều là: 8.

2

4

Câu 6.

. 3

= 32 3a 2 .

Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị như hình bên.
4

2

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. a  0, b  0, c  0 .
B. a  0, b  0, c  0 .
C. a  0, b  0, c  0 .
D. a  0, b  0, c  0 .
Hướng dẫn giải
Chọn C

Nhìn vào đồ thị ta thấy a  0 .
Vì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên ab  0 . Do đó b  0 .
Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c  0 .
Vậy a  0 , b  0 , c  0 .
Câu 7.

Giá trị cực đại của hàm số y = x3 + 3x 2 + 1 bằng
B. 0 .

A. 5 .
Chọn A
TXĐ: D =

D. −2 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

.

 x=0
Ta có y = 3x 2 + 6 x , y = 0  
.
 x = −2
y  = 6 x + 6 .
y ( 0 ) = 6  0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .

y ( −2 ) = −6  0 suy ra hàm số đạt cực đại tại x = −2 .

Giá trị cực đại y ( −2 ) = 5 .

Câu 8.

Đồ thị như hình vẽ là của đồ thị hàm số nào?
A. y = x 3 − 3 x + 1 .
B. y = x 3 − 3 x − 1 .
3
2
C. y = − x − 3x − 1 .

3
2
D. y = − x + 3x + 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
Hàm số có dạng: y = ax3 + bx 2 + cx + d .
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
+) a  0  Loại C,D .
+) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 1 nên d = 1  Loại B .
Câu 9.

Đồ thị hàm số y = x 4 − 5x 2 − 1 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. 2

B. 3 .

C. 4 .
Hướng dẫn giải

D. 1 .

Chọn A
Hoành độ của giao điểm là nghiệm phương trình: x 4 − 5x 2 − 1 = 0

(1) .


Đặt t = x 2 ( t  0 ) . Phương trình (1) có dạng: t 2 − 5t − 1 = 0 ( 2 ) .
Phương trình ( 2 ) có a.c  0 nên phương trình có 2 nghiệm t1 , t2 thỏa mãn t1  0  t2 .
Do đó phương trình (1) có hai 2 nghiệm phân biệt x =  t2 .
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 2 điểm.
Câu 10. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh?
B. A154 .

A. C154 .

D. 154 .

C. 415 .
Hướng dẫn giải

Chọn A
Số cách chọn 4 học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh là số tổ hợp chập 4 của 15 .
Câu 11. Khẳng định nào sau đây là sai về khối tứ diện đều?
A. Có tất cả 4 đỉnh.
B. Có tất cả 4 mặt và các mặt là các tam giác đều.
C. Có tất cả 6 cạnh và các cạnh bằng nhau.
D. Có tất cả 4 cạnh và các cạnh bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn D

Tứ diện đều có tất cả 4 đỉnh, có tất cả 4 mặt là các tam giác đều, có tất cả 6 cạnh và các cạnh
bằng nhau. Do đó ta chọn D.
Câu 12. Hệ số của x 6 trong khai triển biểu thức x ( 2 x − 1) + ( 3x + 1) bằng
9

B. 1071 .

A. −1344 .

7

C. 9135 .
Hướng dẫn giải

D. −273 .

Chọn C
9

Ta có ( 2 x − 1) =  C9k . ( 2 x ) . ( −1)
9

k

9−k

.

k =0

Do đó hệ số của x 5 trong khai triển ( 2 x − 1) là C95 .25. ( −1)

9 −5

9

= 4032 .

Suy ra hệ số của x 6 trong khai triển x ( 2 x − 1) là 4032 .
9

7

Ta có ( 3 x + 1) =  C7k ( 3 x ) .17 − k .
7

k

k =0

Suy ra hệ số của x 6 trong khai triển ( 3x + 1) là C76 .36.11 = 5103 .
7

Vậy hệ số của x 6 trong khai triển biểu thức x ( 2 x − 1) + ( 3x + 1) bằng 4032 + 5103 = 9135 .
9

7

Câu 13. Khối chóp có thể tích là V và diện tích đáy là B thì chiều cao h là
3B

3V
V
A. h =
.
B. h =
.
C. h = .
V
B
B
Hướng dẫn giải
Chọn B
1
3V
Ta có: V = Bh  h =
.
3
B
Câu 14. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
1
A. tan5x = 3 .
B. cot 5x = 2 .
C. sin 5 x = .
6
Hướng dẫn giải
Chọn D

D. h =

V

.
3B

D. cos5x = −3 .


Vì −3   −1;1 nên phương trình cos5x = −3 vô nghiệm.
Câu 15. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng ( −; + ) ?
A. y =

x+5
.
x−2

B. y = − x3 + 3x 2 + 1 .

C. y = − x 4 − x 2 + 3 .

D. y = − x3 + x 2 − 5 x + 1 .
Hướng dẫn giải

Chọn D
Xét y = − x3 + x 2 − 5 x + 1 .
Ta có y = −3x 2 + 2 x − 5  0, x 

nên hàm số y = − x3 + x 2 − 5 x + 1 nghịch biến trên

Câu 16. Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. y = 5 .

B. x = 5 .

C. x = 2 .
Hướng dẫn giải

.

5x − 1
?
x+2
D. x = −2 .

Chọn D
5x − 2
5x − 2
= + và lim+
= − nên đồ thi có TCĐ: x = −2 .
x →−2 x + 2
x →−2 x + 2
Câu 17. Khối lập phương có cạnh bằng 2a thì có thể tích V là

Ta có: lim−

A. V = a .
3

8a 3
B. V = 8a .
C. V =
.

3
Hướng dẫn giải
3

D. V = 4a 3 .

Chọn B
Thể tích khối lập phương là V = ( 2a ) = 8a3 .
3

Câu 18. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên

và có bảng biến thiên như sau

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình f ( x ) − 2 = m có đúng hai nghiệm.
A. m−3  ( −2; +  ) .B. m ( −3; − 2 ) .
C. m −3   −2; +  ) . D. m1  ( 2; +  ) .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có f ( x ) − 2 = m  f ( x ) = 2 + m (*) . Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao
điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = m + 2 .
m + 2  0
 m  −2

Từ bảng biến thiên ta có 
thì phương trình (*) có đúng hai nghiệm.
 m + 2 = −1  m = −3
Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (1; +  ) .
B. ( −1; +  ) .
C. ( −; − 1) .

D. ( −1;1) .
Hướng dẫn giải

Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị của hàm số đi lên trên miền ( −1;0 ) và (1; +  ) .


Câu 20. Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân tại

B , AB = 2a , tam giác SAC cân tại A . Thể tích V của khối chóp S.ABC là
8 2a 3
A. V =
.
3

2a 3
D. V =
.
6

4 2a 3
B. V = 4 2a .
C. V =
.
3

Hướng dẫn giải
3

Chọn C

Tam giác ABC vuông cân tại B và AB = 2a nên AC = 2 2a và SABC = 2a2
Tam giác SAC cân tại A nên SA = AC = 2 2a .

1
4 2a 3
2
Vậy V =  2 2a  2a =
.
3
3
Câu 21. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, cạnh đáy bằng 2a , mỗi mặt bên có chu vi
bằng 6a . Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là
A. V =

3a 3
.
4

B. V = 3a 3 .

C. V =

3a 3
.
3

D. V = 2 3a3 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì khối lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên lăng trụ có các mặt bên là các hình chữ nhật.
Mặt bên có cạnh đáy bằng 2a và có chu vi bằng 6a nên chiều cao của lăng trụ là h = a .
Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là V = S .h = a 2 3.a = 3a3 .
Câu 22. Hai đồ thị của hàm số y = − x3 + 3x 2 + 2 x − 1 và y = 3x 2 − 2 x − 1 có tất cả bao nhiêu điểm
chung?
A. 0 .

B. 3 .

C. 1 .
Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn B
Phương trình hồnh độ giao điểm
x = 0
− x + 3 x + 2 x − 1 = 3 x − 2 x − 1  − x + 4 x = 0   x = −2 .

 x = 2
Vậy hai đồ thị có 3 điểm chung.
3

2

2

3

Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( 0; + ) và thỏa mãn lim f ( x ) = 2 . Với giả thiết
x →+

đó, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
B. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
C. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
D. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Hướng dẫn giải


Chọn C
Ta có lim f ( x ) = 2  Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
x →+

Câu 24. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD . Mặt phẳng ( SAC ) chia khối chóp đã cho thành các khối nào
sau đây?
A. Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác. B. Hai khối chóp tứ giác.
C. Hai khối tứ diện.
D. Hai khối tứ diện bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Chia khối chóp S.ABC bởi mặt phẳng ( SAC ) ta được hai khối tứ diện SABC và SACD .

Câu 25. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm f  ( x ) như sau
x

f ( x)

−

−1
−

0

0
+

0

1
−

+

2
+

0

0

+

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 4 .

B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Từ bảng xét dấu đạo hàm f  ( x ) ta thấy f  ( x ) đổi dấu khi đi qua các điểm x = 0; x = 1 và
không đổi dấu khi đi qua điểm x = 2 .
Vậy hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị.
Câu 26. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên
như hình vẽ bên

Số nghiệm của phương trình f ( x ) + 3 = 0 là
A. 0 .
C. 3 .

B. 1 .
D. 2 .

x
y'


+

y


1
0
2

1
0

+
+
+

3

Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có f ( x ) + 3 = 0  f ( x ) = −3 .
Suy ra số nghiệm của phương trình f ( x ) + 3 = 0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

y = f ( x ) với đường thẳng y = −3 .


Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = −3 có 2 điểm chung với đồ thị y = f ( x ) .
Vậy, phương trình f ( x ) + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 27. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau
Số nghiệm của phương trình 3 f ( x ) − 1 = 0 là
A. 2 .
C. 4 .

B. 3 .
D. 1 .
Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có 3 f ( x ) − 1 = 0  f ( x ) =

1
( *) .
3

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường
thẳng y =

1
.
3

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y =

1
cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại bốn điểm phân biệt nên
3

phương trình (*) có bốn nghiệm.
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ.

 
Phương trình f ( cos x ) = m có ít nhất một nghiệm thuộc  ;  
2 
khi và chỉ khi

A. m  −3; −1) .

B. m  −1;1 .

C. m  ( −1;1 .

D. m   −1;1) .
Hướng dẫn giải

Chọn D
 
Đặt cos x = t ,với x   ;    t  ( −1;0 .
2 
 
Phương trình f ( cos x ) = m có ít nhất một nghiệm thuộc  ;   khi và chỉ khi phương trình
2 

f ( t ) = m có ít nhất một nghiệm t  ( −1;0

 Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f ( t ) tại điểm có hồnh độ thuộc khoảng ( −1;0
 m   −1;1) .
3x + m
(với m là tham số thực) có giá trị lớn nhất trên đoạn  −2;1 bằng 2.
x−2
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 0  m  3 .
B. −3  m  0 .
C. m  −3 .
D. m  3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B

3x + m
Xét hàm số y =
trên đoạn  −2;1 .
x−2

Câu 29. Cho hàm số y =


Ta có y =

−m − 6

( x − 2)

2

.

TH1: m  −6  y  0, x   −2;1 .
Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên đoạn  −2;1 , suy ra max y = y (1) = −3 − m .
−2;1

Nên max y = 2  −3 − m = 2  m = −5 (không thỏa mãn).
 −2;1

TH2: m  −6  y  0, x   −2;1 .
Khi đó hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn  −2;1 , suy ra max y = y ( −2 ) =
 −2;1

6−m

.
4

6−m
= 2  m = −2 (thỏa mãn).
4
3x − 6
TH3: m = −6  y =
= 3, x  2  max y = 3  m = −6 không thỏa mãn.
 −2;1
x−2
Vậy m cần tìm là m = −2 .
Câu 30. Một hộp đựng 15 thẻ được đánh số từ 1 đến 15 . Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân 2 số trên 2 thẻ
với nhau. Tính xác suất để tích 2 số ghi trên 2 thẻ rút được là số chẵn.
4
1
13
11
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
15
5
15
15
Hướng dẫn giải

Chọn B

Nên max y = 2 
 −2;1

Rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ 15 thẻ, có C152 cách.
Để tích 2 số trên 2 thẻ là số chẵn, ta cần rút một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ hoặc
cả hai thẻ đều đánh số chẵn. Có C71 .C81 + C72 cách.
Xác suất cần tìm là:

C71 .C81 + C72 11
= .
C152
15

x+3
( C ) . Đường thẳng d : y = 2 x + m cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt M , N
x +1
và MN nhỏ nhất khi giá trị của m thuộc khoảng nào?
3 5
5

 3
A. m  ( − ;0 .
B. m   ;  .
C. m   ; +   .
D. m   0;  .
2 2
2


 2

Câu 31. Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải
Chọn C
x+3
= 2 x + m  2 x 2 + ( m + 1) x + m − 3 = 0 ; ( x  −1) (1) .
x +1
Đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt M , N khi và chỉ khi phương trình (1)

Phương trình hồnh độ giao điểm

2

 = m − 6m + 25  0
có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2  −1  
 m 
2
2.
−
1
+
m
+
1
−
1
+
m

−
3

0
(
)
(
)(
)


Gọi M ( x1 ; 2 x1 + m ) và N ( x2 ; 2 x2 + m ) .

Theo Định lí Viét ta có x1 + x2 = −

m +1
m−3
; x1 x2 =
.
2
2

2
2
2
Ta có MN 2 = ( x2 − x1 ) + ( 2 x2 − 2 x1 ) = 5 ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 



.

5 2
5
2
m − 6m + 25 ) = . ( m − 3) + 16   20 .
(


4
4
Do đó MN nhỏ nhất bằng khi m = 3 .
=

Câu 32. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD , mỗi mặt bên có diện tích bằng 2a 2 , góc giữa mặt bên và
mặt đáy bằng 60 . Thể tích V của khối chóp đã cho là
A. V =

6a 3
.
3

B. V =

3a 3
4 3a 3
.
C. V =
.
3

3
Hướng dẫn giải

Chọn C
Gọi x ( x  0 ) là độ dài cạnh đáy.

D. V = 4 3a3 .

S

OH
Ta có SH =
=x
cos 60

x 3
.
2
Diện tích của mặt bên SCD
1
x2
là SSCD = SH .CD =
= 2a 2  x = 2a .
2
2

và SO = OH .tan 60 =

x 3
=a 3.

Độ dài chiều cao h = SO =
2
Diện tích đáy của khối chóp S = 4a 2 .

A
D
H

O
B

C

1
4a 3 3
Thể tích của khối chóp V = S .h =
.
3
3
Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [ − 10;10] của tham số m

để hàm số

3
y = − x 4 + 2 x 3 − (3m + 10) x + m 2 + 1 nghịch biến trên khoảng (0; + ) ?
2
A. 14 .
B. 13 .
C. 12 .
D. 11 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
3
Ta có y = − x 4 + 2 x 3 − (3m + 10) x + m 2 + 1  y  = −6 x 3 + 6 x 2 − 3m − 10 .
2
Theo yêu cầu bài toán ta phải có: y  0; x  ( 0; + ) , dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.

y  0, x  ( 0; + )  − 6 x3 + 6 x 2 − 3m − 10  0, x  ( 0; + )
 3m  − 6 x3 + 6 x 2 − 10, x  ( 0; + ) (*)

Xét hàm số g ( x ) = −6 x3 + 6 x 2 − 10 xác định và liên tục trên ( 0; + ) .
x = 0
Ta có: g  ( x ) = −18 x + 12 x ; g  ( x ) = 0  
.
x = 2
3

Bảng biến thiên:
2


82
2
 Max g ( x) = g   = − .
(0; + )
9
3

Từ (*)  3m  max g ( x ) hay 3m  −

82
82
.
m−
( 0;+ )
9
27
Vậy các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ − 10;10] là
m  { − 3; −2; −1;0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10}  Có 14 giá trị m thỏa mãn bài tốn.

(

Câu 34. Gọi S = a + b 2 ; c  ,

(a ,b, c  )

là tập hợp tất cả các giá trị

m

để phương

trình x + 9 − x 2 = m + x 9 − x 2 có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Tính T = a + b + c .
7
21
3
25
A. T = .
B. T = .
C. T = .

D. T =
.
2
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có x + 9 − x 2 = m + x 9 − x 2 .
Điều kiện x   −3;3 .
Đặt t = x + 9 − x 2 ; t  = 1 −
Khi đó t = 0  x =

x
9 − x2

, x  ( −3;3) .

3 2
.
2

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

 

● Với mỗi giá trị của t   −3;3)  3 2 thì có 1 giá trị của x tương ứng.

)

● Với mỗi giá trị của t  3;3 2 thì có 2 giá trị của x tương ứng.
Có t = x + 9 − x 2  x. 9 − x 2 =

t2 − 9
.
2

Khi đó phương trình đã cho trở thành t = m +
Xét hàm số: y = −t 2 + 2t + 9, t   −3;3 2  .

t2 − 9
 −t 2 + 2t + 9 = 2m .
2


y = −2t + 2 ; y = 0  t = 1 .

Bảng biến thiên:
x

−3

y

1
+

0

3

3 2
−

−

10
6

y

−9 + 6 2

−6

Từ BBT, ta thấy phương trình x + 9 − x 2 = m + x 9 − x 2 có đúng ba nghiệm thực phân biệt

 −9 + 6 2  2m  6 .
9
 − + 3 2  m  3.
2
9
3
Khi đó a = − , b = 3, c = 3  T = a + b + c = .
2
2

Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc

 −2020; 2020

x2 − 2 x − 2
y= 3
có đúng một đường tiệm cận đứng?
2x − 6x2 − m
A. 4034 .
B. 4035 .
C. 4032 .
Hướng dẫn giải
Chọn D

sao cho đồ thị của hàm số

D. 4033 .

Phương trình x 2 − 2 x − 2 = 0 có nghiệm là x = 1  3 .
Xét phương trình 2 x3 − 6 x 2 − m = 0  2 x 3 − 6 x 2 = m .
Đặt f ( x ) = 2 x3 − 6 x 2 , f  ( x ) = 6 x 2 − 12 x = 0  x = 0; x = 2 .
Bảng biến thiên

Dựa vào BBT thấy đồ thị của hàm số y =

x2 − 2 x − 2
có đúng một đường tiệm cận đứng khi
2 x3 − 6 x 2 − m

m  0
và chỉ khi  m  −8 .

 m = −4
Vậy có 4033 giá trị nguyên của m thuộc  −2020; 2020 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 36. Cho khối lăng trụ ABC.ABC có thể tích là V , lấy điểm M trên cạnh CC sao cho
V
MC = 2CM . Gọi V1 là thể tích của khối đa diện BACM . Tỷ số 1 là
V


A.

4
.
9

B.

1
.
9

C.

1
.
6

D.

2
.

9

Hướng dẫn giải
Chọn B

Ta có MC cắt mặt phẳng ( ABC ) tại C nên

Lại có

V1
VC . ABC

d ( M , ( ABC ) )
d ( C , ( ABC ) )

=

CM 1
= .
CC  3

1
d ( M , ( ABC ) ) .S ABC
1
3
=
= .
1
d ( C , ( ABC ) ) .SABC 3
3

V = VB. ABC + VA. ABC  + VC . ABC và VB. ABC = VA. ABC  =

V
V
nên VC . ABC = .
3
3

1 V V
Vậy V1 = . = .
3 3 9
1 3
Câu 37. Cho hàm số y = x − mx 2 + ( m + 6 ) x + 2019 . Số giá trị nguyên của m thuộc khoảng
3
( −2020; 2020) để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị là
A. 2018 .

B. 2017 .
C. 2016 .
Hướng dẫn giải

D. 2021 .

Chọn C
Đồ thị hàm số y =

1 3
x − mx 2 + ( m + 6 ) x + 2019 có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số
3

1
y = x3 − mx 2 + ( m + 6 ) x + 2019 có hai điểm cực trị nằm bên phải trục Oy hay hàm số
3
1
y = x3 − mx 2 + ( m + 6 ) x + 2019 có hai điểm cực trị dương.
3
Ta có y = x 2 − 2mx + m + 6 .

Bài tốn trở thành tìm m để phương trình x 2 − 2mx + ( m + 6 ) = 0 có hai nghiệm dương phân

m  3
   0

2
m − m − 6  0

  m  −2

 b

biệt  −  0  2m  0
 m  0  m  3 .
 a

m  −6
m + 6  0
c

 a  0




Do m nguyên thuộc khoảng ( −2020; 2020 ) nên có 2016 giá trị.
Câu 38. Cho hàm số y = f ( x ) xác
định trên

\  −1;1 liên tục

trên mỗi khoảng xác định và
có bảng biến thiên như sau:
Tính tổng số đường tiệm cận đứng và số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) ?
A. 1.

B. 4.

C. 3.
Hướng dẫn giải

D. 2.

Chọn C
Vì lim y = 2; lim y = −2 nên y = 2 là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x →−

x →+

 Số đường tiệm cận ngang là 2.
Vì lim− y = + nên x = −1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x →−1

lim y = 0 nên x = 1 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x →1+

 Số đường tiệm cận đứng là 1.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) là
3.

Câu 39. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  −3;3 và
có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên
đoạn  −3;3 . Giá trị của biểu thức P = 2 M − m bằng
A. P = 6 .
C. P = 9 .

B. P = 11 .
D. P = 8
Hướng dẫn giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị, xét hàm số trên đoạn  −3;3 , ta có
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 suy ra M = 5 .
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng −1 suy ra m = −1 .
Vậy P = 2M − m = 2.5 − ( −1) = 11.
Câu 40. Cho khối chóp S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 . Trên cạnh SB lấy điểm M , trên cạnh SC
lấy điểm N sao cho SM = SN = 2 . Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AMN , V2 là thể tích khối
chóp S.ABC . Tỉ số
A.

3
.
5

V1
là
V2

B.

1
.
4

C.
Hướng dẫn giải

Chọn D
Ta có:
V1 SM SN 1 2 1
=
.
= . = .
V2 SB SC 2 5 5

4
.
25

D.

1
.
5


Câu 41. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên.
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình
m
f ( x) =
có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
2
A. m ( 0;1)  ( 5; +  ) . B. m  ( 0; 2 )  (10; +  ) .
C. m  2;10 .

D. m  (1;5) .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình sau:

Do đó, phương trình f ( x ) =

m
có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
2

m


0  2  1 0  m  2


 m  10
m  5
 2

Câu 42. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD , ba cạnh chung một đỉnh của hình hộp có kích thước
1
lập thành một cấp số nhân có cơng bội q = , đường chéo BD = 42 . Thể tích của khối lăng
2
trụ ABC.ABC bằng
A. 8 2 .

B.

16 2
.
C. 16 2 .
3
Hướng dẫn giải

D.

8 2
.
3

Chọn A
Từ giả thiết, ta có thể gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật là a,

2

2

a a
Khi đó: a +   +   = 42  a2 = 32  a = 4 2 .
2 4
2

a a a3
= 16 2 .
Thể tích khối hộp chữ nhật là Vh = a. . =
2 4 8
1
Thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC là V = Vh = 8 2 .
2

a
a
và ( a  0 ) .
2
4


Câu 43. Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng

( −100;9 )

của tham số m

để hàm số

y = ( m + 1) x 4 + ( m − 3) x 2 + 5m2 + 2 có đúng một điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đó là

điểm cực đại?
A. 101.

B. 99 .

C. 98 .
Hướng dẫn giải

D. 100 .

Chọn B
Trường hợp 1: m + 1 = 0 hay m = −1 , hàm số đã cho trở thành y = −4 x 2 + 7 .
Hàm số có 1 điểm cực đại, tại x = 0 (thỏa mãn).
Trường hợp 2: m  −1.
Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị, đồng thời điểm đó là điểm cực đại khi và chỉ khi
m + 1  0
 m  −1

 m  −1 .

m − 3  0
m  3
Kết hợp 2 trường hợp, ta được m  −1 .
Kết hợp điều kiện m ( −100;9 ) và m

suy ra m−99, − 98,..., − 1 .

Vậy có 99 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 44. Cho khối chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a , góc ABC bằng 120 , mặt
phẳng ( SAB ) vng góc với đáy, SA = SB , góc giữa SC và đáy bằng 45 . Thể tích V của
khối chóp đã cho là
A. V =

21a 3
.
4

B. V =

21a 3
.
C. V =
12
Hướng dẫn giải

21a 3
.
24

D. V =

7a3
.
6

Chọn B

S

C

B
H
A

D

Gọi H là trung điểm của cạnh AB  SH ⊥ AB  SH ⊥ ( ABCD) .

ABC = 120  BAD = 60  ABD đều  BD = a .
Trong tam giác CBH ta có
HC 2 = BH 2 + BC 2 − 2BH .BC.cos HBC =

a2
a  −1  7a 2
7a
 CH =
+ a 2 − 2. .a.   =
.
2
4
2  2
4

Mà SHC vuôngtại H , SCH = 45  HC = SH =
S ABCD = 2 S ABD = 2.

a 7
.
2

a2 3 a2 3
1
1 a 7 a2 3
=
 V = .SH .S ABCD = .
.
=
4
2
3
3 2
2

21a 3
.
12


x + 2m
có đồ thị là ( C ) và hàm số y = f  ( x ) có đồ thị là ( C  ) . Có
x +1
bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị ( C ) và ( C  ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao

Câu 45. Cho hàm số y = f ( x ) =

cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng AB nhỏ hơn 5 2 ?

A. 10 .
B. 9 .
C. 8 .
D. 12 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
1 − 2m
Ta có y =
. Phương trình hồnh độ giao điểm của ( C ) và ( C  ) là
2
x
+
1
( )
 x 2 + (2m + 1) x + 4m − 1 = 0 (1)
x
+
1
x
+
2
m
=
1
−
2
m

(
)(

)
x + 2m 1 − 2m



.
=

1
2
x +1
m


( x + 1)
 x  −1


2

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt và m 

1
2

5

4m 2 − 12m + 5  0
m
  0




2
khi và chỉ khi 
.

1
1
m  1
m  2
m 

2

2

a + b = −2m − 1
 a + 2m   b + 2m 
Khi đó tọa độ hai giao điểm là A  a;
.
 ; B  b;
 với ab = 4m − 1
a +1  
b +1 


 − 2 m − 1 −2 m + 3 
;
Gọi M là trung điểm AB thì M 

.
2
 2

Có AB = ( b − a ; a − b ) . Đường thẳng AB đi qua M có véc tơ pháp tuyến n = (1;1) nên có
phương trình là x + y + 2m − 1 = 0 .

2m − 1

9
11
 5 2  2m − 1  10  −  m  .
2
2
2
9
1
5
11
Kết hợp điều kiện ta được −  m  hoặc  m  .
2
2
2
2
Do đó có 8 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
d ( O ; AB ) =

Câu 46. Cho khối chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có diện tích bằng 3 2a 2 , M là trung
điểm của BC , AM vng góc với BD tại H , SH vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) ,
khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SAC ) bằng a . Thể tích V của khối chóp đã cho là

A. V = 3a 3 .
Chọn B

B. V =

2a 3
3a 3
.
C. V =
.
3
2
Hướng dẫn giải

D. V = 2a 3 .


+ Ta thấy H = AM  BO nên H là trọng tâm của ABC .
1
a
Do đó d ( H ; ( SAC ) ) = d ( D; ( SAC ) ) = .
3
3
Trong ABC kẻ HN ⊥ AC và kẻ HK ⊥ SN thì HK ⊥ ( SAC ) nên d ( H ; ( SAC ) ) = HK =
+ Có BO =

(

)

(

a
.
3

)

1
1
BC + BA và AM = BC − 2 BA .
2
2

ABC có hai đường trung tuyến AM ⊥ BO nên BO. AM = 0  BC = 2BA .

Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng 3 2a 2  AB = a 3 , BC = a 6 và AC = 3a .
1
1 1
a
2 1
OH = OB = . .3a = và BH = . .3a = a .
3
3 2
2
3 2
Trong ABH vuông tại H có AH 2 = AB2 − BH 2 = 3a2 − a2 = 2a2  AH = a 2 .
Trong AOH vng tại H có

1

1
1
1
4
9
a 2
=
+
= 2 + 2 = 2  HN =
.
2
2
2
HN
AH
HO
2a a
2a
3

Trong SHN vng tại H có

1
1
1
9
1
9
a 2
=

+
 2 =
+ 2  SH =
.
2
2
2
2
HK
SH
HN
a
SH
2a
3

1
1 a 2
2a 3
.3 2a 2 =
Vậy thể tích V = SH .S ABCD = .
.
3
3 3
3
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a 3, BC = a, SA = a 3 và SA
vng góc với đáy ABCD. Tính sin  với  là góc tạo bởi đường thẳng BD và mặt phẳng
( SBC ) .
A. sin  =

6
.
4

10
10
.
C. sin  =
.
8
4
Hướng dẫn giải

B. sin  =

Chọn A
Lấy M , N lần lượt là trung điểm BC , SC . Dễ thấy

( OMN ) // ( SAB )

D. sin  =

2
.
2

S

suy ra BC ⊥ ( OMN )

Kẻ OH ⊥ MN suy ra OH ⊥ ( SBC ) . Do đó

( BD, ( SBC ) ) = (OB, ( SBC ) ) = HBO   = HBO .

N

Tam giác OMN vuông cân tại O nên

A

1
1a 3
a 6
OH = MN =
. 2=
.
2
2 2
4

D

H
O
B

M

C

1
1
OB = .BD =
2
2

(a 3)

2

+ a2 = a .

OH a 6
6
=
:a =
.
OB
4
4
Câu 48. Cho khối hộp ABCD.ABCD có diện tích đáy bằng a 2 và chiều cao bằng 2a . Lấy điểm M
thuộc đoạn CD  sao cho MC = 3M D , lấy điểm N thuộc đoạn CB  sao cho CN = 2NB . Thể
tích V của khối đa diện ABC DMN là
Tam giác OBH vuông tại H nên sin OBH =

A. V =

a3
.

6

B. V =

a3
a3
.
C. V =
.
3
4
Hướng dẫn giải

D. V =

a3
.
2

Chọn D

V = VADBNM + VNMDBC .
1
2 3
VADBNM = VCADB − VCAMN = VABCD. ABC D − . VCABD
3
3 4

1
1 1

1
1 1
a3
= .2a3 − . VABCD. ABC D = .2a 3 − . 2a 3 =
.
3
2 3
3
2 3
3
VNMDBC  = VCBDC  − VCNMC 

1
2 3
1 3 2 3 1 3 a3
= VABCDABC D − . VCBDC = .2a − . . .2a =
.
6
3 4
6
3 4 6
6

a3 a3 a3
+
= .
3
6
2
Câu 49. Cho khối lăng trụ ABCD.ABCD , đáy ABCD là hình bình hành có góc BAC = 90 , góc

ACB = 30 , tam giác BCC là tam giác đều cạnh a , mặt phẳng ( ACC A ) vng góc với
 V = VADBNM + VNMDBC  =

đáy. Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là
A. V =

2a 3
.
8

B. V =

2a 3
.
12

C. V =
Hướng dẫn giải

Chọn D

2a 3
.
24

D. V =

2a 3
.
4

Gọi H là hình chiếu của C xuống mặt đáy ( ABCD ) . Vì mặt phẳng ( ACC A ) vng góc với
đáy nên H  AC , mặt khác CB = CC nên H thuộc trung trực của BC dựng trong mặt đáy.
Từ giả thiết, ta có BC = a, AC =

a 3
a
, AB = .
2
2

CM
a 2 a 3
a2 a 6
2
2
2
Ta có: CH =
.
= .
=
 C ' H = C ' C − CH = a −
=
cos30 2 3
3
3
3

a 6  a 3a  a 3 2

. .
.
=
3  2 2 
4
Câu 50. Một người nơng dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 16m
và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sơng dạng hình thang cân
ABCD như hình vẽ, trong đó bờ sơng là đường thẳng DC không
phải rào và mỗi tấm là một cạnh của hình thang. Hỏi ơng ấy có
thể rào một mảnh vườn với diện tích lớn nhất bao nhiêu m 2 ?
Vậy: V = C H .S ABCD =

A. 192 3m 2 .

B. 196 3m 2 .

C. 190 3m 2 .

D. 194 3m 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn A
Gọi x ( m, 0  x  16 ) là độ dài chiều cao của hình thang.

Khi đó diện tích hình thang là:
1
S = 16 + 16 + 2 162 − x 2 x = 16 x + x 162 − x 2
2

(

)

Xét hàm số f ( x ) = 16 x + x 162 − x 2 với 0  x  16 .