vận dụng toán vào giải bài tập sinh học

PP vận dụng một số phép toán vào việc giải các bài tập sinh học.
Trang 1
PP vận dụng một số phép toán vào việc
giải các bài tập sinh học.
Thạc sỹ Lê Ngọc Hùng.

Trong nghiên cứu và giảng dạy bộ môn Sinh học nói chung, đặc biệt là phần Cơ sở di
truyền học nói riêng, sự tham gia của toán học ngày càng sâu sắc và quan trọng. Ng-ời đặt
nền móng cho cơ sở di truyền học là G. MenĐen (1809-1882) cũng đã dùng toán học nh- một
bí quyết thành công giúp ông tìm ra các quy luật di truyền.
Thực trạng của vấn đề : Các tài liệu dùng cho việc dạy và học môn Sinh học đã đề cập
các loại bài tập rất đầy đủ. Tuy nhiên, việc h-ớng dẫn cho học sinh sử dụng từng phép toán
phù hợp vào các dạng bài tập cụ thể thì còn rời rạc và chủ yếu là công nhận công thức. Một số
dạng bài tập ch-a đ-ợc nêu rõ ph-ơng pháp giải, học sinh ch-a tự vận dụng đ-ợc những
phép toán cần thiết vào đúng chỗ của nó.
Vì vậy việc tìm tòi, phân tích về mối quan hệ giữa Sinh học và Toán học nhằm xác
định đ-ợc các phép toán phù hợp có thể vận dụng để giải bài tập Sinh học là một việc rất cần
thiết, góp phần nâng cao chất l-ợng dạy học Sinh học và bồi d-ỡng Học sinh giỏi (HSG).
Chúng tôi xin đ-a ra cách xây dựng một số công thức Toán - Sinh và vận dụng các
công thức đó vào việc giải một số dạng bài tập Sinh học.

I . Vận dụng cấp số cộng:

A) Tìm hiểu cấp số cộng.
+ Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi
số hạng đều là tổng của số hạnh đứng ngay tr-ớc nó với một số không đổi
+ Gọi d là công sai, ta có : U
n+1
= U
n

+ d ; (n = 1,2,3 )
U
n
= U
1
+ (n -1).d
Tổng n số hạng của cấp số cộng:
S
n
=
2
n
(U
1
+ U
n
) =
2
n
(2U
1
+ (n - 1)d)

B) Các dạng bài tập vận dụng:
Dạng 1: Tính tổng số a.a trong các chuỗi pôlipéptít tại một thời điểm nhất định
trong quá trình giải mã của các Ribôxôm trên một phân tử mARN.
a. Phân tích:
-Vì số Ribôxôm tham gia giải mã có từ 5 -20 (theo SGK) , khoảng cách giữa các
Ribôxôm th-ờng đều nhau, nên số a.a của các chuỗi pôlipéptít sắp xếp thành cấp số cộng hữu
hạn. Số a.a chênh lệch nhau giữa 2 chuỗi pôlipéptít do 2 Ribôxôm kề nhau giải mã chính là

công sai (d).
- Vì chuỗi pôlipéptít do Ribôxôm thứ nhất trong nhóm polixôm giải mã đ-ợc là nhiều
nhất, tức số hạng đầu tiên (U
1
) của cấp số cộng. Cấp số cộng này có công sai là số nguyên âm
(d < 0).
- Tuy vậy, công thức về cấp số cộng vẫn đ-ợc áp dụng bình th-ờng.
b. Ví dụ:
Trên một phân tử mARN có L = 5100A
0
, trên đó có 10 Ribôxôm cùng tham gia giải
mã một lần, với vận tốc tr-ợt đều nhau là 51 A
0
/s

khoảng cách giữa các Ribôxôm đều nhau
đều bằng 61,2A
0
.
Hãy tính tổng số a.a cần cung cấp để tạo nên các chuỗi pôlipéptít tại thời điểm sau 60s,
kể từ khi Ribôxôm thứ nhất tiếp xúc với mARN.
c. Bài giải:
+ Sau 60s Ribôxôm thứ nhất đã tr-ợt một khoảng là:
60s x 51A
0
/s = 3060 A
0


PP vận dụng một số phép toán vào việc giải các bài tập sinh học.

Trang 2
Ribôxôm thứ m-ời đã tr-ợt một khoảng là:
3060 9 x 61,2 = 2509,2 A
0

=> Số a.a của chuỗi polipéptít thứ nhất là p
1
= 23060: 10,2 = 300 (a.a)
-
- Số a.a chênh lệch nhau giữa các chuỗi Pôlipeptít của các Ribôxôm kề nhau (tức công
sai) là: 61,2: 10,2 = 6 (a.a).
S a.a ca chui Poolipeptit th 10 l P
10
= 2509: 10.2 = 256 (a.a)
Gọi Pt = số a.a/1 Pôlipeptít
=> Ta có:

a.a = Pt
1
+ Pt
2
+ + Pt
10

= 300 + (300 - 6 ) + (300 - 12) + (300 - 18) + + (300 - 9 x 6)
=
2
10
(300 + 246) = 5x 546 = 2730 (a.a)

Dạng 2: Tính tổng số liên kết Peptít đ-ợc hình thành hay số phân tử n-ớc đ-ợc
giải phóng tại một thời điểm trong quá trình giải mã của x Ribôxôm.
Dạng này cũng đ-ợc vận dụng cấp số cộng với ph-ơng pháp t-ơng tự nh- dạng1 đã
nêu ở trên .

II. Vận dụng cấp số nhân:
A. Tìm hiểu cấp số nhân.
Cấp số nhân là một dãy số hữu hạn hay vô hạn, trong đó kể từ số hạng thứ 2 (U
2
), mỗi
số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay tr-ớc nó nhân với một số không đổi gọi là công
bội.
Công thức: U
n+1
= U
n
. q (q là công bội, n = 1,2,3 ).
U
n
= U
1
. q
n 1
. Tổng các số hạng S
n
= U
1
.
1
1

q
q
n


B. Các dạng bài tập vận dụng cấp số nhân:
Dạng 3: Bài tập liên quan đến số tế bào qua các thế hệ tế bào trong nguyên phân
a. Ví dụ: Có 5 tế bào sinh d-ỡng tiến hành nguyên phân với tốc độ đều nhau, tổng số tế
bào trong tất cả các thế hệ tế bào là 315. Hãy xác định số đợt nguyên phân của mỗi tế bào
trên.
b. Cách giải:
+ Cứ qua một đợt nguyên phân, số tế bào lại tăng gấp đôi. Nh- vậy số tế bào thuộc mỗi
thế hệ tế bào chính là một số hạng của cấp số nhân với công bội là 2.
+ Nh- vậy theo giả thiết ta có:
5 + 5x2 + 5x2
2
+ +5x2
k
= 315. (k: số đợt nguyên phân )
=> Tổng số tế bào đ-ợc sinh ra qua các đợt nguyên phân là:
5x2 + 5x2
2
+ +5x2
k
= 310
(*)
(không kể các tế bào ban đầu)
+ Theo công thức:S

n
=U
1

1
1


q
q
n
Ta có:10 x
1
2
12


k
=310=>2
k
= 32 => k = 5
Hoặc từ (*) chia 2 vế cho 5 ta có:
2 + 4 + + 2
k
= 62
2 x
1
2
12

k
= 62 2
k
- 1 = 31 k = 5
* L-u ý: Phải biến đổi cấp số nhân để có: Số hạng thứ nhất (U
1
) t-ơng đ-ơng với số tế
bào sau đợt nguyên phân thứ nhất, số hạng cuối (U
k
) t-ơng đ-ơng số tế bào ở thế hệ k.

Dạng 4: Bài tập liên quan đến số thoi tơ vô sắc đ-ợc hình thành trong quá trình
nguyên phân .

PP vận dụng một số phép toán vào việc giải các bài tập sinh học.
Trang 3
a. Ví dụ: Từ 1 tế bào hợp tử, trong một giai đoạn phát triển phôi đã hình thành tất cả là
31 thoi tơ vô sắc. Biết rằng thế hệ tế bào cuối cùng đang ở pha G
1
của chu kỳ nguyên phân.
Hãy xác định số đợt nguyên phân của hợp tử.
b. Cách giải:
+ Theo giả thiết, ta thấy số thoi tơ xuất hiện ở mỗi đợt phân bào đúng bằng số tế bào ở
mỗi thế hệ tế bào, trong đó thế hệ tế bào cuối cùng ch-a hình thành thoi tơ.
+ Vậy ta có: 1 + 2
1
+ 2
2
+ + 2

k-1
= 31
=> 2
1
+ 2
2
+ + 2
k-1
= 30
+ Theo công thức: S
n
= U
1

1
1


q
q
n

Ta có: 30 = 2 x
1
2
12
1


k

= 2
k
- 2 => 2
k
= 32 => k = 5
c. Cũng bài toán trên, nếu các tế bào sinh ra cuối cùng đã qua pha S thì số đợt nguyên
phân đ-ợc tính nh- sau :
1 + 2 + 4 + 8 + + 2
k
= 31 => 2 + 4 + 8 + + 2
k
= 30
=> 30 = 2.
1
2
12
k


=> 2
k
- 1 = 15 => k = 4

Dạng 5: Bài tập về sự tăng tr-ởng của quần thể sinh vật trong môi tr-ờng không
giới hạn.
a. Phân tích: Sự sinh sản của mỗi loài sinh vật tuân theo chu kỳ nhất định. Số cá thể
của 1 quần thể (không giới hạn) qua các thế hệ sắp xếp thành dãy số cấp số nhân trong
đó chỉ số sinh sản (số con/lứa hay số con/năm) chính là công bội của cấp số nhân.
Công thức: N
t+1

= N
t.
.R <=> N
t =
N
0
.R
t
N
t
: số l-ợng cá thể của quần thể vào thời điểm t
N
0
: số l-ợng cá thể của quần thể vào thời điểm khởi đầu)
R: Chỉ số sinh sản hay tỷ lệ sinh sản
T: Thời gian: (năm, tháng, ngày , giờ )
b. Ví dụ: (câu 4 - đề 100 - bộ đề thi )
Để phục hồi quần thể sóc ở một v-ờn quốc gia, ng-ời ta thả vào v-ờn 25 con đực và 25
con cái. Cho biết tuổi đẻ của sóc là 1 năm, mỗi con cái đẻ mỗi năm đ-ợc 2 con (trung bình 1
đực: 1 cái); các điều kiện sinh thái thuận lợi.
- Số l-ợng cá thể sóc sau 1 năm; 2 năm, 5 năm là bao nhiêu ?
- Sau mấy năm thì đạt 6400 con ?
c. H-ớng dẫn giải:
+ Theo giả thiết và công thức ta thấy:
N
0
= 50 ; R = 2; T = 1; 2; 5.
Vậy có thể nhanh chóng xác định đ-ợc số l-ợng cá thể sóc sau các năm.
* Sau 1 năm: N
1

= 50 . 2
1
= 100 con
* Sau 2 năm : N
2
= 50 . 2
2
= 200 con
* Sau 5 năm: N
5
= 50 . 2
5
= 1.600 con
+ Năm thứ mấy đạt số l-ợng 6.400 con ?
Theo công thức ta có: R
t
=
No
Nt
=> 2
t
=
50
400.6
= 128 = 2
7
=> t = 7 => sau 7 năm
quần thể đạt 6400 con.
LJu ý : Tuỳ từng bài, tr-ớc khi áp dụng công thức phải xác định đúng chỉ số sinh sản của
quần thể qua các thế hệ .

III . Vận dụng phép toán tổ hợp.


PP vận dụng một số phép toán vào việc giải các bài tập sinh học.
Trang 4
A. Công thức tổ hợp:
m
n
C
=
!
!()!
n
mnm


Các tổ hợp m phần tử đ-ợc thành lập từ n phần tử nhất định, khác nhau về thành phần các
phần tử gọi là các tổ hợp chập m của n phần tử .

B. Các dạng bài tập :

Dạng 6: Tính số kiểu gen của thể l-ỡng bội đối với 1 gen gồm nhiều alen.
a. Ví dụ:
ở ng-ời, gen quy định nhóm máu hệ ABO gồm 5 alen:
1
A
I
,
2

A
I
,
3
A
I
, I
B
, I
0
. Hãy
xác định số kiểu gen qui định nhóm máu có trong loài ng-ời.
b. Cách vận dụng:
+ Với 5 alen sẽ có 5 kiểu gen đồng hợp tử (chứa 2 alen giống nhau):

1
A
I
1
A
I
,
2
A
I
2
A
I
,
2

A
I
2
A
I
,
+ Các kiểu gen dị hợp đều gồm 2 alen khác nhau, nh- vậy là đúng với
2
5
C
(tổ hợp
chập 2 của 5)

=> Tổng số kiểu gen có thể là: 5 +
2
5
C = 5 +
!)25(!2
!5


= 5 +
!2
4.5
= 5 + 10 = 15 (kiểu gen)
c. Khái quát:
Với 1 gen có n alen, thì số loại kiểu gen (ở thể l-ỡng bội) là: n +
2
n
C

Dạng7: Tính số loại giao tử chứa m NST có nguồn gốc từ bố (hay từ mẹ) trong số n
NST của bộ đơn bội (m n; m và n nguyên, d-ơng )
a. Phân tích: Đây cũng là bài toán tổ hợp điển hình, nên số loại tổ hợp cần tìm là:
m
n
C
(Vì
các giao tử chỉ phân biệt về tổ hợp gen chứ không phân biệt nhau về trật tự gen trong tập hợp)
b. Ví dụ: Một ng-ời đàn ông bình th-ờng về mặt di truyền. Hỏi số loại giao tử chứa 7
NST từ bố của ông ta là bao nhiêu ?
c. Bài giải: Số loại giao tử cần tìm là:
7
23
C =
!)723(!7
!23



IV. Vận dụng phép toán chỉnh hợp.
A. Tìm hiểu về chỉnh hợp:
Chỉnh hợp chập m của n phần tử bao gồm các tập hợp m phần tử đ-ợc thành lập từ n
phần tử nhất định khác nhau về thành phần các phần tử hay các vị trí sắp xếp các phần tử.
Ký hiệu:
m
n
A , (1 m n )
Công thức:
m

n
A = n (n - 1) (n - 2) (n - m + 1 )
- Từ đó có thêm :
n
n
A = n !
- Số chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử bằng n
m



PP vận dụng một số phép toán vào việc giải các bài tập sinh học.
Trang 5
B. Các dạng bài tập:
Dạng 8: Chứng minh tính đa dạng của Prôtêin
a. Ví dụ: Cho biết một đoạn cấu trúc bậc một của phân tử Pr nh- sau:
- ala - Pro - liz - gli - izoleu -
Nếu thay đổi trật tự sắp xếp các a.a của đoạn đó(các đoạn khác giữ nguyên)thì có thể
tạo nên bao nhiêu loại Pr?Hãy nhận xét về đặc tính của Pr.
b. H-ớng dẫn giải:
+ Chúng ta biết, số các chỉnh hợp không những phụ thuộc thành phần các phần tử mà
còn phụ thuộc vị trí sắp xếp của các phần tử. Tập hợp 5 a. a trong đoạn Pr đã cho có thể có các
cách sắp xếp khác nhau, từ đó tạo nên các loại Pr khác nhau.
+ Vậy số loại Prôtêin có thể có là:
5
5
A = 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 120
=> Nhận xét : Prôtêin có đặc tính rất đa dạng về cấu trúc.

Dạng 9: Xác định các phép lai có thể xẩy ra trong quần thể .

a. Ví dụ 1: Trong một quần thể thực vật l-ỡng tính giao phấn, có các kiểu gen nhân là
: AABB, AABb, AaBb , aabb.
Hãy xác định số phép lai có thể xẩy ra trong quần thể.
* H-ớng dẫn giải:
+ ở cây l-ỡng tính có cả nhuỵ và nhị, đồng thời còn có các Gen ngoài nhân, nên mỗi
kiểu gen có vai trò là bố trong phép lai này, nh-ng lại có vai trò là cây mẹ trong phép lai khác.
+ Nh- vậy số phép lai xẩy ra chính là số chỉnh hợp chập 2 của 4
=>
2
4
A = 12 (phép lai )
b. Ví dụ 2: Một nhà trồng v-ờn muốn tạo cây mới bằng cách lai ghép từng cặp 2 cây
một trong số 10 cây đã có. Hỏi có bao nhiêu cách ghép cây?

* H-ớng dẫn giải:
+ Bài toán này cũng có dạng chỉnh hợp, vì cứ mỗi cây có thể đóng vai trò gốc ghép
hoặc cành ghép trong quá trình ghép cây .
+ Vậy số cách ghép là:
2
10
A = 10 . 9 = 90 (cách).
ả
Với những -u thế của các thuật toán, việc vận dụng một cách phù hợp các phép toán
vào giảng dạy Sinh học đã tạo thêm một b-ớc đổi mới trong ph-ơng pháp. Nhờ đó, nhiều bài
tập Sinh học đ-ợc giải quyết một cách lôgíc, chính xác, chặt chẽ và ngắn gọn . Chúng tôi xin
giới thiệu cùng các đồng chí, đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn sự góp ý, phê bình thiết thực và chân thành của bạn đọc. Mong
rằng bài viết này sẽ góp công tìm giải pháp cụ thể cho việc giảng dạy, ôn thi đại học và bồi
d-ỡng học sinh giỏi môn Sinh học ./.