Chuyen de on thi vao 10 on tap hinh hoc tong hop

ƠN TẬP HÌNH HỌC TỔNG HỢP
A. CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau
- Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba.
- Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác.
- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đơi một bằng nhau.
- Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba.
- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đơi một song song hoặc vng góc.
- Hai góc so le trong, so le ngồi hoặc đồng vị.
- Hai góc ở vị trí đối đỉnh.
- Hai góc của cùng một tam giác cân hoặc đều.
- Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng.
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba.
- Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều.
- Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vng).
- Hai cạnh bên của hình thang cân.


- Hai dây tương ứng căng hai cung bằng nhau trong một đường trịn hoặc hai đường trịn
bằng nhau.
- Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song
- Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
- Chứng minh hai đường thẳng cùng vng góc vơi đường thẳng thứ ba.
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: ở vị trí so le trong, ở
vị trí so le ngồi, ở vị trí đồng vị.
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đường tròn.
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng,…

Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vng góc
- Chúng song song với hai đường thẳng vng góc khác.
- Chứng minh chúng là chân đường cao trong một tam giác.
- Đường kính đi qua trung điểm của dây và dây không đi qua tâm.
- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau.
- Tính chất hai đường chéo hình thoi, hình vng.
Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
- Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng bẳng 1800.
- Dựa vào hai góc đối đỉnh.
- Dựa vào hai đường thẳng đi qua một điểm cùng song song hoặc vng góc với đường
thẳng khác.


- Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùng nhau.
- Chứng minh chúng là ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường trung trực, ba
phân giác trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia).
- Vận dụng định lý đảo của định lý Thales.
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
- Hai tam giác thường:
+ Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)
+ Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c)
+ Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g)
- Hai tam giác vng:
+ Có một cạnh và một góc nhọn bằng nhau (cgv-gn hoặc ch-gn)
+ Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vng bằng nhau (ch-cgv)
+ Cạnh góc vng đôi một bằng nhau (cgv-cgv)
Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng
- Hai tam giác thường:
+ Có hai góc bằng nhau đơi một (g.g)
+ Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tương ứng tỉ lệ (c.g.c)

+ Có ba cạnh tương ứng tỉ lệ (c.c.c)
- Hai tam giác vng:
+ Có một góc nhọn bằng nhau (g.g)
+ Có hai cạnh góc vng tương ứng tỉ lệ (c.g.c)
+ Có cạnh huyển và một cạnh góc vng tương ứng tỉ lệ (c.g.c)
Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.


- Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối điện.
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kể nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc

.

- Dựa vào phương tích của đường trịn.
B. BÀI TẬP
Bài 1. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại C . Gọi AC, BC là hai đường
kính của (O) và (O’). DE là dây cung vng góc tại trung điểm M của AB. Gọi
giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O’) tại F. BD cắt (O’) tại
G. Chứng minh:
a) Tứ giác AEBF là hình thoi;
b) Ba điểm B, E, F thẳng hàng;
c) Bốn điểm M, D, B, F thuộc một đường tròn;
d) DF, EG, AB đồng quy;
e) MF

1
DE ;
2

g) MF là tiếp tuyến của (O’).
Bài 2. Xét tam giác ABC có các góc B, C nhọn. Các đường trịn đường kính AB và AC
cắt nhau tại điểm thứ hai H. Một đường thẳng d bất kỳ qua A lần lượt cắt hai
đường trịn nói trên tại M, N.
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC.


b) Tứ giác BCNM là hình gì? Tại sao?
c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, MN. Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q
thuộc một đường trịn.
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.
Bài 3. Cho nửa (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By. Từ C là một điểm bất kỳ trên
nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax, By tại E, F.
a) Chứng minh FE=AE+BF.
b) Gọi M là giao điểm OE với AC , N là giao điểm OF với BC . Tứ giác MCNO là
hình gì? Tại sao?
c) Gọi D là giao điểm AF và BE Chứng minh CD//AE.
d) Chứng minh EF.CD=EC.FB.
e) Khi C di chuyển trên (O) thì M,N di chuyển trên đường nào?
g) Xác định vị trí của C để diện tích

EOF bé nhất?

Bài 4. Cho nửa (O) đường kính AB, M là một điểm trên nửa đường tròn. Hạ MH AB,
vẽ hai nửa đường trịn (I) đường kính AH, (K) đường kính BH nằm phía trong nửa
(O), cắt MA,MB tại P,Q. Chứng minh :
a) MH=PQ;
b) PQ là tiếp tuyến chung của (I), (K);
c) PQ2=AH.BH; MP.MA=MQ.MB;

d) Tứ giác APQB nội tiếp


e) Xác định vị trí của M để chu vi, diện tích tứ giác IPQK lớn nhất.
Bài 5. Cho nửa (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By. Từ M là một điểm bất kỳ trên
nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax, By tại C, D. Các đường
thẳng AD, BC cắt nhau tại N. Chứng minh:
a) CD=AB+BD;
b) MN//AC;
c) CD.MN=CM.DB;
d) Điểm M nằm ở vị trí nào trên nửa (O) thì AC+BD nhỏ nhất?
Bài 6. Cho

ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường trịn bàng tiếp

của góc A, O là trung điểm của IK. Chứng minh:
a) Bốn điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O;
b) AC là tiếp tuyến của (O);
c) Biết AB = AC = 20cm , BC = 24cm tính bán kính (O);
d) Tính phần giới hạn bởi (O) và tứ giác ABOC.
Bài 7. Cho hình vng ABCD, điểm E trên cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vng góc
với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC tại K, H. Chứng minh:
a) Tứ giác BHCD nội tiếp;
b) Tính ̂
c) KC.KD=KH.KB;
d) Khi E di chuyển trên BC thì H di chuyển trên đường nào.


Bài 8. Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vng góc với nhau . Trên đoạn AB lấy
điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng

vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của (O) ở điểm P .Chứng minh:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp;
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành;
c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vào điểm;
d) Khi M di chuyển trên AB thì P chay trên một đoạn thẳng cố định.
Bài 9. Cho

ABC vuông tại A (với AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ

BC chứa điểm A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường trịn
đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh:
a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật;
b) Tứ giác BEFC nội tiếp;
c) AE.AB=AF.AC;
d) EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường trịn.
Bài 10. Cho (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, P

Ax sao cho AP > R từ P kẻ

tiếp tuyến PM với (O) tại M. Đường thẳng vng góc với AB tại O căt BM tại N.
AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại J, PN cắt OM tại J. Chứng minh :
a) Tứ giác APMO nội tiếp và BM//OP;
b) Tứ giác OBNP là hình bình hành;
c) PI = OI; PJ = OJ;


d) Ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 11. Cho nửa (O) đường kính AB và điểm M bất kì

1/2(O) (M khác A, B) . Trên

nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I,
tia phân giác góc IAM cắt nửa (O) tại E, cắt tia BM tại F. Tia BE cắt Ax tại H, cắt
AM tại K. Chứng minh:
a) IA2=IM.IB;

b)

BAF cân;

c) Tứ giác AKFH là hình thoi;
d) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp một đường trịn.
Bài 12. Cho

ABC vng tại A. Trên cạnh AC lấy một điểm M, dựng (O) đường kính

MC. Đường thẳng BM cắt (O) tại D. Đường thẳng AD cắt (O) tại S, BC cắt (O) tại
E. Chứng minh:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp, CA phân giác góc SBC;
b) AB, EM, CD đồng quy;
c) DM phân giác góc ADE;
d) M là tâm đường trịn nội tiếp
Bài 13. Cho

ADE.

ABC vng tại A. Trên cạnh AB lấy một điểm D. (O) đường kính BD cắt

BC tại E. Đường thẳng CD, AE cắt (O) tại F, G. Chứng minh:
a)

ABC ~

EBD;

b) Tứ giác ADEC, AFBC nội tiếp;
c) AC//FG;
d) AC, DE, BF đồng quy.


Bài 14. Cho (O; 3cm) tiếp xúc ngoài với (O’; 1cm) tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC
(B (O), C

(O’)) .

a) Chứng minh ̂
b) Tính BC.
c) Tính diện tích phần giới hạn bởi tiếp tuyến BC và các cung nhỏ AB , AC của
hai đường tròn.
Bài 15. Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC= 4cm và CB=9cm. Vẽ về một phía
của AB các nửa đường trịn có đường kính là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là
O, I, K. Đường vng góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E, EA cắt (I) tại
M, EB cắt (K) tại N . Chứng minh:
a) EC = MN;
b) MN là tiếp tuyến chung của (I) và (K);
c) Tính MN;
d) Tính diện tích giới hạn bởi ba nửa đường tròn.
Bài 16. Cho (O) đường kính AB = 2R và một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Vẽ
đường tròn tâm E tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N.
MA, MB cắt (E) tại C, D. Chứng minh:

a) CD//AB;
b) MN phân giác ̂ và MN luôn đi qua một điểm cố định K;
c) Tích KM.KN khơng đổi;


d) Gọi CN cắt KB tại C’, DN cắt AK tại D’. Tìm M để chu vi
Bài 17. Cho

NC’D’ nhỏ nhất.

ABC vng tại A, đường cao AH. Đường trịn đường kính AH cắt các

cạnh AB, AC lần lượt tại E, F , đường thẳng qua A vng góc với EF cắt BC tại I.
Chứng minh:
a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật;
b) AE.AB = AF.AC;
c) IB = IC;
d) Nếu diện tích

ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF thì

ABC vng

cân.
Bài 18. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường
cao AD, BE cắt nhau tại H và kéo dài cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai
tương ứng là D’ và E’.
a) Chứng minh DD’ = DH, EE’ = EH.
b) Chứng minh rằng bán kính các đường trịn đi qua H và hai trong ba đỉnh A, B,
C đều bằng R.

c) Nối CH cắt AB tại G và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai G’. Chứng minh H
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’G’.
Bài 19. Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M
bất kỳ trên cung nhỏ AC. Tia Bx vng góc với AM cắt tia CM tại D.
a) Chứng minh góc AMD bằng góc ABC.
b) Chứng minh tam giác BMD cân.


c) Chứng minh rằng khi M di động thì D chạy trên một đường trịn cố định và độ
lớn góc BDC khơng đổi.
d) Xác định vị trí của M để tứ giác ABMD là hình thoi. Tính AM ở vị trí đó biết

BAC

và bán kính đường trịn (O) là R.

Bài 20. Cho hai đường trịn (O), (O’) tiếp xúc ngồi tại A và một đường thẳng d tiếp xúc
với (O), (O’) lần lượt tại B, C.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến chung của (O)
và (O’).
c) Chứng minh OM vng góc với O’M.
d) Các tia BA và CA cắt (O’) và (O) lần lượt tại các điểm thứ hai D và E. Chứng
minh S

ADE

=S

ABC

.

Bài 21. Cho tam giác ABC vng ở A (AB > AC) có đường cao là AH. Trên nửa mặt
phẳng bờ BC chứa đỉnh A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB tại E và nửa
đường trịn đường kính HC cắt cạnh AC tại F.
a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được.
c) Chứng minh EF là tiếp tuyên chung của hai nửa đường trịn.
d) Giả sử góc ABC = 300. Chứng minh rằng bán kính của nửa đường trịn này gấp
ba lần bán kính của nửa đường trịn kia.


Bài 22. Xét đoạn thẳng AD = a với trung điểm I, một tia Ix vng góc với AD. Một
đường trịn bất kỳ bán kính R ( R >

a
) tiếp xúc với AD tại A, cắt tia Ix tại B và C
2

(B nằm giữa I, C).
a) Chứng minh tam giác ABI đồng dạng với tam giác CIA. Suy ra tích IB.IC
khơng đổi khi đường trịn thay đổi.
b) Chứng minh rằng B là trực tâm của tam giác ADC. Có nhận xét gì về trực tâm
của tam giác ABC khi đường tròn thay đổi.
c) Gọi D’ là điểm đối xứng của D qua đường thẳng AC. Chứng minh rằng D’ cũng
thuộc đường tròn.
d) Nêu các dựng tam giác ABC biết cos CAI =

e) Xét trường hợp cos CAI =

1
.
3

1
, chứng minh rằng tứ giác ADCD’ là hình thoi.
2

Bài 23. Xét đường tròn (O), một dây AB và điểm M bất kỳ trên cung lớn AB.
a) Nêu cách dựng đường tròn (O’) qua M và tiếp xúc với AB tại A, đường tròn
(O”) qua M tiếp xúc với AB tại B. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn
(O’) và (O”).
b) Chứng minh góc AMB + góc ANB = 1800. Có nhận xét gì về độ lớn của góc
ANB khi M di động?
c) Tia MN cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh rằng tứ giác ANBS là hình bình
hành.
d) Xác định vị trí của M để hình bình hành ANBS có diện tích lớn nhất.


Bài 24. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Các đường thẳng AO,
AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đường tròn (O’)
lần lượt tại các điểm thứ hai E, F.
a) Chứng minh rằng B, F, C thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp được.
c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE.
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O), (O’).
Bài 25. Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường
tròn (M khác A, B). Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt
đường trung trực của đoạn AB tại I. Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường

thẳng d tại C và D (D nằm trong góc BOM).
a) Chứng minh các tia OC, OD là các tia phân giác của các góc AOM và BOM.
b) Chứng minh CA và DB vng góc với AB và AC.BD = R2.
c) Chứng minh rằng tam giác AMB đồng dạng với tam giac COD.
d) Xác định vị trí của M sao cho diện tích hình thang ABDC nhỏ nhất.
Bài 26. Xét đoạn thẳng AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB người ta kẻ các tia Ax // By. Một
đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại C, với Ax tại D, với By tại E.
a) Nêu cách dựng đường tròn tâm M.
b) Chứng minh AD + BE không phụ thuộc vào vị trí Ax, By. Chứng minh D, M, E
thẳng hàng.


c) Chứng minh tam giác AMB vng.
d) Tìm tập hợp điểm M.
Bài 27. Cho đường trịn (O; R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên đường tròn.
Gọi các điểm chính giữa của các cung AM, MB lần lượt là H, I. Các dây AM và
HI cắt nhau tại K.
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn khơng đổi.
b) Hạ HP vng góc với AM. Chứng minh đường thẳng IP tiếp xúc với (O; R).
c) Gọi Q là trung điểm của dây MB. Vẽ hình bình hàng APQS. Chứng minh S
thuộc đường tròn (O; R).
d) Chứng minh rằng khi M di động thì đường thẳng HI ln tiếp xúc với một
đường tròn cố định.
Bài 28. Cho tam giác ABC vuông tại B. Một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, đường trịn
đường kính MC cắt tia AM tại điểm thứ hai N và cắt tia BN tại điểm thứ hai D.
a) Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh CB là tia phân giác góc ACD.
c) Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC.
Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp.
d) Xác định vị trí của điểm M để đường trịn ngoại tiếp tứ giác AHCK có đường

kính nhỏ nhất.
Bài 29. Cho (O; R) đường kính AB, M là một điểm thuộc (O) và MA < MB. Từ M kẻ
đường thẳng vuông góc với AB tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai N. Trên tia đối


của tia MN lấy điểm C. Nối C với B cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Giao điểm
của AI với MN là K.
a) Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp.
b) Chứng minh CI.CB = CK.CH.
c) Chứng minh IC là tia phân giác góc ngồi của tam giác IMN.
d) Cho MN = R 3 và AN // BC. Tính MC.
Bài 30. Cho đường trịn (O; R), đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB,
M là một điểm trên cung CB, kẻ đường cao CH của tam giác ACM.
a) Chứng minh rằng tam giác HCM vuông cân và OH là phân giác của góc COM.
b) Gọi giao điểm của tia OH với CB là I và giao điểm thứ hai của đường thẳng MI
với nửa đường tròn (O) là D. Chứng minh MC // BD.
c) Xác định vị trí của M sao cho D, B, H thẳng hàng.
d) Gọi giao điểm của OH và BM là N. Tìm tập hợp điểm N.
Bài 31. Cho đường trịn tâm O đường kính BC, A là một điểm thuộc cung BC sao cho
AB < AC. Tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M, cắt BC tại I.
a) Chứng minh AB. IC = AI.MB.
b) Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ Dx vuông góc với DA cắt tia
AM tại E. Tứ giác ADEC là hình gì, tại sao?
c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia DE tại G. Chứng minh rằng tứ giác BDGC nội
tiếp.


d) Chứng minh rằng B, M, G thẳng hàng.
Bài 32. Từ một điểm S ở ngồi đường trịn tâm O bán kính R, kẻ tiếp tuyến SA và cát
tuyến SBC tới đường trịn sao cho góc BAC nhọn. Tia phân giac của góc BAC cắt

dây BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai E. Các tiếp tuyến của (O) tại C và
E cắt nhau tại N. Gọi Q và P theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng AB
và CE, AE và CN.
a) Chứng minh SA = SD.
b) Chứng minh EN // SD.
c) So sánh tam giác QCB và tam giác PCE.

1
1
1
=
+
d) Chứng minh CN CD CP .
Bài 33. Cho tam giác ADC vuông ại A, điểm B nằm giữa A và C (B khác A và C).
Đường trịn (O) đường kính BC giao CD tại M. Tia MA giao với (O) tại N, kẻ NP
vng góc với AC (P thuộc (O)).
a) Chứng minh CM.CD = CB.CA.
b) Chứng minh D, B, P thẳng hàng.
c) Chứng minh tứ giác ADCP nội tiếp.
d) Khi B di động trên đoạn AC và tia MA giao đường tròn đường kính BC tại N.
chứng minh rằng trực tâm của tam giác BCD luôn nằm trên đường thẳng cố định.


Bài 34. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) sao cho AB < AC. Tiếp tuyến của
đường tròn tại A cắt đường thẳng BC tại S. Gọi M là trung điểm của BC và I là
giao điểm của OM với đường tròn (I thuộc cung BC).
a) Chứng minh SA2 = SB.SC.
b) Chứng minh góc BIC = góc ABC + góc ACB.
c) Hạ IN vng góc với AC. Chứng minh tứ giác MNCI nội tiếp.
d) Hạ IP vng góc với AB. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Bài 35. Cho đường tròn (O; R), dây PQ cố định (PQ không đi qua tâm O). Gọi M là điểm
chính giữa cung nhỏ PQ. Lấy N là một điểm bất kì thuộc cung lớn PQ, MN cắt PQ
tại I. Gọi K là trung điểm của PQ. Kẻ PH vuông góc với MN tại H, đường thẳng
NQ cắt PH tại S.
a) Chứng minh bốn điểm M, K, H, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MI.MN = MP2.
c) Cho PQ = R 3 , hãy chứng minh tam giác MPO đều và diện tích hình giới
hạn bởi dây PQ và cung nhỏ PQ.
d) Tìm vị trí của điểm N trên cung PQ lớn để diện tích tam giác SMP lớn nhất.
Bài 36. Cho đường tròn (O), từ điểm A nằm ngồi đường trịn kẻ tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (B và C là tiếp điểm). M thuộc cung BC (phần trong tam giác). Từ M
kẻ MI, MK, MH theo thứ tự vng góc với BC, AB, AC. MB cắt IK tại , MC cắt
HI tại F.


a) Chứng minh tứ giác BMIK, CIMH nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh MI2 = MH.MK.
c) Chứng minh EF vng góc với MI.
d) Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn (MEK) và (MFH) là N. Chứng minh MN
ln đi qua điểm cố định.
Bài 37. Cho đường trịn (O; R) và dây AC cố định không đi qua tâm. B là một điểm bất
kỳ trên đường tròn (B khơng trùng với A và C), kẻ đường kính BK. Gọi AE và CF
là các đường cao của tam giác ABC, H là giao điểm của AE và CF.
a) Chứng minh AH song song với KC.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng
hàng.
c) Tìm quỹ tích điểm H khi B di chuyển trên (O; R).
Bài 38. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O; R) và A là góc nhọn. Các đường phân
giác của các góc A, B, C cắt (O) lần lượt tại A’, B’, C’. Đoạn B’C’ cắt AB, AC lần
lượt tại M và N. Gọi giao điểm của AA’ và BB’ là I.

a) Chứng minh AMN là tam giác cân.
b) Chứng minh I là trực tâm tam giác A’B’C’.
c) Chứng minh BIMC’ là tứ giác nội tiếp.
d) Cho BC cố định, A di chuyển trên cung lớn BC. Tìm vị trí của A để độ dài đoạn
AI đạt giá trị lớn nhất.


Bài 39. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), AD, BE, CF là các đường
cao, H là trực tâm tam giác. Kẻ đường kính AA’, gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh BCEF là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh H, I, A’ thẳng hàng.
c) Chứng minh DH.DA = DB.DC.
d) Cho BC cố định, A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba
góc nhọn. Tìm vị trí của A để tam giác AEH có diện tích lớn nhất.
Bài 40. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua
A cắt (O) và (O’) làn lượt tại C và D (A nằm giữa C và D). Các tiếp tuyến tại C và
D của hai đường tròn cắt nhau tại K. Nối KB cắt CD tại I. Kẻ IE song song với
KD (E thuộc BD).
a) Chứng minh tam giác BOO’ đồng dạng với tam giác BCD.
b) Chứng minh tứ giác BCKD nội tiếp.
c) Chứng minh AE là tiếp tuyến của (O; R).
d) Tìm vị trí của CD để diện tích tam giác BCD lớn nhất.
Bài 41. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, điểm C cố định trên nửa đường
trịn, điểm M thuộc cung AC. Hạ MH vng góc với AB tại H. Nối MB cắt CA tại
E, hạ EI vng góc với AB tại I. Gọi K là giao điểm của AC và MH. Chứng minh:
a) BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp.
b) AK.AC = AM2.


c) AE.AC + BE.BM khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M.

d) Khi M di chuyển thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên một đường tròn
cố định.
Bài 42. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), góc BAC = 900. Một cung tròn BC nằm bên
trong tam giác và tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại B và C. Trên cung BC lấy một
điểm M rồi hạ các đường vng góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC,
CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB, IK và Q là giao điểm của MC, IH.
a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK và CIMH nội tiếp được.
b) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.
c) Chứng minh rằng tứ giác MPIQ nội tiếp được, suy ra PQ // BC.
d) Gọi (O) là đường tròn đi qua M, P, K và (O’) là đường tròn đi qua M, Q, H. Gọi
N là giao điểm thứ hai của (O), (O’) và D là trung điểm của BC. Chứng minh M,
N, D thẳng hàng.
Bài 43. Cho M là một điểm di động trên nửa đường trịn (O) đường kính AB. Gọi H là
điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của (O)
tại K, các tia AH và BM giao nhau tại S.
a) Chứng minh tam giác ABS cân. Từ đó chứng inh S nằm trên 1 đường tròn cố
định.
b) Chứng minh các tiếp tuyến tại M, H của nửa đường tròn (O) và đường thẳng SI
đồng quy.
c) Chứng minh KS là tiếp tuyến của (B; BA).


d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt (B; BA) tại N. Chứng minh M, N, A
thẳng hàng.
Bài 44. Đường trịn (O; R). Từ điểm A bất kì bên ngồi đường trịn kẻ các tiếp tuyến AB,
AC. Điểm I là điểm bất kì nằm giữa B và C. Một đường thẳng qua I và vng góc
với OI cắt đường thẳng AB tại E và cắt đường thẳng AC tại F.
a) Chứng minh I là trung điểm của EF.
b) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp.
c) Trên cung nhỏ BC lấy một điểm K, qua K kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB tại P,

cắt AC tại Q. Tính chu vi tam giác APQ khi OA = 2R.
d) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại
M, N. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất.
Bài 45. Gọi C là điểm chính giữa cung nhỏ AB của một đường tròn. Trên dây AB lấy hai
điểm D, E. Hai tia CD, DE cắt đường tròn tại P, Q.
a) Chứng minh DEQP nội tiếp.
b) Nếu AD = EB thì DEQP là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh AC2 = DC.PC.
d) Xác định vị trí tương đối của AC với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADP.
Bài 46. Trên đoạn thẳng AB lấy C sao cho AC > CB, vẽ hai đường trịn đường kính AC
và CB. Từ H là trung điểm của AB kẻ đường vng góc với AB cắt đường trịn
đường kính AC tại M, N. MC kéo dài cắt đường trịn đường kính CB tại I.


a) Tứ giác AMBN là hình gì?
b) Chứng minh MC2 = HC.AC.
c) Chứng minh N, I, B thẳng hàng.
d) Xác định vị trí tương đối của HI với đường trịn đường kính CB.
Bài 47. Từ M nằm ngồi (O; R) kẻ 2 tiếp tuyến MB, MC với đường tròn. Gọi I là trung
điểm MC, BI cắt (O) tại A. Tia MA cắt đường tròn tại D.
a) So sánh tam giác ICA và tam giác IBC.
b) Chứng minh MI2 = IA.IB.
c) Chứng minh BD song song với MC.
d) Khi góc BMC = 600 thì IBDC là hình gì và tính diện tích của nó theo R.
Bài 48. Cho điểm A bất kì trên đường trịn đường kính BC (khác B, C). Đường phân giác
của góc BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn tại E. Trên đường kéo dài của CE lấy
EG = EC.
a) Tam giác BEC là tam giác gì? Tại sao?
b) Chứng minh GB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính BC.
c) Chứng minh AD.DE = BD.DC.

d) Xác định vị trí của A trên đường trịn đường kính BC sao cho ACGB là hình
thang vng. Khi đó ACEB là hình gì?
Bài 49. Cho (O; R), đường kính AB, dây CD vng góc với AB (CA < CB). Hai tia BC
và DA giao nhau tại E. Gọi H là chân đường vng góc hạ từ E tới AB.


a) Chứng minh AHEC nội tiếp một đường trịn, tìm tâm I và bán kính của đường
trịn đó.
b) Gọi giao điểm của EH và CA là F. Chứng minh HC = HF.
c) Chứng minh HC là tiếp tuyến của (O).
d) Chứng minh BE.BC = BA.BH. Tính BC.BE theo R biết góc ABC = 300.
Bài 50. Cho (O; R) và dây cung AB nhỏ hơn 2R. Trên tia AB lấy C sao cho AC > AB.
Từ C kẻ 2 tiếp tuyến với đường tròn tại P, K. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh CPIK nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB. Từ đó suy ra
CP2 = CB.CA.
c) Gọi H là trực tâm tam giác CPK. Tính PH theo R.
d) Giả sử PA // CK. Chứng minh tia đối của BK là phân giác của góc CBP.
Bài 51. Cho (O; R) đường kính AB, dây CD cắ AB tại E khác A, B. Một tiếp tuyến d của
đường tròn tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.
a) Chứng min tam giác ACB đồng dạng với tam giác ABM.
b) Chứng minh AC.AM = AD.AN.
c) Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt d tại I. Chứng minh I là trung điểm của MB.
d) Xác định vị trí của CD để tam giác AMN đều.
Bài 52. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường trịn đường kính AH cắt
AB, AC tại E, F.


a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.

c) Đường thẳng qqua A, vng góc EF cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm
BC.
d) Chứng minh nếu diện tích tam giác ABC bằng 2 lần diện tích AEHF thì tam
giác ABC vng cân.
Bài 53. Cho (O; R) và A nằm ngồi đường trịn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn và AM < AN). Gọi E là
trung điểm MN, I là giao điểm thứ hai của CE với (O).
a) Chứng minh A, O, E, C cùng nằm trên một đường trịn.
b) Chứng minh góc AOC bằng góc BIC.
c) Chứng minh BI song song MN.
d) Xác định vị trí của AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Bài 54. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M nằm giữa A, B. Đường trịn đường kính
BM cắt đường thẳng BC tại điểm thứ hai E. Các đường thẳng CM, AE cắt (O) tại
H, K.
a) Chứng minh AMEC nội tiếp.
b) Chứng minh góc ACM bằng góc KHM.
c) Chứng minh BH, EM, AC đồng quy.
d) Giả sử AC < AB, tìm vị trí của M để tứ giác AHBC là hình thang cân.


Bài 55. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), P là điểm chính giữa cung AB (phần khơng chứa
C, D). Hai dây PC, PD cắt dây AB tại E, F. Hai dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I,
dây BC, PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh:
a) ̂

̂

b) Tứ giác CDFE, CIKD nội tiếp;
c) IK//AB;
d) PA là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp

AFD.

Bài 56. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt AB,
AD kéo dài lần lượt tại E và F. Gọi M là trung điểm EF, tiếp tuyến tại B và D của
(O) cắt EF lần lượt tại I, J. Chứng minh:
a) AB.AE = AD.AF;
b) AM BD;
c) I, J là trung điểm CE, CF;
d) Tính diện tích phần hình trịn được giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AD biết
AB = 6cm, AD = 6 3 cm.
Bài 57. Cho nửa (O; R) đường kính AB và 1 điểm M bất kì

nửa (O) (M khác A và B)

đường thẳng d tiếp xúc với nửa (O) tại M cắt đường trung trực của AB tại I. (I)
tiếp xúc với AB và cắt đường thẳng d tại C và D (D nằm trong ̂ ) Chứng
minh:
a) OC, OD là các tia phân giác ̂
b) CA AB, DB AB

̂
c) AC.BD = R2

d) Tìm vị trí điểm M để tổng AC+BD nhỏ nhất? Tính giá trị đó theo R.