Ôn thi vào lớp 10 : Bài tập hình 9 tổng hợp

CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔNG HP
Bài 1 : Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) , các đường cao AD , BE cắt nhau tại
H , Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE .
a. Chứng minh DE = ½ BC
b. Chứng minh : DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c. Tính độ dài DE biết DH = 2 cm , AH = 6 cm .
Bài 2 : Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau .
Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M ( M ≠ O) , đường thẳng CM cắt đường tròn (O)
tại điểm N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường
tròn ở điểm P . Chứng minh rằng
a. Tứ giác OMNP nội tiếp
b. Tứ giác CMPO là hình bình hành
c. Tích CM.CN không phụ thuyộc vò trí của điểm M .
d. Khi M chạy trên đoạn thẳng AB thì điểm P nằm trên đoạn thẳng nào ?
Bài 3 : Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ( AB > AC) . Kẻ đường cao AH ,
trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ các nửa đường tròn đường kính BH ,
HC cắt AB tại E và cắt AC tại F .
a. Chứng minh EF là tiếp tuyến của hai nửa đường tròn
b. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp
c. Chứng minh HD
2
+ HE
2
= AE . AB
d. Chứng minh AB + AC > BC
2
Bài 4 : Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax và trên tiếp
tuyến lấy điểm P sao cho AP > R . Từ P . kẻ tiép tuyến với đường tròn tại (O) tại
M .
a. Chứng minh BM // OP
b. Đường vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N . Chứng minh tứ giác

OBNP là hình bình hành .
c. Biết AN cắt OP tại K , PM cắt ON tại I ; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J .
Chứng minh ba điểm I , J , K thẳng hàng .
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường
tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường
tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh
a. các từ giác ADEC và ÀBC nội tiếp
b. AC // FG
c. Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy .
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Lấy bất kỳ một điểm M thuộc cạnh
AB , qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CM , đường thẳng này cắt các đường
thẳng CM , CA lần lượt tại D và E . Chứng minh :
a. Tứ giác BDAC nội tiếp
b. DA là tia phân giác của góc EDC
c. Tam giác EDA đồng dạng với tam giác ECB .
d. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AM = AN . Từ A , M kẻ các đường
thẳng vuông gọc với BN chúng cắt BC lần lượt tại K , L . Chứng minh KL
= KC
Bài 7 : Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , kẻ đường kính AI .
Gọi H là giao điểm ba đường cao AD , BE , CF . Gọi M là trung điểm của BC
a. Gọi H
1
là điểm đối xứng của H qua BC , . Chứng minh các điểm H
1
nằm
trên đường tròn (O)
b. Chứng minh : hai điểm H và I đối xứng nhau qua M và AH = 2OM
c. Nếu góc A bằng 45
0
thì AH = BC

d. Nếu AH = OA , tính góc BAC .
e. EF cắt AI tại K , chứng minh tứ giác CIKF nội tiếp .
f. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC , HAC ,
HAB đèu bằng đường tròn (O)
Bài 8 : Cho tam giác ABC cân tại C ( góc C nhọn) , nội tiếp trong đường tròn tâm
(O) . Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC .
a. Kẻ đường kính COK , chứng minh MK là tia phân giác của góc AMB .
b. Trên tia AM lấy điểm D sao cho BM = MD ( M nằm giữa A và D) . Chứng
minh MK // BD
c. Kéo dài CM cắt BD tại I . Chứng minh : I là trung điểm của BD và MA +
MB ≤ 2 AC .
Bài 9 : Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O ; R) , D là điểm tùy ý trên
cạnh AB , dựng hai đường tròn (O
1
) , (O
2
) qua D và lần lượt tiếp xúc với CA , CB
tại A và B ; (O
1
) , (O
2
) cắt nhau tại điểm thứ hai E ( E ≠ D) . CE cắt AB tại F .
a. Chứng minh E nằm trên đường tròn (O ; R)
b. Tiếp tuyến của (O
1
) tại D cắt BE tại G , chứng minh FG // CB
c. Khi tam giác ABC cân tại C , chứng minh F ≡ D
d. Khi tam giác ABC vuông cân tại C , một đường tròn (I) tiếp xúc với dây
cung BC tại trung điểm K của BC và tiếp xúc vpí cung nhỏ BC của (O ; R)
tại M . Tính độ dài tiếp tuyến của (I) kẻ từ A theo R .

Bài 10 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , M là trung điểm của BC , AD là
đường cao . Gọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống
đường kính AA’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
a. Chứng minh góc EDC = góc BAE
b. Chứng minh DE ⊥ AC và MN là đường trung trực của DE ( N là trung điểm
của AB)
c. Xác đònh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF .
Bài 11 : Cho hình vuông ABCD .
1. Trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh BC lấy điểm F sao cho AE = AF .
a. Chứng minh ∆ DAE = ∆ ABF
b. AF cắt DE tại O . Chứng minh tứ giác DOFC nội tiếp
2. Gọi M , N , P , Q là các điểm thuộc bốn cạnh của hình vuông ABCD . Tứ giác
MNPQ có tính chất gì để chu vi của nó nhỏ nhất ?
Bài 13 : Cho đường tròn ( O ; R) , và điểm A cố đònh trên đường tròn , kẻ tiếp
tuyến Ax , điểm M tùy ý trên Ax ; kẻ tiếp tuyến thứ hai MB với (O) . B là tiếp
điểm . Gọi I là trung điểm của MA , BI cắt đường tròn (O) ở điểm K , tia MK cắt
(O) ở C .
a. Chứng minh ∆MIK đồng dạng ∆ BIM
b. Chứng minh BC // MA
c. Chứng minh rằng khi điểm M chuyển động trên tia Ax thì trực tâm H của
tam giác MAB thuộc một đường tròn cố đònh .
d. Xác đònh vò trí của M trên tia Ax để tứ giác AMBC là hình bình hành ?
Bài 14 . Cho đường tròn (O) , từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến
AB , AC . Từ điểm M thuộc cung nhỏ BC kẻ MI ⊥ BC , MK ⊥ AB , MH ⊥ AC .
a. Chứng minh tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp
b. Chứng minh MI
2
= MH.MK
c. Chứng minh EF // BC
d. Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và

MFH là N . Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố đònh .
Bài 15 : Cho tam giác ABC ( Góc A < 90
0
) nội tiếp trong đường tròn tâm (O;R) ,
các đường cao BD , CE của tam giác cắt đường tròn (O) tại các điểm theo thứ tự
N , M .
a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp
b. Chứng minh MN // DE
c. Chứng minh OA ⊥ DE
d. Khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O) . Chứng minh đường
tròn ngoại tiếp tam giác ADE có bán kính không đổi .
Bài 16 : Cho tam giác ABC , gọi M , N là trung điểm của AB , AC . Kẻ đường
cao AH . Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AMN , gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC .
Chứng minh : ba điểm O , I , A thẳng hàng
a. Chứng minh góc IAC = góc HAB
b. Kẻ dây AE của đường tròn (I) song song với MN . ME cắt MN tại K .
Chứng minh KM = KN .
c. HE cắt đường trong (I) tại D . Chứng minh tứ giác BHDM nội tiếp .
Bài 17 . Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Từ điểm C trên cung AB kẻ
CH ⊥ AB . Gọi I , K lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác CAH và
CBH . Đường thẳng IK cắt CA , CB tại M ,N .
a. Chứng minh CM = CN
b. Xác đònh vò trí của C để tứ giác ABMN nội tiếp
c. Kẻ CD ⊥ MN . Chứng minh khi C chuyển động trên cung AB thì CD luôn
đi qua một điểm cố đònh .
d. Tìm vò trí của điểm C để diện tích của tam giác CMN là lớn nhất ?
Bài 18 . Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh BC lấy điểm M ( M ≠ B , M ≠ C) và
trên cạnh CD lấy điểm N sao cho góc MAN = 45
0

. Đường chéo BD cắt AM , AN
lần lượt tại P , Q .
a. Chứng minh : 5 điểm P,Q,M,N C cúng nằm trên một đường tròn
b. Gọi I là giao điểm của NP và MQ . Chứng minh AI vuông góc với MN tại
H và AH = AB .
c. Chứng minh diện tích của tam giác AMN gấp đôi diện tích của tam giác
APQ .
Bài 19 : Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn
(O) . Đường tròn tâm O
1
tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M , tiếp xúc với hai
cạnh AB , AC lần lượt tại L và K . Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với đường
tròn (O) .
a. Chứng minh : ME là tia phân giác của góc AMC .
b. Tia phân giác Mx của góc BMC cắt LK tại I . Chứng minh bốn điểm M , I ,
K , C cùng thuộc một đường tròn .
c. Chứng minh tia CI là tia phân giác của góc BCA .
Bài 20 . Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B , người ta kẻ trên
nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax , Ay vuông góc với AB và trên tia Ax lấy một
điểm I . Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K . Đường tròn đường kính CI
cắt IK tại P .
a. Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp
b. Chứng minh Ai.BK = AC.CB
c. Chứng minh tam giác APB là tam giác vuông
d. Giả sử A, B , I cố đònh . Hãy xác đònh vò trí của điểm C sao cho diện tích
hình thang ABKI lớn nhất .