TOM TAT CAC PHUONG PHAP VA KY THUAT TIM MIN MAX

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU THỨC
I-/CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
1-PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ.
Bài 1.1:
Bài 1.2:
Bài 1.3:
Bài 1.4:
Bài 1.5:
Bài 1.6:
Bài 1.7:
Bài 1.8:
Bài 1.9:
Bài 1.10:
Bài 1.11:
Cỏc phng phỏp v k thut tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca mt biu thc
Tng hp t cỏc ngun Internet: Lc Phỳ a Vit Trỡ Phỳ th. 2013-08-30 Page 2 of 24
Bi 1.12 :
Bi 1.13 :
Bi 1.14:
Bi 1.15 :
Bi 1.16 :Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
2
+ 11y
2
- 6xy + 8x - 28y +21.
.
2.Phng phỏp tam thc bc hai
Bi 2.1 :
Bi 2.2 :
Bi 2.3 :
Bi 2.4:

Bi 2.5 :
Bi 2.6:
Bi 2.7 :Cho x,ylà các số thực thoả mãn (x
2
y
2
+ 1)
2
+ 4x
2
y
2
(x
2
+ y
2
) = 0 . Tìm giá trị LN,NN của
biểu thức S = x
2
+ y
2
.
.
3.Phng phỏp s dng tp giỏ tr
Bi 3.1. :
Bi 3.2 :
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 3
Bài 3.3. ( KA-2006)
Bài 3.4:

Bài 3.5 :
Bài 3.6.
…………………………………………………………………
4.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 4 of 24
Bài 4.1 :
Bài 4.2 .(DB KB-2006)
Bài 4.3. ( KA-2006)
Bài 4.4: Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện
1 1 1
2
x y z
  
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Bài 4.5 :
Bài 4.6: (KB-2007) ;
Bài 4.7 :
Bài 4.8 :
Bài 4.9::
Bài 4.10:: Cho x, y, z
0
và
2 2 2
3x y z  
. Chứng minh:
3 3 3
2 2 2
3 2
2

1 1 1
x y z
y z x
  
  
Bài 4.11 : Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx  2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Bài 4.12. Với mọi số thực dương
; ;x y z
thỏa điều kiện
1x y z  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
1 1 1
2P x y z
x y z
 
     
 
 
.
Bài 4.13: Cho a, b, c
0
và
2 2 2
3a b c  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
2 2 2
1 1 1

a b c
P
b c a
  
  
Bài 4.14: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z
3
.Chứng minh rằng
46253
4
zxy
+
415
4
xyz
+
4815
4
yzx

45
5
xyz.
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 5
Bài 4.15: Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng :
1 1 1 5
1 1 1xy yz zx x y z
  
    

Bài 4.16: Cho hai số dương
,x y
thỏa mãn:
5x y 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 2
4
x y x y
P
xy
 
 
Bài 4.17: Chứng minh:
 
1 1 1
12x y z
x y z
 
    
 
 
với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn
 
1;3
.
Bài 4.18. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x
2
+ y
2
+ z

2
 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
1 1 1
1 1 1
P
xy yz zx
  
  
Bài 4.19. Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
x (y z) y (z x) z (x y)
P
yz zx xz
  
  
Bài 4.20.
Bài 4.21.
Bài 4.22.
Bài 4.23.
Bài 4.24.
Bài 4.25.
Bài 4.26.
Bài 4.27.
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 6 of 24
Bài 4.28.
Bài 4.29.
Bài 4.30.

Bài 4.31.
Bài 4.32.
Bài 4.33.
Bài 4.34.
Bài 4.35.
Bài 4.36.
Bài 4.37.
Bài 4.38.
Bài 4.39.
Cỏc phng phỏp v k thut gii bi toỏn giỏ tr ln nht v nh nht ca mt biu thc
Tng hp cỏc ngun trờn Internet: Lc Phỳ a - Vit trỡ Phỳ Th 2013-08-30 Trang: 7
Bi 4.40.
Bi 4.41.
Bi 4.42.
Bi 4.43.
Bi 4.44.
Bi 4.45.
Bi 4.46: Cho x, y, z l ba s thc dng thay i v tha món:
xyzzyx
222
. Hóy tỡm giỏ tr ln
nht ca biu thc:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P

222
.
Bi 4.47.Cho x,y là các số thực dơng thay đổi thoả mãn điều kiện
4x y
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thúc:
2 3
2
3 4 2
4


x y
A
x y
.
Bi 4.48.Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s :
2
11 7
4 1
2
y x
x x

với x > 0 .
Bi 4.49. Cho x,y là các số thực thoả mãn điều kiện x
2
+ xy+ y
2

3 .
Chứng minh rằng:
2 2
4 3 3 3 4 3 3x xy y
Bi 4.50. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s :
5
sin 3cos y x x
Bi4.51 : Cho x,y là các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
S =

2 2
2 2
1 1 2x y x y y
.
Bi 4.52: .Cho x,y,z là các số dơng .Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 1 1
2 2 2
x y z
S x y z
yz zx xy
.
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 8 of 24
Bài 4.53: Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
  
     
Bài 4.54:
Bài 4.55:
Bài 4.56 :
Bài 4.57 .
Bài 4.58:
Bài 4.59.
Bài 4.60:
Bài 4.61:
Bài 4.62 :
Bài 4.63 :
Bài 4.64 :
Bài 4.65:
Bài 4.66:
Bài 4.67 :
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 9

Bài 4.68 :
Bài 4.69:
Bài 4.70:
Bài 4.71:
Bài 4.72:
Bài 4.73:
Bài 4.74 :
Bài 4.75:
Bài 4.76:
Bài 4.77 :
Bài4.78 :
Bài 4.79 :
Bài4.80 : (KA-2007)
Bài 4.81 :
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 10 of 24
Bài 4.82 :
Bài4.83:
Bài 4.84 :
………………………………………………
( DÙNG CÔ SI-SVAC)
Bài 4.85:
Bài 4.86:
Bài 4.87:
Bài 4.87:
Bài 4.88:
Bài 4.89.
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 11
Bài 4.90.

Bài 4.91.
Bài 4.92.
Bài 4.93:
Bài 4.94.
Bài 4.95.
…………………………………………………
(DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER)
Bài 4.96:
Bài 4.97:
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 12 of 24
Bài 4.98:
Bài 4.99:
Bài 4.100:
** KĨ THUẬT ĐÁNH GIÁ ĐƯA VỀ CÙNG MẪU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
Bài 4.101:
Bài 4.102:
Bài 4.103:
…………………………………………………………………………………
5.Phương pháp sử dụng đạo hàm
Bài 5.1: (KB-2003)
Bài 5.2: (DB KB-2003)
Bài 5.3: ( KD-2003)
Bài 5.4.: (KB-2004)
Bài 5.5.Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện
 
2 2
2 1x y xy  
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức

4 4
2 1
x y
P
xy



.
Bài 5.6.:T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè :
2
( ) 4 2 1f x x x x   
Bài 5.7.: Cho x, y, z
0
thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 
3 3 3
3
16x y z
P
x y z
 

 
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 13
Bài 5.8. Cho x,y  R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
   
3 3 2 2
( 1)( 1)

x y x y
P
x y
  

 
Bài 5.9: .Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
Bài 5.10.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
3 3
1 1
A
x y
 
víi
0, 0x y 
thay ®æi vµ
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (x+y) xy = x
2
+y
2
- xy .
Bài 5.11:(KB-2006)
Bài 5.12.KB-2007)
Bài 5.13. KD-2007)
Bài 5.14. .KB-2008)

Bài 5.15.:(KD-2008)
Bài 5.16:(KA-2009)
Bài 5.17:( KB-2009)
Bài 5.18:(KD-2009)
Bài 5.19:(KB-2010)
Bài 5.20.KD-2010)
Bài 5.21.
Bài 5.22:(KA-2011)
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 14 of 24
Bài 5.23:(KB-2011)
Bài 5.24. KD-2011)
Bài 5.25 :(KA-2012)
Bài 5.26. KB-2012)
Bài 5.27 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
1
9
x
y x 
.
Bài 5.28:. Cho
0, 0 1x y va x y   
. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = 3
2x
+ 3
y
.
Bài 5.29:( KD-2012)
Bài 5.30.KA-2013)

Bài 5.31:(KB-2013)
Bài 5.32:( KD-2013)
Bài 5.33:
Bài 5.34:
Bài 5.35:(KB-2009)
Bài 5.36 ( KD-2009)
Bài 5.37. Cho x, y, z
0
thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 
3 3 3
3
16x y z
P
x y z
 

 
Bài 5.38:(CĐ- 2008)
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 15
Bài 5.39.
Bài 5.40.
Bài 5.41.
Bài 5.42: Cho x,y,z lµ c¸c sè d¬ng .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
   
 
     
   
 

 
   
1 1 1
2 2 2
x y z
S x y z
yz zx xy
Bài 5.43:(DB- KB 2002 )
6.Phương pháp sử dụng lượng giác
+
+
Bài 6.1.(KB-2008)
Bài 6.3:(KD-2008)
Bài 6.4.
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 16 of 24
Bài 6.5. (DB KB-2003)
………………………………………………………
7.Phương pháp sử dụng véc tơ
Bài 7.1: (KB-2006)
Bài 7.2 Cho a, b, c là các số thực thoả mãn
3.a b c  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 9 16 9 16 4 16 4 9 .
a b c a b c a b c
M         
………………………………………………………….
8.Phương pháp sử dụng hình học
Bài 8.1.(DB KA-2004 )
Bài 8.3.

Bài 8.4:
Bài 8.5:
…………………………………………………………
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 17
II- KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤTCỦA MỘT BIỂU THỨC
1- Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp thế:
Bài II.1.1:
Bài II.1.3:
Bài II.1.4:
Bài II.1.5:
Bài II.1.6:
Bài II.1.7:
Bài II.1.8:
Bài II.1.9:
Bài II.1.10.
HD II.1.0:
Bài II.1.11:
Bài II.1.12.
Bài II.1.13
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 18 of 24
2- Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức đối xứng.
Bài II.2.1.
Bài II.2.2.Cho 2 số thực x, y thoả
2 2
2x xy y  
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = x

2
– xy + y
2
.
Bài II.2.3:
Bài II.2.4:
Bài II.2.5:
Bài II.2.6:
Bài II.2.7:
Bài II.2.8:
Bài II.2.9:
Bài II.2.10:
Bài II.2.11:
Bài II.2.12.
Bài II.2.13:
Bài II.2.14:
Bài II.2.15:
Bài II.2.16.Cho hai số thực x và y thỏa đẳng thức x
2
(2x
2
– 1) + y
2
(2y
2
– 1) = 0.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
(x
2

– 4) + y
2
(y
2
– 4) + 2(x
2
y
2
– 4).
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 19
Bài II.2.17.:
Bài II.2.18:
Bài II.2.19:
Bài II.2.20:
Bài II.2.21:
Bài II.2.22:
Bài II.2.24:
Bài II.2.25:
Bài II.2.26:
Bài II.2.27:
Bài II.2.28. :
Bài II.2.29.
Bài II.2.30.
Bài II.2.31.
Bài II.2.32.
…………………………………………………………
3- Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức có thể hiện tính đẳng cấp
Bài II.3.1:
Bài II.3.2:

Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 20 of 24
Bài II.3.3:
Bài II.3.4.
Baì II.3.5:
Bài II.3.6.
Baì II.3.7.
Baì II.3.8:
Baì II.3.9.:
Bài II.3.10:
Bài II.3.11 :
Bài II.3.12:
Bài II.3.13.
Bài II.3.14:
4- Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức có chứa ba biến
Bài II.4.1.
Bài II.4.2:
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 21
Bài II.4.3 :
Bài II.4.4:
Bài II.4.5:
Bài II.4.6 :
Bài II.4.7:
Bài II.4.8:
Bài II.4.9:
Bài II.4.10:
Bài II.4.11:
Bài II.4.12:
Bài II.4.13:

Bài II.4.14.
Bài II.4.15:
Bài II.4.16:
Bài II.4.17.
Bài II.4.18
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 22 of 24
Bài II.4.19:
Bài II.4.20.
Bài II.4.21:
Bài II.4.22:
Bài II.4.23.
Bài II.4.24.
Bài II.4.25.
Bài II.4.26.
Bài II.4.27
Bài II.4.28.
Bài II.4.29.
Bài II.4.30
Bài II.4.31.
Bài II.4.32.
Bài II.4.33.
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 23
Bài II.4.34. (KB-2007)
Bài II.4.35. (DB.A-2009)
Bài II.4.36. (K.A-2011)
Bài II.4.37.
Bài II.4.38.
Bài II.4.39.(KA-2012)

Bài II.4.40.
Bài II.4.41.
Bài II.4.42.
Bài II.4.43.
Bài II.4.44.
Bài II.4.45.
Bài II.4.46.
Bài II.4.47.
Bài II.4.48.
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 24 of 24
Bài II.4.49.
Bài II.4.50.
Bài II.4.51.
Bài II.4.52.
Bài II.4.53.
Bài II.4.54.
Bài II.4.55.
…………………………………… Hết ………………………………